Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, pares e impares, periódicas y monótonas. Define cada tipo de función y proporciona ejemplos para ilustrar las definiciones.
2. Funciones inyectivas y sobreyectivas
Observación: 𝑓 es inyectiva si y solo si, a cada elemento del rango de 𝑓 le
corresponde un solo elemento del dominio de 𝑓.
Definición (función inyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es inyectiva
cuando se cumple lo siguiente:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 ⟶ 𝑥1 = 𝑥2
Lo anterior es equivalente a:
∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟶ 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
Ejemplo:
1) 𝐺𝑟 𝑓 = 1, 2 , 3, 5 , 8, 5 , (4, 3) no es inyectiva.
2) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 es inyectiva.
3) Indicar si la siguiente función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
es inyectiva.
3. Funciones inyectivas y sobreyectivas
Observación: geométricamente podemos reconocer que una función es inyectiva si toda
recta horizontal interseca a su gráfica en más de dos puntos.
Ejemplo:
1) la función 𝑔: ℝ ⟶ ℝ con regla de
correspondencia 𝑔 𝑥 = 𝑥2
no es inyectiva.
Ejemplo:
2) la función 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
𝑥
es inyectiva.
4. Funciones inyectivas y sobreyectivas
Observación: si 𝑓 es una función definida por partes como se muestra:
𝑓 𝑥 =
𝑓1 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓1
𝑓2 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓2
𝑓3 𝑥
⋮
𝑓
𝑛 𝑥
,
,
,
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓3
⋮
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝑛
𝑓 es inyectiva si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
i. Cada 𝑓𝑘 es inyectiva
ii. 𝑅𝑎𝑛 𝑓𝑖 ∩ 𝑅𝑎𝑛 𝑓
𝑗 = ∅ , ∀ 𝑖 ≠ 𝑗
Ejemplo:
1) Sea la función 𝑓 𝑥 = ൞
2𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 2
1
4
𝑥2
− 𝑥 + 5 , 2 ≤ 𝑥 < 6
𝑥 + 1 , 6 ≤ 𝑥
Verifique que 𝑓 es inyectiva.
5. Funciones inyectivas y sobreyectivas
Definición (función sobreyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es sobreyectiva
cuando se cumple lo siguiente:
∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑥 ∈ 𝐴 y 𝑦 = 𝑓(𝑥)
En otras palabras una función es sobreyectiva si su rango coincide con su conjunto
de llegada.
Ejemplo:
1) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑥3
es sobreyectiva.
2) la función 𝑔: ℝ − −2, 2 ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑔 𝑥 =
𝑥2
𝑥2−4
no es
sobreyectiva.
6. Funciones inyectivas y sobreyectivas
Observación: se puede probar que la composición de funciones inyectivas es
inyectiva y la composición de funciones sobreyectivas también es una función
sobreyectiva.
Más adelante definiremos la inversa de una función, con esa terminología tenemos
que además una función es inyectiva si y solo si, admite inversa por la izquierda y una
función es sobreyectiva si y solo si admite inversa por la derecha.
Ejemplo:
1) Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones tales que 𝑓: [0, +∞[⟶ ℝ con regla de correspondencia
𝑓 𝑥 = 𝑥2 y 𝑔: ℝ ⟶ [0, +∞[ con regla de correspondencia 𝑔(𝑥) = ቊ
𝑥 , 𝑥 ≥ 0
0 , 𝑥 < 0
. A
partir de la observación podemos verificar que 𝑓 es inyectiva y 𝑔 es sobreyectiva.
7. Biyectividad
Definición (función biyectiva): Diremos que una función 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es
biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
1) la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑓 𝑥 = 2 − 3𝑥 es
biyectiva.
2) la función 𝑔: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia 𝑔 𝑥 = 𝑥2 no es
biyectiva.
3) la función ℎ: ℝ ⟶ ℝ con regla de correspondencia ℎ 𝑥 = 𝑥3 es
biyectiva.
Ejemplo:
8. Paridad de una función
Definición: Diremos que 𝑓 es una función par si:
➢ Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
➢ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
Su gráfica es simétrica respecto al eje Y
𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2
𝑥
𝑦
9. Paridad de una función
Definición: Diremos que 𝑓 es una función impar si:
➢ Si 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), entonces −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
➢ 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
Su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas
𝑦 =
𝑥
1 + 𝑥2
𝑥
𝑦
10. Paridad de una función
Ejemplo:
➢ La función 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
− 4𝑥4
es par.
➢ La función 𝑔 𝑥 = 𝑥3
+
1
2
𝑥 es impar.
Observación: toda función definida en un intervalo simétrico puede
escribirse como la suma de una función par y una función impar.
11. Funciones periódicas
Definición: Diremos que 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 es una función periódica si : ∃𝑇/𝑇 ≠ 0 ∈ ℝ
tal que se cumple:
➢ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
➢ 𝐹 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
Observación: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑛𝑇 donde 𝑛 = 0, ±1, ±2, ±3, … Al valor mínimo, mayor que
cero (si existiera), de la constante 𝑇 que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Ejemplo:
➢ Las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y cos(𝑥) son funciones periódicas con periodo 𝑇 = 2𝜋
12. Funciones periódicas
Ejemplo:
1) La función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) tiene periodo 𝜋.
2) La función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
2
tiene periodo 4𝜋.
3) ¿Cuál es el periodo de la función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
?.
4) Halle el periodo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 .
5) Halle el periodo de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 .
Observación: Las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) y cos(𝑘𝑥) son funciones periódicas con periodo
𝑇 =
2𝜋
𝑘
13. Funciones monótonas
➢ 𝑓 es decreciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con 𝑥 < 𝑦, entonces 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦).
➢ 𝑓 es creciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con 𝑥 < 𝑦, entonces 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦).
Ejemplo: Ejemplo:
Observación: 𝑓 es creciente (respectivamente decreciente) cuando lo es en todo su dominio de
definición. 𝑓 es monótona si 𝑓 es creciente o decreciente.
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2
, 0 ≤ 𝑥 < 2
4 , 2 ≤ 𝑥 < 4
2𝑥 − 4 , 4 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 =
4 − 3𝑥 , 𝑥 ≤ 1
1 , 1 < 𝑥 ≤ 4
1 −
(𝑥 − 4)2
4
, 4 < 𝑥
14. Funciones monótonas
Teorema: toda función es estrictamente monótona es inyectiva.
Ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥3
(Función creciente) 𝑓 𝑥 = −𝑥3
(Función decreciente)
