Presentación Matemática I

1. MATEMÁTICA I
M.Sc. Michelle Rojas

2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Definición: Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Se dice que 𝑓 es una función si a cada elemento 𝑥 del conjunto
𝐴 se le hace corresponder un único elemento y en el conjunto 𝐵.
Al conjunto 𝐴 se le llama el dominio de 𝑓 y al conjunto de todos los valores 𝑓(𝑥) en 𝐵 se
le llama el rango de la función 𝑓.
La variable 𝑥 se llama variable independiente y la variable 𝑦 es la variable dependiente.
No es función
Al valor 𝑥₁ le corresponde dos
valores de 𝑦
Es Función.
Acada valor de x le corresponde un
único valor de y.

3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
a) Función Lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Son funciones polinómicas de primer grado y se definen así:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con 𝑚 y 𝑏 números reales, 𝑚 ≠ 0.
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = 𝑅

4. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
b) Función contante 𝑓(𝑥) = 𝑐
La función 𝑓(𝑥) = 𝑐, con c ∈ R, se denomina función constante y su gráfica es una recta
paralela al eje X que pasa por el punto (0, c).
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 4
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = 4

5. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
c) Función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
La función polinómica de segundo grado se llama función cuadrática y se define así:
𝑓(𝑥)=𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐, donde 𝑎,𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠0. Su gráfica es una parábola.
Características:
1) La gráfica abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.
2) Su dominio es todo R.
3) El vértice de la parábola es: 𝑉 = ,
−𝑏 4𝑎𝑐−𝑏2
2𝑎 4𝑎
4) El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.
5)Al aumentar en coeficiente “a” en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha y al
disminuir el coeficiente “a” en valor absoluto, la parábola se hace menos estrecha

6. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = (−1, ∞ሿ

7. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
d) Función valor Absoluto 𝑓 𝑥 = 𝑥
El valor absoluto de un número coincide con dicho número si éste es positivo o cero.
Además, coincidirá con su opuesto si el número es negativo.
Para cualquier número real x, la función valor absoluto de x, denotada por 𝑥 , es una
función definida por partes, y se representa así:
𝑓 𝑥 = ቊ
−𝑥,
𝑥,
𝑥 < 0
𝑥 ≥ 0

8. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 + 2
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = ሾ
2, ∞)

9. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
e) Función radical 𝑓 𝑥 = 𝑛
𝑥
Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo
radical 𝑓 𝑥 = 𝑛
𝑥.
Características:
1) Si n es un número par su dominio es el intervalo en el que x ≥ 0
2) Si n es impar, su dominio es R.
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 4𝑥 − 8
Dominio 𝑓 𝑥 = ሾ
2, ∞)
Rango 𝑓 𝑥 = ሾ
0, ∞)

10. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
𝑃(𝑥)
f) Función racional 𝑓 𝑥 = 𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
con 𝑄(𝑥) ≠ 0 es racional si es el cociente de dos
Una función 𝑓: R → R tal que 𝑓 𝑥 =
polinomios.
𝑥
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥−2
Dominio 𝑓 𝑥 = −∞, 2 𝖴 2, ∞
Rango 𝑓 𝑥 = −∞, 1 𝖴 1, ∞

11. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
g) Función parte entera 𝑓 𝑥 = 𝑥
La función 𝑓: R → ℤ tal que 𝑓 𝑥 = 𝑥 se denomina parte entera de 𝑥 . Se define como
“el menor entero mayor que 𝑥” ó “el mayor entero que no supera a 𝑥”, es decir.
𝑥 = n ↔ n ≤ 𝑥 < 𝑛+1, con n ∈ ℤ
Características:
1) Su dominio es todo R.
2) Su rango o imagen es todo ℤ.

12. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = 𝑍

13. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
h) Función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
La función 𝑓: R → (0,+∞) tal que 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, se denomina función
exponencial.
Características:
1) Su dominio es todo R.
2) Su rango o imagen es el intervalo (0,+∞)
3) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente
4) El eje 𝑥 es una asíntota horizontal
5) Pasa por los puntos (0,1) y (1,𝑎)
6) Es la inversa de la función logarítmica 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥)

14. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑅
Rango 𝑓 𝑥 = 0, +∞

15. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
i) Función Logarítmica 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥)
= 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, se denomina
La función 𝑓: (0,+∞) → R tal que 𝑓 𝑥
función logaritmo de base 𝑎.
Características:
1) Su dominio es el intervalo (0,+∞)
2) Su rango o imagen es todo R
3) Si 𝑎 > 1 la función es creciente
Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente
4) El eje 𝑦 es una asíntota vertical
5) Pasa por los puntos (1,0) y (𝑎, 1)
6) Es la inversa de la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥

16. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Ejemplo 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1(𝑥)
2
Dominio 𝑓 𝑥 = 0, +∞
Rango 𝑓 𝑥 = 𝑅