Analisis III

1. ANÁLISIS
MATEMÁTICO III
Apuntes de clase EJE Nº1
BONI, Matías

2. Eje N°1: Estudio de las funciones inversas e Implícitas.
Propiedades y características. Teoremas de la Función Inversa y la Función Implícita.
Independencia Funcional. Revisión de Aplicaciones: Funciones implícitas de una variable
independiente. Sistema de dos funciones implícitas. Transformación de coordenadas en
el plano y en el espacio. Jacobiano de la transformación inversa.
2

3. Funciones
En las graficas se puede apreciar una síntesis conceptual de las propiedades de funciones:
inyectividad, biyectividad y sobreyectividad
3

4. Independencia funcional
Se trata de probar si dos o mas variables son linealmente independientes. En estos
términos son varias las formas de poder probar la independencia lineal de funciones.
Al trabajar en espacios vectoriales donde los vectores están compuestos por funciones
puedo establecer la independencia funcional a través de plantear coeficientes de
combinación lineal, que de ser nulos, dará como resultado o conclusión que las
funciones son linealmente independientes.
4

5. Dependencia Funcional
“…determinados entes matemáticos pueden expresarse como funciones
matemáticas de otros entes…”
Es una generalización de la dependencia lineal:
“… un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de
ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes…”
5
LINELAMENTE INDEPENDIENTES
v1:(1,0,0)
v2: (0,1,0)
V3: (0,0,1)
LINEALMENTE DEPENDIENTES:
v1: (2,-1,1)
v2: (1,0,1)
v3: (3,-1,2) →v3= v1+v2

6. Dependencia Funcional
“…Se dice que un conjunto de funciones es funcionalmente dependiente cuando
existe una relación entre ellas, o alternativamente, cuando alguna de las funciones
del conjunto es expresable como función de las otras…”
6
𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐴 ⊂ 𝑅𝑛 𝑦 𝑓1 … 𝑓𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑖: 𝐴 → 𝑅
Se dice que el conjunto A es funcionalmente dependiente si:
∃ 𝐹 → 𝐹: 𝑅𝑚
→ 𝑅
Se tiene que cumplir que:
1- 𝑈𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐺 ⊂ 𝑅𝑚 ; ∃ 𝑎 ∈ 𝐺 → 𝐹(𝑎) ≠ 0
2- 𝐹 𝑓𝑖 𝑥 = 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐴
1- Expresa que la función F no puede ser idénticamente nula en ningún conjunto
abierto de 𝑅𝑚

7. Dependencia Funcional
“…no puede ser idénticamente nula...”
7
Donde todos los coeficientes que acompañan a la variable independiente son nulos
𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 7 × 𝑥4
+ 𝑏2
− 9 × 𝑥2
*𝑎 + 𝑏 + 7 = 0
*𝑏2
− 9 = 0 → 𝑏 = 3 ∴ 𝑎 + 3 + 7 = 0 → 𝑎 = −10

8. Dependencia Funcional
“…Se dice que un conjunto de funciones es funcionalmente dependiente cuando
existe una relación entre ellas, o alternativamente, cuando alguna de las funciones
del conjunto es expresable como función de las otras…”
8
𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 → 𝐴 ⊂ 𝑅𝑛 𝑦 𝑓1 … 𝑓𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑓𝑖: 𝐴 → 𝑅
Se dice que el conjunto A es funcionalmente dependiente si:
∃ 𝐹 → 𝐹: 𝑅𝑚
→ 𝑅
Se tiene que cumplir que:
1- 𝑈𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝐺 ⊂ 𝑅𝑚 ; ∃ 𝑎 ∈ 𝐺 → 𝐹(𝑎) ≠ 0
2- 𝐹 𝑓𝑖 𝑥 = 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐴
1- Expresa que la función F no puede ser idénticamente nula en ningún conjunto
abierto de 𝑅𝑚
2- Expresa la existencia de una relación constante entre las funciones de la colección
𝑓1 … 𝑓𝑛

9. Clase de la función
“… en análisis matemático, una clase diferenciable es una
clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus
derivadas. Clases diferenciales de orden superior corresponden a la
existencia de más derivadas…”
• Una función es de clase 𝐶1
si sus derivadas parciales son continuas. Estas funciones se denominan continuamente
diferenciables.
• Una función es de clase 𝐶𝑛
con 𝑛 ≥ 1, si existen todas sus derivadas parciales de orden 𝑛 y son continuas. Estas
funciones se denominan 𝒏 veces continuamente diferenciables .
• Una función es denominada infinitamente diferenciable es de clase 𝐶∞
Por ejemplo, las funciones exponenciales son evidentemente funciones infinitamente diferenciables porque sus
derivadas son siempre derivables.
Si 𝑓 es diferenciable dos veces en cada 𝑥 ∈ Ω se dice que 𝑓 es diferenciable dos veces en Ω. Si en cada
𝑥 ∈ Ω existen todas las derivadas parciales segundas y son continuas, se dice que 𝑓 es de clase 𝐶2
en Ω
y se escribe 𝑓 ∈ 𝐶2
Ω, 𝐹 .
9
Gráfico de una función
continuamente diferenciable

10. Teorema de la Función Inversa
• El teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación
(función) sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en
dicho punto.
• Muy importante: El determinante Jacobiano en un punto dado nos da información sobre el
comportamiento de 𝐹 cerca de ese punto. Para empezar, una función 𝐹 es invertible cerca de p si
el determinante Jacobiano en p es no nulo.
• El punto anterior expresa una condición suficiente aunque no necesaria, ya que por ejemplo la
función 𝑓(𝑥) = 𝑥3
tiene por Jacobiano 𝐽 = 3𝑥2
que se anula en el punto 𝑥 = 0, aunque
alrededor de ese punto la función sigue teniendo inversa 𝑔(𝑥) = 𝑓−1
(𝑥) = 𝑥
1
3 aun cuando el
jacobiano es nulo en el origen.. 10
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑒 ℝ𝑁
, 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑛 ∈ ℕ ∪ {∞}
Y 𝑓: 𝐴 → ℝ𝑁
: una función de clase 𝐶𝑛
∈ 𝐴
Sí: 𝐽 𝑓 𝑎 ≠ 0
→ ∃ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑈 𝑑𝑒 𝑎 ∈ 𝐴
→ ∃ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑎𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑉 𝑑𝑒 𝑓(𝑎) ∈ ℝ𝑁
Tal que 𝑉 = 𝑓 𝑈 y la función 𝑓ȁ𝑈: 𝑈 → 𝑉 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑓ȁ𝑈: 𝑈 −1
: 𝑉 → 𝑈 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝐶𝑛
∈
𝑉 , 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒:
𝑫𝒇−𝟏
𝒇 𝒙 = 𝑫𝒇 𝒙 −𝟏
∀ 𝒙 ∈ 𝑼

11. Funciones Inversas
Las condiciones que deben darse para que exista función inversa
𝑓 debe ser Real y biyectiva ( muy importante).
A y B deben ser compatibles en la inversión del sentido de 𝑓 o 𝑓−1
Para funciones crecientes el eje de simetría de 𝑓 y 𝑓−1 es 𝑦 = 𝑥
Para funciones decrecientes el eje de simetría de 𝑓 y 𝑓−1 es otra función: 𝑦 = −𝑥
Pueden existir casos particulares en donde no se cumple lo anterior respecto a la
simetría
11

12. Funciones Inversas
12
x x+2 x-2
0 2 -2
1 3 -1
2 4 0
3 5 1
4 6 2
5 7 3
6 8 4
x 2x+2 (x-2)/2
-5 -8 -3.5 -5
-4 -6 -3 -4
-3 -4 -2.5 -3
-2 -2 -2 -2
-1 0 -1.5 -1
0 2 -1 0
1 4 -0.5 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6 -4 -2 0 2 Series1
Series3
Series2
x x^3 (x)^0.333
0 0 0 0
0.01 0.000001 0.21577444 0.01
0.05 0.000125 0.36877121 0.05
0.1 0.001 0.46451528 0.1
0.2 0.008 0.58511737 0.2
0.3 0.027 0.66970166 0.3
0.4 0.064 0.73703138 0.4
0.5 0.125 0.79388393 0.5
0.6 0.216 0.84357629 0.6
0.7 0.343 0.88800957 0.7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
Series2
Series3
Series1
Para funciones crecientes el eje de
simetría de 𝑓 y 𝑓−1
es 𝑦 = 𝑥
Para funciones decrecientes el eje de simetría
de 𝑓 y 𝑓−1
es otra función: 𝑦 = −𝑥

13. Función Inversa
Entre sus principales aplicaciones tenemos
• Poder definir fenómenos de la naturaleza con diferentes enfoques.
• Ecuaciones de costo y productos,
• Ecuaciones de población y tiempo,
• Poder determinar cuales son los factores mas importantes.
• Nos permite crear analogías de pensamiento, alternativas a una circunstancia, observar un
problema desde una perspectiva distinta.
• Obtener formas simétricas en graficas de diversa índole.
• Básicamente se trata de poder describir la relación entre parámetros ubicando los mismos en
dominio e imagen en forma opuesta.
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14. Función Implícita
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Una curva 𝐶 contenida en 𝐸2 puede estar definida por una ecuación:
𝑦 = 𝑔 𝑥 →forma explícita
ó 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 → forma implícita
En muchos casos se puede pasar de una forma a otra, pero algunas veces esto no es posible, o no
siempre 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 representa a la función implícita de 𝑦 = 𝑔 𝑥 .
Entonces, se puede tener que:
CASO A: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 REPRESENTA LA FORMA IMPLÍCITA A UNA 𝑦 = 𝑔 𝑥 .
CASO B: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 ES LA FORMA IMPLÍCITA DE MÁS DE UNA FUNCIÓN DE x.
CASO C: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 NO ES FUNCIÓN IMPLÍCITA DE ALGUNA 𝑦 = 𝑔 𝑥 → ∄ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎

15. Función Implícita
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CASO A: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 REPRESENTA LA FORMA IMPLÍCITA A UNA 𝑦 = 𝑔 𝑥 .
Ejemplo:
𝑧 = 4𝑥 + 2𝑦 − 8 → 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝑅3
𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎: 𝑦 = −2𝑥 + 4

16. Función Implícita
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CASO B: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 ES LA FORMA IMPLÍCITA DE MÁS DE UNA FUNCIÓN DE x.
Ejemplo:
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
− 4 → 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑅3
𝑐𝑢𝑦𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑥2
+ 𝑦2
= 4.
Esta ecuación representa
a las 2 funciones 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 en forma implícita:
𝑦1 = 4 − 𝑥2
𝑦2 = − 4 − 𝑥2

17. Función Implícita
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CASO C: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 NO ES FUNCIÓN IMPLÍCITA DE ALGUNA 𝑦 = 𝑔 𝑥 → ∄ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎
Ejemplo:
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
− 4 → 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑅3
que no tiene 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑧 = 0 → 𝑓(𝑥,y)>0 ∀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2
.
∴ ∄ 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎

18. Función Implícita
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TEOREMA DE DINI:
Existencia de la Función Implícita de una variable independiente.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 define implícitamente a 𝑦 = 𝑔 𝑥 si se verifica que:
1) 𝑓 𝑝𝑜 = 0 → La función debe anularse al menos en un punto del dominio
2) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Posee derivadas parciales continuas en un entorno 𝑝𝑜 → al Menos Clase 𝑪𝟏
3)
𝛿𝑓
𝛿𝑦
𝑝𝑜 ≠ 0 → La derivada parcial respecto a la VARIABLE DEPENDIENTE debe ser
distinta de cero.
Si lo anterior se cumple la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 define implícitamente a la función 𝑦 = 𝑔 𝑥
cuya derivada es:
𝛿𝑦
𝛿𝑥
= −
𝛿𝑓
𝛿𝑥
𝛿𝑓
𝛿𝑦

19. Función Implícita
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TEOREMA DE DINI:
𝛿𝑦
𝛿𝑥
= −
𝛿𝑓
𝛿𝑥
𝛿𝑓
𝛿𝑦
Demostración:
Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 se verifica que para 𝑦 = 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑔 𝑥 = 0
Tenemos que 𝒈 𝒙 satisface la ecuación
Derivando ambos miembros como función compuesta, se tiene:
𝛿𝑓
𝛿𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝛿𝑓
𝛿𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝛿𝑓
𝛿𝑥
𝛿𝑓
𝛿𝑦

20. Función Implícita
20
Ejemplo:
Dada la siguiente función

21. Función Implícita
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El teorema de la Existencia y Derivabilidad (el de DINI) se extiende a campos
escalares definidos implícitamente

22. Función Implícita
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DINI GENERALIZADO (TEOREMA CAUCHY – DINI):

23. Sistema de Funciones Implícitas
23

24. Sistema de Funciones Implícitas
24

25. Sistema de Funciones Implícitas
25

26. Sistema de Funciones Implícitas
26

27. Jacobiano
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El Jacobiano es una versión matricial de aplicar la regla de la cadena.
Esta compuesto de las derivadas parciales de la función implícita respecto de las variables
dependientes.
El Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
En forma matricial Si 𝑚 = 𝑛, entonces 𝐹 es una función que va de un espacio 𝑛-dimensional
a otro. En este caso la matriz Jacobiana es cuadrada y podemos calcular su determinante,
conocido como el determinante Jacobiano o simplemente Jacobiano.
El determinante Jacobiano en un punto dado nos da información importante sobre el
comportamiento de F cerca de ese punto. Para empezar, una función F es invertible cerca de
p si el determinante Jacobiano en p es no nulo. Más aún, el valor absoluto del determinante
en p nos da el factor con el cual F expande o contrae su volumen cerca de p.
Hay que tener en cuenta que el Jacobiano solo se podrá calcular si la función tiene el mismo
número de variables que de funciones escalares, ya que entonces la matriz Jacobiana tendrá
el mismo número de filas que de columnas y, en consecuencia, será una matriz cuadrada.

28. Jacobiano
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En cálculo vectorial, la matriz Jacobiana de una función vectorial de varias variables es la
matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de primer orden de dicha función.

29. Jacobiano -Aplicaciones
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30. Jacobiano -Aplicaciones
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La matriz Jacobiana del gradiente de una función es igual a la matriz Hessiana:
El Hessiano es una matriz muy importante para la derivación de funciones con más de
una variable, ya que está formada por las segundas derivadas de la función. De hecho,
podríamos decir que la matriz Hessiana es la continuidad de la matriz Jacobiana.
La matriz Hessiana es una matriz cuadrada de dimensión n×n compuesta por las
segundas derivadas parciales de una función de n variables.
A esta matriz también se la conoce como Hessiano, o incluso en algún libro de
matemáticas se nombra como Discriminante. Pero la forma más habitual de llamarla es
matriz Hessiana.

31. Jacobiano -Aplicaciones
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32. Jacobiano -Aplicaciones
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La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de
varias variables es el concepto de matriz Jacobiana

33. Jacobiano -Aplicaciones
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Sirve para calcular los puntos críticos de una función multivarible, que luego se
clasifican en máximos, mínimos o puntos de silla a través de la matriz Hessiana. Para
hallar los puntos críticos se tiene que calcular la matriz Jacobiana de la función,
igualarla a 0 y resolver las ecuaciones resultantes.
Además, otra aplicación de la matriz Jacobiana se encuentra en la integración de
funciones con más de una variable, es decir en integrales dobles, triples, etc. Ya que el
determinante de la matriz Jacobiana permite hacer un cambio de variable en las
integrales múltiples según la siguiente fórmula:
Donde T es la función de cambio de variable que relaciona las variables originales con
las nuevas.
Finalmente, la matriz Jacobiana también sirve para hacer una aproximación lineal de
cualquier función 𝑓 entorno a un punto 𝑝

34. Bibliografía
https://brainly.lat/tarea/406397
https://es.wikipedia.org
http://ing.unne.edu.ar/pub/matematica/am2/fi.pdf
http://matematicas.unex.es/~montalvo/Grado%20en%20Matematicas/Analisis%20Matematico%20I
/Apuntes/2015/cap4.pdf
http://www.bibliotecacpa.org.ar/greenstone/collect/facagr/index/assoc/HASHde59.dir/doc
https://www.matricesydeterminantes.com/matrices/matriz-jacobiana-jacobiano/
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