Continuidad en 40

CONTINUIDAD
Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un
intervalo abierto. Discontinuidad de una función en un punto.
Clasificación de las discontinuidades. Continuidad en un intervalo
cerrado. Propiedades de la continuidad.
UNER- FCAL- INGENIERÍA EN ALIMENTOS -MATEMÁTICA II
AÑO 2016
LIC. ROSARIO SAN MIGUEL
sanmiguelrosario@gmail.com
El objetivo de este material es que logres:
- Definir e interpretar el concepto de continuidad.
- Aplicar las propiedades de la continuidad.
- Analizar la continuidad de una función en un punto, en un intervalo o
en todo su dominio.
- Clasificar y determinar puntos de discontinuidad.

Tema: Continuidad
UNER- FCAL- INGENIERÍA EN ALIMENTOS -
MATEMÁTICA II AÑO 2016
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Continuidad
Las funciones describen fenómenos. Ante situaciones concretas muchas veces
se analizan cómo se vinculan las variables en juego y se buscan fórmulas
matemáticas que describan las relaciones que mantienen la misma regularidad.
Las funciones continuas poseen una gran cantidad de propiedades que facilitan
su estudio. La mayoría de las funciones con que se trabaja al modelar procesos
naturales se suponen continuas.
Continuidad en un punto y en un intervalo abierto
En Matemática, el término continuo tiene prácticamente el mismo significado que
en su uso cotidiano. Decir que una función es continua en 𝑥 = 𝑐 significa que no
hay interrupción de la gráfica de 𝑓 en 𝑐 . Es decir, la gráfica no tiene en 𝑐
agujeros, saltos ni aberturas.
Resulta entonces que la continuidad en 𝑥 = 𝑐 puede destruirse por cualquiera
de las siguientes condiciones.
1- La función no está definida en 𝑥 = 𝑐 .
2- No existe el límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑐.
3- El límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑐 existe, pero no es igual a 𝑓(𝑐).
Ejemplos:
Definiciones
Continuidad en un punto: Decimos que una función 𝑓 es continua en 𝑐 si se
satisfacen las tres condiciones siguientes.
1- 𝑓(𝑐) está definida.
2- lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe.
3- lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).
Continuidad en un intervalo abierto: Decimos que una función es continua en
un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) si es continua en cada punto del intervalo. Una
función que es continua en toda la recta real (−∞, ∞) se llama continua en
todas sus partes.

Tema: Continuidad
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Fig. 1 Fig. 2
En el caso de la función de la Fig. 1 vemos que no está definida en 𝑥 = 2
(presenta un agujero), no se cumple la primera condición, en consecuencia, no
es continua en ese punto.
En el caso de la Fig. 2 vemos que para 𝑥 = 3 la función está definida (𝑓(3) =
−1) pero no existe el límite de la función en dicho punto, es decir, falla la segunda
condición. En efecto, lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = 1 y el lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = −1, ambos límites laterales
son distintos, en consecuencia lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = ∄ .
Fig. 3 Fig. 4
En la Fig. 3, la función no está definida en 𝑥 = 0, condición suficiente para afirmar
que no es continua en dicho punto, pero, además, tampoco existe el límite de la
función para cuando 𝑥 tiende a 0. En efecto, lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = ∞ y el lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = −∞,
        








x
y
(3,-1)
(3,1)
c = 3
        



x
y
(2,2)
(2,1)
c = 2

Tema: Continuidad
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ambos límites laterales no existen pues la función presenta un comportamiento
no acotado, en consecuencia lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = ∄. Así pues, no se verifican ninguna de
las condiciones exigidas para la continuidad.
En la Fig. 4, vemos que para 𝑥 = 2 la función está definida (𝑓(2) = 1) , el límite
de la función para cuando 𝑥 tiende a 2 existe. En efecto, lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 2 y el
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 2, ambos límites laterales son iguales, en consecuencia lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) =
2. Se verifican las dos primeras condiciones que exige la continuidad, sin
embargo, falla la tercera, lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2), en consecuencia, la función no es
continua en 𝑥 = 2.
Discontinuidades
Consideremos un intervalo abierto 𝐼 que contiene a un número real 𝑐. Si una
función 𝑓 está definida en 𝐼 (salvo posiblemente en 𝑐) y no es continua en 𝑐, se
dice que 𝑓 tiene una discontinuidad en 𝑐. Las discontinuidades se distribuyen
en dos categorías: evitables e inevitables. Una discontinuidad en 𝑐 se
denomina evitable si 𝑓 se puede hacer continua, definiendo (o redefiniendo)
apropiadamente 𝑓(𝑐).
Por ejemplo, la función de la Fig. 1 presenta una discontinuidad evitable para 𝑥 =
2, podríamos evitarla definiendo 𝑓(2) = 4. La función de la Fig. 4 también
presenta una discontinuidad evitable para 𝑥 = 2, podríamos evitarla redefiniendo
𝑓(2) = 2. En cambio, en los casos de las funciones de las Fig. 2 y Fig. 3, las
discontinuidades son inevitables. Si el límite de la función en el punto
considerado no existe, no se puede evitar la discontinuidad.
Actividad 1: Establece cómo se destruye la continuidad en x = c en cada una de
las siguientes situaciones. Indica qué condiciones de continuidad no se verifican.
Clasifica las discontinuidades en evitables o inevitables.

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Continuidad en un intervalo cerrado
Ejemplo:
Vamos a discutir la continuidad de 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2. (gráfica Fig. 5)
Fig. 5
Definición
Continuidad en un intervalo cerrado: Se dice que una función 𝑓 es continua en
un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) y lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏).
La función es continua por la derecha en 𝑎 y continua por la izquierda en b.

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El dominio de 𝑓 es el intervalo cerrado [−1,1]. En todos los puntos del intervalo
abierto (−1,1) la función es continua, pero, además,
como el lim
𝑥→−1+
√1 − 𝑥2 = 0 = 𝑓(−1) , es continua por la derecha en 𝑎, y
como el lim
𝑥→1−
√1 − 𝑥2 = 0 = 𝑓(1) , es continua por la izquierda en 𝑏.
Podemos concluir entonces que 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [−1,1].
Propiedades de la continuidad
Las funciones de los tipos siguientes son continuas en sus dominios.
1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Funciones trigonométricas
Análisis de la continuidad de algunas funciones
Ejemplo 1
𝑓𝑥) =
1
𝑥−2
(gráfica Fig. 6)
Propiedades de la continuidad
Si 𝑏 es un número real y 𝑓, 𝑔 son funciones continuas en 𝑥 = 𝑐, entonces las
siguientes funciones también son continuas en 𝑐.
1. Múltiplo escalar: 𝑏. 𝑓
2. Suma y diferencia: 𝑓 ± 𝑔
3. Producto: 𝑓. 𝑔
4. Cociente:
𝑓
𝑔
si 𝑔(𝑐) ≠ 0
Continuidad de una función compuesta
Si 𝑔 es continua en 𝑐 y 𝑓 es continua en 𝑔(𝑐), la función compuesta (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) =
= 𝑓[𝑔(𝑥)] es continua en 𝑐.

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Fig. 6
Esta función es racional, su dominio es 𝑅 − {2} . Es continua para ese dominio.
En efecto, para 𝑥 = 2 presenta una discontinuidad inevitable pues la función no
está definida en ese punto y, además, lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = ∄ .
Ejemplo 2
𝑔(𝑥) = {
−𝑥2
+ 3, 𝑥 < 0
𝑥 + 3, 𝑥 ≥ 0
(gráfica Fig. 7)
Fig. 7
Esta función está definida por partes, su dominio es el conjunto de todos los
números reales, es decir, (−∞, ∞). Para estudiar su continuidad primero
podemos observar que ambos tramos corresponden a funciones polinómicas, de
grados dos y uno, respectivamente, ambas continuas. En consecuencia, el único
punto que requiere un análisis detallado es 𝑥 = 0 , donde la función pasa de un

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tramo al otro. De la vista gráfica en la Fig. 7 podemos deducir que si es continua,
pero vamos a hacer un estudio analítico de este hecho. Para ello debemos
recurrir a la definición de continuidad en un punto, es decir, verificar si se
cumplen las tres condiciones que exige la definición.
 La función está definida en ese punto 𝑔(0) = 3.
 El lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) existe y es igual a 3 pues lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→0−
(−𝑥2
+ 3) = 3 y
lim
𝑥→0+
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→0−
(𝑥 + 3) = 3, es decir, ambos límites laterales existen y
son iguales. (Los calculamos y comparamos para poder hacer esta
afirmación.)
 Además, lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = 𝑔(0) = 3.
Podemos afirmar entonces que, efectivamente, la función es continua en 𝑥 = 0.
De lo analizado anteriormente resulta que la función 𝑔(𝑥) es continua en todo
su dominio (−∞, ∞).
Actividad 2: Analice la continuidad de las siguientes funciones. Clasifique las
discontinuidades. Redefina las funciones que presenten discontinuidad evitable.
Verifique lo afirmado usando el Geogebra para realizar las gráficas de las
funciones.
a) 𝑓(𝑥) = −
3
4
𝑥2
+ 3𝑥 − 1
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥2+𝑥−2
c) 𝑓(𝑥) = {
−2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
d) 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥
𝑥 ≠ 0
3 𝑥 = 0
e) 𝑓(𝑥) =
|𝑥−3|
𝑥−3
f) 𝑓(𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 0
5𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
A veces, las funciones están expresada con coeficientes desconocidos y
podemos hallar los valores que hacen que la función resulte continua.
[Ver en YouTube]

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Actividad 3: Determine los valores de a y b que hacen que la función sea
continua en toda la recta real:
𝑓(𝑥) = {
2 x ≤ −1
ax + b − 1 < 𝑥 < 3
−2 x ≥ 3
Reemplace en cada caso los valores obtenidos para a y b, grafique utilizando el
Geogebra, las funciones resultantes y verifique la continuidad de las mismas.
Actividad 4: Para pensar:
Verdadero o falso: determine si la afirmación es cierta o falsa. Si es falsa,
explicar por qué o dar un ejemplo que muestre su falsedad.
a) Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 𝑓(𝑐) = 𝐿 entonces 𝑓 es continua en 𝑐.
b) Si f(x) = g(x) para x ≠ c y f(c) ≠ g(c), entonces alguna de las dos
funciones f o g no es continua en c.
c) Para una función racional puede haber infinitos valores de x en los
que no es continua.
Recapitulando…
Una función 𝑓 es continua en 𝑐 si se satisfacen las tres condiciones siguientes
Si alguna de esas condiciones falla es suficiente para afirmar que la función es
discontinua en ese punto. Las discontinuidades pueden ser
Condiciones
1- Está definida en 𝑥 = 𝑐 .
2- Existe el límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑐.
3- El límite de 𝑓(𝑥) en 𝑥 = 𝑐 existe y es igual a 𝑓(𝑐).

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Para analizar la continuidad de una función debemos tener en cuenta todas las
propiedades de la continuidad y recurrir a la definición en los casos que se
requiera un análisis específico.
Bibliografía
 R. LARSON, R. HOSTETLER, B. EDWARDS, (2006). Cálculo, Volumen
1, Octava Edición, Ed. Mc Graw-Hill.
 J. STEWART, (2008). Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas,
Sexta Edición, Ed. Cengage.
Video
 AGOUT, F., (2016). Función Continua. [YouTube]. Disponible en:
https://www.youtube.com/watch?v=XZ4omsWZ6zc
Discontinuidades
Evitables
Inevitables

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