Integral de fourier

INTEGRAL DE FOURIER
(FOURIER INTEGRAL)
Mg. Juan Sánchez Vargas |
Flor A. Perales Apaico
Ecuaciones Diferenciales Parciales I |
Junio 2018|

INTRODUCCION
Hasta ahora, nos hemos ocupado de la representación de una función
mediante su serie de Fourier. Hemos visto que, si la serie de Fourier
converge a la función en algún intervalo finito, entonces la serie
representara la extensión periódica de la función fuera de ese intervalo.
Esto significa que en caso de que se defina una función para todo 𝑥, no
puede tener una representación de serie de Fourier que sea válida para
todo 𝑥 a menos que la función sea periódica. En un intento de encontrar
una representación análoga a la serie de Fourier para una función no
periódica que se definepara todo 𝑥 , consideraremos la serie de Fourieren
un intervalo arbitrario [−𝐿; 𝐿] he investigaremos su límite cuando L
tiende al infinito.

DEFINICIONES PREVIAS
FUNCIONES CONTINUAS( CONTINUOUS FUNCTION)
Se dice que una función 𝑓 es continua en un punto 𝑝 si:
a) 𝑓 está definida en p, y
b) lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝)
FUNCIONES CONTINUAS POR TRAMOS
Para calcularla continuidad de una funciónportramos debemos teneren
cuenta los siguientes aspectos:
Debemos hacer el cálculo de lim 𝑓(𝑥) en el punto de ruptura.
En primer lugar, debemos analizarsi 𝑓1 y 𝑓2 son continuas. Sies así, debe
cumplir lo siguiente:
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝑓1( 𝑐) = lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝑓2 ( 𝑐) = 𝑓(𝑐)
Si coincidenestos valores el limite existe, sino coinciden, no,portanto, la
función no sería continua.
En el caso en que ambas sean continuas, el único punto donde esta
función por tramos puede ser discontinua es en el punto de ruptura.

FUNCIONES SUAVES(SMOOTH FUNCTIONS)
Si f(x) es continua y su derivada 𝑓′(𝑥) es continua, además que 𝑓′( 𝑥) ≠
0.
Es una función que tiene derivadas continuas hasta cierto orden deseado
sobrealgúndominio.Porlo tanto,se puededecirqueunafunciónessuave
en un intervalo restringido como ( 𝑎, 𝑏) 𝑜 [ 𝑎, 𝑏]. El número de derivadas
continuasnecesariasparaqueunafunciónseconsidereuniformedepende
del problema en cuestión, y puede variar de dos a infinito. Una función
para la cualtodaslas órdenesdederivadasson continuassellamafunción
𝐶∞
.
Ejemplo:
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
Y f’(x)=2x
FUNCIONES SUAVES POR TRAMOS(PIECEWISE SMOOTH
FUNCTIONS)
Es aquella que se compone de funciones suaves finitas separadas por
discontinuidadesdesalto.Esto se refierecuandodecimosqueunafunción
f(x) tiene una discontinuidad de salto en 𝑥0 si:
lim
𝑥⟶𝑥0
−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥⟶𝑥0
+
𝑓(𝑥)
Ejemplo:
Sea 𝑓( 𝑥) = {
𝑥; 𝑥 < 1
𝑥2
; 𝑥 ≥ 1
formada por funciones suaves, entonces
lim
𝑥⟶1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶1−
𝑥 = 1

lim
𝑥⟶1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥⟶1+
𝑥2
+ 3 = 3

Definición.
Sea f una función suave por partes(o tramos) en el intervalo −∞ ≤ 𝑥 ≤
∞. Entonces,en cada subintervalo [−𝐿, 𝐿], f tiene la representación de la
serie de Fourier.
(1.1) 𝑓( 𝑥) =
𝐴0
2
+ ∑ (𝐴 𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝐵𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)∞
𝑛=1
Donde:
𝐴 𝑛 =
1
𝐿
∗ ∫ 𝑓( 𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
(𝑛 = 0,1, 2,…)
(1.2)
𝐵𝑛 =
1
𝐿
∗ ∫ 𝑓( 𝑥) ∗ 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
( 𝑛 = 0,1, 2,…)
Entendemos que un punto 𝑥 donde 𝑓 es discontinuo, 𝑓(𝑥) debe ser
reemplazado por:
[ 𝑓( 𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)]
2
Sustituyendo (1.2) para 𝐴 𝑛 y 𝐵𝑛 en (1.1) y simplificando, obtenemos:
(1.3) 𝑓( 𝑥) =
1
2𝐿
∗ ∫ 𝑓( 𝜉) 𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
+ ∑
1
𝐿
∞
𝑛=1
∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋(𝜉 − 𝑥)
𝐿
𝐿
−𝐿
𝑑𝜉
A continuación, la demostración de cómo se obtuvo(1.3):
Consideremos una función 𝑓𝐿 periódica de periodo 2𝐿, esto es
𝑓𝐿 : [−𝐿, 𝐿] ⟶ ℝ.
Luego la serie de Fourier de 𝑓𝐿 es:

𝑓𝐿( 𝑥) =
𝐴0
2
+ ∑ (𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝐿
+ 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
Hacemos 𝑆 𝑛 =
𝑛𝜋
𝐿
, luego reemplazando en la serie se tiene:
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
𝐴0
2
+ ∑ ( 𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝑥 + 𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝑥)∞
𝑛=1 (i)
Luego los coeficientes 𝐴 𝑛 y 𝐵𝑛 están dados por:
𝐴0 =
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑑𝜉
−𝐿
𝐿
, 𝐴 𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
y……
𝐵𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉
−𝐿
𝐿
Luego, reemplazando los coeficientes en (i) se tiene:
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
+ ∑ [(
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝑥
∞
𝑛=1
+ (
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
) 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝑥]
Se tiene lo siguiente:
Δ𝑆 𝑛 = 𝑆 𝑛+1 − 𝑆 𝑛 =
𝜋
𝐿
Luego,

𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
𝐿
−𝐿
+ ∑ [
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉 ∗
𝐿
−𝐿
𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝑥
∞
𝑛=1
+
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝜉𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
∗ 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝑥]
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
𝐿
−𝐿
+ ∑ [
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝜉
𝐿
−𝐿
𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝑥𝑑𝜉
∞
𝑛=1
+
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝜉
𝐿
−𝐿
𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝑥𝑑𝜉]
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
𝐿
−𝐿
+ ∑ [
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉)(𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝜉
𝐿
−𝐿
𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝜉𝑠𝑒𝑛𝑆 𝑛 𝑥)𝑑𝜉]
∞
𝑛=1
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
𝐿
−𝐿
+ ∑ [
1
𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉]
∞
𝑛=1
𝑓𝐿 ( 𝑥) =
1
2𝐿
𝐿
−𝐿
+
1
𝜋
∑ [∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉]Δ𝑆 𝑛
∞
𝑛=1 (ii)

La representación (ii) es válida para cualquier L fijo, arbitrariamente
grande pero finito. Si hacemos que 𝐿 ⟶ ∞, consideremos:
𝑙𝑖𝑚
𝐿⟶∞
𝑓𝐿(𝑥) = 𝑓(𝑥); dondelafunciónlimitefesno periódicay estádefinida
en todo ℝ (𝑓: 〈−∞;+∞〉 ⟶ ℝ).
lim
𝐿→∞
𝑓𝐿( 𝑥) = lim
𝐿→∞
1
2𝐿
∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑑𝜉
𝐿
−𝐿
+ lim
𝐿→∞
1
𝜋
∑ [∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
∞
𝑛=1
En (iii), el primer término a la derecha desaparecerá, siempre que la
integral ∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑑𝜉
∞
−∞
exista; que ciertamente si suponemos que 𝑓 es
absolutamenteintegral en el intervalo −∞ < 𝑥 < ∞. Suponemos queeste
es el caso. Entonces, al dejar que 𝐿 → ∞, de (iii) obtenemos:
𝑓(𝑥) = lim
𝐿→∞
1
𝜋
∑ [∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
∞
𝑛=1
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∑ [∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
∞
−∞
∞
𝑛=1 (También es válido este
resultado).
Si 𝐹𝐿( 𝑥, 𝑆) = ∫ 𝑓𝐿( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉
Pensemos en la partición ℝ ≥ 0 dada por: 𝑆0 = 0 < 𝑆1 =
𝜋
𝐿
< ⋯ < 𝑆 𝑛 <
⋯ . La longitud de cada intervalito es
𝜋
𝐿
. Esto sugiere pensar que (iv) es
una suma (infinita) de Riemann de la función 𝐹𝐿: ∑ 𝐹𝐿(𝑆 𝑛)∞
𝑛=1 ∆𝑆 𝑛 .
Apreciamos que la norma de la partición tiende a cero cuando 𝐿 → ∞.
Al tomar el límite, formalmente se podría decir que
𝐹𝐿( 𝑥, 𝑆) = ∫ 𝑓𝐿 ( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆 𝑛(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉
𝐿⟶∞
→ 𝐹( 𝑥, 𝑆) = ∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉
(iii)
(iv)
Sea 𝑆 𝑛 = 𝑆
(iv)’

Junto con la interpretación anterior, tendríamos
1
𝜋
∑ 𝐹𝐿(𝑥, 𝑆)∆𝑆 𝑛
∞
𝑛=1
⟶
1
𝜋
∫ 𝐹( 𝑥, 𝑆) 𝑑𝑆
∞
0
En (v), con respecto a la integral, el intervalo 0 ≤ 𝑆 ≤ ∞.
La suma en la ecuación (iv) nos recuerda la definición de la suma de la
integral definida de la función:
𝐹( 𝑥, 𝑆) = ∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉
𝐿
−𝐿
− 𝑥)𝑑𝜉
Por lo tanto, como 𝐿 ⟶ ∞, de (iv)’
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ [∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
]𝑑𝑆
Entonces
𝑓(𝑥) =
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆 ∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
La expresión (vi) se llama formula de la integral de Fourier para la
función 𝒇. Esta es la representaciónque buscamos para una función no
periódica que se defina para todo 𝑥.
Hay quehacerénfasisenqueel argumentoutilizadoenllegarala formula
(vi) fue puramenteheurístico (es decir que fue inventado o hallado) y no
constituye una prueba.
En el siguiente teorema, mostraremos que bajo las suposiciones hechas
en 𝑓, la función puede ser representada por (vi).
(v)
(vi)

TEOREMA 1.
Sea 𝑓 una función que es suave por tramos(o trozos) y absolutamente
integrable en el intervalo −∞ < 𝑥 < ∞ . Entonces, en cada punto 𝑥 en
(−∞, ∞),
𝑓( 𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0)
2
=
1
𝜋
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
Prueba:
Por la definición de integrales impropias, tenemos:
1
𝜋
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
= lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
𝜆
0
La integral en el lado derecho de la ecuación (viii) es de manera
convergente uniforme con respecto a 𝑆 para 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝜆, ya que
| 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉− 𝑥)| ≤ | 𝑓( 𝜉)|
Y 𝑓 es absolutamente integrable en (−∞, ∞). Por lo tanto, la orden de
integración con respecto a 𝜉 y 𝑆 se puede intercambiar(esto se da por el
teorema de integración de series).
TEOREMA (Integración de series).
Sea las funciones 𝒰 𝑛(𝑥)(𝑛 ≥ 1) continuas sobre el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y
sea las series ∑ 𝒰 𝑛( 𝑥)∞
𝑛=1 convergen uniformemente a 𝑆(𝑥) en ese
intervalo. Si 𝑥1 y 𝑥2 son dos puntos tales que 𝑎 ≤ 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 𝑏, entonces
∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∑ ∫ 𝒰 𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
∞
𝑛=1
Este teorema proporciona condiciones suficientes bajo las cuales una
serie convergente puede ser un término integrado(es decir que se puede
integrar) para obtener la integral de la función limite. Se trata
esencialmente de intercambiar el orden de la integración y la suma.
(vii)
(viii)

Al usar el teorema mencionado anteriormente, obtenemos:
1
𝜋
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
= lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝜉)∫ 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉
𝜆
0
− 𝑥)𝑑𝑆𝑑𝜉
∞
−∞
= lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝜉)
𝑠𝑒𝑛𝜆(𝜉 − 𝑥)
(𝜉− 𝑥)
𝑑𝜉
∞
−∞
Si fijamos 𝑡 = 𝜉 − 𝑥, entonces esto se convierte en
1
𝜋
∞
−∞
− 𝑥)𝑑𝜉
∞
0
= lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝜉)
𝑠𝑒𝑛𝜆𝑡
𝑡
𝑑𝜉
∞
−∞
En el capítulo 1, en el ejemplo 6.3, encontramos que ∫
𝑡
∞
0
=
𝜋
2
. A partir
de esto es fácilmente demostrar que:
∫
𝑡
0
−∞
= ∫
𝑡
∞
0
=
𝜋
2
Por lo tanto, la fórmula de la integral de Fourier (vii) se establece si
podemos demostrar que:
lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∫ [ 𝑓( 𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥 − 0)
0
−∞
]
𝑡
𝑑𝑡 = 0
Y
lim
𝜆⟶∞
1
𝜋
∫ [ 𝑓( 𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥 + 0)
∞
0
]
𝑡
𝑑𝑡 = 0
En vista de (ix) y (x).
𝜆 > 0
(ix)
(x)
(xi)
(xii)

Considerando la integral en (xii), escribimos:
𝐼 =
1
𝜋
∫
𝑓( 𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥 + 0)
𝑡
∞
0
𝑠𝑒𝑛𝜆𝑡𝑑𝑡
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3
Donde:
𝐼1 =
1
𝜋
∫
𝑓( 𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥 + 0)
𝑡
𝑏
0
𝐼2 =
1
𝜋
∫
𝑓(𝑥 + 𝑡)
𝑡
∞
𝑏
𝐼3 =
𝑓(𝑥 + 0)
𝜋
∫
𝑡
∞
𝑏
𝑑𝑡
Con 𝑏 siendo un numero positivo arbitrario. Ya que
[𝑓( 𝑥+𝑡)−𝑓(𝑥+0)
𝑡
es
continua por partes para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 y
𝑓(𝑥+𝑡)
𝑡
es continua por partes y
absolutamente integrable en 𝑏 ≤ 𝑡 < ∞, de ello se deduce los teoremas
Riemann-Lebesgue(en la página 16) .
Cuando 𝜆 → ∞, 𝐼1 e 𝐼2 tienden a cero respectivamente. El cambio de
variable 𝜆𝑡 = 𝑧 transforma 𝐼3 en:
𝐼3 =
𝑓( 𝑥 + 0)
𝜋
∫
𝑠𝑒𝑛𝑧
𝑧
∞
𝜆𝑏
𝑑𝑧
Claramente tiendea cero cuando 𝜆 → ∞. Así,
lim
𝜆→∞
𝐼 = lim
𝜆→∞
(𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3) = 0
Y entonces (xii)está probado. Por el mismo método también podemos
demostrarque el límite en (xi) es cero. Esto completa la prueba del
teorema.

Ejemplo 1.1
Encontrar la fórmula integral de Fourier de la función:
𝑓( 𝑥) = {
1, (| 𝑥| ≤ 1)
0, (| 𝑥| > 1)
Solución:
Está claro que la función aquícumplelas condiciones del teorema7.1. Así,
para −∞ < 𝑥 < ∞, tenemos:
𝑓( 𝑥) = {
1, (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1)
0, (𝑥 > 1 𝑜 𝑥 < −1)
𝑓( 𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)
2
=
1
𝜋
∫ 𝑑𝑠
∞
0
∫ 𝑓(𝜉)cos 𝑆 ( 𝜉 − 𝑥) 𝑑𝜉
∞
−∞
𝑓( 𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)
2
=
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
∫ 𝑓(𝜉) cos 𝑆 ( 𝜉 − 𝑥) 𝑑𝜉
−1
−∞
+
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
1
−1
+
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
∞
1
Al reemplazarlos valores que toma 𝑓(𝜉) en el intervalo −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞, se
obtiene:
𝑓( 𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)
2
=
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
∫ cos 𝑆 ( 𝜉 − 𝑥) 𝑑𝜉
1
−1

Integrando con respecto a 𝜉:
=
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
∫ cos 𝑆 ( 𝜉 − 𝑥) 𝑑𝜉
1
−1
=
1
𝜋
∫ 𝑑𝑆
∞
0
[ 𝑠𝑒𝑛𝑆(𝜉 − 𝑥)] 1
−1
=
1
𝜋
∫
[𝑠𝑒𝑛𝑆(1 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛𝑆(1 + 𝑥)]
𝑆
𝑑𝑆
∞
0
=
1
𝜋
∫
𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑆
𝑆
𝑑𝑆
∞
0
Resulta que:
2
𝜋
∫
𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑆
𝑆
𝑑𝑆
∞
0
= {
1, (| 𝑥| < 1)
1
2
, (| 𝑥| = 1)
0, (| 𝑥| > 1)
En particular, a 𝑥 = 0, tenemos:
∫
𝑠𝑒𝑛𝑆
𝑆
=
𝜋
2
∞
0
El resultado en 𝑥 = 1 se puede verificardirectamente. De hecho, vemos lo
siguiente por (x):
2
𝜋
∫
𝑐𝑜𝑠𝑆𝑠𝑒𝑛𝑆
𝑆
𝑑𝑆
∞
0
=
1
𝜋
∫
𝑠𝑒𝑛2𝑆
𝑆
∞
0
𝑑𝑆 =
1
2

Expandiendo la función 𝑐𝑜𝑠𝑆(𝜉 − 𝑥) en (vi), vemos que la formula
integral de Fourier se puede escribir como:
𝑓( 𝑥) = ∫ [𝐴( 𝑆) 𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥 + 𝐵( 𝑆) 𝑠𝑒𝑛𝑆𝑥]𝑑𝑆
∞
0
Donde:
𝐴( 𝑆) =
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆𝜉𝑑𝜉
∞
−∞
𝐵( 𝑆) =
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆𝜉𝑑𝜉
∞
−∞
En esta forma, (xiii) es análoga a la representación de la serie de Fourier
y (xiv) a las fórmulas para los coeficientes de Fourier.
Es significativo a este respecto teneren cuenta que las funciones 𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥 y
𝑠𝑒𝑛𝑆𝑥 son funcionespropiaslinealmenteindependientes,correspondiente
al valor propio 𝜆 = 𝑆2
, del problema valor propio singular:
𝑢′′
+ 𝜆𝑢 = 0 (−∞ < 𝑥 < ∞)
𝑢 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 | 𝑥| ⟶ ∞
Los valorespropios 𝜆 = 𝑆2
enestecaso ya no son discretos(puedetomar
un numero finito de valores entre dos valores cualesquiera) sino
continuos (puede tomarun número infinito de valores entre dos valores
cualesquiera), y consiste en todos los números reales no negativos. Porlo
tanto, la representación (xiii)es una generalizaciónde la expansión de la
función propia donde la suma con respecto a los valores propios se logra
ahora mediante la integración.
Ahora supongamos que 𝑓 es una función par que cumple las condiciones
del teorema 1 mencionado anteriormente. Ya que 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆𝜉 y 𝑓( 𝜉) 𝑠𝑒𝑛𝑆𝜉
son funciones respectivamentepare e impares de 𝜉, se usan las formulas
(xiv):
𝐴( 𝑆) =
1
𝜋
∞
−∞
=
2
𝜋
∞
0
(xiii)
(xiv)

𝐵( 𝑆) =
1
𝜋
∞
−∞
= 0
Así que (xiii) se reduce a:
𝑓(𝑥) =
2
𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥
∞
0
(∫ 𝑓( 𝜉) 𝑐𝑜𝑠𝑆𝜉𝑑𝜉
∞
0
)𝑑𝑆
Esto es llamado la formula integral del coseno de Fourier.
En caso de que 𝑓 se defina solo en el intervalo 0 ≤ 𝑥 < ∞, (xv) extiende 𝑓
para todo 𝑥 como una función par.
Similarmente, si 𝑓 es una función impar, entonces de (xiv) tenemos:
𝐴( 𝑆) = 0, 𝐵( 𝑆) =
2
𝜋
∞
0
Así que (xiii) se reduce a la formula integral del seno de Fourier:
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑆𝑥 (∫ 𝑓(𝜉)𝑠𝑒𝑛𝑠𝜉𝑑𝜉
∞
0
) 𝑑𝑆
∞
0
Esto se extiende en 𝑓 para todo 𝑥 como una función impar cuando 𝑓 se
define solo para 𝑥 ≥ 0.
Vamos a establecer estos resultados en el siguiente teorema.
TEOREMA 2.
Sea 𝑓 una función suave por tramos y absolutamente integrable en0 ≤
𝑥 < ∞. Entonces 𝑓 puede ser representado por la formula integral del
coseno de Fourier (xv) en 0 ≤ 𝑥 < ∞, o por la formula integral del seno
de Fourier(xvi) en0 < 𝑥 < ∞. Cada unade las integralesconvergea 𝑓(𝑥)
en todos los puntos donde 𝑓 es continuo y
[ 𝑓( 𝑥−0)+𝑓( 𝑥+0)]
2
en todos los
puntos donde 𝑓 es discontinuo.
(xv)
(xvi)

Observe que la integral del coseno de Fourier necesariamente convergea
𝑓(0+
) en 𝑥 = 0 y la integral del seno converge a cero en 𝑥 = 0.
Como en el caso de (xiii), vale la pena señalarque (xv)es una expansión
d la función propia generalizadaen términos de las funciones propias de
𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥 del problema valorpropio singularcon valores propios 𝜆 = 𝑆2
> 0:
𝑢′′
+ 𝜆𝑢 = 0 (0 ≤ 𝑥 < ∞)
𝑢(0) = 0 , 𝑢 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ⟶ ∞
Ejemplo 2.1
Encontrar la fórmula integral del coseno de Fourier para la función:
𝑓( 𝑥) = {
𝑠𝑒𝑛𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)
0 (𝑥 > 0)
Solución.
Tengaencuentaquelafunciónaquíescontinuaparatodo 𝑥 ≥ 0.Por (xv)
tenemos:
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∞
0
𝜋
0
) 𝑑𝑆
+
2
𝜋
∞
0
∞
𝜋
)𝑑𝑆
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∞
0
𝜋
0
) 𝑑𝑆
La integral interna con respecto a 𝜉.
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜉𝑐𝑜𝑠𝑆𝜉𝑑𝜉
𝜋
0
=
1
2
∫ [𝑠𝑒𝑛(1 + 𝑆) 𝜉 + 𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑆)𝜉]𝑑𝜉
𝜋
0
=
−1
2
[
cos(1 + 𝑆) 𝜉
1 + 𝑆
+
cos(1 − 𝑆)𝜉
1 − 𝑆
]
𝜋
0

=
1
2
[
1 − cos(1 + 𝑆)𝜋
1 + 𝑆
+
1 − cos(1 − 𝑆)𝜋
1 − 𝑆
]
=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑆𝜋
1 − 𝑆2
Por lo tanto, la formula integral del coseno de Fourieres:
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∫
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑆𝜋
1 − 𝑆2
𝑐𝑜𝑠𝑆𝑥𝑑𝑥
∞
0
= {
𝑠𝑒𝑛𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)
0 (𝑥 > 𝜋)
La integral converge para todo 𝑥 a la extensión parde la función (se
muestra en la siguiente imagen).
𝒙
f(x)
-
Extensión par de 𝑓(𝑥)

Ejemplo 2.2
Encontrarla fórmula integral de seno de Fourier para la función dada en
el ejemplo 2.1.
Solución.
Por (xvi) tenemos:
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑆𝑥(∫ 𝑠𝑒𝑛𝜉𝑠𝑒𝑛𝑆𝜉𝑑𝜉
∞
0
)𝑑𝑆
∞
0
Ya que:
∫ 𝑠𝑒𝑛𝜉𝑠𝑒𝑛𝑆𝜉𝑑𝜉
𝜋
0
=
1
2
∫ [cos(1 − 𝑆) 𝜉 − cos(1 + 𝑆)𝜉]𝑑𝜉
𝜋
0
=
1
2
[
𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑆)𝜉
1 − 𝑆
−
𝑠𝑒𝑛(1 + 𝑆)𝜉
1 + 𝑆
]
𝜋
0
=
1
2
[
𝑠𝑒𝑛(1 − 𝑆)𝜋
1 − 𝑆
−
𝑠𝑒𝑛(1 + 𝑆)𝜋
1 + 𝑆
]
=
1
2
[
𝑠𝑒𝑛𝑆𝜋
1 − 𝑆
−
1 + 𝑆
]
=
1 − 𝑆2
La fórmula integral seno de Fourier es:
𝑓( 𝑥) =
2
𝜋
∫
𝑠𝑒𝑛𝑆𝜋 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑆𝑥
1 − 𝑆2
𝜋
0
𝑑𝑆 = {
𝑠𝑒𝑛𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)
0 (𝑥 > 𝜋)
Aquí, la integral converge a la función para todo 𝑥(−∞ < 𝑥 < ∞), ya que
la función es impar para todo x (se observa en la siguiente imagen).

Se comentara sobre un teorema más:
TEOREMA3.
Si 𝑓 es una funcion continua por tramos en todo intervalo acotado y
admite derivadas laterales en cada punto 𝑥 de su dominio y además 𝑓 es
absolutamente integrable en ℝ, entonces 𝑓 puede representarse por una
integral de Fourier.
TENER EN CUENTA.
Para resolver ejercicios relacionados al tema, se debe verificar que f sea
continua portramos (en caso que f sea una función portramos), luego de
ello, se verá si 𝑓 es absolutamente integrable, luego de esto; 𝑓 admite la
integral de Fourier.
x
f(x)
Extensión impar de f(x)
e
-

BIBLIOGRAFIA.
 Eutiquio C. Young – Partial Differential Equations
 Nota de apuntesEcuacionesDiferenciales Parciales - EAP Ingeniería
Mecánica de Fluidos
 Tom Apostol – Calculus
 M. Del C. Calvo – Transformada de Fourier
WEBGRAFIA
https://www.youtube.com/watch?v=JR_6I9bvEIs

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