Analisis de Sistemas para ingenieros electricos

1. UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
ANALISIS DE SISTEMAS PARA INGENIERÍA ELÉCTRICA.
Paul Terrazas L.
19 de marzo de 2021
Resumen
Análisis de sistemas es un lenguaje matemátco que ayuda a proponer sistemas análogos mecánicos
a eléctricos para obtener un resultado de acorde a un valor aproximado a la realidad. Se plantean
dibujos y ejercicios que están desarrollados en base a diferentes niveles de aprendisaje.

2. 2
Índice
1. Acerca del texto 3
2. Analogı́as mecánicas a voltaje y corriente 4
3. Circuitos análogos mecánicos de voltaje-corriente 4
3.0.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.0.2. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Marco teórico Torque-Voltaje 5
5. Analogı́a Torque-Voltaje 6
5.1. Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.1.2. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.2. METODO DE LA ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.4. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.5. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.6. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.6.1. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.7. Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.7.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.8. Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.8.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6. Desarrollo por medio de la Energı́a 11
6.1. Ecuación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2. Ecuaciones cinéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.3. Coordenadas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.4. Función de disipación de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.5. Ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.6. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.7. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.8. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.9. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.9.1. Desarrollo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.9.3. Analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7. Analogı́a caudal corriente. 15
7.0.1. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.0.2. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

3. 1 Acerca del texto 3
1. Acerca del texto
Este texto representa el resumen de una serie de apuntes de ingenierı́a con
la finalidad de unificar los diferentes ramos de la carrera en un solo texto. Se
estudiará Análisis de Sistemas mecánicos para poder estudiarlos con sistemas
eléctricos con de circuitos eléctricos.
No contiene palabras ya que esta explicada en el canal de youtube por lo tanto se simplifica el resumen
de ejercicios.
WEB
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

4. 3 Circuitos análogos mecánicos de voltaje-corriente 4
2. Analogı́as mecánicas a voltaje y corriente
3. Circuitos análogos mecánicos de voltaje-corriente
3.0.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V.
[1] −F1
F1
F1 = m1ẍ1+B1ẋ1+k1x1+k2(x1−x2) [3] −V
−V
−V 1 = L1
di1
dt +R1i1+
1
C1
R
i1dt+
1
C2
R
(i1−i2)dt
[2] F2 = m2ẍ2 + B2ẋ2 + k2(x2 − x1) [4] V2 = L2
di2
dt + R2i2 +
1
C2
R
(i2 − i1)dt
3.0.2. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-I.
[1] −F1
F1
F1 = m1ẍ1+B1ẋ1+k1x1+k2(x1−x2) [5] −i
−i
−i1 = C1
dV1
dt +G1V1+
1
L1
R
V1dt+
1
L2
R
(V1−V2)dt
[2] F2 = m2ẍ2 + B2ẋ2 + k2(x2 − x1) [6] i2 = C2
dV2
dt + G2V2 +
1
L2
R
(V2 − V1)dt
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

5. 4 Marco teórico Torque-Voltaje 5
4. Marco teórico Torque-Voltaje
Dispositivos de Acoplamiento Mecánico Los dispositivos de acoplamiento mecánico son elementos que
permiten unir partes de sistemas mecánicos de los tipos básicos ya vistos, sean éstos del tipo trasla-
cional o rotatorios (es decir: elementos inerciales o masas, elementos elásticos y elementos disipativos
o amortiguadores). Estos elementos de acoplamiento permiten cambiar velocidades, fuerzas o torques y
direcciones de los movimientos entre las distintas partes de un sistema. En general, cuando se consideran
ideales los dispositivos de acoplamiento mecánico, ellos no introducen pérdidas de energı́a en el sistema
(lo que equivale a decir que no hay fuerzas disipativas por roce o fricción). También en un caso próximo
al ideal, se pueden despreciar sus inercias (lineales o rotacionales) y sus partes constituyentes se pueden
suponer no deformables, es decir, se pueden considerar perfectamente rı́gidas. Todas estas consideraciones
son teóricas en un sentido estricto, ya que es imposible conseguir en forma total la eliminación de estos
efectos en un aparato real. Sin embargo es fácil establecer un modelo de un sistema de acoplamiento real,
agregando al modelo ideal elementos de inerciales, disipativos y elásticos que incluyan estas caracterı́sticas
inevitables. Los tipos más conocidos son: palancas, engranajes, conjuntos de poleas y correas, piñones y
cadenas, combinaciones de cremalleras con engranajes y tornillos sin fin. A continuación analizaremos los
aspectos de cada tipo, necesarios para establecer un modelo matemático y la respectiva representacion
eléctrica análoga. Existen otras formas especiales de acoplamiento, por ejemplo las combinaciones de
bielas y cigüenal, o levas y otras diversas, que por su geometrı́a presentan no linealidades por lo que no
se analizarán.
a)Palancas.
Palancas.
Palancas. Constituyen el caso más simple, sea el tipo de la figura siguiente:
Las diversas variables mecánicas se rigen por las leyes de la estática. En particular, las fuerzas en
ambos extremos están relacionadas según las longitudes de los brazos por:
F1r1 = F2r2 →
F1
F2
=
r2
r1
Por la conservación de la energı́a, el trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza F1 al desplazar
hacia abajo el extremo derecho de la palanca una distancia x1 debe ser igual al trabajo realizado por
unidad de tiempo por la fuerza F2 al desplazar hacia arriba el extremo izquierdo de la palanca una
distancia x2 , esto es:
p1 = p2 →
F1x1
t
=
F2x2
t
→
x1
x2
=
F2
F1
→
x1
x2
=
r1
r2
finalmente se obtiene:
x1r2 = x2r1 →
dx1
dt
r2 =
dx2
dt
r1 → u1r2 = u2r1 →
u1
u2
=
r1
r2
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

6. 5 Analogı́a Torque-Voltaje 6
5. Analogı́a Torque-Voltaje
5.1. Ejemplo 1.
5.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a.
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13
τ13
τ13 [5] V = L1
di1
dt +
1
C1
R
(i1 − i2)dt + V13
V13
V13
[2] 0 = J2θ̈2 +B2θ̇2 +k1(θ2 −θ1)+τ24
τ24
τ24 [6] 0 = L2
di2
dt +R2i2 +
1
C1
R
(i2 −i1)dt+V24
V24
V24
[3] τ31
τ31
τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31
V31
V31 = L3
di3
dt + R1i3
[4] τ42
τ42
τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42
V42
V42 = L4
di4
dt + R3i4 +
1
C2
R
i4dt
5.1.2. Circuito equivalente.
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

7. 5 Analogı́a Torque-Voltaje 7
5.2. METODO DE LA ENERGÍA
5.3. Ecuaciones de energı́a.
Energı́a cinética T = 1
2 J1θ̇2
1 + 1
2 J2θ̇2
2 + 1
2 J3θ̇2
3 + 1
2 J4θ̇2
4
Energı́a Potencial U = 1
2 k1(θ1 − θ2)2
+ 1
2 k2θ2
4
Energı́a Disipativa D = 1
2 B2θ̇2
2 + 1
2 B1θ̇2
3 + 1
2 B3θ̇2
4
5.4. Ecuación de transformador.
Como existe un transformador se debe considerar la relación:
θ3
θ1
=
1
a
→ θ3 =
1
a
θ1
θ4
θ2
=
1
b
→ θ4 =
1
b
θ2
Energı́a cinética T = 1
2 J1θ̇2
1 + 1
2 J2θ̇2
2 + 1
2 J3[ 1
a2 θ̇2
1] + 1
2 J4[ 1
b2 θ̇2
2]
Energı́a Potencial U = 1
2 k1(θ1 − θ2)2
+ 1
2 k2[ 1
b2 θ2]2
Energı́a Disipativa D = 1
2 B2θ̇2
2 + 1
2 B1[ 1
a2 θ̇2
1] + 1
2 B3[ 1
b2 θ̇2
2]
5.5. Ecuación del Lagrangiano.
L = T − U (1)
L = 1
2 J1θ̇2
1 + 1
2 J2θ̇2
2 + 1
2 J3[ 1
a2 θ̇2
1] + 1
2 J4[ 1
b2 θ̇2
2] − [1
2 k1(θ1 − θ2)2
+ 1
2 k2[ 1
b2 θ2]2
]
L = 1
2 J1θ̇2
1 + 1
2 J2θ̇2
2 + 1
2 J3[ 1
a2 θ̇2
1] + 1
2 J4[ 1
b2 θ̇2
2] − 1
2 k1(θ1 − θ2)2
− 1
2 k2[ 1
b2 θ2]2
∂L
∂θ̇1
= J1θ̇1 + J3
1
a2 θ̇1
∂
dt ( ∂L
∂θ̇1
) = J1θ̈1 + J3
1
a2 θ̈1
∂L
∂θ̇2
= J2θ̇2 + J4
1
b2 θ̇2
∂
dt ( ∂L
∂θ̇2
) = J2θ̈2 + J4
1
b2 θ̈2
∂L
∂θ1
= −k1(θ1 − θ2) ∂D
∂θ̇1
= B1[ 1
a2 θ̇1]
∂L
∂θ2
= k1(θ1 − θ2) − k2[ 1
b2 θ2] ∂D
∂θ̇2
= B2θ̇2 + B3[ 1
b2 θ̇2]
5.6. Ecuación de Lagrange.
d
dt
(
∂L
∂ẋi
) −
∂L
∂xi
+
∂D
∂ẋi
= Qi i = 1, 2. (2)
n=1,Q2 = 1
[1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1
a2 θ̈1] − [−k1(θ1 − θ2)] + B1[ 1
a2 θ̇1]
[1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1
a2 θ̈1] + k1(θ1 − θ2) + B1[ 1
a2 θ̇1]
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1
a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1]
θ1 = aθ3
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1
a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1]
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

8. 5 Analogı́a Torque-Voltaje 8
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1
a2 [J3
¨
aθ3 + B1aθ̇3]
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1
a [J3θ̈3 + B1θ̇3]
[1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13
τ13
τ13
[3] τ13
τ13
τ13 = 1
a [J3θ̈3 + B1θ̇3]
τ31
τ31
τ31 = aτ13
τ13
τ13
[3] τ31
τ31
τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3
n=2, Q2 = 0
d
dt
(
∂L
∂ẋ2
) −
∂L
∂x2
+
∂D
∂ẋ2
= Q2 (3)
[2] 0 = J2θ̈2 + J4[ 1
b2 θ̈2] − k1(θ1 − θ2) − k2[ 1
b2 θ2] + B2θ̇2 + B3[ 1
b2 θ̇2]
[2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 − k2[ 1
b2 θ2] + B3[ 1
b2 θ̇2] + J4[ 1
b2 θ̈2]
[2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1
b2 [k2θ2 + B3θ̇2 + J4θ̈2]
θ2 = bθ4
[2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1
b2 [k2bθ4 + B3bθ̇4 + J4bθ̈4]
[2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1
b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4]
[4] τ24
τ24
τ24 = 1
b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4]
τ42
τ42
τ42 = bτ24
τ24
τ24
[4] τ42
τ42
τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4
5.6.1. Resumen de ecuaciones
[1] τ1 = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13
τ13
τ13 [5] V1 = L1
di1
dt +
1
C1
R
(i1 − i2)dt + V13
V13
V13
[2] 0 = J2θ̈2 + B2θ̇2 + k1(θ2 − θ1) +τ24
τ24
τ24 [6] 0 = L2
di2
dt + R2i2 +
1
C1
R
(i2 − i1)dt +V24
V24
V24
[3] τ31
τ31
τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31
V31
V31 = L3
di3
dt + R1i3
[4] τ42
τ42
τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42
V42
V42 = L4
di4
dt + R3i4 +
1
C2
R
i4dt
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

9. 5 Analogı́a Torque-Voltaje 9
5.7. Ejemplo 2.
5.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a.
[1] τ1 = J1θ̈1 + τ12
τ12
τ12 [8] V1 = L1
di1
dt + V12
V12
V12
[2] τ21
τ21
τ21 = J2θ̈2 + k1(θ2 − θ1) [9] V21
V21
V21 = L2
di2
dt +
1
C1
R
(i2 − i3)dt
[3] 0 = J3θ̈3 + B1(θ̇3 − θ̇4) + k1(θ3 − θ2) + τ36
τ36
τ36 [10] 0 = L3
di3
dt + R1(i3 − i4) +
1
C1
R
(i3 − i2)dt + V36
V36
V36
[4] 0 = J4θ̈4 + B1(θ̇4 − θ̇3) + B2(θ̇4 − θ̇5) [11] 0 = L4
di4
dt + R1(i4 − i3) + R2(i4 − i5)
[5] −τ2
−τ2
−τ2 = J5θ̈5 + +B2(θ̇5 − θ̇4) [12] −V2
−V2
−V2 = L5
di5
dt + R2(i5 − i4)
[6] τ63
τ63
τ63 = J6θ̈6 + k2(θ6 − θ7) [13] V63
V63
V63 = L6
di6
dt +
1
C2
R
(i6 − i7)dt
[7] 0 = J7θ̈7 + B3
˙
θ7 + k2(θ7 − θ6) [14] 0 = L7
di7
dt + R3i7 +
1
C2
R
(i7 − i6)dt
5.7.2. Circuito equivalente
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

10. 5 Analogı́a Torque-Voltaje 10
5.8. Ejemplo 3.
5.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V.
[1] F
F
F = m1ẍ1 + B1ẋ1 + k1(x1 − x2) [5] V
V
V = L1
di1
dt + R1i1 +
1
C1
R
(i1 − i2)dt
[2] 0 = m2ẍ2 +B2ẋ2 +k1(x2 −x1)+k2x2 +F1
F1
F1 [6] 0 = L2
di2
dt +R2i2 +
1
C1
R
(i2 −i1)dt+
1
C2
R
i2dt+V1
V1
V1
[3] τ
τ
τ = J3θ̈3 + B3θ̇3 + k3(θ3 − θ4) [7] Vτ
Vτ
Vτ = L3
di3
dt + R3i3 +
1
C3
R
(i3 − i4)dt
[4] 0 = J4θ̈4 + B4θ̇4 + B5θ̇4 + k3(θ4 − θ3) [8] 0 = L4
di4
dt + R4i4 + R5i4 +
1
C3
R
(i4 − i3)dt
[5] F1
F2
= l2
l1
F2 = l1
l2
F1 τ
τ
τ = F2r τ
τ
τ = l1r
l2
F1 [10] Vτ
Vτ
Vτ = l1r
l2
V1
V1
V1 → V1
Vτ
= l2
l1r
5.8.2. Circuito equivalente
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

11. 6 Desarrollo por medio de la Energı́a 11
6. Desarrollo por medio de la Energı́a
6.1. Ecuación de Lagrange
L = T − U (4)
6.2. Ecuaciones cinéticas
Energı́a cinética
T =
1
2
mẋ2
(5)
Energı́a Potencial
U =
1
2
kx2
(6)
Energı́a Disipativa
D =
1
2
Bẋ2
(7)
6.3. Coordenadas geométricas
qi → xi
d
dt
(
∂L
∂xi
) −
∂L
∂xi
= 0 (8)
6.4. Función de disipación de Rayleigh
La energı́a dicipada en un sistema se define mediante los elementos dicipadores a través de la ecuación:
D =
1
2
(B1δ̇1, B2δ̇2, B3δ̇3, ..., Bnδ̇n) (9)
Por lo tanto la ecuación queda:
d
dt
(
∂L
∂q̇i
) −
∂L
∂qi
+
∂D
∂q̇i
= 0 (10)
Cuando los elementos poseen una exitación de entrada se agrega el término Qi ésimo
d
dt
(
∂L
∂ẋi
) −
∂L
∂xi
+
∂D
∂ẋi
= Qi , i = 1, 2, 3, ..., n (11)
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

12. 6 Desarrollo por medio de la Energı́a 12
6.5. Ejemplo 4.
6.6. Ecuaciones de energı́a.
Energı́a cinética T = 1
2 m1ẋ2
1 + 1
2 m2ẋ2
2 + 1
2 m3ẋ2
3
Energı́a Potencial U = 1
2 k1(x1 − x2)2
+ 1
2 k2x2
2 + 1
2 k3x2
3
Energı́a Disipativa D = 1
2 B1(ẋ1 − ẋ2)2
+ 1
2 B2ẋ2
2 + 1
2 B3ẋ2
3
6.7. Ecuación de transformador.
Como existe un transformador se debe considerar la relación:
x2
x3
=
l1
l2
= a → x3 =
1
a
x2
Energı́a cinética T = 1
2 m1ẋ2
1 + 1
2 m2ẋ2
2 + 1
2 m3(ẋ2
a )2
Energı́a Potencial U = 1
2 k1(x1 − x2)2
+ 1
2 k2x2
2 + 1
2 k3(x2
a )2
Energı́a Disipativa D = 1
2 B1(ẋ1 − ẋ2)2
+ 1
2 B2ẋ2
2 + 1
2 B3(ẋ2
a )2
6.8. Ecuación del Lagrangiano.
L = T − U (12)
L = 1
2 m1ẋ2
1 + 1
2 m2ẋ2
2 + 1
2 m3(ẋ2
a )2
− (1
2 k1(x1 − x2)2
+ 1
2 k2x2
2 + 1
2 k3(x2
a )2
)
L = 1
2 m1ẋ2
1 + 1
2 m2ẋ2
2 + 1
2 m3(ẋ2
a )2
− 1
2 k1(x1 + x2)2
− 1
2 k2x2
2 − 1
2 k3(x2
a )2
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

13. 6 Desarrollo por medio de la Energı́a 13
6.9. Ecuación de Lagrange.
d
dt
(
∂L
∂ẋi
) −
∂L
∂xi
+
∂D
∂ẋi
= Qi i = 1, 2. (13)
∂L
∂ẋ1
= m1ẋ1 → d
dt ( ∂L
∂ẋ1
) = m1ẍ1
∂L
∂ẋ2
= m1ẋ2 + 1
a2 m3ẋ2 → d
dt ( ∂L
∂ẋ2
) = m2ẍ2 + 1
a2 m3ẍ2
∂L
∂x1
= −k1(x1 − x2) ∂L
∂x2
= k1(x1 − x2) − k2x2 − 1
a2 k3x2
∂D
∂ẋ1
= B1(ẋ1 − ẋ2) ∂D
∂ẋ2
= −B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2 B3ẋ2
6.9.1. Desarrollo del sistema.
n=1, Q1 = F
d
dt
(
∂L
∂ẋ1
) −
∂L
∂x1
+
∂D
∂ẋ1
= Q1 (14)
[1] F = m1ẍ1 − [−k1(x1 − x2)] + B1(ẋ1 − ẋ2)
[1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2)
n=2, Q2 = 0
d
dt
(
∂L
∂ẋ2
) −
∂L
∂x2
+
∂D
∂ẋ2
= Q2 (15)
[2] 0 = m2ẍ2 + 1
a2 m3ẍ2 − [k1(x1 − x2) − k2x2 − 1
a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2 B3ẋ2
[2] 0 = m2ẍ2 + 1
a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1
a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2 B3ẋ2
[2] 0 = m2ẍ2 + 1
a2
1
a2
1
a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1
a2
1
a2
1
a2 k3x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2
1
a2
1
a2 B3ẋ2
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + ( 1
a2
1
a2
1
a2 m3ẍ2 + 1
a2
1
a2
1
a2 k3x2 + 1
a2
1
a2
1
a2 B3ẋ2)
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2
1
a2
1
a2 (m3ẍ2 + k3x2 + B3ẋ2)
x2 = ax3
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a2
1
a2
1
a2 (am3ẍ3 + ak3x3 + aB3ẋ3)
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1
a
1
a
1
a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3)
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1
F1
F1
F1
F1
F1 = 1
a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3)
[3] F1 = 1
a F2
F1
F2
= 1
a → F1
F2
= l2
l1
[3] F2 = aF1
[3] F2 = a1
a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3)
[3] F2
F2
F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

14. 6 Desarrollo por medio de la Energı́a 14
6.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange.
[1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2)
[2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1
F1
F1
[3] F2
F2
F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3
6.9.3. Analogı́a F-V.
[4]V =
[5]
[6]
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

15. 7 Analogı́a caudal corriente. 15
7. Analogı́a caudal corriente.
P = IQ̇ V = Ldi
dt
P = Rf Q V = Ri
Q = Cf Ṗ i = C dV
dt
[1] Q1
Q1
Q1 = Cf1ṗ1 + p1−p4
Rf1
+ 1
I1
R
(p1 − p2)dt [6] I1
I1
I1 = C1V̇1 + V1−V4
R1
+
1
L1
R
(V1 − V2)dt
[2] 0 = Cf2ṗ2 + p2−p3
Rf2
+ 1
I1
R
(p2 − p1)dt [7] 0 = C2V̇2 + V2−V3
R2
+
1
L1
R
(V2 − V1)dt
[3] Q2
Q2
Q2 = Cf3ṗ3 + p3−p2
Rf2
+ 1
I2
R
(p3 − p5)dt [8] I2 = C2V̇3 + V2−V3
R2
+
1
L2
R
(V3 − V5)dt
[4] 0 = Cf4ṗ4 + p4
Rf3
+ p4−p1
Rf1
[9] 0 = C4V̇4 + V4
R3
+ V4−V1
R1
[5] 0 = Cf5ṗ5 + p5
Rf4
+ 1
I2
R
(p5 − p3)dt [10] 0 = C5V̇5 + V5
R4
+
1
L2
R
(V5 − V3)dt
7.0.1. Circuito equivalente
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA

16. 7 Analogı́a caudal corriente. 16
7.0.2. Circuito equivalente.
Ganancia:
P1 = G1G2G3G4G5G6
P2 = G1G2G3G7
Lazo de a 1:
L1 = G2H1, L2 = G5H2, L3 = G8H3 L4 = G2G3G4G5G6G8H4H5
L5 = G2G3G7G8H4H5
Lazo de 2 en 2:
L1L2 = G2G5
H1H3
, L1L3 = G2G3
H1H3
, L2L3 = G5G8
H2H3
Lazo de 3 en 3:
L1L2L3 = G2G5G8
H1H2H3
∆ = 1 − (G2H1 + G5H2 + G8H3 + G2G3G4G5G6G8H4H5) + G2G3G7G8H4H5+
G2G5
H1H2
+ G2G3
H1H3
+ G5G8
H2H3
) − G2G5G8
H1H2H3
∆1 = 1 − G8
H3
, ∆2 = 1 − (G5
H2
+ G8
H3
) + ( G5G8
H2H3
)
T =
P
Pi∆i
1 − ∆
(16)
Análisis de Sistemas y Control Automático PTRRZA