Transformada de laplace juan sacerdoti

Transformada de Laplace
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenier´ıa
Departamento de Matem´atica
Universidad de Buenos Aires
2005
V 1.001
1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´on de este documento.

Índice
1. Introducción 1
1.1. ¿Qué es una transformada? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. La aplicación de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones 2
3. Función de Heaviside 3
4. Definición de T.L. 4
4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2. Notación de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.3. Relación entre T.L. y T.F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5. Condiciones de existencia 5
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4.2. Definición de función CPOE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Propiedades básicas de la T.L. 18
6.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2. Transformada de la derivada de f½. Derivación en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7. Aplicación de la T.L. a la resolución de sistemas y ecuaciones diferenciales li-
neales 19
8. Transformadas elementales 23
8.1. Constante-Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.2. Función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.3. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.4. Cos, Sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.5. Cosh, Senh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.6. Tabla de transformadas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9. Propiedades de la T.L. Segunda parte 25
9.1. Integración en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9.2. Derivación en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9.3. Integración en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.4. Desplazamiento en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.5. Desplazamiento en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.6. Cambio de t k t. Cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.7. Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.8. Transformada de funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.9. Propiedades de la Transformada de Laplace. Tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10.Propiedades de la T.L. Tercera parte 35
10.1. Primer teorema del orden de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2. Segundo teorema del orden de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.3. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.4. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.5. Propiedades del producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I

11.Fórmula de reciprocidad de la T.L 38
11.1. Teorema de reciprocidad de la T.L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11.2. Inversión. Cuando las singularidades de FÔsÕ son puntos singulares aislados . . . . 41
11.3. Fórmula de inversión cuando FÔsÕ tiene puntos de ramificación . . . . . . . . . . . 45
11.4. Teorema de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.5. Ejercicios de antitransformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.Transformada de Laplace de Funciones Especiales 53
12.1. Función at
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.2. Función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12.3. Funciones de Bessel J0ÔtÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12.4. Funciones de Bessel JnÔtÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
12.5. Relaciones entre sen y Jn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
12.6. Funciones de Bessel hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12.7. Funciones cos y sen integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
12.8. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales 60
13.1. ED lineales de coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13.2. Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.3. Ecuaciones Integro-Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
14.Aplicaciones 66
14.1. Resolución del modelo EDL con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.1.1. Ecuación general en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.2. Repuesta para entrada nula (movimiento libre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14.2.1. Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula . . . . . . . . . . . . . . 70
14.2.2. Sistemas de entrada nula no amortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
14.2.3. Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre) . . . . . . . . . . . . . 72
14.3. Respuesta para entrada forzada. iÔtÕ A (constante) . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14.4. Respuesta para el caso general de entrada forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4.1. Respuesta a s1, s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4.2. Respuesta a los polos de IÔsÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II

1. Introducción
1.1. ¿Qué es una transformada?
Dados dos espacios E y E½ con sendas leyes de composición interna T y T ½, de manera que confor-
men dos estructuras ÔE T Õ y ÔE½ T ½Õ, se llama transformada a una aplicación biyectiva f : E E½
que establezca un isomorfismo entre las estructuras ÔE T Õ y ÔE½ T ½Õ
Es decir:
a
b
c
T
E
a½
b½
c½
T½
E½
f
Figura 1: Isomorfismo f entre las estructuras ÔE TÕ y ÔE½ T½Õ.
T : E ¢E E
Ôa, bÕ c
T ½ : E½ ¢E½ E½
Ôa½, b½Õ c½
f : E E½ f È biyectiva
a a½
b b½
a T b a½ T ½ b½
Por medio de la transformada se establece, entonces, un comportamiento isomorfo entre las
estructuras ÔE T Õ y ÔE½ T ½Õ; que permite obtener, usando la transformada f como puente, el resul-
tado de la composición interna T conociendo el de T ½, o viceversa.
Por ejemplo, el resultado de T en E es puede obtener:
1o
Transformando
f : a a½
b b½
2o
Componiendo T ½ : Ôa½, b½Õ c½ a½ T ½ b½
3o
Antitransformando f¡1
: c½ c a T b
Por supuesto que el uso de la transformada, ques se basa en la analog´ıa de las estructuras
isomorfas, se puede justificar solamente si el camino indirecto de: transformación, composición y
antitransformación es más sencillo que el camino directo de la composición T .
Un ejemplo simple de la idea de transformada es el cálculo logar´ıtmico para el producto de dos
número reales positivos.
1

a
b
ab
E R
T ¤R
L a
L b
L a L b
ü
E½ R
T½ R
L
Figura 2: Isomorfismo, mediante L, entre las estructuras ÔR ¤Õ y ÔR Õ.
L : R R½ L È biyectiva
a L a
b L b
a ¤b L a L b
1.2. La aplicación de la Transformada de Laplace
La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicación entre espacios de funciones.
Su aplicación principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
tantes, en ecuaciones algebraicas lineales.
y
EDLÔyÕ
E
Ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes
constantes
Y
EALÔY Õ
E½
Ecuaciones algebraicas
lineales
TL
TL
Figura 3: Transformada de Laplace entre el conjunto de EDL y el de EAL.
Con lo cual se obtiene un método poderoso, por rápido y eficaz, para resolver ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
Además, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no cons-
tantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.
Por todo esto, la T.L. es de gran aplicación en los modelos de la técnica.
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones
La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier
(T.F.), de la cual es un caso particular.
Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un conjun-
to muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones
de existencia son muy restrictivas.
El teorema de la Integral de Fourier, que genera la T.F, es:
2

Teorema 2.1 (Integral de Fourier).
H1Õ f È CPßR
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
H3Õ
ˆ
V¡
f dt È CV
ˆ
V
f dt È CV
¸
»»»»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»»»»¹



T1Õ f¦ÔtÕ 1
2π
ˆ
¡
eiωt
ˆ
¡
fÔτÕ e¡iωτ
dτ dω
T2Õ
°
³³³²
³³³±
FÔωÕ
ˆ
¡
fÔτÕ e¡iωτ
dτ
f¦ÔtÕ 1
2π
ˆ
¡
FÔωÕ eiωt
dω
Donde se pueden observar las expresiones de la transformada de Fourier y su antitransformada.
La hipótesis H3 es la que trae las restricciones es la aplicación de la T.F, pues la exigencia de
la convergencia absoluta de f en un V y en un V¡ es muy restrictiva, tanto que funciones
fundamentales para el análisis como:
t, senÔtÕ, et
no las satisfacen.
Esto lleva la definición de la T.L.
3. Función de Heaviside
La función de Heaviside, necesaria para la T.L, se define como:
H : R¡Ø0Ù R
t
1 t 0
0 t 0
y es llamada también función escalón o salto unitario.
t
fÔtÕ
Õ
Ô 0
Figura 4: Función de Heaviside.
Observación 1: La función de Heaviside no se ha definido en t 0, pues ello no tiene importancia.
Se puede, sin embargo, definir como algunos autores H : 0 1
2 . También es de uso común la
función escalón desplazada HÔt ¡aÕ.
3

t
fÔtÕ
Õ
Ô a
Figura 5: Función de Heaviside desplazada.
4. Definición de T.L.
4.1. Definición
La transformada de Laplace es:
TL : E E½
fÔtÕ FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
e¡iyt
dt
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt : s x iy
La transformada de Laplace es entonces una aplicación del espacio E de funciones reales, sobre
el espacio E½ de funciones complejas; donde fÔtÕ se llama función original y FÔsÕ se llama función
transformada. A e¡s t
se la denomina núcleo de la transformación.
Observación 1: La T.L. también se extiende como aplicación de espacios complejos sobre espacios
complejos.
Observación 2: En la mayor´ıa de los libros se define:
FÔsÕ
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
Efectivamente, si se toma la definición original se llega a este resultado:
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o
expresión
´
0
fÔtÕ e¡s t
dt,
se obtienen resultados incorrectos.
CORRECTO
HÔt ¡aÕfÔt ¡aÕ
ˆ
¡
HÔt ¡aÕfÔt ¡aÕ e¡s t
dt
ˆ
a
fÔt ¡aÕ e¡s t
dt
INCORRECTO (para a 0)
ˆ
0
dt
a 0
ˆ
a
fÔt ¡aÕ e¡s t
dt
a 0
ˆ
0
fÔt ¡aÕ e¡s t
dt
4

4.2. Notación de la T.L.
Los s´ımbolos que se emplean para representar a la T.L. son:
fÔtÕ FÔsÕ
donde siempre la función se representa en t con minúscula y en s con la misma letra mayúscula.
Otra notación usual es también:
L ØfÔtÕÙ FÔsÕ
que es menos práctica que la anterior.
4.3. Relación entre T.L. y T.F.
La T.L. de una función fÔtÕ
fÔtÕ FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
e¡iyt
dt : s x iy
no es más que la T.F. de otra función gÔtÕ HÔtÕfÔtÕ e¡xt
gÔtÕ HÔtÕfÔtÕ e¡xt T F
GÔyÕ
ˆ
¡
gÔtÕ e¡iyt
dt
es decir:
fÔtÕ FÔsÕ GÔyÕ T F
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
Se puede observar claramente que la T.L. es una T.F. en la cual el problema de CV planteado
por la H3 del teorema 2.1:
H3Õ
ˆ
V¡
g dx È CV
ˆ
V
g dx È CV
se enfrenta en V¡ y en V de la siguiente manera:
1o
En V¡ se multiplica fÔtÕ por HÔtÕ, que en este vecinal es nula y por lo tanto asegura la
convergencia absoluta de gÔtÕ.
ˆ
V¡
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
e¡iyt
dt
ˆ
V¡
0 dx 0
ˆ
V¡
g dx È CV
2o
En V se multiplica fÔtÕ por e¡xt
, que no asegura la convergencia absoluta, pero que la
ayuda notablemente.
La existencia de la T.L. se reduce entonces al estudio de la CV en un V .
5. Condiciones de existencia
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas
Hay varios teoremas que estudian la existencia de la T.L:
Teorema 5.1.
H1Õ f È CP
H2Õ x È V fÔtÕ M
H3Õ x 0
¸
»º
»¹
T1Õ F È CV
T2Õ F È CA
5

Demostración.
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡st
dt
§
§
§
§
Ð Ò
ˆ
0
fÔtÕ
§
§e¡st
§
§ dt
Ð Ò
M
ˆ
0
e¡xt
dt
x 0 M
x
1 2
1
M
x
F È CV
2
M
x
F È CA
El análisis de los valores de s para los cuales se
asegura como condición suficiente la CV y CA de
la T.L es, entonces, x 0.
y
x
p
F È CV
F È CA
0
Con una variante de la H3 del teorema anterior, haciendo x x0 0 también se asegura la
CU.
Teorema 5.2.
H1Õ f È CP
H2Õ x È V fÔtÕ M
H3Õ x x0 0
¸
»º
»¹
°
³²
³±
T1Õ F È CV
T2Õ F È CA
T3Õ F È CU
Demostración. Análogamente al T1 anterior
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡st
dt
§
§
§
§
Ð Ò
ˆ
0
fÔtÕ
§
§e¡st
§
§ dt
Ð Ò
M
ˆ
0
e¡xt
dt
x 0 M
x
1 2
donde la cota M
x0
es independiente del x y por lo tanto asegura la CU.
1
M
x
F È CV
2
M
x
F È CA
1
M
x0
F È CU
Es decir, si analizamos el campo de los valores de
s donde se aseguran las tesis, es el representado
en la figura.
y
x
s
F È CV
F È CA
F È CU
0 x0
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV
Un tercer teorema, relativo a la CA de la T.L. es:
Teorema 5.3. La CA en un valor s0 x0 iy0 es condición suficiente de CV, CA y CU para:
s : s x iy : x x0.
H1Õ F È CAßs0
H2Õ x x0
·
°
³²
³±
T1Õ F È CVßs
T2Õ F È CAßs
T3Õ F È CUßs
6

Demostración.
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡st
dt
§
§
§
§
Ð Ò
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
dt
Ð Ò
ˆ
0
fÔtÕ e¡x0t
dt
Ð Ò
x 0 M
x
1 2 3
3 È CV por H1
1 3 F È CUßs F È CVßs
2 3 F È CAßs
El campo de los valores de s donde se aseguran
las tesis, se representa en la figura.
y
x
s
F È CV
F È CA
F È CU
0 x0
s0
Analizando el TCR del teorema 5.3 se tiene un resultado importante para el estudio del campo
de CA de la T.L.
Corolario 5.3.1 (TCR).
T2Õ F Ê CAßs0
H2Õ x x0
·
H1Õ F Ê CAßs0
Cambiando la notación:
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresión del TCR:
Corolario 5.3.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia absoluta en un valor s1 x1 i y1
es condición suficiente de no convergencia absoluta para: s : s x iy : x x1.
T2Õ F Ê CAßs1
H2Õ x1 x
·
H1Õ F Ê CAßs
y
x
s
F Ê CA
0 x1
s1
Figura 6: Región de no convergencia absoluta, según el corolario 5.3.2.
Combinando los resultados del T3 y del TCRßT3, tenemos que existe un semiplano a la derecha
de x0 (x x0) donde existe la CA, y un semiplano a la izquierda de x1 (x x1) donde no existe
la CA.
7

y
x
s
F È CA
x0
s0
x1
s1
F Ê CA
Figura 7: Regiones de CA, no CA y franja intermedia.
Pero eligiendo un punto xint intermedio entre x1 y x0, es decir:
xint È Ôx1, x0Õ
por el principio del tercero excluido, se cumple que:
1o
. F È CAßxint
o
2o
. F Ê CAßxint
con lo cual, en el 1o
caso, por T3:
F È CAßxint
x xint
·
F È CAßs
se extiende la CA
s : x xint
x
s
F È CA
xint x0x1
F Ê CA F È CA
Figura 8: Region de CA para x xint.
Si se cumpliera el 2o
caso, por TCR T3
F Ê CAßxint
x xint
·
F È CAßs
se extiende la no CA
s : x xint
entonces, de una forma u otra, se reduce la franja intermedia donde est´a indeﬁnida la CA.
8

x
s
F È CA
xint x0x1
F Ê CA F Ê CA
Figura 9: Region de no CA para x xint.
Reproduciendo este procedimiento n veces y llamando:
Con sub´ındice par los sucesivos xint : F È CAßxint.
Con sub´ındice impar los sucesivos xint : F Ê CAßxint.
x
CACA
x1 x3 x5 x7 x4 x2 x0
Figura 10: Sucesión ØxnÙn 0 : x1 xn x0
se pueden formar dos sucesiones tal que:
x1 x0
x3 x2
x5 x4
...
...
x2n 1 x2n
α1 α0
1o
La primera sucesión Øx0, x2, . . . , x2n, . . . Ù es monótona no creciente y acotada inferiormente por
x1 entonces, por el teorema de Weierstrass al efecto, tiene l´ımite para n , que coincide
con su extremo inferior α0.
2o
La segunda sucesión Øx1, x3, . . . , x2n 1, . . . Ù es monótona no decreciente y acotada superior-
mente por x0 entonces, por el mismo teorema, tiene l´ımite para n , que coincide con su
extremo superior α1.
Además α1 α0
3o
Por otra parte, por el procedimiento de elección del xint, se puede asegurar que:
ǫ 0 n0 : n n0 x2n ¡x2n 1 ǫ
de donde resulta que:
α1 α0 α
9

que se llama abscisa de convergencia absoluta de la T.L. y que tiene la propiedad que:
x α F È CAßx
x α F Ê CAßx
s
x
α
F È CAF Ê CA
Figura 11: Abscisa de CA, x α.
Sobre la misma abscisa de CA (s α) no pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a
la CA.
Hay T.L. que convergen en x α y otras que no.
Resumiendo, el campo de CA de la T.L. es un semiplano a la derecha de α.
Observación 1: Nótese la analog´ıa con los c´ırculos de CA de la serie de Taylor, y lo que sucede en
la frontera de los mismos.
Observación 2: Pueden presentarse lo siguientes casos particulares de α:
1o
α ¡ , entonces F È CA para todo el plano s.
2o
α , entonces F Ê CA sobre ningún punto de s y la función original no es transfor-
mable por T.L.
El siguiente teorema muestra la forma de encontrar la abscisa de CV.
Teorema 5.4.
L fÔtÕ
t t λ λ α
Demostración. Por hipótesis
ǫ 0 t0 : t t0
§
§
§
§
L fÔtÕ
t
¡λ
§
§
§
§ ǫ
Resulta entonces:
Ôλ ¡ǫÕt L fÔtÕ Ôλ ǫÕt
eÔλ¡ǫÕt
fÔtÕ eÔλ ǫÕt
Aplicando estas desigualdades sobre la integral que da la CA de la T.L:
´
0 fÔtÕ e¡xt
dt, resulta:
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
dt
ˆ
0
eÔλ ǫÕt
e¡xt
dt
Ð Ò
x λ ǫ λ
x ¡Ôλ ǫÕ
1
donde x λ ǫ es la condición de CV de la integral 1 .
10

Además resulta:
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
dt
ˆ
0
eÔλ¡ǫÕt
e¡xt
dt
Ð Ò
x λ¡ǫ

2
donde x λ ǫ es la condición de no CV de la
integral 2 .
Por lo tanto:
ǫ 0 x λ ǫ FÔsÕ È CAßx
x λ ¡ǫ FÔsÕ Ê CAßx
resultando entonces por definición λ α, abscisa
de CA.
s
x
λ
F È CAF Ê CA
λ ǫλ ¡ǫ
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV
Un cuarto teorema de convergencia, parecido al 5.3, pero que se refiere a la convergencia simple
de la T.L. es:
Teorema 5.5. La convergencia simple en un valor s0 x0 iy0 es condición suficiente de CV
para: s : s x iy : x x0.
H1Õ F È CVßs0
H2Õ x x0
·
TÕ F È CVßs
Observación: Nótese que la diferencia con el teo-
rema 5.3 consiste en que en H1 se postula F È
CVßs0 y no F È CAßs0, y que en H2 se postula
x x0 y no x x0.
y
x
s
F È CV
0 x0
s0
Demostración.
FÔsÕ
ˆ
0
fÔtÕ e¡st
dt
ˆ
0
fÔtÕ e¡s0t
e¡Ôs¡s0Õt
dt
Llamando:
ϕ½ÔtÕ fÔtÕ e¡s0 t
Resulta:
ϕÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕ e¡s0τ
dτ
ϕÔtÕ t FÔs0Õ
que es convergente por H1, es decir, es finito.
11

Reemplazando ϕ½ÔtÕ en la expresión anterior:
FÔsÕ
ˆ
0
ϕ½ÔtÕ e¡Ôs¡s0Õt
dt
Integrando por partes resulta:
FÔsÕ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0Õt
Ôs ¡s0Õ
ˆ
0
ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0Õt
dt
La parte integrada vale cero, pues:



ϕÔtÕ t FÔs0Õ : FÔs0Õ M por H1
e¡Ôs¡s0Õt
e¡Ôx¡x0Õt
t 0
Entonces:
ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0Õt 0
t
Además:
ϕÔ0Õ
ˆ 0
0
fÔτÕ e¡s0τ
dτ 0
Queda entonces:
FÔsÕ Ôs ¡s0Õ
ˆ
0
ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0Õt
dt
FÔsÕ s ¡s0
ˆ
0
ϕÔtÕ e¡Ôx¡x0Õt
dt s ¡s0 M
1
x ¡x0
De donde resulta la tesis.
Si analizamos el TCR de T4 se tiene:
Corolario 5.5.1 (TCR).
TÕ F Ê CVßs
H2Õ x x0
·
H1Õ F Ê CVßs0
Cambiando la notación:
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresión del TCR del teorema 5.5:
Corolario 5.5.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia simple en un valor s1 x1 iy1
es condición suficiente de no convergencia simple s : s x iy : x x1.
TÕ F Ê CVßs1
H2Õ x1 x
·
H1Õ F Ê CVßs
12

y
x
s
F Ê CV
0 x1
s1
Figura 12: Región de no convergencia simple, según el corolario 5.5.2.
Combinando los resultados del teorema 5.5 y del corolario 5.5.2 en forma análoga a lo realizado
para la CA, tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x x0) donde existe CV; y un
semiplano a la izquierda de x1 (x x1) donde no existe CV.
Queda una franja intermedia x1 x x0 donde está indefinida la CV.
y
x
s
F È CV
x0
s0
x1
s1
F Ê CV
Figura 13: Regiones de CV, no CV y franja intermedia.
A partir de aqu´ı, se puede repetir todo el razonamiento realizado en el párrafo anterior para
definir la abscisa α de CA, estableciéndose entonces la existencia de una abscisa β de convergencia
simple.
s
x
β
F È CVF Ê CV
Figura 14: Abscisa de CV, x β.
Además, sobre la misma abscisa de CV (x β) tampoco pueden hacerse aseveraciones gene-
rales en cuanto a la CV; hay T.L. que convergen en la abscisa y otras que no.
Resumiendo, el campo de CV de la T.L. es un semiplano a la derecha de β.
Como la CA implica la CV, resulta:
Teorema 5.6.
α È ABS CA
β È ABS CV
·
β α
13

x
s
F È CA
β α
F È CV
Figura 15: Regiones de CV (x β) y CA (x α).
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE)
Se dice que una función es de orden exponencial en un V cuando:
f È O. EXP. fÔtÕ M ex0 t
t t0 ÔV Õ , M cte.
Las funciones que pueden acotarse por una exponencial en el V tienen asegurada la CV,
CA y CU de la T.L, que además es holomorfa; proposiciones que se demuestran en el siguiente
important´ısimo teorema.
Teorema 5.7 (CV de funciones de orden exponencial. “Teoremón”).
H1Õ f È CP
H2Õ f M ex0 t
H3Õ x0 x1 x
¸
»»»»º
»»»»¹
°
³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³²
³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³³±
T1Õ F È CVßx x0
T2Õ F È CAßx x0
T3Õ F È CUßx x1
T4Õ x
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0 x
fÔtÕ e¡s t
dt
y
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0 y
fÔtÕ e¡s t
dt
T5Õ F È Hßx x1
T6Õ s
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0 s
fÔtÕ e¡s t
dt
Demostración.
FÔsÕ
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
§
§
§
§
Ð Ò
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
dt
Ð Ò
M
ˆ
0
e¡Ôx¡x0Õt
dt
M
x ¡x0
M
x1 ¡x0
1 2
1
M
x ¡x0
T1Õ F È CV Ôx x0Õ
2
M
x ¡x0
T2Õ F È CA Ôx x0Õ
2
M
x1 ¡x0
T3Õ F È CU Ôx x1Õ
14

Observación: Resulta entonces que si f M ex0t
β α x0 x1
x
s
F È CV
F È CA
F È CU
x0 x1αβ
Figura 16: Regiones y abscisas de convergencia para FOE.
Para estudiar las tesis T4 y T5 se descompone FÔsÕ es partes real e imaginaria:
FÔsÕ uÔx yÕ ivÔx yÕ
FÔsÕ
ˆ
0
fÔtÕ e¡Ôx iyÕt
dt
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
Ôcos yt i sen ytÕ dt



uÔx yÕ
´
0 fÔtÕ e¡xt
cos yt dt
vÔx yÕ
´
0 ¡fÔtÕ e¡xt
sen yt dt
La derivabilidad bajo el signo integral se implica con el siguiente teorema:g
H1Õ ϕÔt, αÕ È CPßt, α
H2Õ ϕ
α
È CPßt, α
H3Õ
ˆ
V
ϕÔt, αÕ dt È CV
H4Õ
ˆ
V α
ϕÔt, αÕ dt È CU
¸
»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»¹
α
ˆ
a
ϕÔt, αÕ dt
ˆ
a α
ϕÔt, αÕ dt
En nuestro caso se aplicará este teorema sobre
uÔx yÕ
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
cos yt dt
tomando x de parámetro.
15

Se deben verificar las cuatro hipótesis
H1Õ fÔtÕ e¡xt
cos yt È CPßt, x, y



gÔt, x, yÕ f È CPßt (por hipótesis)
e¡xt
È Cßt, x
cos yt È Cßt, y
H2Õ g
x
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
cos yt È CPßt, x, y



f È CPßt
t È Cßt
e¡xt
È Cßt, x
cos yt È Cßt, y
H3Õ
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
cos yt dt È CV FÔsÕ È CV (por tesis 1)
H4Õ
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
cos yt dt È CU
Este resultado se demuestra porque:
§
§
§
§
§
ˆ
V
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
cos yt dt
§
§
§
§
§
ˆ
V
fÔtÕ t e¡xt
dt
M
ˆ
V
t e¡Ôx¡x0Õt
dt
M
ˆ
0
t e¡Ôx¡x0Õt
dt
M
Ôx ¡x0Õ2
M
Ôx1 ¡x0Õ2
Entonces, x : x x1, se ha acotado la integral por M
Ôx1¡x0Õ2 , que no depende ni de x ni de y;
por lo tanto hay CU respecto de ambas variables.
Observación: La convergencia uniforme de uÔx yÕ y de vÔx yÕ también puede demostrarse por un
segundo método, basado en que t es de orden exponencial, y aplicando la misma tesis T3 de este
teorema:
δ 0 :
t
eδt t 0
§
§
§
§
t
eδt
§
§
§
§ ǫ
t ǫ eδt
Resulta entonces:
fÔtÕ t M ex0t
ǫ eδt
M1 eÔx0 δÕt
Eligiendo δ:
x0 δ x1
El mismo teorema que se está demostrando en su T3 asegura que:
fÔtÕ¤t È CP
fÔtÕ¤t M1 eÔx0 δÕt
x0 δ x1 x
¸
»º
»¹
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
eiyt
dt È CU
cuya parte real es la proposición H4 buscada.
16

Se ha demostrado entonces que:
u
x x
ˆ
0
ˆ
0 x
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
cos yt dt
Análogamente se demuestra que:
u
y y
ˆ
0
ˆ
0 y
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
sen yt dt
v
x x
ˆ
0
ˆ
0 x
ˆ
0
fÔtÕÔ tÕ e¡xt
sen yt dt
v
y y
ˆ
0
ˆ
0 y
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡xt
cos yt dt
con lo cual queda demostrada la cuarta tesis (T4).
Si se analizan las cuatro integrales anteriores se observa que:
1o
Cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
2o
Son funciones continuas respecto de x y de y por ser integrando continuo.
Lo cual lleva a que la T.L es holomorfa (T5)
u
x
v
y
È Cßx, y
¡ u
y
v
x
È Cßx, y
¸
»»º
»»¹
F u iv È Hßx x1
Además como F
s
F
x es inmediata la T6:
F½ÔsÕ s
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0 s
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡s t
dt
Observación: Nótese que se ha demostrado la propiedad:
F½ÔsÕ Ô¡tÕfÔtÕ
sobre la cual se volverá más adelante.
Resulta entonces que para funciones fÔtÕ acotadas y de orden exponencial
s : s x iy x x1
se cumplen simultáneamente:
F È CV
F È CA
F È CU
F È H
siendo válida además la derivabilidad bajo el signo integral, respecto de x, y y s.
17

x
s
F È CV
F È CA
F È CU
F È H
x0 x1αβ
Figura 17: Regiones de CV, CA, CU y holomorf´ıa para FOE.
5.4.2. Definición de función CPOE
Por ser las hipótesis del teorema 5.7 de una aplicación posterior amplia y frecuente, es conve-
niente definir la siguiente proposición:
f È CPOEßx0 x1 x



H1Õ f È CP
H2Õ f M ex0t
H3Õ x0 x1 x
que representa a las funciones continuas por partes y de orden exponencial sobre el intervalo
señalado.
6. Propiedades básicas de la T.L.
La transformada de Laplace tiene dos propiedades que son las que permiten resolver sistemas
y ecuaciones diferenciales lineales con gran facilidad. Son la linealidad y la transformada de la
función derivada.
6.1. Linealidad
Teorema 6.1. La T.L de una combinación lineal es la combinación lineal de las T.L.
f1ÔtÕ F1ÔsÕ
f2ÔtÕ F2ÔsÕ
·
λ1 f1ÔtÕ λ2 f2ÔtÕ λ1 F1ÔsÕ λ2 F2ÔsÕ
Demostración. La demostración de este teorema es inmediata:
λ1 f1 λ2 f2
ˆ
0
Ôλ1 f1 λ2 f2Õ e¡s t
dt λ1
ˆ
0
f1 e¡s t
dt λ2
ˆ
0
f2 e¡s t
dt
λ1 F1 λ2 F2
Observación: De este teorema se extrae inmediatamente que la T.L. es un vector. Mejor aún, si E½
es el conjunto de las T.L, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos (o de los reales)
con las leyes de composición suma de funciones y producto por un complejo.
E½ ØFÙ
ÔC, C, ¤CÕ È Cuerpo complejo
T : E½ ¢E½ E½
ÔF1, F2Õ F1ÔsÕ F2ÔsÕ
s : C ¢E½ E½
Ôλ, FÕ λ FÔsÕ
¸
»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»¹
ÔE½, C, C, ¤C, T, sÕ È EEV (Estructura de Espacio Vectorial)
18

6.2. Transformada de la derivada de f½. Derivación en t
Dentro de las hipótesis del teorema de CV para funciones CPOE (teorema 5.7) es válido:
Teorema 6.2.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
·
f½ÔtÕ s FÔsÕ¡fÔ0 Õ
Demostración.
f½ÔtÕ
ˆ
0
f½ÔtÕ e¡s t
dt fÔtÕ e¡s t
§
§
0
s
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
0 ¡fÔ0 Õ s FÔsÕ
pues:
fÔtÕ e¡s t
t 0 fÔtÕ M ex0t
: x x0
fÔtÕ e¡s t
t 0 fÔ0 Õ
A su vez, si hallamos la transformada de f¾ÔtÕ como transformada de la derivada de f½ÔtÕ,
aplicando el teorema 6.2:
HÕ f È CPOE
H1Õ f½ÔtÕ GÔsÕ
·
f¾ÔtÕ s GÔsÕ¡gÔ0 Õ
f¾ÔtÕ s2
FÔsÕ¡s fÔ0 Õ¡f½Ô0 Õ
y esto se puede extender por inducción completa a fÔnÕÔtÕ, por lo cual:
Corolario 6.2.1.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
·
fÔnÕÔtÕ sn
FÔsÕ¡sn¡1
fÔ0 Õ¡sn¡2
f½Ô0 Õ¡. . .
¤¤¤¡s fÔn¡2ÕÔ0 Õ¡fÔn¡1ÕÔ0 Õ
Obsérvese que si las condiciones iniciales son nulas:
fÔ0 Õ f½Ô0 Õ f¾Ô0 Õ ¤¤¤ fÔn¡1ÕÔ0 Õ 0
Entonces:
fÔtÕ FÔsÕ
f½ÔtÕ s FÔsÕ
f¾ÔtÕ s2
FÔsÕ
...
...
fÔnÕÔtÕ sn
FÔsÕ
es decir, derivar n veces en el campo original t significa multiplicar por s, n veces (sn
) en el campo
transformado s.
7. Aplicación de la T.L. a la resolución de sistemas y ecua-
ciones diferenciales lineales
Los modelos usuales en la ingenier´ıa y en la ciencia en general son lineales.
Ello es porque existen dos razones que se influyen mutuamente
19

1o
Los modelos f´ısicos se construyen con funciones o sistemas de funciones cualesquiera,
cuya primera aproximación es la lineal.
2o
La matemática más desarrollada es la lineal.
La T.L. es una herramienta especialmente útil en la resolución y análisis de ecuaciones dife-
renciales lineales con coeficientes constantes (pero no exclusivamente) que aparecen en una gran
cantidad de problemas de ingenier´ıa.
En el cuadro siguiente se han recopilado modelos regidos por la E.D.D.T.1
lineal con coeficientes
constantes, que conforman un conjunto de sistemas análogos entre s´ı.
Se observa que se han cubierto las ramas más variadas de la ingenier´ıa, desde la electricidad,
magnetismo, mecánica, acústica hasta la qu´ımica, entre otros.
1E.D.D.T: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales.
20

Nombre Esquema Ecuación VAR COEF Descripción
s e a b c
s salida
Modelo
Sistema
General
a s¾ b s½ c s eÔtÕ e entrada
SISTEMA
eÔtÕ sÔtÕ
a coeficiente de s¾
b coeficiente de s½
c coeficiente de s
i/q corriente/carga
Electricidad
Circuito
Serie
L i½ R i 1
C
ˆ t
0
i dt uÔtÕ u tensión
L R
C
i
u
L q¾ R q½ 1
C
q uÔtÕ L inductancia
R resistencia
1ßC 1/capacidad
u tensión
Electricidad
Circuito
Paralelo
C u½ 1
R
u 1
L
ˆ t
0
u dt iÔtÕ i corriente
i3
i2
i1
iR
C
L
u
L inductancia
1ßR 1/resistencia
1ßC 1/capacidad
Magnetismo φ
x desplazamiento
Mecánica
Vibraciones
Longitudinal
m x½ c x½ k x fÔtÕ f fuerza excitantec x½
k x
x
m x¾
f
m masa
c cte. amortiguamiento
k cte. elástica
ϕ desplazamiento angular
Mecánica
Vibraciones
Torsión
I ϕ¾ c ϕ½ µ ϕ MÔtÕ M par excitanteϕ
M
Iϕ¾
µ ϕ
c ϕ½
I momento de inercia
µ cte. elástica torsional
x desplazamiento
Mecánica
Vibraciones
Torsión
I x¾ c x½ µ x fÔtÕ f fuerza excitante
l
x
f I momento de inercia
µ cte. elástica torsional
V volumen de desplazamiento
Acústica
Resonador
Helmholtz
M V ¾ Ra V ½ 1
Ca
V PÔtÕ P presión exterior
PV
P1 M V ¾
P2 Ra V ½
P3
1
Ca
V
M coef. de inercia acústica
Ra resistencia acústica
1ßCa 1/capacidad acústica
Cuadro 1: Modelos de la f´ısica regidos por E.D.D.T. lineales con coeficientes constantes.
21

Todos los sistemas f´ısicos lineales analógicos pueden ser representados en su análisis (estudio e
interpretación del sistema) y en su s´ıntesis (diseño y proyecto del sistema) por el modelo general
siguiente.
iÔtÕ oÔtÕ
Sistema
iÔsÕ OÔsÕ
ZÔsÕ
MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIEN-
TES CONSTANTES EN t (SISTEMA ORIGI-
NAL)
a o¾ÔtÕ b o½ÔtÕ c oÔtÕ iÔtÕ
que se transforma por Laplace del campo original
t al campo transformado s.
En particular, se toma oÔ0 Õ o½Ô0 Õ 0 para
simplificar las expresiones.
MODELO EDDT LINEAL CON COEFICIEN-
TES CONSTANTES EN s (SISTEMA TRANS-
FORMADO)
a s2
OÔsÕ b s OÔsÕ c OÔsÕ IÔsÕ
OÔsÕ IÔsÕ
a s2 b s c
llamando ZÔsÕ a s2
b s c
OÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ Ley de Ohm generalizada
Se puede observar entonces que la ecuación diferencial lineal en t se transformó en una ecuación
algebraica lineal en s, caracter´ıstica fundamental de la T.L.
Es as´ı como el sistema transformado sobre s tiene por ley que lo rige a:
OÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ
que no es otra que la ley de Ohm generalizada para circuitos eléctricos con corrientes cualesquiera
(no solamente continua o senoidal) o para sistemas vibratorios o acústicos, etc. y donde siempre
se pueda definir a:
ZÔsÕ a s2
b s c
que no es otra cosa que la impedancia generalizada.
Con este planteo, entonces, la resolución de las ecuaciones diferenciales se reduce a la de ecua-
ciones algebraicas.
Los modelos f´ısicos más complejos, apoyados sobre sistemas de ED lineales, también son fácil-
mente operables por medio de la T.L.
Son ejemplo de estos modelos:
Circuitos eléctricos acoplados
C1 R1
L1 L2
M
C2 R2
i1 i2
u1 u2



L1 i½
1 R1 i 1
C1
ˆ t
¡
i1 dt M i2 u1ÔtÕ
L2 i½
2 R2 i 1
C2
ˆ t
¡
i2 dt M i1 u2ÔtÕ
22

Vibraciones acopladas
c1
k1
m1
a
m2
c2
k2
x1 x2
f1ÔtÕ f2ÔtÕ



m1 x¾
1 c1 x½
1 k1Ôx1 ¡x2Õ f1ÔtÕ
m2 x¾
2 c2 x½
2 k2Ôx2 ¡x1Õ f2ÔtÕ
Resonador acoplado
1
Ca2
V2
1
Ca1
V1
V2 V1
P



M1 V ¾
1 ra1 V ½
1 1
Ca1
V1 ¡a V2 0
M2 V ¾
2 ra2 V ½
2 1
Ca2
V2 ¡a V1 PÔtÕ
que pueden ser expresados por un modelo general.
8. Transformadas elementales
Las transformadas de Laplace de las funciones elementales son las siguientes:
8.1. Constante-Heaviside
1
1
s
ˆ
0
1 e¡s t
dt
e¡s t
s
§
§
§
§

0
x 0 1
s
s
x
y
β 0
0
Observaci´on: Como
1 ¤HÔtÕ HÔtÕ t 0
entonces es inmediato que
HÔtÕ 1
s
8.2. Funci´on potencial
tw ΓÔw 1Õ
sw 1
ˆ
0
tw
e¡s t
dt
s t τ
ˆ
0
τw
sw
e¡τ dτ
s
ΓÔw 1Õ
sw 1
s
x
y
β 0
0
8.3. Exponencial
eωt 1
s ¡ω
ˆ
0
eωt
e¡s t
dt
ˆ
0
e¡Ôs¡ωÕt
dt
x ω 1
s ¡ω
s
x
y
β ω
0
23

8.4. Cos, Sen
cos ωt
s
s2 ω2
sen ωt
ω
s2 ω2
cos ωt
eiωt
e¡iωt
2
1
2
1
s ¡i ω
1
s i ω
s
s2 ω2
sen ωt
eiωt
¡e¡iωt
2i
1
2i
1
s ¡i ω
¡ 1
s i ω
w
s2 ω2
s
x
y
β 0
0
i
¡i
Se pueden verificar estos datos por aplicación del teorema de transformación de la derivada:
cos ωt
1
ω
Ôsen ωtÕ½ 1
ω
s
ω
s2 ω2
¡senÔ0 Õ s
s2 ω2
8.5. Cosh, Senh
cosh ωt
s
s2 ¡ω2
senh ωt
ω
s2 ¡ω2
cosh ωt
eωt
e¡ωt
2
1
2
1
s ¡ω
1
s ω
s
s2 ¡ω2
senh ωt
eωt
¡e¡ωt
2
1
2
1
s ¡ω
¡ 1
s ω
w
s2 ¡ω2
s
x
y
β ω
0
8.6. Tabla de transformadas elementales
fÔtÕ FÔsÕ
1 1 HÔtÕ 1
s
2 tw ΓÔw 1Õ
sw 1
3 eωt 1
s ¡ω
4 cos ωt s
s2 ω2
5 sen ωt ω
s2 ω2
6 cosh ωt s
s2 ¡ω2
7 senh ωt ω
s2 ¡ω2
24

9. Propiedades de la T.L. Segunda parte
Para operar con la T.L. con rapidez y eficacia, conviene tener en cuenta, además de lo visto en
6, nuevas propiedades que se demostrarán a continuación.
Todas se resumen en el cuadro que cierra el presente cap´ıtulo.
9.1. Integración en t
Teorema 9.1.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
· ˆ t
0
fÔτÕ dτ
FÔsÕ
s
Demostración. Llamando
´ t
0 fÔτÕ dτ ϕÔtÕ, ésta se transforma en φÔsÕ.
ϕÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕ dÔτÕ φÔsÕ
Si fÔtÕ M ex0t
, es decir es de orden exponencial, ϕÔtÕ lo es también.
ϕÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕ dτ M
ˆ t
0
ex0τ
dτ
M
x0
Ôex0t
¡1Õ M
x
ex0t
Por lo tanto, aplicando el teorema 6.2:
ϕ½ÔtÕ fÔtÕ s φÔsÕ¡ϕÔ0 Õ FÔsÕ
Como
ϕÔ0 Õ
ˆ 0
0
fÔτÕ dτ 0
Resulta
φÔsÕ FÔsÕ
s
Observación: Recordando el teorema 6.2, derivar en el campo t era multiplicar por s a FÔsÕ en el
campo s (si las condiciones iniciales son nulas).
Integrar en el campo t es ahora dividir por s a FÔsÕ en el campo s.
Ejemplo:
sen ωt
ω
s2 ω2
ˆ t
0
sen ωτ dτ
1 ¡cos ωt
ω
1
s
ω
s2 ω2
Se puede plantear también la transformación de
´ t
a fÔτÕ dτ, que se reduce as´ı:
ˆ t
a
fÔτÕ dτ
ˆ 0
a
fÔτÕ dτ
ˆ t
0
fÔτÕ dÔτÕ
La primera integral es una constante y por lo tanto su T.L es:
ˆ 0
a
fÔτÕ dτ
1
s
ˆ 0
a
fÔτÕ dτ
Se obtiene entonces el siguiente corolario:
Corolario 9.1.1.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
· ˆ t
a
fÔτÕ dτ
´ 0
a
fÔτÕ dτ
s
FÔsÕ
s
25

9.2. Derivación en s
Este teorema ya ha sido demostrado en el teorema 5.7 del párrafo 5.4 (ver observación al final
de la demostración.)
Teorema 9.2.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
·
Ô¡tÕfÔtÕ F½ÔsÕ
Demostración. La demostración vista consist´ıa en derivar FÔsÕ, que es holomorfa para x x0,
bajo el signo integral:
F½ÔsÕ s
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0 s
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕ e¡s t
dt
Con lo cual resulta:
Ô¡tÕfÔtÕ F½ÔsÕ
Observación: Derivar en el campo s es multiplicar por Ô¡tÕ a fÔtÕ en el campo t.
El resultado anterior se puede extender n veces, pues al ser FÔsÕ holomorfa, existe FÔnÕÔsÕ.
FÔnÕÔsÕ
n
sn
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
ˆ
0
fÔtÕÔ¡tÕn
e¡s t
dt
De donde:
Ô¡tÕn
fÔtÕ FÔnÕÔsÕ
Generalizando entonces el enunciado del teorema 9.2, queda:
Corolario 9.2.1.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
·
Ô¡tÕn
fÔtÕ FÔnÕÔsÕ
Ejemplo:
1
1
s
t ¡D
1
s
1
s2
t2
¡D
1
s2
2
s3
...
...
tn
¡D
Ôn ¡1Õ!
sn
n!
sn 1
por inducción completa
tn 1
¡D
n!
sn 1
Ôn 1Õ!
sn 2
Se verifica as´ı el resultado obtenido en la tabla de T.L. elementales.
Ejemplo:
sen ωt
ω
s2 ω2
t sen ωt ¡D
ω
s2 ω2
2s ω
Ôs2 ω2Õ2
26

9.3. Integración en s
Teorema 9.3.
HÕ f È CPOE
H1Õ fÔtÕ FÔsÕ
H2Õ
ˆ
V0
fÔtÕ
t
dt È CV
¸
»»»º
»»»¹
fÔtÕ
t
ˆ
s
FÔsÕ ds
Demostración. Si se plantea la integral compleja
ÔγÕ
ˆ
s
FÔsÕ ds
donde
FÔsÕ È Hßx x1
γ È Camino contenido en Øs È C : x x1Ù, desde el origen s hasta el extremo final (infinito
complejo)
s
x
y
x1x00
s
γ
Figura 18: Camino de integración para el teorema 9.3.
La integral es entonces una función compleja φÔsÕ:
φÔsÕ
ˆ
s
FÔsÕ ds
¡
ˆ s
FÔsÕ ds
Por el teorema fundamental del cálculo integral en el plano complejo:
φ½ÔsÕ ¡FÔsÕ
Queda entonces:
φÔsÕ ϕÔtÕ
φ½ÔtÕ ¡FÔsÕ Ô¡tÕϕÔtÕ ¡fÔtÕ
ϕÔtÕ fÔtÕ
t
Por lo tanto:
φÔsÕ
ˆ
s
FÔsÕ ds
ˆ
0
fÔtÕ
t
e¡s t
dt
Asegurando la convergencia con
ˆ
V0
fÔtÕ
t
e¡s t
dt
ˆ
V0
fÔtÕ
t
dt È CV (por hipótesis)
entonces
ˆ
s
FÔsÕ ds
fÔtÕ
t
27

Observación: Integrar en el campo s es dividir por t a fÔtÕ en el campo t.
Una segunda forma de demostrar este mismo teorema es:
ˆ A
s
FÔsÕ ds
ˆ A
s
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt ds
Asegurada la CU de FÔsÕ por f È CPOE se puede permutar el signo
´ A
s
´
0
´
0
´ A
s
ˆ
0
fÔtÕ
ˆ A
s
e¡s t
ds dt
ˆ
0
fÔtÕ e¡At
¡e¡s t
¡t
dt
Pasando al l´ımite cuando A
ˆ
s
FÔsÕ ds l´ım
A
ˆ A
s
FÔsÕ ds l´ım
A
ˆ
0
fÔtÕ e¡At
¡e¡s t
¡t
dt
se puede permutar el l´ımite con la integral por la CU de la función integrando asegurada por
H1 fÔtÕ M ex0t
H2
ˆ
V0
fÔtÕ
t
dt È CV
luego:
ˆ
s
FÔsÕ ds
ˆ
0
l´ım
A
fÔtÕ e¡At
¡e¡s t
¡t
dt
ˆ
0
fÔtÕ
t
e¡s t
dt
fÔtÕ
t
Ejemplo:
sen ωt
ω
s2 ω2
sen ωt
t
ˆ
s
ω
s2 ω2
ds
1
ω
Arctg
s
ω
§
§
§
§
s
1
ω
π
2
¡Arctg
s
ω
Además se verifican las condiciones
1o
Õ x 0
2o
Õ sen ωt
t t 0 ω
ˆ
V0
sen ωt
t
dt È CV
Ejemplo:
e¡αt
¡e¡βt 1
s α
¡ 1
s β
e¡αt
¡e¡βt
t
ˆ
s
1
s α
¡ 1
s β
ds
L
s α
s β
§
§
§
§
s
L
s α
s β
Se verifica
x máxØ¡α, ¡βÙ
e¡αt
¡e¡βt
t t 0 ¡α β
ˆ
V0
e¡αt
¡e¡βt
t
dt È CV
28

9.4. Desplazamiento en t
Teorema 9.4.
fÔtÕ FÔsÕ HÔt ¡aÕfÔt ¡aÕ e¡as
FÔsÕ
Demostración. En este teorema es donde hay que tener especial cuidado con la definición de la
T.L.
Hay que tomar
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
como ya se ha explicado en la definición de la T.L. (párrafo 4)
ˆ
¡
dt
τ t¡a
ˆ
¡
HÔτÕfÔτÕ e¡s τ
e¡as
dτ e¡as
FÔsÕ
Ejemplo:
senh ωt
ω
s2 ¡ω2
HÔt ¡bÕ senh ωÔt ¡bÕ e¡bp ω
s2 ¡ω2
9.5. Desplazamiento en s
Teorema 9.5.
fÔtÕ FÔsÕ eat
fÔtÕ FÔs ¡aÕ
Demostración. Aplicando la definición:
eat
fÔtÕ
ˆ
0
fÔtÕ e¡Ôs¡aÕt
dt FÔs ¡aÕ
Ejemplo:
1
1
s
eωt 1
s ¡ω
Ejemplo:
cos ωt
s
s2 ¡ω2
ebt
cos ωt
s ¡b
Ôs ¡bÕ2 ω2
9.6. Cambio de t k t. Cambio de escala
Teorema 9.6.
fÔtÕ FÔsÕ fÔ k tÕ 1
k
F
¢
s
k
ª
Demostración. Aplicando la definición
fÔ k tÕ
ˆ
0
fÔ k tÕ e¡s t
dt
k t τ
ˆ
0
fÔτÕ
k
e
¡s
τ
k dτ
1
k
F
¢
s
k
ª
29

Observación: En este cambio de escala se toma la constante positiva k pues en caso de tomarse
negativa, los l´ımites de la integral, después del cambio de variable, no ser´ıan los de una T.L.
Ejemplo:
sen t
1
s2 1
sen ωt
1
ω
1
s
ω
¨2
1
ω
s2 ω2
9.7. Convolución
Mediante el siguiente teorema se desea obtener la antitransformada del producto de dos trans-
formadas de Laplace. Es decir, la antitransformada de FÔsÕ¤GÔsÕ.
Teorema 9.7 (Teorema de Convolución (Borel)).
fÔtÕ FÔsÕ
gÔtÕ GÔsÕ
·
fÔtÕªgÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕgÔt ¡τÕ dτ FÔsÕ¤GÔsÕ Ôt 0Õ
Demostración.
FÔsÕ¤GÔsÕ
¢ˆ
0
fÔxÕ e¡px
dx
ª
¤
¢ˆ
0 gÔyÕ e¡py
dy
ª
ˆ
0
ˆ
0
fÔxÕgÔyÕ e¡sÔx yÕ dx dy
Se plantea un cambio de variable en esta integral doble:
y
xy 0
x0
x y t
x τ
x 0
y 0
τ
tτ 0
t
τ
x τ
y t ¡τ
τ 0
τ t
J
§
§
§
§det
¢
0 1
1 ¡1
ª§
§
§
§ ¡1 1
Se obtiene entonces:
FÔsÕ¤GÔsÕ
ˆ
0
e¡s t
¢ˆ t
0
fÔτÕgÔt ¡τÕ dτ
ª
dt
Por lo tanto:
FÔsÕ¤GÔsÕ
ˆ t
0
fÔτÕgÔt ¡τÕ dτ fÔtÕªgÔtÕ
Esta integral es la que se llama producto de convolución y es la que se simboliza por fÔtÕªgÔtÕ.
30

Una segunda demostración del teorema de convolución es:
FÔsÕ¤GÔsÕ GÔsÕ
ˆ
¡
HÔτÕ fÔτÕ e¡s t
dτ
ˆ
¡
HÔτÕfÔτÕ GÔsÕ e¡s t
dτ
Por el teorema de desplazamiento de la función original
ˆ
¡
HÔτÕfÔτÕ
¢ˆ
¡
HÔt ¡τÕ gÔt ¡τÕ e¡s t
dt
ª
dτ
Cambiando el orden de integración, válido dentro del campo de CU
ˆ
¡
e¡s t
ˆ
¡
HÔτÕfÔτÕ HÔt ¡τÕgÔt ¡τÕ dτ
Ð Ò
dt
1
La integral 1 resulta
1
ˆ
¡
HÔτÕ fÔτÕHÔt ¡τÕgÔt ¡τÕ dτ 0 t 0
ˆ t
0
fÔτÕ gÔt ¡τÕ dτ t 0
De donde
1 HÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕ gÔt ¡τÕ dτ
Entonces
FÔsÕ¤GÔsÕ
ˆ
¡
e¡s t
HÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕgÔt ¡τÕ dτ dt
FÔsÕ¤GÔsÕ se antitransforma
FÔsÕ¤GÔsÕ HÔtÕ
ˆ t
0
Ejemplo:
1
s
HÔtÕ
1
s2 1
senÔtÕ
1
s Ôs2 1Õ
ˆ t
0
senÔτÕ HÔt ¡τÕ dτ
ˆ t
0
senÔτÕ dτ ¡cosÔτÕ t
0
1
s Ôs2 1Õ 1 ¡cosÔtÕ
Verificación:
1 ¡cosÔtÕ 1
s
¡ s
s2 1
1
s Ôs2 1Õ
31

9.8. Transformada de funciones periódicas
Teorema 9.8. Sea una función periódica de per´ıodo T , siendo su primera onda f0ÔtÕ:
H1Õ fÔtÕ fÔt ¡T Õ
H2Õ f0ÔtÕ fÔtÕ t È Ö0, T ×
0 t T
¸
»º
»¹
FÔsÕ F0ÔsÕ
1 ¡e¡s T
Demostración. La convergencia de la T.L. de funciones periódicas está asegurada por el teorema
5.1, donde las funciones acotadas tienen T.L CV para x 0.
Además hay CU, porque al ser acotada es de orden exponencial.
Una función periódica puede descomponerse en una serie de ondas
0
fÔtÕ
tT 2T 3T 4T
f0 f1 f2 f3
fÔtÕ fÔt ¡T Õ
Primera onda
f0ÔtÕ HÔtÕf0ÔtÕ F0ÔsÕ
0
f0ÔtÕ
tT
f0
Onda Ôn 1Õ
fnÔtÕ HÔt ¡nT Õf0Ôt ¡nT Õ F0ÔsÕ e¡nT s
fn
nT Ôn 1ÕT
fn
0
fnÔtÕ
t
32

fÔtÕ f0ÔtÕ f1ÔtÕ f2ÔtÕ ¤¤¤ fnÔtÕ . . .
Transformando la serie en serie de transformadas, posible por la existencia de CU de la serie de
funciones originales:
FÔsÕ F0ÔsÕ F0ÔsÕ e¡T s
F0ÔsÕ e¡2T s
¤¤¤ F0ÔsÕ e¡nT s
. . .
F0ÔsÕ 1 e¡T s
e¡2T s
¤¤¤ e¡nT s
. . .
que es una serie geom´etrica de raz´on e¡T s
FÔsÕ F0ÔsÕ 1
1 ¡e¡s T
Ejemplo:
0
OCÔtÕ
1
¡1
t1 2 3 4
T 2
f0ÔtÕ
°
³²
³±
1 t È Ô0, 1Õ
¡1 t È Ô1, 2Õ
0 t È Ô2, Õ
F0ÔsÕ
ˆ 1
0
1 e¡s t
dt
ˆ 2
1
Ô¡1Õ e¡s t
dt
1 ¡e¡s
s
¡ e¡s
¡e¡2s
s
1 ¡2 e¡s
e¡2s
s
Ô1 ¡e¡s
Õ2
s
Por lo tanto, siendo el per´ıodo T 2
FÔsÕ Ô1 ¡e¡s
Õ2
s
1
1 ¡e¡2s
Ô1 ¡e¡s
Õ2
s
1
Ô1 ¡e¡sÕÔ1 e¡sÕ
FÔsÕ 1
s
¢
1 ¡e¡s
1 e¡s
ª
33

9.9. Propiedades de la Transformada de Laplace. Tabla
Propiedad Teo. fÔtÕ F ÔsÕ
Linealidad 6.1 λ1 f1ÔtÕ λ2 f2ÔtÕ λ1 F1ÔsÕ λ2 F2ÔsÕ
Derivación en t
f È CPOE
6.2
f½ÔtÕ
fÔnÕÔtÕ
s F ÔsÕ¡fÔ0 Õ
sn
F ÔsÕ¡sn¡1
fÔ0 Õ¡sn¡2
f½Ô0 Õ¡
¤¤¤¡s fÔn¡2ÕÔ0 Õ¡fÔn¡1ÕÔ0 Õ
Integración en t
f È CPOE
9.1
ˆ t
0
fÔτÕ dτ
ˆ t
a
fÔτÕ dτ
F ÔsÕ
s
´ 0
a fÔτÕ dτ
s
F ÔsÕ
s
Derivación en s
f È CPOE
9.2 Ô¡tÕ fÔtÕ F ½ÔsÕ
Integración en s
f È CPOE
ˆ
V0
fÔtÕ
t
dt È CV
9.3
fÔtÕ
t
ˆ
s
F ÔsÕ ds
Desplazamiento
en t
9.4 HÔt ¡aÕ fÔt ¡aÕ e¡as
F ÔsÕ
Desplazamiento
en s
9.5 eat
fÔtÕ F Ôs ¡aÕ
Cambio t k t 9.6 fÔ k tÕ 1
k
F
¢ s
k
ª
Convolución 9.7
fÔtÕ ªgÔtÕ
ˆ t
0
fÔτÕ gÔt ¡τÕ dτ
F ÔsÕ¤GÔsÕ
Funciones
Periódicas
9.8
fÔtÕ fÔt ¡TÕ
f0ÔtÕ fÔtÕ t È Ô0, tÕ
0 t T
F0ÔsÕ
1 ¡e¡st
34

10. Propiedades de la T.L. Tercera parte
En este cap´ıtulo se desarrollan propiedades adicionales de la T.L. que complementan, con las
ya vistas, el conjunto de teoremas necesarios para operar con la misma.
10.1. Primer teorema del orden de la T.L.
Este teorema permite acotar a la T.L. de esta manera:
FÔsÕ M1
x
tomando como hipótesis que f cumple con las previstas en el teorema 5.7 de funciones de orden
exponencial (“Teoremón”).
Se recuerda que eso significa:
f È CPOE



H1Õ f È CP
H2Õ f M ex0t
H3Õ x0 x1 x
s
x
y
x1x00
|
x
También se demuestra como consecuencia de la tesis anterior que:
FÔsÕ 0
s
El primer teorema del orden de FÔsÕ se enuncia:
Teorema 10.1.
HÕ f È CPOE
°
²
±
T1Õ FÔsÕ M1
x
T2Õ FÔsÕ s
0
Demostración. Se realiza una acotación análoga a la realizada en el teorema 5.7 de CPOE.
FÔsÕ
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡s t
dt
§
§
§
§
ˆ
0
fÔtÕ e¡xt
dt
ˆ
0
M e¡Ôx¡x0Õt
dt
M
x ¡x0
M
x1 ¡x0
Multiplicando por x a ambos miembros de la desigualdad:
x FÔsÕ x
M
x ¡x0
M
1 ¡ x0
x
Como x1 x
1
x
1
x1
1 ¡ x0
x1
1 ¡ x0
x
1
1 ¡ x0
x
1
1 ¡ x0
x
35

Llamando M1
M
1 ¡ x0
x1
(cte.), resulta:
x FÔsÕ M
1 ¡ x0
x
M
1 ¡ x0
x1
M1
FÔsÕ M1
x
La segunda tesis es consecuencia inmediata de esta acotación. Si s , x x1 y x ,
entonces:
FÔsÕ s
0
10.2. Segundo teorema del orden de la T.L.
Este segundo teorema de la acotación de la T.L. tiene condiciones más restrictivas que el
anterior, porque además de la hipótesis de que f cumpla con los requisitos de CPOE se agrega que
también los debe cumplir f½.
La acotación que se prueba es:
FÔsÕ M
s
El enunciado del teorema es:
Teorema 10.2.
H1Õ f È CPOE
H2Õ f½ È CPOE
·
TÕ FÔsÕ M1
s
Demostración. De acuerdo a las acotaciones vistas en el teorema anterior
s FÔsÕ¡fÔ0 Õ M
x ¡x0
M
x1 ¡x0
s FÔsÕ M
x1 ¡x0
fÔ0 Õ M1
FÔsÕ M1
s
10.3. Teorema del valor inicial
Con las mismas hipótesis del teorema 10.1 se puede probar que:
s FÔsÕ s
fÔ0 Õ
que es la tesis del teorema llamado del valor inicial.
Teorema 10.3.
H1Õ f È CPOE
H2Õ f½ È CPOE
·
TÕ s FÔsÕ s
fÔ0 Õ
Demostración. De acuerdo a la acotación ya empleada en el teorema anterior, s x .
s FÔsÕ¡fÔ0 Õ M
x ¡x0
x

0 s FÔsÕ s
fÔ0 Õ
36

Ejemplo:
1 e¡t 1
s
1
s 1
1 e¡t
t 0 2
s FÔsÕ 1 s
s 1 s
2 fÔ0 Õ
10.4. Teorema del valor final
Con hipótesis más restrictivas que las del teorema 10.3, se puede probar que:
s FÔsÕ s 0
fÔ Õ
Enunciamos el llamado teorema del valor final.
Teorema 10.4.
H1Õ f È CPOE
H2Õ f½ È CPOE
H3Õ x1 0
H4Õ l´ım
t fÔtÕ fÔ Õ
¸
»»»»º
»»»»¹
TÕ s FÔsÕ s 0
fÔ Õ
Demostración. De acuerdo al teorema de derivación en t válido por H1:
ˆ
0
f½ÔtÕ e¡s t
dt s FÔsÕ¡fÔ0 Õ
Puede pasarse al l´ımite cuando s 0, pues x1 0 y esto asegura que la CU de la T.L. para x1 x
por H2
ˆ
0
f½ÔtÕ dt l´ım
s 0
Ös FÔsÕ×¡fÔ0 Õ
Integrando el primer término
fÔtÕ
0 l´ım
s 0
Ös FÔsÕ×¡fÔ0 Õ
l´ım
t fÔtÕ¡¨¨¨fÔ0 Õ l´ım
s 0
Ös FÔsÕ×¡¨¨¨fÔ0 Õ
Resulta:
s FÔsÕ s 0
fÔ Õ
Ejemplo:
1 e¡t 1
s
1
s 1
1 e¡t
t 1
s FÔsÕ 1 s
s 1 s 0
1 fÔ Õ
10.5. Propiedades del producto de convolución
El producto de convolución en la T.L. definido como una ley de composición interna entre dos
funciones sobre F, el espacio de Fourier, es:
ª : F ¢F F
Ôf, gÕ f ªg
ˆ t
0
Este producto goza de las siguientes propiedades:
37

Teorema 10.5.
Definición de
Producto de
Convolución
°
³³³³³³³³³²
³³³³³³³³³±
f ªÔg ªhÕ Ôf ªgÕªh
Prop. Asociativa
f ªg g ªf
Prop. Conmutativa
f ªÔg hÕ Ôf ªgÕ Ôf ªhÕ
Prop. Distributiva
Demostración. La demostración es inmediata a partir de las transformadas:
FÔsÕ¤ÖGÔsÕ¤HÔsÕ× ÖFÔsÕ¤GÔsÕ×¤HÔsÕ f ªÔg ªhÕ Ôf ªgÕªh
FÔsÕ¤GÔsÕ GÔsÕ¤FÔsÕ f ªg g ªf
FÔsÕ¤ÖGÔsÕ HÔsÕ× ÖFÔsÕ¤GÔsÕ× ÖFÔsÕ¤HÔsÕ× f ªÔg hÕ Ôf ªgÕ Ôf ªhÕ
11. Fórmula de reciprocidad de la T.L
11.1. Teorema de reciprocidad de la T.L.
Este teorema es llamado también de inversión o de Mell´ın y permite obtener la función original
a partir de la transformada, es decir, la llamada antitransformada.
Las fórmulas de reciprocidad de la T.L. se obtienen a partir de las fórmulas de reciprocidad de
la T.F. resultantes del teorema de la integral de Fourier (visto en el párrafo 2) cuyo enunciado es:
H1Õ g È CPßR
H2Õ
g½ È CPßt¡
g½ È CPßt
H3Õ
ˆ
V¡
g dt È CV
ˆ
V
g dt È CV
¸
»»»»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»»»»¹
°
³³³²
³³³±
GÔyÕ
ˆ
¡
gÔtÕ e¡iωt
dt
g¦ÔtÕ 1
2π
ˆ
¡
GÔyÕ eiyt
dy
Para poder aplicar este teorema a la T.L. debe recordarse la relación existente entre T.L. y
T.F.
fÔtÕ FÔsÕ GÔyÕ T F
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
gÔtÕ
y de aqu´ı el teorema de reciprocidad:
Teorema 11.1.
H1Õ f È CPßR
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
H3Õ x α (Abscisa de CA)
¸
»»»»»»»º
»»»»»»»¹
°
³³³²
³³³±
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ es t
ds
Demostración. Se aplica entonces el teorema de la integral de Fourier con:
gÔtÕ HÔtÕfÔtÕ e¡xt
38

Es inmediata la verificación de H1 y H2
H1Õ HÔtÕfÔtÕ e¡xt
È CPßR



fÔtÕ È CPßR
HÔtÕ È CPßR
e¡xt
È CPßR
H2Õ ÔHÔtÕfÔtÕ e¡xt
Õ½ È CPßt¡, t



f½ È CPßt¡, t
H½ È CPßt¡, t
Ôe¡xt
Õ½ È CPßt¡, t
La verificación de la H3 en V¡ , como ya se ha visto en 4.3, se cumple siempre por la presencia
de HÔtÕ, mientras que en V la CA de la T.F. se asegura por la hipótesis de que x α, donde α
es la abscisa de CA de la T.L.
H3Õ
ˆ
V¡
g dt È CV
ˆ
V¡
0 dt 0
ˆ
V
g dt È CV
ˆ
V
fÔtÕ e¡st
dt È CA x α
Verificadas las hipótesis del teorema integral de Fourier, lo aplicamos:
°
³³³²
³³³±
FÔsÕ GÔyÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡xt
e¡iyt
dt
g¦ÔtÕ 1
2π
ˆ
¡
FÔsÕ eiyt
dy
Se observa lo siguiente:
g¦ÔtÕ HÔtÕf¦ÔtÕ e¡xt
Entonces:
HÔtÕf¦ÔtÕ e¡xt 1
2π
ˆ
¡
FÔsÕ eiyt
dy
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2π
ˆ
¡
FÔsÕ ext
eiyt
dy
1
2π
ˆ
¡
FÔsÕ est
ds
s
xα c
Figura 19: Camino de integración para la antitransformada de Laplace
Esta integral corresponde a una integral curvil´ınea en el plano s a lo largo de cualquier recta
vertical s c dentro del campo de CA, como se muestra en la figura 11.1.
rt : Ô¡ , Õ C
y
c iy s : c È R, c α
ds i dy
39

Resulta entonces la antitransformada o fórmula de inversión o fórmula de Mell´ın.
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds
integral a lo largo de cualquier recta vertical de abscisa c, dentro del campo de CA, recorrida en
el sentido de las y crecientes, que conjuntamente con la T.L. dan las fórmulas de reciprocidad
°
³³³²
³³³±
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds
Observación 1: Algunas autores dan como fórmula de inversión
f¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds t 0 (1)
y agregan que
fÔtÕ 0 t 0
Esto no es as´ı pues fÔtÕ puede tomar cualquier valor para t 0, lo que se anula es HÔtÕfÔtÕ. Por
otra parte, la fórmula 1 no es válida si hay desplazamiento, observación derivada de la Observación
2 del párrafo 4.1.
El teorema de reciprocidad de la T.L. se puede particularizar suponiendo fÔtÕ de orden expo-
nencial:
fÔtÕ M ex0t
y tomando x0 x1 x.
Ello implica, como se ha visto que α x0, por lo tanto:
Teorema 11.2.
H1Õ f È CPßR
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
H3Õ f M ex0t
H4Õ x0 x1 x
¸
»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»¹
°
³³³²
³³³±
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds
Enunciado que puede presentarse también de la siguiente forma, recordando que:
H1
H3
H4
¸
»º
»¹
f È CPOEßx0 x1 x
Corolario 11.2.1.
HÕ f È CPOE
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
¸
»»»»º
»»»»¹
°
³³³²
³³³±
FÔsÕ
ˆ
¡
HÔtÕfÔtÕ e¡s t
dt
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds
40

11.2. Inversión. Cuando las singularidades de FÔsÕ son puntos singulares
aislados
De la fórmula de inversión anterior se puede hallar una simplificación, como la suma de los
residuos de FÔsÕ est
cuando las singularidades de FÔsÕ sólo son puntos singulares aislados, es decir,
son polos o puntos singulares esenciales.
De acuerdo a la tesis T5 del teorema 5.7 de CV
para funciones continuas por partes y de orden
exponencial (párrafo 5.4).
f È CPOEßx0 x1 x FÔsÕ È Hßx1 x
Los puntos singulares sólo pueden estar a la iz-
quierda de x1.
s
xx1α c
×s1
× s2
×sn
Suponiendo válidas la hipótesis del teorema 11.2, se tiene:
Teorema 11.3.
H1Õ f È CPOEßx1 x
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
H3Õ ØsiÙn
i 1 È s. Sing. Aislados
H4Õ FÔsÕ M
Rk
: k 0
¸
»»»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»»»¹
TÕ HÔtÕf¦ÔtÕ HÔtÕ
nô
i 1
RÔFÔsÕ est
, siÕ
Observación: Una variante de H4 puede ser la siguiente:
FÔsÕ M
OÔRkÕ
M
Rk
Demostración del Teorema 11.3. La demostración se basa en la aplicación del teorema de los resi-
duos a la fórmula de inversión.
HÔtÕf¦ÔtÕ 1
2πi
ˆ
C
FÔsÕ est
ds
41

s
xc
×s1
× s2
×sn
c iR
c ¡iR
Γc
Γ1
Γ2
Figura 20: Caminos de integración cuando los s.S. son todos aislados.
Para aplicar el teorema de los residuos se toma en primer lugar un segmento de recta vertical
Γc.
Γc : Ö¡R, R× C
y s c iy
porque cuando se pasa al l´ımite para R
ˆ
Γc
FÔsÕ est
ds
ˆ c iR
c¡iR
FÔsÕ est
ds
R
ˆ c i
c¡i
FÔsÕ est
ds
2πi HÔtÕf¦ÔtÕ
se obtiene la integral buscada (fórmula de inversión).
Para formar una lazo, el segmento de recta Γc se completa por yuxtaposición con una semicir-
cunferencia Γ1 o Γ2 según convenga, para lograr que:
ˆ
Γ1
FÔsÕ est
ds
R
0
ˆ
Γ2
FÔsÕ est
ds
R
0
Para lograr este objetivo se tiene en cuenta la hipótesis H4
FÔsÕ M
Rk
: k 0
y que la ecuación de las circunferencias Γ es:
Γ : D C
ϕ s c R eiϕ
Se aplica entonces el teorema de acotación de la integral a cualquiera de las dos circunferencias
42

Γ1
§
§
§
§
ˆ
Γi
FÔsÕ est
ds
§
§
§
§ L ¤M π R ¤CotaØ FÔsÕ Ù est
π R
M
Rk
ect
eRt cos ϕ
Ð Ò
A
A
k 1
t 0
cos ϕ 0 Γi Γ1
R
0
ˆ
Γ1
FÔsÕ est
ds
R
0
A
k 1
t 0
cos ϕ 0 Γi Γ2
R
0
ˆ
Γ2
FÔsÕ est
ds
R
0
Esta demostración nos lleva a que el camino de integración es:
Γ1 si t 0
Γ2 si t 0
Además, esta demostración sólo es válida con la restricción k 1 y no k 0 como lo expresa
H2, pues la exponencial eRt cos ϕ
no tiende a 0 cuando R para los casos ϕ π
2 kπ.
ϕ
π
2
kπ eRt cos ϕ
¡¡¡¡R
0
Sin embargo, por un v´ıa más larga, se puede extender la tesis al caso k 0, como se verá a
continuación.
I. Caso t 0
s
xc
c iR
c ¡iR
Γc
Γ1
R
Para el caso t 0 se completa el lazo con Γ1
Γ1 : ¡π
2
,
π
2
C
ϕ s c R eiϕ
que se recorre en sentido negativo.
Acotando la integral a lo largo de Γ1 :
§
§
§
§
ˆ
Γ1
FÔsÕ est
ds
§
§
§
§
ˆ
Γ1
FÔsÕ ext
ds
ˆ πß2
¡πß2
M
Rk
eRt cos ϕ
R dϕ
M
Rk¡1
ˆ πß2
¡πß2
eRt cos ϕ
dϕ
Como la integral es de función par y t 0
2M
Rk¡1
ˆ πß2
0
e¡R t cos ϕ
dϕ
43

Cambiando la variable ϕ
π
2
¡θ
2M
Rk¡1
ˆ πß2
0
e¡R t sen θ
dθ
Para θ È 0, π
2 se cumple
sen θ
2
π
θ
como se muestra en la ﬁgura.
sen θ
θπß2
2
π
θ
Queda entonces:
§
§
§
§
ˆ
Γ1
FÔsÕ est
ds
§
§
§
§
2M
Rk¡1
ˆ πß2
0
e¡R t cos θ
dθ
2M
Rk¡1
ˆ πß2
0
e¡R t 2
π θ
dθ
πM
Rk¡1
e¡R t 2
π θ
¡R t
§
§
§
§
§
πß2
0
πM
Rk
1 ¡e¡R t
t
k 0
t 0
R
0
ˆ
Γ1
FÔsÕ est
ds
R
0
Por lo tanto, planteando la tesis del teorema de los residuos, sabiendo que a la derecha del
segmento Γc no hay puntos singulares, se tiene:
c iRˆ
c¡iR
FÔsÕ est
ds
R

ˆ
Γ1
FÔsÕest
ds
R

0
2πi ¤HÔtÕf¦ÔtÕ 0 0
Lo cual lleva al resultado obvio:
HÔtÕfÔtÕ 0 para t 0
II. Caso t 0
s
xc
×s1
× s2
×sn
c iR
c ¡iR
Γc
Γ2
R
Para el caso t 0 se complementa el lazo con Γ2
Γ2 :
π
2
,
3π
2
C
ϕ s c R eiϕ
que se recorre en sentido positivo.
Se acota la integral a lo largo de Γ2.
§
§
§
§
ˆ
Γ2
FÔsÕ est
ds
§
§
§
§
ˆ
Γ2
FÔsÕ est
ds
ˆ 3πß2
πß2
M
Rk
eRt cos ϕ
R dϕ
M
Rk¡1
ˆ 3πß2
πß2
eRt cos ϕ
dϕ
44

Esta última integral se puede reducir a una equivalente a la del caso anterior.
ˆ 3πß2
πß2
eRt cos ϕ
dϕ
ϕ ω¡π
ˆ πß2
piß2
eRt cos ω
dω 2
ˆ πß2
0
eRt cos ω
dω
Análogamente al lo realizado en el caso anterior, ω
π
2
¡θ
2
ˆ πß2
0
eRt sen θ
dθ
Acotando sen θ 2
π θ para θ È 0, π
2
2
ˆ πß2
0
e¡Rt 2
π θ
dθ 2
1 ¡eRt
Rt
Por lo tanto, volviendo a la acotación
´
Γ2
§
§
§
§
ˆ
Γ2
FÔsÕ est
ds
§
§
§
§
2M
Rk¡1
1 ¡e¡Rt
Rt
2M
Rk
1 ¡e¡Rt
t
k 0
t 0
R
0
ˆ
Γ2
FÔsÕ ds
R
0
Se plantea el teorema de los residuos, sabiendo que los únicos puntos singulares son polos o
puntos singulares esenciales: el conjunto ØsiÙ finito.
c iRˆ
c¡iR
FÔsÕ est
ds
R

ˆ
Γ1
FÔsÕest
ds
R

2πi
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×
2πi ¤HÔtÕf¦ÔtÕ 0 2πi
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×
De ello resulta:
HÔtÕf¦ÔtÕ
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si× para t 0
11.3. Fórmula de inversión cuando FÔsÕ tiene puntos de ramificación
Un caso más general que el visto en el párrafo anterior es cuando FÔsÕ tiene puntos de ramifi-
cación y las correspondientes cortaduras, además de los puntos singulares aislados.
Por supuesto que estos puntos de ra-
mificación sólo pueden encontrarse a la
izquierda de x1 (x x1) de acuerdo a
la tesis T5 del teorema 5.7 de CV para
funciones CPOE.
f È CPOEßx0 x1 x FÔsÕ È Hßx1 x
s
xx1α c
×
s1
×
s2
×
sn
r1
r2
Suponiendo válidas las hipótesis del teorema 11.2, entonces:
45

Teorema 11.4.
H1Õ f È CPOEßx0 x1 x
H2Õ
f½ È CPßt¡
f½ È CPßt
H3Õ ØsiÙm
i 1 È s. Sing. Aislados
H4Õ FÔsÕ M
Rk
: k 0
H5Õ ØrjÙm
j 1 È s. Ramificación
¸
»»»»»»»»»»»»»»»»»º
»»»»»»»»»»»»»»»»»¹
°
³³³³³²
³³³³³±
HÔtÕfÔtÕ HÔtÕ
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×
¡ 1
2πi
mô
j 1
ˆ
rj
FÔsÕ est
ds
Demostración. El caso t 0 es análogo al visto en el párrafo anterior. Por lo tanto, se analiza
directamente el caso t 0.
s
c x
×
s1
×
s2
×
sn
c iR
c ¡iR
Γ2
r1
r2
Figura 21: Camino de integración cuando hay puntos de ramificación.
Se aplica el teorema de los residuos:
ˆ c iR
c¡iR
FÔsÕ est
ds
R

ˆ
Γ2
R

mô
j 1
ˆ
rj
R

2πi
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×
R

2πi ¤HÔtÕf¦ÔtÕ 0
mô
j 1
ˆ
rj
2πi
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×
Por lo tanto, para t 0
HÔtÕfÔtÕ HÔtÕ
nô
i 1
RÖFÔsÕ est
, si×¡ 1
2πi
mô
j 1
ˆ
rj
FÔsÕ est
ds
11.4. Teorema de Heaviside
Una función FÔsÕ muy frecuente en las aplicaciones, que debe antitransformarse, es la racional
FÔsÕ smÔsÕ
QnÔsÕ
donde m n (por el teorema del orden de la T.L.) y donde todos los polos son simples, es decir
que hay n ra´ıces simples del denominador QnÔsÕ.
46

La tesis que se obtiene es la fórmula de Heaviside.
Teorema 11.5.
H1Õ FÔsÕ smÔsÕ
QnÔsÕ
H2Õ QnÔsÕ
nõ
i 1
Ôs ¡siÕ : i j si sj
¸
»»»»»º
»»»»»¹
f¦ÔtÕ
nô
i 1
smÔsiÕ
Q½nÔsiÕ esit
t 0
Demostración. Las hipótesis del teorema T3 de antitransformación se cumplen:
H4Õ FÔsÕ smÔsÕ
QnÔsÕ
1
OÔRn¡mÕ n ¡m 0
de acuerdo al teorema del orden de la T.L. (teorema 10.2)
H3Õ ØsiÙn
i 1 È s. Sing. Aislados si È Polos de primer orden
A su vez, H1 y H2 se cumplen porque:
H1Õ f È CPOEßx1 x
H2Õ f½ È CPßt¡,t
·
f
nô
i 1
ki esit
: ki È cte.
De acuerdo al teorema 11.3:
FÔsÕ smÔsÕ
QnÔsÕ f¦ÔtÕ
nô
i 1
R FÔsÕ est
, si
Por ser si polos simples:
R FÔsÕ est
, si
smÔsiÕ
Q½nÔsÕ esit
Resulta entonces:
f¦ÔtÕ
nô
i 1
smÔsiÕ
Q½nÔsiÕ esit
t 0
11.5. Ejercicios de antitransformación
Para antitransformar una T.L. puede usarse la fórmula de inversión (con sus casos particulares)
o cualesquiera de las propiedades de la misma T.L, conjuntamente con la tabla de transformadas
de funciones.
Un ejemplo que ilustra las diferentes formas de antitransformar es el siguiente:
Ejemplo 1. Antitransformar
FÔsÕ 1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
Método 1. Fracciones simples
1.1. a b
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
A
s ¡a
B
s ¡b
47

Los coeficientes A y B son los residuos de FÔsÕ en a y b, respecivamente.
RÔaÕ
s ¡a
RÔbÕ
s ¡b
1
a¡b
s ¡a

¡1
a¡b
s ¡b
1
a ¡b
Ôeat
¡ebt
ÕHÔtÕ
1.2. a b
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
1
Ôs ¡aÕ2
t eat
HÔtÕ
Esta se obtiene directamente por tabla y el teorema del desplazamiento en s.
Método 2. Inversión
2.1. a b (Heaviside)
FÔsÕ
§
§
§
§
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
§
§
§
§
1
OÔR2Õ
Puede acotarse FÔsÕ por un polinomio en R2
, por lo tanto vale el teorema de inversión.
HÔtÕf¦ÔtÕ HÔtÕ
2ô
i 1
RÖ 1
Ôs¡aÕÔs¡bÕ est
, si×
HÔtÕÖ 1
a¡b eat
1
b¡a ebt
×
HÔtÕ 1
a ¡b
Ôeat
¡ebt
Õ
2.2. a b
FÔsÕ 1
Ôs ¡aÕ2
1
OÔR2Õ
HÔtÕf¦ÔtÕ HÔtÕ RÖFÔsÕ est
, a×
a È polo de segundo orden
HÔtÕDsÖest
×
§
§
§
a
HÔtÕt eat
Método 3. Convolución
De acuerdo al teorema de convolución, suponemos t 0.
3.1. a b
1
s ¡a
eat
1
s ¡b
ebt
¸
»º
»¹
t 0
eat
ªebt
ˆ t
0
eaτ
ebÔt¡τÕ dτ
ebt eÔa¡bÕτ
a ¡b
§
§
§
§
t
0
ebt
a ¡b
ÖeÔa¡bÕt
¡1×
t 0 1
a ¡b
Ôeat
¡ebt
Õ
48

3.2. a b
eat
ªebt
ˆ t
0
eaτ
eaÔt¡τÕ; dτ eat
ˆ t
0
dτ t eat
Método 4. Combinación de integración en t y desplazamiento en s
4.1. a b
1
s ¡β
eβt
1
sÔs ¡βÕ
ˆ t
0
eβτ
dτ
1
β
Ôeβt
¡1Õ
Desplazando s s ¡a
1
Ôs ¡aÕÔs ¡a ¡bÕ
1
β
Ôeβt
¡1Õ eat 1
β
eÔβ aÕt
¡eat
Tomando a β b β b ¡a
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
1
b ¡a
Ôebt
¡eat
Õ 1
a ¡b
Ôeat
¡ebt
Õ
4.2. a b
Es análogo al 1.2. (se obtiene directamente de tabla).
Método 5.
5.1. a b
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
1
s2 ¡Ôa bÕs ab
Llamando 2α a b, β ab
1
s2 ¡2α β
1
Ôs2 ¡αÕ2 ¡Ôα2 ¡βÕ
Considerando w2
α2
¡β, resulta
1
Ôs ¡aÕÔs ¡bÕ
1
Ôs ¡αÕ2 ¡w2
1
w
senhÔwtÕ eαt
De donde, para t 0
f¦ÔtÕ eαt
w
ewt
¡e¡wt
2
1
2w
ÔeÔα wÕt
¡eÔα¡wÕt
Õ
Expresando w,α y β en función de a y b:
w2
α2
¡β
¢
a b
2
ª2
¡ab
¢
a ¡b
2
ª2
α w
a b
2
a ¡b
2
a
α ¡w
a b
2
¡ a ¡b
2
b
2w a ¡b
49

Resulta
f¦ÔtÕ 1
a ¡b
Ôeat
¡ebt
Õ
Otro ejemplo de antitransformación, con puntos de ramificación, es:
Ejemplo 2.
FÔsÕ 1
s
s
xc
y
Γ5
Γ3 r
Γ4
c iR
c ¡iR
Γ1
Γ2
R
Figura 22: Camino de integración para FÔsÕ 1
s
.
Esta función no tiene polos ni puntos singulares esenciales, pero s´ı un punto de ramificación en
s 0, como se muestra en el figura 11.5.
Por otro lado
FÔsÕ
§
§
§
§
1
s
§
§
§
§
1
OÔR1ß2
Õ
Se aplica la tesis del teorema 11.3 para t 0:
f¦ÔtÕ ¡1
2πi
ˆ
rj
1
s
est
ds Ôrj 0Õ (2)
50

Se plantean las integrales en Γ3, Γ4, Γ5
Γ3 : ÖR ¡c, 0× C
ρ ρ eiπ
ˆ
Γ3
ˆ 0
R¡c
1
ρ1ß2
eiπß2
eρ eiπ
t
dρ ¡i
ˆ R¡c
0
ρ
1ß2
e¡ρt
dρ
R
R
¡i
ˆ
0
ρ
1ß2
e¡ρt
dρ
ρt τ
¡i
ˆ
0
τ¡1ß2
t¡1ß2
e¡τ dτ
t
¡i
t
π
Γ4 : Öπ, ¡π× C
ϕ r eiϕ
§
§
§
§
ˆ
Γ4
§
§
§
§ 2πr
e¡r cosÔϕÕt
r r 0 0
ˆ
Γ4
r 0 0
Γ5 : Ö0, R ¡c× C
ρ ρ e¡iπ
ˆ
Γ5
ˆ R¡c
0
1
ρ1ß2
e¡iπß2
eρ e¡iπ
t
dρ ¡i
ˆ R¡c
0
ρ
1ß2
e¡ρt
dρ
R
R
¡i
ˆ
0
ρ
1ß2
e¡ρt
dρ
¡i
t
π
Volviendo a la ecuación 2 (t 0)
f¦ÔtÕ ¡1
2πi
ˆ
rj
¡1
2πi
¡2i
π
t
f¦ÔtÕ 1
π t
De donde
1
s
1
π t
Un tercer ejemplo de antitransformación, para funciones periódicas, es el siguiente:
Ejemplo 3.
51

FÔsÕ 1
s Ô1 ¡e¡sÕ
Los polos son las ra´ıces de:
1 ¡e¡s
entonces
s ¡2kπi
Por lo tanto
k 0 polo doble
k 0 polos simples
s
xc
y
0
2πi
4πi
¡2πi
¡4πi
En este ejemplo hay infinitos polos simples. Puede aplicarse el teorema de los residuos, pero
después debe analizarse el l´ımite cuando R de la suma de los residuos.
Para t 0
f¦ÔtÕ l´ım
k
kô
i ¡k
R
1
s Ô1 ¡e¡sÕ , si
Calculamos
RÔ0Õ D
§
§
§
§
s
Ô1 ¡e¡s
Õ
§
§
§
§
s 0
Ô1 ¡e¡s
Õ¡s e¡s
Ô1 ¡e¡sÕ2
§
§
§
§
s 0
Aplicando L’Hospital
¨ë¡s
¡¨ë¡s
s e¡s
2Ô1 ¡e¡sÕ e¡s s 0
1
2
RÔ2kπiÕ
1ßs est
Ô1 ¡e¡sÕ½
§
§
§
§
s 2kπi
1ßs est
e¡s
§
§
§
§
s 2kπi
e2kπit
2kπi
Entonces
kô
i ¡k
R
1
2

kô
i ¡k
e2kπit
2kπi k
f¦t
f¦ÔtÕ 1
2

ô
i ¡
e2kπit
2kπ
esta es una serie de Fourier exponencial, que también puede transformarse en trigonométrica:
f¦ÔtÕ 1
2

ô
k 1
e2kπit
¡e¡2kπi
2kπit
1
2

ô
k 1
sen 2kπt
kπ
donde se ve como la función periódica de T 1 puede expresarse como serie de Fourier.
52

12. Transformada de Laplace de Funciones Especiales
12.1. Función at
at 1
s ¡ln a
a 0
at
et ln a 1
s ¡ln a
: x ln a
s
xln a
12.2. Función logaritmo
ln t
1
s
ÔΓ½Ô1Õ¡L sÕ
s
x
y
0
Demostración 1o
ˆ
0
ln t e¡s t
dt
st τ
ˆ
0
L
¡τ
s
©
e¡τ dτ
s
1
s
ˆ
0
L τ e¡τ
dτ ¡ L s
s
ˆ
0
e¡τ
dτ
1
s
ÔΓ½Ô1Õ¡L sÕ
Demostración 2o
tw ΓÔw 1Õ
sw 1
Para hallar la transformada de tw
w basta derivar dentro del signo integral.
Esto es posible porque se cumple:
H1Õ tw
e¡st
È Cßw,t
H2Õ tw
ln t e¡st
È Cßw,t 0
H3Õ
ˆ
V
tw
e¡st
dt È CV tw
È CPOEß0 x
H4Õ
ˆ
V
tw
ln t e¡st
dt È CV tw
ln t È CPOEß0 x1 x
53

Entonces:
tw
w w
ΓÔw 1Õ
sw 1
ˆ
0
tw
w
e¡s t
dt
tw
ln t
tw
w
Γ½Ôw 1Õ
sw 1
¡ ΓÔw 1Õ
sw 1
L s
Pasando al l´ımite cuando w 0
ln t
Γ½Ô1Õ
s
¡ ΓÔ1Õ L s
s
12.3. Funciones de Bessel J0ÔtÕ
J0ÔtÕ 1
s2 1
s
x
y
i
¡i
Demostración 1 Esta demostración es un ejemplo de como la T.L. también resuelve ED lineales
de coeficientes no constantes.
ED. BESSEL ν 0
y¾ 1
t
y½ y 0 J0Ô0 Õ 1
J½Ô0 Õ 0
Se tiene entonces la ED que se transforma
t y¾ y½ t y 0
Transformando, aplicando la linealidad y la derivación en s
¡Ös2
Y ÔsÕ¡s yÔ0 Õ¡y½Ô0 Õ×½ Ös Y ÔsÕ¡yÔ0 Õ×¡ÖY ÔsÕ×½ 0
Sabiendo que JÔ0 Õ 1 y que J½Ô0 Õ 0:
¡s2
Y ½ÔsÕ¡2s Y ÔsÕ ¡1 s Y ÔsÕ¡¡1 ¡Y ½ÔsÕ 0
Y ½ÔsÕ
Y ÔsÕ
¡s
s2 1
L Y ÔsÕ ¡1
2
LÔs2
1Õ L k
Y ÔsÕ k
s2 1
54

Aplicando el teorema del valor inicial
s Y ÔsÕ k s
s2 1 s k fÔ0 Õ J0Ô0 Õ 1
Y ÔsÕ 1
s2 1
Demostración 2 Esta demostración es un ejemplo de como operar en T.L. con series:
J0ÔtÕ
ô
k 0
Ô¡1Õk
t
2
¨2k
k! k!
(3)
Transformado término a término (existe CU)
L ØJ0ÔtÕÙ
ô
k 1
Ô¡1Õk
k! k!
1
22k
Ô2kÕ!
s2k 1
(4)
Recordando la serie de Taylor de
1
1 ¡z
f
1
1 ¡z
Ô1 ¡zÕ¡1
2
z 0
1
f½ 1
2
Ô1 ¡zÕ¡3
2
z 0
1
2
f¾ 1
2
3
2
Ô1 ¡zÕ¡5
2
z 0
1
2
3
2
...
...
fÔkÕ 1
2
3
2
. . .
2k ¡1
2
Ô1 ¡zÕ¡Ô2k 1Õ
z 0
1
2
3
2
. . .
2k ¡1
2
Ô2kÕ!
22k k!
1
1 ¡z
ô
k 0
Ô2kÕ!
22k k!
zk
k!
En nuestro caso, la serie 4:
L ØJ0ÔtÕÙ
ô
k 1
Ô¡1Õk
k! k!
1
22k
Ô2kÕ!
s2k 1
1
s
1
1 1
s2
1
s2 1
Demostración 3 Recordando la forma integral de Bessel
JnÔtÕ 1
2π
ˆ π
¡π
eiÔt sen ϕ¡nϕÕ dϕ
Para n 0
J0ÔtÕ 1
2π
ˆ π
¡π
eit sen ϕ
dϕ
J0ÔtÕ
ˆ
0
1
2π
¢ˆ π
¡π
eit sen ϕ
dϕ
ª
e¡s t
dt
55

Se puede cambiar el orden de integración pues la función es f È CPOE
1
2π
ˆ π
¡π
ˆ
0
eit sen ϕ
e¡s t
dt dϕ
1
2π
ˆ π
¡π
1
s ¡i sen ϕ
dϕ
Esta integral se puede calcular en el campo complejo
1
2π
ˆ π
¡π
1
s ¡i sen ϕ
dϕ
z eiϕ
1
2π
‰
z 1
1
s ¡ gi
¡
z¡z¡1
2gi
©
dz
iz
1
2πi
‰
z 1
¡2
z2 ¡2pz ¡1
dz
RÔz2Õ
¡2
2s ¡2 s2 1 ¡2s
1
s2 1
y
x
z
z2
s
1
s2 1
z1,2 s ¨ s2 1
z1 1
z2
§
§
§
§
1
z1
§
§
§
§
1
12.4. Funciones de Bessel JnÔtÕ
JnÔtÕ

s2 1 ¡s
¨n
s2 1
Demostración 1
JnÔtÕ 1
2π
ˆ π
¡π
eiÔt sen ϕ¡nϕÕ dϕ Ô¡1Õn
J¡nÔtÕ
JnÔtÕ Ô¡1Õn
ˆ
0
1
2π
ˆ π
¡π
eiÔt sen ϕ¡nϕÕ dϕ
e¡s t
dt
Cambiando el orden de integración, válido porque f È CPOE
Ô¡1Õn 1
2π
ˆ π
¡π
einϕ
ˆ
0
est sen ϕ
e¡s t
dt dϕ
1
2π
Ô¡1Õn
ˆ π
¡π
einϕ
s ¡i sen ϕ
Haciendo zeiϕ
como en el caso de J0ÔtÕ
Ô¡1Õn 1
2πi
‰
z 1
zn ¡2
z2 ¡2pz ¡1
56

Los puntos singulares son:
z1 s s2 1 (excluido)
z2 s ¡ s2 1 (incluido)
Ô¡1Õn
RÔz2Õ
Ô¡1Õn Ôz2Õn
Ô¡2Õ
2z2 ¡2s

s2 1 ¡s
¨n
s2 1
Demostración 2 De acuerdo a las fórmulas de recurrencia de las funciones de Bessel.
2J½
nÔtÕ Jn¡1ÔtÕ¡Jn 1ÔtÕ
Jn 1 Jn¡1 ¡2J½
n
Para n 0
J1 J¡1 ¡2J½
0
Como J1 ¡J¡1
J1 ¡J½
0
Transformando ¡J½
0ÔtÕ
J1ÔtÕ ¡ s
1
s2 1
¡1
s2 1 ¡s
s2 1
J2ÔtÕ J0 ¡2J½
1
1
s2 1
¡2s s
1
s2 1
¡1
1 ¡2s s2 1 2s2
s2 1

s2 1 ¡s
¨2
s2 1
Ensayando por recurrencia la fórmula
JnÔtÕ

s2 1 ¡s
¨n
s2 1
Jn 1 Jn¡1 ¡2J½
n

s2 1 ¡s
¨n¡1
s2 1
¡2s

s2 1 ¡s
¨n
s2 1

s2 1 ¡s
¨n¡1
s2 1
Ö1 ¡2s s2 1 2s2
×

s2 1 ¡s
¨n 1
s2 1
12.5. Relaciones entre sen y Jn
Recordando el producto de convolución y las transformadas de sen y J0, queda:
1
s2 1
¤ 1
s2 1
1
s2 1
ˆ t
0
J0ÔτÕJ0Ôt ¡τÕ dτ sen t
57

Además

s2 1 ¡s
¨n
s2 1
¤

s2 1 ¡s
¨¡n
s2 1
1
s2 1
ˆ t
0
JnÔτÕJ¡nÔt ¡τÕ dτ sen t
ˆ t
0
JnÔτÕJnÔt ¡τÕ dτ Ô¡1Õn
sen t
12.6. Funciones de Bessel hiperbólicas
InÔtÕ

s ¡ s2 1
¨n
s2 ¡1
Las funciones de Bessel modificadas de 1o
especie son:
InÔtÕ i¡n
JnÔitÕ i¡n
ô
k 0
Ô¡1Õn

i t
2
¨2k n
n! Ôn kÕ!
ô
k 0
t
2
¨2k n
n! Ôn kÕ!
Transformando la serie
InÔtÕ
ô
k 0
t
2
¨2k n
n! Ôn kÕ!
ô
k 0
1
n! Ôn kÕ!
1
22k n
Ô2k nÕ!
s2k n 1
Comparando con
JnÔtÕ
ô
k 0
Ô¡1Õn
t
2
¨2k n
n! Ôn kÕ!
ô
k 0
1
n! Ôn kÕ!
1
22k n
Ô¡1Õk
Ô2k nÕ!
s2k n 1

s2 1 ¡s
¨n
s2 1
Resulta:
InÔtÕ
ô
k 0
1
n! Ôn kÕ!
1
22k n
Ô2k nÕ!
i2k n 1
s
i
¨2k n 1
i¡n
ô
k 0
1
n! Ôn kÕ!
1
22k n
Ô¡1Õk
Ô2k nÕ!
i
s
i
¨2k n 1
i¡n
¢
s
i
¨2
1 ¡ s
i
ªn
i
s
i
¨2
1
¡
¡s2 1
i ¡ s
i2
©n
i s2 1

s ¡ s2 1
¨n
s2 ¡1
58

12.7. Funciones cos y sen integral
ciÔtÕ ¡1
s
L s2 1
siÔtÕ ¡1
s
Arctg s
Recordando la definición
ciÔtÕ ¡
ˆ
t
cos τ
τ
dτ
siÔtÕ ¡
ˆ
t
sen τ
τ
dτ
ciÔtÕ i siÔtÕ ¡
ˆ
t
cos τ
τ
dτ i ¡
ˆ
t
sen τ
τ
dτ
¡
ˆ
t
eiτ
τ
dτ ¡
ˆ
0
¢ˆ
t
eiτ
τ
dτ
ª
e¡s t
dt
¡
ˆ
0
eiτ
τ
ˆ τ
0
e¡st
dt dτ
D
t
τ
t
τ
Esta integral se calcula cambiando el orden de
integración en el recinto D, entonces t È Ö0, τ× y
τ È Ô0, Õ.
ciÔtÕ i siÔtÕ ¡
ˆ
0
eiτ
τ
e¡sτ
¡1
¡s
dτ ¡1
s
ˆ
0
eiτ
¡e¡Ôs¡iÕτ
τ
dτ
Esta integral se puede calcular as´ı:
ˆ
0
eat
¡ebt
t
e¡s t
dt
ˆ
s
1
s ¡α
¡ 1
s ¡β
ds L
¢
s ¡α
s ¡β
ª§
§
§
§
s
L
¢
s ¡β
s ¡α
ª
Por lo tanto:
¡
ˆ
t
eiτ
τ
dτ ¡1
s
L
¢
¡Ôs ¡iÕ
i
ª
¡1
s
LÔ1 isÕ
¡1
s
L s2 1 i Arctg s
Separando parte real e imaginaria
ciÔtÕ ¡
ˆ
t
cos τ
τ
dτ ¡ 1
s
L s2 1
siÔtÕ ¡
ˆ
t
sen τ
τ
dτ ¡ 1
s
Arctg s
59

12.8. Polinomios de Laguerre
Los polinomios de Laguerre LnÔtÕson un caso de polinomios ortogonales en el intervalo t È Ô0, Õ.
La fórmula de Rodrigues correspondiente es:
LnÔtÕ et
DÔnÕÖtn
e¡t
×
Transformando ϕÔtÕ tn
e¡t
ϕÔtÕ tn
e¡t n!
Ôs 1Õn 1
Como ϕÔ0 Õ ϕ½Ô0 Õ ¤¤¤ ϕÔn¡1ÕÔ0 Õ 0
DÔnÕÖϕÔtÕ× DÔnÕÖtn
e¡t
× sn
n!
Ôs 1Õn 1
Resulta por el teorema de desplazamiento en el campo s
et
DÔnÕÖtn
e¡t
× n! Ôs ¡1Õn
sn 1
n!
1
s
¢
1 ¡ 1
s
ªn
LnÔtÕ n!
1
s
¢
1 ¡ 1
s
ªn
Esta fórmula permite hallar la fórmula generatriz de los polinomios de Laguerre, pues:
ô
n 0
LnÔtÕ xn
n!
ô
n 0
n!
1
s
¢
1 ¡ 1
s
ªn
xn
n!
Serie geométrica de razón

1 ¡ 1
s
¨
x
ô
n 0
LnÔtÕ xn
n!
1
s
1
1 ¡

1 ¡ 1
s
¨
x
1
s ¡px x
1
sÔ1 ¡xÕ x
1
s x
1¡x
Esta última expresión es fácil de antitransformar
1
1 ¡x
e¡tÔ x
1¡x Õ 1
1 ¡x
1
s x
1¡x
Por lo tanto
ô
n 0
LnÔtÕ xn
n!
1
1 ¡x
e¡tÔ x
1¡x Õ
Fórmula generatriz de los polinomios de Laguerre
13. Resolución de ecuaciones diferenciales y sistemas de
ecuaciones diferenciales
En este cap´ıtulo se desarrollan ejemplos de aplicación de la T.L. a diferentes tipos de ED y
sistemas de ED.
60

13.1. ED lineales de coeficientes constantes
Ejemplo 1.
y¾ 2 y½ y t e¡t yÔ0Õ 0
y½Ô0Õ 0
Transformando se obriene una ecuación algebraica.
s2
Y ÔsÕ 2s Y ÔsÕ Y ÔsÕ 1
Ôs 1Õ2
Y ÔsÕÔs 1Õ2 1
Ôs 1Õ2
Y ÔsÕ 1
Ôs 1Õ4
Antitransformando
yÔtÕ t3
3!
e¡t
Verificación:
y¾ 2 y½ y t e¡t
¡$$2 ¤3
3!
$$$
t2
e¡t

t3
3!
e¡t
$$2 ¤3
3!
$$$
t2
e¡t
¡

2
t3
3!
e¡t

t3
3!
e¡t
t e¡t
Ejemplo 2.
y¿ y t
yÔ0Õ y½Ô0Õ 0
y¾Ô0Õ 0
s3
Y ÔsÕ¡1 Y ÔsÕ 1
s2
Y ÔsÕ
¢
1
s2
1
ª
1
s3 1
Y ÔsÕ s2
1
s2 Ôs3 1Õ
Como f¦ÔtÕ 4
j 1 RÖFÔsÕ est
, sj× para t 0, se calculan los residuos.
Los polos son:
s3
1 0 s Ô¡1Õ1ß3
eiÔÔ2k 1Õπ
3 Õ k ¡1
s1 e¡i πß3
(polo simple)
k 0
s2 ei πß3
(polo simple)
k 1
s3 ei π
¡1 (polo simple)
s2
0 s4 0 (polo doble)
61

Los residuos de primer orden s1, s2, s3 se calculan por:
RÔsjÕ
s2
j 1
s2
j
esj t
3 s2
j
Ôs2
j 1Õ esj t
3 s4
j
sj s¡1
j
3 s3
j
esj t
j 1
RÔs1Õ 2 cos π
3
¡3
ee¡iπß3
t
¡1
3
e
¡
1
2 ¡ 3
2 i
©
t
j 2
RÔs2Õ 2 cos π
3
¡3
eeiπß3
t
¡1
3
e
¡
1
2 3
2 i
©
t
j 3
RÔs3Õ 2
3
e¡t
El residuo en s 0
RÔ0Õ D
s2
1
s3 1
est
s 0
2sÔs3
1Õ¡3s2
Ôs2
1Õ
Ôs2 1Õ2
est
s2
1
s3 1
t est
s 0
t
Entonces
yÔtÕ ¡1
3
e
1
2 t
¡
e¡ 3
2 it
e
3
2 it
©
2
3
e¡t
t
yÔtÕ ¡2
3
e
1
2 t
cos
3
2
t 2
3
e¡t
t
Verificación:
y¿ ¡2
3
1
8
e
1
2 t
cos
3
2
t 3
1
4
e
1
2 t
¢
¡ 3
2
ª
sen
3
2
t
3
1
2
e
1
2 t
¢
¡3
4
cos
3
2
t
ª
e
1
2 t
¢
3 3
8
sen
3
2
t
ª
¡ 2
3
e¡t
0
y¿ y e
1
2 t
cos
3
2
t
$$$$$$$$$X0¢
¡ 2
24
18
24
¡ 2
3
ª
sen
3
2
t
$$$$$$$$$$X0¢
2
3
3 3
8
¡ 2
3
3 3
8
ª
e¡t
¨¨
¨¨
¨¨B0¢
¡2
3
2
3
ª
t t
13.2. Sistemas de ED lineales con coeficientes constantes
Ejemplo 1.
x½ x ¡y xÔ0 Õ 5
y½ 2x 4y yÔ0 Õ 7
Transformando el sistema lineal de ED se obtiene un sistema lineal de ecuaciones algebraicas.
s XÔsÕ¡xÔ0 Õ XÔsÕ¡Y ÔsÕ
s Y ÔsÕ¡yÔ0 Õ 2 XÔsÕ 4 Y ÔsÕ
62

ordenando:
¡5 XÔsÕÔ1 ¡sÕ Y ÔsÕÔ¡1Õ
¡7 XÔsÕÔ2Õ Y ÔsÕÔ4 ¡sÕ
Se resuelve por el teorema de Cramer
∆
1 ¡s ¡1
2 4 ¡s
s2
¡5s 6 Ôs ¡2ÕÔs ¡3Õ
Este determinante no es otro que el polinomio caracter´ıstico A ¡ s I , donde las ra´ıces de ∆ son
los polos de las transformadas XÔsÕ e Y ÔsÕ, y son los autovalores de A.
∆x
¡5 ¡1
¡7 4 ¡s
5s ¡27
∆y
1 ¡s ¡5
2 ¡7
7s 3
Por lo tanto, antitransformando por Heaviside : t 0
XÔsÕ 5s ¡27
Ôs ¡2ÕÔs ¡3Õ xÔtÕ 17 e2t
¡12 e3t
Verificamos xÔ0 Õ 5
Y ÔsÕ 7s 3
Ôs ¡2ÕÔs ¡3Õ yÔtÕ ¡17 e2t
24 e3t
Verificamos yÔ0 Õ 7
Puede realizarse una verificación general
x½ 34 e2t
¡36 e3t

17 e2t
¡12 e3t
¨
¡

¡17 e2t
24 e3t
¨
34 e2t
¡36 e3t
y½ ¡34 e2t
72 e3t
2

17 e2t
¡12 e3t
¨
4

¡17 e2t
24 e3t
¨
¡34 e2t
72 e3t
Ejemplo 2.
x½ x 2y e¡t
xÔ0 Õ 0
y½ 2x y yÔ0 Õ 1
Transformando:
°
²
±
s XÔsÕ¡xÔ0 Õ XÔsÕ 2 Y ÔsÕ 1
s 1
s Y ÔsÕ¡yÔ0 Õ XÔsÕ Y ÔsÕ
ordenando:
°
²
±
¡ 1
s 1
XÔsÕÔ1 ¡sÕ Y ÔsÕÔ2Õ
¡1 XÔsÕÔ2Õ Y ÔsÕÔ1 ¡sÕ
63

Se resuelve por el teorema de Cramer
∆
1 ¡s 2
2 1 ¡s
s2
¡2s ¡3 Ôs 1ÕÔs ¡3Õ
∆x
¡ 1
s 1 2
¡1 1 ¡s
s ¡1
s 1
2
3s 1
s 1
∆y
1 ¡s ¡ 1
s 1
2 ¡1
s ¡1 2
s 1
s2
1
s 1
Antitransformando por Heaviside : t 0
XÔsÕ 3s 1
Ôs ¡3ÕÔs 1Õ2
xÔtÕ RÔ3Õ RÔ¡1Õ
RÔ3Õ 10
16
e3t 5
8
e3t
RÔ¡1Õ D
3s 1
s ¡3
est
s ¡1
3Ôs ¡3Õ¡Ô3s 1Õ
Ôs ¡3Õ2
est
3s 1
s ¡3
t est
s ¡1
¡10
16
e¡t
¡2
¡4
t e¡t
e¡t
¢
¡5
8
1
2
t
ª
xÔtÕ 5
8
e3t
e¡t
¢
¡5
8
1
2
t
ª
Veriﬁcamos xÔ0 Õ 0
Y ÔsÕ s2
1
Ôs ¡3ÕÔs 1Õ2
yÔtÕ RÔ3Õ RÔ¡1Õ
RÔ3Õ 10
16
e3t 5
8
e3t
RÔ¡1Õ D
s2
1
s ¡3
est
s ¡1
2sÔs ¡3Õ¡Ôs2
1Õ
Ôs ¡3Õ2
est
s2
1
s ¡3
t est
s ¡1
6
16
e¡t
¡ 2
4
t e¡t
e¡t
¢
3
8
¡ 1
2
t
ª
yÔtÕ 5
8
e3t
e¡t
¢
3
8
¡ 1
2
t
ª
Veriﬁcamos yÔ0 Õ 1
64

Veriﬁcaci´on:
x½ 15
8
e3t
e¡t
¢
5
8
¡ 1
2
t 1
2
ª ¢
5
8
e3t
e¡t
¢
¡5
8
1
2
t
ªª

2
¢
5
8
e3t
e¡t
¢
3
8
¡ 1
2
t
ªª
e¡t
15
8
e3t
e¡t
¢
¡1
2
t 9
4
ª
15
8
e3t
e¡t
¢
¡5
8
t
2
6
8
¡t 1
ª
15
8
e3t
e¡t
¢
¡t
2
9
4
ª
y½ 15
8
e3t
e¡t
¢
¡3
8
¡ t
2
¡ 1
2
ª
2
¢
5
8
e3t
e¡t
¢
¡5
8
1
2
t
ªª

¢
5
8
e3t
e¡t
¢
3
8
¡ 1
2
t
ªª
15
8
e3t
e¡t
¢
¡7
2
t ¡ 7
8
ª
15
8
e3t
e¡t
¢
¡10
8
t 3
8
1
2
t
ª
15
8
e3t
e¡t
¢
t
2
¡ 7
8
ª
13.3. Ecuaciones Integro-Diferenciales
Ejemplo 1.
yÔtÕ 3
ˆ t
0
yÔτÕ senÔt ¡τÕ dτ e¡t
Transformando:
Y ÔsÕ 3 Y ÔsÕ 1
s2 1
1
s 1
Despejando:
Y ÔsÕ s2
1 3
s2 1
1
s 1
Y ÔsÕ s2
1
Ôs 1ÕÔs2 4Õ
Antitransformando:
yÔtÕ RÔ¡1Õ RÔ2iÕ RÔ¡2iÕ
RÔ¡1Õ 2
5
e¡t
RÔ2iÕ ¡4 1
Ô2i 1Õ4i
ei2t ¡3 Ô1 ¡2iÕ
4i ¤5
ei2t
RÔ¡2iÕ ¡4 1
Ô¡2i 1ÕÔ¡4iÕ e¡i2t 3 Ô1 2iÕ
4i ¤5
e¡i2t
65

yÔtÕ 2
5
e¡t
3
20i
e¡i2t
e¡i2t
2i

ei2t
e¡i2t
¨
2
5
e¡t
3
20i
Ô¡2i sen 2t 4i cos 2tÕ
yÔtÕ 2
5
e¡t
3
5
cos 2t ¡ 3
10
sen 2t
Ejemplo 2.
4
ˆ t
0
yÔτÕ dτ y½ÔtÕ
ˆ t
0
yÔτÕ cosÔt ¡τÕ dτ yÔ0Õ 1
4
Y ÔsÕ
s
s Y ÔsÕ ¡ 1 Y ÔsÕ s
s2 1
Y ÔsÕ 4
s
s ¡ s
s2 1
1
Y ÔsÕ 4s2
4 s4
s2
¡s2
s Ôs2 1Õ 1
Y ÔsÕ s Ôs2
1Õ
Ôs2 2Õ2
yÔtÕ RÔ 2 iÕ RÔ¡ 2 iÕ
RÔ 2 iÕ D
s3
s
Ôs 2 iÕ2
est
s 2 i
Ô3s2
1ÕÔs 2 iÕ2
¡2 Ôs 2 iÕÔs3
sÕ
Ôs 2 iÕ4
est
s3
s
Ôs 2 iÕ2
t est
s 2 i
Ô¡6 1ÕÔ¡8Õ¡2 Ô2 2 iÕÔ 2 iÕÔ¡1Õ ei 2 t
64
2 i Ô¡1Õ
¡8
t ei 2 t
RÔ¡ 2 iÕ D
s3
s
Ôs ¡ 2 iÕ2
est
s ¡ 2 i
Ô3s2
1ÕÔs ¡ 2 iÕ2
¡2 Ôs ¡ 2 iÕÔs3
sÕ
Ôs ¡ 2 iÕ4
est
s3
s
Ôs ¡ 2 iÕ2
t est
s ¡ 2 i
Ô¡6 1ÕÔ¡8Õ¡2 Ô2 ¡ 2 iÕÔ¡ 2 iÕÔ¡1Õ e¡i 2 t
64
Ô¡ 2 iÕÔ¡1Õ
¡8
t e¡i 2 t
yÔtÕ cos 2 t ¡ 2
4
t sen 2 t
14. Aplicaciones
La principal aplicaci´on de la T.L. es resolver con rapidez las ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales con coeﬁcientes constantes.
66

Además pueden resolverse ecuaciones lineales en derivadas parciales, ecuaciones integro-diferenciales
y aún ecuaciones diferenciales con coeficientes no constantes.
El primer modelo, por excelencia, es el presentado en el párrafo 7, regido por la ecuación
diferencial de 2o
grado que se trata a continuación.
14.1. Resolución del modelo EDL con coeficientes constantes
14.1.1. Ecuación general en s
Se resuelve entonces el modelo planteado en 7 en el caso general, aún con condiciones de
contorno no nulas.
iÔtÕ oÔtÕ
Sistema
iÔsÕ OÔsÕ
ZÔsÕ
a o¾ÔtÕ b o½ÔtÕ c oÔtÕ iÔtÕ
Ôa, b, cÕ ctes. reales
a s2
OÔsÕ¡s oÔ0 Õ¡o½Ô0 Õ
b s OÔsÕ ¡oÔ0 Õ c OÔsÕ IÔsÕ
Por lo tanto, la ecuación general de OÔsÕ es:
OÔsÕ IÔsÕ
a s2 b s c
Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
a s2 b s c
Llamando ZÔsÕ a s2
b s c
OÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
ZÔsÕ
Donde el primer término IÔsÕ
ZÔsÕ es la respuesta a la excitación de entrada y el segundo término es la
respuesta del sistema a las condiciones iniciales oÔ0 Õ y o½Ô0 Õ.
Para estudiar mejor la respuesta oÔtÕ se clasifican los siguientes casos, según sea iÔtÕ.
TIPO DE ENTRADA
Nula (libre) iÔtÕ 0
Forzada iÔtÕ 0
Constante iÔtÕ A
Cisoidal iÔtÕ A eiωt
Poliarmónica iÔtÕ
n ¡ cn eint
General iÔtÕ genérica
Por la linealidad de la T.L. se puede siempre estudiar por separado IÔsÕ
ZÔsÕ y
ÖÔa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ×
ZÔsÕ
y luego superponer los resultados.
14.2. Repuesta para entrada nula (movimiento libre)
Siendo iÔtÕ 0 IÔsÕ 0, la respuesta general se reduce a
OÔsÕ Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
ZÔsÕ
Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
a s2 b s c
67

que es una función racional que tiene como denominador un polinomio de 2o
grado. Sus ra´ıces son
los ceros de la impedancia ZÔsÕ.
ZÔsÕ a s2
b s c 0 s1,2
¡b
2a
¨
¢
b
2a
ª2
¡ c
a
Se pueden clasificar tres casos según el discriminante ∆
∆
¢
b
2a
ª2
¡ c
a
I ∆ 0 s1 s2 ra´ıces reales y distintas
II ∆ 0 s1 s2 ra´ıces reales e iguales
III ∆ 0 s1 s2 ra´ıces complejas conjugadas
IIa) Solución en el caso I (∆ 0)
OÔsÕ Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
a s2 b s c
Ôs bßaÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
Ôs ¡s1ÕÔs ¡s2Õ
Por el teorema de los residuos
oÔtÕ Ôs1 bßaÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
s1 ¡s2
es1t
Ôs2 bßaÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
s2 ¡s1
es2t
Analizando el resultado se tiene:
s1 ¡s2
¢
¡b
2a
∆
ª
¡
¢
¡b
2a
¡ ∆
ª
s1 b
a
¡b
2a
∆ b
a
b
2a
∆ ¡s2
s2 b
a
¡b
2a
¡ ∆ b
a
b
2a
¡ ∆ ¡s1
Por lo tanto:
oÔtÕ ¡s2 oÔ0 Õ o½Ô0 Õ
2 ∆
es1t
¡s1 oÔ0 Õ o½Ô0 Õ
¡2 ∆
es2t
oÔtÕ oÔ0 Õ
2 ∆

¡s2 es1t
s1 es2t
¨
o½Ô0 Õ
2 ∆

es1t
¡es2t
¨
Verificando el resultado con respecto a las conficiones iniciales:
oÔtÕ t 0
oÔ0 Õ
2 ∆
Ô¡s2 s1Õ o½Ô0 Õ
2 ∆
Ô0Õ oÔ0 Õ
o½ÔtÕ t 0
oÔ0 Õ
2 ∆
Ô¡s2 s1 s1 s2Õ o½Ô0 Õ
2 ∆
Ôs1 ¡s2Õ o½Ô0 Õ
IIb) Solución en el caso II (∆ 0)
OÔsÕ

s b
a
¨
oÔ0 Õ o½Ô0 Õ
Ôs ¡s1Õ2
68

Por el teorema de los residuos
oÔtÕ oÔ0 Õ es1t

¢
s1 b
a
ª
oÔ0 Õ o½Ô0 Õ t es1t
oÔtÕ oÔ0 Õ es1t
Ô¡s1ÕoÔ0 Õ o½Ô0 Õ t es1t
oÔtÕ oÔ0 ÕÔ1 ¡s1tÕ es1t
o½Ô0 Õt es1t
Se verifican las condiciones iniciales:
oÔtÕ t 0 oÔ0 Õ
o½ÔtÕ oÔ0 Õ ÖÔ¡s1Õ Ô1 ¡s1tÕs1× es1
t o½Ô0 ÕÔ1 s1tÕ es1
t
t 0 oÔ0 ÕÔ¡s1 s1Õ o½Ô0 Õ o½Ô0 Õ
IIc Solución en el caso III (∆ 0)
Siendo los polos diferentes y complejos conjugados, la solución es la misma que en el caso I.
oÔtÕ oÔ0 Õ
2 ∆

¡s2 es1t
s1 es2t
¨
o½Ô0 Õ
s ∆

es1t
¡es2t
¨
pero aqu´ı podemos analizar: ∆ 0 ∆ i ∆
s1
¡b
2a
∆
¡b
2a
i ∆
s2
¡b
2a
¡ ∆
¡b
2a
¡i ∆
oÔtÕ oÔ0 Õ
2i ∆
¢
b
2a
i ∆
ª
e
¡
¡b
2a i ∆
©
t

¢
¡b
2a
i ∆
ª
e
¡
¡b
2a ¡i ∆
©
t
o½Ô0 Õ
2i ∆
e
¡
¡b
2a i ∆
©
t
¡e
¡
¡b
2a ¡i ∆
©
t
oÔtÕ oÔ0 Õ eÔ¡ b
2a Õt
2i ∆
b
2a
2i sen ∆ t ∆ 2i cos ∆ t
o½Ô0 Õ eÔ¡ b
2a Õt
2i ∆
2i sen ∆ t
oÔtÕ eÔ¡ b
2a Õt
∆
oÔ0 Õ
¢
b
2a
sen ∆ t ∆ cos ∆ t
ª
o½Ô0 Õ sen ∆ t
69

Se verifican las condiciones iniciales
oÔtÕ t 0
1
∆
o½Ô0 Õ ∆ 0 oÔ0 Õ
o½ÔtÕ eÔ¡ b
2a Õt
∆
¢
¡b
2a
ª
oÔ0 Õ
¢
b
2a
ª
o½Ô0 Õ sen ∆ t
eÔ¡ b
2a Õt
∆
oÔ0 Õ
¢
b
2a
∆ cos ∆ t ¡
¡
∆
©2
sen ∆ t
ª
o½Ô0 Õ ∆ cos ∆ t
t 0
1
∆
¡b
2a
oÔ0 Õ ∆ oÔ0 Õ b
2a
∆ o½Ô0 Õ ∆ o½Ô0 Õ
14.2.1. Condiciones de estabilidad en caso de entrada nula
Se define a un sistema como estable cuando la solución no diverge, es decir, está acotada.
SISTEMA ESTABLE : t : oÔtÕ M
Se estudiará la estabilidad en el caso del sistema lineal de entrada nula, caso por caso, supo-
niendo que los coeficientes a, b y c son no nulos.
Caso I (∆ 0) Siendo las respuestas una combinación lineal de exponenciales es1t
y es2t
, la
solución es acotada si y sólo si:
t : oÔtÕ M
s1 0
s2 0
O sea que:
s1
¡b
2a
∆ 0
s2
¡b
2a
¡ ∆ 0
Como s2 s1 entonces
s2 s1 0
y basta demostrar solamete que s1 0
¡b
2a
∆ 0
∆
b
2a
¢
b
2a
ª2
¡ c
a
¢
b
2a
ª2
0
c
a
sg b sg a
Por otra parte, de ∆ b
2a
0 ∆
b
2a
sg b sg a
En resumen:
Caso I SISTEMA ESTABLE sg a sg b sg c
70

Caso II (∆ 0) Las respuestas en este caso son una combinación lineal de es1t
y t es2t
, por lo
tanto:
t : oÔtÕ M s1 s1 0
De donde
s1
¡b
2a
0
0
b
2a
sg b sg a
Además
∆ 0
¢
b
2a
ª2
¡ c
a
0
c
a
¢
b
2a
ª2
sg c sg a
Análogamente al caso I
Caso II SISTEMA ESTABLE sg a sg b sg c
Caso III (∆ 0) La respuesta es una combinación de funciones seno y coseno, multiplicadas
por una exponencial eÔ¡b
2a Õt
, entonces:
t : oÔtÕ M
¡b
2a
0
0
b
2a
sg b sg a
Por otra parte
∆ 0
¢
b
2a
ª2
¡ c
a
0
0
¢
b
2a
ª2
c
a
sg c sg a
Como resultado se repite lo que ya se obtuvo en los casos I y II
Caso III SISTEMA ESTABLE sg a sg b sg c
Entonces: Condición necesaria y suficiente de estabilidad es que los coeficientes a, b, c (no
nulos) tengan el mismo signo.
0 iÔtÕ oÔtÕ
Sistema
a o¾ b o½ c s o
a 0 b 0 c 0
SISTEMA
ESTABLE
sg a sg b sg c
71

14.2.2. Sistemas de entrada nula no amortiguados
Este caso se presenta cuando b, el coeficiente de o½, es nulo.
SISTEMA NO AMORTIGUADO : b 0
La respuesta es un caso III, pues s12 ¨ ¡c
a ï ∆ . La solución oÔtÕ se reduce a:
oÔtÕ oÔ0 Õ cos ∆ t o½Ô0 Õ sen ∆ t
caso de vibración armónica no amortiguada, donde ∆ se llama frecuencia natural de vibración.
14.2.3. Tabla para caso de entrada nula (movimiento libre)
CASO ∆ SOLUCION
I
Sobreamortiguado
∆ 0 oÔtÕ oÔ0 Õ
2 ∆

¡s2 es1t
s1 es2t
¨
o½Ô0 Õ
2 ∆

es1t
¡es2t
¨
x
y
oÔ0 Õ
o½Ô0 Õ
II
Amortiguado
L´ımite
∆ 0 oÔtÕ oÔ0 Õ Ô1 ¡s1tÕ es1t
o½Ô0 Õt es1t
x
y
oÔ0 Õ
o½Ô0 Õ
III
Subamortiguado
∆ 0 oÔtÕ e¡ b
2a t
∆
oÔ0 Õ
¢
b
2a
ª
o½Ô0 Õ sen ∆ t
x
y
oÔ0 Õ
o½Ô0 Õ
72

14.3. Respuesta para entrada forzada. iÔtÕ A (constante)
De acuerdo a lo visto en I
OÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
ZÔsÕ
La respuesta del sistema es la superposición de los términos de la expresión anterior:
O1ÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ
O2ÔsÕ Ôa s bÕoÔ0 Õ a o½Ô0 Õ
ZÔsÕ
el segundo de los cuales es la respuesta del sistema al caso de entrada nula (movimiento libre) ya
estudiado.
Por lo tanto, se realiza el análisis de O1ÔsÕ:
iÔtÕ A IÔsÕ A
s
O1ÔsÕ A
s ZÔsÕ
Aßa
s Ôs ¡s1ÕÔs ¡s2Õ
De acuerdo a los casos estudiados de s1 y s2 , se tiene:
Caso I (∆ 0)
o1ÔtÕ A
a
1
s1 s2
es1t
s1 Ôs1 ¡s2Õ es2t
s2 Ôs2 ¡s1Õ
A
a s1 s2
1 s2 es1t
¡s1 es2t
s1 ¡s2
Como s1 ¤s2
c
a
o1ÔtÕ A
c
1 1
2 ∆

s2 es1t
¡s1 es2t
¨
Caso II (∆ 0)
O1ÔsÕ Aßa
s Ôs ¡s1Õ2
o1ÔtÕ A
a
1
s2
D
est
s s s1
A
a
1
s2
1
¡1
s2
1
es1t
1
s1
t es1t
o1ÔtÕ A
c
1 ¡es1t
s1 t es1t
Caso III (∆ 0) El resultado es análogo al del caso I, con ∆ i ∆
o1ÔtÕ A
c
1 1
2 ∆

s2 es1t
¡s1 es2t
¨
Realizando las mismas operaciones que en el análisis del caso IIc, queda:
o1ÔtÕ A
c
1 ¡e¡ b
2a t
¢
b
2a
ª
Observación: Las condiciones de estabilidad son análogas a las vistas para el sistema de movimiento
libre.
73

14.4. Respuesta para el caso general de entrada forzada
Se estudia la respuesta
O1ÔsÕ IÔsÕ
ZÔsÕ
Antitransformando
o1ÔtÕ
nô
k 1
R
IÔsÕ
ZÔsÕ est
, sk
donde se suman los residuos en los polos de 1
ZÔsÕ y en los polos de IÔsÕ.
o1ÔtÕ
ô
polos 1
ZÔsÕ
R
IÔsÕ
ZÔsÕ est
, sk
ô
polos IÔsÕ
R
IÔsÕ
ZÔsÕ est
, sk
El primer término (polos de 1
ZÔsÕ) es una combinación lineal de exponenciales.
es1t
y es2t
o
t es1t
y t es2t
de la misma manera que en el caso de entrada nula.
Si se cumplen las condiciones de estabilidad (sg a sg b sg c) , estas soluciones tienden a
cero para t .
ô
polos 1
ZÔsÕ
R
IÔsÕ
ZÔsÕ est
, sk
t 0
Esta respuesta, conjuntamente con la respuesta o2ÔtÕ, que depende de las condiciones iniciales,
forman parte del régimen transitorio.
El segundo término
ô
polos IÔsÕ
R
IÔsÕ
ZÔsÕ est
, sk
t 0
puede también tener transitorios, pero además puede tener respuesta permanente, que no desapa-
rece cuando t .
Un ejemplo es el caso armónico:
i1ÔtÕ B sen ωt IÔsÕ B ω
s2 ω2
I1ÔsÕ 1
a
B ω
s2 ω2
1
Ôs ¡s1ÕÔs ¡s2Õ
B ω
s2 ω2
1
a s2 b s c
14.4.1. Respuesta a s1, s2
Caso I (∆ 0)
RÔs1Õ 1
a
B ω
s2
1 ω2
1
s1 ¡s2
es1t
RÔs2Õ 1
a
B ω
s2
2 ω2
1
s2 ¡s1
es2t
74

Caso II (∆ 0)
RÔs1Õ 1
a
D
B ω
s2 ω2
est
s s1
B ω
a
¡2s
Ôs2 ω2Õ2
est
1
s2 ω2
t est
s s1
B ω
a
es1t ¡2 s1
Ôs2
1 ω2Õ 1
s2
1 ω2
t
Caso III (∆ 0) An´alogo al caso I
14.4.2. Respuesta a los polos de IÔsÕ
RÔiωÕ B ω
2 i ω
1
a ÔiωÕ2 b iω c
eiωt
RÔ¡iωÕ B ω
¡2 i ω
1
a Ô¡iωÕ2 b Ô¡iωÕ c
e¡iωt
La suma de los residuos se puede reducir a la forma:
RÔiωÕ RÔ¡iωÕ α sen ωt β cos ωt
que es la respuesta permanente del sistema.
75

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