Tema 01 Oposiciones de Matemáticas

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TEMA 01.- NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Contenido
1. INTRODUCCIÓN_____________________________________________________________________2
2. LOS NÚMEROS NATURALES. CONCEPTO Y AXIOMAS __________________________________3
2.1. Axiomas de Peano _________________________________________________________________3
3. NÚMEROS NATURALES Y RECURSIVIDAD. TEOREMA DE RECURSIÓN ___________________5
4. OPERACIONES BINARIAS ____________________________________________________________7
4.1. Suma de Números Naturales. Propiedades ______________________________________________7
4.2. Multiplicación de Números Naturales. Propiedades _______________________________________8
5. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES_________________________________________9
6. SISTEMAS DE NUMERACIÓN ________________________________________________________11
6.1. Sistemas de Numeración Aditivos ____________________________________________________11
6.1.1. Sistema de numeración Egipcio _______________________________________________11
6.1.2. Sistema de numeración Griego ________________________________________________11
6.1.3. Sistema de numeración Romano _______________________________________________12
6.1.4. Sistema de Numeración Azteca________________________________________________12
6.2. Sistemas de Numeración Posicionales _________________________________________________12
6.2.1. El sistema de numeración Babilónico ___________________________________________12
6.2.2. El sistema de numeración Maya _______________________________________________13
6.3. Sistemas de Numeración Híbridos____________________________________________________14
6.3.1. El sistema de numeración Chino _______________________________________________14
6.4. Sistemas de Numeración Actuales____________________________________________________14
6.5. Teorema Fundamental de la Numeración ______________________________________________15
6.5.1. Cambio de base en los sistemas de valor relativo __________________________________16
6.5.2. Suma y producto entre números en una base cualquiera _____________________________16
7. CONCLUSIÓN ______________________________________________________________________17
8. BIBLIOGRAFÍA_____________________________________________________________________18

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1. INTRODUCCIÓN
Los números surgieron hacia el año 3000 a.C. mediante la abstracción de los objetos que
se contaban. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras,…
(calculus, en su traducción del latín, significa “cálculo con piedras”). La reserva de números, en las
primeras etapas, era muy limitada. La serie de números naturales conocidos y utilizados era finita
y se fue extendiendo gradualmente. Junto a la utilización de más y más números surgieron y se
desarrollaron símbolos, y los propios números formaron sistemas. En los primeros periodos de la
historia es característica la diversidad de sistemas numéricos, que gradualmente se fueron
perfeccionando y unificando. El sistema posicional de numeración decimal, utilizado actualmente
es el resultado de un largo proceso de desarrollo histórico.
Los números enteros positivos, es decir, los números naturales, son, sin duda, los más
antiguos y primitivos entes matemáticos. Formaron y forman todavía la base de la que surgió el
resto de la Matemática.
En el siglo IV a.C., en los Elementos de Euclides, aparecen ideas básicas de la Teoría de
Números.
En el siglo III a.C., encontramos esbozada la Teoría de Números en la obra de
Eratóstenes. Sin embargo, fue cinco siglos más tarde cuando Diofanto, en su obra Aritmética,
formalizó lo que fue una guía de la Teoría de Números hasta el siglo XVII, en el que Pierre de
Fermat hizo importantes aportaciones al tema.
El primer europeo que aplicó el Principio de Inducción en demostraciones matemáticas fue
el científico veneciano Francesco Maurocylus (s. XVI). Sin embargo, el concepto de “Inducción
Matemática” no se utilizó hasta principios del s. XIX, cuando se incluyó en la obra de De Morgan.
Kronecker, en el siglo XIX, afirmó que “Dios creó los números naturales y el hombre hizo
el resto”.
Cuando Pitágoras dice “Todo es número”, asignando la esencia de la naturaleza del
Universo al concepto de número, está refiriéndose al concepto de entero positivo (naturales).

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2. LOS NÚMEROS NATURALES. CONCEPTO Y AXIOMAS
Podemos construir los números naturales de dos maneras:
 Desde el punto de vista axiomático
 De manera constructiva, con ayuda de la Teoría de Conjuntos
El método que seguiremos es el método axiomático (a través de los Axiomas de Peano).
Se observa, en primer lugar, que el conjunto es no vacío, que cualquier número tiene un siguiente
y que si dos números naturales son distintos, sus respectivos siguientes también lo son.
2.1. Axiomas de Peano
Construimos ℕ con un número infinito de símbolos o elementos, distintos, llamados
números naturales: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,…}, en el que cada uno de ellos es el siguiente de aquel que
tiene a la izquierda.
Para su fundamentación, Peano eligió tres conceptos primitivos: uno (puesto que en su
formulación original, Peano eligió el 1 como primer número natural, así lo hacemos en el
enunciado de sus axiomas. En cambio, a lo largo del tema se considerará, sin pérdida de rigor, el
cero o el uno como el primer número natural) número natural y la relación binaria “sucesor de”,
que verifican los siguientes axiomas llamados Postulados de Peano:
Definición.- Llamamos conjunto de los números naturales a un conjunto ℕ que verifique los
siguientes axiomas:
1. Axioma 1: el número 1 (unidad) es un número natural: 1  ℕ (ℕ es no vacío)
1
.
2. Axioma 2: para cada número natural n  ℕ, existe otro número natural llamado “siguiente"
de aquel y se designa por s(n) ( n  ℕ, ! s(n)  ℕ).
3. Axioma 3: para cada n  ℕ, s(n)  1 (1 no es el siguiente de ningún número natural).
4. Axioma 4: Si m, n  ℕ y s(m) = s(n)  m = n.
5. Axioma 5: cualquier subconjunto K de ℕ que verifique que 1  K y que s(k)  K siempre
que k  K, es igual a ℕ (axioma de inducción o principio de inducción completa)
Teorema (Existencia de N).- ∀n  ℕ, n  1, es el siguiente de otro elemento de ℕ.
Dem. Sea K = {k  ℕ / k = 1 ó k = s(m), para algún m  ℕ}, es decir, K es el conjunto formado por
1 y los siguientes de algún número m  ℕ. Sabemos que  k  ℕ  ! s(k)  ℕ (Axioma 2) y
además s(k)  K. Entonces, por el axioma 5, K = ℕ.

Proposición.-  m  ℕ, s(m)  m.
Dem. Sea la proposición P(m) : s(m)  m,  m  ℕ. Definimos M = {k  ℕ / P(k) es cierta}.
 P(1): s(1)  1, entonces, por Ax.3, P(1) es cierta y 1  K.
 Sea k  K  P(k) es cierta, es decir, s(k)  k.
1
Es posible realizar un desarrollo análogo considerando este axioma: 0  ℕ.

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 Supongamos que s(s(k)) = s(k)  k = s(k) ¡absurdo!  P(k + 1) es cierta y s(k)  M.
Y por tanto M = ℕ y la proposición es válida  n  ℕ.

De esta forma se establece el llamado:
Teorema (Principio de Inducción Matemática).- Una proposición P(m) es verdadera,  m  ℕ,
siempre que:
1. P(1) sea verdadera.
2. Para cada k  ℕ / P(k) es verdadera implica que P(k’) también es verdadera.
Observación -. El menor conjunto que verifica este principio es ℕ. A estos conjuntos se les llama
inductivos.

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3. NÚMEROS NATURALES Y RECURSIVIDAD. TEOREMA DE RECURSIÓN
Muchos de los conceptos que se introducen en ℕ se dan de manera recursiva. Por
ejemplo, podríamos definir la adición de números naturales (de manera similar a como lo haremos
posteriormente) como sigue:
𝑚 + 0 = 𝑚
𝑚 + 1 = 𝑆(𝑚)
𝑚 + 2 = 𝑆(𝑚 + 1)
y en general 𝑚 + 𝑆(𝑛) = 𝑆(𝑚 + 𝑛). La justificación teórica de que este procedimiento recursivo
constituye una definición está dada por el Teorema de Recursión I.
En computación la noción de recursión es fundamental. Una forma en la que se hace
presente es a través de las ecuaciones recursivas utilizadas para definir funciones. Por ejemplo,
las siguientes ecuaciones recursivas
𝑓(0) = 1
𝑓(𝑛 + 1) = 𝑛 · 𝑓(𝑛)
con indeterminada 𝑓 en el conjunto de todas las funciones de ℕ en ℕ (denotado por [ℕ → ℕ])
sirve a modo de definición de 𝑓. En efecto, puede demostrarse que hay una única función en
[ℕ → ℕ] que satisface las ecuaciones.
Sin embargo no todas las ecuaciones recursivas con indeterminadas en [ℕ → ℕ] tienen
una única solución, o incluso tienen solución alguna. El Teorema de Recursión I estipula
condiciones sobre las ecuaciones recursivas que garantizan la existencia y unicidad de la
indeterminada (llamada 𝑔).
Teorema de Recursión I.- Sea 𝐴 un conjunto, 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝐻: 𝐴 → 𝐴 una función. Entonces existe
una única función 𝑔: ℕ → 𝐴 que satisface las siguientes ecuaciones recursivas:
𝑔(0) = 𝑎
𝑔(𝑛 + 1) = 𝐻(𝑔(𝑛))
El Teorema de Recursión I sirve para definir funciones sobre los naturales. Las funciones definidas
usando este mecanismo se llaman funciones definidas por inducción (o funciones recursivas).
Ejemplo.- Para cada 𝑘 ∈ ℕ podemos definir 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑘: ℕ → ℕ del siguiente modo:
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑘(0) = 𝑘
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑘(𝑛 + 1) = 𝑠𝑢𝑐(𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑘(𝑛))
donde suc es la función que toma un número 𝑛 y retorna 𝑛 + 1. Observar que esta
definición toma la forma del Teorema de Recursión I donde 𝐴 = ℕ, 𝑎 = 𝑘 y 𝐻 = 𝑠𝑢𝑐.
Hay algunas definiciones de funciones recursivas que no caen dentro del esquema del
Teorema de Recursión I. Un ejemplo sería la función factorial que requiere el uso de su
argumento. Una presentación más flexible del Teorema de Recursión I es:
Teorema de Recursión II.- Sea 𝐴 un conjunto, 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝐻: 𝐴 → 𝐴 una función. Entonces existe
una única función 𝑔: ℕ → 𝐴 que satisface las siguientes ecuaciones recursivas:

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𝑔(0) = 𝑎
𝑔(𝑛 + 1) = 𝐻(𝑛, 𝑔(𝑛))
Ejemplo.- El caso antes mencionado de la función factorial se define:
𝑓𝑎𝑐(0) = 1
𝑓𝑎𝑐(𝑛 + 1) = (𝑛 + 1) · 𝑓𝑎𝑐(𝑛)
Observar que toma la forma del Teorema de Recursión II donde 𝐴 = ℕ, 𝑎 = 1 y
𝐻(𝑛, 𝑚) = (𝑛 + 1) · 𝑚.
Una tercera variante, también equivalente a las primeras dos, es la siguiente que incluye como
argumento de la función que se define a un parámetro p.
Teorema de Recursión III.- Sean 𝐴 y 𝑃 conjuntos, 𝐺: 𝑃 → 𝐴 y 𝐻: 𝑃 × ℕ × 𝐴 → 𝐴 una función.
Entonces existe una única función 𝑔: 𝑃 × ℕ → 𝐴 que satisface las siguientes ecuaciones
recursivas:
𝑔(𝑝, 0) = 𝐺(𝑝)
𝑔(𝑝, 𝑛 + 1) = 𝐻(𝑝, 𝑛, 𝑔(𝑝, 𝑛))
Observación.- Instanciando 𝑃 en ℕ 𝑛
la función 𝑔 del Teorema de Recursión III se dice
que se obtiene por recursión primitiva a partir de las funciones 𝐺 y 𝐻.
A continuación y basándonos en la noción de recursividad, vamos a definir dos leyes de
composición interna, que llamaremos “adición o suma” y “producto o multiplicación”. Veremos,
además, que ambas leyes están bien definidas (existencia y unicidad).

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4. OPERACIONES BINARIAS
4.1. Suma de Números Naturales. Propiedades
Definición.- Sea la aplicación {
𝑓: ℕ → ℕ
(𝑛, 𝑚) → 𝑛 + 𝑚
, que verifica:
 f(1, m) = s(m) = m + 1,  m  ℕ.
 f(s(n), m) = s(n + m) = m + s(n),  n, m  ℕ.
Proposición.- La aplicación así definida, que llamaremos “suma de números naturales” es una
ley de composición interna sobre ℕ, es decir, que hace corresponder a cada par (n, m) de
números naturales un único número natural n + m.
Dem.-
Existencia: cualquiera que sea m  ℕ, la suma n + m está definida  n  ℕ. en efecto:
 Si n = 1, la suma está bien definida y es por definición igual a s(m).
 Supuesta definida n + m, veamos si está definida m + s(n).
 m + s(n) = m + (n + 1) = (m + n) + 1 = s(m + n).
Es decir, la suma m + n está definida para todo par de números naturales (m, n).
Unicidad: en este caso bastará ver que si m = p y n = q, entonces m + n = p + q. Lo vemos por
inducción sobre n.
 Si n = 1, si m = p  por ser s una aplicación inyectiva y s(m) = s(p)  m + 1 = p + 1.
 Suponemos que la propiedad es cierta para n, es decir, si m = p  m + n = p + n.
 Sabemos que
   
   







npsnsp
nmsnsm
, entonces, por hipótesis de inducción y puesto que s
es una aplicación  m + s(n) = p + s(n).
Así, si tomamos n = q, tenemos lo que queríamos.

Proposición.- La suma antes definida verifica las siguientes propiedades:
 Asociativa: (a + b) + n = a + (b + n),  a, b, n  ℕ.
 Conmutativa: n + m = m + n,  n, m  ℕ.
 Cancelativa: si m + p = n + p  m = n,  m, n, p  ℕ.
Dem.-
1) Consideremos P(n) = {n  ℕ / (a + b) + n = a + (b + n),  a, b, n  ℕ}  es fácil
comprobar que esta propiedad se cumple (se prueba por inducción sobre n)
2) Probamos P(n): n + 1 = 1 + n,  n  ℕ y luego probamos P(m): m + n = n + m,  m  ℕ
(ambos por inducción sobre n).
3) Sea P(p):  m, n, p  ℕ / m + p = n + p  m = n (por inducción sobre p).
 Veamos que P(1) es cierta  P(1) : m + 1 = n + 1  m’ = n’  (Ax. 4) m = n.
 Supongamos que P(p) es cierta (Hipótesis de Inducción).
 Veamos que P(p’) es cierta  P(p’) : m + p’ = n + p’  (definición de suma) (m + p)’
= (n + p)’  (Axioma 4) m + p = n + p  (H.I.) m = n.

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Luego P(p) es cierta.

Proposición.- (N, +) es un semigrupo conmutativo.
4.2. Multiplicación de Números Naturales. Propiedades
Definición.- Sea la aplicación {
𝑓: ℕ → ℕ
(𝑛, 𝑚) → 𝑛 · 𝑚
, que verifica:
 f(1, m) = 1 · m = m,  m  ℕ.
 f(s(n), m) = s(n) · m = (n + 1)·m = n·m + m,  n, m  ℕ.
Se puede probar que la aplicación así definida es una ley de composición interna sobre ℕ
(existe y es única).
Proposición.- La multiplicación, antes definida, verifica las siguientes propiedades:
1. Distributiva respecto de la suma: (n + p)·m = n·m + p·m ó m·(n + p) = m·n + m·p.
2. Asociativa: a·(b·c) = (a·b)·c,  a, b, c  ℕ.
3. Conmutativa: n·m = m·n,  n, m  ℕ.
4. Cancelativa: n·m = n·k  m = k.
Dem.-
1) P(m) = m·(n + p) = m·n + m·p (Inducción sobre m).
Sea M = {x  ℕ / x·(n + p) = x·n + x·p}. Veamos que es un conjunto inductivo:
1  M, puesto que 1·(n + p) = 1·n + 1·p.
Supongamos que se verifica para m, es decir, m·(n + p) = m·n + m·p. Veamos que se verifica
para su siguiente: (n + p)·s(m) = (n + p)·m + (n + p) = n·m + p·m + n + p = n·s(m) +
p·s(m).
Por tanto se verifica el principio de inducción completa (ax.5)  M = ℕ y la propiedad es
cierta para cualesquiera números naturales.
2) Inducción sobre a.
3) En dos pasos:
i. n·1 = 1·n (Inducción sobre n)
ii. n·m = m·n (Inducción sobre m)
4) P(n) = n·m = n·k  m = k (Inducción sobre n).

De todo lo anterior se deduce que:
Proposición.- ℕ es un semianillo conmutativo y con unidad (la suma es asociativa y
conmutativa y el producto es conmutativo, asociativo, distributivo respecto de la suma y tiene
elemento neutro).

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5. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Definición.- Dados m y n números naturales, se dice que m es menor que n y se escribe m < n
  p  ℕ / m + p = n. También se dice que n es mayor que m y se escribe n > m.
Proposición (Ley de Tricotomía).- Para cada par de números naturales m y n se verifica una y
sólo una de las siguientes relaciones: m < n, m = n ó m > n.
Dem.- Procederemos por inducción sobre n:
 n = 1  m este caso no puede ser que m < 1. Así, se verifica una y solo una de las relaciones:
m = 1 ó m  1. Pero si m  1,  q  ℕ / s(q) = m  q + 1 = m  m > 1.
 Supongamos que la proposición es cierta para n. Veamos que también lo es para s(n).
 Distinguiremos dos casos:
a) Si m = 1  m < s(n), pues cualquier otro caso es absurdo.
b) Si m  1,  q  ℕ tal que s(q) = m  como por hipótesis de inducción se verifica una y
solo una de las relaciones:
 Si q < n   r  ℕ / q + r = n  s(q + r) = s(n)  s(q) + r = s(n)  m + r = s(n)  m
< s(n).
 Si q = n  s(q) = s(n)  m = s(n).
 Si q > n   r  N / n + r = q  s(n + r) = s(q)  s(n) + r = s(q) ó s(n) + r = m 
s(n) < m.

Teorema.- La relación “” definida sobre ℕ es una relación de orden compatible con la suma y
con el producto, es decir, una relación de orden tal que  m, n, p  ℕ, si m  n, entonces:
 m + p  n + p
 m·p  n·p
El recíproco también es cierto.
Dem.- Veamos, en primer lugar, que es una relación de orden:
 REFLEXIVA: m  m, puesto que m = m.
 ANTISIMÉTRICA: Si m  n y n  m  m = n (ley de tricotomía).
 TRANSITIVA: Si m  n y n  p, distinguimos los siguientes casos:
a) m < n y n < p, entonces existen q, r  ℕ tales que m + q = n y n + r = p  p = n + r = m +
q + r = m + (q + r)  m < p.
b) m < n y n = p   q  ℕ tal que m + q = n = p  m < p.
c) m = n y n < p   q  ℕ tal que m + q = n + q = p  m < p.
d) Si m = n y n = p  m = p.
Veamos ahora que es compatible con la suma y con el producto. Para ello, sean m, n, p  ℕ tales
que m  n.
 Si m = n, está claro que m + p = n + p y m·p = n·p.
 Si m < n,  q  ℕ tal que m + q = n, entonces:
a) n + p = (m + q) + p = m + (q + p) = m + (p + q) = (m + p) + q  m + p < n + p.
b) n·p = (m + q)·p = m·p + q·p  m·p < n·p.

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
Proposición.- ℕ es un semianillo ordenado conmutativo y con unidad (un semianillo sobre el
que se define una relación de orden compatible con la suma y el producto)
Proposición (Principio de la buena ordenación).- El conjunto (ℕ, ) es un conjunto bien
ordenado, esto es, cualquier subconjunto no vacío de ℕ contiene un elemento que es  que todos
los elementos de dicho subconjunto.
Dem.- Sea V  ℕ, que no posea mínimo. Probaremos que V = .
Sea U = {n  ℕ / n  v,  v  V}.
1) Claramente U  V = , pues si  u  U  V  u  v,  v  V y u  V  u = min(V) y
hemos supuesto que V no tenía mínimo.
2) 1  U y si n  U  n < v,  v  V, luego para cada v  V,  x  ℕ tal que n + x = v  n + 1
 n + x = v  s(n)  v  s(n)  U, luego U es inductivo y U = ℕ.
Por tanto U  V = ℕ  V =  y como V  ℕ  V = .

Corolario.-  A  ℕ, A   y acotado superiormente,  m  A / x  m,  x  A.

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6. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
6.1. Sistemas de Numeración Aditivos
6.1.1. Sistema de numeración Egipcio
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir números en base
diez utilizando los jeroglíficos para representar los distintos órdenes de unidades.
Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente
de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según
el caso. Al ser indiferente el orden, se escribían a veces según criterios estéticos y solían ir
acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas
etc.) cuyo número indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al
imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario
fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor
rapidez y comodidad a los escribas.
6.1.2. Sistema de numeración Griego
Los griegos utilizaron varios sistemas, entre los que cabe destacar los sistemas ático y
jónico o alfabético. El primer sistema se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar cantidades. Se utilizaban
tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para
representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las
letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este
motivo se llama a este sistema acrofónico. Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo
el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este
sistema fue remplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con
algunos otros símbolos según la tabla siguiente:
Sistema ático
De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su
vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras
que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que
estudiaba la relación entre los números y las palabras, la kábala, que persigue fines místicos y
adivinatorios.
Sistema Jónico

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6.1.3. Sistema de numeración Romano
Pero es del sistema de numeración romano del que más vestigios quedan en nuestra
cultura, por razones obvias. Es un sistema de numeración aditivo, no posicional, en el que se usan
algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. Como sus antecesores,
los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe
ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
Los múltiples símbolos pueden ser combinados para producir cantidades entre estos
valores, siguiendo ciertas reglas en la repetición. En los casos en que sea más pequeña, se
permite a veces colocar un valor menor (sustrayendo), el símbolo con un valor menor colocado
antes que un valor más alto, de manera que, por ejemplo, se puede escribir IV o iv para cuatro, en
lugar de IIII. Así, tenemos que los números no asignados a un símbolo se crean haciendo
combinaciones.
Para números con valor igual o superior a 4000, se coloca una línea horizontal por encima
del número, para indicar que la base de la multiplicación es por 1000. No existe formato para
números con un valor de mayor envergadura, por lo que a veces se utiliza una doble barra o una
barra de subrayado para indicar que la multiplicación se realiza por un millón.
6.1.4. Sistema de Numeración Azteca
Por otra parte, en México, entre los siglos XIV y XVI de nuestra era, se desarrolló la
civilización azteca. Los aztecas crearon un sistema de cifras que conocemos a partir de
manuscritos llamados Codex. En ellos los escribas expresaban por escrito los resultados de sus
inventarios y el recuento de los tributos recogidos por el imperio reproduciendo cada cifra tantas
veces como fuera necesario junto a los pictogramas asociados. Esta numeración se basa en el
principio aditivo según el cual el valor de una representación se obtiene sumando los valores de
las cifras. Era una numeración de base vigesimal (20).
6.2. Sistemas de Numeración Posicionales
Sólo tres culturas además de la Hindú lograron desarrollar un sistema de este tipo:
babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero
les impidió un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Fueron los Hindúes antes del
siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la
forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a
nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales
demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los árabes
transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas,
aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas.
6.2.1. El sistema de numeración Babilónico
Ya en el año 2000 a.C., los babilonios, conocían los números naturales e incluso las
fracciones positivas. Heredaron ideas de los sumerios y de los acadios. De los sistemas
numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin
embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance fue indudablemente
su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico e incluso en matemáticas.
A menudo, al oír que el sistema numérico babilónico era de base 60, la primera reacción
es pensar en cuántos símbolos numéricos específicos tenían que haber aprendido. Sin embargo,
en lugar de tener que aprender 10 símbolos como nosotros, los babilonios sólo tenían que
aprender dos símbolos para producir su sistema posicional de base 60. Estos son los 59 símbolos
construidos con estos dos símbolos:

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6.2.2. El sistema de numeración Maya
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se
usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada
uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay
que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y
sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de arriba a abajo,
empezando por el orden de magnitud mayor.
Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo
para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y
los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo
los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos
mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los
números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la
base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para
completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

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6.3. Sistemas de Numeración Híbridos
En estos sistemas se combina el principio aditivo y multiplicativo. Si para representar 500
los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación
del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más
complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se
usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora
fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que
si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en
suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas,
centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud
está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070... Además del chino clásico han sido sistemas
de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente Hindú cómo el tamil, malayalam
y cingalés.
6.3.1. El sistema de numeración Chino
La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500
a.C., aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas
potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el
diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo
representar 50, 700 ó 3000.
El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que
75. Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a
derecha.
No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los
ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10. Aparte
de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes
se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se
escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos
domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte
desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por
influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
6.4. Sistemas de Numeración Actuales
Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y convenios que se emplean para
expresar gráfica y verbalmente los números mediante un número limitado de palabras y signos.
Está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número
de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas
de posición. La base elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es
necesario elegir signos diferentes y nombres diferentes para representar y nombrar los primeros
números inferiores a la base.

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El sistema binario (base 2) es el más utilizado como lenguaje interno de los ordenadores
(código máquina). Los símbolos que utiliza son 0 y 1. Debido a la cantidad de dígitos que se
requieren para representar en binario la información en un ordenador, se recurre a usar los
sistemas octal y hexadecimal.
El sistema octal es el sistema de numeración en base 8 y utiliza por tanto ocho símbolos
para representar las cantidades. Los símbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada cifra octal
corresponde a tres dígitos binarios.
El sistema hexadecimal es el sistema de numeración en base 16 y utiliza dieciséis
símbolos para representar las cantidades. Los símbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, A,
B, C, D, E y F. Cada cifra hexadecimal corresponde a 4 dígitos binarios.
6.5. Teorema Fundamental de la Numeración
Antes de pasar a enunciar el teorema, recordamos la División Euclídea, fundamental para
el desarrollo de los Sistemas de Numeración.
Teorema (La División Euclídea).- Dados a, b  ℕ, a > 0,  q  0, 0  r  a tales que b = a·q + r.
Además, q y r son únicos.
2
.
Teorema (Teorema fundamental de la numeración).- Dada una base b > 1, todo número natural
m puede descomponerse, de forma única, como:
m = a0 + a1·b + a2·b2
+ ...... + an·bn
siendo ai  ℕ, an  0 y ai < b, i.
Dem.
Si m < b  m = m·b0
y habríamos terminado.
Supongamos m  b, entonces, por la división Euclídea, m = b·c1 + m0, tal que 0 < c1 < n y 0  m0 <
b, de manera que si c1 < b  habríamos terminado.
Si suponemos c1 > b  existen c2, m1 tales que c1 = b·c2 + m1, entonces: m = b·( b·c2 + m1) + m0 =
b
2
·c2 + b·m1 + m0, y así sucesivamente tendríamos lo que buscamos.
Además, la descomposición, en virtud de la división Euclídea, es única.
Nota.- Por convenio, escribimos el número n como n = npnp-1…n2n1n0 teniendo en cuenta que cada una de las cifras o
dígitos representa un conjunto de unidades del orden indicado por el lugar que ocupa.
Proposición.-
● Los números b, b
2
, b
3
, ... se representan en el sistema decimal por 10, 100, 1000, ...
● Si m = anan-1...a1a0 |b  m·bp
equivale a añadir p ceros a la derecha de m.
● m|b tiene r cifras  br-1
 m < br
.
● Si m|b tiene r cifras, m’|b tiene r’ cifras y r’ < r  m’ < m.
2
En el campo de los números naturales no es posible la división exacta si el dividendo no es múltiplo del divisor.

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● Si m|b y m’|b tienen el mismo número de cifras, entonces m’ < m si la primera cifra
empezando por la izquierda de m’ que sea distinta de su correspondiente en m, es menor
que ésta.
6.5.1. Cambio de base en los sistemas de valor relativo
a) Dado un número en una base cualquiera b, hallar su expresión en base decimal: sea
n = npnp-1... n2n1n0 en base b. Escrito en forma polinómica tenemos: n = n0 + n1 b + n2b2
+n3b3
+…+ np bp
. Efectuando las operaciones indicadas en la expresión de n obtenemos
el número decimal equivalente.
También podemos calcular el valor del polinomio con sólo obtener el resto de la división
del polinomio por la base, utilizando para ello la regla de Ruffini.
10(
10
5( 1941234  base
1 2 3 4
5 5 35 190
1 7 38 194(10
b) Dado un número en base 10, hallar su expresión en una base cualquiera b: Dado el
número n en base 10, consiste en calcular los coeficientes del polinomio: n = n0 + n1 b +
n2b2
+n3b3
+…+ np bp
.
Basta dividir el número sucesivamente hasta conseguir un cociente que sea menor que b.
El número en base b estará formado por el último cociente y la sucesión de restos
obtenida en orden inverso.
5(
5
10( 1234194  base
194 5
44 38 5
3 7 5
2 1
c) Dado un número n en base b, hallar su expresión en otra base b’: Este cambio se
realiza pasando el número n en base b a base decimal y luego de base decimal a base b’.
6.5.2. Suma y producto entre números en una base cualquiera
1. Suma.- En un sistema de base b, para sumar dos números se procede de forma análoga
a como se hace en el sistema decimal. En cualquier base se usan las mismas reglas ya
establecidas para el sistema decimal.
2. Producto.- Las reglas de la multiplicación en una base cualquiera son análogas a las del
sistema decimal. Es necesario saber las tablas de multiplicar para los números menores
que la base.

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7. CONCLUSIÓN
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos
de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para
contar objetos. Algunos matemáticos (especialmente los de Teoría de Números) prefieren no
reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos,
Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano
usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera,
nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos
gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos
específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde
aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De
aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde,
aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia
antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma
además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una
base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo
que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que
después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco
postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del
sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de
Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo
quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos
y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha
por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von
Neumann
Por otra parte, la teoría de la recursión se ocupa del estudio y clasificación de las
relaciones y funciones computables y tuvo su origen en algunas de las nociones y construcciones
que introdujo Gödel en su trabajo sobre la incompletud. Además, la teoría de la recursión, junto
con la teoría de autómatas, lenguajes y máquinas, es el fundamento de la informática teórica y
esta, a su vez, de la industria de los ordenadores.

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8. BIBLIOGRAFÍA
 Michel Queysanne: “Álgebra Básica”. Vicens Vives. Barcelona, 1975.
 Boyer Carl B.: “Historia de las Matemáticas”.
 Fernández Novoa, J.: Análisis Matemático I. U.N.E.D.
 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html
 Gran Enciclopedia LAROUSSE (24 volúmenes) Editorial Planeta