ingeniería de sistemas

2. RAZON DE CAMBIO

3. TABLA DE CONTENIDO
• Razón de cambio.
• Situaciones problemas

4. RAZON DE CAMBIO
La razón de cambio es resultado de una medida que cambia en función de otra. En
nuestra cotidiana son muchas las magnitudes que se pueden analizar a partir del
estudio de la razón de cambio.

5. La razón de cambio instantánea
en una función f(x) estudia la
rapidez con que cambia su
pendiente. Entonces lo que
calcula en la razón de cambio es
la pendiente de la curva en un
tiempo especifico
Cuando la variable que actúa cambia en función del tiempo, estamos hablando de
razón de cambio instantánea, la cual permite resolver diferentes situaciones
problemas como: La variación de una población en el tiempo, el volumen de un
cuerpo que se infla. La variación del dinero cuando gana interés en el tiempo, Los
cambios de velocidad y distancia que sufre un móvil.

6. Para resolver problemas sobre razón de cambio, se sugiere realizar los
siguientes pasos
• -hacer un dibujo o grafica que ilustre el problemas a resolver
• Identificar las magnitudes que varían en el tiempo.
• Verificar cuales variables son conocidas y cuales son desconocidas.
• Establecer la ecuación en la cual se relacionan todas las variables que
interviene en el problema.
• Darle solución al problema a través de la derivación implícita

7. Solución
Las variables que intervienen son el volumen y el radio las cuales cambian con respecto al tiempo
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=50 cm3/s , así mismo
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 y r= 20 cm
Tenemos que el volumen de una esfera de halla con la formula
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
Al derivar la ecuación anterior en función del tiempo tenemos
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
4
3
𝜋𝑟3
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
4
3
𝜋3𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
Reemplazamos los valores en las variables conocidas
50 =
4
3
𝜋3(20)2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
50
4𝜋(20)2
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0,0099 𝑐𝑚/𝑠
Ejemplo 1
Se infla un globo esférico de tal forma que su volumen aumenta a razón de 50 cm3/s, con qué rapidez crece el diámetro del
globo cuando su radio es de 20 cm.

8. Ejemplo 2
Sea el triangulo equilátero, cuya área disminuye a razón de 3 𝑐𝑚2
, hallar la rapidez con que disminuyen sus lados, cuando
el área mide 300 𝑐𝑚2, teniendo en cuenta que sus lados siempre son iguales.
Tenemos que el lado del triángulo se llama L y la altura se llama h, de donde tenemos que:
𝐿2 = ℎ2 + (
𝐿
2
)2 Despejamos h en la ecuación
𝐿2
= ℎ2
+
𝐿2
4
4𝐿2 = 4ℎ2 + 𝐿2
4𝐿2 − 𝐿2 = 4ℎ2
3𝐿2
= 4ℎ2
𝐿2
=
4
3
ℎ2
h=
3
2
𝐿

9. Así mismo tendríamos que el área el triángulo es
𝐴 =
𝐿 ∗ ℎ
2
𝐴 =
𝐿 ∗
3
2
𝐿
2
𝐴 =
𝐿2 3
4
En donde A y L varían en función del tiempo de donde
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
32𝐿
4
𝑑𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
3𝐿
2
𝑑𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
2
3𝐿
𝑑𝐴
𝑑𝑡

10. Hallemos el valor de L cuando el área mide 300 𝑐𝑚2
300 =
𝐿2 3
4
𝐿2 =
4 ∗ 300
3
𝐿 =
4 ∗ 300
3
𝐿 =
𝑑𝐿
𝑑𝑡
=
2
3𝐿
𝑑𝐴
𝑑𝑡

11. Ejemplo 3
Se ha derramado en el mar 500 𝑚3 de petróleo crudo, el cual forma sobre las aguas un cilindro circular recto, se
debe calcular con que rapidez crece el radio de la mancha cuando el radio es de 20 m, si el espesor disminuye a
razón de 10 cm/h en el instante en que el radio mide 20 m.

12. Se observa que el volumen de la mancha se calcula por la ecuación
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
Al derivar la ecuación en función de tiempo tenemos
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝜋 2𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. ℎ + 𝑟2.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Como el volumen de la mancha es constante, tenemos que
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0
Entonces tenemos que
0= 𝜋 2𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. ℎ + 𝑟2.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
2r
𝑑𝑟
𝑑𝑡
. ℎ + 𝑟2 𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 0
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
−𝑟
2ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡

13. Ahora tenemos que 𝑉 = 𝜋𝑟2
ℎ al despejar h
ℎ =
𝑣
𝜋𝑟2
ℎ =
𝑣
𝜋𝑟2 de donde
ℎ =
𝑣
𝜋𝑟2
ℎ =
500 𝑚3
𝜋(20 𝑚)2
ℎ =
1,25
𝜋
𝑚
Así mismo tenemos que
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −10 𝑐𝑚/ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −10−2
𝑚/ℎ

14. Reemplazando estos valores en la ecuación
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
−𝑟
2ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
−20
2
1,25
𝜋
−10−2 𝑚/ℎ
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 0,8𝜋 𝑚/ℎ

15. BIBLIOGRAFIA
• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; ISBN Ebook: 9786073201650,
• Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; Ebook: 9786073219495
• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios; Ebook: ISBN
9781449227180
• Cálculo diferencial e integral; Luna, Mena, Violeta; Ebook: ISBN 9781456217433
• Cálculo diferencial; Camacho, Alberto; Ebook: ISBN 9788499690971