demostración matemática

1. Clase 2: Introdución de Técnicas de Demostración mediantes axiomas
de números reales
Profesor: Franco Olivares Contador
9 de abril de 2023

2. Conceptos involucrados en una demostración matemática
1 Demostración es un argumento válido que establece la verdad de
un enunciado matematico
2 Axioma: afirmación que se supone que es verdad
3 Teorema: Una afirmación que ha demostrado ser cierta
4 Hipótesis: una suposición (a menudo no comprobada) que define la
estructuras sobre las que estamos razonando

3. Conceptos involucrados en una demostración matemática
1 Lema: Un teorema menor utilizado como trampolı́n para demostrar
un teorema mayor.
2 Corolario: Un teorema menor demostrado como una fácil
consecuencia de un teorema mayor.
3 Conjetura Una proposición cuyo valor de verdad no ha sido
probado.

4. El siguiente esquema nos aclara de forma intuitiva el procedimiento de
trabajo en los diferentes campos de las Matemáticas.

5. Métodos de demostración
Para probar implicaciones p ⇒ q, tenemos:
1 Prueba directa: suponga que p es verdadera y pruebe q.
2 Prueba indirecta:
a) En la prueba por contraposición se usa la siguiente tautologı́a
(p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
Ası́ en vez de demostrar p ⇒ q demostraremos q ⇒ p. O sea, nuestra
hipótesis es q y la tesis es p.
b) Prueba por contradicción: Suponga que p ∧ q, y demuestre que esto
conduce a una contradicción. (es decir, probar (p ∧ q) ⇒ F)

6. Ejemplo de demostración directa e indirecta
Ejemplo
Dé dos demostraciones, una directa y otra indirecta, del teorema de que
todo cuadrado es tanto un rombo como un rectángulo.
Demostración: Primero debemos enunciar este teorema como una
implicación, para que sepamos cúal es la hipótesis y la tesis. Podemos
tomar la implicación de sea p =⇒ q, donde p es el enunciado “Un
cuadrilátero es un cuadrado” y q es “ el cuadrilátero es un rombo y un
rectángulo.” Recuerde que, por definición, un rombo es una figura de 4
lados con todos los lados de igual longitud, y un rectángulo es una figura
de 4 lados con cuatro ángulos de 90.
Prueba directa: Sea Q un cuadrado. Por definición, Q tiene cuatro
lados iguales y cuatro ángulos de 90. Como tiene cuatro lados iguales, es
un rombo. Como tiene cuatro ángulos de 90, es un rectángulo. Por lo
tanto, Q es un rombo y un rectángulo

7. Ejemplo de demostración directa e indirecta
Prueba indirecta: Usaremos la contrarrecı́proca. Supongamos que Q no
es a la vez un rombo y un rectángulo. O sea, Q no es un Rombo o Q no
es un rectángulo. Si Q no es un rombo, entonces algún par de lados no
son iguales, ası́ Q no es un cuadrado. Si Q no es un rectángulo, entonces
algún ángulo no es un ángulo recto. De cualquier manera Q no es un
cuadrado

8. Demostración por contradición
Ejemplo
Usa la prueba por contradicción para demostrar que no hay primos pares
mayores que 2.
Demostración: Suponga suponga que la conclusión (tesis) es falsa y,
por lo tanto, existe un primo par n > 2. Por definición de par, n = 2m
para algún entero m > 1 ya que n > 2. Entonces n no es un primo ya
que 2 es un factor ¡Contradicción!

9. Axiomas de los Reales
El conjunto de los números reales, denotado por R, es un conjunto
numérico, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adición
y multiplicación o producto. En este conjunto, existen numerosas
propiedades que han sido aprendidas y utilizadas por nosotros durante la
enseñanza básica y media.
Una posibilidad para estudiar las propiedades de los números reales, serı́a
dar un largo listado de todas ellas, de modo que cuando se nos pregunta
si una propiedad es cierta o no, pudiéramos decir “claro, es la propiedad
1752 de los reales” (por ejemplo). Si ası́ hiciéramos, este curso se
convertirı́a en uno de memorizar infinitas propiedades.

10. Axiomas de los Reales
El conjunto de los números reales, denotado por R, es un conjunto
numérico, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adición
y multiplicación o producto. En este conjunto, existen numerosas
propiedades que han sido aprendidas y utilizadas por nosotros durante la
enseñanza básica y media.
Una posibilidad para estudiar las propiedades de los números reales, serı́a
dar un largo listado de todas ellas, de modo que cuando se nos pregunta
si una propiedad es cierta o no, pudiéramos decir “claro, es la propiedad
1752 de los reales” (por ejemplo). Si ası́ hiciéramos, este curso se
convertirı́a en uno de memorizar infinitas propiedades.

11. Axiomas de los Reales
Proponemos en este curso una visión opuesta a la anterior: lo que
haremos es estudiar las propiedades de los números reales, como una
consecuencia de un set acotado de propiedades elementales, que
aceptaremos como postulados básicos verdaderos. Estos son los
denominados axiomas.
Los axiomas se agrupan en tres categorı́as: axiomas de cuerpo (asociados
a la igualdad), de orden (asociados a las desigualdades) y el axioma del
supremo, que marca la diferencia entre racionales y reales. En esta etapa
del curso, estudiaremos los dos primeros.

12. Axiomas de los Reales
Proponemos en este curso una visión opuesta a la anterior: lo que
haremos es estudiar las propiedades de los números reales, como una
consecuencia de un set acotado de propiedades elementales, que
aceptaremos como postulados básicos verdaderos. Estos son los
denominados axiomas.
Los axiomas se agrupan en tres categorı́as: axiomas de cuerpo (asociados
a la igualdad), de orden (asociados a las desigualdades) y el axioma del
supremo, que marca la diferencia entre racionales y reales. En esta etapa
del curso, estudiaremos los dos primeros.

13. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de cuerpo de R son aquellos que sientan las bases más
fundamentales sobre la suma y la multiplicación en este conjunto. Son
propiedades que muy probablemente, hasta ahora, ni siquiera habı́amos
cuestionado.
Axioma 1 (Conmutatividad).
1 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su suma es un real, y es
independiente del orden en que se usen los sumandos; es decir
(∀x, y ∈ R) x + y = y + x.
2 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su producto es un real,
y es independiente del orden en que se usen los factores; es decir
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x.

14. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de cuerpo de R son aquellos que sientan las bases más
fundamentales sobre la suma y la multiplicación en este conjunto. Son
propiedades que muy probablemente, hasta ahora, ni siquiera habı́amos
cuestionado.
Axioma 1 (Conmutatividad).
1 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su suma es un real, y es
independiente del orden en que se usen los sumandos; es decir
(∀x, y ∈ R) x + y = y + x.
2 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su producto es un real,
y es independiente del orden en que se usen los factores; es decir
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x.

15. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de cuerpo de R son aquellos que sientan las bases más
fundamentales sobre la suma y la multiplicación en este conjunto. Son
propiedades que muy probablemente, hasta ahora, ni siquiera habı́amos
cuestionado.
Axioma 1 (Conmutatividad).
1 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su suma es un real, y es
independiente del orden en que se usen los sumandos; es decir
(∀x, y ∈ R) x + y = y + x.
2 Cualesquiera que sean los reales x e y dados, su producto es un real,
y es independiente del orden en que se usen los factores; es decir
(∀x, y ∈ R) x · y = y · x.

16. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 2 (Asociatividad).
1 (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z.
2 (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z.
Importante! Con estos dos axiomas, ya podemos demostrar algunas
propiedades. Demostremos por ejemplo, lo siguiente:
(∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + z) + y.

17. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 2 (Asociatividad).
1 (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z.
2 (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z.
Importante! Con estos dos axiomas, ya podemos demostrar algunas
propiedades. Demostremos por ejemplo, lo siguiente:
(∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + z) + y.

18. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 3 (Distributividad).
1 (∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = xy + xz.
Importante! Con este axioma, se puede demostrar lo siguiente
(∀x, y, z ∈ R) (x + y) · z = xz + yz
.

19. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 3 (Distributividad).
1 (∀x, y, z ∈ R) x · (y + z) = xy + xz.
Importante! Con este axioma, se puede demostrar lo siguiente
(∀x, y, z ∈ R) (x + y) · z = xz + yz
.

20. Axiomas de de los Reales
Los Axiomas 4 y 5, entregan la existencia de ciertos elementos especiales
en R. Veamos de qué se trata...
Axioma 4a (Existencia de Neutro Aditivo).
1 En R existen números, denotados por la letra e, que no afectan el
resultado de una suma. Vale decir,
(∃e ∈ R)(∀x ∈ R) x + e = x.

21. Axiomas de de los Reales
Los Axiomas 4 y 5, entregan la existencia de ciertos elementos especiales
en R. Veamos de qué se trata...
Axioma 4a (Existencia de Neutro Aditivo).
1 En R existen números, denotados por la letra e, que no afectan el
resultado de una suma. Vale decir,
(∃e ∈ R)(∀x ∈ R) x + e = x.

22. Axiomas de de los Reales
Los Axiomas 4 y 5, entregan la existencia de ciertos elementos especiales
en R. Veamos de qué se trata...
Axioma 4a (Existencia de Neutro Aditivo).
1 En R existen números, denotados por la letra e, que no afectan el
resultado de una suma. Vale decir,
(∃e ∈ R)(∀x ∈ R) x + e = x.

23. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 4b (Existencia de Neutro Multiplicativo).
1 En R existen números, denotados por la letra f , que por un lado son
distintos de cero, y por otro lado, no afectan el resultado de una
multiplicación. Vale decir,
(∃f ∈ R)(∀x ∈ R) x · f = x.
Proposición
El neutro multiplicativo en R es único, y lo llamamos 1.

24. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 4b (Existencia de Neutro Multiplicativo).
1 En R existen números, denotados por la letra f , que por un lado son
distintos de cero, y por otro lado, no afectan el resultado de una
multiplicación. Vale decir,
(∃f ∈ R)(∀x ∈ R) x · f = x.
Proposición
El neutro multiplicativo en R es único, y lo llamamos 1.

25. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 5 (Existencia de Inversos).
1 Para cada x ∈ R, existen reales asociados a x, que se llaman opuestos
o inversos aditivos de x, que satisfacen
x + opuesto(x) = 0.
2 Para cada x ∈ R con x 6= 0, existen reales asociados a x, que se
llaman recı́procos o inversos multiplicativos de x, que satisfacen
x · recı́proco(x) = 1.
Proposición
Para cada x ∈ R, el opuesto es único y se llama −x.
Proposición
Para cada x ∈ R con x 6= 0, el recı́proco es único y se llama x−1.

26. Axiomas de Cuerpo de los Reales
Axioma 5 (Existencia de Inversos).
1 Para cada x ∈ R, existen reales asociados a x, que se llaman opuestos
o inversos aditivos de x, que satisfacen
x + opuesto(x) = 0.
2 Para cada x ∈ R con x 6= 0, existen reales asociados a x, que se
llaman recı́procos o inversos multiplicativos de x, que satisfacen
x · recı́proco(x) = 1.
Proposición
Para cada x ∈ R, el opuesto es único y se llama −x.
Proposición
Para cada x ∈ R con x 6= 0, el recı́proco es único y se llama x−1.

27. Teorema
(Cancelación de la suma) Sean x, y, z ∈ R. x = y, si y solo si,
x + z = y + z.
Demostración: Debemos probar que x = y =⇒ x + z = y + z. Dado que
x, y, z ∈ R se tiene que x + z ∈ R , y + z ∈ R (la suma es cerrada en
R). Luego, como la hipótesis x = y, se tiene x + z = y + z.
Ahora demostraremos ⇐=, Supongamos que x + z = y + z. Por Axioma
de la existencia del elemento inverso aditivo, existe z0 ∈ R tal que
z + z0 = 0, entonces, por la parte anterior, (x + z) + z0 = (y + z) + z0 y
por Axioma de asociatividad, x + (z + z0) = y + (z + z0), pero como
z + z0 = 0, tenemos que x + 0 = y + 0 y por Axioma del existencia del
elmento neutro x = y.

28. Corolario
El neutro aditivo en R es único.
Demostración: supongamos que hay otro neutro aditivo 0
0
, entonces se
tiene que, x + 0 = x = x + 0
0
y del teorema anterior se tiene que 0 = 0
0
.

29. Propiedades de R
A continuación, demostraremos otras propiedades de los números reales.
Muchas de ellas son conocidas del liceo/colegio. Nos interesará revisarlas
por un doble objetivo: por un lado es bueno recordarlas (y/o
aprenderlas), y por otro, queremos ver por qué son ciertas, y cómo se
deducen a partir de los 5 axiomas previos.
Propiedad 1: (∀x ∈ R) x · 0 = 0.
Demostración: Debido a que 0 es el elemento neutro para la suma,
tenemos que
0x = (0 + 0)x
y debido a la distributividad encontramos que
(0 + 0)x = 0x + 0x
. Por lo tanto encontramos que
0x = 0x + 0x
entonces 0x también actúa como el elemento neutral. Por la unicidad de
este elemento, tenemos que 0x = 0.
Importante: La proposición anterior implica que el 0 no posee recı́proco,
¿podrı́as decir por qué?

30. Propiedades de R
A continuación, demostraremos otras propiedades de los números reales.
Muchas de ellas son conocidas del liceo/colegio. Nos interesará revisarlas
por un doble objetivo: por un lado es bueno recordarlas (y/o
aprenderlas), y por otro, queremos ver por qué son ciertas, y cómo se
deducen a partir de los 5 axiomas previos.
Propiedad 1: (∀x ∈ R) x · 0 = 0.
Demostración: Debido a que 0 es el elemento neutro para la suma,
tenemos que
0x = (0 + 0)x
y debido a la distributividad encontramos que
(0 + 0)x = 0x + 0x
. Por lo tanto encontramos que
0x = 0x + 0x
entonces 0x también actúa como el elemento neutral. Por la unicidad de
este elemento, tenemos que 0x = 0.
Importante: La proposición anterior implica que el 0 no posee recı́proco,
¿podrı́as decir por qué?

31. Propiedades de R
A continuación, demostraremos otras propiedades de los números reales.
Muchas de ellas son conocidas del liceo/colegio. Nos interesará revisarlas
por un doble objetivo: por un lado es bueno recordarlas (y/o
aprenderlas), y por otro, queremos ver por qué son ciertas, y cómo se
deducen a partir de los 5 axiomas previos.
Propiedad 1: (∀x ∈ R) x · 0 = 0.
Demostración: Debido a que 0 es el elemento neutro para la suma,
tenemos que
0x = (0 + 0)x
y debido a la distributividad encontramos que
(0 + 0)x = 0x + 0x
. Por lo tanto encontramos que
0x = 0x + 0x
entonces 0x también actúa como el elemento neutral. Por la unicidad de
este elemento, tenemos que 0x = 0.
Importante: La proposición anterior implica que el 0 no posee recı́proco,
¿podrı́as decir por qué?

32. Propiedades de R
A continuación, demostraremos otras propiedades de los números reales.
Muchas de ellas son conocidas del liceo/colegio. Nos interesará revisarlas
por un doble objetivo: por un lado es bueno recordarlas (y/o
aprenderlas), y por otro, queremos ver por qué son ciertas, y cómo se
deducen a partir de los 5 axiomas previos.
Propiedad 1: (∀x ∈ R) x · 0 = 0.
Demostración: Debido a que 0 es el elemento neutro para la suma,
tenemos que
0x = (0 + 0)x
y debido a la distributividad encontramos que
(0 + 0)x = 0x + 0x
. Por lo tanto encontramos que
0x = 0x + 0x
entonces 0x también actúa como el elemento neutral. Por la unicidad de
este elemento, tenemos que 0x = 0.
Importante: La proposición anterior implica que el 0 no posee recı́proco,
¿podrı́as decir por qué?

33. Propiedades de R
A continuación, demostraremos otras propiedades de los números reales.
Muchas de ellas son conocidas del liceo/colegio. Nos interesará revisarlas
por un doble objetivo: por un lado es bueno recordarlas (y/o
aprenderlas), y por otro, queremos ver por qué son ciertas, y cómo se
deducen a partir de los 5 axiomas previos.
Propiedad 1: (∀x ∈ R) x · 0 = 0.
Demostración: Debido a que 0 es el elemento neutro para la suma,
tenemos que
0x = (0 + 0)x
y debido a la distributividad encontramos que
(0 + 0)x = 0x + 0x
. Por lo tanto encontramos que
0x = 0x + 0x
entonces 0x también actúa como el elemento neutral. Por la unicidad de
este elemento, tenemos que 0x = 0.
Importante: La proposición anterior implica que el 0 no posee recı́proco,
¿podrı́as decir por qué?

34. Propiedades de R
Propiedad 2: En R, la ecuación ax + b = c tienen solución, y dicha
solución es única.
Demostración:
[ax + b] + (−b) = c + (−b)
⇐⇒ ax + [b + (−b)] = c − b
⇐⇒ ax = c − b
y finalmente, multiplico ambos lados de la ecuación por el recı́proco
de a(a 6= 0)
ax = c − b
⇐⇒ a−1
(ax) = a−1
(c − b)
⇐⇒ (aa−1
)x = a−1
(c − b)
⇐⇒ x = a−1
(c − b)
que es la solución de nuestra ecuación.
Propiedad 3: En R se cumple la siguiente regla de inversos:
1 (∀x ∈ R) − (−x) = x.
2 (∀x ∈ R {0}) (x−1
)−1
= x.

35. Propiedades de R
Propiedad 2: En R, la ecuación ax + b = c tienen solución, y dicha
solución es única.
Demostración:
[ax + b] + (−b) = c + (−b)
⇐⇒ ax + [b + (−b)] = c − b
⇐⇒ ax = c − b
y finalmente, multiplico ambos lados de la ecuación por el recı́proco
de a(a 6= 0)
ax = c − b
⇐⇒ a−1
(ax) = a−1
(c − b)
⇐⇒ (aa−1
)x = a−1
(c − b)
⇐⇒ x = a−1
(c − b)
que es la solución de nuestra ecuación.
Propiedad 3: En R se cumple la siguiente regla de inversos:
1 (∀x ∈ R) − (−x) = x.
2 (∀x ∈ R {0}) (x−1
)−1
= x.

36. Para terminar por hoy...
Demostración Propiedad 3: Por el axioma del inverso aditivo se tiene
−x + x = 0. En cosecuencia, el inverso aditivo de −x es x, es decir,
−(−x) = x. El resto de las afirmaciones las vamos asumir sin
demostración.
Propiedad 4: Regla de los signos.
1 (∀a, b ∈ R) a · (−b) = −(a · b).
2 (∀a, b ∈ R) (−a) · (−b) = a · b.
3 (∀a, b ∈ R) − (a + b) = (−a) + (−b).
Propiedad 5: Para todo x, y ∈ R,
x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0.
Demostración Propiedad 5: . Probaremos en primer lugar la implicación
⇒. Si se tiene que xy = 0 y x 6= 0, entonces x tiene reciproco x−1 y
luego
x−1
(xy) = x−1
0 = 0.
Entonces, y = 0.
La implicación ⇐= sigue de la Propiedad 1.

37. Para terminar por hoy...
Demostración Propiedad 3: Por el axioma del inverso aditivo se tiene
−x + x = 0. En cosecuencia, el inverso aditivo de −x es x, es decir,
−(−x) = x. El resto de las afirmaciones las vamos asumir sin
demostración.
Propiedad 4: Regla de los signos.
1 (∀a, b ∈ R) a · (−b) = −(a · b).
2 (∀a, b ∈ R) (−a) · (−b) = a · b.
3 (∀a, b ∈ R) − (a + b) = (−a) + (−b).
Propiedad 5: Para todo x, y ∈ R,
x · y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0.
Demostración Propiedad 5: . Probaremos en primer lugar la implicación
⇒. Si se tiene que xy = 0 y x 6= 0, entonces x tiene reciproco x−1 y
luego
x−1
(xy) = x−1
0 = 0.
Entonces, y = 0.
La implicación ⇐= sigue de la Propiedad 1.

38. Para resolver ecuaciones se procede ya sea por factorizacion, por
completación de cuadrados o por formulas (como en el caso de la
ecuación de segundo grado), o por reducción de grado. Veamos algunos
ejemplos para ilustrar esto.
Ejemplo
Debe reconocer en este caso que x 6= 4. Para x 6= 4:
3x + 2
x − 4
= −2 ⇐⇒
3x + 2
x − 4
(x − 4) = −2(x − 4) (1)
⇐⇒ 3x + 2 = −2x + 8 (2)
⇐⇒ 3x + 2x = 8 − 2 (3)
⇐⇒ 5x = 6 (4)
⇐⇒ x =
6
5
. (5)

39. Ejemplo
Resolver la ecuación x2 − x − 6 = 0.
Solución: Se tiene
x2
− x − 6 = 0 ⇐⇒ (x − 3)(x + 2) = 0
⇐⇒ x − 3 = 0 ∨ x + 2 = 0
⇐⇒ x = 3 ∨ x = −2
Es decir, la solución es S = {x ∈ R : x2 − x − 6 = 0} = {−2, 3}.

40. Ejemplo
Usando exclusivamente los axiomas de los reales y mencionándolos
claramente cada vez que los use, demuestre las propiedades siguientes. Si
ocupa alguna otra propiedad entonces deberá demostrarla indicando los
axiomas que use en ello.
1 ∀x, y ∈ R, x, y 6= 0, (x + y)(x−1y−1) = x−1 + y−1.
2 ∀a ∈ R, a2 = 0 =⇒ a = 0.