2. Una ecuación de tercer grado con una incógnita es
una ecuación que se puede poner bajo la forma
canónica:
Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que
pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C
3. Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Se obtiene:
con
Proceder al cambio de incógnita
cuadrado. En efecto, al desarrollar
con la identidad precedente, vemos aparecer el término
compensado exactamente por que aparece en
4. con p y q números del cuerpo.
Y ahora, la astucia genial: escribir Así, la
ecuación precedente da
Desarrollando
Reagrupando:
Factorizando:
Como se ha introducido una variable adicional (u y v en
vez de z), es posible imponerse una condición
adicional. Concretamente:
que implica
5. Como se ha introducido una variable adicional (u y v en
vez de z), es posible imponerse una condición adicional.
Concretamente:
que implica
Pongamos y Entonces tenemos
y porque
Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar
q que se sabe resolver.
Luego y son raíces cúbicas de y (que verifican
finalmente
6. En el cuerpo si y estas raíces
cúbicas, entonces las otras son y
y por supuesto y con una raíz
cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado las parejas
posibles son y
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto
y
7. Convertir en segundo grado usando ruffini
Entonces tenemos:
Divisores de d = 9, 3, 1
Divisores de a = 2, 1
Reemplazamos hasta que nos de alguno 0. Resulta
que
2* 3^3 - 3^2 - 18*3 + 9 =0
Así que 3 es una raíz. Ahora aplicamos Ruffini
| 2 -1 -18 9
8. 3 | 6 15 -9
-----------------------------
| 2 5 -3 0
La nueva ecuación es (2x^2 + 5x - 3)*(x - 3) > 0
Tomamos la cuadrática y le aplicamos la resolutiva
[-b +- Raiz (b^2 -4*a*c) ] / 2*a
y nos dan las raíces 1/2 y -3, quedando la ecuación:
(x - 1/2)*(x+3)*(x-3) > 0
