El documento presenta un resumen del método de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método consiste en: 1) Expresar el sistema en forma matricial; 2) Descomponer la matriz en una parte diagonal y otra no diagonal; 3) Utilizar una fórmula recursiva para iterar y obtener sucesivas aproximaciones a la solución hasta alcanzar un criterio de convergencia. Se provee un ejemplo numérico para ilustrar el procedimiento iterativo.

1. PROGRAMA DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD
DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD
ALGEBRA LINEAL
I-ELEC-1M
Profesor: Integrantes:
Wilmer Colmenares Evelin Parellas C.I 20.774.184
Brigitte Hernández C.I 20.774.144
Aryeris Márquez C.I 24.038.373
Sergio Flores C.I 20.557.723

2. Un vector es un segmento orientando y
dirigido, que tiene un origen y un extremo.
a
A B
Observaciones importantes:
• A las magnitudes vectoriales las denotaremos con una letra en “negrilla”.
• AB se lee vector de origen A y extremo B.
• a se lee vector a.
El modulo de un vector se indica con barras verticales
IABI: se lee modulo del vector AB
También se usa escribir sin negrilla cuando se trata del modulo
de un vector.
Por ejemplo:
AB: se lee modulo AB

3. • Propiedad de la adición de vectores.
• Propiedad del productor de un escalar por un vector.
• Adición de vectores en IR2
Propiedad de la adición de vectores.
Geométricamente lo demostramos de la siguiente manera:
1-. X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
Z
X + Z
X Y

4. 2-. X + Y = Y + X
Y X
X+ Y =Y+X
X Y
Además, si denotamos por O al vector geométrico determinado por
AA, entonces:
3.- X + O = O + X = X, para todo vector geométrico X
(El vector O se denomina vector nulo)

5. Por otra parte si X es un vector geométrico y AB
Representan a X, entonces si denotamos por –X al vector
geométrico determinado por BA se tiene que
4.- X + (-X) = O (-X) + X

6. En el campo de la electricidad existen muchos situaciones en las que se
presenta fenómenos que tienen un comportamiento vectorial tales como:
Fuerza eléctrica, campo eléctrico, campo magnético, intensidad de
corriente, etc. Si sabemos utilizar las herramientas que se trabajan con
vectores podremos entender el comportamiento de todos estos fenómenos
y asi podremos utilizarlos para nuestro beneficio.
Ejercicio:
-6
Se dispone de una carga eléctrica de +4.10 covl. Calcular el modulo de
la intensidad del campo eléctrico a 10 cm de ella Y hacer un diagrama
que indique el sentido de la intensidad del campo

7. +q A E
o +
10 cm
Resolución:
Razonamiento: sea A el punto que esta a 10cm de la carga.
por convenio, siempre, el punto donde se pide la intensidad de campo
es positivo, por lo tanto como la carga es positiva hay repulsión y E tiene
la dirección de la recta que une a la carga con el punto y se aleja de ella.

8. E= ?
q= 4.10 -6 coul.
-2
d= 10.10 m
2
K= 9.10 new. m
coul
E= K x q
2
d
9 2 -6 9 -6
E= 9.10 new. m x 4.10 covl = 9.10 new.m 2 x 4.10 covl
2 2
covl (10.10 -2m) covl 2 0,01 m 2
5
E= 36.10 new
covl

9. Transformación lineal es toda función cuyo dominio e imagen sean espacios
vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
· T(U+V) = T(U) + T(V)
· T(KU) = KT(U) donde K es un escalar.
Consideremos los espacios V y W y el conjunto de los números reales
como escalares.
Una transformación lineal T de V en W (t :V W) es toda función que
cumple las siguientes condiciones:
Si X , y e V, entonces t (X +Y) = t (X) + t (Y)
Si a e IR y X e V, entonces t (AX)= at (X).

10. Las propiedades 1 y 2 significan que toda transformación lineal de V en
W conserva las operaciones de adición y producto por un escalar de los
espacios V y W.
Observemos que en el caso de funciones de IR en IR de la forma
X f (X) = &X, donde &EIR, se cumple 1 y 2.
En efectos, si X, Y EIR, y &EIR; entonces
1. F (X+Y) = & (X+Y) = &X + &Y = F(X) + F(Y)
es decir, F (X+Y) = F(X) + f (Y)
2. F (çX) = & (çX) = ç (&X) = ç F (X)

11. a) Toda transformación lineal (T:V W) manda al vector nulo de V en el
vector nulo de W. es decir, si denotamos por OV y OW los vectores nulos
De V y W respectivamente:
T (OV) = OW
En efecto, si ç = 0 se tiene que:
T (OV) = T (O. OV) (ya que O. OV = OV)
= O. T (OV) (aplicando la segunda condición)
= OW
Puesto que el producto del escalar O por el vector T (OV) EW
es el vector nulo de W, es decir, OW

12. b) Toda transformación lineal T: V W aplica combinaciones lineales de V
En combinaciones lineales de la imagen de los vectores.
En efecto, aplicando 1 y 2 a la combinación lineal
&X + BY eV tenemos:
T (&X + BY) = T (&X) + T (BY) = &T (X) + BT (Y)

13. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema:
hasta que

14. En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente
dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:
Primera fila:
|a11| > (|a12| + |a13|)
5 > (1.4 + 2.7)
5 > 4.1; es cierto.
La condición se cumple para la primera fila.
Segunda fila:
|a22| > (|a21| + |a23|)
2.5 > (0.7 + 15)
2.5 > 15.7; no es cierto.
La condición no se cumple para la segunda fila.

15. Tercera fila:
|a33| > (|a31| + |a32|)
4.4 > (3.3 + 11)
4.4 > 14.3; no es cierto.
La condición no se cumple para la tercera fila.
Para que el sistema sea diagonalmente dominante,
la condición debe cumplirse para todas las filas.
Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante.
NOTA: Recuérdese que la diagonal principal está compuesta
por a11, a22 y a33.

16. Sin embargo, al hacer el intercambio del renglón 2 por el renglón 3,
se tiene el siguiente sistema:
En este caso se puede observar que el sistema sí es diagonalmente
dominante, lo cual se comprueba con los siguientes cálculos:
Primera fila:
|a11| > (|a12| + |a13|)
5 > (1.4 + 2.7)
5 > 4.1; es cierto.
La condición se cumple para la primera fila.

17. Segunda fila:
|a22| > (|a21| + |a23|)
11 > (3.3 + 4.4)
11 > 7.7; es cierto.
La condición se cumple para la segunda fila.
tercera fila:
|a33| > (|a31| + |a32|)
15 > (0.7 + 2.5)
15 > 3.2; es cierto.
La condición se cumple para la tercera fila.
Para que el sistema sea diagonalmente dominante,
la condición debe cumplirse para todas las filas.
En este caso efectivamente la condición se cumple para todas las filas,
por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante.

18. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de
las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:
Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0
en la ecuación 1 para obtener x1:

19. Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuación 2 para obtener x2:
Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteración son:

20. Puesto que sólo se tiene la primera aproximación de la solución del sistema,
se debe seguir avanzando en el proceso iterativo.
Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuación 1, se
obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuación 2,
se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en
la ecuación 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximación es:

21. Puesto que no se ha cumplido el objetivo,
se debe seguir avanzando en el proceso iterativo.
Se resumen los resultados de esta manera:

22. Tercera iteración:
Cuarta iteración:
Así, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteración y
se tiene que los valores aproximados de la solución del sistema son:

23. De donde despejamos xi(k)obtenemos:
Supongamos que se tiene un sistema de ecuaciones
expresado en su forma algebraica conforme a la ecuación (2d)
Ax = b …(2d)

24. La matriz A, puede escribirse de la siguiente manera
A = D + R …(20)
Donde D es una matriz diagonal,
i.e. una matriz cuadrada cuyos elementos contenidos en la diagonal
principal son los únicos diferentes de cero y coinciden
con los valores de los elementos de la diagonal principal de A.
Por el contrario, R es una matriz que contiene ceros en la diagonal principal
y cuyos elementos restantes coinciden con los respectivos elementos de A.
Entonces, sustituyendo (20) en (2d):
(D + R)x = b …(21)
i.e.
Dx + Rx = b
Dx = b - Rx
D-1Dx = D-1(b - Rx)
x = D-1(b - Rx) …(22)

25. que se traduce en la fórmula recursiva:
x(k+1) = D-1(b – Rx(k)) ; k = 0,1,2… …(23)
Esto es:
( k 1) 1
x1  (b1  a12 x2k )  a13 x3 k ) 
( (
 a1n x ( k ) )
a11 n
1
x2k 1) 
(
(b2  a21 x1 k )  a23 x3k ) 
( (
 a2 n x ( k ) )
a22 n
1
x3k 1) 
(
(b3  a31 x1 k )  a32 x2k ) 
( (
 a3 n x ( k ) )
a33 n
1
xnk 1) 
(
(bn  an1 x1 k )  an 2 x2k ) 
( (
 an , n 1 x ( 1) )
k
ann n
k  0,1, 2...
…(24)

26. El método comienza con una primera aproximación:
T
x(0) = x x x

(0) (0) (0)
1 2 3 x 
(0)

n
que se sustituye en los segundos miembros de (24)
para generar una nueva aproximación:
T
x(1) = x x x

(1) (1) (1)
1 2 3 x 
(1)
n 
Asimismo, se sustituye x(1) para obtener:

T
x(2) = x x x

(2) (2) (2)
1 2 3 x 
(2)

n
Este procedimiento se repite sucesivamente.
El criterio que identifica una buena aproximación
a la solución del sistema es el siguiente:
x( n1)  x( n)   …(25)
En donde es un vector de
tolerancia preestablecido

27. 0,0,0,...,0
T
Suponiendo un sistema de 3 x 3 y el vector inicial: x(0) =
el cual se sustituye en (24)
 1 
 0 0 
a
 x1   11   b   0 a12 a13  x1  
   1   1     
 x2    0 a22
0   b2    a21 0 a23  x2  
x     b   a 0  x3  
 3   3   31 a32   
1 
 0
 0 
 a33 

… (25)
Entonces se obtiene la siguiente aproximación:
T
x(0) =
 b1 b2 b3 
  …(26)
 a11 a22 a33 
El cual se utiliza generalmente como vector inicial x(0)
en la resolución de sistemas de ecuaciones a través del método de Jacobi.

28. Ejemplo.
Resolver por el método de Jacobi, el siguiente sistema de ecuaciones
6 x1  2 x2  x3  22
 x1  8 x2  2 x3  30
x1  x2  6 x3  23
Solución.
( k 1) 1 1
x1  (b1  a12 x2  a13 x3 )  (22  2 x2k )  x3k ) )
( (
a11 6
1
x2k 1) 
(
(30  x1 k )  2 x3k ) )
( (
8
( k 1) 1
x3  (23  x1 k )  x2k ) )
( (
6
T
 b b2 b3 
T
 22 30 23 
x ( 0)
 1   , , 
 a11 a22 a33   6 8 6 

29. Para k = 0 se tiene
1
x (1)
1  (22  2 x2  x3 )
(0) (0)
6
1
x (1)
2  (30  x1  2 x3 )
(0) (0)
8
1
x (1)
3  (23  x1  x2 )
(0) (0)
6
Sustituyendo los valores:
1 30 23
x  (22  2  )  1.778
(1)
1
6 8 6
1 22 23
x(1)
2  (30   2 )  3.250
8 6 6
(1) 1 22 30
x3  (23   )  3.847
6 6 8

30.  1.778 3.250 3.847
(1) T
Consecuentemente: x
Ahora, para k = 1:
1
x  (22  2(3.250)  3.847)  1.942
(2)
1
6
1
x2  (30  1.778  2(3.847))  3.011
(2)
8
1
x  (23  1.778  3.250)  4.079
(2)
3
6
esto implica que
 1.942 3.011 4.079
(2) T
x

31. Continuando con estos pasos se tiene entonces:
k=2
 1.983 2.973 4.012
(3) T
x
k=3
x(4)   2.007 2.995 3.998
T
k=4
x(5)   2.002 3.001 3.998
T
k=5
  2.000 3.001 4.000
(6) T
x
k=6
x(7)   2.000 3.000 4.000
T

32. Con lo que se obtiene la solución final:
x1 = 2.000
x2 = 3.000
x3 = 4.000
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales
por medio del método de Gauss-Seidel.
Considera una tolerancia de 0.001 y
redondeo a cuatro cifras significativas.
6 x1  2 x2  x3  22
 x1  8 x2  2 x3  30
x1  x2  6 x3  23

33. Solución.
Despejamos x1, x2 y x3 de la primera, segunda y tercera ecuación,
respectivamente
1
x1   22  2 x2  x3 
6
1
x2   30  x1  2 x3 
8
1
x3   23  x1  x2 
6
Ahora, expresamos estos despejes en términos recursivos
1
x1( k 1) 
6
 22  2 x2( k )  x3( k ) 
1
x2 ( k 1)   30  x1( k 1)  2 x3( k ) 
8
1
x3( k 1)   23  x1( k 1)  x2 ( k 1) 
6

34. Tenemos el vector de aproximaciones iniciales
x (0)  (22 / 6,30 / 8, 23/ 6)T
22 30 23
Sea k=0, x1(0)  , x2 (0)  , x3(0) 
6 8 6
1
22  2 
30  23 
x1(1)   8   6   1.778
6   
  30  1.778  2 
1 23  
x2 (1)
8  6    3.014
 
1
x3(1)   23  1.778  3.014   4.039
6 .
Y ahora x1(1)  1.778, x2(1)  3.014, x3(1)  4.039. Como
x (1)  x (0)  (1.778  3.667,3.014  3.75,4.039  3.833)
 (1.889,0.736,0.206)

35. Es mayor a la tolerancia prefijada   (0.001,0.001,0.001),
es necesario hacer otra iteración.
En las siguientes iteraciones, los resultados son:
k=1 con x (2)  1.989, x (2)  2.989, x (2)  4.000
1 2 3
k=2 con x1(3)  2.004, x2(3)  3.001, x3(3)  4.000
k=3 con x1(4)  2.000, x2(4)  3.000, x3(4)  4.000
Es claro que el método de Gauss Seidel converge más rápido a la solución
del sistema que el de Jacobi. Sin embargo, es importante señalar que la
convergencia de estos métodos no siempre está asegurada.

36. Ambos métodos utilizan una técnica similar a la del punto fijo vista
en la unidad anterior. Recordemos que el método del punto fijo tiene
dos desventajas:
1. En algunas ocasiones no converge a la solución.
2. Cuando converge a la solución lo hace de forma muy lenta.
Estos mismos problemas pueden presentarse tanto en el método de Jacobi
como en el método de Gauss-Seidel.
Como ya hemos visto, el método del punto fijo
converge en la n-ésima iteración si, y sólo si,
g ( )  1; xn1    a

37. donde a es la raíz buscada.
Se puede probar que este criterio de convergencia para el método del
punto fijo se preserva tanto para el método de Jacobi, como para
el método de Gauss-Seidel y que se traduce en la expresión
n
aii  
j 1
ai , j ; j i
…(26.a)
Esto es, el coeficiente diagonal en cada una de las ecuaciones del sistema
en valor absoluto debe ser mayor que la suma en valor absoluto de los
demás coeficientes en la ecuación. Este criterio es suficiente, aunque no
necesario, para garantizar la convergencia, es decir, si (26.a) se cumple
habrá convergencia y si no se cumple puede que el método converja o no.
Los sistemas que cumplen con esta propiedad son conocidos como
diagonalmente dominantes.

38. Ejemplo. Determina si la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones
lineales del ejemplo anterior es diagonalmente dominante.
Solución. Tenemos el sistema
6 x1  2 x2  x3  22
 x1  8 x2  2 x3  30
x1  x2  6 x3  23
Por lo que la matriz de coeficientes es
 6 2 1
A   1 8 2 
 
 1 1 6 
 

39. Entonces, tenemos que a11  a12  a13 a22  a21  a23 a33  a31  a32
ya que
|6|>|2|+|1|
|8|>|-1|+|2|
|6|>|1|+|-1|
Por lo tanto, la matriz de coeficientes del sistema es
diagonalmente dominante