Números Complejos Lina M. Medina Z.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión – San Cristóbal
Números Complejos
Integrante:
San Cristóbal, Junio de 2017
 Lina M. Medina Z. CI: 26.205.999
Ingeniera de Sistemas

2. Los números complejos
Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo
algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación
, siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está estrictamente
contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a
diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de
un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria,
que se indica con la letra i), o en forma polar.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los
imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es
el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de variable
compleja, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene
exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con
números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales:
𝑧 = (𝑎 + 𝑏)
A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota 𝑎 = 𝑅𝑒(𝑧)
El segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota 𝑏 = 𝐼𝑚(𝑧)
Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación
de igualdad:
 Suma
( 𝑎, 𝑏) + ( 𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐; 𝑏 + 𝑑)
 Producto por escalar
𝑟( 𝑎, 𝑏) = (𝑟𝑎, 𝑟𝑏)
 Multiplicación
( 𝑎, 𝑏) ∙ ( 𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

3.  Igualdad
( 𝑎, 𝑏) = ( 𝑐, 𝑑) ↔ 𝑎 = 𝑐 ˄ 𝑏 = 𝑑
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
 Resta
( 𝑎. 𝑏) − ( 𝑐, 𝑑) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)
 División
(𝑎,𝑏)
(𝑐,𝑑)
=
(𝑎𝑐+𝑏𝑑,𝑏𝑐−𝑎𝑑)
𝑐2+𝑑2 = (
𝑎𝑐+𝑏𝑑,
𝑐2+𝑑2 ,
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2)
Al número (𝑎, 0) se denomina número complejo real y como entre el conjunto de
estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo
número real es un número complejo. Al número complejo (0, 𝑏) se denomina número
imaginario puro. Puesto que ( 𝑎, 0) + 0, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) se dice que un número complejo es la
suma de un número real con un número imaginario puro.
Otras formas de representar los números complejos
1. Forma binómica
 Parte real.
 Parte imaginaria.
 Módulo.
 Conjugado.
 Opuesto.
 Suma de complejo.
2. Forma polar o módulo-argumento:
 Argumento.
 Argumento principal.

4.  Producto de complejos.
 Fórmula de Moivre.
 Cambio de forma binómica a polar y viceversa.
3. Forma exponencial
4. Raíces n-ésimas de un número complejo
5. Resta
6. Multiplicación
7. División
8. Producto por escalar
Forma Binómica:
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo ha 𝑅2
, de este modo se tiene:
( 𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,0) + (0,1) = 𝑥 + 𝑖𝑦
Gráficamente, podemos representar 𝑅2
, (y por tanto C) como un plano.
Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la
segunda, y, se denomina parte imaginaria. Obviamente, dos números complejos son iguales

5. si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias. Usando este
tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores.
Dados dos vectores 𝑍1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑍2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 su suma es: 𝑍3 = 𝑍1 + 𝑍2 =
( 𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)
Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo
representa, es decir, si, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 entonces el módulo de 𝑍 es | 𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2.
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es
decir, si𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, entonces el conjugado de 𝑍 es 𝑧̅ = 𝑥 + 𝑖𝑦. El opuesto de número
complejo es su simétrico respecto del origen.

6. Es fácil ver que se cumple, 𝑍𝑍̅ = | 𝑍2| por tanto podemos expresar el inverso de un
número 𝑍 ≠ 0 en la forma 𝑍−1
=
1
𝑍
=
𝑍̅
| 𝑍2 |
. En vez de usar coordenadas cartesianas para
representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la
siguiente forma de representación de los números complejos.
Forma polar o módulo-argumento
Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-
argumento,𝑍 = | 𝑍|(cos∅ + 𝑖 sin ∅) Donde| 𝑧|es el módulo de 𝑧, y donde q es
un argumento de 𝑧 , esto es, q es un ángulo tal que cos∅ =
𝑥
| 𝑧|
, sin ∅ =
𝑦
| 𝑧|
.
NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se
puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los
posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

7. Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces
Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se
denota
Se verifica entonces que
.
Dos números complejos y ,
representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y
sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, ,
con . La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de
multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir,
si , y , entonces

8. Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin
más que dividir los módulos y restar los argumentos
Siempre que .
Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así,
si , para , entonces
Suma y resta de números complejos dados en su forma polar No hay una forma para
sumar o restar de manera abreviada números en su forma polar. Una alternativa para operar
es pasarlos a su forma binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a la
forma polar.
Ejemplo: Encuentre z1+z2 . Exprese el resultado en forma polar.
z1=630º z2=2−30º
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación trigonométrica
z1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)= 3√3+3i
z2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)= √3−1i
Entonces sumamos en forma binómica
=4√3−2i

9. Si se requiere pasamos a la forma polar.
El modulo |z1+z2|= √13
El argumento, θ=atan(2)
4√3
En definitiva,
z1+z2=√13atan (1)
2√3
Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de
Moivre:
Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que .
En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,
.
La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas trigonométricas que
expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo
simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre
y el desarrollo del binomio de Newton
De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en función del
seno y del coseno de q, bastará con considerar por un lado la fórmula de Moivre
y por otro el desarrollo del cubo

10. Si igualamos ahora las partes reales de ambos desarrollos tenemos
Igualando las partes imaginarias obtenemos además, sin ningún esfuerzo adicional una
expresión para
Cambio de forma binómica a polar y viceversa:
Cambio de binómica a polar Cambio de polar a binómica
Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma
trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)

11. Forma exponencial
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida
para Estocomo fórmula de Euler:
nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma
exponencial:
Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya
que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para
multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con
exponentes enteros se tiene .
Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en
la forma .
Raíces n-ésimas de un número complejo
Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo.
Dado , sea , para un número natural p.

12. Si , puesto que , es decir, .
Por tanto , , y además, , o sea, ,
para .
De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser
repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p
raíces p-ésimas distintas
, para .
Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus
argumentos se diferencian en cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se
encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de
centro 0 y radio .
Como ejemplo, en la siguiente gráfica podemos ver las raíces quintas de

13. División:
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo
es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.
645° : 315° = 230°
División de números complejos en forma binómica:
Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y
denominador por el conjugado del denominador y se realizan las operaciones
correspondientes.
La resta de números complejos:
Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el opuesto de z2
ejemplo:
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Aplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo
(a + bi) − (c + di) = (a + bi)+(−(c+di)) =(a +bi) + ( − c − di)
Opuesto de (c + di) =(a − c ) + (b − d )i

14. Suma de complejos
La diferencia de dos números complejos es otro número complejo tal que
su parte real es la diferencia de las partes reales y
y la parte imaginaria es la diferencia de las partes imaginarias.
Ejemplo:
(3−2i) − (4+6i).
(3−2i) − (4+6i)=(3−4)+(−2−6)i−1−8i
Multiplicación de números complejos en forma binómica.
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
Multiplicación de números complejos en forma polar la multiplicación de
dos números complejos es otro número complejo tal que: Su módulo es el producto de los
módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.
645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1. Al multiplicar un número complejo z =
rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.

15. rα · 1β = rα + β