2. Índice
1.Introducción.
2.Factorial de un número
3.Clasificación
3.1 Variaciones con y sin repetición
3.2 Permutaciones con y sin repetición
3.3 Combinaciones con y sin repetición
4.Números combinatorios
4.1 Propiedades
4.2 Triángulo de Pascal
5.Binomio de Newton
3. 1. Introducción
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica a
buscar procedimientos y estrategias para el recuento de los
elementos de un conjunto o la forma de agrupar los elementos de un
conjunto. Se pretende comprender el objeto de estudio de la
combinatoria, operar con soltura con factoriales y números
combinatorios, aplicar el principio de adición y de multiplicación como
técnicas de recuento, comprender los conceptos de variación,
permutación y combinación, sin repetición y con repetición, saber
formar las variaciones permutaciones y combinaciones, sin repetición
y con repetición, de cualquier orden, deducir la fórmula para calcular
el número de variaciones, permutaciones y combinaciones, sin
repetición y con repetición, de cualquier orden, conocer las
diferencias fundamentales entre las distintas formas de agrupar los
elementos de un conjunto y resolver diferentes problemas utilizando
variaciones, permutaciones y combinaciones, sin repetición y con
repetición y los principios de adición y multiplicación.
4. 2. Factorial de un número
Se define factorial de un número natural
(entero positivo) n y se escribe n! como el
producto de los n primeros números naturales.
Ejemplo: 3! = 1·2·3 = 6
5. 3. Clasificación
●
Variaciones con ● Variaciones sin
repetición repetición
Variaciones sin repetición o
Variaciones con repetición de m variaciones ordinarias de m
elementos tomados de n en n elementos tomados de n en n
(de orden n) son los distintos (de orden n)son los distintos
grupos de n elementos iguales o grupos de n elementos distintos
distintos que se pueden hacer que se pueden hacer con los m
con los m elementos que elementos que tenemos, de
tenemos, de forma que dos forma que dos grupos se
grupos se diferencian en algún diferencian en algún elemento o
elemento o en el orden de en el orden de colocación. Se
colocación. Se representa por
representa por Vm,n. (n≤m).
VRm,n.
6. 3. Clasificación
●
Permutaciones ●
Permutaciones
con repetición sin repetición
Permutaciones con repetición Permutaciones sin repetición o
de n elementos donde el primer permutaciones ordinarias de n
elemento se repite a veces, el elementos (de orden n) son los
segundo b veces, el tercero c distintos grupos de n elementos
veces, etc. distintos que se pueden hacer,
de forma que dos grupos se
n = a + b + c + ...
diferencian únicamente en el
orden de colocación. Se
representa por Pn.
7. 3. Clasificación
●
Combinaciones ●
Combinaciones
con repetición sin repetición
Son los distintos grupos de n Son los distintos grupos de n
elementos iguales o distintos que se elementos distintos que se pueden
pueden hacer con los m elementos hacer con los m elementos que
que tenemos, de forma que dos tenemos, de forma que dos grupos se
grupos se diferencian en algún diferencian en algún elemento y no en
elemento y no en el orden de el orden de colocación. Se representa
colocación. Se representa por Crm,n. por Cm,n. (n≤m). ¿Cómo se forman?.
Para construir las combinaciones con Para construir las combinaciones sin
repetición, partimos del conjunto repetición, partimos del conjunto
A={1,2,3,4} y vamos a construir todas A={1,2,3,4} y vamos a construir todas
las combinaciones con repetición las combinaciones sin repetición
posibles. posibles.
8. 4. Números combinatorios
Se representan:
Otra forma:
Le podemos considerar como a las
combinaciones que podemos hacer como
m elementos tomados de n en n. Se lee
m sobre n.
Ejemplo:
9. 4. Números combinatorios
1. Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1:
2. Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m:
3. Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es
igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son
iguales:
4. La suma de dos números combinatorios con el mismo número
de elementos y los números que representan los elementos por
grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que
el número de elementos aumenta en una unidad y el número de
elementos por grupo es el del mayor:
10. 4. Números combinatorios
●
Triángulo de Pascal
El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros,
infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y
en las filas siguientes se van colocando números de forma
que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que
tiene encima.
11. 5. Binomio de Newton
●
La fórmula que nos permite hallar las
potencias de un binomio se conoce como
binomio de Newton.
