Analisis Combinatorio

1. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
1. DEFINICIÓN
2. TECNICAS DE RECUENTO
 Variaciones sin repetición.
 Variaciones con repetición.
 Permutaciones sin repetición.
 Permutaciones con repetición.
 Combinaciones sin repetición.
 Combinaciones con repetición.
3. NÚMEROS COMBINATORIOS
4. BINOMIO DE NEWTON

2. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
1. DEFINICIÓN
La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica a buscar
procedimientos y estrategias para el recuento de los elementos de un conjunto
o la forma de agrupar los elementos de un conjunto.
Vamos a aprender a realizar esas agrupaciones y calcular cuántas podemos
hacer.
2. TECNICAS DE RECUENTO
Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los
elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que
disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
Para averiguar el tipo de agrupación podemos realizar las siguientes
preguntas:
si Permutaciones
con repetición.
si
PERMUTACIONES
¿Se
pueden
repetir los
elementos?
no Permutaciones
sin repetición.
si Variaciones sin
repetición.
si
¿Intervienen
Todos los
elementos?
no
VARIACIONES
¿Se
pueden
repetir los
elementos? no Variaciones
con repetición.
si Combinaciones
con repetición.
¿Importa el
orden?
no
COMBINACIONES
¿Se
pueden
repetir los
elementos?
no
Combinaciones
sin repetición.

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Matemáticas
Una vez que averigüe de qué tipo son, puede realizar cálculos combinatorios,
para calcular cuántas agrupaciones de ese tipo hay.
Los diagramas en árbol son muy útiles para "fabricar" cualquier tipo de
agrupación, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.
Por ejemplo: Con los colores blanco; rojo y azul cuantas bandera distintas se
pueden formar:
(Blanco-blanco-blanco)
(Blanco-blanco-rojo)blanco
blanco
rojo
azul (Blanco-blanco-azul)
(Blanco-rojo-blanco)
(Blanco-rojo-rojo)rojo
blanco
rojo
azul (Blanco-rojo-azul)
(Blanco-azul-blanco)
(Blanco-azul-rojo)
blanco
azul
Blanco
rojo
azul (Blanco-azul-azul)
(rojo-blanco-blanco)
(rojo-blanco-rojo)blanco
blanco
rojo
azul (rojo-blanco-azul)
(rojo-rojo-blanco)
(rojo-rojo-rojo)rojo
blanco
rojo
azul (rojo-rojo-azul)
(rojo-azul-blanco)
(rojo-azul-rojo)
rojo
azul
Blanco
rojo
azul (rojo-azul-azul)
(azul-blanco-blanco)
(azul-blanco-rojo)blanco
blanco
rojo
azul (azul-blanco-azul)
(azul-rojo-blanco)
(azul-rojo-rojo)rojo
blanco
rojo
azul (azul-rojo-azul)
(azul-azul-blanco)
(azul-azul-rojo)
azul
azul
Blanco
rojo
azul (azul-azul-azul)
Variaciones sin repetición
Sea A un conjunto con n elementos distintos y m natural menor que n.
Llamaremos variaciones ordinarias de m elementos de A a todas las posibles
agrupaciones ordenadas que podamos hacer de esos m elementos.
El número de variaciones ordinarias viene dado por:
Vn,m=n(n-1)(n-2).....(n-m+1)

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Matemáticas
Ej: V6,3= 6·5·4= 120 grupos
Esta fórmula es equivalente a :
Características:
 Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en su orden de
colocación.
 No se repiten los elementos.
Ejemplos:
 ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con
1,2,3,4,5,6?.
Vamos a formar subconjuntos de tres elementos distintos, en los que nos
importa el orden 123 es distinto de 321.
Se van a formar
 En la final de unas olimpiadas corren la final de 100m 8 atletas. ¿De
cuántas formas se puede configurar el podium?
, luego hay 336 posibles podium
Variaciones con repetición
Sea A un conjunto con m elementos. Llamamos variaciones con repetición de n
elementos tomados de m en m a todas a las agrupaciones que podemos hacer
con m elementos de A independientemente de que se repita alguno.
El número de variaciones con repetición viene dado por:

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Matemáticas
Características:
 Se consideran grupos distintos aquellos con los mismos elementos en
distinto orden.
 Cualquier elemento se puede repetir.
Observación: En el caso de variaciones sin repetición los grupos que podíamos
formar eran inferiores al total de elementos. Ahora podemos tomar conjuntos
con más elementos ya que podemos repetir.
Ejemplos:
 ¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 se pueden formar? Si
los números empiezan por 6 sólo queda determinar qué ocurre con las
siete últimas cifras que puede cualquier dígito.
Se Podrán formar 10.000.000 números.
 ¿Cuántas apuestas distintas se pueden hacer en la quiniela para cubrir
todas las posibilidades? Nota: Incluido el pleno al 15. Para rellenar una
quiniela usamos tres signos 1,X,2, luego tenemos tres elementos. Se
rellenan 15 casillas, por tanto los agrupamos de 15 en 15.
apuestas.
Permutaciones ordinarias
Sea A un conjunto con m elementos distintos.
Se llaman permutaciones ordinarias de m elementos de A al número de
agrupaciones distintas que se pueden hacer con todos los elementos del
conjunto.
El número de permutaciones viene dado por:
Características:
 Se toman todos los elementos del conjunto.
 Importa el orden de los elementos.
 Las permutaciones coinciden con las variaciones de n elementos
tomados de m en m.
Ejemplos:
 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche?
Son permutaciones de 5 elementos

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 Ocho vecinas guardan cola en una panadería para comprar pan. ¿De
cuántas formas distintas se pueden colocar en la cola?
.
Permutaciones
Es un caso particular de permutaciones ordinarias en las que en la ordenación
no hay ni comienzo ni fin (los elementos están dispuestos en forma circular).
Para contar las distintas agrupaciones lo que haremos será fijar uno de los
elementos y permutar los demás. Si tenemos n elementos permutaremos n-1.
Ejemplo
 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 6 personas en una mesa
circular?
Fijamos una persona y permutamos el resto
Permutaciones con repetición
Llamaremos permutaciones con repetición de n elementos a las posibles
agrupaciones que podamos hacer, teniendo en cuenta que dos elementos de
un mismo grupo son indistinguibles.
El número de permutaciones con repetición viene dado por:
Ejemplos
 En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas
formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?
Al tener tres bolas blancas, a efectos de ordenación se consideran
iguales, lo mismo ocurre con las rojas y las negras.
Las posibles ordenaciones son:
 En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada
uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos? A la
hora de elaborar la clasificación por equipos los atletas se consideran
idénticos.
El número de posibles clasificaciones es: .

7. Colegio Antonio de Nebrija
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Combinaciones
Sea A un conjunto con n elementos y m un natural menor o igual que n.
Llamamos combinación de m elementos de A a todo subconjunto de m
elementos de A.
En el caso de combinaciones tenemos en cuenta los elementos que tiene el
subconjunto independientemente de la ordenación que éstos tengan, es decir,
desde el punto de vista de combinaciones, dado A={a,e,i,o,u} se considera
como el mismo subconjunto {a,e} que {e,a}. Lo que nos interesa es la
naturaleza de los elementos y no su orden.
El número de combinaciones viene dado por:
Ejemplos.
 José tiene 9 amigos y desea invitarlos a cenar, pero sólo puede invitar a
6 simultáneamente. ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede
tener?.
Queremos saber cuantos grupos distintos podemos formar
independientemente del orden en que se elija los invitados.
hay 84 grupos distintos de invitados.
 El juego de la Primitiva consiste en acertar 6 números naturales a elegir
entre el 1 y el 49. ¿Cuántas posibles combinaciones hay? Si cada
combinación nos cuesta 1€ ¿Cuánto nos tendremos que gastar para
asegurar que vamos a acertar seguro los 6 números?
Queremos acertar 6 números de 49 posibles, independientemente del
orden en que los elijamos.
. Coste de acertar seguro 13.983.816

8. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
Combinaciones con repetición
Sea A un conjunto con n elementos y m un natural menor o igual que n.
Llamamos combinación con repetición de m elementos de A a todo
subconjunto de m elementos de A en el que un elemento puede aparecer hasta
m veces. En este caso sólo nos importa la naturaleza, no el orden y además
podemos repetir elementos.
El número de combinaciones con repetición viene dado por:
Ejemplos
 ¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?
Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en
cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de
esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. Tenemos
pares de puntuaciones de 0 a 6.
El total de fichas será
 En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas
se pueden elegir 4 pasteles?.
Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.
Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos
los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición.

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Matemáticas
3. NÚMEROS COMBINATORIOS
Llamaremos número combinatorio a donde .
PROPIEDAD
Los números combinatorias son simétricos, es decir,
Para calcular los números combinatorios sin utilizar al formula podemos
construir el Triángulo de Tartaglia: para ello ponemos en la primera fila el 1,
valor que también tendrán los extremos de cada línea que formemos. Por otro
lado, cada valor interior será el resultado de sumar los valores inmediatos
superiores.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

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Matemáticas
 A esta formación se le llama triángulo de Tartaglia, en honor a Incola
Fontana, que era un poco tartaja, de ahí lo de Tartaglia.
Esta disposición de números coincide con los números combinatorios
4. EL BINOMIO DE NEWTON
Una aplicación de los números combinatorios es al desarrollo de la n-ésima
potencia de un binomio, es decir Binomio de Newton.
es decir:

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Por ejemplo:
Como podemos observar los coeficientes del desarrollo del binomio coinciden
con los valores de la fila del triángulo de Tartaglia para n= 5
1 5 10 10 5 1
Ejemplo:
(x + 3)4
= 1·34
+ 4·33
·x + 6·32
·x2
+ 4·3·x3
+ 1·x4

12. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
EJERCICIOS DE TECNICAS DE RECUENTO.
NÚMEROS COMBINATORIOS. BINOMIO DE NEWTON
1.- ¿De cuantas formas se pueden elegir el delegado y el subdelegado de una
clase que tiene 30 alumnos?
2.-En una heladería hay helados de 7 sabores. ¿De cuántas formas se pueden
pedir una copa que contenga dos bolas de sabores distintos?
3.-¿De cuántas formas se pueden crear grupos de trabajo con 6 personas en
una clase de 30 alumnos?
4.-¿De cuántas formas pueden repartirse 5 regalos diferentes entre 5 personas,
de forma que cada uno tenga un regalo solamente?
5.-¿Cuántos números de 7 cifras empiezan por 3?
6.-Con todas las letras de la palabra PUERTO, ¿cuántas palabras se pueden
formar, tengan o no sentido, de manera que cada letra sólo se utilice una
vez?¿cuántas empiezan por P?
7.-¿De cuántas formas pueden colocarse 6 libros distintos en una estantería?
8.-¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse con los dígitos
{1,3,5,7,9}?. ¿Cuántos son mayores de 795?
9.-En una carrera participan 8 corredores. ¿De cuántas formas pueden
repartirse las medallas de oro, plata y bronce?
10.-¿De cuántas formas pueden registrarse 10 personas en un hotel que tiene
10 habitaciones individuales libres?
11.-Si disponemos de 4 entradas de cine para repartirlas entre 9 personas, ¿De
cuántas formas se pueden entregar?
12.- -Para ir de Santander a Cádiz se puede optar por ir en avión, coche, tren o
barco. ¿De cuántas formas se puede hacer el viaje de ida y vuelta?
13.-La carta de un restaurante dispone de 4 primeros platos, 5 segundos y 6
tipos de postre. ¿Cuántos menús distintos se pueden elegir, escogiendo un
primer plato, un segundo y un postre?
14.-Un test consta de 8 preguntas y cada una de ellas tiene 3 posibles
respuestas. ¿De cuántas formas distintas puede contestarse el test?
15.- Un bar tiene 5 tipos de refrescos y seis clases de bocadillos. ¿De cuántas
posibilidades se puede elegir para tomar un bocadillo y un refresco?

13. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
16.-Para dar un premio de literatura en un centro escolar, se forma un jurado
compuesto por 2 profesores y 4 alumnos. Si en el centro hay 40 profesores y
500 alumnos, ¿De cuántas formas puede constituirse el jurado?
17.- ¿ Con los dígitos { 1, 2, 3, 4, 5 }:
a) ¿Cuántos números de 7 cifras se pueden formar?
b) ¿En cuántos de los números del apartado “a” no aparece el 3?
18.-Para un partido de fútbol hay tres resultados posibles ¿Cuántos resultados
son posibles para dos partidos? ¿Y para tres partidos? ¿Y para cuatro
partidos?
19.- Entre 11 alumnos hay que elegir un grupo de cinco alumnos para hacer un
mural.
a) ¿Cuántos grupos distintos se pueden formar?
b) ¿En cuántos de ellos están tres alumnos determinados?
20.-En un monte hay 8 casas. Cada casa se comunica con cada una de las
restantes por un camino. ¿Cuántos caminos las unen?
21.-Desarrolla:
a) ( a + b )5
( a - b )4
b) ( 2 + 3x )6
( - 2 + 3x )4
c) ( 2 – 3x )7
( - 2 – 3x )5
22.- Escribe los números de la sexta fila del triangulo de Tartaglia y describe
después el desarrollo de ( a + b )6
.

14. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
1.-Se lanzan dos dados; calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Sacar 3 en el primero y 4 en el segundo
b) Obtener un 3 y un 4
c) La suma sea 6
d) La diferencia sea 3
e) La suma sea múltiplo de 5
2.- Una empresa fabrica motores, la probabilidad de que un motor sea
defectuoso es 2 de cada 100. Se escogen dos motores al azar para un control
de calidad. Hallar la probabilidad de que ambos motores sean defectuosos.
3.-Un matrimonio piensa tener dos hijos. ¿ Qué es más probable que sean de
distinto sexo o que sean del mismo sexo? ¿ Y si piensa tener tres hijos?
4.-En un cajón hay 12 calcetines negros y 8 grises. Se eligen dos calcetines al
azar. Hallar la probabilidad de que sean del mismo color.
5.- Se consideran 10 números, de los cuales 5 son positivos y 5 negativos. Se
eligen, al azar, dos y se multiplican. ¿ Qué es más probable, el resultado
positivo o el negativo?
6.- En un centro escolar, el 80% de los alumnos estudia ingles y el resto
francés. El 30% de los que estudian ingles son chicos, de los que estudian
francés, son chicas el 45%. Elegido un alumno al azar, ¿ cuál es la probabilidad
de que sea chica?
7.- En un colegio de 1000 alumnos se estudian los sucesos usar gafas en
relación con la preferencia por Ciencias o Letras. El resultado se expresa en la
siguiente tabla de contingencia.
GAFAS NO GAFAS TOTAL
CIENCIAS 105 505
LETRAS 315
TOTAL 180 1000
Completa la tabla y calcula las siguientes probabilidades :
a) Preferencia por las ciencias sabiendo que usa gafas.
b) Preferencia por las letras
c) No usar gafas
d) No usar gafas teniendo preferencia por las gafas
8.- El 30% de los alumnos de un centro escolar practica el fútbol; un 15%, el
baloncesto, y un 10% ambos deportes. Si se elige un alumno al azar, halla la
probabilidad de que:
a) Practique el baloncesto, sabiendo que practica el fútbol.
b) Practique ambos deportes, sabiendo que practica alguno de ellos
c) Practique el fútbol, sabiendo que no practica el baloncesto

15. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
9.- Un experto quinielista acierta el resultado de un partido 9 de cada 10
veces. Si pronostica el resultado de tres partidos, calcula la probabilidad de
que:
a) Acierte sólo un pronóstico
b) Sólo falle un pronóstico
10.-Hallar la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas de una
baraja.
a) Con devolución
b) Sin devolución
11.- Se lanzan 3 dados. Halla la probabilidad de que se obtengan tres 4. ¿ Qué
probabilidad hay de que la suma de puntos sea 5?
12.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 azules. Se sacan dos bolas al azar( las
dos juntas)
a)¿Cuál es la probabilidad de que ninguna sea azul?
b)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean azules?
13.-Se lanza una moneda 3 veces. Hallar la probabilidad de obtener:
a) En la primera tirada una cara, en la segunda una cruz y en la tercera una
cara
b) Una cara en algunas de las tres tiradas.
c) No obtener cara en ninguna de las tres tiradas.
14.-Una bolsa contiene 50 bolas numeradas del 1 al 50. Halla la probabilidad
de sacar una bola se obtenga:
a) Menor que 30:
b) Que sus cifras sumen 8:
c) Impar
d) Que el producto de sus cifras sea 16:
e) Múltiplo de 4
f) Cuadrado perfecto.
15.-El 30% de los alumnos de un centro escolar practica el fútbol; un 15%, el
baloncesto, y un 10% ambos deportes. Si se elige un alumno al azar, halla la
probabilidad de que:
d) Practique el baloncesto, sabiendo que practica el fútbol.
e) Practique ambos deportes, sabiendo que practica alguno de ellos
f) Practique el fútbol, sabiendo que no practica el baloncesto
16.- En un centro escolar, el 80% de los alumnos estudia ingles y el resto
francés. El 30% de los que estudian ingles son chicos, de los que estudian
francés, son chicas el 45%. Elegido un alumno al azar, ¿ cuál es la probabilidad
de que sea chica?
17.- En un cajón hay 12 calcetines negros y 8 grises. Se eligen dos calcetines
al azar. Hallar la probabilidad de que sean del mismo color.

16. Colegio Antonio de Nebrija
Matemáticas
18.-En una familia con 3 hijos, calcula las siguientes probabilidades:
a) Al menos 2 chicas
b) Hay más chicas que chicos.
c) Hay exactamente dos chicas
19.- Hallar la probabilidad de obtener dos ases al extraer dos cartas de una
baraja.
c) Con devolución
d) Sin devolución
20.- Un experto quinielista acierta el resultado de un partido 9 de cada 10
veces. Si pronostica el resultado de tres partidos, calcula la probabilidad de
que:
c) Acierte sólo un pronóstico
d) Sólo falle un pronóstico