Presentacion sobre matrices rosa depena

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO
UASD

FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMATICAS

Rosa Cristina De Pena Olivares

• Definición de matriz
• Clasificación de las matrices atendiendo al orden
• Igualdad de matrices y sus propiedades
• Operaciones matriciales
• Traza de una matriz cuadrada
• Matriz traspuesta y sus propiedades
• Potencia entera positiva de una matriz cuadrada
• Propiedades de la suma de matrices
• Diferencia de matrices
• Multiplicación de una matriz por un escalar
• Producto de matrices
• Propiedades de la multiplicación de matrices
• Tipos especiales de matrices
• Ecuaciones que contienen matrices.


Una matriz
Es un arreglo cuadrado o rectangular de elementos
ordenados en filas y columnas, donde una fila es
cada una de las líneas horizontales de la matriz y
una columna es cada una de las líneas verticales

Regularmente, se denotan a las matrices con letras
mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes
letras en minúsculas para denotar a los elementos de las
mismas.


Ejemplo:

Amxn=

Nota:
m= fila
n= columna


A una matriz con m filas y n columnas se le
denomina matriz m-por n (escrito m×n), y
a m y n dimensiones de la matriz.

Las dimensiones de una matriz siempre se dan con
el número de filas primero y el número de
columnas después. Comúnmente se dice que una
matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden"
tiene el significado de tamaño).


Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo
orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-
ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o
elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner
primero las filas y después las columnas.


Se llama matriz de dimensión m x n a un
conjunto de números reales dispuestos en m
filas y n columnas de la siguiente forma:


Matriz Nula
Es aquella matriz cuyos
elementos son iguales a cero
Ejemplo:


Matriz Fila
Es aquella matriz que tiene una sola fila.
Ejemplo:

La matriz es una matriz 1×9, o un vector fila
con 9 elementos.

Matriz Columna
Es aquella matriz que tiene una sola columna
Ejemplo:
Amx1=


Matriz Nula

Es aquella matriz cuyos elementos
son iguales a cero
Ejemplo:


SI !!

Podemos sumar, restar, y
multiplicar por un escalar y
multiplicar matrices.


Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener
el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si
una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se
pueden sumar ni restar.

Esto es así ya que, tanto para la suma como para la
resta, se suman o se restan los términos que ocupan
el mismo lugar en las matrices.

Veamos ejemplos de Adicción y Sustracción


Propiedades de la suma de matrices

Existe 0mxn ε Rmxn , tal que Amxn + 0mxn =
Amxn
La matriz 0mxn es aquella cuyos elementos son
todos iguales a cero, y a la que llamaremos Matriz
Cero o Matriz Nula. Se presentara por 0n, si m = n.

La matriz cero es el elemento identidad para la suma
de matrices.
= =


En el conjunto Rmxn la suma de matrices es una operación:

*Conmutativa por ser los elementos de las matrices números
reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números
reales.
Es decir:
Amxn + Bmxn = Bmxn +Amxn

* Asociativa, es decir, si A, B y C ε Rmxn, entonces:
(A + B) + C = A+ (B + C)

*Toda matriz Amxn ε Rmxn tiene una inversa aditiva: -Amxn, tal
que:
Amxn + (-Amxn) = 0mxn


Sumamos cada término con su correspondiente
en el espacio en la otra matriz.


Operaciones Con Matrices

Adición:

A+B = [aij ]mxn + [bij]mxn = [aij + bij]mxn

Nota:
Donde: i→ es la i-esima fila
j→ es la j-esima columna


Ejemplo
Efectuar la siguiente suma:


Si A y B ε Rmxn, entonces la diferencia de A y B,
que se denota por :
A - B es una matriz C ε Rmxn, tal que C es la
suma de la matriz A y la negativa de B, es decir:

C = A – B = A + (-B)


Para realizar la sustracción de matrices
procedemos como en la suma. Pero sumamos
al minuendo el opuesto del sustraendo.


Sustracción o Diferencia:
A-B = A + (-B)
A-B = [aij]mxn + [-bij]mxn = [aij -
bij]mxn

No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas
tienen que ser cuadradas. Sin embargo, en una operación
definida el orden de las matrices a operar debe ser el mismo
para poder efectuar la adición o sustracción matricial.


Ejemplo de Sustracción de matrices


Propiedades de la Igualdad de
matrices

A=A Propiedad Reflexiva

[A=B]→[B=A] Propiedad Simétrica

Si [A=B]^ [B=C]→[A=C] Propiedad Transitiva


Para poder multiplicar dos matrices AB, la matriz A
debe tener el mismo número de columnas que filas
posea B. La matriz resultante del producto quedará
con el mismo número de filas de la primera y con el
mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 x 3 y la
multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz
resultante será de orden 2 x 5.
(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)


El producto de matrices no cumple la propiedad
conmutativa. Si quisiéramos multiplicar una matriz de
orden 3x5 por otra de 2x3 no podríamos efectuar la
operación, puesto que la primera matriz no tiene el
mismo número de columnas que filas la segunda.

Supongamos que A = (aij ) y B = (bij ) son matrices
tales que el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B; es decir, A es una
matriz mxp y B una matriz p x n.

Entonces el producto AB es la matriz mxn cuyos
elementos ij se obtiene multiplicando la fila i de A por
la columna j de B.

Propiedades de la multiplicación de matrices

a) A + (B + C) = A.B + A.C Propiedad Distributiva
b) (A +B). C = A.C + B.C Propiedad Distributiva
c) A (B.C) = (A.B) C Propiedad Asociativa
d) A.B ≠ B.A No se cumple la
Propiedad Conmutativa
e) Si A.B = 0 Esto no implica
necesariamente que
A = 0 o que B = 0
f) Si A.B = A.C Esto no implica
necesariamente que B = C

1)

2)


El producto de un escalar k por la matriz A,
escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida
multiplicando cada elemento de A por k:


A partir de las matrices dadas , realizar las
operaciones indicadas.

A= B=

C


1) A+2B


2)

-( 3 - 4 )


3) AD =


4)

x y   x 6  4 x + y
5  =  − 1 2 w +  z + w 
 z w    3 

Sencillo:
Mediante la Igualdad de Matrices.
Si quieres hallar x, y, z, w?


5 x 5y  x+4 x + y + 6
5 z = 
 5 w  z + w − 1 2w + 3  

5y = x + y + 6 5 z = z +w −1
5y − y = x + 6 5 z −z = w −1
4y = x + 6 4 z =1 − =0
1
4 y = 1+ 6 = 7 0
z= =0
4
7 z =0
y=
4

El conjunto solución es:
(x, y, z, w)=(1,7/4,0,1)


La traza de una matriz cuadrada A de nxn está
definida como la suma de los elementos de la
diagonal principal de A.


La traza de la matriz A
será igual:
4 + 9 + 8 = 21.


En una matriz triangular superior los elementos
situados por debajo de la diagonal principal son
ceros.


En una matriz triangular inferior los elementos situados
por encima de la diagonal principal son ceros


Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos
los elementos que no están en la diagonal principal
son cero. La matriz identidad es un caso particular de
matriz diagonal.


Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno.


Es toda matriz cuyos elementos de su diagonal
principal toman el mismo valor, y los restantes
elementos tanto arriba como debajo de la diagonal
principal son ceros. La matriz identidad es un caso
particular de una matriz diagonal.


Se llama matriz simétrica a toda matriz cuadrada
que coincide con su transpuesta. En una matriz
simétrica cualquier par de elementos equidistante
respecto a la diagonal principal son iguales.


Se llama matriz anti simétrica a toda matriz
cuadrada que coincide con la opuesta de su
transpuesta y cuya diagonal principal es cero. En
una matriz simétrica cualquier par de elementos
equidistante respecto a la diagonal principal son
opuestos.
0 7 − 3
− 7 0 1
 
 3 −1 0 
 


(A )
t t
=A
( A + B) t = At + B t
( kA) t = kA t
( AB ) t = B t A t

4 1 
A=
 2 − 1


4( 4) + 1( 2) 4(1) + 1( − 1) 
A =
2

 2( 4) − 1( 2) 2(1) − 1( − 1) 


2
A

4 1 
A= 
2 − 1

3
A = A 2


18( 4) + 3( 2) 18(1) + 3( − 1) 
A =
3

 6( 4) + 3( 2) 6(1) + 3( − 1) 


La ecuación matricial:
A+X = B
donde A y B son matrices del mismo orden tienen la
solución única:
X = B + (-A)

AX= B
donde A y B existen para X = A −1 B
siempre que A −1 exista.
XA = B
tiene solución única X = BA −1 siempre que A −1 exista.


 2 4  2 0
6 7  −X = 
  7 3
Consideramos X como la matriz:


2 4  a b   2 0
 6 7  −  c d  = 7 3
     

COMPROBACION


2)
5 2  3 − 2
X  = 4 − 5
7 3   

5a + 7b = 3 2a + 3b = −2
5c + 7 d = 4 2c + 3d = − 5


1)5a + 7b = 3
2)2a + 3b = −2

1)5a + 7b = 3 Por (2 ) →10a +14b = 6
2)2a + 3b = −2 Por (− ) →−10a −15b = 10
5 − b = 16 → = −16
b

5a = 3 − 7b = 3 − 7(−16) = 3 + 112 = 115
a = 23

3)5c + 7 d = 4 Por ( 2 ) → 10c + 14d = 8
4)2c + 3d = −5 Por ( − 5) → − 10c − 15d = 25 − d = 33 → d = −33

5c = 4 − 7 d = 4 − 7(−33) = 4 + 231 = 235
c = 47

a b   23 − 16 
X =  = 47 − 33
c d   


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