Estructuras algebraicas fundamentales

29/05/2017
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Gustavo Salinas E.

29/05/2017
R
0, 1, 2, 3,4, …
N
-4, -3, -2, -1
Z
3
6 7
35
2 33
I
N = Números Naturales (enteros positivos)
Z = Números enteros (positivos y negativos)
Q = Números Racionales (fraccionarios y decimales)
I = Irracionales
0,6666…….
3,1415…….
0,5
9,72
Q
4
6
7
3
3
8

Gustavo Salinas E.

ESTRUCTURAS
ALGEBRAICAS
Interviene alguna ley
de composición externa
Interviene solo leyes de
composición interna
Interviene una
sola Ley
Interviene dos
Leyes
Grupoide o Monoide
Semigrupo
Grupo
Semianillo
Anillo
Semicuerpo
Cuerpo o Campo
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Gustavo Salinas E.

DEFINICIÓN: Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un
conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
Dotar a un conjunto de una o varias leyes de composición es conferirle una estructura.
Una estructura queda conferida por los axiomas establecidos entre los elementos de un
conjunto.
LEY DE COMPOSICIÓN:
Dados tres conjuntos A, B y C, llamamos ley de composición u operación a toda aplicación de
A x B en C.
Esta aplicación hace corresponder a todo par (a , b)  A x B un elemento c  C.
Las leyes de composición se representan por los signos : ∗ , T , , ,  , + (si es ley aditiva), ● (si
es ley multiplicativa).
El concepto de operación o ley de composición es una abstración y generalización de las
operaciones clásicas, suma y producto, entre números, consideradas como leyes mediante las cuales
de dos elementos obtenemos otro, y así decimos que la suma de 3 y 4 es 7 o el producto 12.
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Gustavo Salinas E.

OPERACIÓN BINARIA Ó LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
 Sea A un conjunto no vacío y : A x A  A , se dice que es una operación binaria.
 La imagen de cualquier par (a , b) bajo la operación se representa como a* b.
 En otras palabras dado un conjunto no vacío A y el producto cartesiano de A x A, es una
función de modo que a cada par ordenado (a , b) le hace corresponder un único elemento
de A, simbolizado por a*b.
Dados dos conjuntos A y K , una ley de composición externa es una aplicación K x A  A, es decir, a
un elemento de K y a otro elemento de A les hace corresponder uno de A .
LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA:
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Dados dos conjuntos A y B, se dice que una aplicación de la forma:
Es una ley de composición externa por la izquierda.
A x B: A
( , )a b c a b
 
   Es una ley de composición externa por la derecha, y a los
elementos del conjunto B se les llama multiplicadores o escalares
de la operación.
B x A : A
( , )b a c b a
 
  
Ejemplo 1:

PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1. Ley de Composición interna (LCI) o Cerrada:
Sea A un conjunto, * se llama “ley de composición interna en A”.
, A,se cumple:
A x A : A
( , ) A.
a b
a b c a b c
 
 
    
Ejemplo 1:
La adición o la multiplicación es ley de composición interna en N, Z, Q, R.

Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto
A = {a , b , c }
Ejemplo 2:
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
 a b c
a a b b
b c a c
c b c a


2. Propiedad Asociativa: Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es asociativa,
si y sólo si:
, ,c A,se cumple:
( ) ( )
a b
a b c a b c
 
    
Ejemplo 1: Verificar en las dos tablas si se cumple la propiedad asociatividad.
 a b c
a a b c
b b c a
c c a b
 a b c
a a b b
b c a c
c b c a

Ejemplo 2: Verificar si se cumple la propiedad asociativa de * definida en R, por:
a ∗ b = a + b + 2ab
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + 2bc)
= a + (b + c + 2bc) + 2a(b + c + 2bc)
= a + b + c + 2bc + 2ab + 2ac + 4abc:
(a ∗ b) ∗ c = (a + b + 2ab) ∗ c
= (a + b + 2ab) + c + 2(a + b + 2ab)c
= a + b + 2ab + c + 2ac + 2bc + 4abc:
Si cumple con la
propiedad asociativa

3. Propiedad del elemento neutro: Sea ∗ ley de composición interna en A, e ∈ A se llama
elemento neutro.
A, A, se cumple:a e
a e e a a
   
   
Ejemplo 1:
1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicación en los números reales.
Ejemplo 2:
Dada la siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto:
A = {a , b , c }. Determinar el elemento neutro y demostrar si se cumple
dicha propiedad.
 a b c
a a b c
b b c a
c c a b29/05/2017 Gustavo Salinas E.

4. Existencia del elemento simétrico u opuesto (inverso):
Sea ∗ ley de composición interna en A, a´ ∈ A se llama elemento simétrico, opuesto o inverso.
A, ´ A, se cumple:
´ ´
a a
a a a a e
   
   
Ejemplo 1:
1. 0 ∈ R es neutro para la adición en los números reales.
2. 1 ∈ R es neutro para la multiplicación en los números reales.
Ejemplo 2:
Dada la siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto:
A = {a , b , c }. Determinar el elemento neutro y demostrar si se cumple
dicha propiedad.
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b29/05/2017 Gustavo Salinas E.

5. Propiedad Conmutativa: Si * es una operación binaria sobre A. Entonces * es conmutativa.
, A, se cumple:a b
a b b a
 
  
Sea el conjunto A = {a, b, c} y la operación * definida
como conmutativa, verificar si cumple con ésta propiedad.
Ejemplo 1:
* a b c
a a b c
b b a b
c c b a
Ejemplo 2:
Si x * y = x² + y², y tomamos el par ordenado (-3 , 2), verificar la propiedad conmutativa.

6. Propiedad Distributiva de la segunda operación (*) con respecto a la primera
operación (●):
Dado un conjunto A, no vacío, en el que se han definido dos leyes de composición internas, que
denotamos por: (A, ●, *), es distributiva la segunda operación (*) con respecto a la primera operación (●).
, , A, se cumple:
( )
a b c
a b c a b a c
 
     
Ejemplos 1. La propiedad distributiva también se conoce como la ley distributiva de la multiplicación y suma.
4 x ( 8 + 3) = (4 x 8) + (4 x 3)
Ejemplos 2.
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
 1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
Dadas las siguientes tablas, verificar si cumple con
la propiedad distributiva de la segunda operación ()
respecto de la primera operación ().

Sea el sistema (B,*) donde B es le conjunto formado por B= {a, b, c, u} y la
operación * definida de acuerdo a la siguiente tabla:
Ejemplo 3:
1) Determinar si la siguiente operación cumple con cerradura o l.c.i.
2) Elemento idéntico
3) Los inversos
4) Asociatividad
5) Conmutatividad

Consideremos dos leyes de composición interna a•b = 3a+2b y ab = 4ab, ambas
definidas sobre Z. Ver si son asociativas, conmutativas y si alguna de ellas es distributiva
respecto la otra.
1
1
xy
x y
x y
x y
x y
x y

 


 
 
Ejemplo 4:
Las leyes • y  están definidas en el conjunto R+
estudiar si son asociativas y conmutativas.
Ejemplo 5:
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Una estructura, por consiguiente, queda definida por los axiomas que rigen las relaciones y las operaciones de las que esta
dotada. En lo que sigue estudiaremos, brevemente, las estructuras fundamentales del algebra: grupos, anillos, cuerpos.
MONOIDE: El par (A ,  ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición
interna  se denomina monoide.
Ejemplos: Son monoides:
El conjunto de. ( N , + )
El conjunto de. ( Z , + )
El conjunto de. ( Q , + )
El conjunto de. ( N , * )

SEMIGRUPO: El par (S , *) donde S es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición
interna * . Se denomina Semigrupo si es monoide y tiene la propiedad asociativa.
Es decir tiene:
 Ley de Composición interna (l.c.i).
 Propiedad Asociativa.
Ejemplo 1:
 Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.
 Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.
( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.
( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.
( N , * ) es semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad igual a 1.
Ejemplo 2:
● a b
a a b
b b a
* a b c
a a b c
b b c a
c c a b
Dadas las siguientes tablas, verificar si cumple con
las propiedades de estructura de semigrupo.

GRUPO: Sea el par (A , *), donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria *:
Se dice que es un grupo si cumple con las siguientes propiedades:
 Ley de Composición interna (l.c.i).
 Existencia del Elemento Neutro.
 Existencia del elemento simétrico o identidad.
Ejemplo 1:
El conjunto ( Z , + ), de los números enteros respecto de la operación suma, tiene
estructura de grupo.
El conjunto ( Q , x ), de los números racionales respecto de la operación multiplicación,
tiene estructura de grupo.
Ejemplo 2:
Considérese el conjunto formado por los cuatro
elementos {a,b,c,e} y una ley de composición
interna dada por la siguiente tabla:
Ver si tiene estructura de un grupo.

Sea el conjunto de los números enteros, (Z; ∗) tal que a ∗ b = a + b − 2, a; b ∈ Z.
Demuestrar que (Z; ∗) es grupo.
Ejemplo 3:
GRUPO ABELIANO: Se dice que la estructura (A, *) es un grupo abeliano con respecto a la operación *, si cumple:
 (A, *) tiene estructura algebraica de grupo.
 (A, *) tiene la propiedad conmutativa.
Es decir tiene:
 Ley de composición interna (l.c.i).
 Existencia del elemento neutro.
 Existencia del elemento simétrico.
 Propiedad Conmutativa.
Si además * es conmutativa se denomina grupo abeliano. Un grupo (G,*) es finito cuando el conjunto G es un
conjunto finito, cuyo cardinal se denomina orden del grupo.

(Z,+) es grupo abeliano, donde el neutro es 0 y el opuesto de z  Z es z.
(Z/(n),+) es grupo abeliano.
(Q,+), (R,+) y (C,+) son grupos abelianos.
(Q*,·) ,(R*,·) y (C*,·) son grupos abelianos.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Sea G = {2, 4, 6, 8}. Se define el producto en G mediante la siguiente tabla:
Verificar si es un grupo abeliano.
● 2 4 6 8
2 4 8 2 6
4 8 6 4 2
6 2 4 6 8
8 6 2 8 4
Ejemplo 3:
a * b = a + b+ 3 forma un grupo abeliano.
El par (Z, *), donde Z es el conjunto de los números enteros y * es una operación definida como:
Sobre Z definimos las l.c.i.
ab = a+b6 ab = ab6(a+b)+42
Se verifica que (Z,§) es grupo abeliano
29/05/2017
Gustavo Salinas E.

ESTRUCTURA DE SEMIANILLO: Dado un conjunto S y dos leyes de composición interna  y . Se emplea la notación (S,
, ), decimos que tiene estructura de Semianillo si cumple:
1. (S, ) es semigrupo conmutativo.
2. (S, ) es semigrupo.
3. La segunda operación  es distributiva respecto a la primera operación .
Es decir cumple:
1: Respecto de la primera operación , tiene las propiedades:
a) Ley de composición interna u operación interna (l.c.i).
b) Propiedad Asociativa.
c) Propiedad Conmutativa.
2: Respecto de la segunda operación , tiene las propiedades:
3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación.
29/05/2017
Gustavo Salinas E.

Cuando (S, ), es un semigrupo conmutativo, se dice que (S,,) es un semianillo conmutativo.
Ejemplo 1: El conjunto N de los números naturales respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de semianillo
conmutativo.
En Z consideramos las dos leyes de composición internas definidas por:
a  b = a + b -8 y a  b = a + b –ab.
Verificar si tiene estructura de semianillo.
Ejemplo 2:
 a b c
a a b c
b b c a
c c a b
 a b c
a a b b
b c a c
c b c a
Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto A = {a , b , c }
Comprobar si es un semianillo.
Ejemplo 3:

ESTRUCTURA DE ANILLO: Dado un conjunto A y dos leyes de composición interna  y . Se emplea la notación (A,
, ), decimos que tiene estructura de anillo si cumple:
1. (A, ) es grupo conmutativo.
2. (A, ) es semigrupo.
Es decir cumple:
e) Propiedad Conmutativa.
c) Existencia del elemento neutro.
d) Existencia del elemento simétrico.
3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación.29/05/2017 Gustavo Salinas E.

En el conjunto de los números reales se definen las operaciones:
x  y = x + y + 4,
x  y = xy + 4x + 4y + 12.
Demostrar que (R, , ∗) es anillo conmutativo.
Ejemplo 1: Los conjuntos Z, Q, R y C respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de anillo conmutativos con
elemento unidad.
Cuando (S, ), es un semigrupo conmutativo, se dice que (S,,) es un anillo unitario conmutativo con respecto a la segunda
operación .
Ejemplo 2:
Sea A = {a , b , c, d}. Se define la suma y el producto mediante las siguientes tablas.
Comprobar si (A, +, x), es un anillo.
Ejemplo 3:
+ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
x a b c d
a a a a a
b a b a b
c a c a c
d d d a d

ANILLO DE LAS CLASES RESIDUALES MÓDULO n: Dentro del conjunto Z , la relación de congruencia se define así:
¨Dos enteros a y b son congruentes módulo n cuando dan el mismo resto r al ser divididos por n.¨
Este conjunto, provisto de las operaciones de suma y producto definidas así:
Suma (+): Si a y b pertenecen a Zn, entonces a + b es igual al resto de la división de a + b por n.
a b
r
n


Ejemplo: Si n = 6; a = 4 y b = 5, entonces:
4 5
3
6
r

 
Producto (x): Si a y b pertenecen a Zn, entonces a x b es igual al resto de la división de a x b por n.
xa b
r
n

Ejemplo: Si n = 6; a = 4 y b = 5, entonces:
4 x 5
2
6
r  
Esta relación de congruencia es una relación de equivalencia originando una partición del conjunto Z . En cada clase
están todos los números enteros de la forma a + kn, siendo k un número entero.29/05/2017 Gustavo Salinas E.

Dado el conjunto Z4 = 0, 1, 2, 3, construir las tablas residuales para la suma y el producto.Ejemplo 1:
+ 0 1 2 3
0
1
2
3
x 0 1 2 3
0
1
2
3
Dado el conjunto Z6 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, construir las tablas residuales para la suma y el producto.Ejemplo 2:
+ 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
x 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
529/05/2017
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN UN ANILLO: En un anillo (A, , ), las ecuaciones de la forma:
óa x b y a b    Tienen solución y esta es única ya que todo elemento a  A admite su simétrico
respecto  que llamamos a’.
Sin embargo ecuaciones de la forma:
a x b c   No siempre tienen solución en un anillo ya que no todos los elementos a del anillo tienen inverso a-1,
puede ocurrir que haya elementos que al tener varios inversos la ecuación tenga varias soluciones.
Resolver la ecuación 2x + 3 = 1, en el anillo (Z5, +, x).Ejemplo 1:

ESTRUCTURA DE CUERPO: Sea K un conjunto no vacío, y dos leyes de composición interna  y  definidas sobre K.
Se emplea la notación (K, , ), decimos que tiene estructura de cuerpo si cumple:
1. (K, ) es grupo conmutativo o grupo abeliano.
2. (K*, ) es un grupo conmutativo o abeliano, K* = K - 0.
Es decir cumple:
e) Propiedad Conmutativa.

3: Propiedad Distributiva de la segunda operación , respecto de la primera operación .
Cuando (K, ), es un grupo conmutativo o abeliano, se dice que (K,,) es un cuerpo abeliano o cuerpo conmutativo respecto a la
segunda operación .
Ejemplo 1: El conjunto Q, de los números racionales respecto de las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo,
(Q, +, x).
Dado el conjunto Z2 = 0, 1expresado mediante las siguientes tablas. Verificar si es un cuerpo.Ejemplo 2:
En el conjunto A = a, b, c, d se definen
las operaciones  y  dadas en las
siguientes tablas. Comprobar si es un
cuerpo.
Ejemplo 3:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
x 0 1
0 0 0
1 0 1
 a b c d
a a b c d
b b c d a
c c d a b
d d a b c
 a b c d
a d c b a
b c d a b
c b a d c
d a b c d29/05/2017
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Sea R el conjunto de los números reales, definimos en R las operaciones:
x  y = x + y -1,
x  y = x + y -xy.
Demostrar que (R, , ∗) es un cuerpo.
Ejemplo 4:
Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:
a  b = a + b - 8,
a  b = a + b - ab.
Demostrar que (Z, , ∗) es un cuerpo.
Ejemplo 5:
29/05/2017
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RESUMEN DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Una ley de composición interna “ * ” definida en un conjunto A es una aplicación:
: A x A : A
( , ) , , A.a b c a b a b c
 
    
La ley de composición interna (l.c.i) es común para todas las estructuras algebraicas:NOTA:
1. ESTRUCTURAS CON UNA LEY INTERNA:
a)
29/05/2017
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b)
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2. ESTRUCTURAS CON DOS LEYES INTERNAS:
a)
b)
Ejemplos:
(Q, +, *) el conjunto de los números racionales (salvo el cero) con la suma y el producto usuales.
(R, +, *) el conjunto de los números reales (salvo el cero) con la suma y el producto de números reales.

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