Teoría combinatoria y probabilidades

TEORÍA COMBINATORIA
Y DE PROBABILIDADES

MÓDULO CUATRO DE
ESTADÍSTICA GENERAL

APRENDIZAJE VIRTUAL
DE LA ESTADÍSTICA

EDUCACIÓN VIRTUAL Y APRENDIZAJE

TEORÍA COMBINATORIA.- Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y propiedades de
los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado, diferenciándose entre sí por el
número de elementos que entran en cada grupo, por la clase de esos elementos y por el orden de
colocación de esos elementos. ARREGLO DE OBJETOS.- Es la acción de arreglar, componer u
ordenar objetos determinados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos los
posibles arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE ÁRBOL, que es
una gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos de uno ó varios eventos en forma de
árbol. Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables de objetos de un
conjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Al enumerar los arreglos, es útil contar
todos los posibles arreglos en la forma de un árbol, llamado diagrama de árbol; también se puede
aplicar el método de la REGLA MULTIPLICATIVA o principio multiplicativo del conteo ó también
aplicando las técnicas de la teoría combinatoria (variación y combinación).
MÓDULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL

APRENDIZAJE VIRTUAL DE LA ESTADÍSTICA

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- El mismo está basado en el método de razonamiento del
diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse, de a maneras
diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes, una tercera acción puede
efectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número total
de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden mencionado está
dado por: axbxc...xn".



PROBLEMAS.- Un Joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: Roja (R), Blanca (B), Negra
(N) y Verde (V), también posee dos pantalones, Gris (G) y Azul (A). ¿De cuantas maneras pueden
combinarse los pantalones con las camisa o viceversa. Elabore un diagrama de árbol.



Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes: Aperitivo: Sopa (S), o
Ensalada (E). Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P). Postre: Torta (T), o Helado (H).
Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas
(aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir.


VARIACIÓN.- Dado un conjunto de m objetos o elementos, se llaman variaciones de esos
elementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n elementos
elegidos entre los elementos dados, considerando como distintas dos colecciones que difieran en
algún elemento o en el orden de colocación de los mismo.
N!, Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como el
producto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n, entonces
si n es entero positivo tenemos:
N! = n(n-1) (n-2) (n-3)..................1.
8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320. En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1.

La Fórmula para calcular las Variaciones es la siguiente: m.!
Vm,n 
m  n.!
COMBINACIONES.- Se llama combinación de m elementos tomados de n en n
Vm, n  mm  1m  2m  3............m  n  2m  n  1
al conjunto de todas las colecciones de n elementos dados, considerando distintas, dos
colecciones cuando difieran en uno o más elementos. La fórmula para calcular las combinaciones
es:
m.!
C m,n 
n.!m  n .!



ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES Y
COMBINACIONES: Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una
VARIACIÓN o una COMBINACIÓN se hace lo siguiente: 1.- Se forma un grupo cualquiera, según
el enunciado del problema y con los mismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si
se consigue formar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una variación, si por el contrario
no se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos los
elementos y los grupos difieran en el orden de colocación, son variaciones, de no ser así son
combinaciones 2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formación
del mismo es capaz de decir en que orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que el
grupo formado es una variación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación de los
elementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación.



ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES Y
COMBINACIONES:
1.-¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6? que sean diferentes?
Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, con esos mismos
elementos se forma otro número 541. Los dos números formados tienen los mismos elementos
aunque los números son diferentes, por tal razón es una variación, por influir el orden de colocación
de sus elementos. 2.- Con los números 1,2,3,4,5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos
cada una pueden hacerse?. Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifras
dadas.....1 + 2 + 3 = 6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2 +1 = 6, como las dos
sumas son iguales , entonces el problema es una combinación , por no influir el orden de
colocación de sus elementos.
En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color determinado, es imposible
decir en qué orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto es una combinación. En una bandera
de tres colores se puede decir en qué orden están colocados los colores, por lo tanto es una
variación.


3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿ Cuantos colores pueden obtenerse
mezclando los 4 colores en la misma proporción?.
Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color. Se forma
otra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observa como las dos mezclas dan
el mismo color puesto que no influye el orden de colocación de los elementos, entonces es
una combinación.

Solución:
Elementos de que disponemos.........................m = 4 .
4! 4!
Elementos que entran en el grupo......................n = 4 . Luego, C 4, 4    1......color
4!4  4! 4!0!

4.- Con las cifras 1,2,3,4,5 y 6.¿ Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse, que sean
diferentes?. Razonamiento:
Se forma un número de 3 cifras 123
Con los mismos elementos se forma otro número 321
Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación, por influir el
orden de colocación de los elementos. Solución: Elementos de que se disponen m = 6.
Elementos que entran en la formación de cada número n = 3. Entonces:
V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes.


5.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una
pueden hacerse? Es una Combinación por no influir el orden de colocación de los
elementos. Solución: Elementos de que se disponen m = 6. Elementos que entran en la formación
de cada suma n = 3. Solución:
Elementos de que se disponen m = 6.
Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3

6.! 6 x5 x 4 x3.! 6 x5 x 4
Lueg ,......C6,3     5 x 4  20.....Sumas.
3.!6  3.! 3.!.3.! 3x 2

PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS.- Cuando en un problema de
combinatoria se dice que uno o más elementos estarán fijos en un problema, entonces al
componente m y n de las variaciones o combinaciones se les restará el número de elementos
que se tomen como fijos. Ejemplo:

6.- Con los números 1,2,9,7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezan con 5.

Razonamiento como el problema es de formación de números es importa el orden, por lo
tanto es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar los números de 3 cifras entonces
tendrá la forma 5XX y como hay un número fijo entonces m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 luego la
variación es: V4,2 = 4x3 = 12, este es el número de cifras que se inician con 5.



7.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifras pueden
formarse con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.

RAZONAMIENTO: este es un problema de formación de números por lo tanto es
importante el orden, en consecuencia es una variación. Los números de 4 cifras tendrán
las siguientes formas generales: 8XX1 esto indica que habrán 2 números fijos por lo
tanto m =6-2 = 4 y n = 4-2 = 2 y la solución se expresa así V4,2 = 4x3 = 12, se
pueden formar 12 números de 4 cifras que empiecen en 8 y terminen en 1.

8.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifras interviene
el número 8.

RAZONAMIENTO: este es un problema de formación de números por lo tanto es
importa el orden, en consecuencia es una variación. La forma general de un número de
3 cifras es XXX y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8 son: 8XX, X8X y XX8
como se observa el número 8 estará fijo y por lo tanto m = 5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego
la variación es: V4,2 = 4x3 = 12, pero como el número 8 aparece en tres posiciones,
entonces el resultado es: 3V4,2 =3x12 = 36 que es el número de veces donde aparece el
número 8.




9.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifras se
pueden formar.

RAZONAMIENTO: es una variación por ser una formación de número en donde
importa el orden de colocación de los elementos. La forma general de los números pares
de 3 cifras en este caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hay un
elemento fijo, luego m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2 = 4x3 =
12 pero como hay 4 formas de las cifras terminar en número par habrá que multiplicar
el resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 = 48 pero los números que se inician con cero de la
forma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no forman números de 3 cifras ya que el cero a la
izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estos números son de 2 cifras y se tendrá
que calcular cuántos son y posteriormente restársele al total de 48 para ello
determinaremos el valor de m = 5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación será : 3V3,1 = 3x3
= 9 este es el número de cifras que se tendrá que restársele al total de 48 de la forma
siguiente:

4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39 es la cantidad de números pares de 3 cifras que se pueden
formar.


10.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupos pueden
formarse, en los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.

RAZONAMIENTO: como en este problema no influye el orden de colocación de
cada una de sus integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá la forma
general siguiente: MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijos
y se calcula el grupo que se puede formar con las mujeres de la forma siguiente:
8.! 8 x7 x6 x5 x4.! 8 x7 x6 x5
C8,.4     70...grupos..de..mujeres
4.!8  4.! 4.!.4.!. 4 x3x2

Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los hombres
de la siguiente manera:
6.! 6 x5 x4 x3.! 6 x5 x4
C6,.3     20..grupos..de.. hom bres.
3.!6  3.! 3.!.3.! 3x 2
Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo de mujeres
por la del grupo de hombres así:

C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400 ,son los grupos que se pueden formar en los que estén
presentes 4 mujeres y 3 hombres.

MÓOOOOOOODULO CUATRO DE ESTADÍSTICA GENERAL


TEORÍA DE PROBABILIDADES
LA TEORÍA DE PROBABILIDADES es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha
importancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en la
estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos
para su mejor comprensión.
EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO.- Es aquel experimento en el que es posible predecir el
resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno más
hidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado.
EXPERIMENTO ALEATORIO.- Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que, no
se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juego
de envite y azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo
cualquiera ó el resultado del Kino puesto que en estos casos pueden haber múltiples resultados.
ESPACIO MAESTRAL.- Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio;
generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral al lanzar un dado es:
S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estas
puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar una
moneda puede salir una cara ó un sello.
SUCESOS Ó EVENTOS.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen un
experimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ej. El espacio
muestral de lanzar un dado esta formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y {6}. Los eventos
pueden ser simples ó compuestos.


EVENTOS SIMPLES.- Son aquellos eventos cuyas características son las de estar constituidos por un
solo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden
obtener 6 eventos simples que serian el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Los eventos simples son
mutuamente excluyentes.

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Son aquellos eventos que no pueden ocurrir
simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir AB = Ø. Ej. El resultado obtenido al
lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.
EVENTOS COMPUESTOS.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinación de
eventos. Ej. Obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es:
E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en
3 eventos simples a saber {2}, {4}: y 6.
EVENTOS IMPOSIBLES.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar un
dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultado
es el conjunto vacío, {Ø}.

EVENTOS SEGUROS.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espacio
muestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.
EVENTOS EXHAUSTIVOS.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es la
totalidad del espacio muestral, es decir, AB = E.


EVENTOS DEPENDIENTES.- Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la
verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más
eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la
ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de
basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta la
probabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas de
las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, en
este caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y la
segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segunda
extracción es afectada por la primera.
EVENTOS INDEPENDIENTES.- Se dice que dos ó más eventos son independientes si la
ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los
otros sucesos. Ej. el evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una
moneda, esta compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dado
no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.
EVENTOS COMPLEMENTARIOS.- Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se
cumple que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el
espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces,

P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad de A complemento.

EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES.- Son aquellos eventos que pueden
verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles.


CORRIENTES QUE DEFINEN LA PROBABILIDAD: Diariamente se
escuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto de probabilidad como por
ejemplo los pronósticos del tiempo que indican las probabilidades de lluvia; los
galenos indican la probabilidad que tiene un enfermo de curarse si realiza al pie de
la letra sus tratamientos farmacológicos, las compañías encuestadoras predicen
las oportunidades que tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc.
La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de los
eventos que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como a menudo se les
denominan. Se define la probabilidad como un número comprendido entre 0 y 1,
que se le asigna a un evento para señalar su posibilidad de ocurrencia. Por lo
general las probabilidades se expresan en porcentajes, también se pueden
expresar con números decimales. La probabilidad de cualquier evento se
representa con la letra p.


Escuela Clásica.- Esta plantea que si un suceso puede ocurrir en a formas y fallar en b formas
posibles, entonces el número total de formas posibles en que puede ocurrir o no ocurrir es a + b. Sí a +
b formas son igualmente probables, la probabilidad p de que el suceso ocurra se define como el cociente
p  a a  b , y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se define como el cociente q  b a  b , en otras
palabras, la probabilidad de que ocurra o no un suceso, se define como el cociente del número de casos
favorables entre el número de casos posibles, siendo todos estos casos igualmente probables. Escuela
de la Frecuencia Relativa.- El empeño de esta teoría es destacar que cuando el número de
experimentos aumenta, la frecuencia relativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a un valor
determinado que podría ser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un elevado grado de
certeza. Escuela de la Probabilidad Subjetiva.- El enfoque subjetivo denominado también
probabilidad personal, asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales sean
escasos o imposibles de obtener.
AXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES.- Los axiomas de las probabilidades son
los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las probabilidades de eventos; estas reglas
también se conocen como propiedades de las probabilidades y son: 1) La probabilidad de todo
evento o suceso es un número no negativo, es decir: p (xi)0. 2) La suma de las probabilidades de
todos los sucesos posibles, mutuamente excluyentes de un experimento aleatorio es la unidad, es
decir: p (X1) + p (X2) + p (X3)+.............+ p (Xn) = 1. 3) La probabilidad de cualquier suceso varía entre

0 y 1, es decir 0  p (XI)  1. 4). La suma de las probabilidades de que un suceso ocurra o no
ocurra es igual a la unidad. Si se designa con p la probabilidad de que un evento ocurra y con q la
probabilidad de que el evento no ocurre, se tiene entonces que: p + q = 1, luego la probabilidad de
que un suceso ocurra es: p = 1  q , y la probabilidad de que el evento no ocurra es: q = 1  p. Las
probabilidades se deben expresar por lo menos con 4 decimales y luego a estos expresarlos en
porcentaje.

1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “O “
Para su mejor estudio el Teorema de la Suma se divide en dos casos: A.- Para sucesos
Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo) o
Excluyentes. B.- COMPATIBLES, Cuando los eventos son Compatibles (aquellos que
pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hay
intersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El Teorema se enuncia así: “
Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener al
menos uno de ellos, esto es p (A o B) es igual a la probabilidad de p (A), más la probabilidad
de p (B)“, simbólicamente así: p (A o B) = p (A) + p (B). Este teorema se puede generalizar
para A, B, C,.................N, que se excluyan mutuamente y tienen p1, p2, p3 , pn,
probabilidades de ocurrir, así :
P (A o B o C o N) = p (A) + p ( B ) + p (C) +....+ p (N)
.
EJEMPLO 1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea un As o un Rey?

Solución : la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40,
luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama p (A) = 4 / 40 obtener un as y
probabilidad de obtener un rey se le denominara B, entonces p (B) = 4 / 40, entonces:

p (A o B) = p (A) + p (B), luego p (A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 = 20.0 %.



B.- SI LOS EVENTOS SON COMPATIBLES O NO MUTUAMENTE
EXCLUYENTES (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay
eventos que son comunes o que hay intersección entre los sucesos). El Teorema se
enuncia así : “Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo
menos un suceso simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es
p (A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, p (A), más la probabilidad de B, o
sea p (B) menos la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir p (AB)”.
Simbólicamente se puede expresar así: p (A o B) = p (A) + p (B)  p (AB). Ej.

SOLUCIÓN : Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de
obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que el
espacio muestra de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). El espacio muestral de ambos eventos será la
multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el espacio
muestral de ambos eventos: S 1S 2S 3S 4S 5S 6S
C 1C 2C 3C 4C 5C 6C
1 2 3 4 5 6

Eventos de A = 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, p (A) = 6 / 12; el evento B = C, 2S , luego
;
p (B) = 2 / 12, los eventos que son comunes a ambos, es decir, que se interceptan son: AB = 2C,
luego, p (AB) = 1 / 12, ahora se aplica el teorema de la suma para datos compatibles. Tenemos:
p (A o B) = p (A) + p (B)  p (AB), p (A o B) = 6 / 12 + 2 / 12 1 / 12 = 7 / 12 = 0.5883 = 58.33 %,
por lo tanto, esa es la probabilidad buscada.


PROBABILIDAD CONDICIONADA.- La probabilidad de que ocurra un evento B cuando
se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina Probabilidad Condicionada y se
designa como p (B/A). Él símbolo p (B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B
sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A. Las probabilidades
condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos en
subpoblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un
evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.
Definición.- Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidad
que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama Probabilidad Condicionada del
p A  B 
suceso B, esta se simboliza por p (B/A) y se calcula mediante la fórmula:
 
pB 
A p  A
Si p (A) = 0, entonces p (B/A), no está definida. El conjunto p (AB), se le denomina
probabilidad conjunta de los eventos A y B. El conjunto AB se define como la intersección de
A y B, es decir, los eventos comunes entre A y B.
p A  B 
 
pB 
A p  A
,

Entonces, p (AB) = p (A) p (B/A). Si p (B/A)  p (B), se dice que el evento B es dependiente
del evento A. Sí p (B/A) = p (B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A, luego:
p (AB) = p (A) P (B), esta fórmula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta.



3.- Un curso de postgrado en Estadística está formado por 10 administradores, 30
ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5
economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó un al azar un participante
del mismo y se detectó que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos.
¿Cuál es la probabilidad de que ese participante sea un ingeniero?
SOLUCIÓN: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificación
de 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y si
llamamos AB, los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos: El
total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problema
planteado es de 50, por lo tanto los diferentes eventos serán:
A = 3 administrador, 10 ingeniero, 5 economista  ,Luego p (A) = 18 / 50.
B = 10 ingenieros con 20 puntos, 20 ingenieros, con menos de 20 puntos. .
AB = 10 ingenieros con 20 puntos , luego p (AB) = 10 / 50.

P A  B 
 
10
10 5
PB   50   ,
A P  A 18 18 9
50
Por lo tanto 5/9=0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20
puntos. Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de doble
entrada donde se observan todos los eventos, la cual se presenta seguidamente:


ADMINIST INGENIERO ECONOMISTA TOTAL
.
Aprobaron Con 3 10 5 18
20 puntos.
No Aprobaron 7 20 5 32
Con 20 puntos
TOTAL 10 30 10 50


En la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen a ser
los casos posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otro lado los
ingenieros que aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casos
favorables, por lo tanto la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir
los casos favorables (CF) entre los casos posibles (CP), así:

CF 10 5
P    0.5556  55.56.%.
CP 18 9


PROBABILIDAD PRODUCTO.- Se conoce como probabilidad producto de 2 eventos A
y B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesos se den simultáneamente. La
probabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos reciben el nombre de probabilidad conjunta.
En la probabilidad producto es muy importante el uso de la letra “Y”, esta letra es característica en la gran
mayoría de los problemas relacionados con la probabilidad producto, ya que esta se utiliza muy a menudo
en el enunciado del problema. . La probabilidad conjunta se designa así: p(AB) = p(AB)= p(A y B), cualquiera
de estos términos significa lo mismo. La fórmula de la probabilidad conjunta se obtiene de la fórmula de la
probabilidad condicional, si esta, se multiplica por p(A), así:
p A  B  
 
 B
 
 p A  p A . p A  p A  B   p A. p A
B
 
Esta la fórmula para calcular la probabilidad producto o lo que es lo mismo, la probabilidad conjunta. La
fórmula de la probabilidad conjunta para eventos independientes será: p(AB) = p(A) p(B). La fórmula
para calcular la probabilidad conjunta de eventos dependientes será: p(AB) = p(A) p(B/A).
Si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, .....,N independientemente,
entonces: p(ABC.....N) = p(A) p(B) p(C).....p(N). De la misma forma si en un experimento
aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C,...., N dependientes, entonces:
p(ABC.......N) = p(A) p(B/A) p(C/AB)......p(N/ABC.....N  1).
Es de suma importancia en los problemas de probabilidad conjunta diferenciar los eventos
aleatorios con reposición o sustitución de los eventos aleatorios sin reposición o sin
sustitución; los primeros se refieren a los experimentos que se realizan y se vuelven a colocar en el
mismo lugar donde se realiza el experimento aleatorio. Los eventos aleatorios con reposición son
característicos de los eventos independientes. Los eventos sin reposición son característicos de los
sucesos dependientes.

5.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de una moneda normal
de 5 bolívares?

SOLUCIÓN: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una cara en una moneda
es 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama B el evento
de sacar cara en el segundo lanzamiento, entonces:
p(A) = p(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientes se calcula con la
fórmula: p(AB) = p(A) p(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la probabilidad
buscada.

6.- Si la probabilidad de un evento A es igual 0.65, la probabilidad de un evento B es de 0.40 y
la probabilidad conjunta de A y B es igual a 0.20. Determine entonces si los eventos A y B
son independientes.

SOLUCIÓN: Para que los eventos A y B sean independientes tiene que cumplirse que su
probabilidad conjunta sea igual a 0.20, para ello aplicamos la fórmula de la probabilidad conjunta
de eventos independientes de esta forma:
p(AB) = p(A) p(B) = 0.65 x 0.40 = 0.26, por lo tanto los eventos A y B no son independientes
puesto que la probabilidad conjunta entre A y B es igual a 0.20 de acuerdo con los datos dados
y esta es diferente de la probabilidad conjunta obtenida, que es 0.26.


SUCESOS DE PRUEBAS REPETIDAS.- Los sucesos de pruebas repetidas son de
gran importancia en el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones. Se dice que un suceso
simple interviene en una prueba si necesariamente ocurre o deja de ocurrir una sola vez. Se dice
que un suceso simple interviene en pruebas repetidas si necesariamente bajo exactamente las
mismas condiciones, ocurre o deja de ocurrir, cada vez, una vez. Si un evento ocurre en una
prueba, se acostumbra a decir que se acierta, y que la probabilidad de que el suceso ocurra es la
probabilidad de acertar. De la misma forma, si un evento no ocurre en una prueba, se
acostumbra a decir que el suceso falla, y que la probabilidad de que el suceso no ocurra es la
probabilidad de fallar.

TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea p la probabilidad de acertar y q = 1  p
la probabilidad de fallar en un suceso de una prueba. Entonces la P1 de exactamente r
aciertos en n pruebas repetidas está dada por La formula:
nr
P1  C( n,r ) p q r
, si....r  n.
En esta fórmula n es el número total de suceso, r es el número total de aciertos, n1 es el
número total de fallar, C es la combinación de los eventos n y r, p es la probabilidad de
acertar un evento determinado, q es la probabilidad de fallar y P1 es la probabilidad buscada.
Recuerde que en los problemas donde se aplica este teorema la palabra EXACTAMENTE es
la clave.


7.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5 lanzamientos de un
dado normal.

SOLUCIÓN: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto de obtener un cuatro.
La probabilidad de obtener un 4 en el dado o acertar es de 1/6, entonces p = 1/6, la
probabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidad de fallar es la siguiente:
q  1  1 6  5 6  q;... p  1 6;...n  5;..r  3;...n  r  2;... C(5,3)  10
Datos:

Ahora se aplica la fórmula así:
3 2
n r 1 5 10 * 25 250
P  C( n , r ) p q
1
r
 10       0.0322  3.22%.
 6 6 65 7776

Entonces, P1 = 3,22 % Que es la probabilidad buscada.
.



TEOREMA 2.- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1 p la probabilidad de fallar de un
suceso en una prueba. Entonces la probabilidad P2 de obtener por lo menos r aciertos en n
pruebas está dada por la relación:
r r
P2   C ( n , r ) p n q n  r ,..........r  n.
r n
Esta fórmula es similar a la del Teorema 1, pero para determinar la probabilidad en este caso se
calculan todo los valores de n y finalmente se suman todas las probabilidades y el resultado de la
sumatoria es la probabilidad buscada. En la aplicación de esta fórmula hay una frase clave que es:
por lo menos, lo cual significa que se deben tomar las probabilidades desde r hasta n y luego
sumarlas todas y esa será la probabilidad buscada. Ejemplo:
8.- Una moneda de 5 bolívares se lanza al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo
menos aparezcan 6 caras?
SOLUCIÓN: Este es un problema que se resuelve aplicando el Teorema 2 por cuanto presenta la
palabra clave por lo menos, que indica la aplicación de la fórmula del Teorema mencionado. En el
lanzamiento de una moneda la probabilidad de acertar es 1/2 y la de fallar es 1/2.

DATOS : p  q  1 2 ,...n  8;...r  6;...n  r  2;...C (8,6)  28;..C (8,7 )  8;...C (8,8)  1.
Aplicando la formula tenemos:
P2   C ( n ,r ) p r q n  r   C (8,8) 1 2   C (8, 7 ) 1 2  1 2   C (8, 6 ) 1 2  1 2 
8 7 6 2

18 8 * 18 28 * 18 1  8  28 37
P2   8  8     0.1445  14.45%.
2 2 28 28 256
14.45 % es la probabilidad buscada.

BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA
Anderson D.R. / Sweeney, D.J. / Williams, T.A. (1999): Estadística para la administración y economía. International Thomson
Editores. México.
Babbie, E. (2000): Fundamentos de la Investigación Social. International Thomson Editores. México.
Begoña Gros, Salvat (2006) FORMACIÓN DEL PROFESORADO COMO DOCENTE EN LOS ESPACIOS VIRTUALES DE APRENDIZAJE.
Universidad de Barcelona – España. [Documento en Línea] disponible en: http://www.redkipus.org/aad/images/recursos/31-
959Gros.pdf. [Consulta: 2008, mayo 30]
Berenso, Mark.(1.992): Estadística Básica en Administración. Editorial. Harla. Cuarta Edición. México.
Bruner, J. S. (1965/1960). El proceso de la educación. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Cadoche, L. S.; G. Stegmayer, J. P. Burioni y M. De Bernardez (1998). Material del Seminario de Encuestas en Educación, impartido
vía internet por parte de la Universidad Nacional del Litoral, en Santa Fe, y de la Universidad Tecnológica Nacional, Regional Santa
Fe, en la República de Argentina.
De Oteyza de O., E; Emma Lam O., Carlos Hernández G. y Ángel M. Carrillo H. (1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall.
México
Enciclopedia Microsoft Encarta 2008 (2008): Censo- Cuestionario- Encuesta. Estadística. Editorial Microsoft corporation. USA.
Gros, B. (2002). Constructivismo y diseños de entornos virtuales de aprendizaje, Revista de Educación, 328, 225-247.
Ferrán Aranaz, Magdalena (2002) Curso de SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Ferrán Aranaz, Magdalena (2001) SPSS para Windows: Análisis Estadístico. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Filgueira, Ester (2001). Análisis de datos con SPSS Win. Alianza Editorial. Madrid.
Hamdan González, Nijad (2005) Métodos Estadísticos en Educación. EDICIONES DE LA BIBLIOTECA. Caracas.
Hernández Sampieri, R./ Fernández Collado, C./ Baptista Lucio, P. (2003): Metodología de la Investigación. Editorial McGraw-Hill.
México.
Holmberg, B. (1989) La teoría y la práctica de la educación a distancia, Londres / Nueva York: Routledge.
Ivicl, Ivan (1999) LEV SEMIONOVICH VYGOTSKY. Revista trimestral de educación comparada (París, UNESCO: Oficina Internacional de
Educación), vol. XXIV, nos 3-4, págs. 773-799. UNESO: Oficina Internacional de Educación, 1999. Paris – Francia.
Jonassen, D. H., Peck, K.L. & Wilson, B.G. (1999). Learning with technology: A Constructivist Perspective. Upper Saddle, NJ: Merrill,
Prentice Hall.
LARSON HAROLD, J. (1985): Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferencia Estadística. Editorial Limusa. México.
LEITHOLD, LOUIS (1992): El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial HARLA México.

MÓDULO DOS DE ESTADÍSTICA GENERAL


BIBLIOGRAFÍA

LINCON L., CHAO (1996): Estadística para Ciencias Administrativas. Cuarta edición. Editorial McGaw-Hill. Usa.
LOPEZ CASUSO, R. (1984): Introducción al Cálculo de Probabilidades e Inferencia Estadística. Editorial Instituto de Investigaciones
Económicas, UCAB. Caracas- Venezuela.
López, R. (1996), Constructivismo radical de Protágoras a Watzlawick”,
www.rehue.csociales.uchile.cl/rehuehome/facultad/publicaciones/Excerpta/exc erpta7/construc.htm
Mason, Robert (1.992): Estadística para la Administración y Economía. Ediciones Alfaomega S.A.N. México.
Murria, R.(1993): Estadística. Edición Interamericana.2da Edición. México.
Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2002). SPSS 11. Guía para Análisis de Datos. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Pardo Merino, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel (2005). Análisis de datos con SPSS 13 Base. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Parica Ramos, A. T.; Bruno Liendo, F. J. y Abancin Ospina, R. A. (2005) Teoria del Constructivismo Social. Teoria del Constructivismo
Social de Lev Vygotsky en comparación con la Teoria Jean Piaget. Universidad Central de Venezuela. Facultad de Humanidades y
Educación. Escuela de Educación. Departamento de Psicología Educativa. Cátedra de Psicología Educativa. Caracas – Venezuela.
PARZEN, E. (1986): Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones Editorial Limusa: México
Peña, Daniel y Romo, Juan (1999). Introducción a la estadística para las Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Madrid.
Pérez López, César. 2002. Estadística aplicada a través de Excel. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2005): Técnicas Estadísticas con SPSS 12. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2004): Técnicas de Análisis Multivariante de Datos: Aplicaciones con SPSS . Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2001). Técnicas estadísticas con SPSS. Editorial Pearson Prentice Hall. Madrid.
Pérez López, C. (2005): Métodos Estadísticos Avanzados con SPSS. Internacional Thomson Editores Spain. Madrid.
Piaget, J. (1952). Autobiografía. Historia de la psicología en la autobiografía. Vol. 4. Worcester, MA: Clark University Press.Ausubel,
D. P., Novak, J. y Hanesian, H. Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo, 2ª ed., Trillas, México, 2000.
Ritchey, F.J. (2002): Estadística para las Ciencias Sociales. Ed. McGraw – Hill. México.
Rivas González, Ernesto (2003) Estadística General. Ediciones de la Biblioteca UCV. Caracas – Venezuela.
Salama, David (2002) Estadística. Metodología y Aplicaciones. Editorial Torino. Caracas.
Salmon, G. (2000). E-moderador: La clave para la enseñanza y el aprendizaje en línea, Londres: Kogan Page.
Sánchez Carrión, Juan Javier (2004). Manual de análisis estadístico de los datos. Alianza Editorial. Madrid.
Spiegel, M.R. y Stephens Larry j. (2002): Estadística. Mc Graw Hill Interamericana de España. S.A. Madrid.



BIBLIOGRAFÍA
Stephen P., Shao (1986): Estadística para Economistas y Administradores deEmpresa.Editorial Herreros Hermanos, Sucs., S.A.,
México.
Visauta Vinacua, Bienvenido (2002) Análisis estadístico con SPSS para Windows Volumen I: Estadística Básica. Editorial McGraw –
Hill INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. México.
Visauta Vinacua, Bienvenido (2005) Análisis estadístico con SPSS para Windows Volumen II: Estadística Multivariante. Editorial
McGraw – Hill INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. México.
WATZLAWICK, P., y Krieg, P., (1994), “El ojo del observador: Contribucionesal constructivismo, homenaje a Heinz von Foerster”,
Editorial Gedisa, Barcelona.
WATZLAWICK, P., (1981), “Es real la realidad?: confusión, desinformación,comunicación”, Editorial Herder, Barcelona.
WATZLAWICK, P., (1992), “La coleta del Varón de Münchhausen: Psicoterapia y Realidad”, Editorial Herder, Barcelona.
Webster, Allen L (2001) Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Editorial McGraw – Hill INTERAMERICANA DE BOGOTA,
S.A.U. Colombia.
Webster, Allen L. (1996): Estadística Aplicada a la Empresa y la Economía. Editorial Irwin. Segunda edición. Barcelona – España.
Weimer, Richard C. (1996) Estadística. Compañía Editorial Continental, SA de CV. México.
Wonnacott, Thomas H. y Wonnacott, Ronald J. (1999). Introducción a la Estadística. Editorial Limusa. Méjico.
Wonnacott, T. H. y Wonnacott, R: J. (1989): Fundamentos de Estadística para Administración y Economía. Editorial LIMUSA. México.



BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOWEB
http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/ventajasdelavirtualidadenlaeducacion.htm
http://www.el-mundo.es/su-dinero/noticias/act-111-14.html
http://www.uoc.edu/inaugural04/esp/carnoy1004.pdf
http://www.nextlearning.cl
http://www.educar.org/articulos/educacionvirtual.asp
http://www.pignc-ispi.com/articles/distance/kearsley-virtualprofessor.htm#espano BIBLIOWEB
http://hamletyestadisticaspss.jimdo.com/
http://es.geocities.com/hamletmatamat/estadistica. html
http://es.geocities.com/hamletmatamat/
http://es.geocities.com/hamletmatamata48/educacion.html
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/
http://www.hrc.es/bioest/Mdocente.html#tema1
http://www.mailxmail.com/curso/informatica/spssespanol/capitulo1.htm
http://www.aulafacil.com/investigacionspss/Lecc-6.htm
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/opre504S.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
http://www.bioestadistica.freeservers.com/farpro.html
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/36/estapro.htm
http://www.hrc.es/bioest/Reglin_8.html
http://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtml
l
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tvariablealeatoria.htm
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/lecciones_html/un2/2_6_1.html
http://www.eio.uva.es/~mcruz/ingenieria/Probabilidad.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad



BIBLIOGRAFÍA
BIBLIOWEB
http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tinferencia.htm#muestreoaleatoriosimple
http://www.seh-lelha.org/noparame.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_signos/nopa_signos.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t20_variable_aleatoria_continua.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm
http://sapiens.ya.com/matagus/unidad6.htm
http://zip.rincondelvago.com/?00044092
http://www.seh-lelha.org/regresion1.htm
http://www.eumed.net/cursecon/medir/introd.htm
http://ftp.medprev.uma.es/libro/node40.htm
http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html
http://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htm
http://www.seh-lelha.org/concor2.htm
http://www.seh-lelha.org/noparame.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_simple/regr_simple.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/regr/regr_multilin/regr_multilin.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa.htm
http://www.telefonica.net/web2/biomates/nopa/nopa_wilcoxon/nopa_wilcoxon.htm
http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/d/di/distribucion_de_probabilidad.html
http://mibuscador.net/enciclopedia/es/wikipedia/p/pr/probabilidad.html
http://encyclopedie-es.snyke.com/articles/distribucion_de_probabilidad.html
http://www.uib.es/depart/gte/edutec-e/revelec15/albert_sangra.htm
http://www.mailxmail.com/curso/excelencia/paradigmaeducacionsuperior/capitulo9.htm
http://ocw.mit.edu/index.html
http://www.tuobra.unam.mx/publicadas/010909003010.html#fn1
http://www.angelfire.com/az2/educacionvirtual/educavir.html
http://www.universia.com.ar/portada/actualidad/noticia_actualidad.jsp?noticia=10895



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