importancia de las integrales definidas en el área técnologica

1. Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre
ASIGNATURA: MATEMATICA 2
PROFESOR Lcdo. Domingo Méndez
TEMA:importancia de las integrales definidas en el área técnologica
INTEGRANTE:
JAIME VASQUEZ
17.858578
FECHA DE ENTREGA:
VMARTES, 20 DE SEPTIEMBRE DE 2016

2. INTRODUCCIÓN
Dentro del estudio del cálculo integral, un tema que tiene bastante importancia y
es necesario recalcar es la integral definida, debido a sus aplicaciones y su misma
concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos matemáticos.
Además de ello, la integral definida cuenta con diversos elementos, parámetros y
lineamentos para poder ser aplicada dentro de las funciones, siendo el teorema
fundamental del cálculo una de ellas, por lo que en el siguiente proyecto
abordaremos de manera ordenada y sistemática cada una de esas partes
indispensables para lograr a comprender y a aplicar de la manera correcta esta
integral, y de esta manera, hacer fácil y sencillo el entendimiento de la misma,
además de abordar las diversas aplicaciones prácticas que tiene dando ejemplos
para hacer la explicación más clara y concisa.
Notación de la integral definida
Supongamos que es continua para
se escribe:
. La integral definida de , de a
Y es el límite de las sumas izquierda o derecha, con subdivisiones de
cuando se hace arbitrariamente grande. En otras palabras,
A cada una de esas sumas se les llama sumas de Riemann, a
integrando y a a y b se les llama limites de integración.
se le llama
El Teorema Fundamental del Cálculo
Las dos grandes ramas del cálculo: el cálculo diferencial (de la mano del problema
de la recta tangente) y el cálculo integral (de la mano del problema del área);
ambos problemas tienen entre ellos una intima conexión, descubierta
independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que constituye el
llamado, con toda justicia, teorema fundamental del Cálculo.

3. Informalmente, el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son
operaciones mutuamente inversas. Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron
cuenta de ello, consideremos las aproximaciones que muestra la Figura 1. Cuando
definimos la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente
(pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región
bajo una curva, usamos el producto (area de un rectangulo). Así pues, en su
primer paso derivacion e integracion son operaciones inversas. El teorema
fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite
ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.
usado para definir
Figura 1
Expresemos ahora el Teorema Fundamental del Cálculo:
Si es una función continua en el intervalo cerrado y es una primitiva de
en entonces,
Estrategia para usar el Teorema Fundamental del Cálculo
● Al aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo es conveniente la siguiente
notación.

4. Por ejemplo:
● No es necesario agregar una constante de integración C en la primitiva, ya que:
● Se debe comprobar la continuidad de la función en el intervalo delimitado por los
límites de integración, esto es que:
Por ejemplo, si queremos determinar:
Primero debemos analizar el dominio del integrando, que como observamos, es
una función racional, por lo que el denominador debe ser distinto de 0, entonces,
el dominio queda definido como:
Y como nos damos cuenta, al analizar los límites de integración, observamos que:
Podemos comprobarlo efectuando la integral definida, de la siguiente forma:
Como sabemos, el logaritmo natural de cero no existe, por lo tanto, tampoco existe
solución para esta integral definida, cosa que ya habíamos determinado al analizar
el dominio de la función junto con el intervalo de integración.
● Al aplicar el TFC a una función con valor absoluto, lo más recomendado es
hacer una descomposición de la función, como lo muestra el siguiente ejemplo:

5. Al aplicar la definición de valor absoluto vemos que,
De ahí que se pueda romper la integral en dos partes,
Aplicaciones de la integral definida
Existe una diversidad enorme de aplicaciones de la integral definida en muchas
ciencias, el siguiente listado muestra algunas aplicaciones de la integral definida.
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Para determinar el área bajo una curva.
Para determinar el área entre dos curvas.
Para determinar el volumen de un sólido de revolución.
Para calcula la longitud de arco, o longitud de una curva.
Para calcular el valor promedio de una función.
Para el cálculo del trabajo en física.
Para la aplicación de la ley de Hooke en física.
Para calcular el trabajo necesario para levantar un cable en física.
Para el cálculo de la presión y la fuerza hidrostática en física.
Para el cálculo de los momentos y centros de masa en física.
Para calcular el excedente del consumidor en economía.
Para calcular la circulación sanguínea en biología.
Para calcular la capacidad cardiaca en biología.
Para el cálculo de la probabilidad de que un valor se encuentre entre otros
dos valores.
Para el cálculo de los valores promedio, en probabilidad.
Para el cálculo de distribuciones normales en probabilidad.
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6. Algunos ejemplos resueltos
~Trabajo~
Cuando una partícula está situada a una distancia de x pies del origen, una fuerza
de actua sobre ella. ¿Cuánto trabajo se realiza al moverla de a
?
Por lo tanto, el trabajo realizado es de 16.666 libras-pie.
~Ley de Hooke~
De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza necesaria para estirar un resorte x
metros más que su longitud natural es .
Una fuerza de 40 N se hace necesaria
estirado desde su longitud natural de 10
para sostener un resorte que ha sido
cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto
trabajo es realizado para estirar el resorte de 15 cm a 18 cm?
Cuando el resorte se estira de 10 a 15 cm, la cantidad estirada es de 5 cm, que es
lo mismo que 0.05 m. Esto significa que , entonces,
Entonces y el trabajo realizado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es,
~Centro de masa~
El centro de masa de una placa está colocado en el punto , en donde,
Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.

7. Primero colocamos el semicírculo como en
la figura de la izquierda para que
,
necesitamos
principio de
y
encontrar
Aquí no
, ya que, por el
simetría, el centro de masa
debe estar sobre el eje y, de modo que
. El area de
, entonces,
un semicirculo es
Por lo tanto el centro de masa está ubicado en
~Capacidad cardiaca~
Se emplea el método de dilución de colorante a fin de medir la respuesta o gasto
cardiaco inyectado 6 miligramos de colorante en la arteria pulmonar de un
paciente durante 12 segundos. Determina la capacidad cardiaca en litros por
minuto si la concentración de tinta es .
Sustituimos los valores en la ecuación de la capacidad cardiaca.

8. ~Circulación sanguínea~
Calcula el flujo de sangre de una arteria humana normal. Supón que ,
, y . (De acuerdo con estas unidades,
el flujo de sangre se mide en por segundo).
Área bajo una curva
Hallar el área de la región S que se encuentra bajo la curva de a a b.
Esto significa que S, ilustrada en la figura 2, está limitada por la grafica de una
función continua [donde ], las rectas verticales y , y el eje x.
Al estimar el área bajo una curva, se
puede hacer uso de rectángulos con la
misma base acomodados a lo largo del
intervalo , como se demuestra en el
siguiente ejemplo.
Figura 2
Use rectángulos para estimar el área bajo la parábola
parabolica S ilustrada en la Figura 3).
de 0 a 1(la region

9. Primero nótese que el área de S debe
estar entre 0 y 1 porque S está contenida
en un cuadrado con longitud 1 de lado,
pero podemos ciertamente mejorar esto.
Suponga que dividimos S en cuatro franjas
S1, S2, S3 y S4 trazando las rectas
verticales como
en la figura (a).
Podemos aproximar cada franja por un
rectángulo cuya base es la misma que la
de la franja y cuya altura es igual que el
borde derecho de la franja [vea Figura (b)].
En otras palabras, las alturas de estos rectángulos son los valores de la función
en los puntos extremos
.
derechos de los subintervalos
Cada rectángulo tiene ancho de ¼ y las alturas son . Si
hacemos R4 la suma de las áreas de estos rectángulos de
obtenemos
aproximación,
De la figura (b) vemos que el área A de S es
menor que R4, de modo que,
En lugar de usar los rectángulos de la
Figura (b) podríamos usar los rectángulos

10. más pequeños de la Figura 5, cuyas alturas son los valores de f en los puntos
extremos izquierdos de los subintervalos. (El rectángulo de la extrema izquierda se
ha colapsado porque su altura es 0.) La suma de las áreas de estos rectángulos
de aproximación es
Vemos que el área A de S es mayor que L4, de modo que
Sin embargo, ahora tenemos estimaciones superior e inferior para A (o S), por lo
que concluimos que
La exactitud del área aumenta conforme se vayan haciendo más subdivisiones n,
de esta forma, decimos que:
Para una función definida en el intervalo
, el area A bajo la curva
, si es continua en y
en esta dada por
Sin embargo, el sumatorio que aparece en el
Riemann y se puede expresar lo siguiente:
límite es conocido como suma de
Dada la función , definida en el intervalo cerrado y una particion como la
definida para la suma de Riemann sobre dicho intervalo la integral definida esta
dada por
Ahora podemos calcular con exactitud el área bajo la curva explicada al principio;
primero habíamos concluido que
Efectuemos la integral definida para encontrar el valor exacto.
Si nos damos cuenta, el valor obtenido cumple con la desigualdad obtenida
mediante los rectángulos.
Algo que se debe tomar en cuenta al aplicar la integral definida para obtener el
área bajo una curva son las siguientes reglas.

11. Si entonces
Si entonces
Realicemos algunos ejercicios para comprobar el uso de estas sencillas reglas.
Calcula el área de la región limitada por la curva
eje y y la recta
, el eje x, el
Puesto que el coeficiente de la es positivo, la
curva es una parabola que
ademas, tenemos que si
, o sea,
intersecciones en x de
se abre hacia arriba;
, entonces
son lasy
, de donde podemos
esbozar su grafica, que aparece en la figura del
costado, conjuntamente con las regiones de las que
se va a calcular su área.
De acuerdo con la figura tenemos que
Calculemos a continuación el valor del área de cada región

12. Calcula el área de la región limitada por la curva
y y la recta
Observando la grafica
, el eje x, el eje
de la izquierda, nos
damos cuenta que la curva sobre la que se
obtendrá el área en el intervalo
en el mismo.
es positiva
Por lo tanto, la formula que utilizaremos será la
siguiente.
Realizando las operaciones resulta
Área entre dos curvas
Considere la región S que está entre las
dos curvas
las rectas verticales
y y entre
dondey
y son funciones continuas y
.

13. Así como hicimos para áreas bajo curvas, dividimos S en n franjas de anchos
iguales y luego aproximamos la i-ésima franja por medio de un rectángulo con
base y altura (Vea la Figura 6 en la siguiente página. Si nos
parece, podríamos tomar todos los puntos muestrales de los puntos extremos
derechos, en cuyo caso .) La suma de Riemann:
Es por tanto una aproximación a lo que intuitivamente consideramos como el área
de S.
Figura 6
Esta aproximación parece mejorar cada vez más cuando . Por tanto,
definimos el área A de la región S como el valor límite de la suma de las áreas de
estos rectángulos de aproximación.
Reconocemos el límite en la ecuación anterior como la integral definida de
En consecuencia, tenemos la siguiente fórmula para el área.
.
El área A de la región acotada por las curvas , y y las rectas
y , donde y son continuas y es,
Resolvamos algunos problemas para reafirmar la aplicación de esta fórmula.

14. Encuentre el área de la región acotada arriba por , acotada abajo por
y acotada a los lados por y .
La región se muestra en la figura
de la izquierda, la curva de
y la
.
con
.
frontera superior es
curva de frontera inferior es
Entonces usamos
,
la formula
, y
Encuentre el área de la región acotada por las parábolas y .
Primero encontramos los puntos
de intersección de las parábolas al
resolver sus ecuaciones
simultáneamente.
;
;
modo que
Esto da
;
de
. Los
(0,0) y
y
puntos de intersección son
(1,1). De acuerdo a la grafica
observamos que
frontera superior es
la curva de
y
esla curva de frontera
.
inferior
Apliquemos la
,
formula
,
con
y
.

15. Aplicaciones a las ciencias de lo económico-administrativo
Valor presente y futuro de un flujo constante
Cuando se revisan los pagos hechos a o por un individuo, por lo general se
imagina uno pagos discretos, esto es, hechos en determinados momentos en el
tiempo. Sin embargo, podemos imaginar que los pagos hechos por una empresa
son continuos. Por ejemplo, las utilidades ganadas por una gran corporación
llegan esencialmente durante todo el tiempo, por lo que se pueden representar por
un flujo o corriente de ingreso continuo. Como la rapidez con la que se gana la
utilidad puede variar de un momento a otro, el flujo de ingreso se describe con:
Observamos que es la tasa a la que se hacen depósitos. Sus unidades son
por ejemplo dólares por año, y que esa tasa depende del tiempo t, que por lo
general se mide en años a partir del presente.
El valor presente representa la cantidad de dinero que habría que depositar hoy en
una cuenta bancaria a interés, para igualar lo que se ganaría con el flujo de
ingreso.
El valor futuro representa la cantidad total de dinero obtenida depositando el flujo
de ingreso en una cuenta bancaria, dejándolo que gane intereses.
Ejemplo. Calcular el valor presente y futuro de un flujo constante de ingreso de
100 dólares por año durante un periodo de 20 años, suponiendo una tasa de
interés de 10% compuesto continuamente.
Solución. Hacemos y , entonces

16. Superávit del consumidor y del productor
El punto donde las curvas de las funciones de oferta y demanda se
cruzan se conoce como punto de equilibrio, dicho punto otorga el denominado
precio de equilibrio .
El superávit del consumidor es la cantidad total de dinero ahorrado por los
consumidores por comprar al precio de equilibrio en lugar de comprar al precio
que hubieran estado dispuestos a pagar.
El superávit del productor es la cantidad de dinero gastado por los productores por
vender a precio de equilibrio en
dispuestos a pagar.
lugar de hacerlo al precio que hubieran estado
Es muy importante recalcar que
demanda se hace cero; y que
oferta se hace cero.
es el valor positivo en el que la funcion de la
es el valor positivo en el que la función de la
Ejemplo. La demanda de un artículo que se vende a x dólares es ,
mientras que la de la oferta es
del productor.
. Calcula el superavit del consumidor y
Solución. Calculemos primero el superávit del consumidor, obteniendo para dicho
objetivo el valor de , para esto:
Ahora obtengamos el precio de equilibrio, entonces:
Ahora sustituimos:
Para el superávit del productor obtengamos a

17. Excedente del consumidor
Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían
comprarse a varios precios. Si el precio del mercado es y la correspondiente
demanda del mercado es , entonces, aquellos consumidores que estuviesen
dispuestos a pagar un precio mayor que el de este mercado, ganan, por el hecho
de que el precio es solamente .
El excedente del consumidor mide la riqueza económica desde el lado del
comprador.
Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia del consumidor se representa por
el área situada bajo la curva de demanda y por encima de la recta . Marshall
denomina a esta area excedente del consumidor y se evalúa de la siguiente forma:
Donde la función de demanda es
entonces:
, o también si la función de demanda es
Y donde es el valor de cuando .
Ejemplo. Si la función de demanda es hallar el excedente del
consumidor si .

18. Superávit de consumo según la función de suministro
La función de suministro para un artículo da la relación entre el precio de
venta y el número de unidades que los fabricantes producirán a ese precio.
Para un precio más alto, los fabricantes producirán más unidades, así que es
una funcion creciente de
actualmente, y sea
. Sea X la cantidad del artículo que se produce
el precio actual.
Algunos vendedores estarían dispuestos a hacer y vender el producto por un
precio de venta menor y, por lo tanto reciben más que su precio mínimo. Este
exceso se llama superávit de consumo, el cual está dado por:
Ejemplo. Calcule el superávit de consumo para la función de suministro
al nivel de ventas .
Solución.
Consideremos y encontremos evaluando
Entonces.

19. Ley de Ingresos de Pareto
La Ley de Ingresos de Pareto expresa que el número de personas con ingresos
entre y es:
Donde A y k son constantes con y . El promedio de ingreso de estas
personas es:
Ejemplo. Calcule el número de personas con ingresos entre $3.00 y $5.00 dólares
para A=20 y k=2, y también el promedio de ingreso de estas personas.
Solución. Calculemos primero el valor de N con los valores otorgados, de la
siguiente forma.
Ahora con la solución obtenida, calculemos el promedio de ingreso.