*

vii

´
Indice general

Dedicatoria III

Agradecimientos V

Introducciń
o 1

1. Conceptos bayesianos 5
1.1. Probabilidad subjetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. An´lisis bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 6
1.3. Funciń de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 6
1.3.1. Principio de verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Distribuciń a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 8
1.4.1. Determinaciń subjetiva de la distribuciń a priori . . .
o o 8
1.4.2. Distribuciń a priori conjugada . . . . . . . . . . . . . 10
o
1.4.3. Distribuciń a priori no informativa . . . . . . . . . . . 12
o
1.5. Distribuciń a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
o
1.6. Inferencia bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1. Estimaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
o
1.6.2. Error de estimaciń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
1.6.3. Estimaciń multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
o
1.6.4. Conjuntos cre´
ıbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.5. Contraste de hip´tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
o

viii ´
INDICE GENERAL

1.6.6. Inferencia predictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Conceptos astron´micos.
o 31
2.1. Sistemas de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Determinaciń de las ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
o
2.3. Paralaje estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. T Tauri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. An´lisis de regresiń lineal
a o 43
3.1. Regresiń lineal simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
o
3.1.1. Propiedades de los E.M.V. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2. Contraste de hip´tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
o
3.2. Regresiń lineal m´ltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
o u
3.2.1. Estimaciń de los coeficientes de regresiń . . . . . . . 56
o o
3.2.2. Propiedades de los estimadores. . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3. Contr´ste de hip´tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
a o
3.3. An´lisis bayesiano del modelo de regresiń lineal. . . . . . . . 65
a o
3.3.1. Distribuciń a posteriori con informaciń a priori no infor-
o o
mativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.2. Distribuciń a posteriori con informaciń
o o
a priori conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.3. Inferencia bayesiana para β y σ 2 . . . . . . . . . . . . . 74

4. Aplicaciń.
o 77
4.1. Tratamiento de los datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1. Tratamiento de los datos para la ascenciń recta. . . . 77
o
4.1.2. Tratamiento de los datos para la declinaciń. . . . . . . 81
o
4.1.3. Comparaciń de las estimaciones puntuales cl´sicas y
o a
bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.4. Intervalos HPD para los par´metros. . . . . . . . . . . 90
a
4.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

´
INDICE GENERAL ix

A. Ap´ndice
e 95
A.1. Distribuciones especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.2. Algunos teoremas relacionados con matrices. . . . . . . . . . . . . 96
A.3. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.4. Valores esperados y teor´ de la distribuci´n. . . . . . . . . . . 97
ıa o

Bibliograf´
ıa 97

Introducciń
o

En la actualidad se reconoce la importancia que tiene la estad´ ıstica en
las diversas ´reas del conocimiento. Cada vez son mas las distintas ´reas
a a
de la investigaciń cient´
o ıfica que utilizan la estad´
ıstica, para la recopilaciń,
o
presentaciń, an´lisis e interpretaciń de los datos, con el fin de ayudar en
o a o
una mejor toma de decisiones.
La estad´ıstica se ocupa fundamentalmente del an´lisis de datos que pre-
a
senten variabilidad con el fin de comprender el mecanismo que los genera, o
para ayudar en un proceso de toma de decisiones. En cualquiera de los casos
existe una componente de incertidumbre involucrada, por lo que ´l estad´
e ısti-
co se ocupa en reducir lo m´s posible esa componente, as´ como tambiń en
a ı e
describirla en forma apropiada. Adem´s, la probabilidad es el unico lenguaje
a ´
posible para describir una l´gica que trata con todos los niveles de incer-
o
tidumbre y no s´lo con los extremos de verdad o falsedad.
o
Se supone que toda forma de incertidumbre debe decidirse por medio de
modelos de probabilidad. En el caso de la estad´ıstica bayesiana se considera al
par´metro, sobre el cu´l se desea infererir, como un evento incierto. Entonces,
a a
como nuestro conocimiento no es preciso y est´ sujeta a incertidumbre, se
a
puede describir mediante una distribuciń de probabilidad π(θ), llamada dis-
o
tribuciń a priori del par´metro θ, lo que hace que el par´metro tenga el
o a a
carćter de aleatorio.
a
La estad´ıstica bayesiana es una alternativa a la estad´ıstica cl´sica en los
a
problemas t´ ıpicos estad´ ısticos como son estimaciń, prueba de hip´tesis y
o o
predicciń. La estad´
o ıstica bayesiana proporciona un completo paradigma de
inferencia estad´ıstica y teor´ de la decisiń con incertidumbre y est´ basada
ıa o a
en el teorema de Bayes que es el que nos proporciona una forma adecuada
para incluir informaciń inicial del par´metros mediante la distribuciń π(θ)
o a o
adem´s de la informaciń muestral f (x|θ) para as´ describir toda la informa-
a o ı

ciń disponible del par´metro mediante la distribuciń a posteriori π(θ|x).
o a o
La teor´ bayesiana plantea la soluciń a un problema estad´
ıa o ıstico desde
el punto de vista subjetivo de la probabilidad, segń el cual, la probabilidad
u
que un estad´ ıstico asigna a uno de los posibles resultados de un proceso, re-
presenta su propio juicio sobre la verosimilitud de que se tenga el resultado y
dicha informaciń esta representada en π(θ). Algunos investigadores rechazan
o
que la informaciń inicial se incluya en un proceso de inferencia cient´
o ıfica,
sin embargo los m´todos bayesianos pueden ser aplicados a problemas que
e
han sido inaccesibles a la teor´ frecuentista tradicional.
ıa
A un problema espec´ ıfico se le puede asignar cualquier tipo de distribuciń
o
a priori, ya que finalmente al actualizar la informaciń a priori que se tenga
o
acerca del par´metro, mediante el teorema de Bayes se estar´ actualizando
a a
la distribuciń a posteriori del par´metro y es con esta con las que se hacen
o a
las inferencias del mismo.
Cuando un investigador tiene conocimiento previo a un problema, este
conocimiento previo puede cuantificarse en un modelo de probabilidad. Si los
juicios de una persona sobre la verosimilitud relativa a ciertas combinaciones
de resultados satisfacen ciertas condiciones de consistencia, se puede decir
que sus probabilidades subjetivas se determinan de manera unica.
´
Dentro de los campos de la investigaciń en los cuales se utiliza la Es-
o
tad´ıstica se encuentra la Astronom´ en el caso particular de este trabajo
ıa,
de tesis utilizando los modelos de regresiń lineal para estimar el valor de
o
par´metros como la paralaje que son importantes al calcular distancias a las
a
estrellas. Para calcular las distancias algunos tipos de observaciń que se ha-
o
cen son las de infrarrojo u ondas de radio que nos son visibles a simple vista,
utilizando dichas observaciones en modelos que describen la posiciń de las
o
estrellas en la esfera celeste y resolviendolos con regresiń lineal.
o
El objetivo de esta tesis, es revisar el modelo de regresiń lineal con la
o
metodolog´ cl´sica y tambiń con el enfoque bayesiano y hacer una com-
ıa a e
paraciń entre ambos resultados, otro objetivo es resolver las ecuaciones de
o
posiciń para la estrella T Tau Sb, a trav´s de un modelo de regresiń li-
o e o
neal y hacer inferencia para los par´metros del modelo y as´ determinar el
a ı
par´metro p de paralaje y la distancia a que se encuentra la estrella men-
a
cionada y compararla con el resultado obtenido en el art´ıculo (ve´se [12]).
a
Para lograr los objetivos se desarrolla la teor´ necesaria en los cap´
ıa ıtulos
de la siguiente manera:

En el Cap´ ıtulo uno, se da un panorama general de lo que es el an´lisis
a
bayesiano, el teorema de Bayes, funciń de verosimilitud, las distintas formas
o
de obtener la distribuciń a priori y la distribuciń a posteriori, as´ como la
o o ı
forma de hacer inferencia bayesiana.
En el segundo Cap´ ıtulo se presenta la informaciń para conocer mas a-
o
cerca de la estrella T Tau Sb, las ecuaciones de posiciń y los sistemas coorde-
o
nados para la ubicaciń de estrellas en la esfera celeste, se dan las ecuaciones
o
necesarias para determinar la distancia a una estrella, se hace menciń de la
o
paralaje trigonom´trica y su relaciń con la distancia, asi como una breve
e o
descripciń del sistema de estrellas doble T Tau y la correspondiente estre-
o
lla T Tau Sb y se presentan las observaciones de posiciń de dicha estrella,
o
tomadas de (ve´se [12]) y una mas proporcionada por Laurent R.Loinard
a
Corvaisier del Centro de Radioastronom´ y Astrof´
ıa ısica de la Universidad
Nacional Autńoma de M´xico (CRyA-UNAM).
o e
El Cap´ıtulo 3 contiene el desarrollo del an´lisis de regresiń, iniciando con
a o
los modelos lineal simple y m´ltiple, para dar paso al an´lisis bayesiano del
u a
modelo de regresiń con una distribuciń a priori no informativa y enseguida
o o
el modelo de regresiń con distribuciń a priori conjugada, se determinan las
o o
distribuciones a posteriori de los par´metros de regresiń, sus estimadores e
a o
intervalos HPD.
Por ultimo, el cap´
´ ıtulo 4 aborda todo lo concerniente a la aplicaciń de
o
los modelos, se dan los resultados obtenidos haciendo una comparaciń entre
o
los resultados cl´sicos y bayesianos, las estimaciones de los par´metros, y se
a a
presentan graficas de las distribuciones a posteriori .
Se obtiene la distancia a la estrella T Tau Sb, utilizando la paralaje
trigon´metrica obtenida con el an´lisis de regresion lineal bayesiano y se
o a
incluyen las conclusiones obtenidas en esta tesis.

5

Cap´
ıtulo 1

Conceptos bayesianos

El concepto de probabilidad es utilizado en la vida diaria y a pesar de que
es una parte tan comń y natural de nuestra experiencia, no existe una unifi-
u
caciń de la interpretaciń de tal concepto, las interpretaciones m´s utilizadas
o o a
son, la interpretaciń cl´sica, la frecuentista y la subjetiva. La interpretaciń
o a o
cl´sica se basa en decir que los resultados son igualmente verosimiles, la fre-
a
cuentista en la frecuencia relativa es decir que un proceso se repita un gran
n´mero de veces.
u
A continuaciń se abordar´ el enfoque subjetivo de la probabilidad y algunos
o a
de los aspectos de inferencia estad´ ıstica m´s utilizados, ahora estudiados des-
a
de la interpretaciń subjetiva de la probabilidad.
o

1.1. Probabilidad subjetiva
La idea principal de la probabilidad subjetiva es dejar que la probabilidad
de un evento refleje la creencia personal en la ocurrencia de ese evento.
De acuerdo con la interpretaciń subjetiva de la probabilidad, ´sta establece
o e
que la probabilidad que un estad´ ıstico asigna a cada uno de los posibles re-
sultados de un proceso, representa su propio juicio sobre la verosimilitud de
que se obtenga ese resultado.
Este juicio estar´ basado en opiniones e informaciń acerca del proceso.
a o
Adem´s, esta interpretaciń subjetiva de la probabilidad puede ser forma-
a o
lizada.
Si los juicios de un estad´
ıstico acerca de las verosimilitudes relativas a

6 Cap´
ıtulo 1. Conceptos bayesianos

diversas combinaciones de resultados, satisfacen ciertas condiciones de con-
sistencia, entonces puede demostrarse que sus probabilidades subjetivas para
los diferentes sucesos posibles, pueden ser determinadas en forma unica.
´

1.2. An´lisis bayesiano
a
En el an´lisis bayesiano, adem´s de especificar el modelo de los datos
a a
observados x = (x1 , ..., xn ), dado un vector de par´metros desconocidos θ,
a
usualmente en la forma de la funciń de probabilidad o funciń de densidad
o o
de probabilidad f (x|θ) se supone que θ es una cantidad aleatoria y que tiene
una distribuciń a priori π(θ). La inferencia concerniente a θ est´ basada en
o a
su distribuciń a posteriori, dada por, el cociente de la distribuciń conjunta
o o
h(x, θ) entre la distribuciń marginal de X.
o

h(x, θ) h(x, θ) f (x|θ)π(θ)
π(θ|x) = = = (1.1)
m(x) h(x, θ)dθ f (x|θ)π(θ)dθ

A la expresiń anterior se le llama teorema de Bayes. N´tese la contribu-
o o
ciń, tanto los datos experimentales (en la forma de la probabilidad f ) y la
o
opiniń a priori (en la forma de la distribuciń a priori π) en la ecuaciń
o o o
(1.1).
Las inferencias se basan en π(θ|x) en lugar de f (x|θ); es decir, en la
distribuciń de probabilidad (del valor desconocido) del par´metro dados los
o a
datos observados, en vez de la distribuciń de los datos dado el valor del
o
par´metro.
a

1.3. Funciń de verosimilitud
o
La funciń de verosimilitud l(θ|x) expresa el proceso por el cual pueden
o
aparecer los datos x en t´rminos del par´metro desconocido θ.
e a

Definiciń 1.3.1 Sea una muestra aleatoria X1 , ..., Xn , de tamaõ n, se
o n
define y se obtiene la funciń de verosimilitud (o conjunta) l(θ|x) como
o
n
i=1 f (xi |θ).

1.3. Funciń de verosimilitud
o 7

En la inferencia cl´sica l(θ|x) representa el modelo estad´
a ıstico del proceso de
generaciń de datos. La estad´
o ıstica cl´sica suele considerar ese proceso como
a
un muestreo aleatorio sobre la poblaciń de datos, y as´ l(θ|x) se interpreta
o ı
como una probabilidad frecuentista por tanto x es una variable aleatoria que
se utiliza para realizar inferencia.
Desde el punto de vista bayesiano l(θ|x) mide los grados de creencia del inves-
tigador de que los datos tomen ciertos valores dada la informaciń hipot´tica
o e
de que los par´metros tomen ciertos valores, adem´s de toda la informaciń
a a o
a priori. El modelo estad´ ıstico no es entonces tanto una hip´tesis sobre los
o
procesos de generaciń de datos, sino una afirmaciń desde el punto de vista
o o
subjetivo del investigador acerca del proceso; afirmaciń que se encuentra
o
condicionada a los valores de los par´metros desconocidos. Es m´s la funciń
a a o
de verosimilitud l(θ|x) es una funciń de θ y tan s´lo es un instrumento para
o o
pasar de la distribuciń a priori a la distribuciń a posteriori.
o o

1.3.1. Principio de verosimilitud
Un principio muy importante para el paradigma bayesiano es el de verosi-
militud que establece en forma expl´ ıcita la idea natural de que s´lo las ob-
o
servaciones actuales x, deber´ ser relevantes para poder establecer conclu-
ıan
siones o tener alguna evidencia sobre θ. Este principio se basa en la funcińo
de verosimilitud l(θ|x) y dice lo siguiente:
Al hacer inferencia o tomar decisones sobre θ despu´s de que x se ha ob-
e
servado, toda la informaciń experimental relevante se encuentra en la fun-
o
ciń de verosimilitud para el x observado. Es m´s, dos funciones de verosimi-
o a
litud contienen la misma informaciń sobre θ si una es directamente propor-
o
cional a la otra como funciń de θ.
o
Algunos aspectos importantes del principio de verosimilitud son los siguien-
tes:

La correspondencia de informaciń a partir de funciones de verosimili-
o
tud proporcionales se aplica s´lo cuando las dos funciones de verosimi-
o
litud son para el mismo par´metro.
a

El principio de verosimilitud se cumple s´
ı:

∀x l1 (θ|x) = αl2 (θ|x) ∀θ.

8 Cap´

Es decir, la razń de las verosimilitudes para los dos experimentos y
o
cada observaciń de los datos es constante.
o

El principio de verosimilitud no dice que toda la informaciń sobre θ
o
se encuentra en l(θ|x), sino que toda la informaciń experimental es la
o
que se encuentra en l(θ|x).

Para los m´todos bayesianos, la verosimilitud no es lo m´s importante,
e a
ya que en comparaciń con los m´todos cl´sicos, en estos la funciń de
o e a o
verosimilitud es el centro alrededor del cual gira todo tipo de inferencia.
Para los m´todos bayesianos la funciń de verosimilitud es tan solo un
e o
instrumento para pasar de la distribuciń a priori π(θ) a la distribuciń
o o
a posteriori π(θ|x).

1.4. Distribuciń a priori
o
Al hacer inferencias sobre un par´metro, generalmente se cuenta con algń
a u
tipo de informaciń (juicios, creencias) acerca de su valor, incluso antes de
o
observar los datos.
La distribuciń a priori π(θ) expresa lo que es conocido del par´metro des-
o a
conocido θ antes de observar algń dato.
u

1.4.1. Determinaciń subjetiva de la distribuciń a priori
o o

Un elemento importante en las decisiones de muchos problemas es la
informaciń a priori que se tenga acerca del par´metro de inter´s θ. La in-
o a e
formaciń que el estad´
o ıstico tiene sobre la verosimilitud de dichos sucesos
debe ser cuantificada a trav´s de una medida de probabilidad sobre el espa-
e
cio param´trico Θ.
e
Si Θ es discreto, el problema se reduce a la determinaciń de la probabilidad
o
subjetiva para cada elemento de Θ. Cuando Θ es continuo, el problema de
construir π(θ) es m´s dif´
a ıcil.

Histograma de aproximaciń
o

Cuando Θ es un intervalo de la l´
ınea real, la aproximaciń por histogramas
o
de π(θ) consiste en

o 9

1. Dividir Θ en subintervalos.

2. Determinar la probabilidad subjetiva para cada subintervalo.

3. Dibujar el histograma de probabilidad.

4. A partir de este histograma, se esboza una densidad π(θ).

Atendiendo la cantidad de subintervalos, se obtendrń desde histogramas
a
burdos (con pocos subintervalos) hasta histogramas muy detallados (gran
cantidad de subintervalos). El tipo de histograma depender´ del tipo de pro-
a
blema, pero en cualquier caso se tienen los siguientes inconvenientes:

- No existe ninguna regla que determine la cantidad de subintervalos que
deben determinarse.

- Ni tampoco alguna que diga que tamaõ deben de tener dichos subin-
n
tervalos.

Existen dos dificultades para esta aproximaciń, las funciones as´ obtenidas
o ı
son dif´
ıciles de trabajar y las funciones de densidad no tienen colas.

Aproximaciń por creencias relativas
o

La aproximaciń por creencias relativas es muy usada cuando Θ es un
o
intervalo de la l´
ınea real, esto consiste simplemente en comparar las proba-
bilidades intuitivas para varios puntos en Θ, y directamente esbozar la dis-
tribuciń a priori para esta determinaciń.
o o
La implementaciń desde el enfoque bayesiano depende del conocimiento pre-
o
vio o subjetivo que se le asigne a la distribuciń de probabilidad, no solo a
o
las variables como x, sino tambiń a los par´metros como θ.
e a
Hist´ricamente un obstćulo importante para el uso generalizado del
o a
paradigma bayesiano ha sido la determinaciń de la forma apropiada de la
o
distribuciń a priori π que es usualmente una ardua tarea.
o
T´ıpicamente, ´sta distribuciń se especifica basńdose en la informaciń
e o a o
acumulada de estudios pasados o de la opiniń subjetiva de los expertos en
o
el ´rea. Con el fin de racionalizar el proceso de elecciń de la distribuciń a
a o o

10 Cap´

priori, as´ como simplificar la carga computacional subsecuente, los experi-
ı
mentos solo limitan a menudo esta elecciń a restringir π a algunas familias
o
de distribuciones familiares.
Una alternativa simple, disponible en algunos casos, es dotar a la dis-
tribuciń a priori con poco contenido informativo, de modo que los datos del
o
presente estudio ser´ la fuerza dominante en la determinaciń de la distribu-
a o
ciń a posteriori.
o

1.4.2. Distribuciń a priori conjugada
o
Supongamos que θ es univariado. Quiz´s la m´s simple aproximaciń
a a o
para especificar π(θ) es primero limitar las consideraciones a una colecciń
o
manejable (a lo mas numerable) de posibles valores considerados de θ y sub-
secuentemente asignar probabilidades de masa a estos valores de tal forma
que su suma sea 1, su relativa contribuciń reflejan al experimentador sus
o
creencias a priori tan cercanas como sea posible.
Si θ es un valor discreto, tal aproximaciń puede ser muy natural. Si θ
o
es continuo, debemos asignar a las masas un intervalo en la l´ ınea real, en
lugar de un solo punto, resultando un histograma a priori para θ. Tal his-
tograma (necesariamente sobre una regiń acotada) parece ser inapropiado,
o
especialmente en lo concerniente a una probabilidad continua f (x|θ), pero
puede de hecho ser m´s apropiada si la integral requiere el c´lculo num´rico
a a e
de la distribuciń a posteriori.
o
Adem´s, el histograma a priori puede tener tantos subintervalos como sea
a
posible as´ como tambiń la precisiń de la opiniń a priori lo permita. Es de
ı e o o
vital importancia, sin embargo, que el rango del histograma sea suficiente-
mente grande, ya que como puede verse en (1.1), el soporte de la distribuciń
o
a posteriori ser´ necesariamente un subconjunto del soporte de la distribu-
a
ciń a priori.
o
Alternativamente, podemos simplemente asumir que la distribuciń a priori
o
para θ pertenece a una familia param´trica de distribuciones π(θ).
e

Al elegir a la distribuciń a priori en una familia de distribuciones es-
o
pec´
ıficas π(θ), algunas elecciones pueden ser convenientemente m´s calcula-
a
bles unas que otras. En particular puede ser posible seleccionar un miembro
de una familia la cual es conjugada para la funciń de verosimilitud l(θ|x),
o

o 11

que es, una que conduce a una distribuciń a posteriori π(θ|x) que pertenece
o
a la misma familia de distribuciones de la distribuciń a priori.
o

Definiciń 1.4.1 Sea la clase F de funciones de densidad f (x|θ), una clase
o
ρ de distribuciones a priori se dice que es una familia conjugada para F si
π(θ|x) est´ en la clase de ρ, para toda f ∈ F y π ∈ ρ.
a

Usualmente para una clase de densidades F , una familia conjugada puede
ser determinada examinando la funciń de verosimilitud l(θ|x). Entonces la
o
familia conjugada puede ser escogida como la clase de distribuciones con la
misma estructura funcional. A esta clase de familia conjugada se le conoce
como distribuciń a priori conjugada natural.
o

Ejemplo 1.4.1 Supongamos que X es el n´mero de mujeres embarazadas
u
que llegan a un hospital para tener a sus bebes durante un mes dado. Supon-
gamos adem´s que la tasa de llegada de las mujeres embarazadas tiene la
a
forma de una distribuciń de probabilidad de Poisson.
o

Se tiene Xi ∼ P oi(θ).

exp{−θ}θxi
f (xi |θ) = ,
xi !
con funciń de verosimilitud
o
exp{−nθ}θnx
l(θ|x) = .
xi !
Para realizar el an´lisis bayesiano requerimos de una distribuciń a priori
a o
para θ, teniendo como soporte la l´ ınea real, una elecciń natural para la dis-
o
tribuciń a priori la da la distribuciń gamma, l(x|θ) ∝ θ(nx−1)+1 exp{−nθ},
o o
es decir una posible familia de distribuciones para π(θ) es la de la distribuciń
o
gamma.

β α θα−1 exp{−βθ}
π(θ) = , θ, α, β > 0,
Γ(α)
o θ ∼ G(α, β), la distribuciń gamma tiene media αβ y varianza αβ 2 .
o

12 Cap´

1.4.3. Distribuciń a priori no informativa
o
En ciertos problemas, el conocimiento inicial sobre el verdadero valor del
par´metro θ puede ser muy d´bil, o vago, ´sto ha llevado a generar un tipo
a e e
de distribuciones a priori llamada distribuciones a priori no informativas, las
cuales reflejan un estado de ignorancia inicial.
Una distribuciń sobre θ se dice que es no informativa si no contiene infor-
o
maciń sobre θ, es decir, no establece si unos valores de θ son m´s favorables
o a
que otros.
Por ejemplo, si se establecen dos hip´tesis simples sobre el valor de θ y asig-
o
namos una probabilidad 1/2 a cada una de ellas, se tiene una situaciń noo
informativa.

M´todo de Jeffreys.
e

Esta tćnica consiste en buscar funciones a priori no informativas invarian-
e
tes, es decir, si existe ignorancia sobre θ, esto implica cierta ignorancia acerca
de φ = h(θ), con la que deber´ verificarse la siguiente condiciń de invarian-
ıa o
za.
Si la a priori no informativa sobre θ es π(θ), la a priori no informativa
−1
sobre φ debe ser π(h−1 (φ))| dh dφ(φ) |.
Jeffreys propuso solucionar esto, definiendo la a priori como la ra´ cuadrada
ız
de la informaciń esperada de Fisher.
o

Definiciń 1.4.2 Si θ ∈ R, se define la informaciń esperada de Fisher
o o
como
∂2
I(θ) = −Eθ log f (x|θ) ,
∂θ2

en donde
Eθ : el valor esperado de la variable aleatoria que es funciń de x.
o
f (x|θ): funciń de densidad de x (que depende de θ).
o
Jeffrey propone que se elija como funciń a priori no informativa la de-
o
terminada por la siguiente ecuaciń,
o

π(θ) ∝ |I(θ)|1/2 .

o 13

Definiciń 1.4.3 Si θ ∈ Rn , se define la matriz de informaciń de Fisher
o o
como aquella matriz n × n cuyas componentes son:
∂2
Iij (θ) = −Eθ log f (x|θ) .
∂θi ∂θj

Jeffrey propone que se elija como funciń a priori no informativa la de-
o
terminada por la siguiente expresiń:
o

π(θ) ∝ [detI(θ)]1/2 .

Ejemplo 1.4.2 Considere un experimento el cual consiste de la observaciń
o
de un ensayo Bernoulli.
f (x|θ) = θx (1 − θ)1−x , x = 0, 1, 0 ≤ θ ≤ 1,

1
∂2
I(θ) = − f (x|θ) log f (x|θ),
x=0
∂θ2

se tiene que
∂2 ∂2
log f (x|θ) = log θx (1 − θ)1−x
∂θ2 ∂θ2
∂
= [xθ−1 − (1 − x)(1 − θ)−1 ]
∂θ
x (1 − x)
= − 2− ,
θ (1 − θ)2
luego entonces,
∂2 x (1 − x)
E log θx (1 − θ)1−x = E − −
∂θ2 θ 2 (1 − θ)2
1
x (1 − x)
= θx (1 − θ)1−x − −
x=0
θ2 (1 − θ)2
= −θ (1 − θ)−1 ,
−1

I(θ) = −(−θ−1 (1 − θ)−1 )
= θ−1 (1 − θ)−1 .

14 Cap´

As´ la distribuciń a priori obtenida mediante el m´todo de Jeffrey es:
ı, o e

π(θ) ∝ θ−1/2 (1 − θ)−1/2 ,

que es el kernel de una densidad beta, por tanto

Γ(1) 1 1
π(θ) = θ 2 −1 (1 − θ) 2 −1 = Beta(1/2, 1/2).
Γ(1/2)Γ(1/2)

Ejemplo 1.4.3

Una densidad de localizaciń-escala es una densidad de la forma
o

σ −1 f ((x − θ)/σ) con θ ∈ R, σ > 0,

los par´metros θ y σ son conocidos, llamados par´metros de localizaciń y
a a o
escala respectivamente.
El par´metro de localizaciń se usa para desplazar una distribuciń hacia un
a o o
lado u otro.
El par´metro de escala define cuń dispersa se encuentra la distribuciń(en el
a a o
caso de la distribuciń normal, el par´metro de escala es la desviaciń t´
o a o ıpica).
La distribuciń normal es una densidad de localizaciń-escala, con los par´me-
o o a
tros σ y θ.
Una muestra aleatoria se dice que tiene una densidad de localizaciń-o
escala si las densidades de cada una de las variables aleatorias es de loca-
lizaciń-escala.
o
Ya que la ditribuciń normal pertenece a este tipo de densidades, se desea
o
encontrar la distribuciń a priori de η = (θ, σ).
o
Se sabe que una distribuciń normal tiene la forma siguiente,
o

2
1 1 x−θ
f (x|θ) = √ exp − ,
2πσ 2 σ

1.5. Distribuciń a posteriori
o 15

el par´metro η = (θ, σ), tiene la matriz de informaciń de Fisher,
a o
∂2 ∂2
∂θ2
ln f (x|θ) ln f (x|θ)
I(η) = −Eη ∂2
∂θ∂σ
∂2
∂θ∂σ
ln f (x|θ) ∂σ 2
ln f (x|θ)
 2 2

∂2 ∂2
∂θ2
− (X−θ)
2σ 2 ∂θ∂σ
− (X−θ)
2σ 2
= −Eη  2 2

∂2 ∂2
∂θ∂σ
− (X−θ)
2σ 2 ∂σ 2
− (X−θ)
2σ 2
2(θ−X)
− σ12 σ3
= −Eη 2(θ−X) 3(X−θ)2
σ3
− σ4
1
σ2
0
= 3 .
0 σ2

De (1.4) se tiene que la distribuciń a priori para η es,
o
1/2
1 3 1
π(η) = π(θ, σ) = · ∝ . (1.2)
σ2 σ2 σ2

o
La informaciń a posteriori de θ dado x , con θ ∈ Θ, est´ dada por la
o a
expresiń π(x|θ) y expresa lo que es conocido de θ despu´s de observar los
o e
datos de x.
N´tese que por la ley multiplicativa de la probabilidad, θ y x tienen la siguien-
o
te funciń de densidad(subjetiva) conjunta,
o

h(x, θ) = π(θ)l(θ|x),

en donde:
π(θ): densidad a priori de θ.
l(θ|x): funciń de verosimilitud,
o
y x tiene funciń de densidad marginal dada por:
o

m(x) = l(θ|x)π(θ)dθ.
Θ

16 Cap´

Si la funcion marginal m(x) = 0,

h(x, θ)
π(θ|x) = ,
m(x)
o sustituyendo
π(θ)l(θ|x)
π(θ|x) = .
l(θ|x)π(θ)dθ

Que es la misma que la ecuaciń (1.1), es decir, el teorema de Bayes.
o

Ahora, dada una muestra de n observaciones independientes, se puede
obtener l(θ|x) y proceder evaluando en la ecuaciń (1.1). Pero evaluar esta
o
expresiń puede ser simplificada, utilizando un estad´
o ıstico suficiente para θ
con funciń de densidad g(S(x)|θ), y esto se enuncia en el lema siguiente.
o

Lema 1.5.1 Sea S(x) un estad´stico suficiente para θ (es decir, l(θ|x) =
ı
h(x)g(S(x)|θ)), m(s) = 0 la densidad marginal para S(x) = s, entonces se
cumple que:
π(θ|x) = π(θ|s)
g(s|θ)π(θ)
= .
m(s)

Demostraciń.
o

l(θ|x)π(θ)
π(θ|x) =
l(x|θ)π(θ)dθ
h(x)g(S(x)|θ)π(θ)
=
h(x)g(S(x)|θ)π(θ)dθ
g(s|θ)π(θ)
= = π(θ|s).
m(s)

Se observa que la ecuaciń (1.1) se puede expresar de la manera m´s corta
o a
conveniente.

o 17

π(θ|x) ∝ l(x|θ)π(θ). (1.3)
En otras palabras la distribuciń a posteriori es proporcional a la verosimili-
o
tud por la a priori, es decir, que la probabilidad es multiplicada por una con-
stante (o una funciń de x), sin alterar a la a posteriori, pues en la ecuaciń
o o
(1.1) el denominador no depende de θ.

Ejemplo 1.5.1

Obtenga la a posteriori para el ejemplo (1.4.2).
Para el ejemplo (1.3.2) se conoce π(θ).
Si r = n xi , entonces la a posteriori es
i=1

π(θ|x) ∝ l(θ|x)π(θ)
∝ θr−1/2 (1 − θ)n−r−1/2 .

De lo anterior se nota, que π(θ|x) tiene una distribuciń beta, pues ha-
o
ciendo
1
α = r + 2,
β = n − r + 1.
2
Se tiene que:

Γ(α + β) α−1
π(θ|x) = θ (1 − θ)β−1 .
Γ(α)Γ(β)

Ejemplo 1.5.2

Obtenga la a posteriori para el ejemplo (1.4.1).
Se tiene que θ ∼ G(α, β), as´ la a posteriori utilizando el teorema de Bayes
ı
(1.1) es,

π(θ|x) ∝ l(θ|x)π(θ)
∝ (exp{−nθ}θnx )(θα−1 exp{−βθ})
∝ θnx+α−1 exp{−θ(n + β)}.

Por lo tanto π(θ|x) = G(nx + α − 1, n + β).

18 Cap´

1.6. Inferencia bayesiana
Los problemas concernientes a la inferencia de θ pueden ser resueltos
fćilmente utilizando an´lisis bayesiano. Dado que la distribuciń a poste-
a a o
riori contiene toda la informaciń disponible acerca del par´metro, muchas
o a
inferencias concernientes a θ pueden consistir unicamente de las caracter´
´ ısti-
cas de esta distribuciń.
o

1.6.1. Estimaciń
o
Estimaciń puntual
o

Para estimar θ, se pueden aplicar numerosas tćnicas de la estad´
e ıstica
cl´sica a la distribuciń a posteriori. La tćnica m´s conocida es estimaciń
a o e a o
por m´xima verosimilitud, en la cual se elige como estimador de θ a θ que es
a
el valor que maximiza a la funciń de verosimilitud l(θ|x).
o
An´logamente la estimaciń bayesiana por m´xima verosimilitud se define
a o a
de la manera siguiente.

Definiciń 1.6.1 La estimaciń de m´xima verosimilitud generalizada de θ
o o a
es la moda m´s grande θ de π(θ|x). En otras palabras el valor de θ, θ que
a
maximiza a π(θ|x), considerada como funciń de θ.
o

Ejemplo 1.6.1

Para la siguiente funciń de verosimilitud, calcular el estimador m´ximo
o a
verosimil de θ,

l(θ|x) = exp{−(x − θ)}I(θ,∞) (x),

y la distribuciń a priori es una Cauchy
o
1
π(θ) = (1 + θ2 )−1 .
π
Luego se tiene que la distribuciń a posteriori es
o
exp{−(x − θ)}I(θ,∞) (x)
π(θ|x) = .
m(x)(1 + θ2 )π

1.6. Inferencia bayesiana 19

ˆ
Para encontrar el θ, se tienen dos posiblidades, la primera es que, si θ > x,
entonces I(θ,∞) = 0, luego π(θ|x) = 0.
La siguiente es que θ ≤ x, entonces I(θ,∞) = 1 y para esto se tiene que:
exp{−(x − θ)}
π(θ|x) = .
m(x)(1 + θ2 )π
Para este θ, calculamos la derivada con respecto a ´l,
e
d d exp{−(x − θ)}
π(θ|x) =
dθ dθ m(x)(1 + θ2 )π
exp{−x} d exp{θ}
=
m(x)π dθ (1 + θ2 )
exp{−x}
= [(1 + θ2 )−1 exp{θ} − 2θ exp{θ}(1 + θ2 )−2 ]
m(x)π
exp{−x} exp{θ}(1 + θ2 ) 2θ exp{θ}
= −
m(x)π (1 + θ2 )2 (1 + θ2 )2
exp{−x} exp{θ}(1 − 2θ + θ2 )
=
m(x)π (1 + θ2 )2
exp{−x} exp{θ} (θ − 1)2
= .
m(x)π (1 + θ2 )2
Ya que la derivada es siempre positiva π(θ|x) se decrementa para θ ≤ x, as´ se
ı
tiene que π(θ|x) se maximiza en θ ˆ = x. Otro estimador bayesiano comń de
u
θ es la media de la a posteriori π(θ|x).

1.6.2. Error de estimaciń.
o
Cuando se hace una estimaciń, es usualmente necesario indicar la pre-
o
cisiń de la estimaciń. La medida bayesiana que se utiliza para medir la
o o
precisiń de una estimaciń (en una dimensiń) es la varianza a posteriori de
o o o
la estimaciń .
o

Definiciń 1.6.2 Si θ es un par´metro de valor real con distribuciń a pos-
o a o
teriori π(θ|x), y δ es el estimador de θ, entonces la varianza a posteriori de
δ es

Vδπ (x) = E π(θ|x) [(θ − δ)2 ].

20 Cap´

o o ˆ
N´tese en la definiciń anterior, que al tener el estimador θ de θ, en este
caso δ, solo se necesita sustituir a δ en la definiciń de la varianza para obte-
o
ner la varianza a posteriori.
Cuando δ es la media a posteriori,
µπ (x) = E π(θ|x) [θ],
entonces V π (x) = Vµ π(x) ser´ llamada varianza a posteriori (y es en efecto
π
a
la varianza de θ para la distribuciń π(θ|x)).
o

La desviaciń estńdar a posteriori es V π (x). Generalmente se utiliza
o a
a la desviaciń estńdar a posteriori Vδπ (x) del estimador δ , como el error
o a
estńdar de la estimaciń δ.
a o
Para simplificar c´lculos que serń utilizados m´s adelante, se puede repre-
a a a
sentar a la varianza a posteriori con la f´rmula siguiente:
o

Vδπ (x) = E π(θ|x) [(θ − δ)2 ]
= E[(θ − µπ (x) + µπ (x) − δ)2 ]
= E[(θ − µπ (x))2 ] + E[2(θ − µπ (x))(µπ (x) − δ)] + E[(µπ (x) − δ)2 ]
= V π (x) + 2(µπ (x) − δ)(E[θ] − µπ (x)) + (µπ − δ)2
= V π (x) + (µπ − δ)2 .
As´ entonces
ı,
Vδπ (x) = V π (x) + (µπ − δ)2 . (1.4)

1.6.3. Estimaciń multivariada
o
La estimaciń bayesiana de un vector θ = (θ1 , ..., θn ) es la estimaciń de
o o
ˆ ˆ ˆ
m´xima verosimilitud generalizada (moda a posteriori) θ = (θ1 , ..., θn ). Sin
a
embargo, por cuestiones de c´lculo y porque la unicidad y existencia no se
a
garantizan en el caso multivariado, es m´s conveniente utilizar la media a
a
posteriori
µπ (x) = (µπ (x), µπ (x), . . . , µπ (x))t = E π(θ|x) [θ],
1 2 n

como el estimador bayesiano, y la precisiń puede ser descrita por la matriz
o
de covarianza a posteriori.
V π (x) = E π(θ|x) [(θ − µπ (x))(θ − µπ (x))t ].


a o i ˆ
El error estńdar de la estimaciń µπ (x) de θi ser´ π π
ıa Vii (x), en donde Vii (x)
π
es el (i, i) elemento de V (x). An´logamente a la ecuaciń (1.7) se tiene que,
a o
el estimador δ de θ, es:

Vδπ (x) = E π(θ|x) [(θ − δ)(θ − δ)t ]
= V π (x) + (µπ (x) − δ)(µπ (x) − δ)t .
N´tese que la media a posteriori minimiza Vδπ (x).
o

1.6.4. Conjuntos cre´
ıbles
El an´logo bayesiano de un intervalo de confianza (IC), suele hacer refe-
a
rencia a un conjunto cre´
ıble.

Definiciń 1.6.3 Un 100 × (1 − α) % conjunto cre´ para θ, es un subcon-
o ıble
junto C de Θ tal que:

 θ∈C π(θ|x) caso discreto
1 − α ≤ P (C|x) =

C
π(θ|x)dθ caso continuo.

Ya que la distribuciń a posteriori es actualmente una distribuciń de proba-
o o
bilidad en Θ, se puede decir subjetivamente que la probabilidad de θ est´ en
a
C. Esta es la diferencia con los procedimientos de la estad´ ıstica cl´sica los
a
cuales s´lo se interpretan como la probabilidad de que la variable aleatoria
o
X sea tal que el conjunto cre´ C(X) contenga a θ.
ıble
Al escoger un conjuto cre´ ıble para θ, de lo que se trata es siempre de
minimizar el tamaõ del intervalo. Para realizar esto, se deben incluir en el
n
conjunto, solo aquellos puntos con la densidad a posteriori m´s grande, es
a
decir, los m´s probables valores para θ.
a

Definiciń 1.6.4 El conjunto cre´ de m´xima densidad a posteriori (HPD)
o ıble a
al 100 × (1 − α) %, es el subconjunto C en Θ de la forma
C = {θ ∈ Θ : π(θ|x) ≥ k(α)},
en donde k(α) es la mayor constante tal que:
P (C|x) ≥ 1 − α.

22 Cap´

Ejemplo 1.6.2

Supńgase que X = (X1 , ..., Xn ) es una muesta aleatoria de una distribuciń
o o
Bernoulli con par´metro θ. Supńgase adem´s que 16 consumidores han sido
a o a
seleccionados por una cadena de comida r´pida para comparar dos tipos de
a
hamburguesas de carne molida en base al sabor, en la cual una hamburguesa
es m´s cara que la otra. Despés de someterlos a la prueba, los consumidores
a u
dan sus puntos de vista de estos dos tipos de hamburguesa. El resultado es
que 13 de los 16 consumidores prefieren la hamburguesa m´s cara.
a
Supńgase que θ es la probabilidad de que un consumidor prefiera la ham-
o
burguesa m´s cara.
a
1 si el consumidor i prefiere la hamburguesa m´s cara
a
Yi = .
0 en otro caso
Como las desiciones de los consumidores son independientes y θ es constante
sobre los consumidores, esto forma una secuencia de pruebas Bernoulli. Se
define X = Yi , se tiene entonces que X|θ ∼ Binomial(16, θ), entonces la
funciń de densidad de X es,
o

16
f (x|θ) = θx (1 − θ)16−x .
X

Luego realizando los calculos pertinentes se llega a que

π(θ|x) = Beta(α + x, β − x + 16).

Utilizando el software ANESBA, se calcula el HPD al 95 % y se obtiene
el intervalo (0.6867,0.9387), que quiere decir que la probabilidad de que el
estimador de θ este en ese intervalo es de 0.95.

En la figura (1.1) se puede ver la distribuciń a posteriori del consumo
o
de hamburguesas, y en efecto se ve que el estimador se encuentra dentro del
intervalo mencionado anteriormente.

Diferencia entre los conjuntos cre´
ıbles y los intervalos de confianza

Bayesianamente un conjunto cre´ ıble C al (1 − α)100 % significa que, la
probabilidad de que θ est´ en C dados los datos observados es al menos (1−α).
e
En otras palabras, un conjunto cre´ da la certeza de que dada la muestra
ıble


4
3
Densidad a posteriori

2
1
0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

θ

Figura 1.1: Gr´fica de la distribuciń a posteriori derivada del consumo de hamburguesas.
a o

aleatoria tal conjunto C contenga a θ con al menos una probabilidad de
(1 − α).
Cl´sicamente un intervalo de confianza al (1 − α)100 % significa que, si se
a
pudiera calcular C para una gran cantidad de conjuntos de muestras aleato-
rias, cerca del (1 − α)100 % de ellos cubrir´ el valor real de θ.
ıan
Es decir, si se generan 100 conjuntos de muestras aleatorias, y se calcula el
intervalo de confianza para cada caso (no necesariamente iguales para cada
caso), al menos (1 − α)100 cubrir´ a θ, sin embargo, la desventaja principal
ıan
que tienen los intervalos de confianza cl´sicos es que no siempre se pueden
a
generar tantas muestras aleatorias.

1.6.5. Contraste de hip´tesis
o
Una hip´tesis estad´
o ıstica consiste en una afirmaciń acerca de un par´metro.
o a
Lo que se desea saber al formular una hip´tesis es saber si es verdadera o
o
falsa. Usualmente, la hip´tesis de la que se pretende averiguar si es verdadera
o
o falsa, se denomina hip´tesis nula, esta se contrasta con la afirmaciń con-
o o
traria a ella llamada hip´tesis alternativa. En la estad´
o ıstica cl´sica para el
a
contraste de hip´tesis se tienen, la hip´tesis nula H0 : θ ∈ Θ0 y la hip´tesis
o o o
alternativa H1 : θ ∈ Θ1 . El procedimiento de contraste se realiza en t´rminos
e
de las probabilidades de error tipo I y error tipo II , estas probabilidades de
error representan la posibilidad de rechazar la hip´tesis nula dado que es ver-
o

24 Cap´

dadera o de no rechazar la hip´tesis nula dado que es falsa, respectivamente.
o
Bayesianamente, la tarea de decidir entre H0 y H1 es m´s simple. Pues
a
solamente se calculan las probabilidades a posteriori α0 = P (Θ0 |x) y
α1 = P (Θ1 |x) y se decide entre H0 y H1 . La ventaja es que α0 y α1 son las
probabilidades reales de las hip´tesis de acuerdo a los datos observados y las
o
opiniones a priori.
Se denotar´ como π0 y π1 a las probabilidades a priori de Θ0 y Θ1 respecti-
a
vamente.

π0
Definiciń 1.6.5 Se llamara razń a priori de H0 contra H1 al cociente
o o π1
.
An´logamente, razń a posteriori de H0 contra H1 al cociente α0 .
a o α1

Si la razń a priori es cercana a la unidad significa que se considera que
o
H0 y H1 tienen inicialmente (casi) la misma probabilidad de ocurrir. Si este
cociente de probabilidades es grande significa que se considera que H0 es
m´s probable que H1 y si el cociente es pequeõ (< 1) es que inicialmente se
a n
considera que H0 es menos probable que H1 .

Definiciń 1.6.6 La cantidad
o
α0 /α1 α 0 π1
B= = ,
π0 /π1 α 1 π0
es llamada factor de Bayes en favor de Θ0 .

El factor de Bayes se interpreta como la razń para H0 con respecto a H1
o
est´ dada por los datos. Esto se puede ver fćilmente cuando se tienen hip´tesis
a a o
simples, Θ0 = {θ0 } y Θ1 = {θ1 }, as´ se tiene
ı
π0 f (x|θ0 ) π1 f (x|θ1 )
α0 = , α1 = ,
π0 f (x|θ0 ) + π1 f (x|θ1 ) π0 f (x|θ0 ) + π1 f (x|θ1 )

α0 π0 f (x|θ0 )
= ,
α1 π1 f (x|θ1 )
α0 π1 f (x|θ0 )
B= = .
α1 π0 f (x|θ1 )
En otras palabras, B es la razń de probabilidad de H0 contra H1 .
o


Adem´s, n´tese que el factor de Bayes proporciona una medida de la
a o
forma en que los datos aumentan o disminuyen las razones de probabilidades
de H0 respecto de H1 . As´ si B > 1 quiere decir que H0 es ahora relativamente
ı,
m´s probable que H1 y si B < 1 ha aumentado la probabilidad relativa de
a
H1 .

Contraste de una cola o unilateral

Este sucede cuando Θ ⊆ R y Θ0 es totalmente un lado de Θ1 , es decir.

H0 : θ ≤ θ0
H1 : θ > θ 0 ,
o el otro caso
H0 : θ ≥ θ0
H1 : θ < θ 0 .
Lo interesante de este tipo de contraste es que el uso del valor −p del enfoque
cl´sico tiene una justificaciń bayesiana.
a o
Ejemplo 1.6.3
Supńgase que X ∼ N (θ, σ 2 ) y θ tiene una a priori no informativa π(θ) = 1,
o
entonces
1 (θ − x)2
π(θ|x) = √ exp −
2πσ 2σ 2
El contraste a realizar es el siguiente:
H0 : θ ≤ θ0
H1 : θ > θ 0 ,
luego,
α0 = P (θ ≤ θ0 |x) = Φ((θ0 − x)/σ).
Cl´sicamente el valor − p es la probabilidad, cuando θ = θ0 . Aqu´ el valor − p
a ı
es,
valor − p = P (X ≥ x) = 1 − Φ((x − θ0 )/σ),
ya que la distribuciń normal es sim´trica, se tiene que el valor − p es el
o e
mismo que α0 .

26 Cap´

Contraste de hip´tesis nula puntual
o

El contraste de hip´tesis nula puntual se refiere al siguiente contraste
o

H0 : θ = θ 0
H1 : θ = θ 0

que es interesante porque a diferencia del contraste cl´sico, contiene nuevas
a
caracter´
ısticas pero principalmente porque las respuestas en el enfoque baye-
siano difieren radicalmente de las que da el enfoque cl´sico.
a
Casi nunca se da el caso en que θ = θ0 exactamente. Es m´s razonable
a
tener a la hip´tesis nula como θ ∈ Θ0 = (θ0 − b, θ0 + b), en donde b > 0
o
es alguna constante elegida de tal forma que para cada θ ∈ Θ0 puede ser
considerada indistinguible de θ0 .
Si b llega a ser muy grande, ya no es recomendable utilizar el contraste
por hip´tesis nula puntual, porque no da buenos resultados. Dado que se
o
debe hacer el contraste H0 : θ ∈ (θ0 − b, θ0 + b), se necesita saber cuan-
do es apropiado aproximar H0 por H0 : θ = θ0 . Desde la perspectiva del
an´lisis bayesiano, la unica respuesta a esta pregunta es, la aproximaciń
a ´ o
es razonable si las probabilidades a posteriori de H0 son casi iguales en las
dos situaciones. Una condiciń fuerte cuando ´ste sea el caso es que la fun-
o e
ciń de distribuciń conjunta de probabilidad (verosimilitud) observada sea
o o
aproximadamente constante en (θ0 − b, θ0 + b).
Para llevar a cabo el contraste bayesiano para una hip´tesis nula puntual
o
H0 : θ = θ0 , no se utiliza una densidad a priori continua, ya que en cualquiera
de estos casos θ0 dara una probabilidad a priori cero. Se debe utilizar una
distribuciń inicial mixta que asigne probabilidad π0 al punto θ0 y distribuya
o
el resto, 1 − π0 en los valores θ = θ0 es decir la densidad π1 g1 (θ), con una
densidad propia g1 , en donde π1 = 1 − π0 .
Si X1 , ..., Xn es una muestra aleatoria simple de la variable aleatoria X,
la densidad marginal de X = (X1 , ..., Xn ) es:

m(x) = π0 f (x|θ0 ) + (1 − π0 )m1 (x),

donde m1 (x) = θ=θ0
f (x|θ)g1 (θ)dθ es la densidad bajo H1 . Entonces la prob-


abilidad a posteriori de θ = θ0 es:

α0 = P (θ0 |x)
f (x|θ0 )π0
=
m(x)
f (x|θ0 )π0
=
f (x|θ0 )π0 + (1 − π0 )m1 (x)
f (x|θ0 )π0
= ,
f (x|θ0 )π0 + π1 m1 (x)

luego

α0 P (θ0 |x)
=
α1 1 − π(θ0 |x)
P (θ0 |x)
= f (x|θ0 )π0 +π1 m1 (x)−f (x|θ0 )π0
f (x|θ0 )π0 +π1 m1 (x)
f (x|θ0 )π0
= .
π1 m1 (x)

Entonces el factor de Bayes de H0 contra H1 es,
α0 π1
B =
α1 π0
π0 f (x|θ)π1
= ,
π1 m1 (x)π0

f (x|θ0 )
B= .
m1 (x)

1.6.6. Inferencia predictiva
Los problemas predictivos en estad´ ıstica son aquellos en los cuales las
cantidades desconocidas de inter´s son las futuras variables aleatorias.
e
o ıpica de este tipo es cuando la variable aleatoria Z, tiene una
Una situaci´n t´
densidad g(z|θ) (θ desconocida), y se quiere predecir un valor de Z cuando
existen datos , x, derivados de una densidad h(x|θ). Por ejemplo, x pueden ser
los datos de un estudio de regresi´n, y se desea predecir una futura respuesta
o

28 Cap´

de la variable aleatoria Z, en la regresiń.
o
La idea es predecir a la variable aletoria Z ∼ g(z|θ) basado en la observaciń
o
de X ∼ h(x|θ).
Ahora, se supone que X y Z son independientes y g es una densidad (si no
fueran independientes, ser´ necesario cambiar g(z|θ) por g(z|θ, x)). La idea
ıa
de la predicciń bayesiana es que, ya que π(θ|x) es la distribuciń a posteriori
o o
de θ, entonces g(z|θ)π(θ|x) es la distribuciń conjunta de Z y θ dado X, y
o
al integrar sobre θ se obtenie la distribuciń a posteriori de Z dado X.
o

Definiciń 1.6.7 La densidad predictiva de Z dado X = x, cuando la
o
distribuciń a priori para θ es π, est´ definida por
o a

P (z|x) = g(z|θ)π(θ|x)dθ.
Θ

Ejemplo 1.6.4

Consideremos el siguiente modelo de regresiń lineal.
o

Z = θY + ε,

donde ε ∼ N (0, σ 2 ) con σ 2 conocido, y supńgase que se tiene un conjunto
o
de datos disponibles ((z1 , y1 ), ..., (zn , yn )).
Un estad´ıstico suficiente para θ, es el estimador por m´
ınimos cuadrados X,en
donde
n
i=1 Zi yi
X= n 2
.
i=1 yi

Como Zi es normal y X es combinaciń lineal de normales, entonces X ten-
o
dr´ una distribuciń normal.
a o

X ∼ N (θ, σ 2 /Sy),

en donde:
Sy = n yi .
i=1
2

Si se utiliza una a priori no informativa π(θ) = 1 para θ, la distribuciń a
o
2
posteriori, π(θ|x) ∼ N (x, σ /Sy).


Ahora se obtiene la probabilidad de Z dado X:
∞
1 1 1
P (z|x) = √ exp − 2 (z − θy)2 √ ×
−∞ 2πσ 2σ 2πσ/ Sy
1
exp − 2 (θ − x)2 dθ
2σ /Sy
∞
Sy 1
= exp − [(z − θy)2 + Sy (θ − x)]2 dθ.
2πσ 2 −∞ 2σ 2

Desarrollando separadamente [(z − θy)2 + Sy (θ − x)]2 , se tiene:

[(z − θy)2 + Sy (θ − x)]2 = z 2 + Sz x2 + θ2 y 2 + Sy θ2 − 2Sy xθ + Sy x2
= z 2 + Sy x2 + θ2 (y 2 + Sy ) − 2θ(yz + Sy x)
2
2 z 2 + Sy x2 (yz + Sy x)2 yz + Sy
= (y + Sy ) − + θ− 2 .
y 2 + Sy (y 2 + Sy )2 y + Sy

Luego sustituyendo nuevamente la expresi´n anterior en p(z|x),
o
√
Sy (y 2 + Sy ) z 2 + Sy x2 (yz + Sy x)2
P (z|x) = exp − − ×
2πσ 2 2σ 2 y 2 + Sy (y 2 + Sy )2
∞ 2
1 yz + Sy
exp − 2 2 θ− 2 dθ
−∞ 2σ /(y + Sy ) y + Sy
√
Sy (y 2 + Sy ) z 2 + Sy x2 (yz + Sy x)2 σ
= exp − − 2π
2πσ 2 2σ 2 y 2 + Sy (y 2 + Sy )2 y2+ Sy
 
1  1 
2
= √ exp (z − xy) .
2
2πσ y +Sy  2σ 2 ( y2 +Sy ) 
Sy Sy

Finalmente se tiene:
σ 2 (y 2 + Sy )
P (z|x) = N xy, .
Sy

30 Cap´

31

Cap´
ıtulo 2

Conceptos astron´micos.
o

2.1. Sistemas de coordenadas.
La rotaciń diaria de la Tierra junto con su movimiento alrededor del Sol
o
y la precesiń sobre su eje de rotaciń, aunado al movimiento relativo de las
o o
estrellas, planetas y otros objetos, dan lugar al constante cambio de posiciń o
aparente de los objetos celestes.
Se puede imaginar que todos los objetos estń localizados en la esfera celeste.
a
Para localizar la posiciń de un objeto en ´sta esfera celeste es necesario crear
o e
un sistema de coordenadas, el cual consta de tres componentes b´sicas; un
a
gran c´ ırculo, la elecciń de una direcciń positiva del eje de simetr´ del
o o ıa
c´
ırculo y un punto de referencia sobre este c´ ırculo.

Definiciń 2.1.1 Gran c´
o ırculo es la curva resultante de la intersecciń de
o
una esfera con un plano que pasa por el centro de dicha esfera.

Se necesita un punto por encima del gran c´ ırculo, que es el que nos va a dar
la referencia de Norte y Sur. Y un punto de referencia en el per´ ımetro del
gran c´rculo, apartir del cual se tomaran las medidas.
ı
Un ejemplo de esto es el sistema de coordenadas terrestre, con el ecuador
como gran c´ırculo, el polo Norte como el punto encima del c´ırculo y finalmente
el punto en el que el meridiano de Greenwich que corta al ecuador terrestre
como punto de referencia sobre el c´ ırculo.
Cabe destacar que los sistemas de coordenadas que se utilizan en la As-
tronom´ son sistemas de coordenadas en dos dimensiones, y no en tres di-
ıa

32 Cap´
ıtulo 2. Conceptos astron´micos.
o

mensiones como se piensa que deber´ ser, la razń es que no se tiene idea
ıa o
de la medida de profundidad de los objetos celestes.
El sistema mas simple de coordenadas que se puede concebir se basa en
el horizonte local del observador. El sistema de coordenadas altitud-acimut
est´ basado en la medida del ńgulo acimut a lo largo del horizonte y el
a a
ńgulo de altitud por encima del horizonte.
a
Cenit es el punto justo arriba del observador.
Vertical son llamados los gran c´ırculos que pasan por el cenit.

Definiciń 2.1.2 La altura h es la medida del ńgulo, desde el horizonte
o a
hasta la vertical que pasa a trav´s del objeto, se mide en el rango de [−90◦ , +90◦ ],
e
es positiva si el objeto se encuentra por arriba del ecuador celeste y negativa
si se encuentra por debajo.

Definiciń 2.1.3 La distancia cenital z es el ńgulo medido del cenit al
o a
◦
objeto, y cumple que z + h = 90 (complemento de la altura).

Definiciń 2.1.4 El acimut A es la medida del ńgulo a lo largo del hori-
o a
zonte hacia el este desde el norte en el gran c´
ırculo, utilizado para la medida
de altitud.

En la Figura 2.1, se puede ver como se ubican estas medidas en la esfera
celeste.
Cenit

Estrella

Oeste

z
O Norte
Sur
h

A

Horizonte
Este

Figura 2.1: Sistema de coordenadas altitud-acimut.

2.1. Sistemas de coordenadas. 33

Sin embargo el sistema de coordenadas altitud-acimut es dif´ de utilizar
ıcil
en la prćtica, porque las coordenadas dependen de la ubicaciń del obser-
a o
vador. Dos personas en dos lugares distintos mediran coordenadas diferentes
para el mismo objeto. Para la definiciń de un sistema m´s apropiado se
o a
necesita definir el ecuador celeste y la ecl´
ıptica.

Definiciń 2.1.5 El ecuador celeste es un gran c´
o ırculo en la esfera celeste
en el mismo plano que el ecuador de la Tierra y por tanto perpendicular al
eje de rotaciń de la Tierra. En otras palabras, es la intersecciń entre el
o o
ecuador terrestre en la esfera celeste.

Definiciń 2.1.6 La Ecl´
o ıptica es la l´
ınea curva por donde transcurre el
Sol alrededor de la Tierra, en su movimiento aparente visto desde la Tierra.
Est´ formada por la intersecciń del plano de la ´rbita terrestre con la esfera
a o o
celeste.

Como resultado de la inclinaciń del eje de rotaciń de la Tierra, la ecl´
o o ıptica
◦
est´ inclinada 23.5 con respecto al ecuador celeste.
a
Los dos puntos de la esfera celeste en los que se corta la ecl´ ıptica con el
ecuador celeste son denominados equinoccios. En este caso el ecuador celeste
ser´ tomado como un gran c´
a ırculo, el punto por encima del ecuador celeste
que se utiliza en este sistema de coordenadas, es llamado polo norte celeste
y es la intersecciń entre el eje de rotaciń de la Tierra y la esfera celeste.
o o
Finalmente, el punto de referencia sobre el c´ırculo ser´ el equinoccio vernal.
a

Definiciń 2.1.7 La declinaciń δ es equivalente a la altitud y es medida
o o
en grados de norte a sur a partir del ecuador celeste.

Definiciń 2.1.8 La ascenciń recta α es an´loga al acimut y es medida
o o a
en direcciń este a lo largo del ecuador celeste, desde el equinoccio vernal (γ)
o
hasta su intersecciń con el c´rculo horario del objeto.
o ı

La ascenciń recta se mide en horas, minutos y segundos, 24 horas de ascen-
o
siń recta son equivalentes a 360◦ , o 1 hora = 15◦ .
o
Ya que el sistema de coordenadas ecuatoriales se basa en el ecuador celeste
y el equinoccio vernal, cambios en la latitud y longitud del observador no
afectan los valores de la ascenciń recta y la declinaciń. Los valores de α
o o

34 Cap´
o

Polo norte celeste

Estrella

Tierra δ Ecuador celeste

α

γ

ecliptica

Figura 2.2: Sistema de coordenadas ecuatoriales.
α, δ, γ son la ascenciń recta, declinaciń y posiciń del equinoccio vernal respectivamente.
o o o

y δ no son afectados similarmente por el movimiento de la tierra alrededor
del sol. En la Figura 2.2, se muestra el sistema de coordenadas ecuatoriales
descrito.
A pesar de las referencias del sistema de coordenadas ecuatorial con el
ecuador celeste y su intersecciń con la ecl´
o ıptica (equinoccio vernal), existe
un movimiento llamado precesiń, el cual hace que el equinoccio vernal no
o
suceda en el mismo lugar cada aõ, y por lo tanto la ascenciń recta y la
n o
declinaciń del objeto cambien un poco.
o

Definiciń 2.1.9 Precesiń es el lento tambaleo del eje de rotaciń de la
o o o
Tierra, debido a la forma no esf´rica de ´sta y a su interacciń gravitacional
e e o
con el Sol y la Luna.

El peri´do de precesiń de la Tierra es de 25 770 aõs y causa que la
o o n
proyecciń del polo norte celeste sobre la esfera celeste describa un pequeõ
o n
c´
ırculo (Ve´se [6]). Ya que la precesiń altera la posiciń del equinoccio vernal
a o o
a lo largo de la ecl´ptica, es necesario referirse a una ´poca espec´
ı e ıfica (refe-
rencia) para definir la ascenciń recta y la declinaciń de un objeto celeste.
o o
El valor actual de α y δ, se pueden calcular basńdose en la cantidad de
a
tiempo transcurrido a partir de la ´poca de referencia.
e

2.2. Determinaciń de las ecuaciones.
o 35

La ´poca utilizada comunmente en la actualidad por los cat´logos astron´mi-
e a o
cos de estrellas, galaxias y otros fen´menos celestes refiere a la posiciń de
o o
un objeto al medio d´ en Greenwich, Inglaterra el 1 de enero del 2000.
ıa
El calendario utilizado comunmente en la mayor´ de los pa´
ıa ıses es el
calendario Gregoriano, sin embargo los astrńomos no se preocupan por los
o
aõs bisiestos como en el calendario Gregoriano, a ellos m´s bien lo que les
n a
interesa es el n´mero de d´ (o segundos) entre eventos. Ellos normalmente
u ıas
cuentan los eventos a partir de tiempo 0 que fue el 1 de enero de 4713 A.C.
como lo especifica el calendario Gregoriano , y JD 0.0 para el calendario
Juliano. La fecha de referencia 1 de enero del 2000 (J2000.0) es JD 2451545.0,
y para referise a las 6 pm del d´ 1 de enero del 2000 lo que se hace es que se
ıa
suma la fraccion del d´ entonces esta fecha se designa como JD 2451545.25.
ıa
El aõ Juliano consta de 365.25 d´ (Ve´se [6]).
n ıas a

o
Las estrellas tienen un movimiento propio, a trav´s de la b´veda celeste
e o
que se puede describir generalmente como un movimiento con una aceleraciń o
constante.
Cuando un objeto se encuentra en movimiento, con una aceleraciń cons- o
tante, es importante determinar su posiciń x(t) al instńte t, la cual est´ da-
o a a
da por las ecuaciones de la cinem´tica.
a

1
x(t) = x0 + v0 t + at2 , (2.1)
2

donde:
v0 : velocidad del objeto al tiempo t = 0.
x0 : la posiciń del objeto al tiempo t = 0,
o
a: aceleraciń.
o
El movimiento de las estrellas en la b´veda celeste refelaja un cambio de
o
sus coordenadas ecuatoriales. El Sol, la Luna y los planetas manifiestan un
movimiento complejo y relativamente r´pido en el cielo. Las estrellas tambiń
a e
se mueven con respecto de las dem´s, aunque su velocidad actual puede ser
a
muy grande, su movimiento relativo aparente es muy dif´ de medir por la
ıcil
grandes distancias a las que se encuentran.

36 Cap´
o

Consid´rese la velocidad de una estrella relativa a un observador (Figura
e
2.3). Con θ el ńgulo de cambio en el movimiento, D distancia a la estrella
a
suponiendo que es constante y r distancia que se mueve la estrella.
estrella
r
v
vθ vr
estrella

D

θ

Figura 2.3: Movimiento propio.

El vector velocidad se puede descomponer en componentes mutuamente
perpendiculares, una a lo largo de la l´ınea de visiń del observador y la otra
o
perpendicular. La componente a lo largo de la l´ ınea de visiń es la velocidad
o
radial, vr de la estrella y la segunda componente que es la de nuestro inter´se
es la velocidad transversal, vθ de la estrella, a lo largo de la esfera celeste.
Esta velocidad transversal aparece como un cambio angular lento en el sis-
tema de coordenas, conocido como movimiento propio.
En un intervalo de tiempo dt la estrella se mueve en direcciń perpendicular
o
a la l´
ınea de visiń del observador una distancia
o

dr = Ddθ.

Si la distancia del observador a la estrella es D, entonces el cambio angular
dθ
en su posiciń a lo largo de la esfera celeste es
o , que se obtiene al derivar
dt
la distancia recorrida por la estrella con respecto al tiempo.

dr d(Dθ) dθ
= =D ,
dt dt dt
en donde
dθ
= µ : movimiento propio de la estrella.
dt

o 37

Al encontrar la segunda derivada de la distancia recorrida por la estrella con
respecto al tiempo, se tiene que

dr2 d2 (Dθ) d2 θ
= = D 2.
dt2 dt2 dt

As´ como se esta suponiendo una aceleraciń constante, de acuerdo a la
ı o
ecuaciń (2.1),
o

dθ 1 d2 θ 2
r = r0 + D t+D t,
dt 2 dt2
dθ 1 d2 θ 2
Dθ = Dθ0 + D t + D t,
dt 2 dt2

dθ 1 d2 θ 2
θ = θ0 + t+ t. (2.2)
dt 2 dt2

Ahora aplicando, la ecuaciń (2.2) se tienen las ecuaciones de posiciń
o o
para la ascenciń recta (α) y la declinaciń (δ), respectivamente.
o o

1
α(t) = α0 + µα t + aα t2 , (2.3)
2

1
δ(t) = δ0 + µδ t + aδ t2 , (2.4)
2
en donde:
α0 : posiciń en α al tiempo 0, en este caso para el aõ 2000 (J2000),
o n
δ0 : posiciń en δ al tiempo 0, J2000,
o
µα : movimiento propio en α,
µδ : movimiento propio en δ,
aα : aceleraciń en α,
o
aδ : aceleraciń en δ.
o
Sin embargo, tomando en cuenta que dadas las ascenciones rectas α1 y
α2 de dos estrellas la diferencia es ∆α = (α1 − α2 ) cos δ, entonces la ecuaciń
o
(2.3) queda de la siguiente forma,

1
α(t) = α0 + (µα cos δ)t + (aα cos δ)t2 . (2.5)
2

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