libro digital matematicas tres parte uno prepa abierta del plan de 33 materias

1. .Matemáticas "111"
I
PREPARATORIAABIERTA

2. El contenido académico de este texto es exclusiva responsabllidad del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y .su Úldice pertenece al programa
. correspondiente al.plan de estudios del nivelmedio superior~para la ~ateria de
MATEMA TICA
UNIDADES 'IX-XII
AUTORES:
.
Humherto Cantú Salinas
Rector paz Estrada
REVISO: Jaime Navarro Cuevas
COMITE ACADEMICO
DE MATEMATICA: Humberto Cantú Salinas, MoisésGaliciaArrambide, Roberto
GarcÍl Martínez, Gustavo Mendoza"González, Héctor paz
Estrada. . .
ADAPTARON: .Luis Felipe Robles G.
Enrique Morales B.
Andrés Ra.mírez y Vitia
Laeducac.lon es una responsabilidad compartida y en consecuen-
cia invitamos atentamente a toda persona interesada en colabo-
rar para resolver la problemática' educativa, a que remita sus
comentarios, criticas y sugerencias con respecto a esta obra ~ I~
Dirección General de Educación Extraescolar de la SEP,
Sus aportaciones serán apreciadas en todo loque valen y permiti-
rán perfeccionary adecuar permanentemente.estos materialesa '
~ascambiantes condiciones de la época actual.
@ SEP. 1993
DER'ECHOS.RESERV ADOs
ISBN 970-18-0598-4
Guías y exámenes para
Evaluarse correo
mv1980@live.com.mx
WhatsApp 55 91038543

3. Indice
Prólogo. . . . . . . .'.. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .. 11
Instrucciones para el alumno' .. .. ..... . .. .. .. .. . . . .. .: .. .. .. .. . . ... ..'.. .. . 13
Notación. .'.'.. . .l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . .. . '¡' . . .15
, UNIDAD IX. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~.. . . . . . . . .17
'Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Objetivosgenerales. . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
. Diagramatemático,estnlctural ,~,.. . . . . . . ... . . . . . .. . . . ~ . . . . . .,.21
Glosario. . . ',' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . '. .,. .'. . . . . . 22
'
Módulo 1 '. . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . .'. . . . . ." . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . .23
Objetivos esPecíficos. . . . ... ..~ . .~ . . . . : . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
,Esquema-resumen. . . . . '. . . . '~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Contenido:
1.1 Relaciones lineales' ;. . . . . . . . . ~. . . . , . . . . . . . . . ',' '.'. . . . . . . ~ . . . . .24
1.11,Ecuaciones'lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . .24
1.12 Función lineal. . .'. . . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . '. . . .' . . . . . . .29
Reactivosdf"autoev~uación , ..........'....36
Mbdulo 2 ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Objetivosespecíficos. . . . . . . . . .. .. .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Esquema-resumen. . . . . . .'. " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .39
Conteiúdo: '
2.1 Sistemasde'ecuacioneslineales 40
2.2 Solución de sistemasde ecuacioneslineales co~ dos variables. . . . . . .43
2.21 Método gráfico. . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ",' . . . . ,.'.'. . . . .43
2.22 Método por suma o 'resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "~:.. .45
2.23 Método,desustitución~ '.. ',' . . . . . . . . .. . . . .. . . . .'..47
Reactivosde,autoevaluación' 54
Módulo3 ' '...........................~.......59
Obje~vos específicos. . . . . . . . . . . . . . .
"
. . . . . .. . . . .~ . . . . . . . . . . . . . .59
Esquema-resumen, :... '. . .. . . . . . . .'~. . .'.. . . . . . . . ! .. . .. .59
Contenido:
3.1 Solución .desistemas ueecuacionesline81es con tres variables. .. .. ..60
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . 64
Módulo 4 ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . ~ . . . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . .65
Objetivos específicos. . . ~ . . . lo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ... . . .65
Esquema-~e8Umen '. '. . . . . ..'. . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . . . '¡' . . . . . . . . .65
Contenido: '
4.1 Sistema de 'd~sigualdadeslineales con d~s variables. . . . . . . . . . . . . .,66
Reactivosdeautoevaluación ,,... .. .. . . . ..'.... . .. .. ..77

4. Bibliografíade la Unidad. . . .. .. .. . . . .. .. . . . .. . . , .. . . . .. , . . . .., 81
Panelesde verificación. . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . , , . . . .'. . . . . . .. 82
UNIDADX. Númeroscomplejost ~ ¡ ............. ... 95
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
Objet~vos generales. . . . .'~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
Diagrama :temático estmctural ~........................... 99
Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ; . . . . . . . .. 100
Módulo5 ' 101
, Objetivosespecíficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . . , .. 101
Contenido: '.
5. Números complejos. . . . . .'. . . . ~ . . . . . . . . . . . ." . . . . . . ~ . . . . . . . 102
5.1 Suma de números complejos . ~',' .'.. .. . ... . ... . .'... .. .. .. .. 104
5.11 Propiedadesoonmutativasy asociativaspara la sUmaen e ..~ .... 104
Reactivos de autoevaluación ..., . .'. .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. 106
Módulo6 '... .. .. . .. .~.. .. .. .. ,. ..'.. . ,. 107'
Ob' . '
f' 107~etlvos espec l ICOS , ,.,.
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 ~7
Contenido:
6.1 Multiplicación de números complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. 108
6.11 Propiedad conmutativa para la multiplicación. . . . . . . . . , . . . . " 108
6.12 Identidad multiplicativa ,.,.., ~.......,....' 109
6.2 El conjunto de los números complejoses un campo. . . . . . , . . . . ,. 111
Reactivosdeautoevaluación .., , , 115
Módulo7 , ............................ 117
Objetivos específicos, . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . ,. . . . . , . . . . . . . , ., 117
Esquema-resumen. . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
Contenido: , -
7.1 Forma rectangular de los números complejos. . . . . . . . . . . . . . ~ . .. 118
7.2 Definición de resta. . . . . . . . . . . . . . , . ... . . . . . . . . . . , . . . . . . . .. 120
7.3 División de niuneros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 120
Reactivos de autoevaluación . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .. 122
Módulo8 '.., ' , ,.,..,... 125
Objetivosespecíficos. . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . , . . . , " 125
Contenido:
, :8.1 Números com.plejos que son raíces cuadradas. . ..~ .. .. .. . ... . ,
8.2 Representacióngeométrica , , ,
Reactivos de Autoevaluáción ...,." , ~, , . . ,
Bibliografía de la Unidad, .. . .. . .".. . ; , . . . . . " "". . . . . . . . . . . . . . . . , . . . .
Paneles de veri(icación ' ,.., ,.., ,..
126 '
127
128
131
132

5. . UNIDADXI. Funciones cuadráticas ' 137
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . 139
Objetivosgenerales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . .140
Diagramatemático estructUral. . . ~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . ". . . . . . . . " .141
Glosarío .........................142'
Módulo9 ~............................ ...143
Objetivosespecíficos. . . . '.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . .'. . . .143
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
Contenido:
9.1Lafuncióncuadrática .144
Reactivosdeautoevaluación .150
Módulo 10 .. o . o . o . . . . o . . . . o . . o o. o . . . . . . . . . . . : o. o o. o . o . . o . . . . . . . .151
Objetivos específicos. o. . . o oo oo . o . . . o o . . . . . o oo . . o. . . . . . . . o. . o .151
Esquema-resumen. o. .. o. . . . . . . '.' . . . . . . . o. o o . . . oo,, . . . . . . o . o. .151
Contenido:
,10.1 Métodos de soluc~ón para una ecuación ~uadr¡tica o.. oo. . oo. o. o.152
10.11 Método gráfico. o. oo. . . . . . oo. o. . . . o. . . . . ~o. . . . .;. o. . . . . . .152
10.12 Método de factorización o. . . . o. . . . . ooo. o.'ooo. . . . oo.152
10.13 Método de la fórmula general, . . . . . . o. . . . . . . . o. . . . . . . . . . . . . .155
Reactivos de autoevaluación .. o . . . ... . . o. . o . o . . o . . o . . . . . . . . . . . . .160
Módulo 11 ,o . . . o . . . . .'. . o. . . . . . o . o . . o o. . . . . . . . . . . . . o . . o. . . o. . . o. o .163
Objetivosespecíficos o .163 '
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . o. . . o'.' . . . . . . . . o. . . ~ o. .. 163
Contenido:
11.1 Desigualdades cuadráticas . o. . ooo. . ooooo. . oo. o. . . oo. . . oo. . 165
11.11 Método gráfico ~ oo. . ."o. . o. . . oo. . . . . o. . . . . . . . . .166
11.12 Método algebráico .. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . o..oo. . . . . . . . . . . . .170
11.2 Relaciones, entre los ceros o raíces
yloscoeficientesdelaecuacióncuadrática o.. . . .0.172
11.3 Ecuaciones con radicales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . .. . .'... . . . . . .176
11.4 E~aciones que se pueden reducir a la forma cuadrática J>..~.179
Reactivos de Autoevaluación ~ .......'.......~........... .182
Módulo 12 ... o. . . . . o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o. oo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Objetivosespecíficos., '... .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .185
Esquema-r~sumen o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Contenido:
12. Solución de sistemas de ecuaciones cuadráticas ........: ... 186
12.1 Solución de un sistema de ecuaciones formado por una ecuación
cuadrática y una ecuaciónlineal. . o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
12.11 Método gráfico. . o. . . . . o. . o,.. . ... . . . . . . . . . . . '.. . . . . . . . .186
12.12 Método a~gebraico o. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
12.2 Sistemas de ecuaciones cuadráticas formadas por.dos ecuaciones del
tipo 8X2 + by2 = e . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . o. .,o. o. . o. . o. . ."..o. .191

6. 12.3 Solución de sistemasde ecuacionesde la forma
02 + bxy + cy2 =d
Reactivosde autoevaluació,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía de la Unidad. . . . . . ',' . . . . . . . . . . . '.' . . . . . . . . . . .'. . . . . . . . .
Paneles de verificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . ... . . . . . . . .,. , . , , , . . , . . . .. 195
i98
201
202
UNIDADXII. Polinomiosl. . . . . . . . . . . .'.. . '. . . . . '.. ... .'. . . . . . . . . . . . . . ,.. . . .. 217
Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . , . . . . . . . .. 219
O bjétivos generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ." . . .'. . . . . . . . . . . . . . . .. 220
Diagramatemático esbuctural .1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~. 221
Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222
Módulo 13 ~...... 223
.Objetivos específicos. . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .'. .. .. 223
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. 223
Contenido:'
13.1,Funciones polinomiales 224
13.11 Algoritmo de la división de funciones piinorniales 227
Reactivos d~ autoevaluación ..................... 231
Módulo 14 -. 233
Objetivosespecíficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,". '.. . . .. 233
Contenido:
14.1 Gráficas de ~nciones polinomiales 234
14.11 Teorema ~el residuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
J. 4.12 Teorema del factor. . . - . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .. 235
14.13 Teorema Fundamental del Alegebra. . . . . . , . . . . . , . ; , . . ., 236
Reactivosde autoevaluación ................241
. Módulo 15 243
Ob
' , '
6 243, ~etivosespecl cos .......................................
Esquema-resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Contenido: .
15.1 Raíces racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
15.11 Regla de los ~ignosd~ Descartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .'. 246
Reactivosdeautoevaluación '.. 249
Módulo 16 ... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Objetivos específicos ~ '..251
Esquema-resutnen .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . ;; . . 251
Contenido:
16.1Raícesimaginarias... .. .. .. . .... . ... . .. .. . .. .. ... .. 252
16.2Raícesirracionales '.. .. ." 254
, Reactivos de 'autoevaluación 258
Bibliografía de la Unidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ',' . . . . . . 260
Paneles de verificación. . . . . . . . . . . . . . . .'. . . . '. . . . . . . . . . . . ;;. . ',' . . .'. . . 261

7. Pr61010.
La decisión de escribir este libro fue motivada por un gran deseo de prestar ayuda a
todas aquellas personas que se lanzan a la aventura de estudiar sin maestro. .
. Conociendo el temor que el estudiante tiene a la MATEMATlCA,y suponiendo
nosotros que ese temor generalmente es producido po, la presentación formalista que se
le ha dado a la misma, mediante esta presentación más informal, ~unque nQ menos
rigorista, intentamos, a un nivel medio, deshacer el mito del estudio de MATEMATlCA y
'~acer ver que NO es más fácil NI más difícil que. el estudio de cualquier otra asignatura y
esperamos con ello que los resultados que se obtengan sean verdaderamente positivos.
Los Autores
11
.

8. Instrucci6np,araelalumno
El pre~ente texto ha sido elaborado tomando en cuenta los diferentes aspectos que
caracterizan a los alumnos d~ Sistemas Abiertos de Ensef'íanza.
El texto ha sido estructurado de tal forma que facilite al máximo tu estudio. Cuenta
con varias 1D1idades.cada una de-las cuales contie~e: .
1). Objetivosgenerales: qu~ te informan acerca de lo que se pretend~ lograr ~on
el estudio de dicha unidad. .
2) Una introducción: iri4ependientemente de la que aparece dedicada al texto:
Para el estudio de curso, la unidad se ha dividío en partes llamadas wódulo& Cada
. texto consta siempre de 16 módulos. De esta manera, estimamos que es posible aprobar
las asignaturas del plan de estudios de un semestre, en las 18 semanas. El módulo de cada'
aSignatura está programado par.a que lo estudies en un tiempO promedio de 3 a 4:30 horas
por 'semana. Sin embargo,se te recomiendaque le dediques a cada módulo, el tiempo que
tú consi~eres necesario, d~ acu~rdo con tus posibilidades.
El módulo cuenta con:
1)
2)
. .s)
4)
Objetivosespecíficos: que desglosanel objetivo generalde launidad. .
Esquema resumen: donde se te presenta el contenido de cada ~ódulo, en
formasinóptica. .' .
Contenido: se refiere aI-desarrollodel tema o de los temaS.
Actividadescomplementarias: te serviránde refuerzo en el apren~¡Qe de una .
unidad:o un módulo específico.. .
Reactivos de autoevaluación: al final de cada móaulo, ,se te dan una serie de .
preguntas de autocomprobación"para que puedas verificar por ti mismo, en.
q~é grado has logrado los objetivos propuestos al principio del módulo. Las.
respuestas.correctas las encontrarás al final de cada unidatJ.o, en otros casos,
al final del libro. .
5)
13

9. En la parte final delli~ro, podrás encontrar, cuando lo estimes necesario, apéndices
que. te ayudarán a la ampliación yproíundización de algún tema.
Además; se te da en las unidades o al final del texto, una bibliografía con la que
puedes complementar tues estudios o ampliar tu horizonte cultural, de acuerdo a tus -
inquietudes. .
ADVERTENCIA'
Te recomendamos la lectura cuidadosa.y .Iacompren~ión de los objetivos específicos
al empezar cada módulo, para que tengas presente lo que se espera de tí, con el trabajo
que realices con cada uno de eU08. . .
14

10. Notaci6n
La mayo.ría de 108símbolos que usaste en los dos primeros textos, seguirán usándo-
se en éste; sólo hemos creído conveniente cambiar el de algUnos conjuntos para uniformar
la manera de representarlos de acuerdo con la gene~alidad de los libros de Matemática.
A continuación se'.te da una lista de todos ellos:
R = Conjunto de números reales.. .
a = Conjunto de los números racionales.
a' = Conjunto de los números irracionales.
W = Conjunto de los números enteros no nega~ivos;
I = Conjunto ~e los números en,teros.
N = Conjunto de los números en~eros positivos o Conjunto de los números naturales.
e ~ Conjunto de los números complejos.
15

11. UNIDAD IX
SISTEMADEECUACIÓNES'
LINEALES. .
..
....
..
'"...
lo
'"...
...
..
..
.....
;.
"
"
...
","¡,;;..
.,¡
...
~~
r,¡
.""
I ....
'"
...
"
.
...
"';~
¡;
~

12. Introducci6n
Apóyándon08 en el concepto de relaciones lineales y proponiendo la solución tanto
gráfica como, alge6raica de las ecuaciones y funciones lineales,' se inicia en los siguientes
módulos el estudio de los sistemas de ecuacion~slineale8 con dos y tres variables, plantean-
do sus métodos de solución. Asimismo se presenta una importantísima aplicac~ón: la
. programaciónlineal. .
.'.
./
"
. ¡g

13. , 3,
Objetivosge'nerales
Al terminar de estudiar esta unidad, el alumno:
1.
2.
Resolverá y graficará. ecuaciones lineales. .
Obte~drá' la pendiente y la ordenada al origen de l~ rectas obtenidas al graficar
ecuaciOlaeslineales. . . .
Resolverá sistemas de ecuaciones lineales con dos variables utilizando el mét~do que
más convenga en cada caso (Gráfico, suma o resta, sustitución).
Resolverá sistemas de ecuaciones lineales con tres variables utilizando el método por
suma o 'resta y el ~étodo por sustitución. ,
Resolverá y graficará sistemas de desigualdades lineales con dos incógnitas.
Resolverá- problemas de planteo que involúcren sistemas de ecuaciones lineales y
sistemas de desigualdades lineales.
4.
5.
6.
,.'

14. Diagramatem6ticoestructural", "
i
~
I
Con dos
vllriableB
Sistemas
Ecuaciones de ecuaciones
lineales lineals
Con tres
..
variables ,6
.ü
..s
i "
Sietemas
jde desigual-
:=;dadeelineales
.
Funciones
ineales

15. Glosario
Relación: Cualquier conjunto de pares ordenados
Relación lineal: Conjunto de pares ordenados cuya gráfica es una línea recta. ,
Proposición abierta: Expresión .verbal o simbólica que contiene una variable y un conjun-
to reemplazamiento. /. .
Regla de correspondencia: Ecua~ión que indica como se corresponden los elementos
de dos conjuntos.
Ecuación lineal: Cualquier ecuación equivalente a una de la forma Ax + By + e ::;:o,
. donde A, B Ye son constantes reales tales queAy B no sean ambas cero.
Par ordenado: Pareja de elementos encerrados dentro de un paréntesis, sep;1rados,por una
coma en la que se distingueuno como elprimero y el otro comQel segundo. .
Ecuaciones equivalen,es: Dos o más ecuaciones que tienen el mismp conjunto solución.
Función lineal: 1'oda ecuación que puede'e~riMrse en la form~ f(x)= mx + b; x E R;.
m y b son constantes reales.
Pendiente de una recta: Cambio en y por unidad de cambio en X.
Ordenada al origen: La y del punfo en que una recta interseca al eje y.
Parámetro: Es un valor numérico sujeto en algunos casos a ciertas restricciones.
Familia de rectas: Conjuntq de rectas que tienen una propiedad común. .
Sistema de ecuaciones lineales: Dos o más ecuaciones de la forma Ax + Iv + e =o
Conjunto solución: Conjunto de pares ordenados que satisfacen una 'ecuación o un sis-
tema de ecuaciones. .
Sistemade ecuacionescon tres variables:Dos o más ecuaciones de la forma
. Ax + By + Cz + D =O.
Desigualdadeslinea!es: Toda expresión .de la forma
Ax + By + c~ OÓAx + By + C~O
Semiplano: Cada una de laS regiones.en que una recta divide al plano que la contiene.
Sistema de desigualdades lineales: Dos o. más desigualdades de la forma
.Ax + By + e ~ Oó Ax + By + e ~ O
, .
22

16. Mbdulo1
,
OBJETIVOSESPECIFICOS
,1
Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Definirá una ecuaCión'lineal como equivalente a la forma Ax + By + e = o
Resolverá ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Graficará' ecuaciones lineales.
Definirá función lineal.
Explicará que'es la pendiente de una recta. '
.Explicará en que consiste la ordenada al origen.
Obtendrá las pendientes y ord~nadas al origen de las rectas obtenidas al graficar
ecuaciones lineales.
Graficará familias de rectas.
8.
ESQUEMARESUMEN,
, Solución en la
f~rma ,
Ax + By + e '=0. '
r
,Ordenada'
al origen
Familia
de Irectas

17. Una relación
'. lineal eS1Bblece.. .
¿Quées
la soluci6n
de una ecuaci6n?
24
1.1 Relaciones lineales
Para llegar a este tema, ~dquiriste el concepto de relación,
aprendiste que algunas veces úna relación puede definirse mediante
una ecuación con dos variables, a la cual has llamado proposición
abierta con dos variables, y algunas veces 'regla de correspondencia;
has graficado relaciones y ello. te ha proporcionado una mejor com-
prensión de las mismas. Ahora vas a estudiar un tipo de relaciones a
las que te enfrentarás frecuentemente, tanto en la matemática como
en otras ciencias. Estas relaciones son definidas por medio de igual-
dades llamadas ecuaciones 'ineales o e'cuaciones de prhner grado con
dos variables que usualmente serán x,V.
1.11 Ecuaciones lineales.
Los científicos acostumbran describir algunas situaciones prác-
ticas con ecuadones que incluyen dos o más variables; de las ecua-
dones obtienen gráficas que les permi ten una mejor comprensión de
estas situaciones y pueden, además, prever el comportamiento de
una variable si saben cómo se comportará la otra. Pongamos el caso
de un objeto que se mueve con una velocidad constante de 10 me-
tros cada ségundo durante 15 segundos; si llamamos x al tiempot
transcurrido y representamos por y la distancia que separa al objeto
del punto de partida en un instante x, el científico concluye que el
~ovimiento queda descrito por ls.,ecuación V = 10x, O ~ X ~ 16.
Con e~ta ecuación puede establecer exactamente la posición del objeo- .
to para cualquier valor permisible de x y recíprocamente puede
'determinar qué tiempo debe transcurrir para que el objeto móvil se
haya desplazado una cierta distancia, así, cuando x =t,y =S;
también cuando el objeto se encuentra a 15 metros de sú punto de
partida o sea cuando y =16, x el tiempo transcurrido es 1.5 ó tsegundos. Los pares ordenados (x, V), O.s. x S. 16que hacen cierta
la ecuación, reciben el nombre de soluciones de la ecuación, enton-
ces <t, S), <t, 15) son do~solucionesde la igualdad
y = 10x, O~ x ~ 15.
El par ordenado (1,5) no es solución de la ecuaciónpuesto
que si x = 1,entonces V = 10y10 =1= 5.Si xE R,OS. x s.16, x
puede sustituirse por un número infinito de valores y como a cada x
le corresponde una V, la ecuación dada tiene infinitas soluciones;
esto nos impide enlistarlasy para representarlas usam9s la notación
de conjuntos;. (ex. V) I y =10x, O ~. x ~ 15} es el conjunto solu-
ción .de la ecuación dada, .

18. Definición: Una ecuación linealo ecuación de primer grado cp
x, y, es cualquier ecuación equivalente* a una de la forma
Ax +. By + e =oen do~de A, B y e son constantes reales
tales que A y B no sean ambas cero.**
Ejemplos:
1. 2x - 3y - 12 =O es una ecuación lineal en la que
A =2, B = ~3, e = -12.
2x - y =O,es una ecuación de primer grado en la que
A =2, B = -1, e =o.
2y - 3 = oen esta ecuación no aparece al.término que,
contiene a X; esto significa que A =O,B= 2 Ye = - 3,
consecuentementela ecuación puede escribirse
Ox +- 2y - 3 =O.
4.. y =.¡ x + 4,esta ecuación es' equivalentea 2x - 3V+
12 =O asíqueesunaecuaciónlinealendondeA = 2, B =
-3 Y e = 12. .
2.
3.
Gráñca de ecuaciones lineales
Cuando el conjunto de los números reales es el conjunto de
Sustitución de las dos variables de una ecuación del tipo que nos
ocuP.Syla gráfica de dicha ecuación es una línea recta; este hecho es
la causa de que a estas igualdades las llamemos ecuaciones lineales.
Hemos llamado soluci6n de una "ecuación lineal en x, V, a todo par
ordenado (x, V) con componentes reales, los cuales al sustituir a las
variables en la ecuación hacen ciel'ta la igualdad así, (O, - 4) es una
solución de 2x - 3V - 12 = O, x, V, E R~ PQrque al hacer
X =O Y V =- 4 en la ecuación resulta. I
2(0)- 3(- 4) - 12 =O
12 - 12"=O
0=0
La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto
solución; entónces la gráfica de.2x - 3V - 12 = O; x, V E R
es la de {(x, V) I2x - 3y - 12 = O; X E R} como x E RYR
es cerrado respecto a suma '1 -multiplicación, y es necesariame.nte
real.
Com.o la gráfica de una ecuación lineal es una línea recta y una
línea recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos,
Una ecuaci6n
lineal es. . .
La Unea recta es
la gráfica de..
Gráfica
de una ecuaci6n
* Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones.
** Si A Y B son cero, no existe la ecuación.
25

19. 26
las gráficas de estas ecuaciones las obtenemos graficando en el plano
dos de sus soluciones y trazando después la recta 'que contiene a
estos dos p!lntos.
Ejemplo 5. Graficar la ecuación lineal.
.2x - 3y -12 =O
si X =O -3y =12
y=_.!! 3
Y =. - 4
(o, - 4) es una sol~ción; otr~ 801ucion se obtie~e haci~ndo
y=O 2x - 12 =O
2x =12
X = 122
x=8
, por lo tanto (6,0) es ot~asolución.
La gráfica' de la ecuación es la re~ta que paSa por. (6, O).y (O, -' 4). .
y
x
Figura1

20. Laintf~nción de buscar las soluciones haciendo x =Oy después
y =O, ~s hacer 'notar que la gráfica intersecta ambos ejes, y esto
sucede siempre que en la ecuación lineal A y Bson distintos de cero
~B~m ~
Intersecci6n
en ambos ejes x ,
Ejemplo 6:
Si en Ja ecuación 2x - 3y =O x es sustituída por cero (hacemos x =O tene-
mos2'.O- 3y= 000 donde'obtenemos quey =O Esto es, siX =Oentoncesy = Opor lo
que (O, O) es un par ordenado cuyos componentes hacen cierta la ecuació,.2x - 3y =O
siendo así que (0,0). es u,na solución de dicha ecuación, la'gráfica de(C, Q) es la int~rsec-
ción de los ejes coordenadospor lo que la recta con ecuaClón2x '- 3y =O intersecta
ambos ejes coordenados en el mismo punto. O (0,0) (Ver Figuras), si queremos graficar la
recta antes mencionada debemos encontrar al menos otra solución de su ecuación, como
x E Rpode~os asignarfe a x cualquier valor real y determi~ar el correspondiente de y,'
por comodidad' hagamos x =3 enlonces la ecuación queda' 2. 3 - 3y =Oal resolverla
para y tenemos 3y = 8 .ó y =2; siel.do entonces (~, 2) la solución buscada, ahora
graficamos los puntos correspondientes a ,(0,0) (3,,2) Y por ellos trazamos la gráfica de la
ecuación2x -- 3y = O~ '
r ,
I '
Figura 2
Ejemplo 7: Gráficar y - 2 =O.,
Esta ecuación podemos escribirla como Ox + y - 2 = O,de esta expresiónpode-
mos entendp.r que el que no apar~zca'el término en' x (A x) en la ecuación lineal
significa que el coeficiente de X es cero f4. = O Yque por consecuencia A =Opara t~do
XE R Y dando que O es el elemento identidad para suma la ecuación se escribe y - 2 =O
ÓV =' 2. De lo anterior debemos.entender qUe sea cual sea el valor asi~do a x la, ,
2~

21. .ecuación siempre. queda como V =2 o sea que V no cambia de ~alor (es constante) y es
igual a 2 para cualquier valor asignado a xt en consecuencia la grá(ica consta de todos los
puntos del plano cuya ordenada (V) es2. .'
y
V =2 6 y -2 =O'
x
.'
Figura 3
Ejemplo 8 .Graficar la ecuación X -2 = O, ecuaciónque puede escribirse
X + Ov -2 =O, Ypodemos notar que para cualquier valor de V, VeR, x siempre
esiguala 2. . '
, .
y . X -2 = O6 X =2
x
Figura4
- 28

22. 1.12 Función lineal
,En las ecuaciones de los ejemplos 5, 6 Y 7 del párrafo antérior,
el coeficiente de y es'distinto ~e cero (B =1= O); cada una de estas
ecuaciones definen uba función. Lo podemos ,probar notando que al
asignarle a x un valor, dete~namos un único valor de y o bien,
mediante la prueba del trazo de rectas verticales, la cuales no deben
futersecar la gráficaen más,de un punto. Cuando B =1= O;la eC!1ación
puede escribirse en forma equivalente si la resolvemospara y; 'ha-
ciendo esto con las ecuacionesde los ejemplos5, 67 tenemos:
dél elempto 5, y =i x - 4
delejemplo6, y = tx 6 y ~ ~ x + O,
I
delejemplo7,,'Y = 2 6y = Ox + ']
Dado que si B ;p O en una ecuación lineal. está representa una
función, y que la ecuación puede escribirse.de una d~las tres formas
dadas en el p~rrafo anterior. damos la siguiente.
Definición: La ecuación f(x) = mx + b; x E R; dondem
y b ~n co~tantes reales, representa una función llamada fun-
ción lineal.
Un caso particular se' pr~enta cuando m =O. Si m =O en-
tonces f(x) = b. x E. R esta función se llama función constante
,siendo su,gráfica (ejemplo 7) una ,recta paralela al eje X. '
Esto significa que si en la ecuación f(x) =~x +b. x es sustituida
por ceroael correspondiente valor de,y es b (y ='b), estos dos valores,
Oy b son los componentes de una soluéión de la ecuación f(x) =mx
+ b, por consiguiente (O,b) tiene por gráfica un punto que,pertenece
a la gr4fica de la ecuación. Observa que el primer componente del
par ordenado (O, ,b) es cero, como dicho primer componente indica
la separación. entre el punto y el eje Vertical y dado que en este caso
es cero debes entender que el punto (0, b) pertenece también al eje
vertical, si, dicho punto pertenece a la gráfica de f(x) =mx + b y
también al eje vertical enton~es es la intersecció'n de esos dos conjun-
tos de puntos. El segundo componente del par (O, b) ósea 'b, indica la'
s~paración entre el punto y el eje horizontal; más concretamente
podemos decir en la ecuación f(x) =mx + b, b es la ordenada del
. '
, ¿C6mo.
definimos una
funci6n lineal?
,29

23. punto. de ,jntersección entre la gráfica de f(x) =mx + b Y'el eje
vertical a b la llamamos ordenada al origen. --
El significado de la constante m (pendiente de la recta) debes
entenderlo mejor con la interpr~t4~ión geométrica que ahora te pr~-
sentam,os: . ,
Sigamos con la ecuación que define a una función lineal
f(x) =mx + b si ahora hacemos x =O . feO) =m .o + b
feO) =b
...
....
,.
..
x
FiguraS
Sean f(x);::: mx + b, la ecuación de la rectal en la figura'
S, '1 el punto en la recta con coOrdenadas (Xl, f(x. n,'2 el pun-
. 1:0 (X2, 'f(X2».1 Si sustituimos Xl y X2 en la ecuación de la recta
obtenemos: f(X2)' = mX2 +b
f(.x¡)"= nUtl + b'
la diferencia entre f(X2) y. f(Xl) es
30

24. f(xa) 2f(xl) '= ~mX2:.. b)~ (m;1 +. b) ~ .
'f(xt) '- f()lI) =mX2'+ b - mXI - b'
f(X2) - f(~I) =I!'~ - m~1.
~(X2) - f()tl) =~bc- XI)
finalmente m = f(X2) - f(xl)
.' X2 - XI
(
o ,tanibién m == Y2 - Y1
X2 - XI
Ii X2 - XI =1 entonces m =f(X2') -f(x'l)
La pendiente! (m) ~dica en cuántas unidades cmpbia la or-
.denada cuando X aumenta una unid~d*, dicho de otra manera si nos
movemos en la recta con ecuación ,f(x)'= m. + b (figuras 6 y 7)
partiendo de un,punto P de tal manera qpe la abscisaaumente una
unidad*l~ordenadacambia(aurilentao disminuye)m unidades; ,
( ¿QuAnos indica
lapendientp?.
y
T P',~ + 1, flx + 19
In =f(x + 1) - fbd > O
'1 unid"
P~, f(x~
1
x
Figura6
¿Qué es la I
pendiente?
* Para que x aumente es necesario efectuar en el planQ un desplazamiento de i~uierda a derecha.
.
31

25. d".,¡¡
..1.-7.~
lCu'n.s
posibilidades. tiene
la pendiente?
...
;.i¡¡~
. Aplicaci6n
de pendiente.
"r"l
~
..
..
~.
01101
"'
'"
, La pendiente es un número real~ tiene tres posibilidades,
m > O, m = O, m < O (p.ropiedad de tricotomía) si m > O,la
<.>rdenadacrece; la gJ,'áficase desplaza .hacia arriba (figura 6) si
m ::;:O, Y no aumenta ni dismiDuye, es una función constante
(ejemplo 7) si m < O, la y decrece. La gráfica se desplaza hacia
ab8jo '(f¡gura 7). En los tres casos anteriores se.da por sentado que
x' está creciendo.
Ejemplo 9.
Una recta que interseca a Yen (O,-3) tiene una pendiente
igual a 3. Encuentra una ecuacio~ de dicha recta y grafícala.
Solución: Como-,a la' interseccion- con V es (O.b) entonces
. b'= -3. y dado que", =.3, la ecuación se obtienE'por simple
sustitución en y =mx + b quedando y= 3x - 3. .
x
Figura7
V . Pa... grafj..
caria necesitamos
de otro punto di-
ferente de -(O,
-3), este punto
ló deterriUnamos
haciendo .que' ~
aumente una uni-
dad, como m es
el cambio en y-
por unidad de au-
mento en x~yrece
tres unidades, esto
nos lleva aJ pun- ,
to (1, O).
x
Figura 8.
¡.;
r,,;¡
32
..,
..
lO,¡
,;;
.. .,

26. Ejemplo 10. '
Determina pendiente, ordenada al origen y gráfica de la recta
cuya ecuación es Ix + 3y + 2 =O. si resolvemoR para y, ob-
tenemos y =.- 2x _!-3
entonces m ::; -2, b=-.! '3
Para graficarla necesitamos al menos dos puntos; tenemos su
intersección con y, qu~es (O, - t> .
Para determinar el otro punto, aumentamos a,la x del punto
una unidad y le quitamos a la V del mismo punto dos unidades, esto
nos llevaal punto(l, - i).(Figura 9)
y
T~
t 2,
1
~
Figura9
Ejemplo 11.
¡Cuál es la pendiente de una. recta que pasa por los puntos A
<f, 2). B<¡, S)? ,
Áplicaci6n
de inter.ci6n
8 los ejeL
x
33

27. 34
Solución l.
Al desplazamos sobre la recta' del punto A al punto B (figu-
ra 10) la X aumenta una unidad, el.cambio causado a y será el
cambi~en y por unidad de cambio en x entonces m =3
3
IX
Figura 10
Solución 2. f(X2) - f(x )
Quedó establecido que m = X2 _. XI I ; si a las coordena-
das de B les asigqamos el mbíndice 2 y a las de A el subíndice 1,
6-2
tenemos m =- =3
.!.-.!
e, .d 2 2 ,.
d l fun . ti eaI
.
onSI eremos otra caractef1sbca e as Clones n es y sus
gráficas, la cual aplicarás en un tema posterior; sean
L.(x) = Ix + 3 y f(x) = Ix + 2, . x E R
dos funciones lineales que tienen la misma pendiente ¿existe en R
, unelementoa paraelcual L(a) =fea)?
Supongamosque dicho número existe, entonces L(a) = fea)
ello implica que 6a + 3 =6a + 2 y por la ley de cancelaciónpara
lasuma 3 = 2 .

28. Lo cual no cs cierto. Este hecho contradice nuestro supuesto,
y c~ncluimos que (el) ::/:.fel). para todo I e R, por lo tanto no
existe un par ordenado de números reales que haga ciertas ambas
. igualdades, lo que significa que sus gráficas no tienen puntos comu-
nes, en consecuencia deben ser paralelas. .
Resumiendo: dos rectas con la misma. pendiente son paralelas.
Hemos establecido que la ecuación lineal y =mx + b re-
presen~unarectaparavaloresfijosde m y de b. ..
Consideremosun caso particular: sea b =1. Ydejemosa -libertad de ser sustituida por cualquier.número real; para cada sus-
titución de m se e~cificá ~na ímic,arecta, ¿por qué?
El conjunto de todas las rectas especificadas mediante estas
sustituciones se llama una familia de reetas y en este caso es la
familia de rectas que pasan por A(O, 1); en es" familia existe una
rectaqueno tienependiente,¿cuáles? .
y
_=0
Figura11
ReCIIS
con l. mismI
pendien18SIn. . .
lnu' '
es UM familia
de rectas?
- ../
x
'.
35

29. La ecuación de esta familia de rectas es y =m. + 1 en
donde a m se le lla~a par.ámetro *.
Sitianenll
mismapendiente,
lInemos
unl familia
. derectas.
Supongamos ahora .que ~antenemos fijo el valor de m y de-
jamos que b' sea variable;deterJDinamosasí otra familiade r~ctas)en
la cual todas tienen la misma pendiente. Y por consiguiente son
paralelas; así y = Ix + b representa la familia de rectas paralelas
en las que 1ft =2 Y b es un parámetro. . .
y
.-'- .
x
/
Figura 12
REACTIVOSO.EAUTOEVALUACION
En 188relaciones dadas a continuación se da el conjunto de reemplazamiento de
amhuvariable~ .
.Parámetro es un valor numérico sujeto en algunos casos a ciertas restricciones.
36

30. l. Escribe(~.adaecuaciónlineal en la forma Ax + By + e ='0. y determin., de .ser
posible, tres solucionespara cada una.
a) .y + 2x=-10. x, y e R
, b) 3. =4+, X,.Y e' .1
c) X -f ,=1; x, y E. {i e R 11< O}
d) 3x + 4y = -1; x, y e I
e) 2x - 4 :1:3,; x, y e' W
f) 5 - (x- y)= 3x- 2; ~,e Q
g) 5~:-. . .=.,.- (1-.2X); x,.y e Q
h) 3x ~ 1 == 6 -y; x,e Q', y E.R
i) 2(3x -'y) =2x + 3; . e Q'; y e R
j) 12 -3x =4(x-y); X,, e R
2. Gráficar cada ecuación, encontrando.las intenecciones éon los ejes coordenados.
a) 4x- 31=12 '
b) 2x + V =4
c) x - y + 2 =O
d) x-'31=2
e) 2x- By -+ 10 =. O.
~n losproble~s siguien~ en~uentra'unaecuaciónparacadaunadelasrelaciones
cuyagráficasedescribea cf.>ntinuación: '.
1) Unarecta paralelaal eje X que contienea p. (3, - 3)
g) Una.rectaparalelaal eje Y que pasapor (-2, 2)
h) El eje X
i) El eje y
3. Encontrar las pendientes y ordenadas al origen de las rectas representadas por las
ecuacionessiguientes;gráficar cada una. .
a). 4x + 2y' - 1 =O
b) 7x +8y + 3 =O
c) 2x - 31 ='0
d) 2x-y=2
e)y =0..
~ x=4-y. -'rJ Graficalafamiliaderectas y =mx - 2, en donde m esun parámetro. .
. .¿Qué punto tienen en común? (cinco rectas deJ>endar una idea clara de la gráfica).
h) Grafica la familia de rectas y =3x + b, donde b es un parámetro, (5 rectas deben
clarificarla situación). . . .
¿Qué tienen en cpmún las rectas de esta familia?
i) .Dadas. las dos familias de rectas y =mx - 2, , =3x + b, ¿existe una recta c~
mún a las dos familias? Si este es el caso encuentJ:a su ecuación.
37

31. .
.'

32. Módulo2
OBJETIVOSESPECIFICOS
l.
,Al terminar de estudiar este módulo, el alumno:
Explicará comO se obtiene 'el conj~nto solución de un 'sistema de ecuaciones li-
neales.
Mencionará los tres caSos que se pueden encontrar al buscar el conjunto solución de
un sistema de ecuacion~s' lineales.
Mencionará la diferencia entre método gráfico. y método algebraico de solu.ción en
,sistemas de ecuaciones lineales. '."
.Resolverá sistemas de ecuaciones lineales' con dos variables utilizando el método
'gráfico" '
Resolverá siste~as de ecuacioneslineales C~)D'dos variables utilizando el método por
suma o I,"esta. "
Resolverá sistemas de ecuacioneslineales con dos'variables.u1:ilizando el métQdo de
8Ustitución.
2.
3.
4.
5.
6.
Ecuaciones
lileales
, ESQUEMA-RESUMEN
Sistemas de
ecuaciones lineales
con dos 'variables
Dos rectaS qu~
se intersectan
Rectas 'paralelas
Rectas coincidentes
Gráfico
Suma y Resta
Sustitución
39

33. Siasociamos
un elemento de A
a un elemento
de B, tenemos. . .
Funci6n
de dos variables.
¿Qué
, es un conjunto
soluci6n?
40
2.1 Sistemas de ecuaciones lineales
Recuerda cómo se definió Función en la Unidad vm y
que podemos escribir ~omo f:'A.~ B, en la cual se asocia a cada
elemento de A un solo elemento de B. Si consideramos a los
elementos de A como el conjunto de todos ,lospares ordenados de
números reales y a B como el conjunto de los números reales,
podemos escribir esta función como:
f:(x, y) z
donde la correspondencia es de un par ordenado a un número real.
'D~ aquí se ve que Z se puede expresar algebraicamente en
términos de x e' y; a menudo nos referiremos a esto como,una
función de dos variables la cual escribiremos como Z = f(x,y)
(z )goala f de x e y). '
Nos interesa el caso particular donde Z es una expresión de
primer grado, Z = Ax + By + C y nuestro interés será encontrar
un conjunto de pares ordenadO' (x, y) tales que
Ax + By -+ e =O,esto es
{(x, y) IAx + By + e =O}
al que hemos llamado conjunto solución y todo elemento de este
conjunto es solución de la ecuación
Ax+By+C=O
Si 'resolvemos para y en la ecuación anterior, obtenemos
otra ecuación equivalente de l~ forma y:: mx + b, donde
... = -.;A Y b = - ~ lacualrespresentaunalíneárecta.Ca.
.. 8 ~
mo se puede ver fácilmente, hay un número infinito C:lesoluciones
, para la ecuaciónAx + By + C =Oya que todos los puntos que
están sobre la recta son gráficas de pares ordenados (x, y), elemen-
tos del conjunto solución de la ecuacióri. También podem08 ver
que para cualquier valor arbitrario de x e R quedará determi-
nado el correspondiente valor de la y. En la ecuación 6neal
2x - y - 6 =O vemos que una solución es el par ordenado (2, -2)
ya que si 8Ustiiuimosestos valore&satisfacen'la ecuación. Otro par
'ordenado que es elemento del conjunto solución es (1, -4) Y en
general es solución un número infinito de pares ordenados, de 108
cuales tú pu~edesencontrar algunos de ellos. Para la ecuación que

34. hemos estado considerando el corijun to solución es
{(x, y) I2x - y - 8 =O}
Nuestro'interés no es ~olamenteencontrar elconjunto solución
de una ecuación.lineal, sino que ,ahora nos interesa encontrar el
conjunto solución de un sistema como el siguiente: Conjunto soluci6n
de un sisteml
de eculciones.Alx + BIy + CI =O
A2x + B2YT ~ =O
y lo que buscamos son los pares ordenados (x, y) que.satisfagan
simultáneamente ambasecuacones.
Sillamamos D ={(x,'y) IAtx.+ Bly + C =O} Y
E ={(x, y) IA2X +' B2y ... C2 =O} lo quequeremosencontrar
es la intersección de D y E es decir.
D n E ={(x,y) IAlx + BIY + CI =O Y A2x + ~Y + C2 =O}
Como ya sabemos, la gráfica 'de toda ecuación Iin~!Iies una
línea recta, así que se pueden presentar tres casosdiferentes cuando
tenemos dos ecuaciones lineales y se busca el conjunto solución que
satisfagaa ambas ecuaciones. A continuación presentamos estos tres
casos:
a) Dos rectas que se intersecan en un solo punto, es decir hay una
solución única. Tomemos,como ejemplQlas ecuaciones:
X .+ y - 2 =O
x-y-4=0
Yt4
x
Figura13
41

35. Se pude comprobarfácilmenteque el par ordenado(3, -n
satisface simultáneamente ambas ecuaciones por lo que tenemos qu.e
{(x,y) Ix + y - 2 =O yx -y - 4 =O} ={(3, -1)}
b) Dos rectas paralelas* pero no coincident~s, es decir el conjunto
solución es vacío.-
Tomemos.como ejemplo las ecuaciones:
x - y -12 =O
x - y + 2 =.0
y
x
Figw;a14
c) Dos rectas coincidentes**, es decir, tienen ~n número infinito
de soluciones. Tomemos como ejemplo las ecuaciones:
**
Recuerda que dos rectas son paralelas si tienen iguai pendiente,Cm =- i>¡a un sistemade estetipo se le llama inconsistente.
Dos rectas son coincidentes si la ecuación de una de ellas multiplicada por una constante K, es
igual a la ecuación de la otra. 2C2x + y - 4) = 4x + 2y -. 8.
I
42

36. '2x+y-4=O
4x + 2y - 8 ~ O
'y
x
-4 -3 -1,
Figura 15 L
En este caso la gráfica de ambas ecuaciones es la misma L por lo que el conjunto
solución de una es exacta~ente igual al conjunto solución de la otra.
{(x,y). I2x + y -4 =O Y 4x + 2y - 8 =Ol =, L () L =,L
2.2 SoIuéión de s~temas de ecuaeioneslineales con dos variable&
Varios son los métodos que se usan parare801ver sistemas de
ecuaciones lineales con dos o más variables; empezaremos por los
sistemas con dos variables y nos conctetaremos ,a los métodos, grá-
fico, por swna o resta y por sustituciónt describiendo a continuación
, cada uno de ellos haciendo uso de ejemplolS.
'Método
. de sotuci6n
de,ecuaciones.
2.21 Método gráfico.
Al usar este método es importante que recuerdes que la gráfica
de una recta queda determinada si -conocemos dos puntoR de la
m~ma. .
Se quiere resolver el ~iguiente sistema de ecuaciones:
3x+2y-6=O
x - 2y - 10 = O
Como viste al principio de este párrafo, dos puntos nos deter-'
43

37. minan una recta así que encontramos dos puntos para cada una de
ellas; desde luego que estos puntos ¡se podrían determinar por el
método de tabulación que tú ya conoces.Encontraremos la intersec-
ción de cadá recta con los ejes de coordenadas por ser estos puntos
los que con mayor facilidad podemos determinar. 'Procedemosde la
siguienteforma: .
En la ecuació~ 3x + 2y - 8 =O
tenemos <pIe cuando
x =O entonces y =3
Ycuando y = O entonces x =2
por lo que. los pun~osde intersección con los ejes coordenados son
(0,3) y (2,0)
. Análogamente, en la ecuación
x - 2y - 10 =O
tenemos que,cuando
x=O y=-6
x = 10 Y = O
Ahora graficamos las dos rectas en un sistema de' coordenadas
rectangulares haciendo uso de los puntos obtenidos.
y
x
Figura 16
44

38. Podemos ver en la figura que el punto' de intersección de 13S
dos rectas' es el punto (4, -3) q~~ es la solución del sistema, ya,que
satisface ambas ecuacionés como lo ,comprobaremos'susti~yendo
El! cada una de las ecuaciones:
.enla primera'ecuación: 3(4) + 2(-3) - 6 =12 - 6 - 6 =O
en la ~gunda ecuación: .. - 2(-3)- 10=4 + 6 - 10 =O
Podemos hacer algunas consideraciones acerca del método .'
gráfico..
a) Por lo común, la solución es aproximada ya que el punto de
intersección de las dos rectas se localiza a partir de la gráfica.
b) Para que ia gráfica de las r.ectas sea más exacta es necesario
usar papel milimétrico y ten~r mucho cuidado para lo~alizar
los p1;lntosdonde las rectas intersecan a los ejes dé coor-
denaddS.
2.22 Método por SuiDa o Resta
En 'este método, es importante que recuerdes las propiedades
de multiplicación y adición d~ las igualdadeS, así como los postulados
de campo ya que usaremos algunos .de ellos.
Resolver el sistema
3x +2y =5
x + 3y= 4
(1)
(2)
. Nota que hemos escrito cada ecuaciónen la fo~ equivalente
Ax + .By = - e,' y se han numerado las dos ecuaciones.
Este método consiste en eliminar una de las dos incógnitas
sumándole o restándole a una ecuación k veces la otra, con lo que
obtenemos una ecuación con una variable la cual ya sabes'resolver.
Obtenido el valor de esta variable lo sustituimos en una de las dos
ecuacionesoriginalespara determinar el valor de la otra.
Como se puede eliminar cualquiera de las dos variablesen el
sistema que estamos considerando, vamos a eliminar la y, proce- .
diendo como sigue:
Se multipli~a la ecuación (1) por 3 y la ecuación(2) .por--2
con el objeto de que 108coeficientes de las y queden igualesy de
Sisumamos
o restamosauna
ecuaci6n k veces,
.obtenemos.. .
45 .

39. signo contrario, después se sumán las dos nuevas ecuacionea.
9x+8y=16
- 2x - 6y = -8
7xA = 7 se sumaron las dos ecuaciones
7x ..!. =7 . ~7 7 multiplicando ambosladoBpor .!.7
( ¿Qué"postulados de campo se usaron
para llegar a la solución Y)
Ahora s~stituim~s el valor x = 1 en la ecuación (1) Ó(2) pa-
ra encontrar el valor de y.
Si lo hacemos" en la (2) tenemos
finalmente x=1
1+3y=4
Sumando -1 a ambos lados
3y =3
multiplicando por.!. ambos lados.3
y = 1
por lo tanto, la solución del sistema es el par ordenado (1,1).
Como práctica, sustituye al punto (1,1) en ambas ecuaciones
para que compruebes que las satisface.
Usaremos este mismo métpdo para resolv~r ~l sistema de d~s
ecuaciones generales:
"Al. + 81y =CI
"~x+~y=~
(1)
.~
Eliminamos primeramente la x multiplicando la ecuación (1)
por A~ y la ecuación (2) por -Al "
AtA2X + A2BIy =A2CI
-AIA2X - AIB2y =-AIC2
Sumando estas dos ecuaciones, tenemos

40. Usando la propiedad distributiva por la derecha se obti.ene
Dividiendo ambos miembros de la ecqación entre
(A2BI -AIB2) =P O obtenemos finalmente el valor
obtén. el valor de x que es igual a
B2CI - BIC2
'AtB, - A2BI
. "':'A2 -Al Al A2
Si.A2BI- AIB2=Oentonces-=- .yaque--B y--B82 BI ,1 2
Al A2
representan las pendientes 'de las dos rectas y siendo -1; = -B2 con-
cluimos que las dos rectas son paralelas y por lo tanto, no se inter-
se~m. .
2.23 Método de sustitución
Este método consiste en resolver para una de las variablesuna
de las ecuaciones y sustituir esta expresión en la otra quedápdonos
con esto' una ecuación con una variable, que tú ya sabes cómo ~n-
contrar su solución. .
Usaremos este método para resolv~r el siguiente sistema:
2x+3y=7
3x-2y=4
(1)
(2)
Usamos la ecuación (1) para despejar la Y. aunque también
podíamos hab~r.despejado la x.
2x + 3y =7. (1)
3y =7 - 2x 'sumando.a ambos lados -2x.
Y = 7 -2x multiplicando ambos lados por .!3 3
El valor de la y que hemos obtenido de la ecuación (1) se
sustituye en la ecuación (2).
. 3x :- 2 =4
47

41. 48
Efectuando operaciones, '.nos queda
-3x - 14 -; 4x =4
Ix -14 + 4x =12 . Se multiplicó por 3
a ambos lados de la ecuación
Se sumaron los términos en X
Se sumó a ambos lados 14
Se multiplicó a ambOs lados por
13x -.14 =12
13x =28
x=2 1
13
7 -2.
-r.Obtenidó el valor de la x. se sustituye en la ecuación y =
quedando: y = 7 -a.2 = 7 -4 =.! =13 3 3
por lo que la solución del sistema es el par ordenado (2,1).
Comprueba que el punto (2,1) satisface las ecuaciones (1) y
(2).
En seguida presentamos varios ejemplos que te ayudarán a
comprender mejor los diferentes métodos que hemos estudiado, dán-
dole' énfasis a los dos métodos algebraicos que son los más. frecuen-
temente usados.
Ejemplo: Resolver gráficamente el siste~
2x-y=4
x+2y=&
(1)
(2)
.Encontramos primero las intersecciones de cada una de las
rectas con los ejes de coordenadas.
Para la ecuación (1) tenemos que cuando
x=o
x=2
y =-4
y=O
Para la ecuación (2) tenemos que cuando
x=O
x=:=&
y:;:! 2
y=O
En seguida usamos estos puntos para trazar las rectas
De la gráfica la solución aproximada al sistema es el par orde-
nado (2.5, 1.1). La solución exacta es el par ordenado (2.6, 1.2)
. que puedes encontrar usando cualquier método algebraico.

42. ,
x
Figura17 .
Eejemplo':
Resolver"el siguiente sistema usando el método de suma o
resta.
4x + 5y = 12
3x+2y=8
(1) I
(2)
Eliminamos.la x multiplicando por 3 la ecuación (1) por -4 la
ecuación (2) y sumamos,
12x ... 15y = 38
- 12x - ay =- 24
7y = 12
Multiplicando por t ambos lados,queda
y = "2
7
Su~tituimos'este valor en la ecuación n)
4x + 5(~) =12
4x + ~= 12
4x = 12 - 60
7
4x = 84 - eo7
efectuando
Sumando - 80 a ambos lados de la ecuación
7
efectuando'
49

43. . 50
efectu~do4x = 247
x = !!....7.4
x= 8.47.4
X =!7
. ~. 8 12
de d~nde la solución es {(7' T n
multiplicando Por.! a ambos lados de la ecuación
4 . I
descomponiendo en factores
por .cancelación
Ejemplo:
Resolverel siguientesistemapor el método de sustitUción
x+3y=4
2x- .y=-3
(1)
(2)
Despejamos x de la ecuación (1)
x =4.-,3y (3)
Sustituimos este valor en la ecuación (2)
2(4 -Iv) -y =-3
8 - Iv - y = -3
-7y ==- 3- 8
distributiva izquierda
Besumó -8 a ~mboslados y se sumaron
términos se~ejantes
-7y = 11 cerradura
y = ~ ' se multiplicó por - }a ambos lados
S'ustituímos el 'valor de y en la ecuación (3) y nos queda
Solución =
x=4-3(11). 7
X =4 - 33
7
X =28 -33
7
X- -:&
-,
{( -~. ~1)}
Ejemplo:
El p~i-ímetro de un rectángulo mide 26 lI)etro8y uno de sus

44. ladoses 3.metros más largoque el otro. ¿Cuálesson sus dimensiones?
Este es un ejemplo de un problema.de planteo que podemos
resolver por medio de un sistema de ecuaeiones. Procedemos de la
siguiente.manera: Como lo que nos piden son las dimensiones del
rectángulo le Da~remos:
V
La primera ecuación a que podemos negar es tomando el dato
delperímetroy n~ queda .
x =Longitud del lado. menor
y =.Longitud del lado mayor.
2x+2y=28
~I
y
Ix
(1)
como 'sabemos que un lado es 3 metros más largo que el'otro, la
ecuaciónresultanteserá .
y=x+3 (2)
en este caso, como ya tenemos despejada la y en la ecuación (2) nos
conviene usar el ~étodo de sustitución. .
Sustituyendo en la ecuación (1) el valor y =X + 3, tenemos
2x + 2(x + 3) =28
efectuando
2x+2x+8=28
4x+8=28
4x = 20
x=&
sustituimos en la ecuación (2)
-6+y=3 -
y=8
Luego, las dimensionesdel rectángulo son
x lado menor = S metros
y lado m~yor =8 metros
Ejempl~:
Resolverpor cualquier método el siguientesistema" ,
. + 2y - 2. + y = 2.3 " 4.
'+
. - y + .! J = 32 3
(1) .
(2) .
5]

45. En este caso tenemos un, sistema' formado de ecuaciones con
fracciones por lo que primero simplificamos ambas ecuaciones eli- .
minando las fracciones. Para hacer esto, multiplicamos la primera'
ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las
- fracciones en la primera ecuación que son 3 y 4, o sea 12 y la
segunda por el mínimo común múltiplo de 2 y 3 ó sea 6 quedando la
primera ecuación. '
4(x + 2y) - 3(2x + y) =2 .12
efectuando
4x+8y-8x-3y='24
Reduciendo términos semejantes
-2x + 6y =24
la segtÚldaecuaciónqueda~plificada'a
(3)
3(x - y) + 2(x + y) =3 .8
efectuando
3x - 3y + 2x + 2y =18
Reduciendo términos semejantes
Ix - y =18 (4)
resolviendo para Y' de la ecuación (4) tenemos
,y =Ix -18 (5)
8Ustituyendoeste valor en (3) queda
-2x + 5(6x- 18)=24
efectuando
- 2x + 2&x-80 =24
23)( - 80 =24
23x =24 + 80
23X'= 114
x .= 11.
23

46. sustituyendo,este valor en la ecuación (5) nos queda
y =B(.!!!.)- 18 .
23.
. = &70 - 18
23
- 170 -414
- 23
- 11'
-:zs
porloque~la8olución.delsistemaes {("4 .!!!.)}23' 23
, ~ I
.Ejemplo: .
Resolver el sistema *
! +.! =4
x y
2' 3
---=2.
x y ,
(1).
(2)
EliminamQs el término de las y multiplicandó l¡recuación (1)
por 3 y la (2) por 2.
! + ! =12
x y
!_!= 4
x .' y
! + ! = 12 + 4 .propiedad aditiva de ¡asigualdadesx x '
! ~ 16le
7 = 18x
7
x = 'ii
cerradura para la suma
multiplicando por x. ambos lados de la
ecuación, x ::/:=O '. .~;
multiplicando ambos lados de la ecuacion
por...!.. 'y propiedad de simetría."
Sustituimos el valor de lax = ,7, en la ecuación(1), quedando"; .
...L+!=4
7 Y
ti"
1-, +!=47 y
* En sistemas de 'este tipo no conviene quitar denominadores ya que quedadan términos en Xy lo
que nos complicada la resolución del sistema.

47. ! =4-y
2
Y
2
Y
16
7
- 28 -16
- 7
- J2
--:;
14
y =- 12,
7
y.= -6
La solución es {( 1~' ~)} . ~
Justifica cada uno de los pasos anteIjores.
REACTIVOSDE AUTOEVALUACION
l. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el método gráfico. De
preferencia usa papel milimétrico. 'Di en cada ejercicio ~i el sistema está formado por,
rectas que se intersecan, rectas paralelas o rectas coincidentes.
~. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el método de suma o
re~ '
a) X ~ Y == &
2x-y=1
b) x - Iv =1
x-2Y=O.
c) x + y =' 1-1
3x-y=3
d) 3x+2y=2
x-y=9
54
a) 2x-y=& e) x - 4y =8
x '+ 3y =-1 2x - By= -8
b) 3x+'2y=8 f) -x + &y =-18
8x.+ 4y = 10 3x - y =12
e) , 4x + y =-10 g) 3x-4y=4
x+&y=7 &x-2y = 9
el) x + 6y = 12 h) . 2x + By =-2
2x + 10, =24 x + 4y = -1

48. e) 3x-6y=5 m) - 2x - 3y = 13
7x + y = 75
,
-3x+2y=O
f) 3x-y=1 n) 2x+2y=5
2x + 5y = 41 3x - 4y = -2
g) x+8y::;:b o) - x - y = -3
2xbY=8 2x+3y=5
h) x+3y=3 . p) 3x+y=7
3x-y=1 2x - 3y = 12
i) h-4y=3 q) 2x + 4y = 3
x+5y=4 x - 2y =1
j) 2x-5y=6 r) 3x'- 2y =6
2x-5y=9 3x - 2y = -8
k) x+y=7 5) x+2y-=4
3x + 3y = 21 5x- 2y=2
. ."
1) 3?, + 5y = 4 t) , 2x+3y=1
4x+2y=3 4x + 3y = -4
3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el método d sus-
titución.
a) x-2y=4 h) 5x + 4y = .-17
2x+ y=2 3x-2y=3
b) x+2y=5 i) 8x+6y=&
3x-- y=1 4x+3y=1
c) 3x - 4y = -2 j) 2x+8y=3
x + 2y = -'4 4x + 12y = 6
d) x - 3y = -6 k) 3x+8y=1
2x - 3y = -3 2x+7y=4'
e) 2x-3y=7 1) x- y=&
4x.- Iv =12 4x + 2y = -2
f) -x.+ y =-1 m) 2x- y=7
2x + .4y= - 1 3x+2y=O
g) 4x+3y=-" n) &x + 4y =,14¡
2x- y=7 -6x - 4y = 14
55

49. 4. Resolver los siguientes sistemas de ecuacionés usando el método que más convenga.
!'
a) x + y '+ 1. =!,2 3.
'x-y=3
h) Ix 2y' - 27
"3 - T - - 5
3x + 17y=8
b) !. + 1. = !2 3 2
x - 2y =-&' '.
i) x + 2y x - y - .5. --¡--S
x - 2y + x -y = - !323
e) !. - 1. =- ..!4 l' 10
!. + 1. .= 13.3 2 .
j) 4x - 3y = !
5 2 5
3x- y + 4y = !2 7. 2
d) ..!...::..! + x + 'Y = .1232
2x x + y - 1
3" - ---¡- - - 12
f) 2x -y' + 1 - 3
x -y + 2 -
x+2y=1
e) x + 2y + 2x -y =.!!2 .. 4
x+3y=8
g) . 5x + 4y - 3 + ! = O
Ix - y + '1 . 4
2x - 3y + 3 - 2
. Ix - 4y + 5 - ¡
56
I
o) x+2y=3 r) 3x - &y=' -10
12x - 18y = 1 4x - 3y = 18
p) 3x + 4y = & s) -3x + 5y = 11
24x- 38y= - 11 ,. b+3y=-1
q) 2x - 4y = -& t) 2x+ 7y. 9
4x+2y=& 3x- 2y=1
k) ! _! = .1x ' y
! + ! = -1x y
1) ! + ! = 10
x y
!+!=8
x y
m) !_!=1x y
!+!=3
. y
n) !+!=2
x y
! - ! = 1x y

50. o) ..!.. + .L = !4x 2y 4
13- 15
2x - y - - ~~
p} ! + ! = 1
x y
!+!!=1x y
s) ! 1 =4
x y
1+1=0. : y
q) ..!. + .!. = 7
3x 5y
75 ...;.38
2. -. 3y - '"3
57

51. Módulo3
OBJETIVOSESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este módul.o, el alumn.o:
Explicará en que c.onsiste un sistema de ecuaci.ones lineales c.on tres variables.
Resolverá sistemas de ecuaci.ones lineales en tres variables mediante'elmétod.o de
suma .oresta.
Res.olverá sistemas de ecuaci.ones lineales c.on tres variables mediante el mét.od.o p.or
sustitución. .
l~
2.
3.
ESQUEMA-RESUMENI , .
Mét.od.os de
solución
..
sumay
resta
Sustitución
J '
59
Sistemasde
Ecuaci.ones '- ecuaci.ones lineales
lineales c.ontres
variables
,

52. ¿Cu'l
esel proceso
algebraico
paralaIOIuci6n
de-ecu8ciones?
~..
6,0
3.1 ,Solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables
Los, métodos de' suma o resta y 4e sustitución que hemos
usado para resolver sistelJlas de ecuaciones con dos variables, nos
servirán también para resolver sistemas de ecuaciones con tres o más
variables. Cuan40 el sistema tiene más de tres variables, el uso de estos
métodos para su solucilm es un' poco ~dioso por lo que después
aprenderásotros métodos. ./
Dado que la interpretacló.n geométrica de la solución de un
sistema de ecuaciones lineales con tres v:ariables, requiere de un sis-
tema de coordenadas en tres dimensiones, tema que, estudiarás' pos-
teriormente. Nos concretamos en este punto al proceso,algebraico
que.conduce a la sol~ción -del sistema y que será una tema ordenada
(x,y, z). ' "
El proceso consiste en reducir el sistema de 3 ecuaciones a un
sistema de 2 ecuaciones mediante la eliminacióJ :le una de las tres
variables, proceso en el que deben intervenir las tr j8ecuacione&
Ejemplo: ' ,
. Resolver el siguiente sistema por el método de suma o resta;
<..2x' .,..3y + z =- '.
... x + 2y + Z =- 2' .
- 6x + 2y - 3z.= - 2
(1) .' ~
(2»
(3)
Elimnamosla Z tom~do las ecuaciones (1) y (2) Yla (2) y (3)
restando de laecuación (1) la ecuación(2). '
,- 2x - 3y + z = -1
, X + '2y ... z == 2 el.
X- 5y = -3 (4)
M~pUcam08 por '3 la ecuación (2) y le sumamos la ecuación (3) ,
3x+8y+3z= 8
::-5x + 2y- .~ = - 2
- 2x'+ ay = 4 (5)
tomando las ecuaciones (4) Y (5). Multiplicamos por 2 la .ecuación
(4) y.le sumamos la ecuación (5). '
2x' - 10y = - 6
- 2x + 8V'= 4
-2y = -2
Y ,= 1
....

53. , Sustituimos/este valor en la ecuación '(4)
x - 5(1) = '1"'"3,
x - 5 =-3
x =~ '
SustitUi~os los valores de x y y que hemos obtenido, en cual.
quiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de z (to
hacemos en la ecuación. (1».
2(2) - 3(1) + z =- 1
4'- 3+z'=-1
z=-1:-4+3
z = :- 2' '
Porlo tanto,lasolucióndelsistemaes x= 2, y = 1, z = -2. '
Comproeba que estos valores satisfacen las ecuacionés (2) y (3)
sustituyéndolos en ellas. "
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema PQrel método de sustitución. .
, I '
x - 2y' + 2z = 1
2x - 3y- z = - 11
3x + 2y + z = 4"
(1)
(2)
(3)
Resolviendo p'ara z la ecuaci?n (3)
-z=,4 - 3x - 2y,
f .Ysustituimos en las ecuaciones(1) Y(2).
, En la ecuación (1) ,
(4)
x - 2y + 2(4 - 3x - 2y) = 1
x - 2y + 8 - 'ex- 4y =1
-, 5x - 6y '= -:7 (5)
"
En la ecuación (2)
'2x - 3y - (4 - 3x - 2y) = -11
2x - 3y - 4 + 3x + 2y = - 11
5x - y = - 7 (6)
l{p.solviendo para la ecuación (6)
y = 5x + 7 (7)
l'
I
61

54. .62
y sustutuimos en la ecuación (5)
- 5x - 6(5x + 7) = - 7
- 5x - 30x - 42 = -:..7
- 35?,= 35
x = - 1
Sustituimos x por - 1en la ecuación (7)
y = 5(-1) + 7
y = -5 + 7
y=2
Sustituimosx por -1. y Y por 2 encualquieradelaseéuacio-
nesoriginales(lo hacemosenla(3».
3(-1) + 2(2) + z = 4-
- 3 + 4 + z-= 4
~=3
Por lo tanto la solución del sistemaes
x = -1-, Y = 2 Y z = 3.
Ejemplo: -
Un ~quipo está formado por 60 jugadores de las escuelasPre-
paratoria, Agronomíay Economía. Hay diez -al~os menos de
Economía que l~ suma de los de Preparatoria y Agronomía y el
número de alumnos de las escuelasde Agronomía y Economía esel
doble del número-de alumnos-de la escuelaPreparatoria.¿Cuántos
alumnos hay de cadaescuela?
Representamos por medio de una incógnita lo que nos pre-
guntan:
x ~ número dejugadores de la escuelaPreparatoria'
y = número dejugadores de la escuelade Agronomía
z = número dejugadores dela escuelade Economía
Con los datos que nos proporciona el problema, es necesario
formar tres ecuaciones ya que tenemos tres incógnitas y lo hacemos
de la siguiente forma: .
x+y+z=60 El total de jugadores formado por las tres e~cue-
las es60. .
Sumamos los de Preparatoria y Agronomía y le
restamos 10- para poder igualarlos con 108 de
Economía. -
x + y -10 = z

55. y+z=2x Los de Agronomía y Economía son el doble de
los -de,Preparatoria.
Escribimos las tres ecuaciones encontradas de la siguiente
manera:
x+y+z=60
x + y - z =10
- 2x + y + z =- O
(1)
(2)
(3)
Resolvemos este sistema usando el método de suma o resta:
A la ecuación (1) le sumamos la ecuación (2) para eliminar z.. . .
. x+y+z=60
x + y - z = 10
2x '+ 2y =70 (4)
A la ecuación (2) le sumamos la ecuación (3) para eliminar -
- también.z -'
x +. Y - z = 10
~ 2x + y + z = O
- x + 2y -= 10 (5)
Multiplicamos por .¡'la ecuaCión (4) y le sumamos la ecuación
(5)
x + y = 35
'7 X + 2y = 10
3y=45
Y= 15
Sustituimos, este va~o~en la e~uación (4)
2x + 2(15) =70
2x + 30 =70
2x =70 - 30
2x=40
x ==20
Sustituimos los valores de y = 16 Y x "= 20 en la ecuación
(1)
20 + 15 + z = 6'0
35+z=60
,z = 60 - 35
z =25
'- 63

56. Por lo tanto la solución al problema es:
Número de jugadores de Preparatoria = 20
Número de jugadores de Agronomía = 15'
Número de jugador~s de Economía = 25
Ideas .
para un problema
de planteo.
Antes de resolver un problema de planteo, no olvides lo si-
guiente,ya que te será muy útil para que puedas Ileg~ra su solución:
l. Leer cuidadosamente el problema hasta estar seguro de haberlo
entendidoperfectamente. .
2. Representar por medio de .incógnitaslo que se pide.
3. Identificar qué datos se conocen en el problema.
4. Relacionarlos datos conocidos con las incógnitas por medio de
ecuaciones.
5. Res()lverel sistema de ecuaciones a que se ha llegado'usando
algunos de 108métodos conocidos~
6. Comprobar la solución.
REACTIVOSDEAUTOEVALUACION
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con tres variables usando
cual,quier método.
,64
a) 2x+3y-4z=1 f) 4x...,.3y+ 31=8,
3x- y-2z=4 2x+3y+24z=1
4x - 7y'-Iz' = -7 8x- y+ 8z=-1
b) x+y+z=3 -
) 8x + 2y'+ 4z = 2
2x + y - Z =-8 4x- y + 2z = -3
3x- y + z = 11 7x - 2y - 31 == 6
IC) 4x + 4y -:- 3z=3 h) 'x-&y+3z=9
'2x + 3y + = -4 2x- y+4z=6
3x - y+4z=4
....
3x-2y+ z=2-
d) 3x+ y + 4z =6 i) 2x+2y+,3z=2
2x- 3y- &z=2 3x - y-6z=4
3x- 4y+3z=8 8x+4y+3z=8
e) 2x-3y-3z=9 j) x+3y-2z= 2
x+3y+2z=3 2X - 3y ... 31 = 11
3x -4y - z=4 3x"+ 2y + 2z ==14

57. Módulo4
OBJETIVOSESPECIFICOS
Al terminar de estudiar este módulo el alumno:
l.
2.
3.
4.
Explicará en que consiste una desigualdad lineal.
Graficará desigualdades en el plano cartesiano.
Explicará en que consiste un sistema de desigualdades lineales con dos incógnitas.
Resolverá sistemas de desigualdades lineales con dos incógnitas utilizando el método
gráfico'
Resolverá problemas' de planteo .con sistemas de desigualdades lineales mediante el
método gráfico. .
5.
ESQUEMARESUMEN
. Solución ..
Método
gráfico
.
Aplicaciones:
programación lineal,
Conjunto
solución.
65
-.Delligualdades
Sistemas de
lineales desigualdades
bneales
,Ir

58. Una desigualdad
lin.1 eL..
,
66
4.1 Sistemade desip8ldades linealescon dos variables
..
A un. sistema de dos o más desigualdades de la forma
.Ax + By + e ~ o 6 Ax + By + e ~ o ó cualquier forma
equivalentedonde A =1= O 6 B =1=/OY A, B,e E R se le llamaun
sistema de desipaldades lineales con dos variables. La solución de
este sÍ8temapuede encontrarse por. varios métodos; sin embargo.,
nosotros usaremos sólo el método gráfico. Recuerda que la gráfica de
una desigual4ad son todos los puntos localizados en la mitad de un
plano y por lo tanto, la gráfica de un sistema de desigualdades es la
inte1'8ección de las dos rintades de planos que representan las gráficas
de cada una de las desipaldade8linealea. .
. También es necesario que recuerdes todos los postulados y
teoremas de orden, ya que te Serán útiles para comprender el método
crifico tJU:eaquí usaremos. Vamos primero a cons~ir las gráficas dé
algunas. deaipaldades lineales y en íodas ellas, primero, escribimos
la deiipa1dad ~ en la forma equiv81ente a que se ¡lega resolvien-
do para y. En caso de que no tengamos y será la' x la que dejaremos
sola en un lado de l~desigualdad. .
'Ejemplo:
Graficar x + y -2 < O; resolviend()primero para la y su-
mándole laambos lados de la desigualdadlos inversosaditivosde x y
de -2, nos queda .
y ~ -x + 2
Ahora,graficamosla recta y = -x + 2 que esla que divide'
al planoCartesianoen dos Remiplanos;para elloencontrareplosla
intersecciones de la recta con los ejes de coordenadas, cuando f
x=O
x=2
y = 2 .
y=O
(ver figura 18)
las coordenadas de todos los puntos ~e qued.andebajo de la
recta, s.tisiacen la desigualdad(prueba algunasde ellas)por lo que la
gráfica del conjunto solución es el semiplano que queda localizado
- debajo de la recta.
Ejemplo:
Graficar x + y -2 > O(esta desigualdad difiere de la anterior
sólo en JIUees> en lugar de <). Resolviendopara y nos queda
y > -x + 2.

59. 1
Figura 18.
Figura 18,
¡
Figyra19
x
67

60. 68
Tod~s los pares ordenados cuya grafi~a queda 'arriba de la
recta, satisfacen la desigualdad.por lo que la gráfica del conjunto
solución es el semiplanolocalizado arriba de la recta. (Ver figura 19)
Ejemplo:
Graficarla desigualdadx. >. 2..
,2
,,-
)C I,
.~I I
-
N '
If
I
!
Figura 20
..
x>2
x
...
El conjunto solución es: Todo~ los pares ordenados cuya figura
es'el,semiplano localizado ~ I,aderecha de !a recta" X =2.
Ya habiendo apr~ndido CÓmose grafica una d~8igualdad? resol-
veremQ8 ahora algunos ejemplos de sistemas de desigualdades lineales
con dos variables. Para mostrar la solución del sistema, graficamoslas
desigualdade$ que Iq forman sobre un mismo sistema de coordena-
das, siendo la solución la intersección de los conjuntos solución de
c~da una de ellas como y~ lo habíamos dicho anteriormente.
Ejemplo:
ftesolver el sistema de desigualdades lineales.
x-2y+4>0
2x + y - 2 < .0
(1)
(2)
, I
Transfor,mamos primero cada mía d~ las desigualdades a otra

61. equivalente resolviendo para y Para la desigualdád (1) 'tenem'os que
¿por qué?
Para la desigualdad (2) tenemos que
y<-2x+2 ¿po~qué?
Ahor~, graficamos las d~s desigualdades en un mismo sistema
de ejes coordenados y nos queda la siguiente fIgUra.
y
Figura 21
. Conjunto solución
~&
.,
parala.desigualdad ).I 1
Y<2'x+2 -
Conjunto 801ucilm '0
para la desigualdad ~., < -2x + 2
Conjunto
~solución
para el sistema
69

62. ~~~.- -.
Ejemplo: .
Resolver el siguiente sistema. x> 4
x + y + 2.> O
-x+y-3<O
Tiansformamos elsÍ8tema al siguiente que es equivalente
x>4
.Y> -X - 2
y<x+3
"",~,¡;;las_~dadea
~',
~, /
/
".
" "+" .
,' ,,' 2
..!!J¡¡' "~, /
, ,, , '
'""
¿Por qué?
,
"
,",,
,,
",
/"'"
"-
"
Figura 22 ~
v
"Conjunto solución
para la desigualdad
/x>4
~
----------.
Conjunto solución
para la desigualdad
y<x+3
; .
Conj1,tnto solución
para la desigualdad
y > -x -2
Conjunto soluciQD '
para el sistema.
70

63. Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema. y<4
2x - 3y s;: 6
Transformamos primero a un sistema que es equivalente-
y < 4
2
Y? 3" x-2
¡Por qué?
G¡'aficam~s ahora las dos desigualdades
,
Conjunto solución
1 ! 1
,
para ~ :¡aJdad ~
. Conjunto solución.para el sis"'ma. r~
Conjunto solución
paralades~aldad
2
V ~ "3x - ,2.
x
Figura23
71

64. Apli-=-ciones
dedesigualdades
lineales.
.~.
72
La gráfica del conjunto solución, es el conjunto de puntos de
la intersección de las gráficas de los dos conjuntos solución de las
desigualdades que forman el sistema, además en este ejemplo todos
los puntos que pertenecen a la recta y= l x ~2 son también
elementos del conjunto solución del sistema, debido a .que en la
segunda desigualdad tenemos y ~ ~ x -' 2, esdecirla y puede,
al 2 2 ' . 2
ser ¡gu a ¡ X - o mayor que - x - 2. 3
El uso de las desigUaldades tiene. una gran variedad de aplica-
ciones; aquí daremos una de ellas llamada programación lineal Si se
tienen dos cantidades variables que son controladas por un conjunto
de condiciones que puedan ser expresadas como desigualdades linea-
les, entonces la gráfica de este sistema es el conjunto de puntos
dentro de cierta figura geométrica limitada por líneas rectas llamada.
polígono. Dado que podemos expresar una tercera cantidad como
una expresión lineal en la que intervengan las mismas dos variables,
su valor máximo o mínimo ocurrirá para' los valores de las variables
en uno de los vértices del polígono; desde luego que este hecho no lo
demostraremos aquí, pero lo tomaremos como cierto. Si quieres
ampliar más tus conocimientos sobre este tema puedes consultar uno
de los libros que se dan en la bibliografía.
En seguida vamos a presentar ejemplos que nos ilustrarán per-
fectamente todo lo que acabamos de decir. .
/
/
Ejemplo:
. Una agencia.de viajes está organizando una excursión por la
ciudad yha decidido que puede aceptar como máximo a 12 personas
de las cuales deben. ser cuan~o menos 5 hombres y 4 mujeres. La
utilidad por cada hombres es de $12 y por cada mujer es de $10.
¿Cuántos hombres y cuántas mujeres deben ir en 'a excursión para
que la utilidad de la agencia sea máxima?
Primero representamos pqr medio de literales las variables que
intervienen en el problema, o sea ¿cuántos hombres y cuántas mu-
jeres deben ir en la excursión? Hagamos. .
x = número de hombres
y = número' de mujeres'
Las condiciones que deben de cumplir X y Y son:
x + y ~ 12
x ~ 5
Y ~ 4
número máximo de personas es 12
número mínimo de hombres es 5
número mínimo de mujeres es 4

65. Graficamos el sistema. La solución del sistema está en el trián-
gulo ÁDJ (polígono de 3 lados) y serán los .pares ordenados (x, vI,
representados en la gráfica(ver figura 24). .
.Y
M
11
en
En la. figura podemos ver que (x y) está dentro o en el
límite del triángulo A D J Ypuesto que' x, y E N. sólo hay 10
pares ordenados de números naturales que satisfacen las tres desi-
73
E 11.-
F--
'"
y.=4
"..u. .
A' . e
o 1 2- 3 .4 & . 7 ... ¡ . 10 11' 12
Figura 24

66. Máximo
y minimo
de una funci6n
utilidad.
74
. .
gualdades. Cada uno de estos puntos es~ representado en la gráfica
por A, B, e, D, E, F, G, H. I Y J. .
La función utilidad la.representamos como U y queda expre.-
sadacomo sigue:
.} 12x
U = 12x + .1Oy L 10y
utilidad que dejan los hombres .
utilidad que dejan las mujeres
Si ~. es la utilidad pa~a A (5,4) Y Ubpara B (6,4) Yasí
sucesivamenteóbtenemos.
Para A (5,4)
Para ~ (6,4)
Para e (7,4)
Para D (8,4)
Para' E (5,5)
Para F (6,5)
Para G (7,5)
. Para H (5,6)
Para I (6,6)
Para J (5,7)
U. = 12. 5 + 10. 4 =
Ub = 12. 6 + 10. 4 =
Uc = 12. 7 + 10. 4 =
Ud = 12. 8 + 10. 4 =
.U. .=' 12 .5 + 10. 5 =
Uf =12. 6 + 10 .-5 =
U, = 12. 7 + 10. 5 =
Uh = 12. 5 t 10. 6 =
U. =12. 6 + 10. 6 =
Uj = 12 .5 + '10." =
$100'
112
124
136
110
122 .
134
120
132
130
Podemos.ver que la máxima .utilidad se obtiene en el púnto
D (8,4), es decir cuando en la excursión vayan 8 hombres y 4
mujeres. Vemos también que la mínima utilidad se obtiene en el
punto A (5,4) es decir cuando vayan 5 hombres y 4 mujeres;por lo
que podemos concluir que el valor máximo y el valor mínimo de la
función U ocurre siempre en algún vértice del polígono que se
forma con las desigualdades.
Hagamos de' nuevo la gráfica anterior y de los 10 pares ordena-
dos que analizamos, consideremos sólo los correspondientes a los
vértices del .triá.ngulo.
En esta misma figura tracemos algunas rectas de la familia de
rectas que representan la función utilidad. (Observaque ésta familia
de rectas tiene pendiente igual a - ! ) (Ver figura 25).. 5 '
Algunas de estas rectas son las rectas 1,2, 3.y 4, Yen la figura
vemos que el vértice más próximo al origen contenido en una de
estas rectas es el punto donde la función utilidad es mínima (recta 2
en nuestro caso) y el vértice más alejado del origen contebido en una
de 'estas r~etás representa el punto donde la función utilidad es máxi- '

67. ma (recta 4 en nuestro caso). Este m~todo es otra forma de deter-
minar qu~ vértice del polígono representa el valor ~áximo o mínimo
, para la función utilidad. . .
12
.,.,
10
9
'
,
",
~8
7
,,
'
"0"
,.
"
'
,
'
"
,
J
5
4
3
2
'1
o
x
(Figura 25)
Ejemplo:
Una persona necesita .10, 12 Y 12 unidades de los fertilizantes
A, B YC, respectivamente para.su jardín. Un producto líquido con-
tiene 5, 2 Y 1 unidades de los fertilizantes A, B Ye respectivam~nte
, por litro;y un pr~duct;)sólidocontiene1,2 Y4 unidadesdefertili-
zante A, B Ye respectivamente por kilo. Si el costo del producto
líquido. es de $ 3.00 litro y el del producto sblido es de $2.00 por
kilo, ¿cuántoslitros del producto líquido y cuántos kilos delproduc-
to sólido debe comprar, para que el costo sea mínirqo y además
cumpla con los requérimientos de los fertili~antes A, B Y Cl
75

68. Antes de intentar resolver este problema, vamos a resumir los
datos conocidos por medio de una tabla.
Representamos por medio de literales I~ que nos.piden. Ha-
ciendo
x = litros que se compran del.producto líquido
y = kilos que se compran del producto sólido,
Buscamosminimizar una función e (costo) que está dada por
e=3x+~
sujeta a las siguientes condiciones
5x + y ~ 1D
2x + 2y ~ 12
x + 4y ~ 12 "
~n estos próblemas de programación lineal, otra condición que
debe .de cumplirse es que las variables no sean negativas, es decir que
x ~ OYY ~ o.
G~cámos todases~ condiciones.(Verfigura26).
Los vértices d~1 polígono son los puntos A, B, e y D:
encontramos el valor de la función cOItoen cada uno de ellos.
. . .
Para A (0,10) e. = 3(0) + 2(10) = 820
Para B (1,5) Ctt= 3(1) + 2(6) =' 13
Para e (4,2) ea = 3(4) + 2(2) = 18
.Para D (12,0) . c.. =3(12) + 2(0) = 38
.~
Unidades por Unidades por Unidades que se
litro kilo necesitan
Fertilizante A .5 l 10
Fertilizante B 2 2 .12
Fertilizante C 1 4 12
Costo 3 2

69. y
o '.
Figura26
Podemos v.er que el costo es mínimo en el punto B. por lo
que,se dcbe de comprar 1 litro de producto líquido y 5 kilos de
prod1tctt>sólido., , . .
En.la figur~.a}l~rior~pódemos ver la recta 9Ue'representa la
función costo, y si movemos tina recta paralela hacia la derecha de
esta recta, el primer vértice que toca es el B lo cual concuerda con'
lo que ya habíamos dicho acerca de qué punto hace que la función, . .,
sea UQ ml~lmo.
REACTIVOSDEAUTOEVALUACIO,N
1.Los primeros, 10, ejercicios son problemas.de planteo, los cuales podrás resolver.
mediante,~I uso de sistemas deecuaciones lineales c~n dos o tres variables y lo~.siguientes
77

70. 2 ejercicios son problemas de p~amacióo 60- Si tienes dificultad en la solución de
este ejercicio se te recomienda que vuelvas a estudiar los ejemplos e,indicacionesque se te
, dieron para este tipo de problemas.
a) Una colecta de la Cruz Verde en una' escuela fué de,S130, si había 700 niños y
cada uno de ellos aportó un'amoneda de $0.10 ó u,nade SO.25 ¿cuántos-aportaron SO.10
y cuántos $0.25?
b) Duran~ un año una persona recibe $9,000 por la renta de dos casas. Si las rentas
difieren en S200, y la más barata estu~o ocupada sólo 10 meses del año ¿cuánto era la . I
renta de cada una de las casas?
c) Un contratista tiene trabajando 45 obreros en la construcción de una máquina,'si
una parte de eRos hacen la parte A y la restante la parte B Yademás sabemos que los que
'hacen la parte A son el doble de los que hacen la parte B ¿cuántos obreros trabajan
haciendo la parte A y cuántos haciendo la parte B? .
d) Se tie~en"dos ~olucionesde sal, una al 5%Yla otra al lO%. ¡Cuánto debemos'
poner de cada una para hacer 100 litros de una soluc,ión al 6 % de sal?
e) Dos aeropuertos A y B, están a 800 km uno del,otro y Bestá al Norte de'A:
Un avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en 5 horas. Si durante todo el
viaje estuvo soplando viento del sur a velocidad constante, encol1:trarla velocidad del
avión en.aireen 'reposoy la velo~idaddeí viento. Usesela fórmula.d = vt
. I
'd = distancia en kilómetros
V = ,velocidaden kilómetrospor hora
t '= tiempo e~ hora
fr Un estudiante compro un cuaderno, un libro y una pluma y en total" pagó $100. , '
Si el librocostó el dobleque la plumay la plumay.el cuadernojuntos costaronlas .
pa~s de lo que costó el libro ¡cuánto pagó e~estu~ante por cada una de las tres cosas
que co~pró? . , ,
, g) Un comerciante tiene tres diferentes calidades de arroz con precios por kilogra-
mo de $7, $9 ,y $12 resp,ectivamente.~Mezciala mitad del de $7 con la mitad del de $9 y
obtiene una' calidad de $7.75. El resto del de $9 lo mezcla con el de 12 y obtiene una
calidad de SI1.50 ¿cuántos kilogra~os de cada calidad original tenía si la suma de ellos
era de 310 kg?
h) Las sumas de las edades de un padre, su hijo y su 'hija suman 75 años. Si la edad
del padres es el doble que. la edad del hijo y 10 mas después la edad del padre será el
doble que la edad de la hija ¿cuál es la edad de cada uno?
78

71. . i) Un. matrimonio fue de compras al mercado Y'entre ambos llevaban $900 para
gastar sólo que el esposo gastó las 2/3 partes de su dinero y la esposa gastó. 4/5 del suyo
por lo que regresaron a' su c~a con $260. ¿Cuánto llevaba cada uno de ellos inicialment~
para gastar en él mercado? '
j) Un sastre tiene 60 m 2 de tela de algodón y 80 m2 de tela de lana. Para hacer un
saco se necesitan 2 m2 dé tela de algodón y 4 m2 de tela de lana. Para hacer un abrigo se
necesitan 3 m2 de, tela' de algodón y 2 m2 de tela de lana. ¿Cuántos sacos y cuántos
abrigos debe el sastre -fabricar pa¡:a obtener una utilidad máxima si cada saco lo vende a
$20 y cada abrigo a S30? .R~presenta por X el número de sacos que va a fabricar y por
y el número de abrigos.
k) Una co~pafÍla renta dos tipos diferentes de camiones de carga; el tipo A tiene
1,mmetro cúbico de espacio refrigerado y 2m3 de esp~cio no r~frigerado y el tipo B tiene
3 m3 d~ espacio refrigerado y 2 m3 de esp~cio no re.frigerado. Una planta ~e alimentos
necesita embarcar 60 m3 de productos que necesitan refngeración y 80 m3 de productos
que no necesitan refrigeración. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe rentar para, mhli-
mizar sus costos si el camión A se lo rentan a S1 el kilóme~o y el camión B se lo rentan
a $2 el kilómetro?
Represéntese por X el número de camiones de tipo A y por Vel número de
camionesde tipoB.
79

72. Bibl'iografíaparaconsulta.UnidadIX
ALGEBRA MODERNA
Eugene D. Nichols
Reaph T. Heimer
E. Henry Garland
Compañía Editorial Contine,ntal, S. A.
1969.
ALGEBRA SUPERIOR
Ross H. Bardell
. Abraham Spitzbart
Compañía Editorial Continental, S. A.
1966
81

73. L-
o a) 2x + y - 10 ~ O
b)' 3x - y - 4 =O
e) 7x -By - 7 =O
d) 3x+4y+1=O
. e) 2x - 3y - 4 =O
f) 4x - Y - 7 =O
~ k-y-1~0
~ k+V-7=0
i) 4x - 2y - 3 = O
D 7x - 4y - 12 = O
2~
~
82
Paneles de verificación
MODULO1 - VALlDACION
x, Y E R (0~10)~(S,O), (1,8) x E R
(-2, -10), (-1, -7), (3,5) x E I
14 . 21
(-4, -7), (-1, - '&) (-2, - i) x E. I
(1, -1) (-3, 2), (-7,5)
. (2,0) .
1 6 41
(¡, -B), (- 3' - 3)' (2,1)
2 3 7 3. 14
(3' 1), (¡., .2)' (- i' - -¡-)
(- ~, 3V2+ 7), W2,-.3V2 + 7),(Ji, - 3Ji + 7)
(vii 4..[i, - 3) (.¡j 4./7 -3) (- t=.13 . -4J13- 3
), 2 ' , 2 ' V 1;', -
(- V2 -7../'2 -1~)
(
.! - 17
) (
6 23
)
, 4 ' 2. 8" ~..
/
y
x

74. b)
.V
..
v
d)
. ~)
"
e)
I '
I
x
x
V.
,
x
x

75. x
m =0
84
f) y =-3
g) x = -.2
h) y=O
i) x=O
3.
a) m= - 2, b ==!2
b)
7
b = -!m=-- 8 ' 8
e) m=! b=O3 '
d) m = 2, b =-2
e) m = O b=O
.I
1) m = -1, b=4
g)
Y

76. l.
o a)
h) y
~x
i) Y,=3x-2
MODULO2 - VALlDACION
y
Se in tersecan en un
punto.
85

77. b) y
y
e)
Son paralelas.
x
86
Se' intersecan en
uIÍ punto.
x

78. d)
-y
-10
e)
y
x
Soncoincidentes.
Son paralelas.
87

79. y
f)
'X
Se intersecan en un punto.
g)
x
Se intersecan en un. punto.
88

80. }l) y
6
4
2).
a)
b)
c)
d)
e)
t)
g)
h)
-1
-2
-3
Son coincidentes.
. -4
-5'
x=2 y=3
x=-2 y=-1
x=! y=-!
2 . 2
x =.4 Y= - 5
x = 10, Y= 5,
46 121
x= 17 y = 17
b2 +.2 2b - .
x =, 2. + b y = '28+b
- 3 4
x-.:¡ y=¡
31 6
x = 14 y = 14
No tiene solución. Son ecuaciones inconsistentes.
Un número infinito de soluciones.
. 1 1
X='j Y=j
x=.-2 y=":"3
i)
j)
k)
1)
m)
x
89

81. 3.
~)
b)
c)
d)
e)
t)
g)
h)
'i)
j) I
k)
. 1)
m).
n)
o)
..
"
xi)
o)
p)
q)
'r)
8)
t)
x=! y=.!!.7 14
x = 4 'Y =- 1
x=3 y=-2',
6' . 1
x=-¡ y=¡
No tiene solución. Son ecuaciones inconsistentes.
x=1 y=! 2
x = - &
"2 y=2
p) .
q)
r)'
s)
t) .
4.
a)
b)
e)
d)
e)
x=! y=-!., & &
x=1 y=2
x=-2 y=-1
x=3 y=3
No tiene soluciól1. Son ecuaciones inconsistentes.
- 1 - 1 .
x-¡ y--¡
x =2 . y =-3
x=-1 y=-3
x = -6 Y= 7
Un' númer~ infinito de soluciones. Son rectas coincidentes.
x = -6 Y =~
x =! y =-113 3
x=2 y=-3
No tiene solución.. Son ecuaciones inconsis~ntes.
- 4 - 5
x - ¡ y - i
- 2
Y
- 3
x-¡ -.
" - 3
x=! y=-2 2
x =10 Y =8
x=-2. y=1
x=1 y=1
x=2
x =.1
x =.2
x' = 1
x=3
y = -1
Y ='3
Y = 3'
y=2
. Y = 1
90

82. MODULO3 -.VALlDACION
a)- x = 3 y = 1 z = 2
b) x::: 1 y ~ - 3 z = 5
c) x = 2 ¡ Y = - 2 z = -,.
3 '1 1
d) x=- ¡y¡=-- z=-2 , 2 2
e) x = 3 Y = 2 z = - 3
t) X - - 3
Y
- 4 2 I
--2 -- z=¡
. - 2 7 5
g) x -= - y = - z = - -, 3 3 3
h) x = - ! Y = - -1 z = !2 r 2
.
) ,1 3 2
I x=- y=- z=--
223
- j) x = 4 Y = O ~ ~. 1
MODULO4 - V~LlDACION
a) 300 aportaron 10 (:entavos;400 aportaron 25 centavos.
b) $300 y $500. . -
91
x =-2
3
f) Y =2
g) x =-2 y=7
b) x¡= -3 y=1
i) x=2 y=2
j) X = 1. y=O
k) x = 7- y=-!I
1) x = ! y =!2 2-
m) x=3 y =! '"2
) x = 1 Y = 2"
o) x = 1 - 7
Y -- 2
p) x = -! y =!3 2
q)
1 - 1X = - y - -- 6 - 5
r) x = 1 Y = 1
s)
1 1X = - y=--2 ' 2
t) No tine solución.

83. e)
d)
e)
. La parte A 30; la parte BIS.
80 litros de la de 5%; 20 li~os de la de 10%.
Velocidad del avión en aire en reposo 180 'km por hora. Velocidad del viento 20 km
por hora., .
Cuaderno 810; libro 860, pluma 830.
De 87, 100 kilogram~s; de 89,60 kilogramos; de 812, 150 kilogramos~
Edad del padre 40 años, edad del hijo 20 años, edad de la hija 15 años.
Esposo8600, esposa8300. .
Las desigualdades 9ue forman el sistema. son:
f)
g)
h)
i)
j)
/
2x+3y~60
4x + 2y ~ 80
(1)
(2)
La función que.sebusca maximizares U =20x + 30y
L~gráfica del ~stema es la siguiente:
xo 10 20
k)
La solución óptima es: .
15 sacos y 10 abrigos con una utilidad d~ 8600 ó Osacos y ~O abrigos con la misma
utilidad de 8600. . .. . .
Las-desigualdades'.que fprman et sistema son: ,
x+ ~ ~ 60
2x'+ 2y ~ 80
(1)
(Z)
La función que se bu.sca minimizar es
C=x+2y
92

84. La gráfica d~lsistema es la siguiente: .
y
50
40
30
20
10
La solución óptima es:
Rentar 30 camiones de tipo A y 10 camiones de tipo B.
x
93