Este documento trata sobre ángulos y su medición. Define ángulo, explica los sistemas sexagesimal y circular para medir ángulos, y cubre conceptos como ángulos complementarios, suplementarios, coterminales, arcos de circunferencia y áreas de sectores circulares.

1. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 4 “Midamos ángulos ”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido ÁNGULO
DEFINICIÓN: Ángulo es una figura formada por dos semirrectas o rayos que tienen el
mismo origen.
El origen común se llama vértice y las semirrectas, los lados del ángulo.
Todo ángulo forma dos regiones en el plano: la interior,
que es propiamente el ángulo y la exterior. El signo para
denotar el ángulo es . Y se coloca la letra
correspondiente al vértice, otra notación que suele
utilizarse para denotar el ángulo, es escribir AOB,
haciendo referencia al ángulo O, que es el que se deja en
medio de las letras.
Un ángulo en el vértice se supone generado por la rotación de una semirrecta móvil
alrededor de su origen, desde la posición inicial, que es el lado inicial hasta la posición
terminal que es el lado terminal.
Si un ángulo se mide en el mismo sentido de las agujas del reloj, se dice que el ángulo
es Negativo. Y si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj, el ángulo
es Positivo.

2. Ejemplos:
Ejercicios: usando el transportador, dibuja los siguientes ángulos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) 110°
j) 325°
k)

3. GENERALIDADES
Profesor Osmaro Adonay Muñoz Rauda N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 4 “Midamos ángulos”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido SISTEMA SEXAGESIMAL
MEDIDA DE ÁNGULOS
La magnitud de un ángulo depende de la abertura de sus lados y no de la longitud de
estos.
Para medir un ángulo se tienen los siguientes sistemas:
 SISTEMA SEXAGESIMAL
En este sistema se ha dividido la circunferencia en 4 partes iguales, llamadas
cuadrantes y cada cuadrante en 90 partes iguales, cada parte se llama Grado (º).
Cada grado está dividido en 60 partes iguales, llamadas Minutos (') (minuto
sexagesimal) y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas: Segundo ('').
= 1´´(Segundo sexagesimal)
El minuto y el segundo son submúltiplos del grado sexagesimal. Este sistema recibe el
nombre de sexagesimal por contar o subdividir de 60 en
60.
La unidad de medida angular en este sistema es el grado
sexagesimal que corresponde a un ángulo igual a la noventa-ava
parte del ángulo recto. 1º = ángulo recto (un grado

4. El Transportador es un instrumento que sirve para medir ángulos y para construir
ángulos de un número dado de grados.
Ejemplo 1: para indicar que un ángulo mide, 55 grados, 27 minutos y 9 segundos lo
hacemos de la manera siguiente:
Solución:
ÁNGULOS COTERMINALES
Ejemplo 2: Encontremos el menos ángulo positivo que sea
coterminal con el ángulo que mide
Solución:
El menor ángulo positivo coterminal de 60° es 420°
Ejemplo 3: Encontremos un ángulo negativo que sea coterminal con 270°
Solución:
Un ángulo negativo coterminal de 270° es -90°
Otros ángulos coterminales de 270° son 630°, -450°
Si θ es la medida en grados de un ángulo cualquiera entonces el menor ángulo positivo
coterminal de él es θ + °; mientras que el mayor ángulo negativo coterminal es θ -
360°.
Ejemplo 4: Encontremos el menor ángulo positivo que sea coterminal con
Solución:
El menor ángulo positivo coterminal es +
Ángulos coterminales son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado
terminal.

5. Ejemplo 5: Encontremos el mayor ángulo negativo que sea coterminal con
Solución:
El mayor ángulo negativo coterminal es
( ) ( )
EJERCICIOS:
I. Encuentra en cada caso, el menor ángulo positivo y el mayor negativo que sea
coterminal con el ángulo dado, además dibuja el ángulo.
a)
b)
c)
d)
e)
f) ( )

6. GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 4 “Midamos ángulos”
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Contenido ANGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios y suplementarios
Ejemplo 6: para el ángulo que mide 75°, encontremos el ángulo complementario y
también el ángulo suplementario.
Solución:
Ejemplo 7: Si un ángulo mide 68°; encontremos su ángulo complementario y
suplementario
Solución:

7. Ejemplo 8: Encontremos el ángulo complementario y el suplementario de
Solución:
Ejemplo 9: Encontremos el ángulo complementario y el suplementario de 4
Solución:
4 4 40° 42´ 22´´
4 4 4
EJERCICIO:
I. Encuentra el ángulo complementario para cada ángulo dado
a)
b)
c)
d)
e)
f) 4 4 4
II. Encuentra el ángulo suplementario para cada ángulo dado
a)
b)
c)
d) 4
e)
f) 4
III. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios
a) Dos ángulos son suplementarios, si uno es la tercera parte del otro ¿Cuánto
mide cada ángulo?
b) Un ángulo es la quinta parte de otro. Si los dos ángulos son complementarios
¿Cuánto mide cada uno?
c) El ángulo A mide la mitad del ángulo B, el cual a su vez mide la tercera parte del
ángulo C. si la suma de los tres ángulos es igual a un ángulo recto ¿Cuánto mide
cada ángulo?
d) Un ángulo mide 14° más que otro. Si se sabe que los dos ángulos son
complementarios ¿Cuánto mide cada uno de ellos?

8. e) Un ángulo es 19 veces mayor que otro. Si los dos ángulos son suplementarios
¿Cuánto mide cada uno de ellos?
f) La mitad de un ángulo es 9° menor que su complemento ¿Cuánto mide dicho
ángulo?
g) El doble del complemento de un ángulo igual a la mitad del suplemento de
dicho ángulo ¿Cuánto mide el ángulo en cuestión?
GENERALIDADES
N° de horas:
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Unidad 4 “Midamos ángulos”
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Contenido SISTEMA CIRCULAR
SISTEMA CIRCULAR.
La unidad de medida (unidad de arco) en el sistema circular es el
Radián. Un radián (rad) se define como la medida del ángulo central
que subtiende un arco del círculo igual al radio del círculo. Tenemos
que la longitud de la circunferencia está dada por 2r y que toda la
circunferencia subtiende un ángulo de 360º; tenemos entonces que:
Longitud de la circunferencia en radianes es:
Donde  = 3.1416
La medida en radianes de los siguientes ángulos
Una rotación
Media rotación

9. Un cuarto de rotación
CONVERSIÓN DE UN SISTEMA A OTRO.
 Conversión de radianes a grados sexagesimales
EJEMPLO: Expresar cada uno de los siguientes ángulos en grados sexagesimales.
a) radianes b) radianes c) 1.25 radianes
SOLUCIÓN: Se tiene que , usando la regla de tres simple
tenemos
a) = 30° R/ 30°
b) ( ) R/ 165°
c) R/71.62°
d) 4 4 4
 PARA CONVERTIR GRADOS SEXAGESIMALES EN RADIANES
EJEMPLO: Convertir a radianes:
a) 60° b) 135°
SOLUCIÓN: Tenemos que: 1 0.017453 .
180
rad
rad

 

a) 60°;
60
1.047
180 3
rad
rad rad
 
 

R/ 1.047 rad.
b) 135°;
135 3
2.3562
180 4
rad
rad rad
 
 

R/ 2.3562 rad.
Ejercicios:
A. Convertir cada medida con aproximación a grados.

10. 1.
3
4
rad

2.
7
12
rad

3.
9
4
rad

4.
11
6
rad

5. 0.75rad
B. Dar la medida equivalente (exacta) en radianes para cada ángulo.
1. 240° 2. 300° 3. –330° 4. 126° 5. –270°
GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 4 “Midamos ángulos”
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Contenido ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA
ARCO DE UNA CIRCUNFERENCIA
S = rt.
Un arco es la porción de una circunferencia comprendida entre dos radios.
Un arco de circunferencia se denota con el símbolo ̂ sobre las
letras de los puntos extremos del arco.
Las letras se escriben en sentido anti horario, es decir, en contra
de las agujas del reloj.
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
1 La longitud del arco determinado por dos radios en una
circunferencia está determinada por la fórmula:
180
r
L L r x
 
  


11. Donde “r” es el radio, “” es la medida del ángulo en grados y “x” la medida del ángulo
en radianes.
Ejemplo 1: Determinar la longitud del arco que subtiende un ángulo de 87° y 2.3 m de
radio.
Solución:
Ejemplo 2: Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como
máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del
columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
Solución:
Ejemplo 3: Un faro barre con su luz un ángulo plano de 2.234 rad. Si el alcance máximo
del faro es de 7 millas marinas, ¿Cuál es la longitud máxima del arco
correspondiente?
Solución:
Ejemplo 4: El diámetro de las ruedas de un automóvil mide 60 cm. ¿Cuál es la distancia
recorrida por el automóvil si las ruedas han dado 400 vueltas?
Solución:
Angulo de una vuelta
Angulo de 400 vueltas 4 ( )
La longitud recorrida es
( )( ) ,
   
180
2.3 87
180
3.5
r
L
m
L
L m
 


 



   
180
1.8 146
180
4.6
r
L
m
L
L m
 


 



  2.234 7
15.64
L x r
L millas
L millas
 



12. EJERCICIOS:
1) Encuentra la longitud de arco con los siguientes datos, además haz la
circunferencia.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2) Encuentra la longitud de arco de la figura
3) Encuentra el valor del ángulo θ que se indica
4) Encuentra el valor del radio
5) El radio de la circunferencia es 10 cm.
Encuentra la longitud de arco que subtiende un ángulo de .

13. 6) Calcula la longitud de arco que subtiende un ángulo de 235°, si el radio de la
circunferencia mide 12 cm.
7) La aguja segundera del reloj mide 2cm. ¿Cuál es la distancia que recorre su
extremo en 28 segundos?
8) El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Toño mide 44cm ¿Cuál es la
distancia recorrida por Toño cuando la rueda ha dado 900 vueltas?
GENERALIDADES
N° de horas:
Asignatura Matemática Grado: noveno Sección:
Unidad 4 “Midamos ángulos”
Fecha de inicio Fecha de finalización
Contenido AREA DE UN SECTOR CIRCULAR
SECTOR CIRCULAR
2
360
r n
A


Radio
Número de grados
r
n


CORONA CIRCULAR
 2 2
A R r  
Radio Mayor
Radio Menor
R
r



14. Ejemplo 1: Un pastel mide 30 cms
de diámetro, y una persona toma
un pedazo de pastel que posee un
ángulo de 65°, cuál es el área que
ocupa el pedazo de pastel.
    
2
2
2
360
15 65
360
127.63
r n
A
cm
A
A cm


 



Ejemplo 2: Un parque tiene forma circular y tiene 125 metros de diámetro, que
además posee en el centro una fuente de forma circular también con un radio de 7
metros, ¿Cuál es el área de recreo?
 
   
 
2 2
2 2
2
2
62.5 7
3857.25
12,117.9
A R r
A m m
A m
A m
  
   
 
 

EJERCICIOS:
I. Para cada radio y cada ángulo central encuentra el área del sector circular,
dibuja los círculos.
a)
b) 4
c)
d) 4 4
e)
f)
II. Encuentre en cada caso el área de la región sombreada.
TRAPECIO CIRCULAR  2 2
360
n
A R r

 
Radio Mayor
Radio Menor
Número de grados
R
r
n



𝐴
𝜃
(𝑅 𝑟 )