TOPOGRAFIA PARA CAMINOS Y VIAS URBANAS

1. TOPOGRAFIA
PARA CAMINOS Y VIAS
URBANAS
ING. LENIN M. BENDEZU ROMERO

2. DOCENTE DEL CURSO:
Lenin Miguel Bendezú Romero
Ingeniero Civil
Email: lenin.bendezur@ciplima.org.pe

3. OBJETIVOS DEL CURSO
• Aplicación de las normas técnicas para el
Diseño de vías emitido por el Ministerio de
Transportes y Comunicaciones -MTC y el
Reglamento Nacional de Edificaciones Perú.
• Ejecutar el levantamiento topográfico, para
caminos y vías, considerando las etapas en el
proceso de diseño de vías y el trabajo a
realizar.

4. Clases: Martes de 07:30 a 12:00 horas
Evaluación: De acuerdo a sílabo
Aprobación: El estudiante que acumula
inasistencias injustificadas en número igual o
mayor al 30 % del total de horas programadas
en la unidad didáctica (asignaturas), será
desaprobado en forma automática, sin derecho
a recuperación.

5. Reglas del Juego
• Apague su celular, iphone, etc.
• No comer ni beber en el salón de clases.
• Es fundamental escuchar la opinión de sus
otros compañeros.
• Las actividades a realizar tendrán un tiempo
determinado y se pide respetar ese horario.
• Participación activa del estudiante (se evaluará)
• No realizar otras actividades, durante el desarrollo
las clases.
• Si desea intervenir levantará la mano.
• El alumno deberá contar con calculadora en clases.

6. Definiendo Valores personales
centrales
• Por que estoy aquí, en este curso?
• ¿Porqué estoy dispuesto a esforzarme
hasta el último?
• ¿Qué me importa apasionadamente?
• ¿Porqué me gustaría ser recordado?
• ¿Qué me gustaría haber logrado en 5 años?
• Si pudiera defender algunos principios básicos
¿Cuáles serían?

7. "El éxito no es ni mágico ni misterioso. El éxito
es la consecuencia natural de aplicar con firmeza
los principios básicos de la superación personal."
Jim Rohn
“Los que emplean mal su
tiempo son los primeros en
quejarse de su brevedad”.
Jean De La Bruyere

9. CONCEPTOS BÁSICOS DE
TRIGONOMETRÍA

10. DEFINICIÓN DE TRIGONOMETRÍA
La trigonometría (del griego, la medición
de los triángulos) es una rama de las
matemáticas que estudia los ángulos y los
lados de un triángulo cualquiera y las
relaciones entre ellos.

11. • Está compuesta por: Prefijo Tri- cuyo significado
es tres Lexema –gono- cuyo significado es ángulo
y Sufijo –metría cuyo significado es medida.

12. Ángulo: Es la abertura formada por dos
semirrectas unidas en un solo punto
llamado vértice.
Es la porción de plano limitada por dos
semirrectas que se unen en un punto.

13. •Los ángulos se pueden representar centrados
en los ejes de coordenadas.
•El sentido positivo es contrario a las agujas
del reloj

14. MEDIDA DE UN ÁNGULO.
•La unidad de medida de los ángulos se
llama grado, y resulta de dividir un
ángulo recto en 90 partes iguales, por lo
tanto, un ángulo recto mide 90º.
•El sistema de medición de los ángulos
se llama sexagesimal y está formado
por: un grado = 60 minutos, un minuto =
60 segundos.

15. En la trigonometría, se emplean tres
unidades, si bien la más utilizada en la vida
cotidiana es el Grado Sexagesimal, en
matemáticas es el Radián la más utilizada.
•RADIAN se define como la unidad natural
para medir ángulos, el Grado Centesimal se
desarrolló como la unidad más próxima al
sistema decimal, pero su uso prácticamente
es inexistente.

16. •Grado Sexagesimal: ángulo recto 90º
(Deg en la calculadora Grado
Centesimal: centésima parte de un
ángulo recto. 100º.
RADIAN. Es el ángulo plano que,
teniendo su vértice en el centro de
un círculo, de manera que el arco
situado sobre la circunferencia de
ese círculo, tiene la longitud igual al
radio. Su símbolo es rad.

17. CONCEPTOS GENERALES
Las funciones trigonométricas resultan
básicamente de realizar divisiones entre
los lados de un triángulo. Su aplicación
se extiende a parte de las ramas de la
matemática, al estudio de muchos
conceptos básicos de la física. Para una
mejor comprensión del tema, analicemos
la siguiente gráfica:

18. En la figura se observa un
ángulo que orientado en forma
positiva (en sentido contrario a
las manecillas del reloj), en el
cual su lado inicial es el mismo
eje de coordenadas x, y su lado
Terminal el nombrado con la
letra A. Sobre este lado terminal
se han localizado dos puntos
P1 y P2 respectivamente, y por
cada uno de los dos puntos
hemos trazado igual número de
perpendiculares sobre el eje de
coordenadas x,

19. formando así dos triángulos
rectángulos a saber: triángulo 0M1P1
y 0M2P2. De lo anterior, se deduce,
que de la misma forma que hemos
construido dos triángulos rectángulos,
se pueden construir una cantidad
infinita de triángulos, que por
geometría se sabe que serán
semejantes entre sí.

20. Sea el triángulo rectángulo:
El lado que se encuentra al
frente del ángulo recto, en
cualquier triángulo rectángulo
recibe el nombre de
hipotenusa, que en la gráfica
la hemos señalado con la letra
r.
Por el teorema de Pitágoras se
halla el valor de r, entonces:

21. Esta relación indica que para
cualquier ángulo dado,
cualquiera que sea el
punto P que se tome sobre su
lado terminal, el cociente entre
cualquiera de los lados y
r, tiene un valor constante.
Es decir:

22. siempre van a tener un valor constante.

23. De igual manera, como se han
encontrado los valores de estas dos
funciones, por semejanza de triángulos
se puede hallar otras proporciones y
nombrarlas con diferentes nombres, que
en conjunto son las que llamamos
funciones trigonométricas.
En función del triángulo rectángulo se
definen las funciones trigonométricas así:

24. Llamando:
r = hipotenusa del triángulo
y = cateto opuesto respecto de
.
x = cateto adyacente respecto de
.
Entonces:
Llamando:
r = hipotenusa del triángulo
y = cateto opuesto respecto de
.
x = cateto adyacente respecto de
.

26. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
LOS ÁNGULOS NOTABLES
Se sabe por definición que los ángulos
internos de cualquier triángulo suman
180°.
Si a un cuadrado se le traza una
diagonal, genera dos triángulos
rectángulos, con unángulo de 90° y dos
de 45°. Ahora, si se trata de un
triángulo equilátero donde sus tres
ángulos son iguales (60° cada uno)

27. y se divide en dos partes trazando
una de las alturas del triángulo, genera
dos triángulos rectángulos, donde cada
uno de los triángulos tiene un ángulo de
90°, uno de 60° y el otro de 30°. A los
ángulos de 30°, 45° y 60° son los que
llamamos ángulos notables.

28. Funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y
60°
Para hallar las funciones trigonométricas de los
ángulos de 30° y 60°, tomaremos comobase un
triángulo equilátero

29. Observemos que al dividir el triángulo
equilátero en dos partes, resultan dos
triángulos rectángulos.
Tomemos uno de ellos:

30. Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de
30° y 60°,es necesario encontrar el valor de la altura del
triángulo. Este valor se halla por medio del teorema de
Pitágoras:

31. Teniendo los datos del triángulo
completos, se hallan las funciones
trigonométricas para cada uno de los
ángulos:

32. De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se
tendrá:

33. De lo anterior se establece una serie de
relaciones entre los dos ángulos:
Seno 60° = Coseno 30°
Coseno 60° = Seno 30°
Tangente 60° = Cotangente 30°
Secante 60° = Cosecante 30°
Cosecante 60° = Secante 30°

34. Funciones trigonométricas para el ángulo de 45°
Para encontrar las funciones trigonométricas del
ángulo de 45°, se utiliza un cuadrado como
referencia:
Si al cuadrado de la figura se le
traza una diagonal, el cuadrado
queda dividido en dos triángulos
rectángulos, donde se conocen
los valores de los catetos (L), y se
desconoce el valor de la
hipotenusa (x). Este valor al igual
que en el caso anterior, se halla
por medio del teorema de
Pitágoras

35. Con el anterior valor se completan los datos de la
figura
De esta manera hallamos las funciones
trigonométricas para el ángulo de 45°.

36. Resumiendo en un cuadro general todas las funciones
trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°,
tenemos:

37. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER ( I )
CUADRANTE

38. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL SEGUNDO ( II )
CUADRANTE
Para una mejor explicación, observemos la siguiente
figura:
En la figura se tiene que:
OA = OA´ = radio de la
circunferencia.
El lado OA´ corresponde al lado
terminal de un ángulo ubicado
en el segundo cuadrante,y por
semejanza de triángulos las
funciones trigonométricas de
éste ángulo son igualesque las
funciones trigonométricas del
ángulo del primer cuadrante.

39. Al ángulo marcado como
Le corresponde las mismas funciones trigonométricas del ángulo a del
primer cuadrante. Aplicando las definiciones de las
funciones trigonométricas se tiene:

40. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL CUARTO ( IV )
CUADRANTE
El ángulo referencia para el cuarto cuadrante será
360°.
OA = OA´ = radio de la circunferencia
El lado OA´ corresponde al lado terminal
de un ángulo ubicado en el cuarto
cuadrante, y por semejanza de
triángulos las funciones trigonométricas
de este ángulo son iguales a las
funciones trigonométricas del ángulo del
primer cuadrante. Se debe tener
en cuenta que: al ángulo marcado
como

41. le corresponde las mismas funciones
trigonométricas del ángulo a del primer cuadrante.
Aplicando las definiciones de las funciones
trigonométricas se tiene:

42. REDUCCIÓN DE FUNCIONES DE ÁNGULOS
NEGATIVOS
Los ángulos negativos presentan
relaciones con su respectivo ángulo
positivo en los cuadrantes I y IV, o también
en el II y III cuadrantes.
Observemos que en las dos figuras los puntos
escogidos sobre los lados terminales P y P´,
tienen la misma abscisa (x), los mismos
valores del radio (r) y difieren solamente en el
signo algebraico de la ordenada (y). Aplicando
las definiciones de las funciones
trigonométricas para los ángulos
representados en las figuras (1) y (2), se
tiene:
Figura No. 1

44. Si se realiza el mismo procedimiento para las
demás funciones trigonométricas, se llega a las
siguientes conclusiones:

45. MUCHAS GRACIAS