1. TEMA II. FUERZA
El comportamiento de un objeto depende de las fuerzas que se ejercen sobre él.
Las leyes de la estática son las condiciones en las cuales permanece en reposo un objeto.
PROPIEDADES DE LAS FUERZAS
La fuerza es una influencia que al actuar sobre un objeto le altera su estado de
movimiento.
Primera propiedad .- La fuerza la aplica siempre un objeto material a otro.
om e
.c o d
Segunda propiedad .- Una fuerza se caracteriza por la magnitud, la dirección y
so d
el sentido en el que actúa.
ce rga
Unidades :
Sistema británico : la libra (lb)
ac ca
Sistema internacional : el Newton (N)
Otro sistema : kilogramo-fuerza (kilopondio) (kp)
de es
1 kp = 9.81 N 1 lb = 4.45 N
so d
Tercera propiedad. (Tercera ley de Newton del movimiento) .- Siempre que
un objeto A ejerza una fuerza F sobre otro objeto B, el objeto B ejerce simultáneamente
ur to
sobre A una fuerza R. La fuerza R es de igual magnitud y dirección que la fuerza F pero
.c en
de sentido opuesto
w m
w ocu
w
D
Las dos fuerzas de cualquier pareja de fuerzas reciben el nombre de acción y
reacción.
Cuarta propiedad .- Si dos (o más) fuerzas se ejercen simultáneamente sobre
un mismo cuerpo, su efecto es el mismo que ejercería una sola fuerza igual a la suma
vectorial de las fuerzas individuales.

2. Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un objeto permanezca en
reposo, es decir, esté en equilibrio, es necesario que la suma vectorial de todas las
fuerzas que se ejerzan sobre el objeto sea nula.
ALGUNAS FUERZAS CONCRETAS
Fuerza de gravedad
Es la fuerza que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos próximos a su
superficie. La fuerza de la gravedad también se llama peso.
Fuerza de un resorte
Fg = Kx donde : Fg = magnitud de la fuerza
om e
K = constante de resorte
.c o d
X = distancia de alargamiento del resorte.
so d
ce rga
ac ca
de es
so d
ur to
.c en
w m
El dinamómetro utiliza el alargamiento de un resorte para medir fuerzas.
w ocu
Fuerza Normal
w
D
Cuando se sitúa un bloque encima de una mesa se ejerce una fuerza normal Fn en
el sentido inverso a la fuerza de gravedad. Entonces tendremos que Fn = - Fg.
Siempre que estén en contacto cuerpos sólidos, se ejercen fuerzas normales. Son
fuerzas reales y van acompañadas de pequeñas deformaciones de las superficies de los
cuerpos que les dan origen.

3. Fuerza de rozamiento
El rozamiento, como fuerza normal, es una fuerza que una superficie aplica a un
cuerpo en contacto con ella. Sin embargo, mientras la fuerza normal es perpendicular a
la superficie, el rozamiento es paralelo a ella
El rozamiento estático es la fuerza que se aplica sobre un cuerpo en reposo,
mientras que el rozamiento cinético es el que se aplica en un cuerpo en movimiento,
La fuerza máxima de rozamiento estático depende de la naturaleza de las dos
superficies de contacto.
om e
.c o d
Fuerza máxima de rozamiento estático = Ff,max = µs • Fn
Donde : µs = coeficiente de rozamiento estático
so d
ce rga
Compresión y tracción
ac ca
Un cuerpo sólido sometido a fuerzas compresivas opuestas F1 y F2 = - F1 por uno
y otro lado permanecerá en reposo.
de es
El bloque estará en un estado de compresión
En el caso contrario, cuando las fuerzas tiran del bloque, estará en un estado de
so d
tracción.
ur to
.c en
w m
w ocu
w
D
Cuerdas flexibles
Una cuerda flexibles posee algunas propiedades particulares:
1) Puede estar en estado de tracción, pero no es compresión.
2) Puede transmitir una fuerza según su longitud.
3) En ausencia de rozamiento, la tensión es la misma en todos los puntos de la
cuerda.

4. SUMA DE VECTORES
Definición .- Un vector es una cantidad física, tal como una fuerza, que tiene
magnitud, dirección y sentido.
Método gráfico .- Cada fuerza se representa por una flecha cuya longitud
representa la magnitud de la fuerza de acuerdo con una escala elegida adecuadamente.
La dirección y sentido de la flecha son iguales a la dirección y sentido de la
fuerza que representan. Cuando se colocan las flechas con el origen de una en el
extremo de la otra, la suma de las fuerzas está representada por la flecha cuyo origen es
el de la primera y cuyo extremo es el de la última.
Método trigonométrico .- La trigonometría se basa en el hecho de que los
cocientes entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales.
opuesto
Seno = = sen θ Hipotenusa2 = opuesto2 + contiguo2
hipotenusa
om e
.c o d
contiguo
Coseno = = cos θ
hipotenusa h = a2 + b2
so d
opuesto
Tangente = = tangθ
ce rga
contiguo
ac ca
Método del teorema de los senos .- Primero se dibuja la representación gráfica
de es
de las fuerzas y se determinan todos los ángulos interiores del triángulo de las fuerzas.
El teorema de los senos dice que todo triángulo de lados F1 , F2 y F3 cuyos ángulos sean
so d
θ 1 ,θ 2 y θ 3 se cumplen las relaciones.
ur to
.c en
F1 F2 F3
= =
sen θ 1 sen θ 2 sen θ 3
w m
w ocu
w
D

5. TEMA III. ANALISIS DE ESTRUCTURAS
EQUILIBRIO ROTATORIO
La primera ley de Newton es condición necesaria para que un cuerpo
permanezca en reposo, es decir, la suma de las fuerzas debe ser nula.
Ahora bien, las fuerzas pueden ser nulas y no estar en reposo.
La tendencia de una fuerza a originar la rotación alrededor de un eje depende de
la magnitud de la fuerza y su distancia al eje.
La regla del tablón se equilibra cuando el producto de la fuerza que ejerce en un
punto por su distancia al eje es igual al producto de la fuerza que ejerce el otro punto
por su distancia al eje.
Definición : El momento τ de una fuerza F respecto a un punto O es igual al
producto de la magnitud F por la distancia d del punto O a la recta soporte F.
τ = F•d
τ será positivo cuando F origine un movimiento en sentido antihorario y
om e
.c o d
negativo cuando sea en el sentido horario.
Unidades del momento:
so d
Ø Sistema británico :
ce rga libra • pié
Ø Sistema técnico : Kilopondio • metro (Kp • m)
Ø Sistema Internacional : Newton • metro (N•m)
ac ca
El momento presenta dos características importantes:
1- La magnitud y signo del momento creado por una fuerza dada dependen del
de es
punto O del que se calcula.
2- La distancia d es la longitud de la perpendicular trazada desde O a la recta
so d
soporte de la fuerza. La recta soporte es la recta cuya dirección es la de la
ur to
fuerza y que pasa por su punto de aplicación.
.c en
Un cuerpo que no tenga tendencia a iniciar rotación se dice que está en
equilibrio rotatorio . La condición necesaria para el equilibrio rotatorio es que los
w m
momentos en sentido horario sean iguales que los momentos en sentido antihorario.
w ocu
Condición del momento
w
D
Para que un cuerpo esté en equilibrio rotatorio, debe ser nula la suma de los
momentos debidos a las fuerzas que ejercen sobre dicho cuerpo.
Condiciones para el equilibrio estático
Para que un cuerpo esté en equilibrio estático, debe ser nula la suma vectorial de
todas las fuerzas que se ejerzan sobre un cuerpo (primera ley de Newton), así como la
suma de todos los momentos que se ejerzan respecto a un punto del cuerpo.
∑F = 0
∑τ = 0
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en donde, a fines de cálculo del
momento gravitatorio τ g , puede considerarse que actúa la fuerza de gravedad total.
En caso de un objeto uniforme, el centro de gravedad coincidirá con su centro
geométrico.

6. Propiedades
1- La fuerza de la gravedad de un cuerpo da un momento nulo respecto a su
centro de gravedad. Esto es cierto porque, por definición, la recta soporte de
la fuerza de la gravedad, pasa por el centro de gravedad, por lo que la
distancia de este a la mencionada recta soporte es nula. Esta propiedad nos
da un método para localizar el centro de gravedad de cuerpos sencillos.
2- El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto de equilibrio.
3- Para un cuerpo rígido, el centro de gravedad es el punto fijo respecto al
cuerpo, si bien no se encuentra necesariamente en el cuerpo.
4- En el caso de un objeto flexible, la posición del centro de gravedad respecto
al objeto varía cuando varía la forma del objeto.
DEFORMACION ELASTICA DE SOLIDOS
Cuando se aplican fuerzas a un sólido, siempre tiene pequeñas deformaciones
que se pueden medir con instrumentos especiales.
Definición : El esfuerzo normal s en un sólido es el cociente entre la tensión T
om e
en un sólido y el área A de su sección recta.
.c o d
T
s=
A
so d
Definición : La deformación normal (o alargamiento unitario) e es el cociente
ce rga
entre la variación de longitud ∆L de un sólido y su longitud original Lo .
∆L
ac ca
e=
Lo
de es
En función a estas cantidades, se puede decir que:
so d
S
e= y S = E•e
ur to
E
donde E = la constante del módulo de Young
.c en
e = deformación.
w m
Cizalladura
w ocu
Cuando una fuerza actúa paralelamente a una superficie sólida, se denomina
fuerza de cizalladura o fuerza cortante.
w
D
∆L
Cizalladura = tangθ =
Lo
Las fuerzas aplican al sólido un esfuerzo cortante, el cual es, por definición, el
cociente entre la magnitud de la fuerza tangente a una cara dividida por el área de dicha
cara.
F
Esfuerzo cortante = 1
A
Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande, está relacionado con la
cizalladura de la manera siguiente:
F1
= G • tangθ
A
Donde G = constante llamada módulo de rigidez. Generalmente G es de 1/2 a
1/3 de E.

7. VIGAS
Una viga es un miembro estructural largo y estrecho que se utiliza para soportar
esfuerzos normales y cortantes.
1
W ( L) WL
Fmax = 2 =
2a 4a
donde : W es la carga total
L es la longitud de la viga
a es el grosor de la viga
La tracción o compresión media T es la mitad de la tracción o compresión
máxima.
1 WL
T = Fmax =
2 8a
T WL
s= =
A 8a
om e
La variación de la longitud de cada ala de la viga es:
.c o d
sL WL2
∆L = =
so d
E 8 AaE
ce rga
La flecha h o elasticidad central viene determinado por:
WL3 ( ∆ L) L
h= =
ac ca
2
24 EAa 3a
de es
so d
ur to
.c en
w m
w ocu
w
D

8. TEMA IV . DINAMICA
SISTEMAS DE REFERENCIA
Definición : Un sistema inercial es un sistema de referencia en el cual se cumple
la primera ley de Newton del movimiento. Es decir, la fuerza resultante que se ejerce
sobre un cuerpo en reposo en un sistema inercial, es nula.
Principio de Galileo .- Todo sistema que se mueva con celeridad constante en
línea recta respecto a un sistema inercial, es otro sistema inercial. El movimiento con
celeridad constante a lo largo de una recta se llama movimiento rectilíneo uniforme.
Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un cuerpo permanezca en
reposo o en movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema inercial, es necesario
que la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo sea nulo.
Principio de la relatividad .- Todas las leyes de la Física son ciertas en todos
los sistemas inerciales.
Según el principio de la relatividad, establece que todos los sistemas inerciales
om e
.c o d
son los sistemas de referencia apropiados para describir las leyes de la Física.
so d
VELOCIDAD Y ACELERACION
ce rga
Celeridad y velocidad.
ac ca
Todo movimiento debe describirse relativamente a un sistema de referencia, el
de es
cual tomaremos siempre inercial.
Definición : Un objeto se mueve con celeridad constante v si la distancia x que
so d
recorre en un tiempo t viene dada por v = x • t , cualquiera que sea el valor de t. La
ur to
constante v es la celeridad.
.c en
Unidades Sistema Británico ft/seg.
Sistema Internacional m/seg
w m
Otras unidades km/h mill/h km/s
w ocu
Definición : La velocidad de un cuerpo móvil es una cantidad vectorial cuya
magnitud es la celeridad v del cuerpo y cuya dirección y sentido son la dirección y
w
D
sentido del movimiento.
Definición : El movimiento rectilíneo uniforme es el movimiento de velocidad
constante. Como la velocidad es un vector, velocidad constante quiere decir dos cosas:
1) la celeridad v no varía (celeridad constante)
2) la dirección y sentido del movimiento no varían (movimiento a lo largo de
una recta).
Aceleración
Un cuerpo que no se mueve con celeridad constante s dice que está acelerado.
e
Un cuerpo acelerado, o no se mueve en línea recta, o no se mueve con celeridad
constante, o ambas cosas a la vez.
Definición : Para un cuerpo cuya velocidad es v 1 en el instante t 1 y v 2 en el
v − v1 ∆v
instante t 2, la aceleración a durante el intervalo de tiempo t = t 2 − t 1 es a = 2 = ,
t 2 − t1 ∆t
donde ∆v = v 2 − v1 y ∆t = t 2 − t1
Al igual que la velocidad, la aceleración también es una cantidad vectorial.

9. Unidades Sistema Británico ft/seg2
Sistema Internacional m/seg2 .
Definición : El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un
movimiento acelerado en el cual el móvil sigue una línea recta con aceleración a que es
constante tanto en magnitud como en dirección y sentido. En este movimiento, la
velocidad v del móvil tiene siempre la misma dirección pero es de magnitud variable.
En un instante t cualquiera, la magnitud v de la velocidad viene dada por
v = v 0 + a • t , donde v 0 es la celeridad en el instante t = 0 y a es l magnitud de la
a
aceleración, la cual puede ser positiva o negativa, según que la celeridad del móvil
aumente o disminuya.
La fórmula general de la distancia x recorrida en un tiempo t por un móvil que
1
parte de reposo y se acelera con aceleración constante es x = at 2 .
2
Si el cuerpo parte de una celeridad inicial v 0 , la distancia recorrida en el tiempo t
1
viene dado por : x = v 0t + at 2 .
om e
2
.c o d
SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
so d
Un cuerpo sobre el cual se ejerce una fuerza total F tiene una aceleración a de
ce rga
igual dirección y sentido que F. La magnitud de a es F/m, donde F es la magnitud de la
fuerza y m es la masa del cuerpo.
ac ca
F
F = ma o a =
m
de es
Unidades Sistema Internacional 1N = 1 Kg m/seg2
so d
1 Kp = 9’8 N
ur to
.c en
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Definición : La cantidad de movimiento p de una masa m es p = mv donde v es
w m
w ocu
la velocidad de la masa. El vector p tiene por magnitud mv y la dirección y sentido de v.
∆p = ( p '− p ) = mv'−mv = m ( v'− v ) = m ∆v
∆p ∆v ∆p ∆p
w
D
Si =m ; = ma o lo que es lo mismo, =F
∆t ∆t ∆t ∆t
Principio de conservación de la cantidad del movimiento. La cantidad del
movimiento total de un sistema de masas permanece invariable mientras no actúen las
fuerzas exteriores sobre el sistema.

10. TEMA V . TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA
MAQUINAS SIMPLES
Definición .- Una máquina simple es un dispositivo mecánico, tal como un
sistema de palancas o poleas, que cambia la magnitud o la dirección de una fuerza
aplicada.
om e
.c o d
so d
Definición .- El desarrollo mecánico real MA de una máquina simple es el
ce rga
cociente entre su fuerza de salida y su fuerza de entrada.
F'
MA =
ac ca
F
de es
Principio de las máquinas simples .- En toda máquina simple ideal, la distancia
so d
d a lo largo de la cual se mueve la fuerza F a la entrada y la distancia d’ a lo largo de la
cual se mueve la fuerza F’ a la salida están relacionados por:
ur to
F' d
.c en
F • d = F '•d ' o
=
F d'
w m
w ocu
El desarrollo mecánico ideal MI (también conocido como desarrollo mecánico
teórico) es igual al cociente d/d’.
w
d
D
MI =
d'
Cuando hay rozamiento, el producto F´d´ es menor que Fd.
El rendimiento e de una máquina real es:
F' d '
e=
Fd
En la máquina ideal el cociente será 1 y en la máquina real con rozamiento, el
cociente será menor de 1.
F'
e= F = MA
d MI
d'
F' d ' F' d M
viene de e = = : = A
Fd F d' M I
1

11. Prensa hidráulica .- Consiste en dos cilindros de distintos tamaños comunicados
entre sí.
El volumen total del fluido no varía, pero una variación en el empuje del primer
cilindro se transforma en una variación en el empuje del segundo, en la misma
proporción del desarrollo MA de la máquina.
A= área del cilindro menor
A’ = área del cilindro mayor
V = A • d (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro
menor.
V = A'•d ' (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro
mayor.
Ad = A' d '
d A'
MI = =
om e
d' A
.c o d
como la áreas de los cilindros es π r2 entonces:
so d A' πr '2 r '2
ce rga
MI = = 2 = 2
A πr r'
ac ca
de es
so d
ur to
.c en
w m
w ocu
w
D
TRABAJO ENERGIA Y POTENCIAL
Definición .- El trabajo W que efectúa una fuerza constante F que actúa sobre un
objeto que sufre un desplazamiento d es :
W = F • d • cosθ donde θ es el ángulo que forman F y d.
a)- Si F y d son paralelas, entonces θ = 1 y
W = F •d
b)- Si F es perpendicular a d, entonces cos θ = 0 y
W = F •d •0⇒W = 0
c)- Si F y d son paralelas pero de distinto sentido entonces cos θ = −1 y
W = −F • d
Fuerza normal .- La fuerza normal que se ejerce sobre un objeto que desliza por
una superficie es la fuerza que ésta ejerce perpendicularmente a sí misma.
2

12. Rozamiento .- La fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un objeto que
desliza por una superficie es la fuerza que ésta ejerce paralela a sí misma. Suele tener
sentido contrario al deslizamiento.
W f = − Fg • s W rozamiento = F rozamiento • distancia de aplicación
Gravedad .- Cuando se desciende verticalmente desde un punto A hasta el C la
masa m , el trabajo que sobre ella efectúa:
W AC = Fg • h = m • g • h
om e
.c o d
so d
ce rga
Cuando el cuerpo se mueve diagonalmente deslizándose por un plano inclinado:
ac ca
WAB = m • g • d • cos θ
de es
so d
ur to
h
W AB = m • g • •d
.c en
y por tanto
d
w m
w ocu
Definición .- Una fuerza que efectúa el mismo trabajo WAB sobre un cuerpo que
vaya de A a B cualquiera que sea el camino seguido, se denomina fuerza conservativa.
W AB = m • g • h A − m • g • hB = m • g • ( h A − hB = m • g • h
w
D
3

13. Definición .- para toda fuerza conservativa se puede definir en cada punto una
unidad U, llamada energía potencial, tal que el trabajo efectuado por la fuerza al mover
el cuerpo de A a B a lo largo de un camino cualquiera que sea.
W AB = U A − U B
donde UA = m • g • hA y, donde hA es la altura de A sobre la superficie de
referencia.
El trabajo total efectuado sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas
aplicadas que se ejercen sobre él.
WTOTAL = WA + W f + Wg
WA = trabajo de las fuerzas aplicadas
Wf = trabajo de las fuerzas de rozamiento.
om e
Wg = trabajo de las fuerzas de gravedad.
.c o d
Si hay una fuerza de rozamiento Ff que actúe a lo largo de una distancia s, será:
so d W f = −F • s
ce rga
Si el cuerpo se mueve de A a B será:
ac ca
Wg = U A − U B
de es
luego el trabajo total será:
so d
WTOTAL = W A − F f • s + (U A − U B )
ur to
.c en
Si el cuerpo está en equilibrio o casi equilibrio tendremos
WTOTAL = WA − F f • s + (U A − U B ) = 0
w m
w ocu
w
D
ENERGIA CINETICA
Teorema de las fuerzas vivas .- El trabajo total W TOTAL efectuado sobre un
cuerpo que se mueve desde una cierta posición inicial A hasta una cierta posición final
B es igual a la variación de energía cinética del cuerpo.
WTOTAL = K B − K A
donde , por definición , la energía cinética K de un cuerpo de masa m que se
mueve con celeridad v es:
1
K= • m • v2
2
WTOTAL = −Wf + (UB −UA ) + (KB − KA )
4

14. CONSERVACION DE LA ENERGIA
La temperatura es una manifestación de los movimientos de los átomos y
moléculas que componen toda materia. Los átomos y moléculas de un cuerpo se hallan
en movimiento constante, por lo que cada partícula tiene energía cinética. La suma de
todas esas energías se denomina energía térmica It del cuerpo. Además de su energía
cinética, las partículas también tienen energía potencial resultante de las fuerzas
atómicas que mantienen unidas las moléculas. La suma de dichas energías se denomina
energía química Iq . La suma de las energías química y térmica de un cuerpo es su
energía interna I.
I = It + Iq
La elevación de la temperatura de un cuerpo está asociada a un aumento de su
energía térmica y por tanto a un aumento de su energía interna.
Todo el trabajo que se pierde en los rozamientos puede interpretarse por un
incremento de energía interna.
om e
W f = F f • s = ∆I
.c o d
entonces:
so dWa = ∆I + ∆U + ∆K
ce rga
Todo el trabajo aplicado efectuado sobre un sistema pasa a una u otra forma de
ac ca
energía. Sea E la energía total del sistema, entonces:
E = I +U + K
de es
Si sobre el sistema no se efectúa ningún trabajo aplicado, entonces ∆E = 0 .
so d
Conservación de la energía .- La energía no puede crearse ni destruirse, sino
ur to
transformarse de una forma en otra. En un sistema aislado, en el cual ni entra ni sale
.c en
energía, la energía total es constante. El trabajo es un medio por el cual se cede energía
a un sistema o se toma de él. Así pues , el trabajo (y el calor) puede considerarse como
w m
energía en tránsito.
w ocu
El rendimiento e de un motor es el cociente entre el trabajo aplicado producido y
la energía interna utilizada para producirlo.
w
D
Wa
e= rendimiento =
trabajo _ total
I COMB . energía _ combustible
entonces:
∆I COMBUSTIBLE = Wa + ∆I AMBIENTE
5

15. Entonces:
∆I COMB = ∆E + ∆I AMB ,o bien ∆E + ∆I COMB + ∆I AMB = 0
POTENCIA
Definición .- La potencia P de un ingenio es el trabajo que efectúa por segundo.
Así, si se efectúa un trabajo Wa en un tiempo T, la potencia será:
Wa
P=
t 1 Newton = 1 Julio /segundo
La cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo por un ingenio es:
Wa
om e
− ∆I COMB
.c o d
P
R= ⇒R= e =
t t e
so d
ce rga
La potencia de un ingenio es igual a la fuerza que ejerce multiplicada por la
velocidad con que se mueve esta fuerza.
ac ca
Para una potencia dad, un ingenio puede mover lentamente una gran fuerza o
mover rápidamente una pequeña fuerza.
de es
d = v•t ; entonces Wa = F •d = F •v •t
so d
y
ur to
Wa
P= = F •v
.c en
t
w m
En vez de escribir la potencia en función de la fuerza, la podemos escribir en
w ocu
función de su momento τ y de su velocidad angular ω
d = n•2•π • r
w
D
d n • 2•π • r
y la velocidad v= = = 2 • π • r •ω
t t
n
donde ω =
n º de _ vueltas
velocidad angular =
t tiempo
Por tanto con P = F • v , entonces P = F • 2 • π • r •ω
Si decíamos que τ = F • r , entonces tendremos P =τ • 2 •π •ω
En toda máquina ideal la potencia de entrada tiene que ser igual a la potencia de
salida
F • v = F '•v ' , entonces 2 • π • τ • ω = 2 • π • τ '•ω '
y τ • ω = τ '•ω '
6

16. En un freno motor, el momento se mediría por τ = (T2 − T1 ) • r
Energía hidroeléctrica acumulada por bombeo
La energía de una central generadora de potencia hidroeléctrica convencional
proviene de la energía potencial del agua almacenada detrás de una presa alta.
om e
.c o d
so d
ce rga
ac ca
de es
so d
ur to
.c en
w m
w ocu
w
D
7

17. TEMA VI . MOVIMIENTOS COMPLEJOS
La segunda ley de Newton del movimiento determina por completo el
movimiento de un cuerpo en función de las fuerzas que actúan sobre él.
MOVIMIENTO PARABOLICO
Cuando se lanza un proyectil según cierto ángulo con la vertical, no se mueve en
línea recta arriba y abajo, sino que sigue una trayectoria curva llamada parábola.
Una vez lanzado el proyectil, la única fuerza que se ejerce sobre él es la fuerza
de la gravedad Fg y por tanto, su aceleración será:
Fg
a= =g donde g es la aceleración de la gravedad constante
m
como g está dirigida verticalmente hacia abajo , los componentes x e y de a
serán:
om e
ax = 0 a y = − g = −9.8 m
.c o d
y seg 2
Si la velocidad inicial Vo del proyectil forma un ángulo θ con el eje x, las
so d
ce rga
componentes x e y de Vo serán:
Vox = Vo • cos θ Voy = Vo • sen θ
ac ca
La componente x será constante para la velocidad y para un tiempo t
de es
determinado.
x = Vox • t
so d
ur to
La aceleración de la componente y también será constante.
.c en
En un instante t la velocidad vertical del proyectil será:
V y = Voy = − g • t
w m
w ocu
y su posición será:
1
y = Voy • t − • g • t2
w
D
2
El movimiento del proyectil es, pues, una combinación de movimiento uniforme
en la dirección x y de uniformemente acelerado (aceleración constante) en la dirección
y.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El movimiento circular uniforme es un movimiento a lo largo de una
circunferencia de radio r con una celeridad constante v.
Aún cuando la celeridad se mantiene constante, la aceleración no es nula porque
la dirección del vector velocidad varía continuamente.
En caso del movimiento circular uniforme, la aceleración se denomina
aceleración centrípeta porque en todo momento está dirigida hacia el centro de la
circunferencia.
1

18. La magnitud de la aceleración está relacionada con la celeridad v y el radio r
por:
v2
a=
r
Como la celeridad v es constante, la distancia s que recorre el cuerpo a lo largo
de la circunferencia en un tiempo t viene dada por:
s = v•t
Para que un cuerpo permanezca en movimiento circular uniforme, la segunda ley
de Newton exige que sobre él actúe una fuerza de magnitud:
v2
F = m•a =m•
r
dirigida hacia el centro de la circunferencia.
Periodo es el tiempo que tarda un objeto en dar una revolución completa. Se
om e
verifica por :
.c o d
s
τ =
so d
ce rga
v
y la frecuencia es las veces que se produce una revolución por unidad de tiempo.
ac ca
ω 1
f = f =
de es
s τ
so d
La aceleración centrípeta, también puede venir dada en función del coeficiente
ur to
de rozamiento y de la gravedad.
a = µs • g
.c en
w m
MOVIMIENTO EN PRESENCIA DE UNA FUERZA GRAVITATORIA
w ocu
Ley universal de gravitación
w
D
Entre dos cuerpos cualquiera de masas m1 y m2 existe una fuerza atractiva
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las
distancias que las separa.
m1 • m2
F =G
r2
donde r es la distancia que las separa y G es una constante universal de la
naturaleza. En unidades del Sistema Internacional:
G = (6’673 ± 0’003 • 10-11 N•m2 /Kg2 .
Energía potencial
Cuando una masa m está próxima a la superficie terrestre, la fuerza gravitatoria
que se ejerce sobre ella es m•g y su energía potencial es
U = m •g •h
2

19. Cuando la masa se mueve lejos de la tierra, la fuerza gravitatoria que se ejerce
sobre ella viene dada por la ecuación:
2
R 
Fg = m • g •  T  cuando r > RT .
 r 
Y la energía potencial por
 R 
U = m • g • RT • 1 − T 
 r 
Velocidad de escape
v = 2 • g • RT
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
La fuerza total que se ejerce en una masa suspendida entre dos fuerzas opuestas,
se denomina como fuerza del oscilador armónico simple y viene dada por:
om e
.c o d
F = −k • x
so d
Donde k es una constante y x es la distancia de la posición de la masa hasta su
ce rga
posición de equilibrio.
Cualquiera que sea la posición de la masa, la fuerza tiende a llevarla a su
ac ca
posición de equilibrio. Esta fuerza se denomina fuerza restauradora. Una masa sometida
a una fuerza restauradora oscilará en torno a su posición de equilibrio.
de es
Cuando la fuerza restauradora sea la fuerza del sea la fuerza del oscilador
so d
armónico, el movimiento resultante se denomina movimiento armónico simple.
La posición x en cualquier instante t de una masa que ejecute un movimiento
ur to
armónico simple viene dada por:
.c en
 2π 
x = A • cos • t
w m
τ 
w ocu
donde
w
m
D
τ = 2 •π •
k
τ es el periodo y A es la amplitud del movimiento.
La velocidad y la aceleración de la masa vienen dadas por:
2πA  2π   2πA 
v=− • sen • t vMAX à cuando x = 0 vMAX =  
τ τ   τ 
2
 2π   2π 
• t  aMAX à cuando x = A a MAX =  2π  • A
2
a = −  • A • cos  
τ   τ   τ 
2π 
NOTA :    • t normalmente se da en radianes. 360º = 2 π rad. = 1 rev.
 τ 
La energía potencial de una masa sometida a la fuerza de oscilador armónico es :
1
U= k • x2
2
3

20. Al girar la masa en uno u otro sentido en torno a su posición de equilibrio, la
suma de sus energías cinética y potencial se mantiene constante.
1 2 1 2
∆E = ∆K + ∆U = mv + kx = E
2 2
En el caso de un péndulo simple, una masa m está suspendida de un hilo de
longitud L. Cuando tiramos de la masa hacia un lado y la soltamos, oscila recorriendo
un arco en torno a su posición más baja (posición de equilibrio).
Cuando se tira de la masa un distancia horizontal x respecto a su posición de
equilibrio, se eleva una distancia vertical h, con lo que la energía potencial se hace igual
a:
U = mgh
Se puede comprobar que L es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de
om e
catetos x e y, entonces:
.c o d
L2 = x 2 + y 2
Pues y = L − h , por lo que podemos
so d
escribir:
ce rga
L2 = x 2 + ( L − h )2 =
ac ca
= x 2 + L2 − 2 Lh + h 2
de es
de donde :
so d
2 Lh = x 2 + h 2
ur to
.c en
Así pues, la energía potencial será:
w m
1 mg
w ocu
U = mgh = • • x2
2 L
w
D
En consecuencia, el periodo del péndulo será:
m L
τ = 2π = 2π
mg g
L
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO
Llamaremos cuerpo rígido a un objeto extenso que no altera su forma de
moverse.
Al girar el cuerpo, cada uno de sus puntos describe una circunferencia centrada
en A. El radio de la circunferencia es igual a la distancia r de A al punto. Como el
cuerpo es rígido, todos los puntos girarán el mismo ángulo en un mismo tiempo t.
4

21. Definición : La velocidad angular ω de un punto que se mueve sobre una
circunferencia es :
θ
ω=
t
donde θ es el ángulo que ha girado el objeto en un tiempo t.
Los ángulos pueden medirse en grados, radianes y revoluciones.
Una circunferencia completa corresponde a 360º, 2 π radianes o 1 revolución.
La unidad del sistema internacional son radianes/segundo.
s
θ = →s =θ •r
r
s θ •r
Si = tendremos que v =ω •r
t t
θ
om e
Donde v será la velocidad lineal y ω =
.c o d
es la velocidad angular en radianes
t
por segundo.
so d
La energía cinética del elemento de superficie i-ésimo es :
ce rga
mi vi2 = mi (ω • ri )
1 1
Ki =
2
ac ca
2 2
La energía cinética total del cuerpo rígido es la suma de las energía cinéticas de
de es
todos los elementos de superficie.
K = ∑ Ki
so d
ur to
1 2 1
K= ω • ∑ mi ri 2 K= I • ω2
.c en
à
2 2
w m
w ocu
siendo:
I = ∑ mi ri 2
w
D
donde I será la constante llamada momento de inercia del cuerpo rígido.
5

22. TEMA VII. MECANICA DE FLUIDOS
Un fluido es una sustancia no rígida (gas o líquido) que no conserva su forma al
aplicarle fuerzas deformadoras.
La mecánica de fluidos es el estudio de los fluidos en reposo y en movimiento.
HIDROSTATICA
La Hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que trata de los fluidos en
reposo. Este fluido permanecerá en reposo siempre y cuando no se apliquen sobre él
fuerzas deformadoras.
Propiedad fundamental de los fluidos.
Toda fuerza ejercida por un fluido en reposo o sobre él, debe ser
perpendiculares a la superficie sobre la cual actúa. En caso de aplicarse
una fuerza paralela, esta provocará un desplazamiento en el fluido.
Definición .- La presión p es la fuerza por unidad de superficie que se ejerce
perpendicularmente sobre un superficie. Así pues, la presión que ejerce una fuerza F
om e
sobre la superficie A.
.c o d
La fuerza F es perpendicular a la superficie. Como todas las fuerzas que se
aplican son perpendiculares a las superficies sobre las que actúan, se puede escribir:
so d F
ce rga
P=
A
ac ca
Unidades = La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal
de es
1 Pascal = 1 Newton / metro2 1 Pa = 1 N/m2 .
so d
PRINCIPIO DE PASCAL
ur to
En ausencia de gravedad, es decir, si se desprecia el peso del fluido, la presión
.c en
en un fluido, la presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos.
Para ver como se aplican en la práctica las propiedades de los fluidos,
w m
consideremos un fluido contenido en un cilindro cuya sección recta tenga un área A. Si
w ocu
se aplica una fuerza F sobre el émbolo móvil del cilindro, el fluido deberá aplicar una
fuerza opuesta F’ sobre el émbolo cuando esté en reposo.
w
Supongamos que se conectan
D
dos cilindros de distinta sección. El
equilibrio de las presiones vendrá
determinado por:
F F'
P= =
A A'
1

23. PRESION HIDROSTATICA
El principio de Pascal solo es válido si se desprecia la fuerza de la gravedad que
se ejerce sobre el fluido.
Se aplica una fuerza F perpendicularmente al
émbolo de área A, con lo que la presión directamente
bajo el émbolo es:
F
Po =
A
La presión Po será la que existe en la parte
superior del fluido. En la parte inferior del fluido,
existirá una presión Ph , que en caso de despreciar la
fuerza de gravedad del fluido, Po = Ph .
A causa de la gravedad, la fuerza total hacia
abajo que se ejerce sobre el fluido es F + Fg. Como está
om e
.c o d
en equilibrio, existirá una Fn = -(F + Fg) que la base del
cilindro ejerce sobre el fluido. La reacción a Fn es la
so d
fuerza R = - Fn = F + Fg. Por tanto la presión Ph de la
n ce rga
base será:
F + Fg F Fg Fg
Ph = = + = Po +
ac ca
A A A A
de es
so d
La presión en la parte inferior del fluido es mayor que en la parte superior a
causa del peso del propio fluido.
ur to
El aumento de la presión con la profundidad, está relacionado con la densidad
.c en
del fluido.
La densidad es:
w m
m
w ocu
ρ= densidad =
masa
V volumen
w
D
Así pues, como el volumen contenido es V = A • h , entonces la masa será:
m = ρ • A• h
y el peso del fluido será:
Fg = m • g = ρ • A • h • g
En consecuencia, el incremento de la presión en la base del cilindro debido al
peso del fluido es:
Fg
= ρ • g •h
A
Este incremento se llama presión hidrostática. Entonces, la presión total en la
base del cilindro será:
Ph = Po + ρ • g • h
2

24. Ley de la presión hidrostática
La presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos que estén a
igual nivel y la diferencia de presión entre dos puntos A y B situadas a profundidades hA
y hB es:
PA − PB = ρ • g • h A − ρ • g • hB = ρ • g • ( h A − hB )
donde hA y hB son positivas cuando se miden hacia abajo desde la superficie
INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA PRESION
BAROMETRO
El barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica. Consta de un
tubo de vidrio recto, de longitud superior a 76 cm, cerrado por un extremo. Se llena el
tubo de mercurio y luego se invierte introduciéndolo en una cubeta de mercurio. La
columna de mercurio desciende a partir de su extremo cerrado creando una cámara de
vacío en su parte superior.
La presión Po en un punto O de la superficie de la columna es la presión
om e
atmosférica.
.c o d
La presión PA en un punto A del interior del tubo es:
PA = PB + ρ • g • h
so d
ce rga
donde la presión PB es la presión en la parte superior de la columna, ρ es la
densidad del mercurio y h es la altura de la columna de mercurio.
ac ca
de es
MANOMETRO
El manómetro consiste en un tubo en forma de U parcialmente lleno de líquido
so d
que suele ser mercurio o agua. Se monta el tubo en posición vertical con una regla
ur to
graduada detrás. Un extremo del tubo se une a un recipiente cuya presión P q ueremos
medir y el otro extremo está abierto a la atmósfera. Como la presión de la parte abierta
.c en
del tubo es la presión atmosférica, la presión PA en un punto A del líquido del
w m
manómetro que se halla a una distancia h del extremo superior vendrá dada por:
PA = PO + ρ • g • h
w ocu
donde ρ es la densidad del líquido del tubo.
w
D
Definición : Se llama presión manométrica P a la diferencia entre la presión P
m
en un fluido y la presión atmosférica Po existente.
Pm = P − Po
donde Pm = presión manométrica
P = presión absoluta
P0 = presión atmosférica
EMPUJE
Todo fluido ejerce una fuerza de empuje F sobre cualquier objeto sumergido en
b
él. A dicha fuerza se le da el nombre de empuje.
Principio de Arquímedes .- El empuje que ejerce un fluido sobre un cuerpo es
igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo.
Si el cuerpo está sumergido totalmente, el volumen del fluido desalojado es igual
al volumen del cuerpo.
Si este está parcialmente sumergido, el volumen desalojado es igual al volumen
de la parte sumergida del cuerpo.
3

25. El volumen VS será la parte del bloque sumergida en el fluido.
Teniendo en cuenta que el volumen del objeto es igual al volumen del fluido
desalojado y, conociendo la densidad del fluido, podemos calcular su masa:
m f = ρ f • VS
El empuje es igual al peso del fluido desalojado.
Fb = m f • g
Si el bloque se halla en equilibrio estático, entonces, el empuje hacia arriba
tendrá igual magnitud que el peso Wo del bloque.
Wo = Fb mo • g = m f • g
por lo que mo = m f
Un objeto flotará cuando su densidad sea menor que la del fluido en que se
coloca.
om e
La fuerza FB que ejerce el fluido sobre la cara superior está dirigida hacia abajo
.c o d
y su magnitud es FB = PB • A , donde A es el área de dicha cara y PB es la presión
so d
del fluido a dicha profundidad.
ce rga
La fuerza FA que se ejerce sobre la cara inferior está dirigida hacia arriba y su
magnitud es F A = PA • A , donde A es el área de dicha cara y PA . La suma de estas
ac ca
fuerzas tiene por magnitud:
de es
FA − FB = PA • A − PB • A
so d
y esta dirigida hacia arriba ya que FA > FB, entonces :
ur to
FA − FB = A • ρ f • g • (h A − h B ) = A • ρ f • g • h
.c en
donde ρ f es la densidad del fluido y h la altura del bloque.
w m
Teniendo en cuenta que el volumen del bloque es igual a A * h, tendremos que
w ocu
el empuje es igual a:
FB = FA − FB = ρ f • V • g = m f • g
w
D
La aceleración en un fluido viene determinada por:
ρ f − ρm
a=g•
ρm
DENSIDAD RELATIVA
Definición : La densidad relativa S de un cuerpo es el cociente entre la densidad
ρ o del cuerpo y la densidad ρ w del agua.
ρo
S=
ρw
Cuando se trata de medir la densidad relativa de un objeto sumergido en otro
fluido que no sea agua, se mide con un dinamómetro en el aire y luego en el fluido.
Entonces tendremos:
4

26. Ta = m • g = ρ o • V • g
Tw = m • g − Fb = Ta − Fb
Entonces tendremos que
ρo T
=1− w
ρw Ta
o sea:
ρo 1 Ta
S= = =
ρw T Ta − Tw
1− w
Ta
La densidad de un líquido se mide con un areómetro.
Sea VS el volumen del areómetro sumergido y W el peso total del areómetro. En
om e
equilibrio, el empuje es igual al peso, luego:
.c o d
Fb = W o ρ f • VS • g = W
so d
Así pues la densidad del líquido es inversamente proporcional al volumen
ce rga
sumergido.
W
ac ca
ρf =
VS • g
de es
La densidad relativa se puede también calcular en base a la masa del cuerpo
so d
medido en el exterior y en el interior de un fluido por:
ur to
mc
S=
.c en
mc − ma
w m
mc = masa medida en el exterior.
w ocu
ma = masa medida en el fluido.
w
D
HIDRODINAMICA
La Hidrodinámica es el estudio del movimiento de los fluidos.
Movimiento estacionario
La velocidad y la presión del fluido en cada punto varían de manera rápida e
imprevisible.
En el movimiento estacionario, podemos considerar que el fluido se mueve
siguiendo líneas fijas, llamadas líneas de corriente.
En cada punto, la dirección de la velocidad del fluido es tangente a l línea de
a
corriente que pasa por dicho punto. Dos lneas de corriente no pueden cortarse nunca,
í
por que ello significaría que el fluido tendría dos velocidades en un mismo punto.
El volumen de fluido que atraviesa una superficie en un tiempo t vendrá dado
por:
V = d • A = v•t• A
donde A es igual al área de la sección y d es igual a la distancia.
Si la cantidad total de fluido que circula entre las dos secciones de un mismo
conducto permanece invariable, el volumen que ha penetrado en la sección mayor por
5

27. unidad de tiempo, debe ser igual al que ha salido por el de menor sección. A esto se le
llama condición de continuidad.
Según esta condición de continuidad, supondremos:
V = V ' ⇒ v • t • A = v '•t • A'
luego:
v • A = v '• A' velocidad x área
Definición : El caudal Q de un fluido es el volumen de fluido que atraviesa por
segundo una superficie dada. El caudal a través de la superficie S es:
V v•t• A
Q= = o sea Q = v• A
t t
Ecuación de Bernoulli
La masa m del fluido del volumen V es:
m = ρ •V
om e
.c o d
Como el fluido de este volumen tiene una velocidad v, la energía cinética de esta
masa es:
so d
K=
1 1
• m • v2 = • ρ • V • v 2
ce rga
2 2
ac ca
Cuando la masa pasa a V’ su energía cinética K’ se convierte en :
de es
1 1
K ' = • m • v '2 = • ρ • V • v '2
so d
2 2
ur to
Como v’ es mayor que v, al pasar de V a V aumenta la energía cinética de la
’
.c en
masa. La variación K – K’ de la energía cinética es igual al trabajo total efectuado por
las masas.
w m
Las fuerzas que efectúan trabajo sobre un fluido son las de rozamiento, gravedad
w ocu
y la debida a la presión del propio fluido.
w
D
Tendremos que en la primera sección del conducto:
F
P=
A
y en la otra:
F'
P' =
A'
En este caso, la presiones no son iguales puesto que el fluido no está en reposo.
6

28. Como el fluido del volumen V recorre una distancia d hacia la derecha, la fuerza
F = P • A , efectúa el trabajo :
W = F • d = P • A • d = P •V
Al mismo tiempo el fluido de volumen V’ recorre una distancia d’ hacia la
derecha, la fuerza F ' = P'• A' , efectúa el trabajo :
W ' = − F '•d ' = − P'• A'•d ' = − P '•V ' = − P'•V
Entonces el trabajo total será:
W p = W + W ' = ( P − P' ) • V
Teniendo en cuenta que el trabajo es igual a la variación de energía cinética,
tendremos:
1 1
( P − P' ) • V = • ρ • V • v '2 − • ρ • V • v 2
2 2
om e
1 1
.c o d
( P − P' ) = • ρ • v '2 − • ρ • v 2
2 2
so d
por tanto: ce rga
1 1
• ρ • v '2 + P ' = • ρ • v 2 + P
ac ca
2 2
de es
Si la tubería no es horizontal, además de la presión del fluido, también efectúa
so d
trabajo la fuerza de gravedad
Wg = m • g • h − m • g • h' = V • ρ • g • h − V • ρ • g • h '
ur to
.c en
Entonces, la ecuación de Bernoulli quedará:
w m
1 1
• ρ • v '2 + P'+ ρ • g • h' = • ρ • v 2 + P + ρ • g • h
w ocu
2 2
w
D
Teorema de Torricelli
La cantidad de líquido que sale por unidad de tiempo a través de un orificio
practicado en la pared de un depósito se puede calcular mediante la ecuación de
Bernoulli.
v ' 2 = 2 • g • ( h − h' )
Nos dice que la velocidad de salida es igual a la de una masa que caiga desde
una altura vertical ∆h = h − h'
El caudal de salida del líquido es:
Q = Av • v' = Av • 2 • g • ∆h
donde ∆h es la distancia que separa el orificio d la superficie libre del íquido y
e l
Av es la vena contracta, que es la m ínima área de la sección del chorro que sale a través
del orificio. La vena contracta se encuentra un poco m allá del orificio. En caso de un
ás
orificio de área A, la vena contracta Av será:
Av = A • 0. 65
7

29. Tubo de Venturi
La diferencia de presiones, está relacionada con la diferencia de alturas por:
P − P' = ρ • g • h
om e
.c o d
El caudal es el mismo en la tubería principal que en el tubo de Venturi, y viene
dado por:
Q = A • v = A'•v'
so d
ce rga
entonces tendremos
ac ca
A
v' = •v
de es
A'
so d
y:
ur to
2
1  A 1
• ρ •   • v 2 + P' = • ρ • v 2 + P
.c en
2  A'  2
w m
de donde:
P − P'
w ocu
v2 =
1  A2 
w
ρ •  2 − 1
D
 A' 
2  
Así pues, la velocidad del fluido en la tubería principal será:
P − P'
v=
1  A2 
ρ •  2 − 1
 A' 
2  
y el caudal:
P − P'
Q = A•v = A•
1  A2 
ρ •  2 − 1
 A' 
2  
8

30. VISCOSIDAD
La propiedad fundamental de los fluidos, señala que un fluido en reposo no
ejerce fuerzas paralelas a una superficie. En cambio, un fluido que se mueve sobre una
superficie ejerce una fuerza FII paralela a ella de dirección y sentido de movimiento.
La reacción FV a FII es una fuerza que la superficie ejerce sobre el fluido y cuyo
sentido es opuesto al del movimiento.
Esta llamada fuerza viscosa, desempeña en el movimiento del fluido un papel
semejante al del rozamiento de un sólido sobre otro.
om e
.c o d
Como el fluido ejerce una fuerza FII paralela a S1 , habrá que aplicar a esta
superficie una fuerza exterior Fa = FII para mantenerla en reposo. La fuerza viscosa FV,
so d
que es la fuerza que la superficie S1 aplica al fluido, es la reacción a FII. Por lo que:
ce rga
FV = − FII = −(− Fa ) = Fa
ac ca
La magnitud de F es directamente proporcional a l celeridad v de S2 y al área
V a
de es
A de S1 e inversamente proporcional a la distancia d que separa dichas superficies.
η • A• v
so d
FV =
ur to
d
donde η es una constante, llamada coeficiente de viscosidad, que es
.c en
característica del fluido.
w m
w ocu
CIRCULACION DE UN FLUIDO POR UN TUBO
En la circulación de un fluido por un tubo, el fluido que circula sobre el eje del
w
D
tubo, lleva una aceleración máxima y, si hiciéramos capas concéntricas, la velocidad iría
descendiendo hasta llegar a la superficie de contacto con el tubo, donde la velocidad e s
0.
El área del tubo se determinará por:
A = 2 •π • r • L
Entonces, si se sustituye en la ecuación de la viscosidad tendremos:
4 • π • r • L • vm
FV = η • = 4 • π •η • L • v m
r
Si se desprecia la gravedad y se introduce un fluido en un tubo de área A a una
presión P1 , tendremos a la salida una presión P2 y quedará:
( P • A − P • A) = ( P − P ) • A = ( P − P ) • π • r
1 2 1 2 1 2
2
e igualando ecuaciones tendremos:
4 • π • η • L • vm = ( P − P2 ) • π • r 2
1
9

31. Por tanto la celeridad de un fluido en un tubo teniendo en cuenta la diferencia de
presiones vendrá dada por:
( P1 − P2 ) • r 2
vm =
4 •η • L
Sabiendo que el caudal es:
1
Q= • π • r 2 • vm
2
tendremos que:
π • r 4 • ( P1 − P2 )
Q=
8 •η • L
Si tenemos una bomba que bombea el líquido, necesitaremos una potencia de
om e
bombeo que de una fuerza:
.c o d
F = ( Pex − Pad ) • A
so d
donde: ce rga
Pex = Potencia de expulsión
Pad = Potencia de admisión
ac ca
El trabajo efectuado por la bomba para mover un fluido una distancia d será:
de es
W = F •d
so d
y la potencia entregada a la bomba será:
ur to
W F •d
P= = = F •v
.c en
t t
w m
donde v es la velocidad media del fluido.
w ocu
Entonces tendremos que:
P = F • v = ( Pex − Pad ) • A • v
w
D
o sea
P = ( Pex − Pad ) • Q
10

32. TEMA VIII. ESTRUCTURA DE LA MATERIA
ATOMOS Y MOLECULAS
Definición: Llamamos elemento químico a una cualquiera de las 104 sustancias
conocidas que no pueden descomponerse en sustancias más simples por métodos
químicos.
Un elemento se compone de un gran número de unidades iguales llamadas
átomos.
Definición: Una molécula es un ente microscópico compuesto de dos o más
átomos unidos por fuerzas atómicas. Los átomos pueden ser de elementos iguales o de
elementos distintos.
Definición: Un compuesto químico es una sustancia constituida por moléculas
iguales formadas por átomos de dos o más elementos.
Masas atómicas:
om e
La masa de un átomo puede medirse con gran precisión por medio de un
.c o d
instrumento llamado espectrómetro de masas.
La masa de un átomo se suele referenciar a la del átomo de carbono (12), y se
so d
suele medir en unidades de masa atómica (u).
ce rga
La masa de una molécula, a la que llamamos peso molecular, es igual a la suma
de las masas de todos sus átomos.
m H 2 O = 2m H + mO = ( 2)(1.008u) + (1)(16.00u) = 18.01u
ac ca
Para convertir las unidades de masa atómica en gramos, es necesario tener en
de es
cuenta esta relación:
so d
1
1g = N A u 1u = g
ur to
o bien
NA
.c en
Donde N A es el número de Avogadro y equivale a 6.022 x1023 .
w m
Definición: Un mol es una cantidad de sustancia que contiene N A moléculas.
w ocu
Ejemplo: ¿Cuál es la masa en gramos de un mol de agua?
 18  18
mH 2 O = 18u = (18)
 N g = N g
w

D
 A  A
por lo que la masa de N A moléculas de agua será:
 18 
N AmH 2 O = N A 
 N g  = 18 g

 A 
Ejemplo: ¿Cuál es el número n de moles de 50 g de
oxígeno?
mO2 = ( 2) mO = ( 2)(16.0u ) = 32u
50 g
n= = 1.56
32 g
LAS TRES FASES DE LA MATERIA
La materia se presenta normalmente en una de estas tres fases: gaseosa, líquida o
sólida. Muchas sustancias pueden pasar de una fase a otra mediante cambios de
temperatura y presión
1

33. Un sólido se caracteriza por tener un volumen y una forma definidos. Su forma
solo puede cambiar al aplicarle una presión considerable. Las moléculas del sólido están
fuertemente agrupadas en posiciones fijas.
Un líquido se caracteriza por tener un volumen definido, pero no una forma
definida. Los líquidos fluyen para adoptar la forma del recipiente que los contiene. Su
volumen permanece constante a pesar de las variaciones de su forma. Las moléculas de
un líquido están casi tan juntas como las de un sólido.
Un gas se caracteriza por no tener ni un volumen definido ni una forma definida.
El gas se dilata para llenar cualquier recipiente cerrado que lo contenga y, si fuera
abierto, el gas escaparía por la abertura. En un gas diluido, las moléculas están tan
separadas unas de otras que solo ejercen fuerzas cuando chocan. Las moléculas del gas
se moverán en línea recta hasta que choquen unas con otras o con las paredes del
recipiente.
TEMPERATURA
Un instrumento que mide temperaturas se denomina termómetro. El termómetro
om e
es una columna de mercurio introducida en un tubo cerrado. El mercurio se dilata o
.c o d
contrae más que el vidrio en función del calor o frío aplicado.
Esta forma de medir la temperatura, dependerá del líquido contenido en el tubo
so d
de vidrio. Para ser más precisos convendrá utilizar un termómetro lleno de un gas
ce rga
enrarecido, conectado a un manómetro de mercurio.
Definición: La temperatura fundamental o absoluta T es, por definición:
ac ca
P
T =a
de es
Ph
so d
donde P es la presión en el depósito a esa temperatura, a es una constante
ur to
arbitraria y Ph es la presión absoluta midiendo en una mezcla de agua y hielo. La
.c en
constante se elegirá de manera que haga que la diferencia entre la temperatura del vapor
de agua Tv y la temperatura del hielo Th sea exactamente igual a 100 unidades de
w m
temperatura, o Kelvin (K)
w ocu
Cero absoluto Th Tv
Kelvin 0k 273.15k 372.15k
w
D
Celsius 0º 100º
GAS IDEAL
Ley de los gases perfectos
Definición: Llamamos gas ideal o gas perfecto a un gas cuyas moléculas estén
tan separadas que permanezcan en contacto una contra otra un tiempo relativamente
pequeño. La separación aumenta cuando disminuye la densidad de las moléculas. Esta
densidad es el cociente N/V (numero de moléculas / volumen que éste ocupa).
Así pues, la presión Ph de un gas perfecto en el punto de hielo será:
N
Ph = b
V
donde b es una constante independiente de la composición química del gas.
2

34. bN
pV = T
a
El número N de moléculas de un gas es:
N = nN A
donde n es el número de moles de gas.
Según esto, podremos escribir:
bN A
pV = n T
a
bN A
La cantidad es una constante de los gases perfectos R. Sus dimensiones
a
son (energía / kelvin). Y su magnitud es
bN A
R= = 8314 J / K
om e
.c o d
a
Entonces, en función de R tendremos:
so d pV = nRT
ce rga
que constituye la ley de los gases perfectos.
ac ca
Ejemplo : ¿Cuál es la densidad del oxígeno en
condiciones normales de presión y temperatura? (0º y 1 atm)
de es
Se usa la ley de los gases nobles para calcular la cantidad de moles n en una
unidad de volumen V = 1 m3 , a una presión p = 1 atm. = 1,01 x 105 Pa Y a una
so d
temperatura T = 273 º K.
ur to
pV (1,01 •10 5 Pa)(1m 3 )
.c en
n= = = 44 ,5mol
RT (8,31 J / K )( 273 K )
w m
w ocu
molO2 m = 32g ⇒ m = ( 44,5mol • 32 g ) = 1425g = 1,425kg ⇒
w
Si
⇒ d = 1, 425 kg m 3
D
Presión, temperatura y energía cinética
La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene es
el resultado de los choques de las moléculas del gas contra las paredes. La presión
puede calcularse en función de la energía cinética media de las moléculas de un gas
perfecto y relacionar esta energía con la temperatura.
Una molécula que choca contra una pared a una velocidad v rebotará a una
velocidad –v, por tanto
p I = mv y p F = m(−v) = −mv
con lo que la variación de la cantidad de movimiento será:
∆p = p F − p I = ( −mv) − ( mv) = −2mv
3

35. entonces la fuerza que la pared ejerce sobre la molécula vendrá dada por:
∆p − 2mv
Fm = =
∆t ∆t
donde ∆t es el tiempo que la molécula está en contacto con la pared.
Y la fuerza de reacción será:
2mv
Fw = − Fm =
∆t
El número de moléculas contenidas en un recipiente viene dado por:
A • v • ∆t
N= n • NA
om e
V
.c o d
En un cilindro, se supone que 1/3 de las moléculas se mueven en una de las tres
direcciones perpendiculares a las paredes, así pues, la fuerza que ejercen estas
so d
moléculas sobre las paredes vendrá dada por:
ce rga
1 nNA A 2
F= mv
ac ca
3 V
de es
y la presión que se ejerce por:
F 1  nN A  2
so d
p= =  mv
ur to
A 3 V 
.c en
w m
en función de la energía cinética media K , la presión será:
w ocu
2 nN A K
p=
3 V
w
D
2
recordemos que la energía cinética media viene dada por: K = m • v (masa por
velocidad media al cuadrado)
La presión también se puede relacionar con la temperatura por:
nRT
p=
V
Si se igualan las dos ecuaciones de presión, tendremos la relación entre
temperatura y energía cinética:
nRT 2 nN A K 3 RT 3
= ⇒K= = kT
V 3 V 2 NA 2
Donde k = R N A se denomina constante de Boltzmann, que es igual a
1,38x10 -23 J/K
4

36. GASES REALES
La presión y el volumen de un gas real solo está relacionados con los gases
perfectos cuando su densidad es muy pequeña. Al aumentar la presión de un gas
disminuye su volumen pero aumenta su densidad.
Definición : La temperatura crítica de un gas es la temperatura por encima de la
cual todas las isotermas (curva que da la variación de presión de un gas a una
temperatura fija) son curvas lisas sin puntos angulosos.
Un tramo horizontal en la isoterma indica que se puede reducir el volumen
ocupado por un gas sin aumentar la presión. Ello es posible porque al comprimir el gas,
parte de él se condensa pasando a fase líquida. Esto sólo podrá hacerse si la temperatura
es inferior a la temperatura crítica del gas.
Definición : La presión de vapor pv es la presión correspondiente al tramo
horizontal de una isoterma. Es la presión en la cual pueden coexistir el vapor y el
líquido a la temperatura de la isoterma.
Definición: El punto de ebullición de un líquido es la temperatura a la cual la
presión de vapor se hace igual a la presión atmosférica. A esta temperatura se forman
om e
burbujas de vapor en el interior del líquido.
.c o d
Ley de Dalton de la presión parcial. En una mezcla de gases perfectos, cada
gas componente ejerce una presión parcial proporcional a su concentración molecular.
so d
La presión total de la mezcla será, pues, igual a la suma de las presiones parciales de
ce rga
todos los gases componentes.
Definición: Se llama humedad relativa del aire al cociente entre la presión
ac ca
parcial real del H2 O en el aire y la presión parcial del H2 O máxima posible a la
de es
temperatura existente en el aire. Se expresa en %.
Definición: El punto de rocío del aire es la temperatura a la cual el aire tendría
so d
una humedad relativa del 100 %.
ur to
SOLIDOS
.c en
Las moléculas de un sólido, como las de un líquido están tan próximas entre sí
w m
que se ejercen fuerzas intensas. En un sólido, las moléculas tienen posiciones fijas que
w ocu
no pueden variar.
Definición: Un cristal es un sólido en el cual las moléculas están distribuidas
según una red tridimensional regular que se repite por todo el sólido. La distribución de
w
D
las moléculas determina la forma exterior del cristal.
Definición: Un sólido cristalino es el que está constituido por un monocristal o
por muchos microcristales fundidos juntos
L propiedad más característica de un sólido cristalino es la existencia de una
temperatura definida Tf, llamada temperatura de fusión, a la cual el sólido se transforma
en líquido
5

37. TEMA IX. CALOR
El calor es energía que pasa espontáneamente de un cuerpo más caliente a otro
más frío.
PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
Calor y trabajo
La energía puede pasar del sistema al ambiente, o recíprocamente, de dos
maneras esencialmente distintas.
Definición: El calor es energía que pasa de un objeto a otro a causa de existir
entre ambos una diferencia de temperatura.
Definición: El trabajo es energía que pasa de un cuerpo a otro a causa de que
una fuerza F desplace su punto de aplicación una distancia d.
W = Fd = pAd = p∆V
om e
.c o d
donde:
∆V = V final − Vinicial = Ad
so d
ce rga
Primer principio de la termodinámica
ac ca
La variación de energía ∆E S de un sistema es igual al calor Q que penetra en él
de es
menos el trabajo W que efectúa:
so d
∆E S = Q − W
ur to
.c en
El calor es positivo cuando penetra en el sistema y negativo cuando sale de él
El trabajo es positivo cuando hace disminuir la energía del sistema (cuando el
w m
trabajo lo hace el sistema) y negativo cuando hace aumentar la energía del sistema.
w ocu
Calor específico
w
Definición: El calor específico cv es el cociente entre su capacidad calorífica y
D
su masa.
Cv
cv =
m
El calor específico es una propiedad de la sustancia. Depende de la temperatura,
pero en un intervalo pequeño de temperaturas se puede considerar constante.
Tendremos:
∆E S = Q = mcv ∆T
Cuando los proceso tienen lugar a una presión constante, (transformación
isobárica) tendremos:
∆E S + p∆V = mc p ∆T
donde cp es el calor específico a presión constante.
1

38. El calor absorbido en una transformación isobárica viene dado por:
Q = ∆E S + p∆V = mc p ∆T
Ejemplo:
a) ¿cual es la capacidad calorífica de un vaso de 75 g de vidrio flint que
contiene 250 g de agua?
b) ¿Cuánto calor hay que tomar de ese sistema para rebajar su temperatura de
50 a 30 º C?
a)
Cvaso = m vidrio c vidrio = (0,075kg ) • 490 J  = 37 J º C

 (kg •º C )

Cagua = magua c agua = (0,250kg ) •  4180 J  = 1045 J º C
om e
 (kg •º C )
.c o d
 
so d
CTOTAL = C vidrio + C agua = 1082 J
ce rga
ºC
b)
ac ca
∆T = 20º C − 50º C = −30º C
de es
Q = C∆T = 1082 J • (−30 º C ) = −3,25 x10 4
so d
ºC
ur to
Calorimetría
.c en
El calor se mide con un calorímetro, que es un recipiente aislado del exterior,
w m
que contiene agua , en el cual se encuentra sumergido un termómetro para medir la
temperatura del agua. Esta variará dependiendo de la temperatura de la muestra que se
w ocu
sumerja en el agua.
w
D
Ejemplo:
En un calorímetro que contiene 2,5 kg. de agua a una
temperatura inicial de 15,00 º C se colocan 50 g de etanol
a una temperatura de 30 º C. Al irse enfriando el etanol,
eleva la temperatura del agua hasta 15,17 º C. ¿Cuál es el
calor específico del etanol?
∆T = 15,17º C − 15,00º C = 0,17º C
El calor absorbido del sistema (alcohol) será:
Q β = mc p ∆T = (2,50kg )(4186 J •º C )(0,17 º C ) = 1780 J
kg
El calor absorbido por el sistema será:
∆T = 15,17º C − 30º C = −14,83º C
QS = mc p ∆T = (0,050kg )(c p )(−14,83º C ) = (−0,74kg•º C )c p
Como el calor absorbido es igual a calor cedido, tendremos:
2

39. 1780 J
( −0,74 kg • º C )c p = 1780 J ⇒ c p = = 2400 J kg •º C
− 0,74 kg •º C
COEFICIENTES DE TEMPERATURA
Ejemplo:
A 20ºC la densidad del mercurio vale 13546 kg/m3 y el
coeficiente de temperatura es 1,8x10-4 º C . ¿Cuál será la
densidad del mercurio a 35 º C?
∆T = (35 − 20)º C = 15º C
Z1 = ρ 20 = 13546 kg 3
m
α 1 = α 20 = −1,8x10 º C −1
−4
la variación de la densidad será:
om e
∆ρ = ρ 20α 20 ∆T =
.c o d
= (13546 kg 3 )( −1,8 x10 − 4 º C −1 )(15º C ) = −37 kg 3
m m
so d
y la densidad a 35 º C será:
ce rga
ρ 35 = ρ 20 + ∆ρ =
ac ca
= (13546 − 37) kg 3 = 13509 kg 3
m m
de es
Ejemplo:
so d
¿A qué temperatura tendremos que poner el agua para
ur to
que la celeridad del sonido sea 1500 m/s?
.c en
Velocidad del sonido en agua a 20 º C = 1486 m/s
∆v = v T − v 20 = (1500 − 1486) m = 14 m
w m
s s
w ocu
1 ∆v 1 14 m
∆T = = x s = 5,9º C
α 20 v 20 (1,61x10 − 3 º C −1 1486 m
w
D
s
T = 20 º C + ∆T = 25 ,9º C
Dilatación térmica
Sean L y L2 los valores de la longitud de un cuerpo, a las temperaturas T y T2 .
1 1
La variación de longitud será:
∆L = L2 − L1
está relacionada con la variación de temperatura por:
∆T = T2 − T1
mediante la ecuación:
3

40. ∆L
= α∆T
L1
donde α es el coeficiente de dilatación térmica.
Ejemplo:
La caldera de acero de una central eléctrica tiene una
altura de 30 m. Cuando se enciende, su temperatura sube
desde 20 º C hasta 500 º C . ¿Cuánto variará su longitud
durante el proceso?
Sustancia Dominio de temp. º C Coef. Dilatación térmica
Acero 0 a100 10,5x10-6 º C-1
90 a 200 11,5x10-6 º C-1
13x10-6 º C-1
om e
200 a 300
.c o d
300 a 600 15x10-6 º C-1
∆La = L1α∆T = (30m)(10,5 x10−6 º C −1 )(80 º C ) = 2,52 x10 −2 m
so d
ce rga
∆Lb = L1α∆T = (30 m)(11,5 x10 −6 º C −1 )(100 º C ) = 3,45 x10 −2 m
∆Lc = L1α∆T = (30m)(13x10 −6 º C −1 )(100º C ) = 3,9 x10 −2 m
ac ca
∆Ld = L1α∆T = (30m)(15 x10 − 6 º C −1 )(200 º C ) = 9 x10 −2 m
de es
∆L = ∆La + ∆ Lb + ∆ Lc + ∆Ld = (2,52 x10 −2 m) + (3,45x10 −2 m) +
so d
ur to
+ ( 3,9 x10 −2 m) + (9 x10 − 2 m) = 18,9 x10 − 2 m = 18,9cm
.c en
w m
Relación entre dilatación y esfuerzo.
w ocu
∆L
e= = α∆T
w
donde e es el coeficiente de deformación
L
D
S = eE , donde S es el esfuerzo y E el módulo de Young
CALOR LATENTE
Definición: El calor latente es la energía necesaria para transformar un
kilogramo de sustancia de una fase a otra a temperatura constante. El calor de fusión H f
es el calor latente para la transformación de sólido a líquido; el calor de evaporación Hv
es el calor latente para la transformación de líquido a gas; el calor de sublimación H es
s
el calor latente para la transformación de sólido a gas directamente, sin pasar por fase
líquida.
En el caso del agua, al empezar a fundir el hielo, no aumentará la temperatura de
este, aunque aumentemos la temperatura, hasta que se haya fundido totalmente.
4