Universidad Nacional Experimental "Francisco de Miranda" Programa Ingeniería Civil Unidad Curricular Estructura I

1. 34

2. 35
UNIDAD II: METODOS DE TRABAJO VIRTUAL
OBJETIVOS:
Utilizar los conceptos de trabajo, energía, trabajo real y trabajo virtual.
Enunciar y plantear el principio del trabajo virtual aplicado a cuerpos
rígidos y a cuerpos deformables.
Determinar los desplazamientos en cualquier punto de una estructura
estáticamente determinada, aplicando el principio de las fuerzas virtuales
INTRODUCCION
Se han desarrollado numerosos métodos para el cálculo de las
deformaciones elásticas de una estructura, entre los cuales se consideran los
más importantes en el cálculo estructural: El método de trabajo virtual y el
primer teorema de castigliano.
En esta unidad se utilizará una variant4e del Método de trabajo virtual
para calcular los desplazamientos reales en cualquier punto de una estructura
isostática, “El Método de las Fuerzas Virtuales”, el cual es fundamental en la
aplicación de los métodos para resolver sistemas indeterminados. Este método
es aplicable a cualquier tipo de estructura, vigas, cerchas o armaduras, pórticos,
entramados planos y espaciales.
El cálculo de los esfuerzos en estructuras estáticamente indeterminadas
está basado principalmente en la determinación de sus deformaciones elásticas
bajo el sistema de cargas actuantes.
La finalidad de la determinación de los desplazamientos de los miembros
de una estructura, es por una parte, asegurar que la estructura satisfaga todos
los requisitos de diseño y que se deforme dentro de los límites aceptables como
son los requeridos por las condiciones de servicio y de seguridad; y por otra
parte, para ser utilizados al formar las relaciones de compatibilidad necesarias
para resolver sistemas indeterminados o hiperestáticos.

3. 36
DEFINICIONES BÁSICAS:
TRABAJO Y ENERGÍA:
Trabajo (W): Representa el producto escalar de la fuerza aplicada a un objeto
por el desplazamiento que se produce y matemáticamente se expresa así:
W = F.d
En un cuerpo deformable el aumento de trabajo (dW) realizado por una
fuerza P que actúa al desplazarse este una cantidad (d∆) es igual a:
dw = P.d∆ →→ W = ∫ P.d∆
Si la fuerza está en tres dimensiones, la ecuación anterior se e
xpresa así:
W = ∫ P.d∆ = ∫ ( Px.d∆x + Py.d∆y + Pz.d∆z)
Energía (E): Capacidad que posee un cuerpo para realizar trabajo, dependiendo
de su velocidad, posición y configuración.
Energía De Deformación Interna (u): Está representada por la relación entre los
esfuerzos desarrollados internamente en los elementos de una estructura y las
deformaciones producidas por dichos esfuerzos y matemáticamente se expresa
como la integral o el área bajo la curva esfuerzo deformación del material de
que esta hecha la estructura:
U = ∫ . dvol
Principio de Conservación de la Energía: Este principio establece que si un
cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas conservativas la energía
mecánica (EM) total permanece constante en cualquier instante y es igual a la
energía debida a su movimiento (energía cinética) más la energía debida a su
deformación (energía potencial).
EM = U + K, siendo
U: la energía interna almacenada en el cuerpo debida a su deformación, y
K: la energía cinética, o energía debida al movimiento del cuerpo.
Si el cuerpo esta en equilibrio estático su velocidad es igual a cero,
entonces: K = ½ mV2
= 0 → EM = U

4. 37
Si no se excede el límite elástico, todo el trabajo externo (We) realizado
por un sistema de fuerzas sobre un cuerpo deformable, se convierte en energía
de deformación elástica recuperable y regresa la estructura a su posición
original cuando se quitan las cargas. Esto se escribe simplemente como:
We = U
Ley Básica de Trabajo y Energía: Esta ley establece que el trabajo externo
realizado por un sistema de cargas dadas, sobre un cuerpo, es igual a la
energía almacenada internamente en dicho cuerpo o trabajo interno
desarrollado por los esfuerzos.
We = U
Trabajo Real: Wr = U, El método de trabajo real es utilizado para calcular la
componente de deflexión lineal o rotacional del punto de aplicación y en la
dirección de una fuerza (Wr = P. ∆ / 2) o de un par (Wr = M. θ / 2), en su plano;
y matemáticamente se expresa así: Wr = ∫ P. ∆
Si el sistema es lineal, entonces: Wr = ∫ P. ∆ / 2
P
Wr
∆
Si se desea conocer la componente de deflexión lineal, se usa la ecuación
P. ∆ / 2 = U
Si se desea conocer la componente de deflexión rotacional, se usa la ecuación
M . θ / 2 = U
Las incógnitas de cualquier problema serán ∆ ó θ, dependiendo de que se
requieran la deflexión lineal o rotacional. Este método esta limitado en cuanto a
su aplicación, ya que si se aplican más de una carga P o más de un momento
M en una estructura, entonces aparecerá, generalmente más de una incógnita,
en el miembro de la izquierda de la ecuación y es imposible la solución.
Trabajo Virtual: Se denomina trabajo virtual de un sistema de fuerzas sobre un
cuerpo, al trabajo realizado por dichas fuerzas cuando ocurre un

5. 38
desplazamiento virtual en los puntos de aplicación de dichas fuerzas y
viceversa, es decir, también se produce trabajo virtual cuando en un cuerpo
ocurren desplazamientos reales en los puntos de aplicación y dirección de unas
fuerzas virtuales.
El término virtual significa que los desplazamientos son independientes
de las cargas y por lo tanto no son producidos por estas. El método de trabajo
virtual puede aplicarse tanto a cuerpos rígidos como a cuerpos deformables.
MÉTODO DE TRABAJO VIRTUAL
APLICADO A CUERPOS RÍGIDOS: Wve=0
Principio De Los Desplazamientos Virtuales: Si sobre un cuerpo rígido actúa un
sistema de cargas externas en equilibrio, el trabajo realizado por dichas cargas
cuando el cuerpo sufre un desplazamiento virtual es igual a cero. Este principio
permite obtener fuerzas internas y reacciones en cuerpos rígidos isostáticos.
∑ Pi . ∆ ´i = 0
Principio de las Fuerzas Virtuales: El trabajo virtual realizado por un conjunto de
fuerzas virtuales que van en la dirección de los desplazamientos reales de un
cuerpo rígido en equilibrio es igual a cero. Este principio permite calcular los
desplazamientos compatibles con las restricciones geométricas de un cuerpo
rígido
∑ p ´i . ∆ i = 0
MÉTODO DE TRABAJO VIRTUAL
APLICADO A CUERPOS DEFORMABLES: W ve = U
Principio De Los Desplazamientos Virtuales: Si sobre un cuerpo deformable
actúa un sistema de cargas externas en equilibrio, y este sufre una deformación
virtual como resultado de alguna acción adicional, el trabajo virtual externo
realizado por dichas cargas es igual al trabajo virtual interno de los esfuerzos
causados por el sistema de cargas actuales.

6. 39
∑ pi . ∆´ i = ∫ ´. dvol
Principio de las Fuerzas Virtuales: En un cuerpo deformable en equilibrio, el
trabajo virtual externo realizado por las fuerzas virtuales externas que se
mueven a lo largo de los desplazamientos reales externos será igual al trabajo
virtual interno efectuado por los esfuerzos virtuales internos que se mueven a lo
largo de las deformaciones internas compatibles. Este principio proporciona un
medio para calcular los desplazamientos externos de una estructura deformable
e isostática
∑ p ´i . ∆ i U = ∫ ´. dvol
Método De Carga Unitaria: Considérese una estructura elástica deformada
(Figura A), sometida a la acción de un conjunto de cargas, p1 y p2 cuyos puntos
de aplicación se desplazan una distancia ∆ 1 y ∆ 2 respectivamente; además el
apoyo A tiene un asentamiento igual a  A. Para obtener una expresión que
permita determinar la deformación real en un punto cualquiera de la estructura,
por ejemplo la componente vertical (∆) del punto C, se representa un elemento
deformado del cuerpo de longitud L, sometido a fuerzas internas, tal como S,
con su correspondiente variación de longitud, dL.
P1 P2
∆1 ∆2
A S B
∆
Fig. A
dl
Como el trabajo externo realizado por
las cargas aplicadas debe ser igual a
la energía interna de deformación de
todos los elementos de la estructura.
Se obtiene:
P1. ∆1+P2. ∆2+RA.  = ∑S.dl
s s
L
 A
RA
C
dl

7. 40
En la Figura B, se representa la misma estructura sin ninguna carga real,
pero con una carga virtual unitaria aplicada en el cuerpo C en la dirección del
desplazamiento buscado y en cuyo punto ocurre un desplazamiento,
El mismo elemento de longitud L esta sometido a fuerzas unitaria, u, debido a la
carga unitaria con una deformación correspondiente, dL1 para este caso se
obtiene:
1.  = ∑u.dl1
Fig. B
Aplicando el principio de superposición: produciendo primero el estado
de cargas y deformación del caso B y las cargas reales p1 y p2 se aplican
después; igualando el trabajo total y la energía total de deformación
almacenada durante la aplicación sucesiva, se tiene:
1. +P1. ∆1+P2. ∆2+RA. +1. ∆+ R´A. = ∑u.dl1+∑S.dl +∑u.dl
Puesto que la energía de deformación y el trabajo realizado deben ser
los mismos si las cargas se aplican a la vez o separadamente, se obtiene:
1. ∆+ ∑R´A. = ∑u.dl
Esta es la ecuación básica del método de la carga unitaria, donde:
∆: Es el desplazamiento buscando en el sistema, punto donde se
coloca la carga unitaria.
∑ u: Los esfuerzos producidos por la carga unitaria dentro del
miembro
u u
LA
R´A
C
dl1
B
1



8. 41
dl: Es el desplazamiento o deformación unitaria (alargamiento o
acortamiento) de un elemento debido a las cargas reales
aplicadas.
RA´
: La reacción en el apoyo correspondiente al asentamiento del
apoyo real, obtenida de la carga virtual unitaria aplicada.
 : El asentamiento real del apoyo correspondiente.
Cuando se requiere obtener la rotación de la tangente (θ) en cualquier punto de
la estructura, se aplica un par unitario en dicho punto y la ecuación será:
1. θ + ∑RAv
.  = ∑ u. dL
Expresión Para El Trabajo Virtual Interno:
En una estructura dada sometida a un conjunto de fuerzas externas se
pueden desarrollar algunos tipos de fuerzas internas o esfuerzos dependiendo
del tipo de internas desarrolladas pueden ser: Fuerzas axiales, Fuerzas
cortantes, momentos, flectores. Momentos de torsión y esfuerzos debidos a los
cambios de temperatura. Esto indica que el trabajo interno total de la estructura
será igual a la sumatoria de los trabajos internos realizados por cada tipo de
fuerza interna desarrollada en la estructura, esto es:
Donde:
 AE
dxNN .´. = Trabajo interno producido por la fuerza axial
h
dxTM
dxTcN
JG
dxTT
AG
dxVV
k
EI
dxMM
AE
dxNN
Wvi
)(.´.
.).(´.
.´..´..´..´. 
  


 EI
dxMM .´. = Trabajo interno producido por la flexión
 AG
dxVV
k
.´. = Trabajo interno producido por la fuerza de corte
 JG
dxTT .´. = Trabajo interno producido por la fuerza de torsión
  dxTcN ).(´.
= Trabajo interno producido por los cambios de
temperatura
h
dxTM )(.´. 



9. 42
A continuación se desarrollará el procedimiento para deducir una de
estas formulas de trabajo interno, y quedará como tarea para el alumno deducir
las restantes.
Trabajo Interno Realizado por la Carga Axial: Sea un miembro
cualquiera de área constante, A, con una carga axial real, N aplicada, como se
muestra en la figura c.
La deformación unitaria,
Por la ley de Hooke,
pero el esfuerzo axial, AN , siendo A, el área de la sección transversal,
sustituyendo se tiene,
Igualando las dos ecuaciones de , AENLLAENLL  .
Para el segmento dx se tiene que: AEdxNdx ..  , y dxx , siendo la
deformación axial (∆x) del diferencial dx Igual a:  dxLdxx .. 
Fig. c. Sistema Real Fig. d. Sistema Virtual
Si para el mismo miembro se aplica una carga Virtual, N´, como se
muestra en la figura d, entonces por la ley básica de trabajo y energía: el trabajo
Virtual extremo es igual al trabajo Virtual interno de deformación.
AEN
L
L
E
E   .
dx
L ∆L
dx
L ∆L
NN N´ N´
x

10. 43
Para el segmento dx, se tiene que: AEdxNNdxNxN .´.).´(´.   y
Para todo el cuerpo,    AEdxNNLNAEdxNNdxN .´´..´.).´(
Es decir el trabajo virtual interno por deformación axial es:
APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES
Se puede aplicar mediante dos modalidades: analíticamente y gráficamente
 Aplicación o Método Analítico
 Aplicación o Método Gráfico (por integración gráfica)
Método Analítico:
Procedimiento Para Determinar Desplazamientos En Estructuras Isostaticas:
En Pórticos:
1. Se construye el sistema virtual colocando una carga unitaria
ficticia en el punto y en la misma dirección del desplazamiento a
determinar.
2. Se construye una tabla de datos para organizar mejor los cálculos,
que contenga los siguientes renglones:
3. Se analizan tanto el sistema real como el sistema virtual: se
calculan las reacciones, los despieces, y se determinan las
fuerzas o solicitaciones internas de la estructura en función de x,
TRAMO X =
0
en
VALORES
DE X
REAL
M(x)
(t. m)
VIRTUAL
M`(x)
(t. m)
M(x) . M`(x)
(t2.m2)
∫M(x).M`(x) dx
(t2 . m3)
AB A 0 - LAB
BC B 0 – LBC
CD D O - LCD
∫M(x).M`(x) dx =
 AENdxNaxialWvi ´.

11. 44
para cada tramo, en este curso se consideraran solo los efectos
de flexión, por ser estos los que gobiernan el calculo estructural de
las estructuras aporticadas. En algunos problemas se tomaran en
cuenta los efectos de temperatura.
4. Se aplica la ecuación del principio de las fuerzas virtuales, para
determinar el desplazamiento respectivo, considerando solo los
efectos de flexión.
1 t.m x ∆ = ∑ ∫ M(x).M(x).dx / EI
1 t.m x θ = ∑ ∫ M(x).M(x).dx / EI
5. Se resuelve estas integrales y se determina el desplazamiento
respectivo, ∆ ó θ
EJEMPLOS #1:
3.2.1. -En el siguiente pórtico plano use el método de trabajo virtual y
determine: la componente de deflexión vertical de la junta D. El módulo de
elasticidad del material es, E = 2.100ton/cm2, y el momento de inercia de la
sección de los miembros es, I = 25.000cm4. Considere como positivo los
momentos flectores cuya tracción sea en la parte inferior en vigas y en la parte
izquierda de las columnas.
Sistema Real
Solución:
2I
2
EI
EI
1,
5
EI
2
m
3
m
C
B
E
A
D
I
1,5I
2t
3t
2t-m
A B
C
D
3m
3m
2m
1 t/m

12. 45
1. Se construye el sistema virtual, colocando la carga unitaria en el punto y
dirección del desplazamiento a encontrar, así se tiene el sistema virtual
de la estructura:
2. Se analiza cada sistema: calculándole las reacciones, su respectivo
despiece y se determina las ecuaciones de los diferentes esfuerzos en
función de X, para cada tramo de la estructura:
Análisis del Sistema Virtual
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1x5 – MA = 0 → MA = 5t-m
Despiece:
2I
I
1,5I
1t
A B
C
D
1t
1t
1t
1t
1t1t
2t-m
2t-m
2t-m
5t-m
A B
C D

13. 46
Ecuaciones de Momento Flector en función de X: haciendo cortes para cada
tramo:
Tramo AB:
∑Mx = 0 + Mx = x -5
Tramo BC:
∑Mx = 0 + Mx = -2
Tramo DC:
Mx = -x
Análisis del Sistema Real
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 3x5 – 2 + 2x3 + 1x3x1,5 - MA = 0 → MA =23,5t-m
∑Fy=0 + RA -3-2- 1x3 = 0 → RA = 8t
1t
2t-mB
X
Mx
1t
5t-m
A
Mx
X
XMx
C
1t
D

14. 47
Despiece:
Ecuaciones de Momento Flector en función de X: haciendo cortes para cada
tramo:
Tramo AB:
∑Mx = 0 + Mx = 8x – 0,5x2
- 23,5
Tramo BC:
∑Mx = 0 + Mx = -4
Tramo DC:
4t-mB
X
Mx
6t.m
3t
3t
3t
5
5t
5
5t
3t
3t8t
4t-m
4t-m
4t-m
23,7t-m
A B
C D
3t
2t.m
4t.m
2t
8t
23,7
A
Mx
X

15. 48
Mx = -3x
1t x ∆vD = ∑ ∫M(x).M`(x) dx /EI
1t x ∆vD = 114,77 t2.m3 / 5250 t.m2 ∆vD = 0.02186 m
EJEMPLO # 2: El siguiente pórtico plano está sometida a las cargas mostradas
y además a un cambio de temperatura (Δto= 15ºC), el coeficiente de dilatación
térmica del material es, α= 1,17x10-6
ºC-1
y la altura de la sección transversal de
los miembros es h.= 20cms. use el método de trabajo virtual y determine: la
componente de deflexión rotacional en la junta E. El módulo de elasticidad del
material es, E = 2.100ton/cm2, y el momento de inercia de la sección de los
miembros es, I = 30.000cm4. Considere como positivo los momentos flectores
cuya tracción sea en la parte inferior en vigas y en la parte izquierda de las
columnas.
Sistema Real
X = 0
en
VALORES
De X
(m)
REAL
M(x)
(t. m)
VIRTUAL
M`(x)
(t. m)
Coef. de
EI=C
∫M(x).M`(x) dx
C
(t2 . m3)
Intégral
Evaluada
de 0 – L
(t2. m3)
AB A 0 – 3 8x–0,5 x
2
– 23,5 x-5 2 0.06x
4
+1,75x
3
-15,88x
2
+58.75x
85,44
BC B 0 – 3 -4 –2 1 8x 24
CD D O _ 2 –3x –x 1,5 0.67X
3
5.33
∫M(x).M`(x) dx = 114,77
2m 2m
2m
0,5
m
3m
1,5EI
EI
2EI
m
1t-m
A
E
B
C
D
4,75t/m
XMx
C
3t
D
T
R
A
M
O

16. 49
Solución:
Sistema Virtual
Análisis del Sistema Virtual
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1+ 2REx - 4REy = 0
∑MCE=0 + 1+ 5,5REx - 2REy = 0
Resolviendo:
∑Fy=0 + 0.19+ RAy = 0 → RAy = -0,19t
∑FX=0 + 0,11 + RAx = 0 → RAx = -0,11t
Despiece:
2m 2m
2m
0,5
m
3m
1,5EI
EI
2EI
m
1t-m
A
E
B
C
D
REy= 0,19t REx= - 0,11t
0,11
0,19
0,11 1t-m
A E
B
C
D0,33t.
m
0,19
0,33t.
m
0,11
0,19
0,19
0,19
0,19 0,19
0,19
0,11 0,11
0,11
0,11
0,11
0,43t.
m
0,43t.
m

17. 50
Cortes o secciones:
Tramo AB:
∑Mx=0 + → Mx = 0,11x
→ Mx =- 0.11x
Tramo BC:
∑Mx=0 + Mx= -0,184x+0,026x+0,33
Mx = -0,16x+0.33
Mx=-0,16x + 0,33
Tramo CD:
∑Mx=0 + Mx=0,97x+0,24x-0,43
Mx = 0,21x-0.43
0,11t
Mx
B
α=14,03º
0,19t
V1=0,184t
V2= 0,11xsenα=0,026t
X
0,33t.m
0,11t
Mx
D
α=14,03º
0,19tV1=0,19xcosα=0,9
7t
V2= 0,11xsenα=0,24t
X
0,43t.m
x
Mx
0.11t
0.19t
A

18. 51
Tramo DE:
∑Mx=0 + → Mx = 0,11x - 1
→ Mx =0.11x -1
Análisis del sistema Real:
Cálculo de Reacciones:
∑MA=0 + 4,75x4x2+1 - 4REy+2REx = 0 → -4Rey + 2REx= -3,9
∑MCE=0 + 4,75x2x1+1-2REy+5,5RCx = 0 → -2REy + 5,5Rex= 0
Resolviendo: REy= 10,75t Rex= 2t
∑Fy=0 + RAy-4,75x4+10,75= 0 → RAy = 8,25t
∑Fy=0 + RAx -2= 0 → RAx = 2t
Despiece:
x
Mx
0.11t
0.19t
E
1t
9,5t 9,5t
2t
8,25
2t
1t-m
A
E
B
C
D6t.m
8,25
6t.m
2t
8,25
1,25
1,25
10,75
10,75
10,75
2t 2t
2t
2t
10 t.m
11t.m
10 t.m
10 t.m

19. 52
Cortes o secciones:
Tramo AB:
∑Mx=0 + → Mx = -2x
→ Mx = -2x
Tramo BC:
∑Mx=0 + Mx= 8X – 0,48X – 6 – 4,47X2
/2
Mx = 7,52X – 2,23X2
- 6
Tramo CD:
∑Mx=0 +
Mx=10,43X – 0,48X – 11 – 4,47X2
/2
Mx =9,95X – 2,23X2
- 11
x
Mx
2t
8,25t
A
2t
Mx
B
α=14,03º
8,25t
V1=8,25xcosα=8t
V2= 2xsenα=0,48t
6t.m
4,47t/m
X
2t
Mx
D
α=14,03º
10,75t
V1=10,75xcosα=10,43t
V2= 2xsenα=0,48t
X
11t.m
4,47t/m
2t

20. 53
Tramo DE:
∑Mx=0 + → Mx = - 2X
→ Mx = - 2X
Aplicando la formula de Trabajo Virtual:
1t –m x öE + ∑Ri.∂i= ∑ ∫M(x).M`(x) dx /EI + ∑ ∫.M`(x).α(t). ∆(∆t). dx /h
Contribución Por Flexión
Contribución Por Temperatura
X = 0
en
VALORES
De X
(m)
REAL
M(x)
(t. m)
VIRTUAL
M`(x)
(t. m)
∫M(x).M`(x) dx
EI
(t2. m3)/ (t. m2)
Integral
Evaluada
De 0 – L
(t. m)
AB A 0 – 3 -2X -0.11x 1/EI(0.07x
3
) 1.89/EI
BC B 0 – 2,06 7,52x-2,23x
2
-6 -0.16x+0.33 1/1,5EI(-1.98x+1.72x
2
-0.64x
3
+0.09x
4
) - 0.5219/EI
CD D 0 – 2,06 9,25x-2,23x
2
-11 0.21x-0.43 1/1,5EI(4.73x-3.15x
2
+0.97x
3
-0.12x
4
) 1.8214/EI
DE E 0 - 5 -2x 0.11x-1 1/2EI(-0.07x
3
+x
2
) 16,25/EI
∫M(x).M`(x) dx =
EI
19,4395/EI
=0,00309 t. m
X = 0
en
VALORES
De X
(m)
VIRTUAL
M`(x)
(t. m)
α(t). ∆(∆t). dx /h
(m
-1
)
∑ ∫.M`(x).α(t). ∆(∆t). dx /h
(t.m)
10
-6
Integral Evaluada
De 0 – L
(t. m)
10
-6
AB A 0 – 3 -0.11x 0.00008775 -4,83x2 -43,4700
BC B 0 – 2,06 -0.16x+0.33 0.00008775 -7,02x2+28,96x 29,8675
CD D 0 – 2,06 0.21x-0.43 0.00008775 9,21x2-37,73x -38,6402
DE E 0 - 5 0.11x-1 0.00008775 9,65x2-87,75x -139,8143
∑ ∫.M`(x).α(t). ∆(∆t). dx= -192,057x10
-6
(t. m)
x
Mx
2t
10,75
E
T
R
A
M
O
T
R
A
M
O

21. 54
1t –m x öE + ∑Ri.∂i= ∑ ∫M(x).M`(x) dx /EI + ∑ ∫.M`(x).α(t). ∆(∆t). dx /h
1t –m x öE + 0 = 0.00309 t.m - 0.000192 t.m
1t –m x öE = 0,0033 t.m
En Cerchas O Armaduras:
1. Se construye el sistema virtual colocando una carga unitaria
ficticia en el punto y en la misma dirección del desplazamiento a
determinar.
2. Se construye una tabla de datos para organiza mejor los cálculos,
que contenga los siguientes renglones:
3. Se analizan tanto el sistema real como el sistema virtual: se
calculan las reacciones, y se determinan las fuerzas axiales de
cada miembro, utilizando el método de los nodos
4. Se aplica la ecuación del principio de las fuerzas virtuales, para
determinar el desplazamiento respectivo.
1 x ∆ = ∑ Ni .N`i. di /EAi
h
MIEMBRO Li
(m)
FUERZA AXIAL
Ni . N`i Li
(t2.m)
Ai
Cm2
Ni .N`i. di /Ai
(t2. m/Cm2)
REAL
Ni
( t )
VIRTUAL
Ni`
( t )
AB
BC
CD
∑Ni .N`i. di /Ai =
öE = 0,0033 radianes

22. 55
5. Se resuelve estas integrales y se determina el desplazamiento
respectivo, ∆
EJEMPLO #1.
En la siguiente cercha use el método de trabajo virtual y determine: la
componente de deflexión vertical de la junta B. El módulo de elasticidad del
material es, E = 2.100ton/cm2, y las áreas de las barras son las siguientes:
AB=BC=30cms, AE=CE=40cms, BE=AD=CF=25cms y DE=FE=30cms.
Sistema Real
Análisis del Sistema Real
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 4x2 - 2,4RCy = 0 → RCy = 2t
∑Fy=0 + RAy – 4 + 2 = 0 → RAy = 2t
∑Fy=0 + RAx = 0 → RAx = 0 t
Método de los Nodos:
Nodo D:
∑Fy=0 + DA=0
∑Fx=0 + DE=0
D
DE
DA
α
α= 39,81º
Sen α=0,64
Cos α=0,77
1,2m 1,2m
1m
A B
C
D E F
4t

23. 56
Nodo A:
Nodo B:
Nodo C:
Nodo E:
∑Fy=0 + 2+ AE.Sen α → AE= - 3,12t
∑Fx=0 + AE.Cos α +AB=0 →AB= 2,40t
∑Fy=0 + BE= Ot
∑Fx=0 + - 2,40 + BC= 0 →BC= 2,40t
B
BC
B
AB=2,4
BE
A
AB
2t
α
AE
∑Fx=0 + - CE.Cos α - 2,40=0 →CE= - 3,12t
∑Fy=0 + CE.Sen α + CF + 2 =0 →CF=0 t
C
CE
B
CB=2,4
CF
α
2t
∑Fy=0 + AE.Sen α + CE.Sen α – 4 =0 →4 = 4
∑Fx=0 + EF - CE.Cos α + AE.Cos α=0 →EF=0 tEFE
DE=0
4t
α
BE=0
α
CE=3,12t
AE=3,12t

24. 57
Nodo F:
Sistema Virtual: Suponiendo una deflexión hacia arriba, se asume una carga
unitaria ficticia vertical en ese sentido.
Análisis del Sistema Virtual
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + - 1x1,2 + 2,4xRCy = 0 → RCy = 0,5t
∑Fy=0 + - RAy + 1 – 0,5 = 0 → RAy = 0,5t
∑Fy=0 + RAx = 0 → RAx = 0 t
Método de los Nodos:
Nodo D:
∑Fy=0 + CF=0
∑Fx=0 + EF=0
F
EF=0
CF=0
α
α= 39,81º
Sen α=0,64
Cos α=0,77
1,2m 1,2m
1m
A B
C
D E A
1t
∑Fy=0 + DA=0
∑Fx=0 + DE=0
D
DE
DA

25. 58
Nodo A:
Nodo B:
Nodo C:
Nodo E:
∑Fy=0 + 0,5+ AE.Sen α=0 → AE= 0,78t
∑Fx=0 + AE.Cos α +AB=0 →AB= - 0,60t
∑Fy=0 + BE= -1t
∑Fx=0 + 0,60 + BC= 0 →BC= - 0,60t
B
BC
B
AB=0,60
BE
A
AB
0,5t
α
AE
∑Fx=0 + - CE.Cos α + 0,60 =0 →CE= 0,78t
∑Fy=0 + CE.Sen α + CF – 0,5=0 →CF=0 t
C
CE
BC=0,60
CF
α
0,5t
∑Fy=0 + - AE.Sen α -CE.Sen α +1 =0 →1 = 1
∑Fx=0 + EF - CE.Cos α + AE.Cos α=0 →EF=0 t
EFE
DE=0
α
BE=1
α
CE=0,78t
AE=0,78t
1 t

26. 59
Nodo F:
Aplicando la formula de trabajo virtual:
1 x ∆yB = ∑ Ni .N`i. di /EAi
- 0,305 t2. m/Cm2
2100 t/cm2
MIEMBRO Li
(m)
FUERZA AXIAL
Ni . N`i Li
(t2.m)
Ai
Cm2
Ni .N`i. di /Ai
(t2. m/Cm2)
REAL
Ni
( t )
VIRTUAL
Ni`
( t )
AB 1,2 2,4 -0,6 -1,728 30 -0,0576
AD 1,0 0.0 0,0 0,0 25 0,0
AE 1,56 -3,12 0,78 -3,796 40 -0,0949
BC 1,2 2,4 -O,6 -1,728 30 -0,0576
BE 1,0 0,0 -1 0,0 25 0,0
CE 1,56 -3,12 0,78 -3,796 40 -0,0949
CF 1,0 0,0 0,0 0,0 25 0,0
DE 1,2 0,0 0,0 0,0 30 0,0
EF 1,2 0,0 0,0 0,0 30 0,0
∑Ni .N`i. di /Ai = - 0,305 t2. m/Cm2
∑Fy=0 + CF=0
∑Fx=0 + EF=0
F
EF=0
CF=0
1tx∆yB =
=
= 1,45x10-4
m

27. 60
EJEMPLO #2:
En la siguiente cercha está sometida a las cargas mostradas y además a un
cambio de temperatura (Δto= 20ºC), el coeficiente de dilatación térmica del
material es, α= 1,17x10-6
ºC-1
. Use el método de trabajo virtual y determine: la
componente de deflexión horizontal en la junta E. El módulo de elasticidad del
material es, E = 2.100ton/cm2, las áreas de las barras son todas iguales a
60cms.
Sistema Real
Análisis del Sistema Real
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1,5xRBy + 0,5x5x Sen 30 – 5x Cos 30x1 - 3x0,5 = 0 →
RBy = 3,05t
∑Fy=0 + RAy – RBy – 5x Sen 30 = 0 → RAy = 5,55t
∑Fx=0 + RAx – 3 -5xCos30= 0 → RAx = 7,33 t
Método de los Nodos:
Nodo B:
∆yB = -0,0145cm
α= 45º
Sen α=0,71
Cos α=0,71
ö= 26,57º
Sen ö =0,45
Cos ö =0,89
30º
Sen 30=0,5
Cos 30=0,87
30º
0,5m
0,5m
0,5m
A B
G
D
F
C
E
0,5m 0,5m 0,5m
ö
α
α
5t
3t
∑Fy=0 + - 3,05 + BDSen45 =0→BD= 4,3t
∑Fx=0 + - AB – BDCos45=0 →AB= - 3,05t
RBy
BAB
3,05t
BD
α
RAx
RAy
α

28. 61
Nodo A:
Nodo D:
Nodo C:
∑Fx=0 + 7,33 – 3,05 + AD.Cosö=0→AD= -4,81t
∑Fy=0 + 5,55 + AC + AD.Sen ö=0 → AC= - 3,4t
∑Fy=0 + DF.Sen45 +4,81.Senö - 4,3Sen45=0
→ DF= 1,26t
∑Fx=0 + - CD-3-DF.Cos45 + 4,81.Cosö= 0
→ CD= 3,44t
A
AB=3,05t
5,55t
Ö
AD
∑Fx=0 + 3,44+CF.Cos45=0 → CF= - 4,84t
∑Fy=0 + CE+3,4 + CF.Sen45=0 →CE=0 t
C
CF
CD=3,44t
CE
α
3,4t
AC
7,33t
D
3tCD
DF
α
α
α
α
Ö
α
AD=4,81t BD=4,3t

29. 62
Nodo F:
Nodo E:
Sistema Virtual
∑Fy=0 + EG+ CF=0 → EG=0t
∑Fx=0 + EF=0
∑Fy=0 + FG.Senα + 4,84.Senα – 1,26.SENα -2,5 =0
→ FG = 0t
∑Fx=0 + 4,84.Cos45+1,26.Cos45-4,33-EF=0
→ EF=0 t
4,33tF
EF
2,5t
α
BE=0
α
DF=1,26t
CF=4,84t
FG
α
E
EF=0
CE=0
EG
0,5m
0,5m
0,5m
A B
G
D
F
C
E
0,5m 0,5m 0,5m
ö
α
α
1t
RAx

30. 63
Análisis del Sistema Virtual
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1,5xRBy – 1tx1m = 0 → RBy = 0,67t
∑Fy=0 + RAy – RBy = 0 → RAy = 0,67t
∑Fx=0 + RAx – 1t = 0 → RAx = 1 t
Método de los Nodos:
Nodo B:
Nodo A:
Nodo D:
∑Fy=0 + - 0,67 + BDSen45 =0→BD= 0,95t
∑Fx=0 + - AB – BDCos45=0 →AB= - 0,67t
∑Fx=0 + 1 – 0,67 + AD.Cosö=0→AD= -0,37t
∑Fy=0 + 0,67 + AC + AD.Sen ö=0 → AC= - 0,50t
∑Fy=0 + DF.Sen45 + 0,37.Senö – 0,95Sen45=0
→ DF= 0,71t
∑Fx=0 + - CD -DF.Cos45 + 0,37.Cosö+0,95.Cos45= 0
→ CD= 0,50t
Ö
BAB
0,67t
BD
α
A
AB=0,67t
0,67t
AD
AC
1t
D
CD
DF
α
α
α
α
Ö
α
AD=0,371t BD=0,95t
RAy RBy

31. 64
Nodo C:
Nodo F:
Nodo E:
∑Fy=0 + EG – CE =0 → EG=0t
∑Fx=0 + EF=1t
∑Fx=0 + 0,50+CF.Cos45=0 → CF= -0,71t
∑Fy=0 + CE+0,50 + CF.Sen45=0 →CE= 0 t
C
CF
CD=0,50t
CE
α
AC=0,50t
∑Fy=0 + FG.Senα + .Senα – 0,71.SENα =0
→ FG =0t
∑Fx=0 + CD.Cos45+DF.Cos45-FG.Cos45-EF=0
→ EF=1t
F
EF
α α
DF=0,71t
CF=0,71t
FG
α
E
EF=1t
CE=0
EG
1t

32. 65
Aplicando la formula de trabajo virtual:
1 x ∆XE = ∑ Ni .N`i. di /EAi + ∑N`i. α(t). Li
13,602 t2. m 0,014x15-5
t2.m
60cm2x2100.t/cm2
Método Gráfico:
Procedimiento Para Determinar Desplazamientos En Estructuras Isostaticas:
MIEMBRO Li
(m)
FUERZA AXIAL
α(t).Δt0. N´iα(t).Δt0.Li
Cm2
Ni .N`i. di
(t2. m/Cm2)
REAL
Ni
( t )
VIRTUAL
Ni`
( t )
AB 1,50 -3,05 -0.67 2,34x10-5 -2.35x10-5 +3.065
AC 0,50 -3,40 -0.50 2,34x10-5 -0.585 x10-5 +0.850
AD 1,12 -4,81 -0.37 2,34x10-5 -0.969 x10-5 +1.993
BD 0,71 +4,30 0.95 2,34x10-5 +1.578 x10-5 +2.900
CD 1 +3,44 0.50 2,34x10-5 +1.170 x10-5 +1.720
CE 0,50 0 0 2,34x10-5 0 0
CF 0,71 -4,84 -0.71 2,34x10-5 -1.170 x10-5 +2.439
DF 0,71 +1,26 0.71 2,34x10-5 +1.170 x10-5 +0.635
EF 0,50 0 1 2,34x10-5 +1.170 x10-5 0
EG 0,50 0 0 2,34x10-5 0 0
FG 0,71 0 0 2,34x10-5 0 0
∑N`i. α(t). Li =
0.014 x10-5
∑Ni.N`i.di=
13,602 t2.m
1tx∆XE =
=
= 1,081410-4
t.m
∆yB = 1,08cm
+

33. 66
1. Se construye el sistema virtual colocando una carga unitaria ficticia en
el punto y en la misma dirección del desplazamiento a determinar.
2. Se analizan tanto el sistema real como el sistema virtual: se calculan las
reacciones, los despieces, y se determinan los diagramas respectivos
de los miembros de la estructura, por tramo. En este curso se
consideraran solo los efectos de flexión, por ser estos los que gobiernan
el calculo estructural de las estructuras aporticadas.
3. Se aplica la ecuación del principio de las fuerzas virtuales, sin embargo
se usará la siguiente tabla como resultado de la integración gráfica,
donde se interceptan los diagramas obtenidos tanto del sistema real
como del virtual para así obtener el resultado de la integral para cada
tramo y luego se suman determinando así el desplazamiento total
respectivo.
EXPRESIONES MÁS FRECUENTES DE ∫ ABdx
B
B
B B1 B2 B1 B2
A ABL 1/2ABL 1/2ABL AL/2(B1+B2) AL/2(B1+B2)
A 1/2ABL 1/6ABL 1/3ABL AL/6(B1+2B2) AL/6(2B1+B2)
A 1/2ABL 1/3ABL 1/6ABL AL/6(2B1+B2) AL/6(B1+2B2)
A1 A2 L/2(A1+A2)B L/6(2A1+A2)B L/6(A1+2A2)B L/6((2A1+A2)B1+
(A1+2A2)B2)
L/6(A1(2B1+B2)+
A2(B1+2B2))
A1 A2 LB/2(A1+A2) LB/ 6(A2+2A1) LB/6(2A2+A1) L/6((2A1+A2)B1+
(A1+2A2)B2)
L/6((A1(2B1+B2)+
A2(B1+2B2)
A 2/3ABL 1/3ABL 1/3ABL LA/3(B1+B2) LA/3(B1+B2)
A 2/3ABL 1/4ABL 5/12ABL LA/12(3B1+5B2) LA/12(5B1+3B2)
A 2/3ABL 5/12ABL 1/4ABL LA/12(5B1+3B2) LA/12(3B1+5B2)
A 1/3ABL 1/12ABL 1/4ABL L/12A(B1+3B2) L/12A(B1+3B2)
A 1/3ABL 1/4ABL 1/!2ABL L/12A(3B1+B2) L/12A(3B1+B2)

34. 67
EJEMPLO #1:
En el siguiente pórtico plano use el método gráfico de trabajo virtual y
determine: El desplazamiento rotacional en la junta E. El producto del módulo
de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI = 5.200
ton.m2.
Solución:
Análisis del Sistema Real
Calculo de Reacciones:
∑MD=0 + -2 - 2x3x3,5 + 2xRAy = 0 → RAy = 11,5t
∑Fy=0 + -2x3 + 8,5 - RDy = 0 → RDy = 5,5 t
∑Fx=0 + - REx = 0 → REx = 0 t
vA=0,01m
C
A
D
B
3m 2m
1,5EI
EI
2EI
2t-m
2t/m
EI
C
AB
2t-m
2t/m
D
RAy
RDx
RDy
4m

35. 68
Despiece
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC Miembro:
CD
4m 3m 2m
+ + -
25,5 25,5
3m
Análisis del Sistema Virtual
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + 1-2RAy = 0 → RAy = 0,5t
∑Fy=0 + RDv –0,5= 0 → RDy = 0,5t
∑Fx=0 + RDx = 0 → RDx = 0t
1t.m
C
AB
D
RAy
RDy
A
2t/mEI
C
B
2t-m
D
25,5t.m
5,5t25,5t.m
16,5t.m
27,5t.m25,5t.m
11,5t
5,5t
5,5t5,5t
2,5t
2,5t
27,5
16,5

36. 69
Despiece:
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC Miembro: CD
3m 4m
- - + 2m
3m
- 1,5 1,5 1,5
Aplicación de Trabajo Virtual (método grafico): donde se interceptan los
diagramas correspondientes, el real y el virtual, según tabla:
1x θE + ∑ Ri.∂i = 1/EI [ ∫ Mx. Mx`dx ]
25,5 1,5 25,5 1,5
1x θE+(0,5x0,01)=1/EI ( + - )+1/2( - + ) +
C
B
B
D
1,5t.m
0,5t1,5t.m
1,5t.m1,5t.m
0,5t
0,5t
0,5t0,5t
0.5t
A
1t.m

37. 70
27,5 16,5 1,5 16,5 1
+ 1/1,5 ( - + - - )
=1/5200 ( 5/12ABL )+ 1/2(ABL) + 1/1,5(L/6(2A1 +A2)B + 1/6 ABL)
1x θE+0,005=1/5200 5/12x25,5x(-1,5)x3 + 1/2((25,5)x(-1,5)x4
+ 1/1,5 ( 2/6(-2x27,5 - 16,5)x1,5 + 1/6(-16,5x-1x2) )
θE = - 0,01719
θE = 0,01719 rad
2. En el siguiente pórtico plano use el método gráfico de trabajo virtual para
determinar: El desplazamiento horizontal de la junta C. ΔHC=? El producto del
módulo de elasticidad del material y el momento de inercia de la sección es, EI
= 6.200 ton.m2.
EI
2t-m
A
B
4m
3m
0.5t/m
EI
1m
C

38. 71
Solución:
Análisis del Sistema Real
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + MA - 0.5x42
/2 + 2 = 0 → MA = 2t.m
∑Fy=0 + RAv – 0.5x4 = 0 → RAy = 2 t
∑Fx=0 + RAx = 0 → RAx = 0t
Despiece:
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC
5m 4m
-
2 0
EI
2t-m
A
B
0.5t/m
EI
C
2 t-m
2t
2
2t
2
0
0
0
RAx
RAy
MA

39. 72
Análisis del Sistema Virtual:
Calculo de Reacciones:
∑MA=0 + MA = 1x1= 1t.m → MA = 1t.m
∑Fy=0 + RAv = 0 → RAy = 0 t
∑Fx=0 + 1- RAx = 0 → RAx = 1t
Despiece:
Diagramas de Momentos flectores:
Miembro: AB Miembro: BC
1 4 4
+ +
5m 4m
1x ΔHD = 1/6200 ( 2 - 1 + 4) + ( 0 4 + )
1x ΔHD = 1/6200 L/12 A(3B1+B2) + 0
1x ΔHD =1/6200 5/12(-2)(3x1+4) ΔHD= - 0,00094m
1t
4
0
1t
4
1 t-m
1t
1t
1t
MA
RAx
ΔHD= 0,00094m