Este documento introduce los conceptos de ecuaciones, variables, incógnitas y sistemas de ecuaciones lineales. Explica que las ecuaciones matemáticas pueden usarse para resolver problemas cotidianos donde se desconoce algún valor. Define ecuaciones lineales y muestra cómo resolver ecuaciones de una y más de una incógnita mediante ejemplos relacionados con la nutrición.

1. En muchas situaciones cotidianas, así como en problemas relacionados con otras disciplinas,
se presenta la necesidad de averiguar el valor de algo desconocido a partir de datos
vinculados entre sí por diferentes relaciones. Estas relaciones, en general, se pueden expresar
mediante ecuaciones matemáticas, donde a aquello que desconocemos lo llamamos
incógnita.
¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales y cómo se resuelven? Este será el tema de
estudio del primer módulo.
Para comprender los conceptos relevantes de esta lectura, tomaremos como ejemplo una
situación. A medida que avancemos en la lectura, iremos retomándola para poder identificar
en ella los conceptos trabajados.
Ecuaciones: concepto, clasificación, solución
Ecuaciones lineales
Referencias
Ecuaciones

2. LECCIÓ N 1 de 3
Ecuaciones: concepto, clasificación, solución
Ecuaciones
Situación problemática
Nuestra nutricionista nos ha planeado una dieta diaria que consiste en tres alimentos básicos. Ella conoce, a través de
tablas, el aporte de vitaminas, carbohidratos y proteínas de cada uno de los alimentos por porción, los cuales se
encuentran explicitados en la Tabla 1.
Por su profesión sabe, además, que la dieta completa para mantener nuestro peso debe contener 28 unidades de
vitamina, 27 unidadesde carbohidratosy 24unidades de proteínas.
Si queremos bajar de peso, nos sugiere una dieta con menos carbohidratos y mayor cantidad de proteínas;
concretamente,para que nos descompensemos,sugiere 18unidades de carbohidratos y 42de proteínas.
¿Existirá alguna forma de armar un menú que contenga los requerimientos del nutricionista, si queremos mantener
nuestropeso? ¿Ysinuestro propósito esadelgazarunos kilos para lucirnos este verano?
Tabla 1: Aportes de nutrientes de diferentes alimentos, en unidades porcada
100 g de alimento ingerido

3. Tipo de alimentos
(cada 100 g)
Vitaminas Carbohidratos Proteínas
Cereales 4 4 2
Carnes 2 8 4
Verduras 2 1 2
Fuente: elaboración propia.
Nuestra vecina nos dijo que, si comemos 3 porciones de carne, 2 de cereales y 4 de verduras por día,cumpliremos
con la dieta.¿Será cierto?
¿Cómo determinamos cuántoy quédebemos comer?
Para resolverestasituación, debemos escribirlo de una manera que nos resulte más fácilde comprender,yen esolas
matemáticas puedenprestarnos ayuda.
Ecuaciones conuna incógnita.
Pensaremos primero el problema de forma más simple. Para ello tomaremos únicamente un tipo dealimento yunode los
elementos que contienenesosalimentos.En esos términos,elproblema sería:
¿Cuántas porciones de carnedeberíamos comer paracumplimentar lacantidad devitaminas requeridas?

4. ¿Qué es lo que no conocemos del problema? Eso que no conocemos es lo que llamamos comúnmente
incógnitay,en este caso,es la cantidaddeporciones de carne.
Según la tabla, el aporte de 100 g de carne es de 2 unidades de vitamina. Esto, multiplicado por la cantidad de
porciones de carne que comeremos, debería darnos exactamente 28 unidades de vitamina.
Matemáticamente, esto se puedesimbolizaren una manera sencilla:
2 × x = 28 (o 2x = 28)
Esto que hemos escrito es una ecuación, y el valor que verifica la igualdad es x = 14 unidades es la solución de la
ecuación (¡esto significa 1400 g de carne!). Cuando escribimos operaciones matemáticas y utilizamos letras para
representarun número,se lo conoce como expresiones algebraicas.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
–
A menudo hablamos de una cantidad sin conocer su valor exacto, como el precio del dólar el próximo mes,el precio
de un automóvil nuevo el próximo año o la matrícula para el próximo semestre. En álgebra se utiliza una letra del
alfabeto para representar una cantidad que es desconocida o una que puede cambiar. La letra se llama variable.Una
expresión que contiene una o más variables se llama expresiónalgebraica.
ECUACIÓN
–
Una ecuación expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser numéricas o
algebraicas.A cada una de las expresiones de la ecuación se le llama miembro de la ecuación.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
–

5. Tomado el ejemplo anterior, donde la ecuación planteada es 2x + 4y = 28,
¿cuáles delas siguientesopciones sonunasolucióndelproblema?
x = 6; y = 6.
x = 2; y = 6.
x = −2; y = 8.
Una solución de una ecuación es un número que, cuando es sustituido por la variable, resulta en una ecuación
verdadera: 5es una solución de la ecuación x+ 8 = 13, pero 7 no es una solución de la ecuación x
+ 8 = 13.
Vamos a imaginar una situación parecida. Si tomáramos un suplemento dietético que nos aporta 16 unidades de
vitamina, ¿cuántas porciones de carne deberíamos consumir ahora para lograr el mismo objetivo? En este caso, la
ecuación sería 2x+ 16 = 28, en cuyo caso la soluciónserá:x= 6 unidades (600g).
Si ahora pensamos en comer cereales, además de carne, y quisiéramos cumplimentar las 28 unidades de vitaminas
requeridas, ¿cómo sería la expresión matemática que representa esta situación? Sería:2x + 4y =
28. En esta expresión aparecen2incógnitas.Es,porlo tanto,una ecuaciónlinealcon 2incógnitas.
¿Cuáles son las posibles soluciones? Como vemos, podríamos cumplir la dieta comiendo solo carne y nada de cereales,
o comiendo solo cereales y nadade carne,entre otras alternativas.

6. La ecuación posee muchas soluciones. Algunas son matemáticamente posibles, pero no poseen significado en la
realidad; porejemplo, x = −2; y = 8 (¿qué significado puede poseercomerdos porciones negativas de carne?).
En general, podemos escribir las soluciones de una ecuación de dos incógnitas de la forma de pares ordenados (x; y). En
x e y, ubicaremos el valor que toma cada una de las variables. En esta ecuación de la solución tendrá la forma: (14 − 2y;
y). A esta expresión la obtenemosaldespejarla incógnita xde 2x + 4y = 28.
¿Todas las ecuaciones tienensolución?
Supongamos ahoraotrasituación:
Juan va a la misma nutricionista con la intención de bajar de peso,su consumo en carnes es el mismo que el consumo de
carnes de María, que además toma el suplemento dietético de 10 unidades de vitaminas.
¿Cuál es la cantidad de carne que consume cada uno?(admitiremos nuevamente que la dieta solo está basada en carne).
Para determinar la veracidad o falsedad de esta afirmación, podemos plantear la ecuación donde x = cantidad de carne
consumida porambos:2x= 2x + 10.
Desde la intuición (no pueden ingerir la misma vitamina si comen la misma cantidad de carne y María un suplemento
dietético) y desde la lógica matemática (donde, al despejar la incógnita, nos queda 0 = 10) se concluye con que no es
cierto lo afirmado,pues la ecuación notiene solución.
x = 0; y = 10.
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7. UNIR
SENTENCIAS
3x + 15 = 10 • Posee solución única.
3x − 3 = 3 (x − 1) • Admite infinitas soluciones.
X − 3 = x + 9 • No posee solución.
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ACTIVIDADES DE REPASO Y REFUERZO

8. UNIR
SENTENCIAS
2 × x – 5 × y = 3 • Ecuación lineal con dos variables.
4 × x2 − 1x + 3 = 5 • Ecuación cuadrática.
LECCIÓ N 2 de 3
Ecuaciones lineales
En particular en este curso nos van a interesar las ecuaciones lineales: podemos decir que una ecuación es lineal en las
variables x1, x2, x3 … xn si se puede escribir de la forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b; donde b y los coeficientes
a1,a2, … an son números,porlo general,conocidos.El subíndice n puedesercualquiernúmero natural.
Otra forma —menos elegante pero más intuitiva— de decirlo sería: “Una ecuación lineal o de primer grado es aquella
que involucra solamente sumas de términos de variables elevadas a la primera potencia” (Profesor en línea, s. f., https:/
/
/
www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html).
ACTIVIDADES DE REPASO Y REFUERZO

9. Una ecuación linealen una variable (x) tendrá la forma general:a × x = b, mientras que una ecuación linealcon 2
variables (x; y) tendrá la forma ax +by = c.
¿Cómo será la expresión generalde unaecuación con tres variables (x; y; z)?
A × x = b
Es la forma general de una ecuación linealen
una variable (x), donde a y b son números,
llamados parámetros de la ecuación,con a
distinto de cero.
2 × x + 1 = 3 × y + 2 × z • Ecuación lineal con 3 variables.
2 × x × y + 3 = 5 • Ecuación de proporción inversa.
2x + 3 = 8 • Ecuación exponencial.
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10. ax + by = c
Es la forma general de una ecuación linealen
dos variables (x; y), donde a, b y c son
números llamados parámetros de la ecuación,
con a y b distintos de cero.
ax + by + cz = d
Es la forma general de una ecuación linealen
tres variables (x; y; z), donde a, b, c y d son
números llamados parámetros de la ecuación,
con a,b y c distintos de cero.

11. LECCIÓ N 3 de 3
Referencias
Profesor en línea. (s. f.). Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado. Recuperado de https:/
/
/
www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html