Linear correlation and regression analysis - 7 Basic Tools

Seven Basic Tools of Quality: Linear Correlation and Regression Analysis.
G. Edgar Mata Ortiz

Linear Correlation and
Regression Analysis
• El análisis de correlación es
una herramienta que tiene
por objetivo determinar si dos
variables, una de ellas llamada
independiente (x), y la otra
dependiente(y), están
relacionadas.
• Se dice que la variable “y”
depende de la variable “x”
cuando existe una buena
correlación entre ellas.

Regression Analysis
• El análisis de correlación es útil
porque, una vez establecida la
existencia de una buena
correlación es posible efectuar
predicciones del valor de la
variable dependiente de
acuerdo al valor de la variable
independiente, utilizando la
función de regresión.
• Naturalmente estas
predicciones son solamente
aproximadas.

Regression Analysis
• Cuando la correlación entre las
variables es “lineal”, es decir, se
relacionan proporcionalmente,
entonces se llama correlación y
regresión lineal.
• Si solamente existe una variable
independiente recibe el nombre
de correlación lineal simple.
• Si son dos o más variables
independientes recibe el
nombre de correlación lineal
múltiple.

Ejemplos
• El consumo de agua en una casa
habitación “depende” del
número de personas que viven
en ella.
• Está claro que esta dependencia
o correlación no es absoluta;
seguramente habrá situaciones
en las que alguna casa habitada
por una o dos personas tenga un
mayor consumo que otra en la
que viva una familia de 5 o más
personas.

Ejemplos
• Existen muchas otras
variables que presentan
esta “dependencia”:
• La estatura y el peso de
diversas personas;
generalmente un hombre
más alto tendrá un peso
mayor que uno más bajo,
aunque seguramente
podremos encontrar
contraejemplos de esta
información, casi siempre
la afirmación es cierta.

Problema
• Se desea estimar el consumo promedio de agua en cierta
área habitacional que se construirá próximamente, para
elaborar un plan de abastecimiento hacia dicha zona.

Problema
• Se dispone de información acerca del precio de las casas
de modo que se conoce el nivel socioeconómico
promedio de las familias que habitarán el lugar.
• Se ha decidido determinar el consumo promedio de
acuerdo al número de personas que habitan cada casa.

Problema
• Se toma una muestra en un área con características
socioeconómicas similares al fraccionamiento que se
estudia. Los resultados se encuentran en la siguiente tabla.
Número de personas
que habitan la casa (x)
1 1 1 1 1 2 2 2 2
Consumo de agua por
semana en m3 (y)
2.2 3.1 4.9 4.6 3.5 4.8 5.8 6.2 7.4
Número de personas
3 3 3 3 4 4 4 4 5
Consumo de agua por
semana en m3 (y)
7.3 6.1 8.5 9.2 8.5 8.3 9.1 8.7 8.6
Número de personas
5 5 5 6 6 6 7 7 7
Consumo de agua por
semana en m3 (y)
8.8 9.5 9.9 9.7 10.1 9.9 10.2 11.5 10.1

Problema
• El primer paso consiste en observar los datos y extraer una
interpretación preliminar.

Problema.
Paso 1 – Interpretación de datos
El mínimo número de habitantes en la muestra (uno) consume entre
2.2 y 4.9 m3, mientras el máximo número de habitantes en la
muestra (siete), consume entre 10.1 y 11.5 m3. Esto parece indicar
que, efectivamente existe correlación entre las variables.

Problema.
El consumo mínimo en viviendas con dos habitantes (4.8) es menor que el
consumo máximo en viviendas con un habitante (4.9), lo cuál parece contradecir
la idea de que existe correlación entre las variables.

Problema.
consumo máximo en viviendas con un habitante (4.9), esto mismo ocurre con el
consumo mínimo en viviendas con 3 habitantes (6.1) y el consumo máximo en
viviendas con 2 habitantes (7.4). Se incrementan las dudas acerca de la existencia
de correlación entre las dos variables.

Problema.
consumo máximo en viviendas con un habitante (4.9), esto mismo ocurre con el
consumo mínimo en viviendas con 3 habitantes (6.1) y el consumo máximo en
viviendas con 2 habitantes (7.4), y así en viviendas con 3 y 4, 4 y 5, 5 y 6, 6 y 7
habitantes. Es posible que no exista correlación entre las variables.

Problema.
Paso 2 – Representar datos gráficamente
• El segundo paso consiste en representar los datos en un plano
cartesiano.

Problema.
• Dentro del segundo paso, después de trazar la gráfica, se
obtiene una nueva interpretación.

Problema.
Se observa cierta
“tendencia”
ascendente

Problema.
Se observa cierta
“tendencia”
ascendente, es decir,
aunque los puntos de la
gráfica no están
perfectamente
alineados, si se puede
afirmar que, al
aumentar el número de
habitantes por casa, se
incrementa el consumo
de agua.

Problema.
Se observa cierta
“tendencia” ascendente,
es decir, aunque los
puntos de la gráfica no
están perfectamente
alineados, si se puede
afirmar que, al aumentar
el número de habitantes
por casa, se incrementa
el consumo de agua.
Este comportamiento de la gráfica parece indicar la existencia de
correlación positiva.

Problema.
La interpretación a partir de los
datos y, posteriormente, la
interpretación de la gráfica son
subjetivas y, por lo tanto,
cuestionables.
Es necesario determinar si existe
o no correlación entre las
variables en forma más objetiva.

Problema.
La interpretación a partir de los
datos y, posteriormente, la
interpretación de la gráfica son
subjetivas y, por lo tanto,
cuestionables.
Es necesario determinar si existe
o no correlación entre las
variables en forma más objetiva.
Entre las herramientas estadísticas se encuentra una que se
emplea precisamente para cuantificar la correlación entre dos
variables, específicamente la correlación lineal entre ellas.

Problema. Paso 3
Determinar el Coeficiente de Correlación Lineal
• Coeficiente de correlación lineal:
r de Pearson (para una muestra)
r de Pearson (para una población)
• Es una medida de la fuerza y dirección de la correlación
lineal entre dos variables cuantitativas.
• La variable independiente o explicativa se representa en el
eje “x” y la variable dependiente o variable de respuesta
se representa en el eje “y”.

Problema. Paso 3
• La fórmula para obtener la r de Pearson es:
   
2 2
2 2
x y
xy
nr
x y
x y
n n
 
 

   
     
  
  

Problema. Paso 3
• Esta es la presentación usual de la fórmula, sin embargo, es
posible simplificarla al darnos cuenta que el denominador es la
raíz cuadrada del producto; suma de cuadrados en x por suma
de cuadrados en y.
   
2 2
2 2
x y
xy
nr
x y
x y
n n
 
 

   
     
  
  

Problema. Paso 3
• Esta es la presentación usual de la fórmula, sin embargo, es
posible simplificarla. Observa que el denominador es el
producto de la suma de cuadrados en x, por la suma de
cuadrados en y.
• Y el numerador, aunque no es una suma de cuadrados,
podemos anotarlo como tal para simplificar la fórmula.
   
2 2
2 2
x y
xy
nr
x y
x y
n n
 
 

   
     
  
  

Problema. Paso 3
• Suma de cuadrados:
   
2 2
2 2
x y
xy
nr
x y
x y
n n
 
 

   
     
  
  
 
 
2
2
2
2
x
y
xy
x
SC x
n
y
SC y
n
x y
SC xy
n

  

  
 
  

Problema. Paso 3
• La fórmula simplificada para obtener la r de Pearson es:
• Para calcular las sumas de cuadrados necesitamos
completar la siguiente tabla.
xy
x y
SC
r
SC SC



Problema. Paso 3
Número
de dato
Personas que
habitan la casa
x
Consumo
de agua
y
x2 y2 xy
1 1 2.2 (1)2 = 1 (2.2)2 = 4.84 (1)(2.2) = 2.2
2 1 3.1 (1)2 = 1
3 1 4.9 (1)2 = 1
… … … … … …
25 7 10.2 (7)2 = 49
26 7 11.5 (7)2 = 49
27 7 10.1 (7)2 = 49 (10.1)2 = 102.01 (7)(10.1) = 70.7
S

Problema. Paso 3
Número
de dato
Personas que
habitan la casa
x
Consumo
de agua
y
x2 y2 xy
1 1 2.2 (1)2 = 1 (2.2)2 = 4.84 (1)(2.2) = 2.2
2 1 3.1 (1)2 = 1
3 1 4.9 (1)2 = 1
… … … … … …
25 7 10.2 (7)2 = 49
26 7 11.5 (7)2 = 49
27 7 10.1 (7)2 = 49 (10.1)2 = 102.01 (7)(10.1) = 70.7
S 100 206.5 476 1740.85 883.2

Problema. Paso 3
Número
de dato
Personas que
habitan la casa
x
Consumo
de agua
y
x2 y2 xy
1 1 2.2 (1)2 = 1 (2.2)2 = 4.84 (1)(2.2) = 2.2
2 1 3.1 (1)2 = 1
3 1 4.9 (1)2 = 1
… … … … … …
25 7 10.2 (7)2 = 49
26 7 11.5 (7)2 = 49
27 7 10.1 (7)2 = 49 (10.1)2 = 102.01 (7)(10.1) = 70.7
S Sx = 100 Sy = 206.5 Sx2 = 476 Sy2 = 1740.85 Sxy = 883.2

Problema. Paso 3
• Con los resultados de la tabla se calculan las sumas de
cuadrados:
   
   
  
2 2
2
2 2
2
100
476 ___________
27
206.5
1740.85 __________
27
100 206.5
883.2 _______
27
x
y
xy
x
SC x
n
y
SC y
n
x y
SC xy
n

     

     
 
     

Problema. Paso 3
• Con los resultados de la tabla se calculan las sumas de
cuadrados:
• Estos resultados se sustituyen en la fórmula de r
   
   
  
2 2
2
2 2
2
100
476
27
206
105.6296
161.5074
.5
1740.85
27
100 206
118.3
.5
883.2
2
8
7
51
x
y
xy
x
SC x
n
y
SC y
n
x y
SC xy
n

     

     
 
     

Problema. Paso 3
• Sustitución en la fórmula del Coeficiente de Correlación
Lineal r de Pearson
105.6296
161.5074
118.3851
x
y
xy
SC
SC
SC



xy
x y
SC
r
SC SC



Problema. Paso 3
Lineal r de Pearson
105.6296
161.5074
118.3851
x
y
xy
SC
SC
SC



xy
x y
SC
r
SC SC


  
118.3851
105.6296 161.5074
r 
Sustitución

Problema. Paso 3
Lineal r de Pearson
105.6296
161.5074
118.3851
x
y
xy
SC
SC
SC



xy
x y
SC
r
SC SC


  
118.3851
105.6296 161.5074
0.906376
r
r


Sustitución

Problema. Paso 3
• El valor del Coeficiente de Correlación Lineal r de Pearson
es:
• ¿Qué significa este número?
0.906376r 

Problema. Paso 3
es:
• El signo indica la dirección de la correlación y la magnitud,
la fuerza de dicha correlación.
0.906376r 

Problema. Paso 3
es:
• El signo es positivo, lo cuál significa que al aumentar x,
aumenta y, es decir, entre más personas habitan una
vivienda, mayor es el consumo de agua.
0.906376r 

Problema. Paso 3
es:
• El signo es positivo, lo cuál significa que al aumentar x,
aumenta y, es decir, entre más personas habitan una
vivienda, mayor es el consumo de agua.
• La magnitud indica la fuerza de la correlación, cuanto más
cerca está de uno, mayor es la fuerza. En este caso la
correlación es fuerte.
0.906376r 

Problema. Paso 3
Interpretar el Coeficiente de Correlación Lineal
es:
• Existe una fuerte correlación lineal, positiva, entre el
número de habitantes en una vivienda (x) y su consumo de
agua (y).
0.906376r 

Problema. Paso 3
es:
agua (y).
• No existe una regla matemática para matizar la
interpretación del valor de r, depende del estudio que se
realiza.
• Solamente existen reglas empíricas que se aplican en casos
específicos.
0.906376r 

Problema. Paso 3
es:
agua (y).
• A pesar de que no tenemos reglas para matizar la
interpretación de r, este valor nos permite comparar la
fuerza de la correlación de una muestra con otra y de una
población con otra.
0.906376r 

Problema. Paso 4
Calcular el Coeficiente de Determinación
tiene ventajas sobre las interpretaciones subjetivas, pero
todavía no resulta claro cómo interpretar variaciones en su
valor.
agua (y).
• Un valor que contribuye a comprender mejor la
dependencia entre las variables es el:
Coeficiente de Determinación.
0.906376r 

Problema. Paso 4
• A pesar de que
este valor se
calcula
simplemente
elevando el
Coeficiente de
Correlación Lineal
al cuadrado, es
más informativo
que el Coeficiente
de Correlación
Lineal.
Coeficiente de determinación: r2

Problema. Paso 4
• Se interpreta
como la
proporción de la
variabilidad de y
que puede ser
explicada por x.
Coeficiente de determinación: r2

Problema. Paso 4
• Este valor significa que
existen otros factores
que explican los
cambios en y; si la casa
tiene jardín, el tamaño
del mismo, los hábitos
de la familia, entre
otros.
• Pero una proporción
de 0.8215 de los
cambios en el consumo
de agua pueden
explicarse por el
número de personas
que habitan la casa.
r2 = 0.8215

Problema.
Paso 5. Recta de Regresión Lineal
• Cuando existe fuerte correlación entre las variables, como
en este caso:
• Es posible encontrar una ecuación:
• Que puede emplearse para predecir el valor de y, dado
cualquier valor de x.
• Esta recta se llama:
Recta de regresión Lineal.
r2 = 0.8215
0 1y a a x 

Problema.
• Para encontrar la ecuación de la recta de regresión es
necesario determinar los valores de a0 y a1.
• Las fórmulas son:
 2
0
2
2
x y x xy
n x x
a
  


   
 
 2
1 2
n xy x
n x x
a
y 


  
 

Problema.
• Sustituyendo:
 
2
0 22
20
(476)(206.5) (100)(883.2)
27(476) (100)
x y x xy
n
a
a
x x
  





   
 
 2
1 2
21
27(883.2) (100)(206.5)
27(476) (100)
n xy x y
n
a
x x
a
 





  
 

Problema.
• Sustituyendo:
 
20
2
2
20
(476)(206.5) (100)(883.2) 9974
27(476) (100)
3.4
2 52
9719
8
x y x xy
n x x
a
a
  



  

   
 
 
22
2
1
1
27(883.2) (100)(206.5) 3196.4
27(476) (100
1.120
) 2852
7
n xy x y
n x
a
x
a
 



  

  
 

Problema.
• Una vez calculados los valores de a0 y a1 se sustituyen para
obtener la ecuación de la recta:
0 1y a a x 
0 3.49719a  1 1.1207a 
3.49719 1.1207y x 
1.1207 3.49719y x 

Problema.
• Con esta ecuación es posible predecir cuánta agua se
consumirá en una casa teniendo como dato el número de
personas que la habitan.
• ¿Cuánta agua debería consumirse en una casa habitada
por una persona? x = 1
1.1207 3.49719y x 

Problema.
• Se sustituye el valor de x = 1 en la ecuación de la recta de
regresión lineal.
1.1207 3.49719y x 
1.1207 3.49719y x 

Problema.
1.1207 3.49719y x 
1.1207 3.49719
1.1207
(
3.497
1
19
)y
y
 
 

Problema.
1.1207 3.49719y x 
1.1207 3.49719
1.1207 3.49719
4.617
)
8
(
9
1y
y
y
 
 

El consumo de agua en una
casa habitada por una
persona será de:
4.61789 m3.

Problema.
por ocho personas? x = 8
1.1207 3.49719y x 
1.1207 3.49719
8.9656
(
3.497
8
19
)y
y
 
 

Problema.
1.1207 3.49719y x 
1.1207 3.49719
8.9656 3.49719
12.46
)
2
(
7
8y
y
y
 
 

El consumo de agua en una
casa habitada por ocho
personas será de:
12.4627 m3.

Problema.
• Estos valores (se corrigen los resultados utilizando todos
los decimales) son las coordenadas de dos puntos:
• Que podemos representar sobre la gráfica de dispersión.
x y
1 4.617952
8 12.463253

Problema.
• Gráfica de dispersión

Problema.
• Estos valores (se corrigen los resultados utilizando todos
los decimales) son las coordenadas de dos puntos que
podemos representar sobre la gráfica de dispersión:
• Y uniendo esos puntos se traza la recta de regresión lineal.

Problema.
• Gráfica de dispersión con la recta de regresión lineal.

Problema.
• Esta gráfica nos permite estimar, a simple vista, el
consumo de agua cuando, por ejemplo, la habitan 3
personas.

Problema.
consumo de agua cuando, por ejemplo, la habitan 3
personas.
Poco menos
de 7

Problema.
consumo aproximado de agua cuando, por ejemplo, la
habitan 3 personas.
El consumo de
agua en una casa
habitada por 3
personas será de
aproximadamente
7 metros cúbicos.

Problema.
Paso 6. Error estándar
El consumo de agua en una casa habitada por 3 personas
será de aproximadamente 7 metros cúbicos.
Aproximadamente.
El uso de esta
palabra nos indica
que el valor
estimado tiene un
cierto error o
tolerancia.

Problema.
El consumo de agua en una casa habitada por 3 personas
será de aproximadamente 7 metros cúbicos.
Una pregunta válida es: ¿Cuál es la magnitud de ese error?
Aproximadamente.
El uso de esta
palabra nos indica
que el valor
estimado tiene un
cierto error o
tolerancia.

Problema.
• Error estándar al calcular y para un valor de x.
• La fórmula para calcular el error estándar es:
  
2
2
y
x
y x
x y
xy
n
SC
SC
S
n
 
 
  


 


Problema.
• La fórmula puede simplificarse empleando SCxy:
2
2
xy
y
x
y x
SC
SC
SC
S
n
  



Problema.
• Sustitución:
2
2
xy
y
x
y x
SC
SC
SC
S
n
  


 2
118.3851
161.5074
105.6296
27 2y x
S



105.6296
161.5074
118.3851
x
y
xy
SC
SC
SC




Problema.
• Sustitución:
2
2
xy
y
x
y x
SC
SC
SC
S
n
  


 2
118.3851
161.5074
105.6296
27 2y x
S



105.6296
161.5074
118.3851
x
y
xy
SC
SC
SC



1.0738y x
S 

Problema.
• El error estándar al calcular y para un valor de x se
interpreta como una tolerancia en los valores calculados
de y.
1.0738y x
S 
x y ± 𝑆 𝑦|𝑥
1 4.617952 ± 1.0738
8 12.463253 ± 1.0738

Problema.
• Cuando en una casa habita una persona el consumo de
agua debe ser: 4.617952 ± 1.0738, es decir, debe estar
entre 3.544 y 5.691 m3.
• Cuando en una casa habitan ocho personas el
consumo de agua debe ser: 12.463 ± 1.0738, es
decir, debe estar entre 11.389 y 13.537 m3.
1.0738y x
S 

Gracias por su atención
• Referencias:
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
https://sites.google.com/site/mataspc/home
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
licmata@hotmail.com
Twitter: @licemata

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