Introducción al método de volúmenes finitos
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Este documento introduce el método de volúmenes finitos para resolver ecuaciones de convección-difusión. Explica cómo discretizar estas ecuaciones en mallas de cálculo y describe propiedades clave de los esquemas numéricos como la consistencia, conservación y estabilidad. Además, analiza esquemas centrados y descentrados para la discretización espacial y temporal.
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- 1. 1 HIDRÁULICA COMPUTACIONAL 2 Máster en Ingeniería del Agua Introducción al método de volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Luis Cea Gómez Grupo de Ingeniería del Agua y del Medio Ambiente, GEAMA Universidad de A Coruña
- 2. 2 1. Introducción 2. Mallas de cálculo 3. El método de volúmenes finitos 3.1. La ecuación de convección-difusión 3.2. Propiedades de los esquemas numéricos 3.3. Esquemas centrados INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 3.3. Esquemas centrados 3.4. Esquemas descentrados 4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
- 3. 3 Volúmenes finitos Impone conservación de forma natural Flexibilidad geométrica Resuelve ecuaciones en forma integral (ondas choque) Discretización muy intuitiva (leyes físicas) Elementos finitos Flexibilidad geométrica Muy versátil (diferentes áreas de aplicación) Diferencias finitas Métodos numéricos Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Diferencias finitas Discretización sencilla Problemático en geometrías complicadas Smoothed Particle Hydrodynamics Adecuado para superficie libre compleja Método sin malla. Lagrangiano Coste computacional muy elevado Todavía en desarrollo Tendencia a creerse los resultados Otros numéricos en CFD
- 4. 4 Volúmenes finitos Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 0A)u(ρA)u(ρA)u(ρA)u(ρ snwe =−+− Flujo a través de las aristas de las celdas Lo que sale de una celda entra en la celda de al lado Conservación de masa / momento
- 5. 5 Volúmenes finitos Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 6. 6 Diferencias finitas ∆y2 vv x∆2 uu y v x u 0 1ji,1ji,j1,ij1,i −+++ − + − ≈ ∂ ∂ + ∂ ∂ = Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Elementos finitos ( ) 0F =φ ( ) ( ) )(Cincógnitas-nxfCx ~ j n 1j jj∑= =φ ecuaciones-n(0dV)~F(w n)1,i V i ==⋅∫ φ
- 7. 7 Smoothed Particle Hydrodynamics Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 8. 8 Smoothed Particle Hydrodynamics Introducción al método de volúmenes finitos Introducción Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 9. 9 1. Introducción 2. Mallas de cálculo 3. El método de volúmenes finitos 3.1. La ecuación de convección-difusión 3.2. Propiedades de los esquemas numéricos 3.3. Esquemas centrados INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 3.3. Esquemas centrados 3.4. Esquemas descentrados 4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
- 10. 10 Malla estructurada vs. Malla no estructurada Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 11. 11 Introducción al método de volúmenes finitos Tipos de mallas Malla estructurada cartesiana Malla estructurada por bloques cartesiana Malla estructurada curvilínea Malla estructurada por bloques Mallas de cálculo Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Malla no-estructurada cartesiana Malla no-estructurada triangular
- 12. 12 Tamaño de malla Aspecto fundamental en CFD al que muchas veces no se le presta la atención merecida Malla más fina en: contornos pared recirculaciones discontinuidades Ventaja para mallas no estructuradas Multigrid methods Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 13. 13 Convergencia en malla Malla 1 Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 14. 14 Tamaño de malla Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Convergencia en malla Malla 2 Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 15. 15 Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Convergencia en malla Malla 3 Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 16. 16 Introducción al método de volúmenes finitos Mallas de cálculo Convergencia en malla Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 17. 17 1. Introducción 2. Mallas de cálculo 3. El método de volúmenes finitos 3.1. La ecuación de convección-difusión 3.2. Propiedades de los esquemas numéricos 3.3. Esquemas centrados INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 3.3. Esquemas centrados 3.4. Esquemas descentrados 4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
- 18. 18 Consistente si tiende a la ecuación diferencial cuando ∆x 0 Conservativo si conserva la masa, el momento, etc. en ausecia de términos fuente Transportividad (transportivity) si tiene en cuenta la dirección en la que se transmite la información Acotado (boundedness) Propiedades de los esquemas numéricos Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Acotado (boundedness) sin términos fuente no se generan máximos ni mínimos locales Estabilidad si no es generan oscilaciones numéricas a partir de errores infinitesimales Orden de precisión Boundedness para un esquema lineal (ai no depende de U) Boundedness aj positivos, ai>= sumatorio aj ∑ −= ≤+= ≥ iji iiii j saa ssbS a 0 0 φ
- 19. 19 S xxx u t jjj j + ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ φφφ La ecuación de convección-difusión 3D ( ) ( ) ∫∫∫ +∇Γ⋅∇=⋅⋅∇+ −+ iii VVV i n i 1n i dVSdVdVV ∆t φφ φφ u n1n −+ φφ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea ( ) ( )( ) iii n i 1n i VSV ∆t +⋅∇Γ=⋅⋅+ − ∑∑ ∈∈ + ii Kj ij Kj ij nnu φφ φφ
- 20. 20 ii1/2i1/2ii n i 1n i ∆xSFFx ∆t =−+∆ − −+ + φφ ∂φ S xxx u t + ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ φφφ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos La ecuación de convección-difusión 1D Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea ( ) 1/2i 1/2i1/2i x ΓuF + ++ ∂ ∂ −= φ φ i i1i 1/2i 1/2i ∆xx Γ φφφ − Γ= ∂ ∂ + + + Convección Difusión
- 21. 21 Esquema centrado de orden 2 ( ) 22 uu uu 1ii1ii 1/2i1/2i1/2i ++ +++ ++ == φφ φφ ∆x 2 2 ux ∆t 1ii1i1i1i n i 1n i −+−+ + +− Γ= − +∆ − φφφφφφφ Independiente de Φ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Esquema numéricamente inestable Permite oscilaciones de Φ en la solución Independiente de Φi
- 22. 22 Esquema descentrado de orden 1 0usi 0usi 1/2i1i1/2i 1/2ii1/2i <= >= +++ ++ φφ φφ ( ) ( )1ii1i2 1ii n i 1n i 2 ∆x Γ ∆x u ∆t −+ − + +−+ − + − φφφ φφφφ ( )0cteu >= Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Esquema numéricamente estable No genera oscilaciones de Φ en la solución Muy difusivo ( ) ( ) ( )1ii1i21i1i n i 1n i 2 ∆x ∆tΓ ∆x2 ∆tu ∆x2 ∆tu −+−+ + +− ++−−= φφφφφφφ Difusión numéricaDiscretización centrada de orden 2 2 ∆xu n =Γ
- 23. 23 Hybrid upwind scheme Power-law scheme QUICK Otros esquemas Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 24. 24 0 ∆x FF ∆t ww 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + ( ) ( )i1i1ii1/2i ww ∆t2 ∆x FF 2 1 F −−+= +++ ( )n 1i n 1i n i ww 2 1 w +− += Esquema de Lax-Friedrichs (muy difusivo) w F A ∂ ∂ = equivalente a centrado con: Condicionalmente estable (CFL<1) Otros esquemas Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 0AsiFF 0AsiFF 1/2i1i1/2i 1/2ii1/2i <= >= +++ ++ Esquema descentrado de Godunov Monótono (CFL<1) ( ) ( )i1i1/2i1ii1/2i wwA 2 1 FF 2 1 F −−+= ++++
- 25. 25 0 ∆x FF ∆t ww 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + w F A ∂ ∂ = Esquema de Lax-Wendroff de 2 pasos Condicionalmente estable (CFL<1) Otros esquemas Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos )F(wF)F(F ∆x ∆t 2 1 )w(w 2 1 w LW2 1/2i1/2ii1i n 1i n i LW2 1/2i +++++ =→−−+= Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea No monótono Esquema centrado de Godunov )F(wF)F(F ∆x ∆t )w(w 2 1 w GC 1/2i1/2i n i n 1i n 1i n i GC 1/2i +++++ =→−−+= Condicionalmente estable (CFL < 0.707) Monótono para 0.5 < CFL < 0.707 Oscilatorio para CFL < 0.5
- 26. 26 Otros esquemas Esquema FORCE −−+= +++ ∆x1 )F(F ∆x ∆t 2 1 )w(w 2 1 w i1i n 1i n i LW2 1/2i Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos 0 ∆x FF ∆t ww 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + w F A ∂ ∂ = Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea −−++= ++++ )w(w ∆t ∆x F)2F(wF 4 1 F n i n 1i1i LW2 1/2ii force 1/2i Condicionalmente estable (CFL<1) Monótono (CFL<1)
- 27. 27 0 x F(w) t w = ∂ ∂ + ∂ ∂ [ ]1/2i1/2i n i 1n i FF ∆x ∆t ww −+ + −−= Métodos conservativos Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Fi+1/2 Flujo a través de las aristas de las celdas Lo que sale de una celda entra en la celda de al lado Conservación de masa / momento
- 28. 28 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ Ejemplo: Conservación de masa 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + uhq ⋅= Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea ?q¿ 1/2i+
- 29. 29 Ejemplo: Conservación de masa 1D Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + uhq ⋅= Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea + + ++ = + ++ ++ + otras h 2 uu 2 uhuh 2 uu 2 hh q i 1ii 1i1iii 1ii1ii 1/2i Centrado Centrado Descentrado
- 30. 30 0 ∆x2 uhuh ∆t hh 1i1i1i1i n i 1n i = − + − −−++ + Ejemplo: Esquema centrado 1D Esquema numéricamente inestable Permite oscilaciones de h en la solución Independiente de hi Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 1n 1i n 1i 1n 1i n 1i n i 1n i hu ∆x2 ∆t hu ∆x2 ∆t hh + ++ + −− + −+= Coef. negativo esquema NO monótono puede generar oscilaciones (inestabilidades)
- 31. 31 Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 32. 32 Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + > = + 0usiq q 1/2ii 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea < = ++ + + 0usiq q 1/2i1i 1/2ii 1/2i
- 33. 33 Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + > = + 0usiq q 1/2ii 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 qqhh 1ii n i 1n i = − + − − + Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea < = ++ + + 0usiq q 1/2i1i 1/2ii 1/2i 0 ∆x qq ∆t hh 1iiii = − + − −
- 34. 34 Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + > = + 0usiq q 1/2ii 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 qqhh 1ii n i 1n i = − + − − + Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea < = ++ + + 0usiq q 1/2i1i 1/2ii 1/2i 0 ∆x qq ∆t hh 1iiii = − + − − ( )2 1ii1i1i1i n i 1n i ∆x q2qq 2 ∆x x2 qq ∆t hh −+−+ + +− = ∆ − + −
- 35. 35 Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1/2i1/2i n i 1n i = − + − −+ + > = + 0usiq q 1/2ii 0 x q t h = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 qqhh 1ii n i 1n i = − + − − + Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea < = ++ + + 0usiq q 1/2i1i 1/2ii 1/2i 0 ∆x qq ∆t hh 1iiii = − + − − ( )2 1ii1i1i1i n i 1n i ∆x q2qq 2 ∆x x2 qq ∆t hh −+−+ + +− = ∆ − + − 2 2 x q 2 ∆x x q t h ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ Difusión numérica
- 36. 36 0 ∆x qq ∆t hh n 1i n i n i 1n i = − + − − + Ejemplo: Esquema descentrado 1D 0 ∆x qq ∆t hh 1n 1i 1n i n i 1n i = − + − + − ++ n 1i n 1i n i n i 1n i hu ∆x ∆t u ∆x ∆t 1hh −− + + −= 1n 1i n 1i n i n i 1n i hu ∆x ∆t hu ∆x ∆t 1h + −− + += +⋅ Discretización Explicita Discretización Implicita Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 1i1iiii hu ∆x u ∆x 1hh −−+ −= 1i1iiii hu ∆x hu ∆x 1h −−+= +⋅ n i n i n i u ∆x ∆t1u ∆x ∆t CFL0u ∆x ∆t 1 <→<=→>− Restricción sobre el paso de integración temporal Condición CFL Courant-Friedrichs-Levy Esquema monótono (estable) Coeficientes positivos
- 37. 37 Esquemas descentrados de Godunov [ ]1/2i1/2i n i 1n i FF ∆x ∆t ww −+ + −−= 0))(x/tF(wF 1/2i1/2i == ++ Flujo numérico 0 x F(w) t w = ∂ ∂ + ∂ ∂ Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 0))(x/tF(wF 1/2i1/2i == ++ Flujo numérico (x/t)w 1/2i+ solución del problema de Riemann > < = =∂+∂ + 0xifw 0xifw w(x,0) 0F(w)w n 1i n i xt
- 38. 38 Esquemas descentrados de Godunov Riemann Solvers (0))F(wF 1/2i1/2i ++ = aproximado(x/t)w 1/2i+ Primera opción resolver el problema de Riemann de forma exacta (no analítico) Resolventes de Riemann aproximadas (approximate Riemann solvers) Aproximar el estado de Riemann Introducción al método de volúmenes finitos Volúmenes finitos Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 1/2iF+ aproximar el flujo directamente Aproximar el flujo de Riemann Roe Esquema de Roe HLL Harten - Lax - van Leer (mucha difusión en discontinuidades de contacto, vórtices) HLLC Harten - Lax - van Leer Contact ( ) ( )i1i1/2i1ii1/2i wwA 2 1 FF 2 1 F −−+= ++++
- 39. 39 1. Introducción 2. Mallas de cálculo 3. El método de volúmenes finitos 3.1. La ecuación de convección-difusión 3.2. Propiedades de los esquemas numéricos 3.3. Esquemas centrados INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 3.3. Esquemas centrados 3.4. Esquemas descentrados 4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE
- 40. 40 ∑= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ k k yx G y F x F t w Ecuaciones de aguas someras en forma vectorial y conservativa = += = h qq q F 2 gh h q q Fq h w yx y y 22 x x xx ∂ ∂ ∂ ∂ −= − −= ∂ ∂ ∂ = j j e j 3xb,2 b 1 x U hν x 0 G τ τ 0 G x Z gh- 0 G Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas Definido en un dominio 2D Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea ( ) i 3 1k ik, L yyxxi n i 1n i AGdLn~Fn~FA ∆t ww i ∑∫ = + =++ − Flujo convectivo Término fuente Discretización temporal y espacial + 2 gh h q h h qq 2h q 22 yyx y ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂∂ − ∂ ∂ ∂ j j e j jj yb,b x U hν x xx τ y Z gh- x
- 41. 41 ( ) ∑∫ ∈ ≈+ i i Kj ijRLij L yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F Flujo numérico Esquemas descentrados de Godunov Flujo convectivo Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Estado medio de cada celda Flujo normal entre celdas Fij Proyección 1D del flujo normal entre celdas
- 42. 42 ( ) ∑∫ ∈ ≈+ i i Kj ijRLij L yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F Flujo numérico ( ) yyxxLRLR RL ij nFnFZwwA 2 1 2 ZZ F +=−− + = Esquemas descentrados de Godunov Flujo convectivo Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea LR 22 Centrado Upwind Flujo normal Matriz |A| de descentramiento Roe (1986) con regularización de Harten (1983) HLL. Harten – Lax – van Leer HLLC. Harten – Lax – van Leer - Contact
- 43. 43 Extensión a orden 2 Esquemas tipo WAF Weight Averaged Flux Esquemas tipo MUSCL Monotone Upstram Scheme for Conservative Laws Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 44. 44 [ ]waf 1/2-i waf 1/2i n i 1n i FF ∆x ∆t ww −−= + + x∆1β x∆2β λ=tx/ 2 t∆ t∆ A B C • •• Extensión a orden 2 Esquemas tipo WAF Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea t 0 n iq n iq n 1iq + n 1iq + 1/2ix + 2 x∆ − 2 x∆ )(A wc)(1 2 1 )(A wc)(1 2 1 F n 1i n i waf 1/2i ++ ⋅−+⋅+= WAF ~ Lax-Wendroff si c<1
- 45. 45 1. Se realiza una reconstrucción lineal de las variables en cada celda a partir del valor medio en la celda y del gradiente Extensión a orden 2 Esquemas tipo MUSCL Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 2. Extrapolación lineal de las variables conservadas de los nodos a las aristas 3. Los valores extrapolados se utilizan en vez de los valores nodales en el esquema de Godunov correspondiente (Roe, van Leer, HLL, ...) ( ) ∑∫ ∈ ≈+ i i Kj ijiJIjij L yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F
- 46. 46 Extensión a orden 2 Orden 2. Oscilaciones espúrias Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Esquemas de alta resolución Orden 2 excepto en discontinuidades Sin oscilaciones espúrias Alta resolución en discontinuidades
- 47. 47 Extensión a orden 2 Lax-Wendroff Godunov-Upwind Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea
- 48. 48 )w,...,w,...,H(ww n ri n i n si 1n i +− + = jtodopara0 w H n j ≥ ∂ ∂ Esquema monótono ∑=+ j n jj 1n i waw Esquema monótono linealnoEsquema(w)aa linealEsquemactea jj j →= →= Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea j jtodopara0aj ≥Esquema lineal monótono Teorema de Godunov Esquemas lineales monótonos son de primer orden ( ) ( ) ( ) ( )n i 1n i n i 1n i 1n i 1n i n i n i qminqmin qmaxqmax iqwiqw ≥ ≤ ∀≥→∀≥ + + ++ Esquema monótono
- 49. 49 Extensión a orden 2 Esquemas de alta resolución TVD Propiedad TVD Total Variation Diminishing )TV(u)TV(uTVD uu)TV(u n1n i n i n 1i n <→ −= + +∑ Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea No se generan extremos locales Los máximos locales no aumentan Los mínimos locales no disminuyen Teorema de Harten Esquema Monótono Esquema TVD (condición suficiente, no necesaria) Coeficientes Positivos TVD (condición suficiente pero no necesaria)
- 50. 50 Extensión a orden 2 Esquemas de alta resolución TVD tipo MUSCL )w(wαww ijiIj −⋅≤− 0)ww()w(w ijiIj >−⋅− Limitadores de pendiente Se imponen 2 condiciones: Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea 0)ww()w(w ijiIj >−⋅− ( )[ ] ( )[ ])w(wα),w-(wmax0,min∆0)w(w )w(wα),w-(wmin0,max∆0)w(w ijiIj * iij ijiIj * iij −⋅=→<− −⋅=→>− MinmodLimitador0.5α SuperbeeLimitador1α →= →=
- 51. 51 i b22 x z ghgh 2 1 hU xt hU ∂ ∂ −= + ∂ ∂ + ∂ ∂ ( ) ii b2 x h gh x z ghhU xt hU ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ Equivalentes en flujo gradualmente variado Formulación A Formulación B xF xF Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Diferentes en ondas de choque, resaltos hidráulicos Formulación A más precisa si hay choques / cambios de régimen Formulación B más sencilla / menos problemas con términos fuente Preferible formulación A
- 52. 52 i b22 x z ghgh 2 1 hU xt hU ∂ ∂ −= + ∂ ∂ + ∂ ∂ Formulación A Condiciones hidrostáticas bz gh h gh ∂ −= ∂ Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Discretización descentrada de términos fuente i b x gh x gh ∂ −= ∂ Descentrado Centrado Errores en el equilibrio si fondo irregular
- 53. 53 Discretización descentrada del flujo convectivo: estabiliza el esquema, pero introduce difusión numerica en las ecuaciones Discretización descentrada de términos fuente Vázquez-Cendón (1994), Bermúdez et al. (1998) Ld Discretización descentrada para términos fuente en general Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea ∑∈ −≈ iKj ij 1- ijij ijij i C ii S ~ QQ 2 Ld A 1 SS Correcciones de orden 2 para pendiente del fondo iI Kj ijij i i * i S ~ 2 Ld A 1 SS i ∑∈ −≈
- 54. 54 Término fricción fondo A. Discretización explicita qqC x z ghgh 2 1 hU xt hU f i b22 ⋅− ∂ ∂ −= + ∂ ∂ + ∂ ∂ qqCIhg ρ τ f b ⋅== 7/3 2 f h ng C = Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea n i n i n if, n i n i n i 1n i qqCSC ∆t qq ⋅−=+ −+ Inestabilidades si fricción importante, valores negativos ( ) ( )n i n i n i n if, n i 1n i SC∆tqC1qq +−⋅+−⋅=+
- 55. 55 Término fricción fondo B. Discretización semi-implicita qqC x z ghgh 2 1 hU xt hU f i b22 ⋅− ∂ ∂ −= + ∂ ∂ + ∂ ∂ qqCIhg ρ τ f b ⋅== 7/3 2 f h ng C = Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea n i 1n i n if, n i n i n i 1n i qqCSC ∆t qq + + −=+ − ( ) ( )n i n i n i n i n if, 1n i SC∆tqqC∆t1q +−⋅+=⋅⋅++ Siempre positivo no genera Inestabilidades
- 56. 56 Término difusivo (laminar / turbulento) A. Discretización explicita Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea B. Discretización semi-implicita ||tot DDD += ⊥ ( )ix,jx,D UUΓD −= ⊥⊥ ( )Vx,Bx,D|| UUΓD || −=
- 57. 57 Contornos tipo pared Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Condición de deslizamiento libre 0 y ε 0 y k 0τ0V ww ww = ∂ ∂ = ∂ ∂ == Condición de no deslizamiento 2 2 ww ww y k νε0k 0V0U ∂ ∂ == == malla de pared muy fina 1y ≈+ malla de pared gruesa 100y >>+
- 58. 58 Discretización del fondo en escalones de altura constante Parametro εwd para definir el frente seco- mojado Redefinición del fondo Condición de reflexión en el frente qn=0 Tratamiento del frente seco-mojado jb,i Zwse < Introducción al método de volúmenes finitos Esquemas numéricos para 2D-SWE Asignatura: Hidráulica Computacional 2 Profesor: Luis Cea Condición de reflexión en el frente qn=0 Flujos normales = 0 en el frente No se redefine el fondo No se aplica condición de reflexión jb,i Zwse >