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Ecuación de Korteweg-de Vries
y soluciones por esquemas
explícitos de diferencias finitas
Diego Silva
Modelos y sistemas II
1
Modelos y Sistemas II - Facultad de Ingeniería - UBA

2
- Introducción histórica
- Ecuación de Korteweg-de Vries
- Deducción
- Una solución exacta
- Diferencias Finitas implícito y
explícito
- Esquema upwind
- Esquema Zabusky-Kruskal

3
Historia de la ecuación Korteweg de Vries
La historia de esta ecuación inicia en agosto de 1834, cuando el ingeniero naval
escocés John S. Russell, realizaba experimentos en el Union Canal (en Herminston),
para obtener un diseño más eficiente para los botes. En una ocasión observó que al
detener repentinamente un bote que se trasladaba por el canal, se formó una
elevación de agua delante de la proa, que siguió avanzando a lo largo de gran parte
del canal sin aparente cambio de forma o disminución de velocidad, hasta que se
destruyó debido a las irregularidades de la forma del canal. Russel informo sus
observaciones a la British Association en su ‘Report on waves’ en 1844.
𝑐2
= 𝑔(ℎ + 𝑎)
Russell llego empíricamente a que la velocidad de la onda cumple la relación

4
Los estudios de Russell fueron tomados y desarrollados por John Valentin
Boussinesq (1871) y Lord Rayleigh(1876) a partir de las ecuaciones de movimiento
de un fluido incompresible no viscoso, llegaron que el perfil de la onda debía ser
El último paso fue dado por los matemáticos holandeses Diederik Korteweg y
Gustav de Vries en 1895 llegaron a la ecuación:
𝜁 𝑥, 𝑡 = 𝑎 sech2
𝛽 𝑥 − 𝑐𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 6𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3 = 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝛿2
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3
= 0

5
La ecuación KdV no se estudió hasta mucho después de esto, hasta que Zabusky y
Kruskal (1965) descubrieron numéricamente que sus soluciones parecían
descomponerse en una colección de "solitones": ondas solitarias bien separadas.

6
La ecuación Korteweg de Vries
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝛿2
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3 = 0
Describe el comportamiento asintótico a largo plazo de una amplitud pequeña pero
finita de ondas unidimensionales de aguas poco profundas. En la ecuación, 𝑢 𝑥, 𝑡
mide la elevación (la altura del agua por encima del nivel de equilibrio) en el
momento 𝑡 y la posición 𝑥. En la ecuación de KdV , están presentes dos
mecanismos diferentes, es decir
- No linealidad (𝑢𝑢𝑥), que tiende a empinar las partes que tienen pendiente negativa
- Dispersión (𝑢𝑥𝑥𝑥), lo que hace que los componentes de ondas de diferentes
frecuencias se propaguen a diferentes velocidades.

7
El delicado equilibrio entre estos dos efectos conduce a una onda viajera de forma
permanente, la llamada onda solitaria. Es habitual referirse a la onda solitaria como la
solución de un solo solitón, pero cuando más de uno de ellos aparece en una solución, se
denominan solitones o "pulsos de onda solitaria". Si se pierde uno de estos dos efectos en
competencia, los solitones se vuelven inestables y, finalmente, dejan de existir. En este
sentido, los solitones son completamente diferentes de las ondas lineales.

8

9
La interacción entre dos solitones se puede ver en la siguiente imagen, la ola más alta
alcanza, interactúa y luego pasa a la ola más corta. Parece ser que el más alto está
adelantando al más corto y continúa su camino sin daños ni molestias. Por supuesto, esto
es de esperar si las dos ondas satisfacen el principio de superposición lineal, pero de hecho
no lo hacen.

10

11
Deducción de la ecuación de Korteweg-De Vries
El problema consiste en describir el movimiento de un fluido a través de un
canal, para simplificarlo se considera el problema en dos dimensiones, donde la
longitud del canal es el eje horizontal (eje x’) y la profundidad del canal como el
eje vertical (eje y). La superficie del líquido en reposo se considera 𝑦′ = ℎ’
mientras que la profundidad del canal es 𝑦′ = 0, la velocidad lineal de la onda
se define como 𝑐0 = 𝑔ℎ′ .

12
Consideramos un fluido sin viscosidad, incompresible e irrotacional, por lo
tanto se tiene:
𝛻. 𝐮′=0
𝛻 × 𝐮′ = 0
Como
𝐮′ = 𝛻𝜙′
Por lo tanto 𝜙 satisface la ecuación de Laplace
𝛻2𝜙′ = 0
𝐮′ = (𝒖′, 𝒗′)
𝜕𝑣′
𝜕𝑥′
−
𝜕𝑢′
𝜕𝑦′
= 0 (2)
𝜕𝑢′
𝜕𝑥′
+
𝜕𝑣′
𝜕𝑦′
= 0 (1)
𝑢′ =
𝜕𝜙′
𝜕𝑥′
𝑣′ =
𝜕𝜙′
𝜕𝑦′
𝛻 × 𝛻 𝜙′ = 0 se deduce que

13
𝜌
𝜕𝐮′
𝜕𝑡′
+ 𝜌 𝐮′ ∙ 𝛻 𝐮′ = −𝛻𝑃′ + 𝑓𝑔 (3)
𝐮′ × 𝛻 × 𝐮′ + 𝐮′ ∙ 𝛻 𝐮′ =
1
2
𝛻(𝐮′ ∙ 𝐮′)
𝑓𝑔 = −𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕𝐮′
𝜕𝑡′
+ 𝜌
1
2
𝛻(𝐮′ ∙ 𝐮′) = −𝛻𝑃′ − 𝜌𝑔𝑦
𝜌
𝜕
𝜕𝑡′
𝛻𝜙′ +
𝜌
2
𝛻 𝛻𝜙′ 𝟐
+ 𝛻𝑃′ + 𝜌𝑔𝑦 = 0
La ecuación de movimiento para un fluido no viscoso e incompresible es la que sigue
Considerando la siguiente relación vectorial
Y reemplazando en (3)

14
𝛻
𝜕𝜙′
𝜕𝑡′
+
1
2
𝛻𝜙′
𝟐
+
𝑃′
𝜌
+ 𝑔𝑦′ = 0
Así se tiene que
𝜕𝜙′
𝜕𝑡′
+
1
2
𝛻𝜙′
𝟐
+
𝑃′
𝜌
+ 𝑔𝑦′ = 𝐾
Donde 𝐾 es una constante
arbitraria
Ecuación de Bernoulli
𝑃 = 𝑝 − 𝑝0 = 0
Derivando respecto a 𝑥
𝜕𝑢′
𝜕𝑡′
+ 𝑢′
𝜕𝑢′
𝜕𝑥′ + 𝑣′
𝜕𝑣′
𝜕𝑥′
+ 𝑔
𝜕𝑦′
𝜕𝑥′
= 0

15
Las condiciones de contorno que se establecen son
𝑣′ =
𝜕𝜙′
𝜕𝑦′
𝑥′, 0, 𝑡′ = 0
Es decir, en el fondo del canal no hay
velocidad vertical
𝑦′ 𝑥, 𝑡 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = ℎ′ + 𝜂′(𝑥′, 𝑡′)
La velocidad en la superficie es
𝑣′𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 =
𝜕𝜙′
𝜕𝑦′𝑠𝑢𝑝
=
𝜕𝑦′
𝜕𝑡′
+
𝜕𝑦′
𝜕𝑥′
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′ 𝑦′=𝑠𝑢𝑝
=
𝜕𝜂′
𝜕𝑡′
+
𝜕𝜂′
𝜕𝑥′
𝑑𝑥′
𝑑𝑡′
Cinemática de superficie

16
𝜂′/𝐴′ ≈ 1
𝑡0
′
= 𝐿′/𝑐0
𝑡 =
𝑡′
𝑡0
′
𝑥 =
𝑥′
𝐿′
𝑦 =
𝑦′
𝐿′
𝜂 =
𝜂′
𝐴′
𝑢 =
𝑢′
𝐴′/𝑡0
′ 𝑣 =
𝑣′
𝐴′/𝑡0
′
𝜀 =
𝐴′
𝐿′
𝛿 =
ℎ′
𝐿′
𝐹 =
𝑔𝑡0
′
𝐿′
Adimensionalización

17
Ecuaciones adimensionalizadas
𝑦𝑠𝑢𝑝 = 𝛿 + 𝜀𝜂 𝑥, 𝑡 = 𝛿 1 + 𝜀𝜑 𝑥, 𝑡
Cinemática de superficie
𝑣𝑠𝑢𝑝 =
𝜕𝜂
𝜕𝑡
+ 𝜀𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜀 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 0
Altura superficie 𝜑 =
𝜂
𝛿
Ecuación de Bernoulli

18
𝑣 =
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝑥, 0, 𝑡 = 0
𝜙 = 𝜙0 + 𝑦
𝜕𝜙0
𝜕𝑦
+
1
2!
𝑦2
𝜕2𝜙0
𝜕𝑦2
+
1
3!
𝑦3
𝜕3𝜙0
𝜕𝑦3
+
1
4!
𝑦4
𝜕3𝜙0
𝜕𝑦3
+ ⋯
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 (2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 (1)
𝜙 𝑥, 0, 𝑡 = 𝜙0
𝑢 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
=
𝜕𝜙0
𝜕𝑥
−
1
2
𝑦2
𝜕3
𝜙0
𝜕𝑥3 +
1
24
𝑦4
𝜕5
𝜙0
𝜕𝑥5 + ⋯
𝑣 =
𝜕𝜙
𝜕𝑦
= −𝑦
𝜕2
𝜙0
𝜕𝑥2
+
1
6
𝑦3
𝜕4
𝜙0
𝜕𝑥4
…
Se desarrolla 𝜙 en una serie de potencias con 𝑦 = 0

19
𝜕𝜙0
𝜕𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑡)
𝑢 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
= 𝑓 −
1
2
𝑦2
𝑓𝑥𝑥
𝑣 =
𝜕𝜙
𝜕𝑦
= −𝑦𝑓𝑥 +
1
6
𝑦3𝑓𝑥𝑥𝑥
Reemplazando 𝑦𝑠𝑢𝑝 = 𝛿(1 + 𝜀𝜑)
𝑢𝑠𝑢𝑝 = 𝑓 −
1
2
𝛿2
𝑓𝑥𝑥
𝑣𝑠𝑢𝑝 = −𝛿(1 + 𝜀𝜑)𝑓𝑥 +
1
6
𝛿3
𝑓𝑥𝑥𝑥
𝑣𝑠𝑢𝑝 = 𝛿
𝜕𝜑
𝜕𝑡
+ 𝜀𝛿𝑢𝑠𝑢𝑝
𝜕𝜑
𝜕𝑥

20
Reemplazando 𝑢𝑠𝑢𝑝 y 𝑣𝑠𝑢𝑝 en la ecuación de Bernoulli evaluada en la superficie
𝜑𝑡 + 𝜀𝑓𝜑𝑥 + 𝑓𝑥 + 𝜀𝜑𝑓𝑥 −
1
6
𝛿2𝑓𝑥𝑥𝑥 = 0
𝑓𝑡 −
1
2
𝛿2𝑓𝑥𝑥𝑡 + 𝜀𝑓𝑓𝑥 + 𝜑𝑥 = 0
Resolviendo el sistema
𝜕𝜑
𝜕𝑡
+ 𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝑥
+ 𝛿2
𝜕3
𝜑
𝜕𝑥3
= 0 Ecuación KdV adimensional

21
Solución exacta de KdV
Buscando una solución del tipo
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑓(𝑧) 𝑧 = 𝑥 − 𝑐𝑡
Con 𝑓, 𝑓′
, 𝑓′′
→ 0 cuando 𝑧 → ∞
Reemplazando en
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 6𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕3𝑢
𝜕𝑥3 = 0
−𝑐𝑓′ 𝑧 + 6𝑓 𝑧 𝑓′ 𝑧 + 𝑓′′′ 𝑧 = 0
Integrando
−𝑐𝑓 + 3𝑓2
+ 𝑓′′
= 0
Resolviendo se lleva a
𝑢 𝑥, 𝑡 =
1
2
𝑐 sech2
𝑐
2
𝑥 − 𝑐𝑡 − 𝑧0

22
Solución exacta de KdV

23
Método implícito
Métodos explícitos e implícitos
Métodos explícitos
Los métodos explícitos calculan el estado de un sistema en un momento posterior a
partir del estado del sistema en el momento actual
Los métodos implícitos encuentran una solución al resolver una ecuación que
involucra tanto el estado actual del sistema como el posterior
𝑌 𝑡 + Δ𝑡 = 𝐹 𝑌 𝑡
𝐺 𝑌 𝑡 , 𝑌 𝑡 + Δ𝑡 = 0 Se debe encontrar 𝑌 𝑡 + Δ𝑡

24
Diferencias finitas
Diferencia finita hacia delante
Diferencia finita hacia atrás
Diferencia finita centrada
𝑢′ 𝑥 ≈
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥
ℎ
=
𝑢𝑛+1 − 𝑢
ℎ
𝑢′
𝑥 ≈
𝑢 𝑥 − 𝑢 𝑥 − ℎ
ℎ
=
𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1
ℎ
𝑢′
𝑥 ≈
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ
2ℎ
=
𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛−1
2ℎ
Diferencias finitas
𝑢′′′
=
𝑢𝑛+2 − 2𝑢𝑛+1 + 2𝑢𝑛−1 − 𝑢𝑛−2
2ℎ3
Diferencia finita centrada

25
Esquema Upwind de primer orden
Se usa una diferencia finita en el tiempo hacia adelante, y en el espacio hacia atrás en la derivada de primer
orden, y una diferencia finita central de tercer orden.
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝛿2
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝑢𝑛
𝑚+1
− 𝑢𝑛
𝑚
Δ𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑢𝑛
𝑚
− 𝑢𝑛−1
𝑚
Δ𝑥
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3
=
𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
2(Δ𝑥)3
𝑢𝑛
𝑚+1
− 𝑢𝑛
𝑚
Δ𝑡
+ 𝑢𝑛
𝑚
𝑢𝑛
𝑚
− 𝑢𝑛−1
Δ𝑥
+ 𝛿2
𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
2(Δ𝑥)3
= 0
𝑢𝑛
𝑚+1
= 𝑢𝑛
𝑚
−
Δ𝑡
Δ𝑥
𝑢𝑛
𝑚
𝑢𝑛
𝑚
− 𝑢𝑛−1 −
𝛿2
Δ𝑡
2 Δ𝑥 3
(𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
)
𝑢 = 𝑢𝑛
𝑚

26
𝑢 𝑥, 0 = cos(𝑥𝜋)
𝑡 = 0
𝑡 =
1
𝜋
𝑡 =
3.6
𝜋
Δ𝑥 = 0,01 Δ𝑡 = 0,00001 𝛿 = 0,022

27

28
𝐴 = 1 , Δ𝑥 = 0,1739, Δ𝑡 = 0,002
𝐴 = 2 , Δ𝑥 = 0,08, Δ𝑡 = 0,000001
𝐴 = 4 , Δ𝑥 = 0,05 , Δ𝑡 = 0,0000001

29
Esquema de Zabusky y Kruskal
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝛿2
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝑢𝑛
𝑚+1
− 𝑢𝑛
𝑚−1
2Δ𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝑢𝑛+1
𝑚
− 𝑢𝑛−1
𝑚
2Δ𝑥
Se usa una diferencia finita central en el tiempo, y diferencias finitas centrales en el espacio en la derivada
de primer orden y en la de tercer orden. Para la función 𝑢 se usa un promedio
𝜕3
𝑢
𝜕𝑥3
=
𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
2(Δ𝑥)3
𝑢 =
(𝑢𝑛+1
𝑚 +𝑢𝑛
𝑚+𝑢𝑛−1
𝑚 )
3
𝑢𝑛
𝑚+1
− 𝑢𝑛
𝑚−1
2Δ𝑡
+
(𝑢𝑛+1
𝑚
+ 𝑢𝑛
𝑚
+ 𝑢𝑛−1
𝑚
)
3
𝑢𝑛+1
𝑚
− 𝑢𝑛−1
𝑚
2Δ𝑥
+ 𝛿2
𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
2(Δ𝑥)3
= 0
𝑢𝑛
𝑚+1
= 𝑢𝑛
𝑚−1
−
Δ𝑡
3Δ𝑥
𝑢𝑛+1
𝑚
+ 𝑢𝑛
𝑚
+ 𝑢𝑛−1
𝑚
𝑢𝑛+1
𝑚
− 𝑢𝑛−1
𝑚
−
𝛿2
Δ𝑡
Δ𝑥 3
(𝑢𝑛+2
𝑚
− 2𝑢𝑛+1
𝑚
+ 2𝑢𝑛−1
𝑚
− 𝑢𝑛−2
𝑚
)

30
Esquema de Zabusky and Kruskal
𝑢 𝑥, 0 = cos(𝑥𝜋)
𝑡 = 0
𝑡 =
1
𝜋
𝑡 =
3.6
𝜋
Δ𝑥 = 0,01 Δ𝑡 = 0,00001 𝛿 = 0,022

31
Esquema de Zabusky and Kruskal
𝐴 = 1 , Δ𝑥 = 0,1739, Δ𝑡 = 0,002
𝐴 = 2 , Δ𝑥 = 0,08, Δ𝑡 = 0,00019
𝐴 = 4 , Δ𝑥 = 0,05 , Δ𝑡 = 0,000049

32
Bibliografía
- Shahrill, Chong & Mohd Nor (2015) - Applying Explicit Schemes to
the Korteweg-de Vries Equation. Modern Applied Science; Vol. 9,
No. 4
- Digemans M. (1997) - Propagation of water waves on uneven
bottoms. World Scientific Publishing Company
- Gratton J(2002) . Introducción a la mecánica de fluidos .
- Peyrard M. & Dauxois T(2004). Physique des solitons. EDP Sciences/
CNRS ÉDITIONS

33
Muchas gracias por su
atención

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