1. Problemas de Selectividad:F´
ısica
Juan P. Campillo Nicol´s
a
15 de septiembre de 2013

2. 2

3. Cap´
ıtulo 1
Interacci´n gravitatoria
o
1.1.
Conceptos previos.
Ley de Gravitaci´n Universal: La fuerza con que se atraen dos masas viene
o
expresada por:
→
−
GMm →
F = − 2 −r
u
r
→
donde −r es un vector unitario radial. En el caso de querer calcular la fuerza que una
u
masa situada en (a, b), ejerce sobre otra situada en (c, d), resulta c´modo hacer:
o
→
−
→
− →
F = | F | −r
u
Donde ur se calcula de la forma:
ur =
→
−
→
−
(c − a) i + (d − b) j
(
(c − a)2 + (d − b)2 )
Como puede verse en el siguiente dibujo:
(c,d)
→
−
F
(a,b)
→
−
ur
Cuando queremos conocer la fuerza que varias masas puntuales ejercen sobre otra,
no tendremos m´s que hallar cada uno de los vectores fuerza que las otras masas
a
ejercen sobre la que consideramos, y sumar dichos vectores.
Intensidad de campo gravitatorio: La intensidad de campo gravitatorio viene
dada por la expresi´n:
o
→
− = − GM −
→
g
ur
r
3

4. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
4
Por lo que lo que, de forma similar al apartado anterior, podremos poner que:
→
− = |− | −
→ →
g
g u
r
Siendo de aplicaci´n lo que se ha mencionado anteriormente acerca del vector unitario
o
y de la intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un punto.
Energ´ potencial gravitatoria y potencial gravitatorio en un punto: La
ıa
energ´ potencial gravitatoria se define como el trabajo necesario para desplazar una
ıa
masa desde el infinito hasta el punto que consideramos. Se obtiene a partir de la
expresi´n:
o
r
GMm → →
GMm
W =
− 2 −r · d− = −
u
r
r
r
∞
Como podemos ver, la energ´ potencial gravitatoria es una magnitud escalar, por
ıa
lo que la energ´ potencial de una masa debida a la presencia de otras, ser´ la suma
ıa
a
algebraica de las energ´ potenciales debidas a cada una de ellas.
ıas
Lo dicho anteriormente es v´lido cuando hablamos de potencial gravitatorio, con la
a
unica salvedad de que la masa m tendr´ el valor unidad.
´
a
Tercera ley de Kepler : El cuadrado del periodo de revoluci´n de un planeta
o
alrededor del Sol (y, por extensi´n, el periodo de rotaci´n de un cuerpo respecto a
o
o
otro), es directamente proporcional al cubo de la distancia media entre ambos, lo
que se puede expresar como:
T2 =
4π 2 r 3
,siendo M la masa del cuerpo respecto al que se describe la orbita
´
GM
Velocidad de una ´rbita: Teniendo en cuenta que el m´dulo de la fuerza de
o
o
atracci´n gravitatoria de un cuerpo sobre otro que gira respecto a ´l, puede expresarse
o
e
en la forma:
mv 2
GMm
= ma =
r2
r
Podremos despejar v, quedando:
v=
GM
r
Velocidad de escape: Es la velocidad m´
ınima que debe ser suministrada a un
cuerpo para que escape a la atracci´n gravitatoria de un planeta. Teniendo en cuenta
o
GMm
que en la superficie de dicho planeta, la energ´ potencial del cuerpo es −
ıa
,y
r
que en el infinito, tanto la energ´ cin´tica como la potencial son nulas, tendremos,
ıa
e
en aplicaci´n del Principio de Conservaci´n de la Energ´
o
o
ıa:
GMm 1 2
+ mve = 0
r
2
De donde, despejando, obtenemos:
−
ve =
2GM
r

5. 5
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
Energ´ de una ´rbita: La energ´ de una ´rbita, suma de las energ´ cin´tica y
ıa
o
ıa
o
ıas
e
potencial es:
GMm 1 2
E=−
+ mv
r
2
Sustituyendo la velocidad por la expresi´n obtenida antes, v =
o
E=−
GM
, tendremos:
r
GMm GMm
GMm
+
=−
r
2r
2r
De aqu´ podemos comprobar que el valor de la energ´ cin´tica es la mitad del valor
ı
ıa
e
absoluto de la energ´ potencial.
ıa
1.2.
Problemas resueltos.
1.- Un sat´lite de 1000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con un periodo de 12
e
horas. (Datos: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I; masa de la Tierra = 5, 98 · 1024 kg).
Calcular
1.a.- El radio de giro.
1.b.- La velocidad del sat´lite.
e
1.c.- Su energ´ total.
ıa
Soluci´n:
o
1.a.- El radio de giro puede obtenerse a partir de la tercera ley de Kepler:
T2 =
4π 2 r 3
GM
Despejando r nos queda:
r=
3
GMT 2
=
4π 2
3
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · (12 · 3600)2
= 2, 662 · 107 m
4π 2
1.b.- La velocidad del sat´lite se obtiene a partir de la igualdad:
e
GMm
mv 2
=
⇒v=
r2
r
GM
r
De lo anterior se deduce que:
v=
GM
= 3870, 88m/s
r

6. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
6
1.c.- La energ´ total es la suma de las energ´ cin´tica y potencial:
ıa
ıas
e
E=−
GMm GMm
GMm
GMm 1 2
+ mv = −
+
=−
r
2
r
2r
2r
Por tanto:
−
GMm
= −7, 49 · 109 J
2r
2.- La Luna posee una masa de 7, 35 · 1022 kg y un radio de 1, 74 · 106 m. Un sat´lite de
e
5000 kg de masa gira a su alrededor a lo largo de una circunferencia con radio igual
a cinco veces el radio de la Luna. (Dato: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I). Calcular:
2.a.- El periodo de giro del sat´lite.
e
2.b.- La energ´ total del sat´lite.
ıa
e
2.c.- La velocidad de escape de la Luna.
Soluci´n:
o
2.a.- El periodo de giro viene dado por la ecuaci´n:
o
T2 =
4π 2 r 3
por lo que T =
GM
4π 2 · (5 · 1, 74 · 106)3
= 72820, 25s
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
2.b.- La energ´ total del sat´lite viene dada por la expresi´n ??:
ıa
e
o
E=−
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022 · 5000
GMm
=−
= −1, 409 · 109 J
2r
2 · 5 · 1, 74 · 106
2.c.- La velocidad de escape se obtiene a partir de la igualdad:
−
GMm 1 2
+ mv = 0
r
2
Puesto que la suma de las energ´ cin´tica y potencial en el infinito es igual a
ıas
e
cero. De aqu´ se deduce:
ı
2GM
v=
r
Sustituyendo, nos queda:
v=
2 · 6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
= 2373, 81m/s
1, 74 · 106

7. 7
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
3.- Un sat´lite de 2000 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una orbita circular de
e
´
−11
7000 km de radio. (Datos: G = 6, 67 · 10
en unidades S.I; radio de la Tierra =
24
6370 km; masa de la Tierra =5, 98 · 10 kg). Calcular los siguientes par´metros del
a
sat´lite:
e
3.a.- El m´dulo de su aceleraci´n.
o
o
3.b.- El periodo de giro.
3.c.- Su energ´ cin´tica y potencial.
ıa
e
Soluci´n:
o
−
→ GM
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024
3.a.- El m´dulo de la aceleraci´n es: |g| = 2 =
o
o
= 8, 14 m/s2
r
(7 · 106 )2
3.b.- Aplicando la tercera ley de Kepler: T =
3.c.- La energ´ potencial es:
ıa
U =−
4π 2 (7 · 106 )3 )
= 5826, 58 s
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 2000
=−
= −1, 14 · 1011 J
r
7 · 106
1
En la expresi´n de la energ´ cin´tica , mv 2 , si sustituimos la velocidad por la
o
ıa
e
2
GM
expresi´n:v=
o
, nos quedar´:
a
r
Ec =
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 2000
GMm
=−
= 5, 70 · 1010
2r
1, 4 · 106
4.- Dos masas puntuales de 10 kg cada una se encuentran en los puntos (0,0,0) y (4,0,0)
m.(Dato: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I). Calcular:
4.a.- El m´dulo de la fuerza gravitatoria entre ambas part´
o
ıculas.
4.b.- El campo gravitatorio producido por ambas part´
ıculas en el punto (1,0,0).
4.c.- La energ´ potencial gravitatoria de una de las masas debida a la presencia de
ıa
la otra.
Soluci´n:
o
4.a.- Como puede verse en el dibujo,sobre cada una de las masas se ejerce una
→
−
fuerza F , ambas iguales y de sentidos opuestos.
→
−
F
→
−
F

8. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
8
El m´dulo de cada una de estas fuerzas es:
o
→
−
6, 67 · 10−11 · 100
Gmm′
=
= 4, 17 · 10−10 N
|F | =
r2
42
4.b.- El campo gravitatorio en el punto (1,0,0) ser´ la resultante de los dos vectores
a
→ →
intensidad de campo, − y −
g1 g2
→
−
g1
→
−
g2
→ →
→
→
→−
→−
Siendo − = −|− | i y − = |− | i , como puede verse en la representaci´n
g1
g1
g2
g2
o
gr´fica. Sustituyendo valores, tendremos:
a
|g1 | =
6, 67 · 10−11 10
= 6, 67 · 10−10 N/kg
2
1
6, 67 · 10−11 10
= 7, 41 · 10−11 N/kg
32
→
−
→ → →
Con lo que tendremos:− = − + − = −5, 93 · 10−10 i N/kg
g
g1 g2
|g2 | =
4.c.- La energ´ potencial de una masa debida a la otra, ser´:
ıa
a
Gmm′
U =−
= −1, 67 · 10−9 J
r
5.- En la superficie de un planeta de 1000 km de radio, la aceleraci´n de la gravedad es
o
de 2 m/s2 . Calcular:
5.a.- La energ´ potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la
ıa
superficie del planeta.
5.b.- La velocidad de escape de la superficie del planeta.
5.c.- La masa del planeta, sabiendo que G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I.
Soluci´n:
o
GMm
5.a.- La energ´ potencial es : U = −
ıa
. Puesto que no se conoce el valor de G
r
ni el de M, calculamos el valor de GM a partir de la expresi´n:
o
2=
GM
⇒ GM = 2 · 1012 en unidades del S.I.
(106 )2
2 · 1012 · 50
= −108 J
A partir de este resultado, tendremos: U = −
6
10

9. 9
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
2GM
4 · 10−12
tendremos: v =
= 2000 m/s
r
106
5.c.- Conocido el valor de G y el de GM, despejamos la masa:
5.b.- Aplicando la ecuaci´n: v =
o
M=
2 · 1012
= 3 · 1022
6, 67 · 10−11
6.- Un sat´lite de 1000 kg de masa gira en ´rbita geoestacionaria, es decir, de forma
e
o
que su vertical pasa siempre por el mismo punto de la superficie terrestre (Dato:
rt = 6370 km). Calcular:
6.a.- Su velocidad angular.
6.b.- Su energ´
ıa
6.c.- Si, por los motivos que fuera, perdiera el 10 % de su energ´ ¿cu´l ser´ su nuevo
ıa,
a
ıa
radio de giro?
Soluci´n:
o
6.a.- El periodo del sat´lite es el mismo que el de la Tierra, de forma que:
e
ω=
2π
= 7, 27 · 10−5 rad/s
86400
6.b.- Para calcular la energ´ es preciso conocer el radio de la orbita y el valor de
ıa,
´
GM. Para calcular este ultimo, tenemos en cuenta que:
´
9, 8 =
GM
⇒ GM = 9, 8(6, 37 · 106 )2 = 3, 97 · 1014 en unidades del S.I.
r2
El radio de la ´rbita se calcula a partir de la tercera ley de Kepler:
o
T2 =
r=
3
4π 2 r 3
de donde :
GM
3, 97 · 1014 · 864002
= 4, 22 · 107 m
4π 2
Seg´ n lo anterior, la energ´ ser´:
u
ıa
a
U =−
3, 97 · 1014 · 1000
GMm
=−
= −4, 70 · 10−9 J
2r
2 · 4, 22 · 107

10. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
10
6.c.- Teniendo en cuenta que la energ´ tiene valor negativo, una p´rdida del 10 %
ıa
e
significa que el nuevo valor de la energ´ ser´:
ıa
a
10U
= 1, 1U = −5, 17 · 109 J
U+
100
Seg´ n esto, el nuevo radio se obtendr´ de la igualdad:
u
a
14
3, 97 · 10 · 1000
= −5, 17 · 109
−
2r
Con lo que:
3, 97 · 1017
r=
= 3, 84 · 107 m
2 · 5, 17 · 109
7.- Tenemos cuatro part´
ıculas iguales, de 2 kg de masa cada una, en los v´rtices de un
e
−11
cuadrado de 2 m de lado ((G = 6, 67 · 10
en unidades del S.I.). Determinar
7.a.- El campo gravitatorio en el centro del cuadrado.
7.b.- El m´dulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada part´
o
ıcula debido a la
presencia de las otras tres.
7.c.- La energ´ potencial gravitatoria de una part´
ıa
ıcula debida a las otras tres.
Soluci´n:
o
7.a.- Por razones de simetr´ y como puede verse en la siguiente representaci´n gr´fiıa,
o
a
ca, la intensidad de campo en el centro del cuadrado es cero.
7.b.- La representaci´n gr´fica de las fuerzas que las tres masas restantes ejercen
o
a
sobre una de ellas ser´ la siguiente:
a
−
→
F1
−
→
F3
−
→
F2

11. 11
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
→
−
− − −
→ → →
Con lo cual, tendremos que | F | = |F1 + F2 + F3 |
La fuerza resultante puede ser expresada como:
→
−
− → − → − →
→
→
→
F = |F1 | −1 + |F2 | −2 + |F3 | −3 siendo:
u
u
u
−
→
−
→
6, 67 · 10−11 · 4
= 6, 67 · 10−11 N
|F1 | = |F2 | =
4
−
→
6, 67 · 10−11 · 4
|F3 | =
= 3, 33 · 10−11
8
De la representaci´n gr´fica se deduce que:
o
a
→ →
→
→
− = −− ; − = −−
u1
i u2
j
→
Mientras que −3 se halla de la forma:
u
√
√
→
−
→
−
2−
2−
(0 − 2) i + (0 − 2) j
→
→
→
− =
√
i −
j
=−
u3
2 + 22
2
2
2
De todo esto, obtenemos:
→
−
→
−
→
−
F = −6, 67 · 10−11 i − 6, 67 · 10−11 j + 3, 33 · 10−11
√
√
− 2−
→ − 2−
→
i +
j
2
2
→
−
→
−
→
−
F = −4, 31 · 10−11 i − 4, 31 · 10−11 j
→
−
| F | = 6, 10 · 10−11 N
7.c.- La energ´ potencial ser´ la suma de tres sumandos, quedando de la forma:
ıa
a
U=
−6,67 · 10−11 · 22 −6,67 · 10−11 · 22 −6,67 · 10−11 · 22
√
+
+
2
2
8
8.- La Luna se encuentra a 3, 84 · 108 m de la Tierra. La masa de la Luna es de 7, 35 · 1022
kg y la de la Tierra 5, 98 · 1024 kg (G = 6, 67 · 10−11 en unidades del S.I.)Calcular:
8.a.- La energ´ potencial gravitatoria de la Luna debida a la presencia de la Tierra.
ıa
8.b.- A qu´ distancia de la Tierra se cancelan las fuerzas gravitatorias de la Luna y
e
de la Tierra sobre un objeto all´ situado.
ı
8.c.- El periodo de giro de la Luna alrededor de la Tierra.
Soluci´n:
o
8.a.- La energ´ potencial ser´:
ıa
a
U =−
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 7, 35 · 1022
=−
= −7, 63 · 1028 J
r
3, 84 · 108

12. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
12
8.b.- Como puede verse en la gr´fica, existe un punto P donde se cancelan las fuerzas
a
gravitatorias debidas a la Tierra y a la Luna. En dicho punto, la resultante de
ambas fuerzas es cero.
x
r-x
FT
P
FL
Seg´ n lo anteriormente expuesto, en el punto P se cumplir´ que:
u
a
GML m
GMT m
=
de donde se deduce:
2
x
(r − x)2
r−x=
ML
x y x=
MT
r
1+
ML
MT
r−x
x
2
=
ML
MT
= 3, 46 · 108 m
8.c.- El periodo se obtendr´ aplicando la tercera ley de Kepler:
a
T =
4 · π 2 (3, 84 · 108 )3
= 2, 37 · 106 s
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024
9.- El planeta J´ piter posee un radio 11 veces mayor que el de la Tierra y una masa 318
u
veces mayor que la de ´sta. Calcule:
e
9.a.- El peso en J´ piter de un astronauta que en la Tierra pesa 800 N.
u
9.b.- La masa del astronauta en J´ piter
u
9.c.- La relaci´n entre las velocidades de escape desde la superficie de J´ piter y desde
o
u
la de la Tierra.
Soluci´n:
o
9.a.- La masa del astronauta es: m =
ser´:
a
P =
800
= 81, 63 kg. El peso de ´ste en J´ piter
e
u
9, 8
GMJ m
G · 318MT m
=
2
rJ
(11rT )2
Todo esto se puede poner como:
9, 8 · 318 · 81, 63
GMT 318 · 81, 63
=
= 2102, 41 N
·
2
rT
121
121

13. 13
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
9.b.- La masa del astronauta es invariable, por lo que en la superficie de J´ piter
u
tendr´ el mismo valor que en la Tierra, es decir, 81, 63 kg
a
9.c.- La relaci´n entre las velocidades de escape es:
o
vJ
=
vT
2G · 318MT
11rT
=
2GMT
rT
318
= 5, 377
11
10.- Un sat´lite de 5000 kg de masa gira con un radio de 30000 km alrededor de un planeta
e
cuya masa es de 2, 2 · 1024 kg (Dato: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I.). Calcule:
10.a.- El periodo de giro.
10.b.- La velocidad del sat´lite.
e
10.c.- Energ´ que se necesita para escapar de la atracci´n gravitatoria del planeta.
ıa
o
Soluci´n:
o
10.a.- El periodo de calcula de la forma:
T =
4π 2 r 3
=
GM
4π 2 (3 · 107 )3
= 85229 s
6, 67 · 10−11 · 2, 2 · 1024
6, 67 · 10−11 · 2, 2 · 1024
= 2211, 64 m/s
3 · 107
GMm
10.c.- La energ´ que posee el sat´lite es E =
ıa
e
, puesto que est´ describiena
2r
do una ´rbita. A esta energ´ debemos sumarle una cantidad E, para que el
o
ıa
sat´lite escape a la atracci´n gravitatoria del planeta. Aplicando el Principio de
e
o
Conservaci´n de la Energ´ tendremos:
o
ıa,
10.b.- La velocidad es: v =
GM
=
r
−
GMm
+E =0
2r
Puesto que el sat´lite escapar´ de la atracci´n gravitatoria a una distancia
e
a
o
infinita, siendo entonces cero tanto la energ´ cin´tica como la potencial. Seg´ n
ıa
e
u
esto:
GMm
6, 67 · 10−11 · 2, 2 · 1024
E=
=
= 2, 44 · 106 J
2r
2 · 3 · 107
11.- La aceleraci´n de la gravedad en la superficie de Marte es de 3, 7m/s2 . El radio de
o
la Tierra es de 6378 km y la masa de Marte es un 11 % de la de la Tierra. Calcule:

14. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
14
11.a.- El radio de Marte.
11.b.- La velocidad de escape desde la superficie de Marte.
11.c.- El peso en dicha superficie de un astronauta de 80 kg de masa.
Soluci´n:
o
GMT
GMM
,
. Puesto que: 9, 8 =
2
rM
(6, 37 · 106 )2
en unidades del S.I.
11.a.- La aceleraci´n de la gravedad ser´: 3, 7 =
o
a
despejamos GMT = 3, 97 · 1014
Por lo tanto:
0, 11 · 3, 97 · 1014
, de donde:
3, 7 =
2
rM
rM =
0, 11 · 3, 97 · 1014
= 3, 44 · 106 m
3, 7
11.b.- La velocidad de escape es:
11.c.- El peso viene dado por:
2GM
=
r
2 · 0, 11 · 3, 97 · 1014
= 5038, 80 m/s
3, 44 · 106
GMm
0, 11 · 3, 97 · 1014 · 80
=
= 295, 22 N
r2
(3, 44 · 106 )2
12.- Un sat´lite de 4000 kg de masa gira en una ´rbita geoestacionaria (es decir, la vertical
e
o
del sat´lite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre) (Dato: radio
e
de la Tierra = 6370 km). Calcule:
12.a.- El m´dulo de la velocidad del sat´lite.
o
e
12.b.- El m´dulo de su aceleraci´n.
o
o
12.c.- Su energ´ total.
ıa
Soluci´n:
o
12.a.- El m´dulo de la velocidad del sat´lite ser´: |− | =
o
e
a →
g
calculamos de:
9, 8 =
GM
. El valor de GM lo
r
GM
⇒ GM = 3, 97 · 1014 en unidades S.I.
(6, 37 · 106 )2
Mientras que r se calcula a partir de la igualdad:
864002 =
4π 2 r 3
3, 97 · 1014
√ 3, 97 · 1014 · (86400)2
r=
= 4, 22 · 107 m
2
4π

15. 15
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
(El periodo del sat´lite en una ´rbita geoestacionaria es el mismo que el de
e
o
rotaci´n de la Tierra respecto a su eje). As´ pues:
o
ı
→
|− | =
v
3, 97 · 1014
= 3067, 18 m/s
4, 22 · 107
1
→
− | = GM = 3, 97 · 10 4 = 0, 223 m/s2
12.b.- El m´dulo de la aceleraci´n es | g
o
o
r2
(4, 22 · 107 )2
12.c.- Su energ´ total es: E = −
ıa
3, 97 · 1014 · 4000
GMm
=−
= −1, 88 · 1010 J
2r
2 · 4, 22 · 107
13.- Suponga que la ´rbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, con un radio de
o
1, 59 · 1011 m. (Dato: G = 6, 67 · 10−11 N · m2 · kg −2 ). Calcule:
13.a.- La velocidad angular de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol.
13.b.- La masa del Sol.
13.c.- El m´dulo de la aceleraci´n lineal de la Tierra.
o
o
Soluci´n:
o
13.a.- Puesto que ω =
2π
y T =365 d´ (3, 154 · 107 s), tendremos:
ıas
T
ω=
2π
= 1, 992 · 10−7 rad/s
3, 154 · 107
13.b.- Aplicando la tercera ley de Kepler:
(3, 154 · 107 )2 =
4π 2 (1, 59 · 1011 )3
de donde :
6, 67 · 10−11
4π 2 (1,59 · 1011 )3
M=
= 2, 39 · 1030 kg
−11 (3, 154 · 107 )2
6, 67 · 10
13.c.- El m´dulo de la aceleraci´n lineal ser´ nulo, puesto que el movimiento se ha
o
o
a
supuesto circular uniforme.
14.- La masa de Venus, su radio y el radio de su ´rbita alrededor del Sol, referidos a
o
las magnitudes respectivas de la Tierra valen, respectivamente, 0.808, 0.983 y 0.725.
Calcule:
14.a.- La duraci´n de un a˜ o en Venus.
o
n
14.b.- El valor de la gravedad en la superficie de Venus.

16. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
16
14.c.- La velocidad de escape de un cuerpo en Venus en relaci´n a la que tiene en la
o
Tierra.
Soluci´n:
o
14.a.- Aplicando la tercera ley de Kepler, se obtiene:
2
Tv =
3
4π 2 rv
GM
Tt2 =
y
3
4π 2 rt
GM
Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones nos queda:
Tv
Tt
Por tanto, tendremos que: Tv =
2
=
rv
rt
3
= 0, 9833
0, 9833 = 0, 974 a˜ os
n
14.b.- La aceleraci´n de la gravedad en la superficie de Venus viene dada por:
o
gv =
GMv
2
rv
Sabiendo que la aceleraci´n de la gravedad en la superficie de la Tierra es:
o
9, 8 =
GMt
2
rt
dividiendo miembro a miembro, tendremos:
G · 0, 808Mt
gv
0, 808
(0, 983rt )2
=
=
GMt
9, 8
0, 9832
2
rt
Finalmente: gv = 9, 8 ·
0, 808
= 8, 19 m/s2
0,9832
2Gm
14.c.- Utilizando la ecuaci´n v =
o
, y dividiendo miembro a miembro, tendrer
mos:
2GMv
mv rt
0, 808
vv
rv
=
=
=
= 0, 907
vt
mt rv
0,983
2GMt
rt
15.- La nave espacial Cassini-Huygens se encuentra orbitando alrededor de Saturno en
una misi´n para estudiar este planeta y su entorno. La misi´n lleg´ a Saturno en el
o
o
o
verano de 2004 y concluir´ en 2008 despu´s de que la nave complete un total de 74
a
e
o
´rbitas de formas diferentes. La masa de saturno es de 5684, 6 · 1023 kg y la masa de
la nave es de 6000 kg (Dato: G=6, 67 · 10−11 m3 kg −1 s−2

17. 17
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
15.a.- Si la nave se encuentra en una ´rbita el´
o
ıptica cuyo periastro (punto de la orbita
´
m´s cercano al astro) est´ a 498970 km de Saturno y cuyo apoastro (punto m´s
a
a
a
alejado) est´ a 9081700 km, calcule la velocidad orbital de la nave cuando pasa
a
por el apoastro (Utilice el principio de conservaci´n de la energ´ y la segunda
o
ıa
ley de Kepler).
15.b.- Calcule la energ´ que hay que proporcionar a la nave para que salte de una
ıa
o
´rbita circular de 4,5 millones de km de radio a otra ´rbita circular de 5 millones
o
de km de radio.
15.c.- Cuando la nave pasa a 1270 km de la superficie de Tit´n (la luna m´s grande
a
a
20
de saturno, con un radio de 2575 km y 1345 · 10 kg de masa), se libera de ella
la sonda Huygens. Calcule la aceleraci´n a que se ve sometida la sonda en el
o
punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia Tit´n. (Considere
a
s´lo la influencia gravitatoria de Tit´n)
o
a
Soluci´n:
o
15.a.- A partir del principio de conservaci´n de la energ´ y de la segunda ley de
o
ıa
Kepler, podemos poner:

− GMm + 1 mv 2 = − GMm + 1 mv 2


1
2

r1
2
r2
2
r v
 1 1
r2 v2


=
2
2
Sustituyendo los valores num´ricos:
e

6,67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 1 2
 6,67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 1 2
−

+ v1 = −
+ v2

4,9897 · 108
2
9,0917 · 109
2



4,9897 · 108 · v = 9,0917 · 109 · v
1
2
que, al ser resuelto nos da v2 = 658, 75 m/s
15.b.- Cuando la nave se encuentra en una ´rbita circular de 4,5 millones de kil´metros
o
o
de radio, su energ´ total ser´:
ıa
a
E1 = −
6, 67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 · 6000
4, 5 · 109
mientras que, a una distancia de 5 millones de kil´metros, su energ´ ser´:
o
ıa
a
E2 = −
Por todo ello, tendremos:
−
6, 67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 · 6000
5 · 109
6, 67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 · 6000
6, 67 · 10−11 · 5, 6846 · 1026 · 6000
+E =−
4, 5 · 109
5 · 109
siendo E la energ´ que hay que suministrar. Resolviendo la ecuaci´n, obtenemos
ıa
o
9
E = 5, 05 · 10 J

18. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
18
15.c.- La aceleraci´n a que se ve sometida la sonda, ser´:
o
a
→
|− | =
a
6, 67 · 10−11 · 1, 3435 · 1023
GM
=
= 0, 606 m/s2
r2
(2, 575 · 106 + 1, 270 · 106 )2
16.- La sonda Huygens se dej´ caer en Tit´n (la luna m´s grande de Saturno) para estudiar
o
a
a
este sat´lite y su atm´sfera. En su descenso la sonda env´ ondas de radio de 2040
e
o
ıa
MHz de frecuencia y 10 W de potencia. Debido al fuerte viento en la atm´sfera de
o
Tit´n, la sonda en su movimiento de ca´ se desplaza lateralmente a 100 m/s en
a
ıda
sentido contrario al de emisi´n de la se˜ al. (Dato: Saturno est´ a unos 1200 millones
o
n
a
de km de la Tierra.) Calcule:
16.a.- El n´ mero de longitudes de onda, de la se˜ al que emite la sonda, que caben en
u
n
la distancia que existe entre Saturno y la Tierra.
16.b.- La diferencia de frecuencia respecto a la real cuando recibe la se˜ al un observan
dor en reposo del que se aleja la sonda.
16.c.- La intensidad de la se˜ al cuando llega a la Tierra.
n
Soluci´n:
o
16.a.- La longitud de onda de la radiaci´n es:
o
λ=
3 · 108
v
=
= 0, 147 m
ν
2, 04 · 109
El n´ mero de longitudes de onda que cabr´ en la distancia entre Saturno y la
u
a
Tierra es:
1, 2 · 1012
n=
= 8, 16 · 1012
0, 147
16.b.- Al desplazarse la fuente de la radiaci´n respecto al observador, se producir´ el
o
a
efecto Doppler, con lo que la radiaci´n percibida por el observador ser´:
o
a
νo =
2, 04 · 109
100
1+
3 · 108
= 2039999320 Hz
La variaci´n en la frecuencia ser´:
o
a
∆ν = 2, 04 · 109 − 2039999320 = 680 Hz
16.c.- La intensidad de la se˜ al al llegar a la Tierra ser´:
n
a
I=
10
P
=
= 5, 52 · 10−24 W/m2
S
4π(1, 2 · 1012 )2

19. 19
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
17.- Desde la superficie de la Tierra se lanza un proyectil en direcci´n vertical con una
o
velocidad de 1000 m/s. (Datos: Radio de la Tierra = 6378 km, masa de la Tierra
=5, 98 · 1024 kg, G = 6, 67 · 10−11 m3 kg −1s−2 .) Determine:
17.a.- La altura m´xima que alcanza el proyectil. (Desprecie el rozamiento con el aire.)
a
17.b.- El valor de la gravedad terrestre a dicha altura m´xima.
a
17.c.- La velocidad del proyectil cuando se encuentra a la mitad del ascenso.
Soluci´n:
o
17.a.- Aplicando el principio de conservaci´n de la energ´ tendremos:
o
ıa,
−
GMm 1 2
GMm
+ mv = −
rT
2
r
por lo cual:
−
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024
6,67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 1
+ 10002 = −
6, 378 · 106
2
r
de donde, despejando:
r = 6, 43 · 106 m
17.b.- La aceleraci´n de la gravedad en este punto ser´:
o
a
g=
−GM
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024
⇒g=
= 9, 64m/s2
(6, 43 · 106 )2
(6, 43 · 106 )2
17.c.- La mitad del ascenso corresponder´ a una distancia del centro de la Tierra:
a
r ′ = 6, 378 · 106 +
6, 43 · 106 − 6, 378 · 106
= 6, 404 · 106
2
Aplicando nuevamente el principio de conservaci´n de la energ´
o
ıa:
−
−
GMm 1 2
GMm 1 2
+ mv1 = −
+ mv2
rT
2
r′
2
6,67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 1
6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 1 2
+ 10002 = −
+ v
6, 378 · 106
2
6, 404 · 106
2
Despejando, obtenemos:
v = 701, 56 m/s

20. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
20
18.- La distancia media entre la Luna y la Tierra es de 3, 84 · 108 m, y la distancia media
entre la Tierra y el Sol es de 1496 · 108 m. Las masas valen 1, 99 · 1030 , 5, 97 · 1024
y 7, 35 · 1022 kg para el Sol, la Tierra y la Luna, respectivamente. Consideramos las
o
´rbitas circulares y los astros puntuales.
18.a.- Calcule el m´dulo del campo gravitatorio que crea la Tierra en la Luna.
o
18.b.- ¿Cu´ntas veces m´s r´pido gira la Tierra alrededor del Sol que la Luna alrededor
a
a a
de la Tierra?
18.c.- En el alineamiento de los tres astros que corresponde a la posici´n de un eclipo
se de Sol, calcule la fuerza neta que experimenta la Luna debido a la acci´n
o
gravitatoria del Sol y de la Tierra. Indique el sentido (signo de dicha fuerza).
Dato: G=6, 67 · 10−11 N m2 /kg2
Soluci´n:
o
18.a.- El m´dulo del campo gravitatorio creado por la Tierra en la Luna ser´:
o
a
→
|− | =
g
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
GMT
= 2, 7 · 10−3 m/s2
=
2
rT L
(3, 84 · 108 )2
18.b.- El periodo de rotaci´n de la Luna alrededor de la Tierra ser´:
o
a
TL =
3
4π 2 rT L
GMT
Mientras que el periodo de rotaci´n de la Tierra alrededor del Sol es:
o
TT =
3
4π 2 rST
GMS
Al dividir miembro a miembro, tendremos:
TT
=
TL
3
4π 2 rST
GMS
=
3
4π 2 rT L
GMT
3
MT rST
=
3
Ms rT L
5, 97 · 1024 · (1496 · 108 )3
= 13, 31
1, 99 · 1030 · (3, 84 · 108 )3
18.c.- Cuando se produce un eclipse de Sol, la Luna se encuentra entre ´ste y la Tierra,
e
por lo que
rT L = 3, 84 · 108 m y rSL = rST − rT L = 1496 · 108 − 3, 84 · 108 = 1, 49216 · 1011 m
El m´dulo de la fuerza ser´:
o
a
→
−
GMS ML GMT ML
−
= 2, 397 · 1020 N
|F | =
2
2
rSL
rT L
La fuerza resultante se dirigir´ hacia el Sol, puesto que la atracci´n gravitatoria
a
o
de ´ste sobre la Luna es mayor que la de la Tierra sobre aquella.
e

21. 21
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
19.- El sat´lite Hispasat se encuentra en una ´rbita situada a 36000 km de la superficie
e
o
terrestre. La masa de la Tierra es de 5.97·1024 kg y su radio de 6380 km.
19.a.- Calcule el valor de la gravedad terrestre en la posici´n donde est´ el sat´lite.
o
a
e
19.b.- Demuestre que la ´rbita es geoestacionaria.
o
19.c.- El sat´lite act´ a como repetidor que recibe las ondas electromagn´ticas que
e
u
e
le llegan de la Tierra y las reemite.Calcule cu´nto tiempo tarda una onda en
a
regresar desde que es emitida en la superficie terrestre.
Dato: G=6, 67 · 10−11 N m2 /kg2
Soluci´n:
o
19.a.- El radio de giro ser´ la suma de la distancia a la superficie de la Tierra y el
a
radio de la misma, es decir, r = 3, 6 · 107 + 6, 38 · 106 = 4, 238 · 107 m. El m´dulo
o
de la aceleraci´n de la gravedad ser´:
o
a
→
|− | =
g
GM
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
=
= 0, 22 m/s2
r2
(4, 238 · 107 )2
19.b.- Para que la ´rbita sea geoestacionaria, el periodo debe ser igual al periodo de
o
rotaci´n terrestre, es decir, 86400 s. Aplicando la tercera ley de Kepler:
o
T =
4π 2 r 3
=
GM
4π 2 (4, 238 · 107 )3
= 86870 s
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
La ´rbita es aproximadamente geoestacionaria.
o
19.c.- El tiempo invertido ser´ el cociente entre la distancia y la velocidad, en este
a
caso la de la luz:
2 · 3, 6 · 107
= 0, 24 s
t=
3 · 108
20.- La astronauta Sunita Williams particip´ desde el espacio en la marat´n de Boston
o
o
de 2007 recorriendo la distancia de la prueba en una cinta de correr dentro de la
Estaci´n Espacial Internacional. Sunita complet´ la marat´n en 4 horas, 23 minutos
o
o
o
y 46 segundos. La Estaci´n Espacial orbitaba, el d´ de la carrera, a 338 km sobre la
o
ıa
superficie de la Tierra. Calcule:
20.a.- El valor de la gravedad terrestre en la Estaci´n Espacial.
o
20.b.- La energ´ potencial y la energ´ total de Sunita sabiendo que su masa es de 45
ıa
ıa
kg.
20.c.- ¿Cu´ntas vueltas a la Tierra dio la astronauta mientras estuvo corriendo?
a

22. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
22
Datos: G = 6,67 · 10−11 Nm2 /kg 2 , masa de la Tierra = 5, 97 · 1024 kg, radio terrestre
= 6371 km.
Soluci´n:
o
20.a.- La aceleraci´n de la gravedad en la estaci´n espacial es:
o
o
g=
GM
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
=
= 8, 85 m/s2
r2
(6, 371 · 106 + 3, 38 · 105 )2
20.b.- La energ´ potencial es:
ıa
U =−
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 45
=−
= −2, 671 · 109 J
r
6, 371 · 106 + 3, 38 · 105
mientras que la energ´ cin´tica tiene el valor:
ıa
e
Ec =
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 45
=−
= 1, 335 · 109 J
2r
2(6, 371 · 106 + 3, 38 · 105 )
La energ´ total, E=Ec +U valdr´:
ıa
a
E = −2, 671 · 109 + 1, 335 · 109 = −1, 335 · 109 J
20.c.- La velocidad de la nave es:
v=
GM
=
r
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
= 7, 70 · 103 m/s
6 + 3, 38 · 105
6, 371 · 10
El per´
ımetro de la Tierra es 2π r= 40030 m, mientras que el tiempo invertido
por la astronauta, expresado en segundos es 15826. De esta forma, el n´ mero
u
de vueltas ser´:
a
7, 70 · 103 · 15826
= 3, 04 vueltas
n=
40030
21.- Sabiendo que la Luna tiene una masa de 7, 35 · 1022 kg y que el campo gravitatorio
en su superficie es la sexta parte que en la superficie terrestre, calcule:
21.a.- El radio de la Luna.
21.b.- La longitud de un p´ndulo en la Luna para que tenga el mismo per´
e
ıodo que otro
p´ndulo situado en la Tierra y cuya longitud es de 60 cm.
e
21.c.- El momento angular de la Luna respecto a la Tierra.
Dato: G = 6,67 · 10−11 N m2 /kg2 , distancia Luna-Tierra = 3, 84 · 108 m.
Soluci´n:
o

23. 23
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
21.a.- Teniendo en cuenta el valor de la aceleraci´n de la gravedad en la superficie
o
2
terrestre (9,8 m/s , podremos poner que:
gL =
GML
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
9, 8
= 2 =
2
6
rL
rL
de donde, despejando, se obtiene:
rL =
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022 · 6
= 1, 732 · 106 m
9, 8
21.b.- El periodo de un p´ndulo viene dado por la expresi´n:
e
o
T = 2π
l
g
El periodo del p´ndulo en la Tierra ser´ T = 2π
e
a
1, 55 = 2π
0, 6
= 1, 55s, por lo cual:
9, 8
l
9, 8/6
obteni´ndose as´ l =0,1 m
e
ı
→
−
21.c.- El m´dulo del momento angular de la Luna respecto a la Tierra ser´ | L | =
o
a
→ mv|
|− ||− sen 90o . La velocidad de la ´rbita de la Luna se puede obtener conor →
o
ciendo su periodo de rotaci´n alrededor de la Tierra (28 d´
o
ıas). Aplicando la
tercera ley de Kepler, tendremos:
(28 · 86400)2 =
4π 2 · (3, 84 · 108 )3
GM
de donde se obtiene el valor de GM, 3, 84 · 1014
La velocidad de la ´rbita ser´:
o
a
(∗)
v=
GM
=
r
3, 84 · 1014
= 103 m/s
3, 84 · 108
por lo que, sustituyendo, tendremos:
→
−
| L | = 3, 84 · 108 · 7, 35 · 1022 · 103 = 2, 82 · 1034 kg · m · s−1
Cabe destacar de este apartado que es necesario conocer el periodo de revoluci´n
o
de la Luna alrededor de la Tierra, o la masa de ´sta ultima, pues en la expresi´n
e
´
o
de la velocidad (∗), la masa que aparece es la de la Tierra (cuerpo respecto al
cual se describe la ´rbita)
o

24. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
24
22.- La masa de la Luna es de 7,356 · 1022 kg y la de la Tierra de 5,986 · 1024 kg. La
distancia media de la Tierra a la Luna es de 3,846 · 108 m. Calcule:
22.a.- El per´
ıodo de giro de la Luna alrededor de la Tierra.
22.b.- La energ´ cin´tica de la Luna.
ıa
e
22.c.- A qu´ distancia de la Tierra se cancela la fuerza neta ejercida por la Luna y la
e
Tierra sobre un cuerpo all´ situado. Dato: G=6, 67 · 10−11 enunidadesS.I.
ı
Soluci´n:
o
22.a.- Ver problema 8, apartado c.
22.b.- La energ´ cin´tica ser´:
ıa
e
a
Ec =
6, 67 · 10−11 · 7, 536 · 1022 · 5, 986 · 1024
GMm
=
= 3, 91 · 1028 J
2r
2 · 3, 846 · 108
.
22.c.- Ver problema 8, apartado b.
23.- Los cuatro sat´lites de J´ piter descubiertos por Galileo son: ´ (radio = 1822 km,
e
u
Io
masa = 8, 9·1022 kg, radio orbital medio = 421600 km), Europa, Gan´
ımedes y Calisto
22
(radio = 2411 km, masa = 10, 8 · 10 kg).
23.a.- Calcule la velocidad de escape en la superficie de Calisto.
23.b.- Obtenga los radios medios de las ´rbitas de Europa y Gan´
o
ımedes, sabiendo
´ y que el per´
que el per´
ıodo orbital de Europa es el doble que el de Io
ıodo de
Gan´
ımedes es el doble que el de Europa.
23.c.- Sean dos puntos en la superficie de ´ uno en la cara que mira a J´ piter y otro
Io:
u
en la cara opuesta. Calcule el campo gravitatorio total (es decir: el creado por
la masa de ´ m´s el producido por la atracci´n de J´ piter) en cada uno de esos
Io a
o
u
dos puntos.
Datos: masa de J´ piter = 1, 9 · 1027 kg, G = 6, 67 · 10−11 N·m2 /kg2
u
Soluci´n:
o
23.a.- La velocidad de escape viene expresada por:
ve =
2GM
=
r
2 · 6, 67 · 10−11 · 10, 8 · 1022
= 2444, 5 m/s
2, 411 · 106
23.b.2
3
TE
4π 2 rE /GMJ
= 22 =
=
3
TI2
4π 2 rI /GMJ
rE
rI
3
2
TG
4π 2 r 3 /GMJ
=
= 22 = 2 G
2
3
TE
4π rG /GMJ
rG
rE
3
⇒ rE = 22/3 ·rI = 4, 216·108·22/3 = 6, 69·108 m
⇒ rE = 22/3 ·rI = 6, 69·108·22/3 = 1, 062·109 m

25. 25
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
23.c.- El m´dulo del campo gravitatorio de ´ es:
o
Io
gI =
GMI
6, 67 · 10−11 · 8, 9 · 1022
= 1, 79 N/Kg
=
2
rI
(1, 822 · 106 )2
El m´dulo del campo creado por J´ piter en los dos puntos extremos de ´ ser´:
o
u
Io a
En el punto A m´s cercano gJ−A =
a
6, 67 · 10−11 · 1,9 · 1027
= 0, 719 N/Kg
(4, 216 · 108 − 1, 822 · 106 )2
6, 67 · 10−11 · 1,9 · 1027
= 0, 707 N/Kg
(4, 216 · 108 − 1, 822 · 106 )2
As´ pues, el m´dulo del campo gravitatorio total ser´:
ı
o
a
En el punto A m´s lejano gJ−A =
a
gA (en el punto m´s cercano) = 1, 79 − 0, 719 = 1, 071 N/Kg
a
gB (en el punto m´s lejano) = 1, 79 + 0, 719 = 2, 497 N/Kg
a
24.- Plut´n tiene una masa de 1,29·1022 kg, un radio de 1151 km y el radio medio de su
o
o
´rbita alrededor del Sol es de 5, 9 · 109 km.
24.a.- Calcule g en la superficie de Plut´n.
o
24.b.- Su sat´lite Caronte tiene una masa de 1, 52 · 1021 kg y est´ a 19640 kil´metros
e
a
o
de ´l. Obtenga la fuerza de atracci´n gravitatoria entre Plut´n y Caronte.
e
o
o
24.c.- Calcule cu´ntos a˜ os tarda Plut´n en completar una vuelta alrededor del Sol.
a
n
o
30
Datos: masa del Sol = 1, 98 · 10 kg, G = 6, 67 · 10−11 N·m2 /kg−2
Soluci´n:
o
24.a.- El valor de g viene dado por la expresi´n:
o
g=
GM
6, 67 · 10−11 · 1, 29 · 1022
=
= 0, 649 m/s2
r2
(1, 151 · 106 )2
24.b.- La fuerza de atracci´n gravitatoria entre Plut´n y Caronte ser´:
o
o
a
F =
6, 67 · 10−11 · 1, 29 · 1022 · 1, 52 · 1021
= 3, 39 · 1018 N
(1, 964 · 107 )2
24.c.- Aplicando la tgercera ley de Kepler:
T =
4π 2 r 3
=
GM
n
que equivale a 248, 45 a˜ os
4π 2 (5, 9 · 1012 )3
= 7, 835 · 109 s
6, 67 · 10−11 · 1, 98 · 1030

26. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
26
25.- El radio del Sol es de 696 000 km y su masa vale 1, 99 · 1030 kg.
25.a.- Halla el valor de la gravedad en la superficie solar.
25.b.- Si el radio de la ´rbita de Neptuno alrededor del Sol es 30 veces mayor que el
o
de la ´rbita terrestre, ¿cu´l es el per´
o
a
ıodo orbital de Neptuno, en a˜ os?
n
25.c.- Si el Sol se contrajese para convertirse en un agujero negro, determina el radio
m´ximo que deber´ tener para que la luz no pudiera escapar de ´l. Dato: G =
a
ıa
e
−11
2
−2
6,67 · 10
N·m ·Kg
Soluci´n:
o
25.a.- La aceleraci´n de la gravedad ser´:
o
a
g=
6, 67 · 10−11 · 1, 99 · 1030
GM
=
= 274 m/s2
r2
(6, 96 · 108 )2
25.b.- Teniendo en cuenta que el periodo de rotaci´n de la Tierra alrededor del Sol es
o
7
de un a˜ o (3, 1536 · 10 s), podemos poner:
n
(3, 1536 · 107 )2 =
4π 2 r 3
GMS
4π 2 (30r)3
T =
GMS
2
con lo que, dividiendo miembro a miembro, tendremos:
3, 1536 · 107
T
2
=
1
303
siendo el periodo:
T =
(3, 1536 · 107 )2 · 303 = 5, 214 · 109 s que equivale a 165, 33 a˜ os
n
25.c.- Para que la luz no escape de un agujero negro, la velocidad de escape deber´ igualarse a c, es decir:
a
2GM
c=
r
despejando el radio:
r=
2GM
2 · 6, 67 · 10−11 · 1, 99 · 1030
=
= 2949, 6 m
c2
9 · 1016

27. 27
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
26.- Un avi´n de pasajeros vuela a 8 km de altura a una velocidad de 900 km/h. La
o
masa total del avi´n, contando combustible, equipaje y pasajeros, es de 300 000 kg.
o
Calcula:
26.a.- La energ´ mec´nica del avi´n.
ıa
a
o
26.b.- El valor de la gravedad terrestre en el avi´n.
o
26.c.- La fuerza gravitatoria que ejerce el avi´n sobre la Tierra.
o
Dato: radio medio de la Tierra = 6371 km
Soluci´n:
o
26.a.- La energ´ mec´nica del avi´n ser´ la suma de sus energ´ cin´tica y potencial,
ıa
a
o
a
ıa
e
siendo:
1
1
Ec = mv 2 = 3 · 105 · 2502 = 9, 375 · 109 J
2
2
Para calcular la energ´ potencial, cuya expresi´n es U = -GMm/r, necesitamos
ıa
o
conocer el valor de GM, el cual podemos calcular conociendo el valor de la
aceleraci´n de la gravedad en la superficie de la Tierra:
o
9, 8 =
GM
⇒ GM = 3, 98 · 1014
6 )2
(6, 371 · 10
A partir de este valor, tendremos que:
U =−
GMm
3, 98 · 1014 · 3 · 105
=−
= −1, 87 · 1013 J
r
(6, 371 · 106 + 8 · 103 )
La energ´ mec´nica ser´:
ıa
a
a
E = Ec + U = 9, 375 · 109 − 1, 87 · 1013 = −1, 869 · 1013 J
26.b.- El valor de g ser´:
a
3, 98 · 1014
GM
= 9, 78 m/s2
g= 2 =
6 + 8 · 103 )2
r
(6, 371 · 10
26.c.- La fuerza gravitatoria ser´:
a
F =
GMm
= mg = 3 · 105 · 9, 78 = 2, 934 · 106 N
r2
27.- De un antiguo sat´lite qued´ como basura espacial un tornillo de 50 g de masa en
e
o
una orbita a 1000 km de altura alrededor de la Tierra. Calcula:
´

28. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
28
27.a.- El m´dulo de la fuerza con que se atraen la Tierra y el tornillo.
o
27.b.- Cada cu´ntas horas pasa el tornillo por el mismo punto.
a
27.c.- A qu´ velocidad, expresada en Km/h, debe ir un coche de 1000 Kg de masa
e
para que tenga la misma energ´ cin´tica del tornillo.
ıa
e
Datos: G = 6, 67 · 10−11 N m2 /Kg 2, masa de la Tierra = 5,97·1024 Kg; radio terrestre
= 6371 Kg
Soluci´n:
o
27.a.- El m´dulo de la fuerza ser´:
o
a
→
−
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 50 · 10−3
|F | =
=
= 0, 366 N
r2
(6, 371 · 106 + 106 )2
27.b.- El tiempo pedido es el periodo. Aplicando la tercera ley de Kepler:
4π 2 r 3
=
GM
T =
4π 2 (6, 37 · 106 + 106 )3
· 5, 97 · 1024 = 6287 s (1, 75horas)
6, 67 · 10−11
27.c.- La energ´ cin´tica del tornillo ser´:
ıa
e
a
Ec =
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 50 · 10−3
=
= 1, 35 · 106 J
6 + 106 )
2r
2(6, 371 · 10
para el coche, tendremos:
1, 35 · 106 =
1
1000v 2
2
de donde obtenemos v = 52 m/s
28.- Un escalador de 70 kg de masa asciende a la cima del Everest, cuya altura es de 8848
m. Calcula:
28.a.- El peso del escalador en la superficie terrestre a nivel del mar.
28.b.- El valor de la gravedad en lo alto del Everest.
28.c.- El momento angular del escalador respecto al centro de la Tierra, considerando
que el escalador rota con la Tierra.
Datos: G =6,67·10−11 N·m2 /kg2 , masa de la Tierra = 5,97·1024 kg, radio terrestre =
6371 km.
Soluci´n:
o

29. 29
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
28.a.- El peso del escalador ser´:
a
mg =
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 70
=
= 686, 73 N
r2
(6, 371 · 106 )2
28.b.- La aceleraci´n de la gravedad en lo alto del Everest vendr´ dada por:
o
a
g=
GM
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
=
= 9, 78 m/s2
r2
(6, 371 · 106 + 8, 848 · 103 )2
→
−
→ mv|
28.c.- | L | = |− ||− = m ωr2 , siendo ω =
r →
2π
. Suponiendo el escalador en la cima
86400
del Everest, r = 6, 371 · 106 + 8, 848 · 103 m, por lo cual:
→
−
| L | = 70
2π
(6, 371 · 106 + 8, 848 · 103 )2 = 2, 07 · 1011 kg · m · s−2
86400
29.- El 5 de mayo de 2012 hubo una “superluna”: la Luna estuvo a s´lo 356955 km de la
o
Tierra, la menor distancia del a˜ o en su ´rbita el´
n
o
ıptica. (Toma los astros como masas
puntuales).
29.a.- Calcula la fuerza con que se atra´ la Tierra y la Luna el 5 de mayo.
ıan
29.b.- Considera en este apartado que la ´rbita de la Luna es circular, con un radio
o
medio de 384402 km. Calcula el periodo orbital de la Luna alrededor de la
Tierra.
29.c.- El 19 de mayo la Luna se situ´ a 406450 km. Calcula la diferencia entre el valor
o
de la gravedad creada por la Luna el 5 de mayo yl el valor del 19 de mayo.
Soluci´n:
o
29.a.- El m´dulo de la fuerza viene dado por:
o
F =
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 7, 55 · 1022
GMm
=
= 2, 297 · 1020 N
r2
(3, 56955 · 108 )2
29.b.- Aplicando la tercera Ley de Kepler:
T =
4π 2 r 3
=
GM
4π 2 (3, 84402 · 108 )3
= 2, 373 · 106 s
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

30. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
30
29.c.- La aceleraci´n de la gravedad en cada uno de los casos ser´:
o
a
g1 =
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
= 2, 97 · 10−5 m/s2
8 )2
(4, 06450 · 10
g2 =
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
= 3, 85 · 10−5 m/s2
8 )2
(3, 56955 · 10
siendo la diferencia: g2 − g1 = 3, 85 · 10−5 − 2, 97 · 10−5 = 8, 8 · 10−6 m/s2
30.- Utiliza los datos proporcionados para calcular:
30.a.- La gravedad en la superficie de la Luna.
30.b.- velocidad de escape de la Tierra.
30.c.- La fuerza con que se atraen los dos astros.
Datos: G = 6, 67 · 10−11 N·m2 /kg2 ; masa de la Tierra = 5,97·1024 kg; masa de la Luna
= 7,35·102 kg; radio de la Luna = 1738 km; velocidad de escape de la Luna = 2,38
km/s; periodo orbital de la Luna =28 d´
ıas.
Soluci´n:
o
30.a.- La gravedad en la superficie de la Luna ser´:
a
g=
GML
6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022
=
= 1, 62 m/s2
2
6 )2
r
(1, 738 · 10
30.b.- Sabiendo que la aceleraci´n de la gravedad en la superficie de la Tierra vale 9,8
o
m/s2 , podremos poner:
9, 8 =
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
2
rT
obteni´ndose un valor de rT = 6, 374 · 106 m. Con este valor, hallaremos la
e
velocidad de escape de la Tierra:
ve =
2 · 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
= 11177, 8 m/s
6, 374 · 106
30.c.- Para calcular la fuerza de atracci´n entre los dos astros, debemos conocer la
o
distancia entre sus centros, que obtenemos aplicando la tercera ley de Kepler:
T2 =
4π 2 r 3
GMT

31. 1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
31
Despejando r, tendremos:
r=
3
(28 · 86400)26, 67 cot 10−11 · 5, 97 · 1024
= 3, 89 · 108 m
2
4π
Con lo que, finalmente:
F =
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 7, 35 · 1022
=
= 1, 93 · 1020 N
2
8 )2
r
(3, 89 · 10
31.- La poblaci´n mundial es de 7000 millones de habitantes. Considera que la masa media
o
de una persona es de 50 kg. Calcula:
31.a.- El peso del conjunto de todos los habitantes del planeta.
31.b.- La fuerza gravitatoria entre dos personas distanciadas 1 m.
31.c.- La energ´ gravitatoria entre esas dos mismas personas.
ıa
Soluci´n:
o
31.a.- El peso total ser´: P = mg = 7·109 · 50 · 9, 8 = 3,43·1012 N
a
31.b.- La fuerza gravitatoria entre dos personas situadas una a 1 m de la otra, ser´
a
F =
6, 67 · 10−11 · 50 · 50
= 1, 67 · 10−7 N
12
31.c.- La energ´ una persona debido a la otra ser´:
ıa
a
U =−
6, 67 · 10−11 · 50 · 50
GMm
=
= 1, 67 · 10−7 J
r
1
32.- El rover Curiosity lleg´ a Marte el pasado mes de Agosto y todav´ se encueno
ıa
tra alli explorando su superficie. Es un veh´
ıculo de la misi´n Mars Science Laboo
ratory, un proyecto de la NASA para estudiar la habitabilidad del planeta vecino
(http://mars.jpl.nasa.gov/msl/). La masa del Curiosity es de 899 kg, y se encuentra
sobre la superficie de Marte. Calcula:
32.a.- La velocidad de escape de Marte.
32.b.- Cu´nto pesa el Curiosity en la Tierra y en Marte.
a
32.c.- Cu´ntos dias terrestres deben transcurrir para que el Curiosity complete una
a
vuelta alrededor del Sol.

32. ´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA
32
Datos: G = 6,67·10−11 N· m2 · kg −2 ; masa de Marte = 6,42·1023 kg; radio de Marte
= 3396 km; radio orbital medio de Marte = 2,28·108 km; masa del Sol = 1,989·1030
kg
Soluci´n:
o
32.a.- La velocidad de escape es:
v=
2 · 6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 1023
= 5021, 83 m/s
3, 396 · 106
2GM
=
r
32.b.- Los respectivos pesos en la Tierra y en Marte son:
P (T ierra) = 899 · 9, 8 = 8810, 2 N
P (Marte) =
6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 1023 · 899
GMm
=
= 3338 N
r2
(3, 396 · 106 )2
32.c.- El periodo ser´ el mismo que el de Marte. Aplicando la tercera ley de Kepler,
a
tendremos:
T =
4π 2 r 3
=
GM
4π 2 (2, 28 · 1011 )3
= 5, 94 · 107 s
6, 67 · 10−11 · 1, 989 · 1030
Que equivalen a:
5, 94 · 107
ıas
T =
= 687, 5 d´
86400
33.- Un escalador de 70 kg asciende a la cima del Everest, cuya altura es de 8848 m.
Calcula:
33.a.- El peso del escalador en la superficie terrestre.
33.b.- El valor de la gravedad en lo alto del Everest.
33.c.- El momento angular del escalador respecto al centro de la Tierra, considerando
que aquel rota con la Tierra.
Datos: G = 6, 67 · 10−11 N·m2 /kg2
Soluci´n:
o
33.a.- El peso ser´: P = mg =
a
GMm
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 70
=
= 686, 72 N
r2
(6, 371 · 106 )2

33. 33
1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
33.b.- La gravedad en lo alto del Everest ser´:
a
g=
GM
6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024
=
= 9, 78 m/s2
2
6 + 8, 848 · 103 )2
r
(6, 371 · 10
33.c.- El momento angular del escalador, referido al centro de la Tierra; ser´:
a
→
−
→ mv
→
| L |=| − || − | sen 90o
r
La velocidad ser´ la de giro de la Tierra, es decir:
a
v=ωr=
2π
(6, 371 · 106 + 8, 848 · 103 ) = 463, 96 m/s
86400
Por tanto, el momento angular ser´:
a
(6, 371 · 106 + 8, 848 · 103 ) 70 · 463, 96 = 2, 072 · 1011 ; kg · m2 · s−1

34. 34
´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA

35. Cap´
ıtulo 2
Vibraciones y ondas
2.1.
Conceptos previos.
Ecuaci´n del movimiento arm´nico simple: La ecuaci´n de un movimiento
o
o
o
arm´nico simple puede ser expresada por cualquiera de las siguientes expresiones:
o
y = A sen(ω t + φ0 )
o bien
y = A cos(ω t + φ0 )
Siendo y la elongaci´n, A la amplitud, ω = 2πν la pulsaci´n, y φ0 la fase inicial
o
o
Velocidad y aceleraci´n de un MAS: La velocidad se obtiene derivando cualo
quiera de las expresiones de y se˜ aladas anteriormente. Por ejemplo, si derivamos la
n
primera de ellas, tendremos:
v=
dy
= Aω cos(ω t + φ0 )
dt
La aceleraci´n ser´ la derivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir:
o
a
a=
dv
= −Aω 2 sen(ω t + φ0 )
dt
Esta ultima expresi´n de la aceleraci´n puede tambi´n ser escrita como: A = −ω 2 x
´
o
o
e
Din´mica de un MAS: Si consideramos el caso de un resorte en cuyo extremo
a
libre se sujeta una masa m, teniendo en cuenta la Ley de Hooke:F = −Kx y que la
aceleraci´n es la segunda derivada de x respecto al tiempo, tendremos la siguiente
o
expresi´n:
o
d2 x
d2 x
o
F = ma ⇒ −kx + m 2 lo que da lugar a la ecuaci´n diferencial: m 2 + Kx = 0
dt
dt
una de cuyas soluciones es: x = A sen(ω t + φ0 ), siendo: ω =
35
K
.
m

36. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
36
Energ´ de un MAS: Teniendo en cuenta que la energ´ de un MAS es la suma
ıa
ıa
de las energ´ cin´tica y potencial, siendo:
ıas
e
1
1
Ec = mv 2 = mA2 ω 2 cos2 (ωt + φ0 )
2
2
La energ´ potencial se calcula a partir de:
ıa
x
W =
0
1
1
x2
= −U, por lo que U = Kx2 = KA2 sen2 (ωt + φ0 )
−Kxdx = −K
2
2
2
Teniendo en cuenta que K=mω 2 , la energ´ cin´tica quedar´ de la forma:
ıa
e
a
1
KA2 cos2 (ωt + φ0 )
2
Sumando las expresiones de energ´ cin´tica y energ´ potencial, tendremos:
ıa
e
ıa
1
1
E = KA2 [(sen2 (ωt + φ0 ) + cos2 (ωt + φ0 )] = KA2
2
2
Ecuaci´n de una onda: La ecuaci´n general de un movimiento ondulatorio es la
o
o
siguiente:
y = A sen(ωt ± kx)
Siendo y la elongaci´n, A la amplitud, ω la pulsaci´n y k el n´ mero de ondas, cuyo
o
o
u
2π
valor es
.El sumando kx llevar´ signo negativo o positivo cuando el movimiento
a
λ
ondulatorio se propague en el sentido positivo o negativo, respectivamente, del eje x.
Velocidad de propagaci´n y velocidad de vibraci´n: La velocidad de propao
o
gaci´n de una onda es constante, y aparece en la expresi´n del n´ mero de ondas. En
o
o
u
2π
2π
ω
efecto, k =
=
= , siendo v la velocidad de propagaci´n
o
λ
vT
v
La velocidad de vibraci´n viene dada por la derivada de y respecto a t, es decir:
o
vv =
dy
= Aω cos(ωt ± kx)
dt
Como vemos, la velocidad de vibraci´n depende tanto del tiempo, como de la posici´n.
o
o
Principio de superposici´n. Interferencia: Cuando un medio est´ sometido
o
a
a mas de un movimiento ondulatorio, la elongaci´n de un punto de dicho medio
o
vendr´ dado por la suma de las elongaciones debidas a cada uno de los movimientos
a
ondulatorios, lo que constituye el Principio de Superposici´n. Aplicando dicho prino
cipio a la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y frecuencia, obtendremos
para la amplitud resultante el valor:
Ar = 2A cos
k(x2 − x1 )
π(x2 − x1 )
= 2A cos
2
λ

37. 37
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
Donde, como puede verse, la amplitud resultante de la onda obtenida por interferencia
de otras dos depende de la diferencia de caminos seguidos por aquellas, adem´s de
a
su amplitud y su longitud de onda.
Si hallamos la amplitud resultante, no ya en funci´n de la diferencia de caminos, sino
o
en funci´n de la diferencia de fase, φ, tendremos, mediante un tratamiento semejante
o
al anterior:
φ
Ar = 2A cos
2
Ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los dos extremos: Si suponemos una cuerda sujeta por los dos extremos y, a trav´s de ella se propaga un
e
movimiento ondulatorio, al llegar ´ste a uno de los extremos, se refleja, produci´ndose
e
e
la interferencia de ambos movimientos ondulatorios, siendo el resultado el siguiente:
y = 2A cos ωt sen kx
Aquellos puntos donde la elongaci´n sea nula para cualquier valor del tiempo se
o
denominan nodos. En funci´n del n´ mero de ´stos, se pueden obtener las expresiones
o
u
e
de la longitud de onda y la frecuencia de una onda estacionaria:
λ=
2L
n−1
y
ν=
(n − 1)v
2L
Siendo L la longitud, n el n´ mero de nodos y v la velocidad de propagaci´n.
u
o
2.2.
Problemas resueltos.
1.- Una onda en una cuerda viene dada por la ecuaci´n: y(x, t) = 0, 2 sen(πx) cos(100πt)m
o
donde x est´ comprendido entre 0 y 6 metros. Calcular:
a
1.a.- La longitud de onda y la frecuencia angular de la onda.
1.b.- El n´ mero total de nodos (incluidos los extremos).
u
1.c.- La velocidad de propagaci´n de las ondas en la cuerda.
o
Soluci´n:
o
1.a.- La forma general de la ecuaci´n que describe una onda estacionaria es:
o
y = 2A cos ωt sen kx
De aqu´ se puede deducir que:
ı
ω = 100π s−1 y λ =
2π
2π
=
=2m
k
π

38. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
38
1.b.- Al estar la cuerda sujeta por los dos extremos, tendremos que:
equationλ =
2L
n−1
Siendo n el n´ mero de nodos. Por lo tanto:
u
2=
1.c.- Puesto que k =
6
6
⇒n= +1=4
n−1
2
2π
ω
ω
100π
2π
=
= tendremos que v = =
= 100 m/s
λ
vT
v
k
π
2.- Una onda se propaga por una cuerda seg´ n la ecuaci´n: y(x, t) = 0, 2 sen(100t − 4x)
u
o
en unidades del S.I. Determinar:
2.a.- El per´
ıodo y la longitud de onda.
2.b.- La velocidad de propagaci´n de la onda en la cuerda.
o
2.c.- La velocidad del punto x = 2 en el instante t = 10 s.
Soluci´n:
o
2.a.- Comparando con la ecuaci´n general:
o
y = A sen(ωt − kx)
Tendremos que ω =
2π
2π
2π
⇒T =
=
= 0, 2π s
T
ω
100
2π
2π
2π
π
⇒λ=
=
= m
λ
k
4
2
2π
ω
2.b.- Si tenemos en cuenta que k =
= , despejando nos queda:
λ
v
k=
v=
100
ω
=
= 25 m/s
k
4
2.c.- Para calcular la velocidad de un punto en un instante dado, debemos derivar y
con respecto al tiempo, de forma que:
v=
dy
= 0, 2 · 100 cos(100t − 4x)
dt
Sustituyendo los valores de x y t, nos queda:
v = 20 cos(1000 − 8) = 14, 72 m/s

39. 39
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
3.- Una part´
ıcula de 2 kg de masa est´ sujeta al extremo de un muelle y se mueve de
a
acuerdo con la ecuaci´n: x(t) = 2 cos(10t) m. Calcular las siguientes magnitudes.
o
3.a.- El per´
ıodo del movimiento.
3.b.- La constante de fuerza (cociente entre la fuerza y el desplazamiento) de la fuerza
que act´ a sobre la part´
u
ıcula.
3.c.- La energ´ total de la part´
ıa
ıcula.
Soluci´n:
o
3.a.- La ecuaci´n del MAS viene dada por:
o
x = A sen(ωt + φ0 )
o bien por:
x = A cos(ωt + φ0 )
2π
Por lo cual, tendremos que: ω =
= 10 y T = colorred0, 2π s
T
K
K
, tendremos que: 10 =
⇒ K = 200 N/m
3.b.- Puesto que ω =
m
2
3.c.- La energ´ de un MAS viene dada por:
ıa
1
E = KA2
2
Por tanto, E =
1
200 · 22 = 400 J
2
4.- En una cuerda de 2 metros de longitud sujeta por sus dos extremos se producen
ondas estacionarias correspondientes al modo fundamental. La amplitud de dichas
ondas en el punto medio de la cuerda es de 0,1 m y la velocidad de propagaci´n
o
de las ondas en la cuerda es de 4 m/s. Encontrar los siguientes par´metros de la
a
mencionada onda estacionaria:
4.a.- La longitud de onda.
4.b.- La frecuencia.
4.c.- La ecuaci´n de ondas que la describe ( suponer la cuerda en el eje x y la vibraci´n
o
o
de la onda en el eje y).
Soluci´n:
o
4.a.- Utilizando la expresi´n que relaciona la longitud de onda con la longitud de la
o
2L
=2·2= 4 m
cuerda y el n´ mero de nodos, tendremos que: λ =
u
n−1
(n − 1)v
4
4.b.- La frecuencia viene dada por la expresi´n: ν =
o
=
= 1Hz
2L
2·2

40. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
40
π
4.c.- La ecuaci´n que describe la onda es: y = 0, 1 cos 2πt sen x
o
2
5.- Un muelle sujeto a una pared por un extremo se estira 2 cm cuando le aplicamos una
fuerza de 10 N en el otro extremo.
5.a.- Determinar la constante del muelle.
5.b.- ¿ Con qu´ frecuencia angular oscila una masa de 0,05 kg sujeta a un extremo
e
de dicho muelle?
5.c.- ¿Qu´ energ´ posee dicha masa si oscila con una amplitud de 10 cm?
e
ıa
Soluci´n:
o
5.a.- Teniendo en cuenta que F − Kx = 0, tendremos que: 10 = K · 0, 02
de donde: K = 500 N/m
5.b.- Puesto que la pulsaci´n viene expresada por: ω =
o
ω=
K
, tendremos que:
m
500
= 100 s−1
0, 05
1
5.c.- La energ´ de un MAS viene expresado por la expresi´n E = KA2 . Por lo
ıa
o
2
tanto:
1
E = 500 · 0, 12 = 2, 5 J
2
6.- Un altavoz emite ondas sonoras esf´ricas con una frecuencia de 1000 Hz y una poe
tencia de 40 W. Determinar:
6.a.- La longitud de onda del sonido.
6.b.- La intensidad sonora a 4 metros del altavoz.
6.c.- El nivel de intensidad sonora a 4 metros del altavoz.
Soluci´n:
o
6.a.- Puesto que la velocidad de propagaci´n es de 340 m/s, la longitud de onda se
o
calcula de la forma:
340
v
= 0, 34 m
λ= =
ν
1000
6.b.- La intensidad se obtiene mediante la expresi´n:
o
I=
Por tanto, I =
dE
P
=
Sdt
S
40
40
=
= 0, 199 w/m2
2
4πr
4π · 16

41. 41
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
6.c.- El nivel de intensidad se halla a partir de la expresi´n:
o
β = 10 log
I
I0
Con I0 = 10−12 w/m2 , de donde se obtiene que
β = 10 log 0, 199 · 1012 = 112, 99 dB
7.- Una fuente sonora de 100 W de potencia emite ondas esf´ricas.
e
7.a.- ¿Qu´ energ´ habr´ emitido en una hora?
e
ıa
a
7.b.- ¿Cu´l es la intensidad sonora a 2 metros de la fuente?
a
7.c.- ¿Cu´l es el nivel de intensidad (en decibelios) a 2 metros de la fuente?
a
Soluci´n:
o
7.a.- La energ´ emitida se obtiene a partir de P =
ıa
E
, por lo que:
t
E = P · t = 100 · 3600 = 360000 J
7.b.- A 2 m de la fuente, y aplicando la expresi´n:I =
o
I=
P
, tendremos:
S
100
= 1, 99 w/m2
4π · 22
7.c.- , tendremos β = 10 log 1, 99 · 1012 = 122, 99 dB
8.- Una onda cuya frecuencia es de 30 Hz se desplaza por una cuerda situada a lo largo
del eje x. La onda oscila en una direcci´n z con una amplitud de 20 cm. La velocidad
o
de las ondas en la cuerda es de 120 m/s y la densidad lineal de ´sta es de 60 g/m.
e
Encontrar:
8.a.- La longitud de onda.
8.b.- La ecuaci´n de la onda ( es decir, el desplazamiento en funci´n de la posici´n y
o
o
o
el tiempo).
8.c.- La energ´ por unidad de longitud.
ıa
Soluci´n:
o
8.a.- Conociendo la frecuencia de la onda y su velocidad, la longitud de onda se
120
v
=4m
obtiene de la forma: λ = =
ν
30

42. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
42
8.b.- Aplicando la ecuaci´n general de la onda, siendo A =0,20 m; ω = 2πν = 60 Hz
o
π −1
2π
= m , por lo que la ecuaci´n quedar´ de la forma:
o
a
yk=
λ
2
z = 0, 2 sen 60πt −
π
x
2
8.c.- Para obtener la energ´ por unidad de longitud, partimos de la energ´ de un
ıa
ıa
MAS:
1
1
E = KA2 = mω 2 A2 = 2σLπ 2 ν 2 A2
2
2
Donde σ es la densidad lineal. Por tanto, la energ´ por unidad de longitud ser´:
ıa
a
E
= 2σLπ 2 ν 2 A2
l
Sustituyendo, tendremos:
E
= 2 · 60 · 10−3 · π 2 · 302 · 0, 22 = 42, 63 J/m
L
9.- Una fuente sonora emite a 200 Hz en el aire. El sonido se tramite luego a un l´
ıquido
con una velocidad de propagaci´n de 1500 m/s. Calcular:
o
9.a.- La longitud de onda del sonido en el aire.
9.b.- El per´
ıodo del sonido en el aire.
9.c.- La longitud de onda del sonido en el l´
ıquido.
Soluci´n:
o
9.a.- La longitud de onda es λ =
v
340
=
= 1, 7 m
ν
200
1
= 0, 005 s
ν
1500
9.c.- Al cambiar de medio, la frecuencia no var´ por lo cual:λ =
ıa,
= 7, 5 m
200
9.b.- El periodo es la inversa de la frecuencia, es decir: T =
10.- Una onda de 50 Hz en una cuerda se desplaza en el sentido negativo del eje y y oscila
en la direcci´n z con una amplitud de 15 cm. La velocidad de propagaci´n de las
o
o
ondas en la cuerda es de 150 m/s y la densidad lineal de ´sta es de 80 g/cm. Hallar:
e
10.a.- La longitud de onda.
10.b.- La ecuaci´n de la onda (es decir, el desplazamiento en funci´n de la posici´n y
o
o
o
el tiempo).
10.c.- La energ´ por unidad de longitud de la onda en la cuerda.
ıa
Soluci´n:
o

43. 43
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
v
150
=
=3m
ν
50
10.b.- Aplicando la ecuaci´n de la onda, donde A = 0,15 m; ω = 2π · 50 = 100 π s−1
o
2π
2π −1
yk=
=
m , la ecuaci´n pedida quedar´ as´
o
a ı:
λ
3
10.a.- Para hallar la longitud de onda, tendremos que λ =
z = 0, 15 sen 100πt +
2πy
3
m
10.c.- Partiendo de la energ´ de un MAS se llega a la ecuaci´n obtenida en el apartado
ıa
o
c) del problema 8. Por tanto:
E
= 2σπ 2 ν 2 A2 = 2 · 8 · π 2 · 502 · 0, 152 = 8882, 6 J/m
L
11.- Una onda en una cuerda de 0,01 kg /m de densidad lineal viene dada por la ecuaci´n:
o
y(x, t) = 0, 2 sen(πx + 100πt) m. Calcule:
11.a.- La frecuencia de la onda.
11.b.- La velocidad de propagaci´n de las ondas en la cuerda.
o
11.c.- La potencia que transporta la onda.
Soluci´n:
o
100π
ω
=
= 50 Hz
2π
2π
ω
100
ω
de donde v =
=
=
11.b.- La velocidad de propagaci´n se obtiene de k =
o
v
k
π
100 m/s
11.a.- La frecuencia se obtiene de la expresi´n ν =
o
11.c.- La potencia transportada es la energ´ por unidad de tiempo. Como se ha visto
ıa
en el problema 8, E = 2σLπ 2 ν 2 A2 , siendo la potencia:
E
2σLπ 2 ν 2 A2
P =
=
= 2σπ 2 ν 2 A2 = 1973, 92 w
t
L
12.- Una cuerda de 2 m de longitud oscila con sus dos extremos fijos en un modo con dos
nodos internos. La frecuencia de oscilaci´n es de 100 Hz y la amplitud m´xima es de
o
a
5 cm. Determine:
12.a.- La longitud de onda de la onda en la cuerda.
12.b.- La longitud de onda del sonido producido por la cuerda.
12.c.- La velocidad m´xima del punto en el centro de la cuerda.
a

44. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
44
Soluci´n:
o
12.a.- La longitud de onda para una onda estacionaria, viene dada por la expresi´n:
o
λ=
2L
n−1
Puesto que el n´ mero de nodos (incluyendo los extremos) es cuatro:
u
λ=
4
= 1, 33 m
3
12.b.- La frecuencia no var´ al cambiar de medio, por lo que la longitud de onda del
ıa
sonido ser´:
a
340
v
= 3, 4 m
λ= =
ν
100
12.c.- La ecuaci´n de una onda estacionaria en una cuerda sujeta por los dos extremos
o
2π
= 1, 5π, y 2A = 0, 05, con lo
es y = 2A cos ωt sen kx, siendo ω = 200π,k =
λ
cual:
y = 0, 05 cos 200πt sen 1, 5πx
La velocidad es la derivada de y respecto a t, por lo que:
v=
dy
= −0, 05 · 200π sen 200πt sen 1, 5πx
dt
En el centro de la cuerda, y = 1 m, con lo cual, sen 1, 5π = −1, qued´ndonos
a
entonces la velocidad m´xima en la forma:
a
vmax = −0, 05 · 200π(−1) = 10π m/s)
(Puesto que, para que la velocidad sea m´xima, deber´ cumplirse: sen ωt = 1)
a
a
13.- Una cuerda oscila con sus dos extremos fijos en un modo con dos nodos internos y
una longitud de onda de 40 cm. La frecuencia de oscilaci´n es de 100 Hz. Determine:
o
13.a.- La longitud de la cuerda.
13.b.- La velocidad de propagaci´n de las ondas en la cuerda.
o
13.c.- La longitud de onda del sonido producido por la cuerda.
Soluci´n:
o
13.a.- Aplicando la expresi´n λ =
o
L=
2L
y despejando, tendremos:
n−1
0, 4 · 3
λ(n − 1)
=
= 0, 6 m
2
2

45. 45
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
13.b.- Puesto que λ =
v
, la velocidad ser´:
a
ν
v = λν = 0, 4 · 100 = 40 m/s
13.c.- Al no producirse variaci´n de la frecuencia, tendremos:
o
λ=
v
340
=
= 3, 4 m
ν
100
14.- Una cuerda de 40 cm con sus dos extremos fijos oscila en su modo fundamental con
una frecuencia angular de 100 rad/s. El punto central de la cuerda oscila con una
amplitud de 2 cm. Calcule:
14.a.- La velocidad m´xima del punto central de la cuerda.
a
14.b.- La amplitud de oscilaci´n de un punto de la cuerda situado a 10 cm de uno de
o
sus extremos.
14.c.- La longitud de onda del sonido producido por la cuerda.
Soluci´n:
o
14.a.- La expresi´n de la velocidad de vibraci´n es la misma que se ha obtenido en el
o
o
problema 12, es decir:
v = −2Aω sen ωt sen kx
La velocidad m´xima ser´ vmax = 2Aω sen kx. Sustituyendo x por 0,2, nos
a
a
queda:
vmax = 0, 02 · 100 sen 2, 5π · 0, 2 = 2 m/s
14.b.- Para hallar la amplitud resultante, deberemos conocer previamente el valor de λ
y el de k. Teniendo en cuenta que el n´ mero total de nodos es de dos,tendremos:
u
2π
0, 8
= 0, 8 y k =
= 2, 5π. La amplitud de oscilaci´n en un punto viene
o
λ=
1
λ
expresada por:
Ar = 2A sen kx
Sustituyendo x por 0,1 queda:
Ar = 0, 02 sen 2, 5π · 0, 1 = 0, 014 m
(El mismo resultado se obtendr´ sustituyendo x por 0,3 m, ya que en ambos
ıa
casos, la distancia a uno de los extremos es de 0,1 m)

46. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
46
14.c.- La longitud de onda del sonido es:
λ=
340
v
=
= 6, 8π m
100
ν
2π
(Hay que tener en cuenta que el dato que nos da el problema es la frecuencia
angular o pulsaci´n, que no conviene confundir con la frecuencia.)
o
15.- Una part´
ıcula de 0,2 kg est´ sujeta al extremo de un muelle y oscila con una velocidad
a
dada por v(t) = 2 sen(2t)m/s, donde el tiempo se mide en segundos y los angulos en
´
radianes. En el instante inicial, dicha part´
ıcula se encuentra en el origen. Calcule las
siguientes magnitudes de la part´
ıcula:
15.a.- Posici´n en t = π /2 s.
o
15.b.- Energ´ total.
ıa
15.c.- Energ´ potencial en t = π /8 s.
ıa
Soluci´n:
o
15.a.- El valor de la posici´n se obtiene de la siguiente forma:
o
t
x(t) =
0
Para t =
π
,
2
x = 1 − cos
2 sen 2t dt = [− cos 2t]t = 1 − cos 2t
0
2π
=2m
2
1
15.b.- La energ´ es E = KA2 . Puesto que ω = 2, k = mω 2 = 0, 2 · 4 = 0, 8 N/m, y
ıa
2
la energ´ ser´:
ıa
a
1
E = 0, 8 · 12 = 0, 4 J
2
15.c.- La energ´ potencial viene dada por:
ıa
1
π
1
U = Kx2 = 0, 8
2
2
8
2
= 0, 062 J
16.- Una cuerda de 60 cm con sus dos extremos fijos oscila en un modo con dos nodos
internos y una frecuencia de 200 Hz. El punto central de la cuerda oscila con una
amplitud de 2 cm. Calcule:
16.a.- La velocidad de propagaci´n de las ondas en la cuerda.
o
16.b.- La velocidad m´xima en el punto central de la cuerda.
a
16.c.- La amplitud de oscilaci´n de un punto de la cuerda situado a 5 cm de uno de
o
sus extremos.

47. 47
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
Soluci´n:
o
16.a.- La velocidad se despeja a partir de la expresi´n de la longitud de onda, valor
o
1, 2
2L
=
= 0, 4 m:
que se calcula previamente mediante la expresi´n λ =
o
n−1
3
λ=
v
⇒ v = λν = 0, 4 · 200 = 80 m/s
ν
16.b.- El punto central corresponde a un antinodo, por lo que la velocidad de dicho
punto ser´:
a
v = 2Aω = 0, 2 · 400π = 8π m/s
16.c.- La amplitud en un punto situado a 5 cm de uno de sus extremos (por lo cual
2π
= 5π. Con todo ello,
x=0,05 m o x=0,55 m)es Ar = 2A sen kx, siendo k =
λ
tendremos:
Ar = 0, 02 sen 5π · 0, 05 = 0, 014 m
17.- Una masa de 3 kg sujeta al extremo de un muelle oscila seg´ n la ecuaci´n x(t) =
u
o
5 cos(2t) cm, en donde t se expresa en segundos. Calcule:
17.a.- El per´
ıodo del movimiento.
17.b.- La constante del muelle
17.c.- La energ´ total de la masa.
ıa
Soluci´n:
o
17.a.- Puesto que ω = 2 y ω =
2π
, el periodo ser´:
a
T
T =
2π
=π s
2
17.b.- La constante del muelle es K = mω 2 = 3 · 22 = 12 N/m
17.c.- La energ´ total de la masa ser´:
ıa
a
1
1
E = KA2 = 12 · 0, 052 = 0, 015 J
2
2
18.- La cuerda Mi de un viol´ vibra a 659.26 Hz en el modo fundamental. La cuerda
ın
tiene una longitud de 32 cm.

48. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
48
18.a.- Obtenga el per´
ıodo de la nota Mi y la velocidad de las ondas en la cuerda.
18.b.- ¿En qu´ posici´n (refi´rala a cualquiera de los dos extremos) se debe presionar
e
o
e
la cuerda para producir la nota Fa, de 698.46 Hz de frecuencia?
18.c.- Si se produce con el viol´ un sonido de 10−4 W de potencia, calcule la distancia
ın
a la que habr´ que situarse para escucharlo con un nivel de intensidad de 50
ıa
db.
Soluci´n:
o
18.a.- Al tratarse de la frecuencia fundamental, la longitud de onda ser´:
a
λ = 2L = 0, 64 m
mientras que la velocidad de las ondas en la cuerda se deducir´ de:
a
ν0 =
v
v
⇒ 695, 26 =
2L
2 · 0, 32
v = 421, 92 m/s
18.b.- Puesto que la velocidad de las ondas en la cuerda s´lo depender´ de la tensi´n
o
a
o
de la misma y de su densidad lineal, el valor que hemos calculado en el apartado
anterior seguir´ siendo v´lido. As´ pues:
a
a
ı
698, 46 =
421, 9
⇒ L′ = 0, 302 m
2L′
por lo que la cuerda deber´ ser presionada a una distancia x=0,32-0,302=0,018m
a
de cualquiera de los extremos.
18.c.- Dada la expresi´n que nos permite calcular el nivel de intensidad:
o
β = 10 log
I
I0
tendremos que 50 = 10 log
I
10−12
de donde se obtiene una intensidad de 10−7 W/m2 . Aplicando este valor a la
expresi´n que nos da la intensidad:
o
I=
P
10−4
⇒ 10−7 =
;r =
S
4πr 2
103
= 8, 92 m
4π
19.- Una emisora de FM emite ondas de 108 MHz con una potencia de 20 W. Calcule:
19.a.- El per´
ıodo y la longitud de onda de la radiaci´n.
o
19.b.- La intensidad de las ondas a 3 km de distancia de la emisora.
19.c.- El n´ mero de fotones emitidos por la antena durante una hora.
u
Soluci´n:
o

49. 49
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
19.a.- El periodo de la radiaci´n ser´:
o
a
3 · 108
1
c
−9
= 9, 26·10 s y la longitud de onda: λ = =
= 2, 78 m
T =
1, 08 · 108
ν
1, 08 · 108
19.b.- La intensidad de las ondas a 3 km de distancia, ser´:
a
I=
20
P
=
= 1, 77 · 10−7 W/m2
2
S
4π3000
19.c.- La energ´ de cada fot´n es: E=hν = 6, 63 · 10−34 · 1, 08 · 108 = 7, 16 · 10−26 J.
ıa
o
Sabiendo que la potencia es de 20 W (20 J/s), podremos poner:
20 = n · 7, 16 · 10−26
con lo que el n´ mero de fotones emitidos por segundo ser´:
u
a
n=
20
= 2, 79 · 1026
−26
7, 16 · 10
y el n´ mero de fotones emitidos en una hora ser´ N =2, 79 · 1026 · 3600 = 1030
u
a
20.- Hacemos un p´ndulo con una masa de 0.5 kg suspendida de un hilo de 20 cm de
e
longitud. Desplazamos la masa un ´ngulo de 10o respecto a su posici´n de equilibrio
a
o
y la dejamos oscilar.
20.a.- Calcule el per´
ıodo de oscilaci´n.
o
20.b.- Calcule la velocidad de la masa en el punto m´s bajo.
a
20.c.- Halle la expresi´n de la energ´ cin´tica de la masa en funci´n del tiempo.
o
ıa
e
o
Soluci´n:
o
20.a.- El periodo de obtiene de la expresi´n:
o
T = 2π
l
= 2π
g
0, 2
= 0, 898 s
9, 8
20.b.- Aplicando el principio de conservaci´n de la energ´
o
ıa:
1
mgh + 0 = mv 2 + 0
2
Para resolver este apartado, debemos calcular la altura a la que se encuentra
la masa del p´ndulo en la situaci´n inicial, lo que podemos ver en la siguiente
e
o
representaci´n gr´fica:
o
a

50. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
50
0,2 m
0,2 cos 10 m
h
Obteni´ndose h = 0,2(1-cos 10o ). As´ pues:
e
ı
1
m · g · 0, 2(1 − cos 10o ) = 0, 2v 2 ⇒ v = 2, 44 m/s
2
1
20.c.- Para obtener la energ´ cin´tica, 2 mv 2 , debemos obtener la velocidad. Teniendo
ıa
e
en cuenta que v = dx y que x = A sen(ωt + ϕ0 ). Sabiendo que para t = 0, la
dt
elongaxi´n x = A, podremos poner:
o
A = A sen ϕ con lo cual ϕ = π/2
Derivando, tendremos:
1
v = A ω cos(ωt + π/2) = −A ω sen(ωt) y Ec = mA2 ω 2 sen2 (ω t)
2
La amplitud se despeja de A = 0, 2 sen 10o = 0, 0347 m. La pulsaci´n ser´,
o
a
2π
−1
ω=
= 6, 996 (≃ 7s ), por lo que:
T
1
Ec = 0, 5 · 0, 03472 · 72 sen2 (ωt) = 0, 0147 sen2 (ωt)
2
21.- La cuerda Mi de una guitarra tiene una longitud de 65 cm y emite una frecuencia de
329.63 Hz en el modo fundamental.
21.a.- Calcule la velocidad de las ondas en la cuerda.
21.b.- ¿En qu´ punto (refi´ralo a cualquiera de los dos extremos) se debe presionar la
e
e
cuerda para producir la nota Sol, de 392 Hz frecuencia.
21.c.- Si se produce con la guitarra un sonido de 10−6 W de potencia, calcule la
distancia a la que habr´ que situarse para escucharlo con un nivel de intensidad
ıa
de 60 db. Dato: I0 = 10−12 W/m2
Soluci´n:
o
21.a.- La frecuencia fundamental dde una cuerda tiene la expresi´n:
o
v
ν=
2L
por lo que sustituyendo valores obtendremos v = 2L·ν = 329, 63 · 2 · 0, 65 =
428, 52 m/s

51. 51
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
21.b.- Para que la frecuencia sea de 392 Hz, deber´ cumplirse que:
a
392 =
428, 52
2L′
por lo que despejando obtenemos L′ = 0, 55 m. La distancia de un extremo a la
que debe pulsarse la cuerda ser´: x = 0,65-0,55 = 0, 1 m
a
21.c.- El nivel de intensidad viene dado por la expresi´n:
o
β = 10 log
I
10−12
por lo que 60 = 10
I
10−12
despejando, obtenemos una intensidad I = 10−6 W/m2
P
Aplicando ahora la ecuaci´n I =
o
y sustituyendo I por 10−6 W/m2 , P por
4πr 2
10−6 W y despejando r tendremos:
r=
1
= 0, 28 m
4π
22.- Un muelle de masa despreciable, suspendido de su extremo superior, mide 11.5 cm.
Al colgar una masa de 300 g en el extremo libre, el muelle se estira hasta una posici´n
o
de equilibrio en la cual su nueva longitud es de 23.5 cm.
22.a.- Calcula la constante el´stica del muelle a partir de la deformaci´n descrita.
a
o
22.b.- Empujamos la masa 5 cm hacia arriba comprimiendo el muelle, y la soltamos.
Medimos 10 oscilaciones en 7 s. Determina la expresi´n para la posici´n de la
o
o
masa en funci´n del tiempo.
o
22.c.- Calcula de nuevo la constante del muelle a partir del valor del per´
ıodo de oscilaci´n. Halla el valor de la energ´ total de la masa mientras oscila.
o
ıa
Soluci´n:
o
22.a.- El alargamiento que se produce al colgar la masa ser´: ∆x = 23,5 - 11,5 = 12
a
cm. Teniendo en cuenta la ley de Hooke, tendremos: mg = Kx, con lo que 0,3·9,8
= K·0,12 y K = 24, 5 Kg/m
22.b.- El periodo de oscilaci´n ser´ 7/10 s, con lo que la pulsaci´n ser´ ω = 2π ·
o
a
o
a
10/7 = 20π/7. La expresi´n que nos da la posici´n de la masa en funci´n del
o
o
o
tiempo es (suponiendo que para un tiempo cero la elongaci´n sea nula): x =
o
0, 05 sen(20π/7)t
22.c.- La constante del muelle se puede obtener a partir de la expresi´n:
o
ω=
K
m

52. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
52
si sustituimos ω por 20π/7, tendremos que:
20π
=
7
K
por lo que K =
0, 3
20π
7
2
· 0, 3 = 24, 17 N/m
La energ´ total de la masa mientras oscila ser´:
ıa
a
E=
1
KA2 = 0, 03 J
2
23.- Una soprano cuya voz est´ en el intervalo de frecuencias 247-1056 Hz, da un grito
a
que registra un nivel de 80 dB a una distancia 10 m. Calcula:
23.a.- La longitud de onda del sonido m´s agudo que es capaz de emitir.
a
23.b.- La potencia del sonido emitido en el grito.
23.c.- El nivel de intensidad ac´ stica del mismo grito registrado a 1 m de distancia.
u
Dato: I0 = 10−12 W/m2
Soluci´n:
o
23.a.- La longitud de onda del sonido m´s agudo (mayor frecuencia) ser´:
a
a
λ=
v
340
=
= 0, 32 m
ν
1056
23.b.- Para calcular la potencia, debemos calcular la intensidad emitida, de la forma:
80 = 10 log
I
10−12
lo que nos da un valor de 10−4 W/m2 . Sabiendo que la intensidad es el cociente
de la potencia entre el ´rea, tendremos:
a
10−4 =
lo que nos da: P = 0, 126 W
P
4π · 102
23.c.- A un metro de distancia, la intensidad ser´:
a
I′ =
0, 126
= 0, 01 W/m2
4π · 1
por lo que el nivel de intensidad ac´ stica a esa distancia ser´:
u
a
β = 10 log
10−2
= 100 dB
10−12

53. 53
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
24.- En un partido de la Copa de Sud´frica hab´ mil aficionados soplando simult´neaa
ıa
a
mente la vuvuzela. Suponemos que todos ellos se encontraban a 200 m del centro del
campo y que cada uno de ellos produc´ un sonido de 233 Hz y 0,1 W de potencia.
ıa
Calcula:
24.a.- La longitud de onda del sonido.
24.b.- La intensidad del sonido en el centro del campo, producida por un aficionado.
24.c.- El nivel de intensidad ac´ stica total (por los mil aficionados) registrado en el
u
centro del campo.
Soluci´n:
o
24.a.- La longitud de onda del sonido ser´:
a
λ=
340
v
=
= 1, 46 m
ν
233
24.b.- La intensidad viene dada por:
I=
0, 1
P
=
= 1, 97 · 10−7 W · m−2
2
S
4π · 200
24.c.- La intensidad total debida a los 1000 aficionados ser´: I = 1000·1, 99 · 10−7
a
2
−4
W/m , es decir 1,99·10 , siendo el nivel de intensidad:
β = 10 log
1, 99 · 10−4
= 83 dB
10−12
25.- Por una cuerda se propaga una onda a 2 m/s en la direcci´n del eje X. La amplitud
o
es de 10 cm y la frecuencia es de 20 Hz. En el origen de abscisas e instante inicial, la
elongaci´n de la cuerda es m´xima.
o
a
25.a.- Calcula la longitud de onda.
25.b.- Escribe la ecuaci´n de la elongaci´n de la cuerda en funci´n de x y de t.
o
o
o
25.c.- Determina la velocidad, seg´ n el eje Y, de un punto de la cuerda situado a 50
u
cm del origen en el instante t = 5 s.
Soluci´n:
o
25.a.- La longitud de onda es el cociente entre la velocidad y la frecuencia, es decir:
λ=
2
= 0, 1 m
20

54. CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
54
25.b.- La ecuaci´n que describe la elongaci´n de la cuerda en funci´n de x y de t tiene
o
o
o
la forma y = A sen (ω t - kx + φ0 ). A partir de los datos del problema, A =
0,1 m, ω = 2πν = 40π s−1 , k = ω/v = 20 π m−1 y ser y m´ximo para x = 0 y
a
t = 0, tendremos 0,1 = 0,1 sen φ0 , con lo que φ0 = π/2. As´ pues, la ecuaci´n
ı
o
quedar´ de la forma:
a
y = 0, 1 sen(40πt − 20πx + π/2)
25.c.- La velocidad seg´ n el eje Y viene dada por:
u
v=
dy
π
= 0, 1 · 40π · cos 40πt − 20πx +
dt
2
por lo que al sustituir x por 0,5 y t por 5, nos queda:
vy = 0, 1 · 40π · cos
200π − 10π +
π
2
= 0 m/s
26.- Una persona de 71,5 kg de masa se dispone a hacer puenting con una cuerda de
constante el´stica 100 N/m y cuya longitud es L = 20 m.
a
26.a.- Calcula la longitud de la cuerda cuando la persona se cuelga de ella y queda en
una posici´n de equilibrio.
o
26.b.- Obt´n el periodo de las oscilaciones arm´nicas que realiza la persona colgada
e
o
de la cuerda si se perturba su posici´n respecto al equilibrio.
o
26.c.- La persona se deja caer sin velocidad inicial desde un puente y desciende hasta
una distancia h = L + A, donde A es la elongaci´n m´xima de la cuerda.
o
a
Determina la distancia h.
(Toma el origen de energ´ potencial gravitaoria en el punto m´s bajo donde, por
ıa
a
tanto, s´lo habr´ energ´ potencial el´stica) Soluci´n:
o
a
ıa
a
o
26.a.- Teniendo en cuenta la expresi´n mg = kx, despejamos x de la forma:
o
x=
71, 5 · 9, 8
= 7 m con lo que L′ = L + 7 = 27 m
100
26.b.- A partir de la expresi´n:
o
T = 2π
m
= 2π
k
71, 5
= 5, 31 s
100

55. 55
2.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
26.c.- La energ´ que posee la persona en el punto m´s alto ser´ la energ´ potencial U
ıa
a
a
ıa
= mg(L+A), mientras que en el punto m´s bajo, la energ´ ser´, unicamente, la
a
ıa a ´
2
energ´ potencial el´stica de la cuerda, es decir, kA /2. Igualando estas energ´
ıa
a
ıas,
tendremos:
kA2
mg(L + A) =
2
obteni´ndose la ecuaci´n de segundo grado:
e
o
kA2 − 2mgA − 2mgL = 0
Sustituyendo L por 20 y resolviendo la ecuaci´n, se obtiene A = 25,15 m
o
27.- Un muelle de masa despreciable, suspendido de su extremo superior, mide 11,5 cm.
Al colgar una masa de 300 g en el extremo libre, el muelle se estira hasta una posici´n
o
de equilibrio en la cual su nueva longitud es de 23,5 cm.
27.a.- Calcula la constante el´stica del muelle a partir de la deformaci´n descrita.
a
o
27.b.- Empujamos la masa 5 cm hacia arriba comprimiendo el muelle, y la soltamos.
Medimos 10 oscilaciones en 7 segundos. Determina la expresi´n para la posici´n
o
o
de la masa en funci´n del tiempo.
o
27.c.- Calcula de nuevo la constante del muelle a partir del periodo de oscilaci´n. Halla
o
el valor de la energ´ total de la masa mientras oscila.
ıa
Soluci´n:
o
0, 3 · 9, 8
= 24, 5 N/m
0, 12
27.b.- La ecuaci´n que nos da la posici´n ser´: y = y0 sen (ωt + ϕ0 ), siendo y0 = 0,05
o
o
a
20π −1
m y ω = 2πν =
s . Para hallar ϕ0 , suponemos que, para t = 0, y = y0 ,
7
π
por lo que sen ϕ0 = 1 y ϕ0 = . As´ pues, la ecuaci´n que nos da la posici´n
ı
o
o
2
ser´:
a
π
20 π
t+
y = 0, 05 sen
7
2
27.a.- mg = Kx, obteni´ndose x =
e
2
K
20 π
⇒ K = mω 2 = 0, 3
= 24, 17 N/m
27.c.- ω =
m
7
24, 17 · 0, 052
1
= 0, 03 J
La energ´ ser´: E = KA2 =
ıa
a
2
2

56. 56
CAP´
ITULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS

57. Cap´
ıtulo 3
Interacci´n electromagn´tica
o
e
3.1.
Conceptos previos.
Ley de Coulomb: La fuerza con que se atraen o repelen dos cargas viene expresada
por:
→ Kqq ′ −
−
F = 2 →
ur
r
→
donde −r es un vector unitario radial. En el caso de querer calcular la fuerza que
u
una carga situada en (a, b) , ejerce sobre otra situada en (c, d)(supuestas ambas del
mismo signo), resulta c´modo hacer:
o
→
−
→
− →
F = | F | −r
u
Donde ur se calcula de la forma:
→
−
→
−
(a − c) i + (b − d) j
ur =
( (a − c)2 + (b − d)2 )
Como puede verse en el siguiente dibujo:
→
−
ur
(c,d)
(a,b)
→
−
F
Cuando queremos conocer la fuerza que varias cargas puntuales ejercen sobre otra,
no tendremos m´s que hallar cada uno de los vectores fuerza que las otras cargas
a
ejercen sobre la que consideramos, y sumar dichos vectores.
Intensidad de campo el´ctrico: La intensidad de campo el´ctrico viene dada por
e
e
la expresi´n:
o
→ Kq −
−
→
E =
ur
r
57

58. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
58
Por lo que lo que, de forma similar al apartado anterior, podremos poner que:
→
−
→
− →
E = | E | −r
u
Siendo de aplicaci´n lo que se ha mencionado anteriormente acerca del vector unitario
o
y de la intensidad de campo el´ctrico creado por varias cargas en un punto.
e
Energ´ potencial el´ctrica y potencial el´ctrico en un punto: La energ´
ıa
e
e
ıa
′
potencial el´ctrica de una carga q en un punto se define como el trabajo necesario
e
para desplazar dicha carga desde el punto considerado hasta el infinito. Se obtiene a
partir de la expresi´n:
o
∞
W =
r
′
Kqq ′ − −
→ · d→ = Kqq
ur
r
r2
r
Como podemos ver, la energ´ potencial el´ctrica es una magnitud escalar, por lo
ıa
e
que la energ´ potencial de una carga debida a la presencia de otras, ser´ la suma
ıa
a
algebraica de las energ´ potenciales debidas a cada una de ellas.
ıas
Lo dicho anteriormente es v´lido cuando hablamos de potencial el´ctrico, con la unica
a
e
´
salvedad de que la carga q ′ tendr´ el valor unidad.
a
Relaci´n entre campo el´ctrico y potencial: Teniendo en cuenta que:
o
e
→
− →
dW = F · d− = −dU
r
podremos poner que:
→
−
dU
F =− −
d→
r
Dividiendo los dos miembros de la igualdad por q ′ , tendremos:
→
−
dV
E =− −
d→
r
Cuando la intensidad de campo sea constante (como sucede, por ejemplo, entre dos
placas cargadas), podremos poner que:
→
−
∆U
E =−−
→
∆r
.
3.2.
y
→
−
∆V
|E | = −
→
|∆r|
Problemas resueltos.
1.- Entre dos placas cargadas paralelas hay una diferencia de potencial de 200 V. En
la regi´n comprendida entre ambas placas existe un campo el´ctrico de 400 N/C de
o
e
m´dulo. Determinar:
o
1.a.- La separaci´n entre las placas.
o

59. 59
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
1.b.- El m´dulo de la aceleraci´n que experimentar´ una part´
o
o
ıa
ıcula de 0,01 kg de
−4
masa con una carga de 10 C situada entre las placas.
1.c.- La variaci´n de energ´ potencial el´ctrica de dicha part´
o
ıa
e
ıcula si va de la placa
negativa a la positiva.
Soluci´n:
o
1.a.- Si tenemos en cuenta que la intensidad de campo entre las dos placas es cons→ −∆V
−
, podremos poner:
tante, y que E =
∆r
→
−
∆V
200
∆V
de donde ∆r =
=
= 0, 5 m
|E | =
∆r
|∆E|
400
1.b.- La carga est´ sometida a dos fuerzas: su peso y la fuerza debida al campo
a
el´ctrico, como puede verse en el dibujo:
e
qE
mg
El m´dulo de la resultante de ambas fuerzas ser´
o
a
→
−
|F | =
(mg)2 + (qE)2 , con lo que:
0, 0982 + 0, 042 = 0, 106 N
El m´dulo de la aceleraci´n ser´ entonces:
o
o
a
→
−
→
− | = | F | = 0, 106 = 10, 6 m/s2
|a
m
0, 01
1.c.- Una carga positiva tiende a desplazarse de forma espont´nea desde la zona de
a
mayor a la de menor potencial, cumpli´ndose que W = q(VA − VB ) = UA − UB .
e
Como la part´
ıcula se desplaza desde la zona negativa hacia la positiva, tendremos
que UA ser´ menor que UB , con lo que −∆U ser´ negativa, y la variaci´n de
a
a
o
energ´ potencial, ∆U ser´ positiva.
ıa
a
2.- Tenemos dos placas met´licas cargadas y separadas 10 cm. El campo el´ctrico en la
a
e
zona comprendida entre ambas placas es uniforme y de m´dulo igual a 200 N/C. Una
o
part´
ıcula de 0,01 kg de masa y de 10−4 C de carga se suelta, con velocidad inicial
nula, en la placa positiva. Determinar:
2.a.- El m´dulo de la aceleraci´n que experimenta la part´
o
o
ıcula.

60. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
60
2.b.- La diferencia de potencial el´ctrico entre las placas.
e
2.c.- La energ´ cin´tica de la part´
ıa
e
ıcula cuando llega a la placa negativa.
Soluci´n:
o
2.a.- Este apartado se resuelve de la misma forma que el apartado b) del problema
anterior. La fuerza ser´:
a
→
−
| F | = 0, 0982 + 0, 022 = 0, 1 N
Con lo que el m´dulo de la aceleraci´n ser´:
o
o
a
F
0, 1
→
|− | =
a
=
= 10 m/s2
m
0, 01
2.b.- Aplicando las consideraciones del apartado a) del primer problema, tendremos:
→
−
∆V = | E |∆r = 200 · 0, 1 = 20 V
2.c.- Del siguiente dibujo podemos deducir lo siguiente:
0, 1 m
α
qE
x
mg
tg α =
qE
0, 1
=
mg
x
De donde se despeja x:
x=
0, 1 · 0,01 · 9, 8
= 0, 49 m
10−4 · 200
El espacio recorrido por la carga ser´ ∆r =
a
el teorema de las fuerzas vivas, tendremos:
W = F · ∆r = ∆Ec = Ec
0, 12 + 0, 492 = 0, 5 m. Aplicando
(suponiendo que la velocidad inicial es nula)
W = 0, 1 · 0, 5 = 0, 05 J

61. 61
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
3.- Una carga de 2 · 10−5 C se encuentra en el origen y otra de −4 · 10−5 C en el punto
0,2 i . Sabiendo que 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 , calcular:
3.a.- El m´dulo de la fuerza el´ctrica entre ambas cargas.
o
e
3.b.- El campo el´ctrico en el punto medio entre ambas.
e
3.c.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre ambas.
e
Soluci´n:
o
3.a.- El m´dulo de la fuerza ser´:
o
a
→
−
9 · 109 · 2 · 10−5 · 4 · 10−5
= 180 N
|F | =
0, 22
3.b.- Como puede verse en la representaci´n gr´fica, en el punto medio del segmento
o
a
que une ambas cargas, los dos vectores campo el´ctrico tienen la misma direcci´n
e
o
y sentido.
→
−
El vector unitario de cada uno de ellos es i , por lo que:
−
→
− −
→→
−
→
− −
→→
E1 = |E1 | i y E2 = |E2 | i
Siendo:
−
→
9 · 109 · 2 · 10−5
= 1, 8·107 N/C
|E1 | =
0, 12
−
→
9 · 109 · 4 · 10−5
y |E2 | =
= 3, 6·107 N/C
0, 12
→ −
−
→ −
→
→
−
Con lo que E = E1 + E2 = 5, 4 · 107 i N/c
3.c.- El potencial el´ctrico en el punto medio ser´:
e
a
V = V1 + V2 =
9 · 109 · 2 · 10−5 9 · 109 (−4 · 10−5 )
+
= −1, 8 · 106 V
0, 1
0, 1
4.- Un prot´n con una velocidad de 5 · 104 m/s entra en una regi´n con un campo
o
o
magn´tico uniforme de 0,05 T perpendicular a la velocidad del prot´n. (Datos: masa
e
o
−27
−19
del prot´n = 1, 67 · 10
o
kg; |e| = 1, 6 · 10
C). Determinar:
4.a.- El m´dulo de la fuerza magn´tica que experimenta el prot´n.
o
e
o
4.b.- El radio de curvatura de la trayectoria.

62. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
62
4.c.- El campo el´ctrico que habr´ que aplicar para que el prot´n no cambiara su
e
ıa
o
velocidad.
Soluci´n:
o
4.a.- El m´dulo de la fuerza ser´:
o
a
−
→
|Fm | = q · v · B · sen 90o = 1, 6 · 10−19 · 5 · 104 · 0, 05 = 4 · 10−16 N
4.b.- Puesto que el m´dulo de la fuerza ser´ qvB =
o
a
r=
mv 2
, despejando r, tendremos:
r
1, 67 · 10−27 · 5 · 104
mv
=
= 0, 01 m
qB
1, 6 · 10−19 · 0,05
4.c.- Puesto que, para que no se desv´ el prot´n, deber´ cumplirse que:
ıe
o
a
→
− → −
→
q( E + − × B ) = 0
v
→
−
→
→ −
Se deduce que E = −(− × B ), con lo que
v
→
−
→
→ −
| E | = |(− × B )| = 2500 N/C
v
5.- Tres cargas iguales de −10−6 C cada una se encuentran situadas en los v´rtices de
e
un tri´ngulo equil´tero de 0,5 metros de lado. Sabiendo que 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 en
a
a
unidades S.I.
5.a.- El campo el´ctrico en el centro del tri´ngulo.
e
a
5.b.- El potencial el´ctrico en dicho centro.
e
5.c.- La energ´ potencial el´ctrica de una carga debida a las otras dos cargas.
ıa
e
Soluci´n:
o
5.a.- Las cargas est´n distribuidas seg´ n la siguiente representaci´n:
a
u
o

63. 63
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
Puesto que las tres cargas tienen el mismo valor y las distancias al centro son
las mismas, podremos poner que E1 = E2 = E3 = E . La resultante de los
vectores E2 y E3 ser´:
a
−→
−
|E2,3 | =
2
2
E2 + E3 + 2E2 · E3 cos 120o = E
−→
−
−
→
→
−
→
−
Siendo E2,3 = −E j . Como puede verse en el dibujo, E1 = E j , por lo que la
resultante de los tres vectores ser´ nula.
a
5.b.- Para calcular la distancia desde cualquiera de los v´rtices al centro del tri´ngulo,
e
a
podemos hacer uso del teorema del seno, a partir de la siguiente representaci´n
o
gr´fica:
a
r
30o
0, 25 m
0, 25
r
=
o
sen 90
sen 60o
Por lo que, despejando, tendremos r = 0, 29 m. El potencial el´ctrico en el
e
centro ser´ entonces:
a
V = V1 + V2 + V3 = 3 · 9 · 109
−10−6
0, 28
= −9, 64 · 104 V
(Puesto que todos los potenciales son iguales entre s´ hemos hallado el valor de
ı,
uno y lo hemos multiplicado por tres)
5.c.- La energ´ potencial de una carga debida a las otras dos ser´ la suma de dos
ıa
a
t´rminos iguales, de forma que podremos poner dicha energ´ de la forma:
e
ıa
U =2
9 · 109 (−10−6 )(−10−6 )
= 0, 072 J
0, 25
6.- Tenemos dos cargas el´ctricas de igual magnitud y de signos opuestos, Q y -Q, sie
tuadas en los puntos ai y - ai , respectivamente. Determinar en funci´n de Q y de a
o
las siguientes magnitudes:
6.a.- El campo el´ctrico en el origen.
e
6.b.- El potencial el´ctrico en el punto aj .
e
6.c.- La energ´ m´
ıa ınima necesaria para separar las cargas.
Soluci´n:
o

64. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
64
6.a.- En el origen, el campo el´ctrico creado por cada una de las cargas tendr´ el
e
a
mismo m´dulo, cuyo valor ser´:
o
a
→
−
KQ
|E | = 2
a
→
−
Puesto que el vector unitario para ambos valores del campo es − i , el campo
electrico resultante ser´:
a
→
−
KQ −
→
E = −2 2 i
a
→
−
6.b.- El potencial el´ctrico en el punto a j ser´ nulo, puesto que cada una de las dos
e
a
cargas est´ a la misma distancia de dicho punto, mientras que cada una de ellas
a
tiene signo opuesto a la otra.
6.c.- La energ´ necesaria para separar ambas cargas es la que hay que suministrar
ıa
para desplazarlas hasta una distancia infinita, la una de la otra. Puesto que
W = −∆U = U0 − U∞ , y U∞ = 0, tendremos:
W = U0 = −
KQ2
2a
7.- Se tienen dos iones con carga 2|e| y -|e| separados una distancia de 3 Angstr¨m.(Datos:
o
9
−19
1/(4πǫ0 ) = 9 · 10 en unidades S.I.; |e| = 1, 6 · 10 C. Calcular:
7.a.- Distancia del ion positivo a la que se anula el campo el´ctrico total.
e
7.b.- Distancia del ion positivo a la que se anula el potencial el´ctrico total a lo largo
e
del tramo recto comprendido entre los dos iones.
7.c.- Energ´ potencial el´ctrica de los dos iones.
ıa
e
Soluci´n:
o
7.a.- El campo el´ctrico total se anular´ a una distancia d + x de la mayor de las
e
a
cargas, es este caso, de la carga positiva. En el siguiente dibujo se representa
cada uno de los vectores campo.
x
d
Al anularse el campo el´ctrico se cumplir´ que: que:
e
a
−
→
−
→
|E1 | = |E2 |
Y, por tanto:
K · 2q
Kq
= 2
2
(d + x)
x

65. 65
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
Por lo que, sustituyendo:
(d + x)2
=2
x2
Puesto que el resultado de x no puede ser negativo, podremos poner:
d+x √
= 2
x
Despejando x, tendremos:
d+x=
√
√
2x ⇒ ( 2 − 1)x = d
3 · 10−10
x= √
= 7, 24 · 10−10
2−1
Por lo que:
d + x = 7, 24 · 10−10 + 3 · 10−10 = 1, 02 · 10−9 m
7.b.- El punto en que se anula el potencial estar´ entre las dos cargas, tal y como
a
indica el siguiente dibujo, debido a que cada una de ellas tiene un signo diferente.
d-x
x
Se cumplir´ entonces que:
a
2K|e| −K|e|
+
=0
d−x
x
Por tanto:
2
1
− =0
d−x x
3x = d y x =
3 · 10−10
= 10−10 m
3
Por lo que d − x = 3 · 10−10 − 10−10 = 2 · 10−10 m
7.c.- La energ´ potencial el´ctrica de cada uno de los iones ser´:
ıa
e
a
U=
9 · 109 · 2 · 1, 6 · 10−19 (−1, 6 · 10−19 )
= 1, 536 · 10−18 J
3 · 10−10
8.- Dos part´
ıculas iguales de masa m y carga 10−7 C cuelgan de dos hilos de 20 cm de
longitud suspendidos de un mismo punto. Los hilos forman un angulo de 10o con
´
la vertical. (Datos: G = 6, 67 · 10−11 N · m2 · kg −2; 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 N · m2 · C −2 ).
Determinar:
8.a.- La masa de las part´
ıculas.

66. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
66
8.b.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre las dos part´
e
ıculas.
8.c.- La energ´ potencial el´ctrica entre las dos part´
ıa
e
ıculas.
Soluci´n:
o
8.a.- El esquema correspondiente al problema ser´ el que sigue:
a
10o
Fg
qE
Fg
F
qE
F
mg
mg
A partir de este esquema, podemos deducir lo siguiente:
Kq 2 Gm2
− 2
2
Fe − Fg
r
= r
tg 100 =
mg
mg
Teniendo en cuenta, adem´s, que:
a
sen 10o = 0, 174 =
r/2
⇒ r = 0, 174 · 0, 4 = 0, 07 m
0, 2
9 · 109 · 10−14 6, 67 · 10−11 m2
−
0, 072
0, 072
= 0, 176
9, 8 m
Lo que da lugar a la siguiente ecuaci´n de segundo grado:
o
−1, 36 · 10−8 m2 − 1, 72m + 0, 0183 = 0
Para resolver esta ecuaci´n de un modo riguroso, deber´
o
ıamos tomar un apreciable n´ mero de decimales. Para evitar esto, y al ser la atracci´n gravitatoria muy
u
o
inferior a la fuerza de repulsi´n entre las cargas, podemos despreciar el primer suo
mando de esta ecuaci´n de segundo grado, qued´ndonos simplemente−1, 72m +
o
a
0, 0183 = 0, que al ser resuelta, nos da m = 0, 01 kg
8.b.- Al ser 0, 07 m la distancia entre las dos part´
ıculas, el potencial el´ctrico en el
e
punto medio entre ambas cargas es:
V =
9 · 109 · 10−7 9 · 109 · 10−7
+
= 1, 47 · 106 V
2
2
0, 035
0, 035

67. 67
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
8.c.- La energ´ potencial de cada una de las part´
ıa
ıculas es:
U=
9 · 109 · 10−7 · 10−7
= 0, 018 J
0, 072
Por lo que la energ´ potencial el´ctrica del conjunto de las dos cargas ser´:
ıa
e
a
U = 0, 036 J
9.- Tenemos dos placas met´licas separadas una distancia de 10 cm y sometidas a una
a
diferencia de potencial de 200 V. Un ion Na+ atraviesa la zona entre ambas placas,
entrando por la de menor potencial. (Dato: |e| = 1, 6 · 10−19 C.) Determine:
9.a.- El campo el´ctrico en la regi´n comprendida entre las placas.
e
o
9.b.- La fuerza que experimenta el ion Na+ en dicha regi´n.
o
9.c.- El cambio de energ´ cin´tica que experimenta el ion Na+ entre las dos placas.
ıa
e
Soluci´n:
o
9.a.- Teniendo en cuenta que, entre las placas, el campo el´ctrico es constante:
e
→
−
∆V
200
|E | = − =
= 2000 N/C
→|
|∆ r
0, 1
9.b.- El peso del ion pude considerarse despreciable frente a la fuerza debida al campo
el´ctrico, por lo que supondremos mg = 0
e
qE
mg
→
−
Por todo ello, el m´dulo de la fuerza ser´ | F | = 1, 6·10−19 ·20000 = 3, 2·10−16 N
o
a
→→
−−
9.c.- Aplicando el Teorema de las fuerzas vivas, tendremos W = F ∆r = ∆Ec , de
donde:
∆Ec = 3, 2 · 10−16 · 0, 1 cos 180o = −3, 2 · 10−17 J
(Puesto que el ion Na+ se desplaza desde la zona de menor a la de mayor
potencial, la variaci´n de energ´ cin´tica es negativa.)
o
ıa
e
10.- Tenemos una carga de 10−3 C en el origen y otra de 3 · 10−3 C en el punto 2i m.
(Dato: 1/4πǫ0 = 9 · 109 en unidades del S.I). Determine:

68. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
68
10.a.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre las cargas.
e
10.b.- El campo el´ctrico en dicho punto.
e
10.c.- La energ´ potencial el´ctrica del conjunto de las dos cargas.
ıa
e
Soluci´n:
o
10.a.- En el punto medio se cumplir´:
a
V = V1 + V2 =
9 · 109 · 10−3 9 · 109 · 3 · 10−3
+
= 3, 6 · 10−7 V
1
1
→
−
− −
→→ − −
→→
10.b.- En el dibujo siguiente, podemos ver que E = |E1 | i − |E2 | i
Siendo:
−
→
9 · 109 · 10−3
= 9·106 N/C
|E1 | =
2
1
Por todo lo anterior:
y
−
→
9 · 109 · 3 · 10−3
|E2 | =
= 2, 7·107 N/C
2
1
−
→
→
−
E = −1, 8 · 107 i N/C
10.c.- La energ´ de cada carga ser´:
ıa
a
U1,2 =
9 · 109 · 3 · 10−3 · 10−3
= 1, 35 · 104 J
2
Siendo la energ´ total U = 2U1,2 = 2, 7 · 104 J
ıa
11.- Un electr´n penetra en una zona con un campo magn´tico uniforme de 10−3 T y lleva
o
e
una velocidad de 500 m/s perpendicular al campo magn´tico. (Datos: |e| = 1, 6·10−19
e
−31
C y me = 9, 1 · 10
Kg.) Determine las siguientes magnitudes del electr´n en la
o
zona con campo magn´tico:
e
11.a.- Velocidad angular.
11.b.- M´dulo de la fuerza que experimenta.
o
11.c.- M´dulo del momento angular respecto del centro de la circunferencia que deso
cribe el electr´n.
o
Soluci´n:
o

69. 69
3.2. PROBLEMAS RESUELTOS.
v
→ → →
→
→ →
11.a.- Puesto que − = − × − , tendremos que |− | = |− ||− | sen 90o ⇒ ω =
v
ω
r
v
ω r
r
El radio se calcula a partir de:
qvB sen 90o =
mv 2
mv
⇒r=
= 2, 84 · 106 m
r
qB
500
= 1, 76 · 108 rad/s
2, 84 · 10−6
→
−
11.b.- El m´dulo de la fuerza es | F | = qvB sen 90o = 1, 6·10−19 ·500·10−3 = 8·10−20 N
o
→
−
→ mv|
11.c.- | L | = |− ||− sen 90o = 2, 84 · 10−6 · 9, 1 · 10−31 · 500 = 1, 29 · 10−33 kg · m/s
r →
Por tanto, ω =
12.- Tenemos una carga de 4 · 10−3 C en el origen y otra de −4 · 10−3 C en el punto 3i − 4j
m. (Dato: 1/4πǫ0 = 9 · 109 en el S.I.) Determine:
12.a.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre las cargas.
e
12.b.- El campo el´ctrico en dicho punto.
e
12.c.- La energ´ potencial el´ctrica de la carga en el origen.
ıa
e
Soluci´n:
o
12.a.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre las cargas ser´ nulo, puesto que
e
a
las distancias de cada carga a dicho punto son iguales, y las cargas iguales y de
signo contrario.
12.b.- El campo el´ctrico en el punto medio entre las cargas ser´ la resultante de los
e
a
dos vectores campo que se representan a continuaci´n:
o
E1
E2
−
→
−
→
→
→
Fij´ndoos en el dibujo, puede verse que |E1 | = |E2 | y que −1 = −2 , cuma
u
u
pli´ndose:
e
→
−
→
−
i
→
→
→
− = (3 − 0) √ + (−4 − 0) j = 0, 6− − 0, 8−
u
i
j
2 + 42
3
−
→
−
→
9 · 109 · 4 · 10−3
= 5, 76 · 106
|E1 | = |E2 | =
1, 52 + 22
→ −
−
→ −
→
→
−
→
−
Por tanto: E = E1 + E2 = 3, 456 · 106 i − 4, 608 · 106 j N/C

70. ´
´
CAP´
ITULO 3. INTERACCION ELECTROMAGNETICA
70
12.c.- La energ´ potencial viene dada por:
ıa
U=
9 · 109 · 4 · 10−3 (−4 · 10−3
√
= −2, 88 · 104 J
32 + 42
13.- Un prot´n penetra en una zona con un campo magn´tico uniforme de 10−3 T y lleva
o
e
una velocidad de 500 m/s perpendicular al campo magn´tico. (Datos: |e| = 1, 6·10−19
e
−27
9
C; mp = 1, 67 · 10
kg y 1/(4πǫ0 ) = 9 · 10 en unidades S.I.) Determine las siguientes
magnitudes del prot´n en la zona con campo magn´tico:
o
e
13.a.- M´dulo de la fuerza que experimenta.
o
13.b.- M´dulo de su aceleraci´n.
o
o
13.c.- Potencial el´ctrico producido por el prot´n en el centro de la orbita que describe.
e
o
´
Soluci´n:
o
13.a.- El m´dulo de la fuerza es:
o
→
−
→
→ −
| F | = q|− || B | sen 90o = 1, 6 · 10−19 · 500 · 10−3 = 8 · 10−20 N
v
13.b.- El m´dulo de la aceleraci´n:
o
o
→
−
−20
→
− | = | F | = 8 · 10
= 4, 79 · 107 m/s2
|a
−27
m
1, 67 · 10
Kq
. Para conocer el poten13.c.- El potencial en el centro de la ´rbita ser´ V =
o
a
r
cial, deberemos conocer previamente el radio de la ´rbita, que calculamos de la
o
siguiente forma:
→
−
→
mv
1, 67 · 10−27 · 500
mv 2
→ −
⇒r=
=
= 5, 22 · 10−3
| F | = q|− || B | sen 90o =
v
r
qB
1, 6 · 10−19 · 10−3
Por tanto: V =
9 · 109 · 1, 6 · 10−19
= 2, 76 · 10−7 V
5, 22 · 10−3
14.- Tenemos una carga de -4|e| en el origen y otra de 2 |e| C en el punto - 4j m. (Dato:
1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 en unidades del S.I.; |e| = 1, 6 · 10−19 C). Determine:
14.a.- El potencial el´ctrico en el punto medio entre las cargas.
e
14.b.- El campo el´ctrico en dicho punto.
e
14.c.- La energ´ potencial el´ctrica del conjunto de las dos cargas.
ıa
e