Este documento presenta instrucciones generales para una prueba de acceso a estudios universitarios de Física. Consta de dos opciones (A y B) con tres cuestiones y dos problemas cada una. Se debe elegir una opción completa. Cada cuestión o problema correctamente resuelto se califica con un máximo de 2 puntos. El tiempo asignado es de una hora y media.

1. 1
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)
FÍSICA
Septiembre 2013
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN.
La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas.
El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas
de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable.
CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se
calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la
solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que
consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos.
TIEMPO: Una hora treinta minutos.
OPCIÓN A
Pregunta 1.- Dos satélites describen órbitas circulares alrededor de un planeta cuyo radio es de 3000
km. El primero de ellos orbita a 1000 km de la superficie del planeta y su periodo orbital es de 2 h. La
órbita del segundo tiene un radio 500 km mayor que la del primero. Calcule:
a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.
b) El periodo orbital del segundo satélite.
Solución.
a.




==
==
=
?TKm4500R
h2TKm4000R
:Km3000R
2s
1s
P
1
1
En la superficie del planeta, se cumple: GFP = 2
PR
mM
Gmg
⋅
= 2
PR
M
Gg =
El Producto G·M, se puede obtener teniendo en cuenta que en los satélites que están orbitando en
torno al planeta se cumple que cG FF = . Si aplicamos al primero de ellos, del que conocemos radio y
periodo:
11s s
2
2 R
v
m
R
Mm
G =
1s
2
R
M
Gv = 1s1 Rωv ⋅=
1
1
s
2
s
2
R
M
GRω =⋅
1
1
T
π2
ω =
1
1
s
2
s
2
1 R
M
GR
T
π2
=⋅





2
1
3
s
2
T
Rπ4
MG 1
=⋅
Sustituyendo en la expresión de g:
( )
( ) ( )
2
226
362
2
1
2
P
3
s
2
2
P s
m42,5
36002103
104π4
TR
Rπ4
R
M
Gg 1
=
⋅⋅×
×⋅
=
⋅
⋅
==
b. Partiendo de: 2
32
T
Rπ4
MG =⋅ , se llega rápidamente a cte
π4
MG
T
R
22
3
=
⋅
= , que es la tercera Ley
de Kepler, aplicando a los dos satélites:
2
2
3
s
2
1
3
s
T
R
T
R
21
= 23'h2h39,2
4000
4500
2
R
R
TT 3
3
3
s
3
s
12
1
2
≈=⋅=⋅=
Pregunta 2.- Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d, el sonido se percibe
con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determine:
a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con
un nivel de intensidad sonora de 20 dB.

2. 2
b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido
se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB.
Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12
W m‒2
Solución.
a. La intensidad de un sonido, depende de la potencia de la fuente emisora y de la distancia a ella.
2
rπ4
P
I =
Para una misma fuente a dos distancias diferentes:
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
r
r
I
I
Comparando:
rπ4
P
I
rπ4
P
I
=







=
=
La intensidad de un sonido, también se puede relacionar con el nivel de intensidad sonora con
que se percibe (β).
oI
I
log10β = 10β
o 10II ⋅=
Aplicando a dos intensidades diferentes, producidas por la misma fuente:
10
ββ
10β
10β
2
1
10β
o2
10β
o1
21
2
1
2
1
10
10
10
I
I
Comparando:
10II
10II
−
==




⋅=
⋅=
Las relaciones obtenidas permiten obtener otra relación entre las intensidades y el nivel de
intensidad sonora.
10
ββ
12
10
ββ
2
1
2
2
10
ββ
2
1
2
1
2
2
2
1
2121
21
10rr10
r
r
:
10
I
I
r
r
I
I
−−
−
⋅=⇒=









=
=
Sustituyendo por los datos:
d10r10dr 2
10
2030
2 ⋅=⇒⋅=
−
b. En este apartado nos piden la potencia de la fuente para que a la misma distancia, aumente el
nivel de intensidad sonora. Trabajando de forma análoga al apartado a):
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2 P
P
I
I
Comparando:
dπ4
P
I
dπ4
P
I
:
rπ4
P
I =














=
=
=
Teniendo en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior entre la intensidad y el nivel de
intensidad sonora:
10
ββ
12
10
ββ
2
1
10
ββ
2
1
2
1
2
1
1221
21
10PP10
P
P
:
10
I
I
P
P
I
I
−−
−
⋅=⇒=









=
=
1
4
1
10
3070
12 P1000010P10PP =⋅=⋅=
−

3. 3
Pregunta 3.- Se quiere obtener una imagen derecha y virtual, de 25 cm de altura, de un objeto de 10
cm de altura que se sitúa a una distancia de 1 m de una lente delgada.
a) Calcule la potencia, en dioptrías, de la lente que habría que usar así como el tipo de lente.
b) Realice el diagrama de rayos correspondiente.
Solución.
a. Para obtener una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño en una lente delgada, está debe ser
convergente, ya que si la lente es divergente, la imagen siempre será virtual, derecha y de menor tamaño.
Si la lente es convergente, para que la imagen sea virtual, el objeto deberá estar dentro de la
distancia focal (s < f).
Se define la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen (f’):
f
1
P
′
=
Para calcular f′ se tiene en cuenta la ecuación fundamental de la lentes delgadas y la del
aumento lateral
f
1
1
1
5,2
1
:m5,2s:
1
s
1010
1025
:1025y;1010y:
s
s
y
y
M
f
1
1
1
s
1
:1s:
f
1
s
1
s
1
2
2
22
L
′
=
−
−
−
−=′






−
′
=
×
×
×=′×=
′
=
′
=
′
=
−
−
′
−=
′
=−
′
−
−
−−
D6,0P6,0
f
1
=⇒=
′
b. La imagen está en la intersección de un rayo
paralelo al eje óptico o eje principal de la lente, una vez
refractado, pasa por el foco imagen con un rayo que pasa
por el centro geométrico de la lente, que no se desvía.
Pregunta 4.- Dos muestras de material radioactivo, A y B, se prepararon con tres meses de diferencia.
La muestra A, que se preparó en primer lugar, contenía doble cantidad de cierto isótopo radioactivo que la
B. En la actualidad, se detectan 2000 desintegraciones por hora en ambas muestras. Determine:
a) El periodo de semidesintegración del isótopo radioactivo.
b) La actividad que tendrán ambas muestras dentro de un año.
Solución.
a. El periodo de semidesintegración ( )21T o periodo de semivida es el tiempo que debe transcurrir
para que el número de núcleos presentes en una determinada muestra se reduzca a la mitad. Se puede
expresar en función de la constante de desintegración (λ), y esta expresión se obtiene si en la ecuación
fundamental de la radioactividad ( )tλ
oeNN −
= se sustituye N por 2No , obteniendo:
21Tλ
o
o eN
2
N −
=
λ
2Ln
T 21 =
Para calcular la constante de desintegración nos dan los siguientes datos:
( ) ( ) 1
2B1A h2000tAtA −
== siendo h2160tmeses3tt 221 +=+= y ( ) ( )BN2AN oo =
( )
( )



⋅⋅=⋅=
⋅⋅=⋅=
→



⋅=
⋅=
−
−
− 2
1
tλ
oBB
tλ
oAA
tλ
o eBNλNλA
eANλNλA
eNN
NλA
Igualando:
( ) ( ) 21 tλ
o
tλ
o eBNλeANλ −−
⋅⋅=⋅⋅
( )
( ) 1
2
tλ
tλ
o
o
e
e
BN
AN
−
−
=
Teniendo en cuenta los datos:
( )
( )
( )21 ttλ
o
o e
BN
BN2 −
=
⋅ ( )22 t2160tλ
e2 −+
= λ2160
e2 =
2160
2Ln
λ =
Conocida la constante se calcula el periodo de semidesintegración.
h2160
21602Ln
2Ln
λ
2Ln
T 21 ===

4. 4
b. La actividad de una muestra viene expresada en función del tiempo y la actividad inicial por:
tλ
o eAA −
⋅=
Si se considera la actividad inicial como la actividad que tiene en el momento actual, y la
constante de desintegración la despejamos del periodo de semidesintegración:
14
21
h1021,3
2160
2Ln
T
2Ln
λ −−
×===
( ) t1021,3 4
e2000tA
−
×−
⋅=
Siendo t el tiempo expresado en horas
( ) 13600243651021,3
h8,141e2000año1A
4
−⋅⋅×−
=⋅=
−
Pregunta 5.- Se tiene un plano infinito con una densidad de carga superficial positiva σ.
a) Deduzca, utilizando el teorema de Gauss, el vector campo eléctrico generado por la distribución.
b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos, en el mismo semiespacio, separados
una distancia d en la dirección perpendicular al plano cargado. Justifique si cambiaría su
respuesta si la dirección fuera paralela al plano cargado.
Solución.
a. Según el teorema de Gauss, el flujo neto a través de una superficie cerrada cualquiera es igual a
la suma algebraica de las cargas eléctricas encerradas en su interior dividida entre la constante dieléctrica
del vacío.
oε
Q∑=Φ
Para un plano infinito, se toma como superficie gaussiana un
paralelepípedo recto como el que muestra la figura. Sólo hay flujo a través de
las caras S y S’ paralelas al plano. Las líneas de campo siempre salen de las
cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme. El flujo
a través de las superficies laterales es nulo (ninguna línea de campo las
atraviesan).
Aplicando el teorema de Gauss:
oSS
ε
Q
SE20cosSE0cosSESdESdE =⋅=⋅′⋅+⋅⋅=+=Φ ∫∫
′
r
o
rr
o
r
Teniendo en cuenta la densidad superficial de carga ( )SσQ ⋅=
oε
Sσ
SE2
⋅
=⋅
oε2
σ
E =
b. La diferencia de potencial entre dos puntos viene dado por la expresión:
( ) d
ε2
σ
rr
ε2
σ
dr
ε2
σ
º0cosdrErdEVV
o
AB
o
r
r o
r
r
r
r
AB
B
A
B
A
B
A
⋅−=−−=−=⋅⋅−=⋅−=−
∫∫∫
rr
Si la línea que une los puntos fuese paralela al plano, 0rr AB =− , y la diferencia de potencial
entre ellos seria cero

5. 5
OPCIÓN B
Pregunta 1.- Dos planetas, A y B, tienen la misma densidad. El planeta A tiene un radio de
3500 km y el planeta B un radio de 3000 km. Calcule:
a) La relación que existe entre las aceleraciones de la gravedad en la superficie de cada planeta.
b) La relación entre las velocidades de escape en cada planeta.
Solución.
a. La expresión de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se obtiene del hecho
de que en la superficie de un planeta, el peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional con la que atrae el
planeta al cuerpo.
GFP = 2
R
mM
Ggm
⋅
=⋅ 2
R
M
Gg =
Si se aplica esta expresión a cada uno de los planetas y se compara:
2
AB
2
BA
B
A
2
B
B
2
A
A
B
A
2
B
B
B
2
A
A
A
RM
RM
g
g
ordenandoyndosimplifica
R
M
G
R
M
G
g
g
:
R
M
Gg
R
M
Gg
⋅
⋅
==







=
=
Para encontrar una la relación entre las masas de ambos planeta, se parte de la igualdad de las
densidades.
3
B
3
A
B
A
3
B
B
3
A
A
3
B
B
B
B
B
3
A
A
A
A
A
BA
R
R
M
M
Rπ34
M
Rπ34
M
:
Rπ34
M
V
M
d
Rπ34
M
V
M
d
:dd =⇒=














==
==
=
Teniendo en cuenta ambas relaciones:
6
7
3000
3500
R
R
g
g
ndosimplifica
R
R
R
R
g
g
:
R
R
M
M
RM
RM
g
g
B
A
B
A
2
A
2
B
3
B
3
A
B
A
3
B
3
A
B
A
2
AB
2
BA
B
A
===⋅=







=
⋅
⋅
=
BA g
6
7
g =
b. Se denomina velocidad de escape de un planeta a la mínima velocidad de lanzamiento de un
cohete para que pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta. Teniendo en cuenta que el cohete
se mueve sometido a una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva, y suponiendo que el
cuerpo llega al infinito con velocidad nula, se ha de cumplir:
( ) ( ) 0InfinitoESuperficieE MM ==
( ) ( ) 0SuperficieESuperficieE pc =+ 0
R
Mm
Gmv
2
1 2
=





−+
R
M
G2v =
Si aplicamos la expresión de la velocidad de escape a los dos planetas y se compara:
AB
BA
B
B
A
A
B
B
A
A
B
A
B
B
B
A
A
A
RM
RM
R
M
G2
R
M
G2
R
M
G2
R
M
G2
v
v
:
R
M
G2v
R
M
G2v
⋅
⋅
===







=
=
Teniendo en cuenta la relación entre las masas de los planetas obtenida en el apartado a:
3
B
3
A
B
A
R
R
M
M
=
6
7
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
M
v
v
B
A
2
B
2
A
A
B
3
B
3
A
A
B
B
A
B
A ===⋅=⋅= BA v
6
7
v =

6. 6
Pregunta 2.- La velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple alcanza un
valor máximo de 40 cm s‒1
. El periodo de oscilación es de 2,5 s. Calcule:
a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento.
b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio cuando su velocidad es de 10 cm s‒1
.
Solución.
a. La expresión matemática de un movimiento armónico simple es:
( ) ( )oφtωsenAty +=
La velocidad del m.a.s. es la derivada de la posición con respecto al tiempo.
( ) ( ) ( )( ) ( )oo φtωcosωAφtωsenA
dt
d
dt
tyd
tv +=+==
La expresión de la velocidad máxima será cuando la parte trigonométrica de la ecuación valga 1.
ωAvmax =
La velocidad angular o frecuencia angular se puede calcular a partir del periodo:
srad
5
π4
5,2
π2
T
π2
ω ===
Conocida la velocidad angular, se calcula la amplitud del movimiento a partir de la velocidad
máxima.
ωAvmax = cm16m16.0
π2
1
5
π4
1040
ω
v
A
2
max =≈=
×
==
−
b. Partiendo de la expresión de la velocidad y operando con la ecuación se puede obtener una
ecuación que relaciona la velocidad y la posición.
( )oφtωcosωAv += Elevando al cuadrado ( )o
2222
φtωcosωAv +=
Por trigonometría se transforma el coseno en seno:
( )( )o
2222
φtωsen1ωAv +−= ( )










+−=
444 3444 21
2
x
o
22222
φtωsenAAωv ( )2222
xAωv −=
La última expresión permite despejar x en función de v
2
2
22
ω
v
xA =− ; 2
2
22
ω
v
Ax −= ; 2
2
2
ω
v
Ax −=
( )
( )
cm15,4m154,0
5π4
1010
π2
1
x 2
222
==
×
−





=
−
Pregunta 3.- Se tiene un prisma rectangular de vidrio de índice de refracción
1,48. Del centro de su cara A se emite un rayo que forma un ángulo a con el eje
vertical del prisma, como muestra la figura. La anchura del prisma es de 20 cm y
la altura de 30 cm.
a) Si el medio exterior es aire, ¿cuál es el máximo valor de α para que el
rayo no salga por la cara B? Justifique la respuesta.
b) Si el medio exterior es agua, ¿cuál es el máximo valor de α para que el
rayo no salga por la cara B? Para este valor de α, ¿cuál es el ángulo con
el que emerge de la cara C?
Datos: Índice de refracción del aire, naire =1; Índice de refracción del agua, nagua =1,33
Solución.
a. El ángulo límite ( )l
)
, es el ángulo de incidencia al que le corresponde un
ángulo de refracción de 90º, produciendo reflexión total y no permitiendo que el rayo
salga del medio. Se calcula aplicando la ley de Snell.
rsennisenn 21
))
=
Si l
)))
=⇒= i90r

7. 7
0º9sennsenn 21 =l
)
676,0
48,1
1
n
n
sen
1
2 ===l
)
º5,42676,0arcsen ==l
)
Conocido el ángulo límite se calcula α.
º5,475,429090α =−=−= l
b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es
agua.
rsennisenn 21
))
=
Si l
)))
=⇒= i90r
0º9sennsenn 21 =l
)
899,0
48,1
33,1
n
n
sen
1
2 ===l
)
º64899,0arcsen ≈=l
)
Conocido el ángulo límite se calcula α.
º26649090α =−=−= l
Una vez conocido el ángulo límite, hay que calcular el
desplazamiento del rayo por el prisma de vidrio, para comprobar si el rayo
reflejado en la cara B, incide sobre la cara C o sobre la opuesta a la B.
cm5,2064tg10tg10x
220
x
tg ===⇒= ll
Teniendo en cuenta que 2305,20 > , el rayo reflejado sobre la cara
B incide sobre la cara C.
Según las leyes de Snell, el ángulo de incidencia ( )l es igual al ángulo de reflexión (r), por lo
que podemos calcular el ángulo de incidencia sobre la cara C (i).
64r == l
))
º90ir =+
))
º26º64º90rº90i =−=−=
))
Conocido el ángulo de incidencia sobre la cara C, aplicando la ley de Snell se calcula el ángulo
de emergencia sobre la cara C.
rsennisenn 21
))
= º2,29º26sen
33,1
48,1
isen
n
n
rsen
1
2 ===
))
Pregunta 4.-
a) Calcule la longitud de onda de un fotón que posea la misma energía que un electrón en reposo.
b) Calcule la frecuencia de dicho fotón y, a la vista de la tabla, indique a qué tipo de radiación
correspondería.
Ultravioleta Entre 7,5×1014
Hz y 3×1017
Hz
Rayos-X Entre 3 ×1017
Hz y 3×1019
Hz
Rayos gamma Más de 3×1019
Hz
Datos: Masa del electrón, me = 9,11×10‒31
kg; Constante de Planck, h = 6,63×10‒34
J s;
Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,00×108
m s‒1
.
Solución.
a. La energía de un electrón en reposo se obtiene mediante la ecuación de Einstein para la
equivalencia masa-energía.
( ) J10199,81000,31011,9cmE 1428312
oo
−−
×=×⋅×=⋅=
Siendo mo la masa del electrón en reposo
La longitud de onda de un fotón, conocida su energía, se obtiene mediante la ecuación de Planck
λ
c
hE:
λ
c
ν
νhE
⋅=




=
⋅=
λ
c
hcm:
cmEE
λ
c
hE 2
o
2
oo
⋅=⋅




⋅==
⋅=
cm
h
λ
o ⋅
=
m1043,2
sm1000,3Kg1011,9
sJ1063,6
λ 12
1831
34
−
−−
−
×=
⋅×⋅×
⋅×
=

8. 8
b. Hz1024,1
1043,2
1000,3
λ
c
ν 20
12
8
×=
×
×
== −
El fotón corresponde a una radiación de rayos gamma.
Pregunta 5.- Dos partículas idénticas A y B, de cargas 3,2×10‒19
C y masas 6,4×10‒27
kg, se mueven
en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor: ( ) TjiBo
rrr
+= . En un instante dado,
la partícula A se mueve con velocidad ( ) 133
A smj10i10v −
+−=
rrr
y la partícula B con velocidad
( ) 133
B smj10i10v −
−−=
rrr
a) Calcule, en ese instante, la fuerza que actúa sobre cada partícula.
b) Una de ellas realiza un movimiento circular; calcule el radio de la trayectoria que describe y la
frecuencia angular del movimiento.
Solución.
a. La fuerza a la que se ve sometida una carga eléctrica que se desplaza en el seno de un campo
magnético viene dada por la expresión:
( )BvqF
rrr
×⋅= × ≡ producto vectorial
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]=+×+−⋅⋅×=+×+−⋅×=×⋅= −−
jiji10102,3jij10i10102,3BvqF 3193319
AAA
rrrrrrrrrrr
( ) ( )[ ] ( )2,0,0102,3
11
11
,
01
01
,
01
01
102,30,1,10,1,110102,3 1616319
−⋅×=






 −−
−⋅×=×−⋅⋅×= −−−
Nk104,6F 16
A
rr −
×−=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]=+×−−⋅⋅×=+×−−⋅×=×⋅= −−
jiji10102,3jij10i10102,3BvqF 3193319
BBB
rrrrrrrrrrr
( ) ( )[ ] ( )0,0,0102,3
11
11
,
01
01
,
01
01
102,30,1,10,1,110102,3 1616319
⋅×=






 −−−
−
−
⋅×=×−−⋅⋅×= −−−
0FB =
r
b. La carga A realiza un movimiento circular uniforme, por lo tanto la suma de todas las fuerzas
que actúan sobre ella debe ser igual a la fuerza centrípeta.
cFF
rr
=∑
Si se supone que la única fuerza que actúa sobre la carga es la magnética, y trabajando en
módulo:
R
v
mαsenBvq
2
A =⋅⋅⋅
Teniendo en cuenta que la velocidad y el campo forman 90º ( ) ( )( )00,1,10,1,1Bv =−= o
r
o
r
R
v
mBqA =⋅
Bq
vm
R
A ⋅
⋅
=
Los módulos de la velocidad y el campo magnético son:
( ) ( ) 1322323
sm21001010v −
=++−= T2011B 222
=++=
m102
2102,3
210104,6
Bq
vm
R 5
19
327
A
−
−
−
×=
⋅×
⋅×
=
⋅
⋅
=
Velocidad angular: Bq
R
Rω
m:
Rωv
Bq
R
v
m
A
A ⋅=
⋅




⋅=
⋅=
Bqmω A ⋅=⋅
srad1007,7
104,6
2102,3
m
Bq
ω 7
27
19
A ×=
×
⋅×
=
⋅
= −
−