Solucionario Física y Química 1º Bachillerato Anaya.pdf

SO
LUCIO
N
ARIO
S. ZUBIAURRE, J.M
. ARSUAGA, J. M
ORENO,
B. GARZÓN
Física
Q
uímica
Bachillerato
1
y

Índice
Unidad 1. El lenguaje de la Física y la Química
Unidad 2. Cinemática: magnitudes cinemáticas
Unidad 3. Estudio de movimientos sencillos y su composición
Unidad 4. Dinámica: las leyes de Newton y el momento lineal
Unidad 5. Aplicaciones de las leyes de la dinámica
Unidad 6. Energía, trabajo y potencia
Unidad 7. Energía térmica
Unidad 8. Electrostática
Unidad 9. Corriente eléctrica
Unidad 10. Naturaleza de la materia
Unidad 11. Sólidos, líquidos y gases
Unidad 12. Estructura atómica. Sistema Periódico
Unidad 13. Enlace químico
Unidad 14. Reacciones químicas. Estequiometría
Unidad 15. Otros aspectos asociados a las reacciones químicas
Unidad 16. La química del carbono
Apéndice de formulación de química inorgánica
5
19
45
81
103
149
169
187
207
231
251
273
293
313
339
359
383

ACTIVIDADES DEL INTERIOR DE LA UNIDAD
1. Explica la diferencia entre deducción e inducción.
Deducir es sacar consecuencias concretas a partir de un principio o ley general; indu-
cir es extraer, a partir de determinadas observaciones o experiencias particulares, el
principio general que en ellas está implícito.
2. Clasifica de forma razonada los siguientes fenómenos como físicos o como
químicos:
a) Evaporación del agua. Es un fenómeno físico, pues supone cambiar el estado de
agregación de una sustancia sin alterar su composición química.
b) Obtención del hierro en un alto horno. Es un fenómeno químico, pues supone
alterar una sustancia química (sulfuro de hierro) y obtener otra (hierro metálico).
c) Combustión de la madera. Es un fenómeno químico, porque se altera la com-
posición de la madera, que es un polímero llamado celulosa, y se convierte en
otras sustancias diferentes: dióxido de carbono, CO2
, y agua, H2
O.
d) Encendido de una bombilla de filamento incandescente. Es un fenómeno fí-
sico, porque se calienta una sustancia metálica (el filamento), pero no se cambia
su identidad química.
3. Busca el significado etimológico de las palabras física y química.
Física procede del griego physis, que significa naturaleza. Química proviene del ára-
be alquimia y del griego kimeia, que significa mezcla de líquidos.
4. Explica los pasos o etapas fundamentales del método científico.
Los pasos son:
a) Observación de un fenómeno natural.
b) Inducción de un principio general que explique el fenómeno.
c) Formulación de hipótesis: si el principio general propuesto es válido, en un caso
concreto se debe observar un comportamiento determinado.
d) Experimentación y comprobación o refutación de la validez de la hipótesis. Si la
hipótesis es válida, seguimos el proceso. Si no, volvemos a b).
e) Generalización y formulación de una teoría.
5. El vector a
8
tiene de módulo 5 unidades y forma un ángulo de 30° con el se-
mieje X positivo, y el vector b
8
forma un ángulo de 45° con dicho eje y vale 8
unidades. Dibuja ambos vectores y determina gráficamente su suma, la dife-
rencia a
8
– b
8
, los vectores 2 · a
8
y –b
8
/2 y su producto escalar. Determina las
componentes cartesianas de ambos vectores y realiza analíticamente los cálcu-
los del apartado anterior.
Unidad 1. El lenguaje de la Física y la Química 5
1 El lenguaje de la Física y la Química
Actividades del interior de la unidad

Y
X X X
8
5
b
a
α
α = 30°
β = 45°
Y
s b
a
Y
s
b
a
Y
X
b
–b d
d
a
a
Y
X
a b
2 · a –b/2
En la figura de la izquierda se representan los vectores a
8
y b
8
, obtenidos según los da-
tos del enunciado; en la figura central, el vector suma s
8
= a
8
+ b
8
resultado de colocar
uno a continuación del otro, y en la de la derecha, el vector suma obtenido aplican-
do la regla del paralelogramo:
La diferencia es el vector d
8
= a
8
– b
8
, que se puede obtener como la suma de a
8
con el
opuesto de b
8
(izquierda) o bien encontrando el vector que sumado con b
8
da a
8
(derecha):
El vecto 2 · a
8
tiene la misma dirección y el mismo sentido que a
8
pero su módulo va-
le el doble. El vector –b
8
/2 tiene la misma dirección que b
8
, sentido contrario a este y
módulo la mitad:
Teniendo en cuenta que los vectores a
8
y b
8
forman ángulos de 30° y 45°, respectiva-
mente, con el eje X, el ángulo γ que forman entre ellos es de 45° – 30° = 15°.
Por tanto, el producto escalar de los dos vectores es:
a
8
· b
8
= a · b · cos γ = 5 · 8 · cos 15° = 38,64
Las componentes cartesianas de a
8
son:
ax
= a · cos α = 5 · cos 30° = 5 · 0,87 = 4,35
ay
= a · sen α = 5 · sen 30° = 5 · 0,5 = 2,5
Y las del vector b
8
:
bx
= b · cos β = 8 · cos 45° = 8 · 0,71 = 5,68
by
= b · sen β = 8 · sen 45° = 8 · 0,71 = 5,68
6

Por tanto, las expresiones analíticas de ambos vectores son:
a
8
= ax
· u
8
x
+ ay
· u
8
y
= 4,35 · u
8
x
+ 2,5 · u
8
y
b
8
= bx
· u
8
x
+ by
· u
8
y
= 5,68 · u
8
x
+ 5,68 · u
8
y
Con ellas, el vector suma y el vector diferencia valen:
s
8
= (ax
+ bx
) · u
8
x
+ (ay
+ by
) · u
8
y
= 10,03 · u
8
x
+ 8,18 · u
8
y
d
8
= (ax
– bx
) · u
8
x
+ (ay
– by
) · u
8
y
= –1,33 · u
8
x
– 3,18 · u
8
y
Siendo sus módulos:
s = = = 12,94
d = = = 3,45
Para determinar las direcciones de estos vectores, tendremos en cuenta que:
tg σ = = 8 σ = 39,2°
tg δ = = 8 δ = 63,7°
Por tanto, el vector s
8
forma un ángulo de 39,2° con el semieje X positivo. Para el d
8
,
al ser negativas sus dos componentes cartesianas, debemos interpretar el resultado
obtenido como el ángulo que forma el vector con el semieje X negativo, ya que se
trata de un vector situado en el tercer cuadrante. Por tanto, el ángulo que forma con
el semieje X positivo es de 247°, es decir, –112,3°.
El producto 2 · a
8
es:
2 · a
8
= 2 · ax
· u
8
x
+ 2 · ay
· u
8
y
= 8,7 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
Y el vector –b
8
/2:
–b
8
/2 = – · (bx
· u
8
x
+ by
· u
8
y
) = –2,84 · u
8
x
– 2,84 · u
8
y
Por último, el producto escalar de los vectores a
8
y b
8
, calculado analíticamente, vale:
a
8
· b
8
= ax
· bx
+ ay
· by
= 4,35 · 5,68 + 2,5 · 5,68 = 38,9
1
2
dy
dx
–31,8
–1,33
sy
sx
8,18
10,03
√dx
2
+ dy
2
√(–1,33)2
+ (–3,18)2
√sx
2
+ sy
2
√10,032
+ 8,182
Y
X
s
σ = 39,2°
δ = –112,3°
d

6. Dados los vectores a
8
= 4 · u
8
x
+ 3 · u
8
y
y b
8
= –2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
, calcula: a) el módulo
de cada vector; b) el ángulo que forma cada uno con el semieje X positivo;
c) su suma; d) la diferencia a
8
– b
8
; e) –2 · a
8
+ 5 · b
8
; f) el producto escalar de am-
bos vectores; g) un vector unitario en la dirección de cada uno.
a) El módulo de los vectores a
8
y b
8
es:
a = = = 5
b = = = 4,47
b) Las razones trigonométricas para el vector a
8
son:
cos α = = = 0,8 ; sen α = = = 0,6
b) Por tanto, este vector se encuentra en el primer cuadrante (ya que tanto el seno
como el coseno son positivos), formando un ángulo con el semieje X positivo:
α = 36,87°
b) Para el vector b
8
, tenemos:
cos β = = = –0,45 ; sen β = = = 0,89
b) En este caso, al ser el coseno negativo y el seno positivo, el vector está en el se-
gundo cuadrante, formando un ángulo con el semieje X positivo:
β = 117°
c) La suma de a
8
y b
8
vale:
s
8
= (ax
+ bx
) · u
8
x
+ (ay
+ by
) · u
8
y
= 2 · u
8
x
+ 7 · u
8
y
d) La diferencia a
8
– b
8
es:
d
8
= (ax
– bx
) · u
8
x
+ (ay
– by
) · u
8
y
= 6 · u
8
x
– u
8
y
e) El vector –2 · a
8
+ 5 · b
8
resulta:
x
8
= –2 · a
8
+ 5 · b
8
= –2 · (ax
· u
8
x
+ ay
· u
8
y
) + 5 · (bx
· u
8
x
+ by
· u
8
y
) =
= (–2 · ax
+ 5 · bx
) · u
8
x
+ (–2 · ay
+ 5 · by
) · u
8
y
=
= (–2 · 4 + 5 · (–2)) · u
8
x
+ (–2 · 3 + 5 · 4) · u
8
y
=
= –18 · u
8
x
+ 14 · u
8
y
f) El producto escalar de ambos vectores es:
a
8
· b
8
= ax
· bx
+ ay
· by
= 4 · (–2) + 3 · 4 = 4
g) El vector unitario en la dirección de a
8
es:
u
8
a
= = = · ux
+ · u
8
y
= 0,8 · u
8
x
+ 0,6 · u
8
y
b) y el vector unitario en la dirección de b
8
vale:
u
8
b
= = = · ux
+ · u
8
y
= –0,45 · u
8
x
+ 0,89 · u
8
y
b
8
b
–2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
4,47
–2
4,47
4
4,47
a
8
a
4 · u
8
x
+ 3 · u
8
y
5
4
5
3
5
bx
b
–2
4,47
by
b
4
4,47
ax
a
4
5
ay
a
3
5
√bx
2
+ by
2
√(–2)2
+ 42
√ax
2
+ ay
2
√42
+ 32
8

En la siguiente figura representamos los vectores a
8
y b
8
en un sistema de ejes carte-
sianos, lo que nos ayudará a entender mejor los cálculos realizados:
7. La fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas m1
y m2
separados una
distancia r está dada por:
F = G ·
Determina las unidades de la constante G en el Sistema Internacional de Uni-
dades.
Si despejamos la constante de la ecuación, tenemos:
G =
Las magnitudes de la ecuación tienen las siguientes dimensiones:
[F] = L · M · T–2
; [m1
] = [m2
] = M; [r] = L
Por tanto, las dimensiones de la constante serán:
[G] = (L · M · T–2
) · (L)2
· (M)– 2
= L3
· M– 1
· T– 2
Sus unidades en el Sistema Internacional, S.I., serán, por tanto:
m3
· kg– 1
· s– 2
18. Menciona cuatro unidades de longitud diferentes al metro y a sus múltiplos y
submúltiplos. Muestra sus factores de conversión.
1 pulgada = 0,0254 m; 1 pie = 0,3048 m; 1 milla = 1609,347 m; 1 yarda = 0,9144 m
La milla a la que nos referimos es la milla terrestre; la milla marina equivale a 1852 m.
19. Encuentra cuatro unidades de masa diferentes al kilogramo y a sus múltiplos
y submúltiplos.
1 onza = 2,8350 · 10– 2
kg
1 libra = 0,45359 kg
1 u (unidad atómica de masa) = 1,66057 · 10–27
kg
1 arroba = 11,5 kg
10. Busca cuáles eran las unidades básicas del sistema C.G.S., y construye una ta-
bla con los factores de conversión que las relacionan con el S.I.
F · r2
m1
· m2
m1
· m2
r2
Y
X
a
117°
5
4,47
36,87°
b

Las unidades básicas del sistema C.G.S. y sus equivalencias con el S.I. son las que se
indican en la siguiente tabla:
11. Expresa, en notación científica, las siguientes cantidades:
a) 0,000000066 = 6,6 · 10– 8
b) 98050000000000 = 9,805 · 1013
c) 0,0000001001 = 1,001 · 10– 7
d) 403002000000 = 4,03002 · 1011
12. ¿Qué diferencia hay entre las cantidades numéricas 2,0; 2,00 y 2,000, proce-
dentes de la medida de una magnitud física experimental?
Las tres medidas se han hecho con aparatos de distinta sensibilidad: es decir, 0,1;
0,01 y 0,001, respectivamente.
13. Explica la diferencia entre error absoluto y error relativo.
El error absoluto de una medida es la diferencia entre su valor aproximado y su va-
lor exacto, desconocido, y se expresa en las mismas unidades que la magnitud física
que se ha medido. El error relativo no tiene unidades, porque es el error absoluto
dividido por el valor medido de la magnitud, y nos indica la calidad de la medida.
14. Se mide el tiempo de oscilación de un péndulo con un cronómetro que apre-
cia centésimas de segundo, y se obtiene 1,86 s. Calcula el error relativo de la
medida.
El error absoluto es 0,01 s, ya que afecta a la última cifra significativa. Por tanto, el
error relativo es:
er
= = 0,0054
Si se quiere expresar en forma de porcentaje, entonces el error relativo es del 0,54%.
15. Indica cuántas cifras significativas tienen los siguientes números:
a) 0,00101; tres.
b) 30,00; cuatro.
c) 9,43 · 104
; tres.
0,01
1,86
10
Magnitud Unidad C.G.S. Equivalencia S.I.
Espacio o longitud Centímetro 1 cm = 10–2
m
Masa Gramo 1 g = 10– 3
kg
Tiempo Segundo Es la misma
Fuerza Dina 1 din = 10– 5
N
Energía Ergio 1 erg = 10– 7
J

16. Cinco alumnos miden la misma mesa de laboratorio con idéntica cinta métri-
ca, obteniendo estos valores, en cm: 120,6; 120,4; 120,5; 120,4 y 120,3. Expre-
sa, de forma científica, el resultado global de la medida.
Para expresar el valor de la longitud de la mesa, hay que calcular el valor promedio de
las cinco medidas. Además, hay que calcular el error estadístico; es decir, la dispersión:
l = l
_
+ Dl
donde:
l
_
= = 120,44 cm
Dl =
( +
+ )
1/2
= 0,05 cm
Como la cinta métrica tiene una sensibilidad de 0,1 cm, mayor que la dispersión es-
tadística, el resultado se expresa así:
l = (120,4 Í 0,1) cm
(120,3 – 120,44)2
5 · 4
(120,6 – 120,44)2
+ (120,4 – 120,44)2
+ (120,5 – 120,44)2
+ (120,4 – 120,44)2
5 · 4
120,6 + 120,4 + 120,5 + 120,4 + 120,3
5

b) El vector b
8
– c
8
es la suma de b
8
con el opuesto de c
8
, o el que sumado a c
8
da b
8
:
12
c
Y
X
b
a + b + c
a + b
a
Y
X
a + b + c
b
c
a
c
Y
X
–c
b
b – c
c
Y
X
b
b – c
a) Podemos calcular la suma de dos formas: la primera (izquierda), realizando, en
primer lugar, la suma de dos de ellos (a
8
y b
8
, por ejemplo) y sumándole al resulta-
do el tercero, y la segunda, colocando los tres vectores uno a continuación del
otro y uniendo el origen del primero con el extremo del tercero (derecha):
ACTIVIDADES DEL FINAL DE LA UNIDAD
1. Escribe la relación dimensional entre las siguientes magnitudes derivadas
y las magnitudes fundamentales: volumen molar, velocidad angular, período y
longitud de onda.
El volumen molar es el cociente entre el volumen y el número de moles: Vm
= ;
por tanto, sus dimensiones serán: [Vm
] = L3
· mol–1
.
La velocidad angular es el cociente entre un ángulo (adimensional) y un tiempo. Sus
dimensiones serán: [u] = T–1
.
El período es un tiempo; por tanto, [T ] = T.
La longitud de onda es una longitud; entonces, [l] = L.
2. ¿Qué propiedades, de las mencionadas en la actividad anterior, son intensi-
vas? ¿Y vectoriales?
Intensiva, el volumen molar, y vectorial, la velocidad angular.
3. Dados los vectores de la figura, cuyos valores y direcciones se indican:
a) Calcula geométricamente la suma de
los tres vectores; b) determina el vector
b
8
– c
8
; c) obtén las componentes cartesia-
nas de cada uno; d) comprueba que se
cumple: a
8
· b
8
= a · b · cos α = ax
· bx
+ ay
· by
.
V
n
Actividades del final de la unidad
c
c = 4
a = 5
b = 6
Y
X
b
a
30°

c) Las componentes cartesianas del vector a
8
son:
ax
= a · cos α = 5 · cos (–30°) = 5 · 0,87 = 4,35
ay
= a · sen α = 5 · sen (–30°) = 5 · (–0,5) = –2,5
b) Y, por tanto, la expresión del vector a
8
es:
a
8
= ax
· u
8
x
+ ay
· u
8
y
= 4,35 · u
8
x
– 2,5 · u
8
y
b) Los vectores b
8
y c
8
, al estar orientados según los ejes X e Y, respectivamente, solo
tienen una componente: la correspondiente al eje sobre el que se encuentran.
b) En el caso del vector b
8
, orientado en el sentido positivo del eje X, su componente
Y es nula, by
= 0, y su componente X coincide con su módulo:
b) bx
= 6 8 b
8
= 6 · u
8
x
b) El vector c
8
, orientado en el sentido positivo del eje Y, tiene la componente X nu-
la, cx
= 0, y su componente Y coincide con su módulo:
b) cy
= 4 8 c
8
= 4 · u
8
y
d) Vamos a comprobar que las dos expresiones que permiten calcular el producto es-
calar de los vectores a
8
y b
8
dan el mismo resultado:
a
8
· b
8
= a · b · cos α = 5 · 6 · cos 30° = 30 · 0,87 = 26,1
a
8
· b
8
= ax
· bx
+ ay
· by
= 4,35 · 6 + (–2,5) · 0 = 26,1
4. Dados los vectores a
8
= 9 · u
8
x
– 12 · u
8
y
, b
8
= 12 · u
8
y
y c
8
= –17 · u
8
x
, determina:
a) el que tiene mayor módulo; b) el vector que sumado a a
8
da b
8
; c) un vector
unitario en la dirección de c
8
; d) el producto escalar de b
8
por c
8
; e) el ángulo
que forman a
8
y b
8
.
a) El módulo de cada vector es:
a = = = 15
b = = 12
c = = 17
b) Luego, el de mayor módulo es el vector c
8
.
b) Llamaremos v
8
= x · u
8
x
+ y · u
8
y
al vector que sumado a a
8
da b
8
; es decir, al vector
que cumple:
a
8
+ v
8
= b
8
b) Para que dos vectores sean iguales, deben serlo sus componentes, por lo que se
debe cumplir:
b) ax
+ x = bx
8 9 + x = 0 8 x = –9
b) ay
+ y = by
8 –12 + y = 12 8 y = 24
b) Luego el vector v
8
es:
b) v
8
= –9 · u
8
x
+ 24 · u
8
y
c) Un vector unitario en la dirección de c
8
es:
b) u
8
c
= = = –ux
c
8
c
–17 · u
8
x
17
√(–17)2
+ 02
√02
+ 122
√ax
2
+ ay
2
√92
+ (–12)2

b) El vector unitario debe especificar tanto la dirección como el sentido; por eso
u
8
c
= –u
8
x
y no u
8
x
, como podía pensarse.
d) El producto escalar de b
8
por c
8
es:
b)b
8
· c
8
= bx
· cx
+ by
· cy
b)b
8
· c
8
= 0 · (–17) + 12 · 0 = 0
b) como era de esperar, ya que estos vectores son perpendiculares.
e) A partir de las dos expresiones que nos permiten calcular el producto escalar de
dos vectores:
a
8
· b
8
= a · b · cos α = ax
· bx
+ ay
· by
b) Despejando:
cos α = = = –0,8
b) Luego, el ángulo que forman los vectores a
8
y b
8
es:
α = arccos (–0,8) = 143,13°
5. La química cuántica utiliza, como unidad de longitud, el «radio de Bohr». Busca
su factor de conversión a metros.
El radio de Bohr, que es el radio de la primera órbita del modelo de Bohr, se calcula
como sigue:
a0
=
donde h = 6,626 · 10–34
J · s es la constante de Planck; K = 9 · 109
m3
· kg · s– 4
· A– 2
, la
constante de Coulomb; e, la carga del electrón, y m, su masa.
Según eso, el radio de Bohr es:
a0
= 5,29 · 10– 11
m
6. El período de oscilación de un muelle es:
T = 2 · π ·
Determina las unidades de k en el S.I.
Para conocer las unidades de la constante, primero despejamos k en la ecuación:
k = 4 · π2
·
Las magnitudes de la ecuación son:
[m] = M ; [T ] = T
Por tanto, las dimensiones de la constante son:
[k] = M · T – 2
Y sus unidades, en el S.I., serán kg · s–2
.
m
T 2
√
m
k
h2
4 · π2
· m · e2
· K
ax
· bx
+ ay
· by
a · b
9 · 0 + (–12) · 12
15 · 12
14

7. La unidad más común de potencial eléctrico es el voltio, y la de presión, el pas-
cal. Encuentra las relaciones de equivalencia de estas unidades derivadas con
las unidades fundamentales del S.I.
Para relacionar el voltio con las unidades fundamentales, utilizamos la expresión que
define el potencial eléctrico:
V =
donde Ep
es la energía potencial, y q, la carga.
La ecuación de dimensiones de ambas magnitudes es:
[Ep
] = L2
· M · T– 2
[q] = T · I
Por tanto, las unidades del potencial eléctrico son:
[V ] = L2
· M · T– 2
· T– 1
· I– 1
= L2
· M · T– 3
· I– 1
Y el voltio está relacionado con las unidades fundamentales; así:
1 V = 1 m2
· kg · s– 3
· A– 1
Por otro lado, la presión se define como la fuerza ejercida por unidad de superficie:
P =
Estas magnitudes tienen las siguientes ecuaciones de dimensiones:
[F] = L · M · T– 2
; [S] = L2
Por tanto, la ecuación de dimensiones de la presión será:
[P] = L · M · T– 2
· L– 2
= L– 1
· M · T– 2
El pascal está relacionado con las unidades fundamentales del siguiente modo:
1 Pa = 1 m– 1
· kg · s– 2
8. Escribe, en notación científica, el valor de la unidad de masa atómica expre-
sada en kilogramos.
La unidad de masa atómica es, por definición, la doceava parte de la masa de un áto-
mo de C-12.
La masa de un mol de átomos de C-12 es 12 g, y en esa cantidad hay 6,022 · 1023
áto-
mos de C; por tanto, cada átomo de C pesará:
m = = 1,993 · 10– 23
g
La doceava parte de ese número es la unidad de masa atómica:
1 u = 1,661 · 10– 24
g = 1,661 · 10– 27
kg
12 g
6,022 · 1023
átomos
F
S
Ep
q

9. Indica cuál es el instrumento más adecuado para medir las siguientes magni-
tudes, así como su rango de medida y su umbral de sensibilidad:
a) Las dimensiones de un campo de fútbol. Un campo de fútbol mide, aproxi-
madamente, 100 m de largo por 50 de ancho. Para medir esas longitudes pode-
mos utilizar una cinta métrica. Rango de medida: desde 0 hasta 120 metros. Sen-
sibilidad: 1 cm.
b) Las dimensiones de un microprocesador. Un microprocesador mide unos
pocos milímetros; por tanto, el mejor aparato con que podemos medirlo es un
calibre o pie de rey. Rango de medida: desde 0 hasta 50 cm. Sensibilidad: desde
0,01 cm.
c) La temperatura de un bebé. Con un termómetro que mida en el rango de 20 ºC
a 50 ºC y cuya sensibilidad detecte décimas de grado centígrado.
d) El tiempo que tarda un coche de fórmula 1 en dar la vuelta a un circuito.
Se puede medir con un cronómetro digital con un rango de medida de 0 a 10 mi-
nutos y que pueda distinguir, al menos, centésimas de segundo.
e) El volumen de una disolución preparada en el laboratorio de química. Con
un matraz aforado o una pipeta. El rango depende del tipo de matraz: uno de 1 L
puede medir hasta 1 L; mientras que el de la pipeta está comprendido entre 0 y
100 mL. En cuanto a la sensibilidad, el matraz aforado no tiene escala, solo la
marca de aforo; la pipeta descrita tiene una sensibilidad de 0,1 mL.
10. Para calibrar una balanza se ha pesado un patrón de 1 kg cinco veces, obte-
niendo las siguientes lecturas: 1,0015 kg; 0,9999 kg; 0,9998 kg; 1,0012 kg;
1,0003 kg. ¿Es exacta la balanza? ¿Es precisa? ¿Cuál es el valor más probable
de la masa del objeto? ¿Cuál es el error estadístico?
La exactitud mide la cercanía entre el valor real y el valor medido. La medida más
alejada del patrón, 1,0015 kg, tiene un error absoluto de 0,0015 kg, lo que supone
un error relativo del 0,15%; por tanto, podemos decir que la balanza es exacta.
La precisión depende del error aleatorio de las mediciones. Si el valor medio es:
m
_
= = 1,0005 kg
entonces, el error estadístico, o dispersión, resulta:
Dm = ( +
+
)
1/2
= 0,0003 kg
Es un valor muy pequeño y, por tanto, la balanza puede considedarse precisa.
La expresión correcta de la medida es:
m = (1,0005 Í 0,0003) kg
11. Para medir la densidad de un líquido se ha utilizado un recipiente cuyo volu-
men se ha calibrado: V = 25,00 Í 0,01 cm3
. Se ha pesado el líquido que llenaba
el recipiente, obteniéndose el valor de 25,023 Í 0,005 g.
(1,0012 – 1,0005)2
+ (1,0003 – 1,0005)2
5 · 4
(1,0015 – 1,0005)2
+ (0,9999 – 1,0005)2
+ (0,9998 – 1,0005)2
5 · 4
1,0015 + 0,9999 + 0,9998 + 1,0012 + 1,0003
5
16

¿Cuál es la densidad del líquido? ¿Cuál es el error?
La densidad del líquido se obtiene con la expresión:
p = = = 1,00092 g/cm3
Para calcular su error, hay que aplicar el cálculo de propagación de errores:
Por tanto, la densidad del líquido es:
p = (1,0009 ± 0,0004) g/cm3
12. Para medir la resistencia de un circuito eléctrico, hemos efectuado varias me-
diciones de la diferencia de potencial del circuito al cambiar la intensidad de
la corriente, y hemos obtenido:
Representa los datos en una gráfica, y propón un modelo matemático que se
ajuste a ellos.
Los datos, representados en una gráfica, son:
Parece haber una relación lineal entre la diferencia de potencial y la intensidad de
corriente, salvo por el segundo dato, que podría tratarse de un error. Si prescindimos
de ese dato y hacemos un ajuste lineal de los datos restantes, obtenemos una recta
de ecuación:
I = –0,07927 + 1,6576 · V
Su representación gráfica se muestra en la ilustración de la página siguiente:
m
V
25,023
25,00
5
0
0
2 4 6 8 10 12
10
15
20
V (V)
I (A)
14
√( )
2
+
( )
2
DV
V
Dm
m √
Dp = ·
m
V
= · ( )
2
+ ( )
2
= 0,0004 g/cm3
0,01
25,00
0,005
25,023
25,023
25,00
V (voltios)
RESULTADO DE LAS MEDICIONES
1,27 3,09 4,96 10,97 12,25
I (amperios) 2,0 2,1 8,2 18,0 20,3

5
0
0
2 4 6 8 10 12
10
15
20
V (V)
I (A)
14
18

Unidad 2. Cinemática: magnitudes cinemáticas 19
1. Halla la expresión del vector posición, y su módulo, para los siguientes pun-
tos: a) P1
(–2, 4). b) P2
(2, 0). c) P3
(0, 4). d) P4
(0, –4).
Obtenemos el vector posición para cada punto empleando la expresión:
OP
8
= r
8
= x · ux
8
+ y · uy
8
y, para el módulo:
ßr
8
ß=
Por tanto resulta, para cada punto, lo siguiente:
a) OP
8
1
= r1
8
= (–2 · ux
8
+ 4 · uy
8
) m
a) ßr1
8
ß = = = 4,47 m
b) OP
8
2
= r2
8
= 2 · ux
8
+ 0 · uy
8
= 2 · ux
8
m
a) ßr2
8
ß = = = 2 m
c) OP
8
3
= r3
8
= 0 · ux
8
+ 4 · uy
8
= 4 · uy
8
m
a) ßr3
8
ß = = = 4 m
d) OP
8
4
= r4
8
= 0 · ux
8
+ (–4) · uy
8
= –4 · uy
8
m
a) ßr4
8
ß = = = 4 m
2. El vector posición de un cuerpo viene dado por la ecuación:
r
8
= (t + 1) · ux
8
+ uy
8
expresada en unidades del S.I. Calcula, para dicho cuerpo: a) Su posición ini-
cial. b) Su distancia al origen en t = 3 s. c) La expresión del vector desplaza-
miento y su módulo, entre los instantes t1
= 1 s y t2
= 4 s.
a) Para el instante t = 0, se obtiene la posición inicial: P0
= (1, 1) m.
b) Para t = 3 s, el vector posición del cuerpo es:
r
8
= 4 · ux
8
+ uy
8
Por tanto, el cuerpo se encuentra en el punto:
P = (4, 1) m
Entonces, la distancia al origen en este instante es:
ß
OP
8
ß=ßr
8
ß= = = 4,12 m
√17
√42
+ 12
√16
√02
+ (–4)2
√16
√02
+ 42
√4
√22
+ 02
√20
√(–2)2
+ 42
√x2
+ y2
2 Cinemática:
magnitudes cinemáticas

20
c) Para t1
= 1 s 8 r1
8
= 2 · ux
8
+ uy
8
8 P1
= (2, 1) m.
Para t2
= 4 s 8 r2
8
= 5 · ux
8
+ uy
8
8 P2
= (5, 1) m.
El vector desplazamiento entre las posiciones P1
y P2
es:
Dr
8
= r2
8
– r1
8
= (5 – 2) · ux
8
+ (1 – 1) · uy
8
= 3 · ux
8
m
y su módulo:
ßDr
8
ß = = = 3 m
3. Un móvil está en el instante t1
= 1 s, en P1
(3, 5), y en t2
= 5 s, en P2
(15, 21).
Las coordenadas se miden en m. Calcula la velocidad media entre ambas posi-
ciones.
Para t1
= 1 s, el vector posición del móvil es r1
8
= 3 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
, y para t2
= 5 s, el vec-
tor posición del móvil es r2
8
= 15 · u
8
x
+ 21 · u
8
y
; luego, la velocidad media entre ambos
instantes es:
vm
8
= = = =
= + = (3 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s
Su módulo es:
ßv
8
m
ß = = 5 m/s
4. La Luna tarda 28 días en dar una vuelta alrededor de la Tierra. Considerando
su trayectoria como una circunferencia de 384000 km de radio, ¿cuál es la ce-
leridad media con que se traslada la Luna? Calcula el módulo de la velocidad
media de la Luna en media vuelta y en una vuelta completa.
Cuando la Luna ha dado una vuelta, el espacio recorrido es igual a la longitud de la
circunferencia:
Ds = 2 · π · R = 2 · 3,14 · 3,84 · 108
m = 24,12 · 108
m
y tarda en recorrer dicho espacio 28 días, es decir, 2419200 s; luego, la celeridad me-
dia es:
cm
= = = 997,02 m/s
El módulo del vector desplazamiento en media vuelta es igual al diámetro de la cir-
cunferencia:
ßDr
8
ß = D = 2 · 3,84 · 108
m = 7,68 · 108
m
y el tiempo empleado es de 14 días; esto es, 1209600 s.
Luego, el módulo de la velocidad media es vm
= 634,92 m/s.
En una vuelta completa, como la posición final coincide con la inicial, el vector des-
plazamiento es nulo y, por tanto, la velocidad media en este caso es nula.
√32
+ 42
√9
√32
+ 02
Dr
8
Dt
r
8
2
– r
8
1
t2
– t1
(15 – 3) · u
8
x
+ (21 – 5) · u
8
y
5 – 1
12 · u
8
x
4
16 · u
8
y
4
Ds
Dt
24,12 · 108
m
2419200 s

5. Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son:
x = 2 + 3 · t ; y = t2
en unidades del S.I. Calcula su velocidad media entre los instantes t1
= 1 s y t2
= 3 s.
Para t = 1 s, sustituyendo en las ecuaciones del movimiento, tenemos:
x1
= 2 + 3 · 1 = 5 m ; y1
= 12
= 1 m
Luego, el vector posición es:
r1
8
= (5 · ux
8
+ uy
8
) m
Para t = 3 s:
x3
= 2 + 3 · 3 = 11 m ; y3
= 32
= 9 m
Luego, el vector posición es:
r3
8
= (11 · ux
8
+ 9 · uy
8
) m
El vector desplazamiento entre ambas posiciones es:
Dr
8
= r3
8
– r1
8
= (11 – 5) · ux
8
+ (9 – 1) · uy
8
= (6 · ux
8
+ 8 · uy
8
) m
Por tanto, la velocidad media entre estas posiciones es:
vm
8
= = = (3 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s
6. La ecuación del movimiento de un cuerpo es: r
8
= (5 + 8 · t) · ux
8
+ t2
· uy
8
, en uni-
dades del S.I. Calcula, para el intervalo comprendido entre t1
= 2 s y t2
= 4 s, la
velocidad media del cuerpo.
La posición del móvil para t1
= 2 s es un punto, P1
, cuyas coordenadas son:
x = 5 + 8 · 2 = 21 m ; y = 22
= 4 m
Por tanto, el punto P1
es:
P1
= (21, 4) m
La posición del móvil para t2
= 4 s es un punto, P2
, cuyas coordenadas son:
x = 5 + 8 · 4 = 37 m ; y = 42
= 16 m
es:
P2
= (37, 16) m
El vector desplazamiento entre ambas posiciones resulta:
Dr
8
= P1
P2
Ä8
= (37 – 21) · u
8
x
+ (16 – 4) · u
8
y
= (16 · u
8
x
+ 12 · u
8
y
) m
Entonces, la velocidad media entre ambas posiciones es:
vm
8
= = = (8 · u
8
x
+ 6 · u
8
y
) m/s
siendo su módulo:
ßv
8
m
ß = vm = = 10 m/s
√82
+ 62
Dr
8
Dt
6 · u
8
x
+ 8 · u
8
y
3 – 1
16 · u
8
x
+ 12 · u
8
y
4 – 2
Dr
8
Dt

22
7. El vector posición de un móvil es:
r
8
(t) = t2
· ux
8
+ 10 · t · uy
8
expresado en unidades del S.I. Calcula:
a) Su velocidad media entre t = 2 s y t = 6 s. b) Su velocidad media entre los
instantes t y t + Dt. c) Su velocidad en el instante t. d) El módulo de su veloci-
dad para t = 2 s y para t = 6 s.
a) Los vectores posición para t = 2 s, r2
8
, y para t = 6 s, r6
8
, son:
r2
8
= (4 · u
8
x
+ 20 · u
8
y
) m ; r6
8
= (36 · u
8
x
+ 60 · u
8
y
) m
Luego, el vector desplazamiento vale:
Dr
8
= r6
8
– r2
8
= (36 – 4) · u
8
x
+ (60 – 20) · u
8
y
= (32 · u
8
x
+ 40 · u
8
y
) m
Entonces, la velocidad media entre estas posiciones es:
vm
8
= = = (8 · u
8
x
+ 10 · u
8
y ) m
b) El vector posición para el instante t es:
r
8
(t) = t2
· u
8
x
+ 10 · t · uy
8
y para t + Dt:
r
8
(t + Dt) = (t + Dt)2
· u
8
x
+ 10 · (t + Dt) · u
8
y
=
= (t2
+ 2 · t · Dt + (Dt)2
) · u
8
x
+ (10 · t + 10 · Dt) · u
8
y
Por tanto, el vector desplazamiento es:
Dr
8
= r
8
(t + Dt) – r
8
(t) = (2 · t · Dt + (Dt)2
) · u
8
x
+ (10 · t · Dt) · u
8
y
y la velocidad media entre t y t + Dt es:
vm
8
= = = [(2 · t + Dt) · u
8
x
+ 10 · u
8
y ] m/s
c) La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando Dt tiende a
cero; luego:
v
8
= lím
Dt80
v
8
m
= lím
Dt80
= lím
Dt80
[(2 · t + Dt) · u
8
x
+ 10 · u
8
y] = (2 · t · u
8
x
+ 10 · u
8
y
) m/s
d) La velocidad para t = 2 s es:
vm
8
= (4 · ux
8
+ 10 · uy
8
) m/s
Luego, su módulo vale:
ßv2
8
ß= = = 10,77 m/s
La velocidad, y su módulo, para t = 6 s es:
v6
8
= (12 · ux
8
+ 10 · uy
8
) m/s
ßv6
8
ß = = = 15,62 m/s
√122
+ 102
√244
Dr
8
Dt
32 · u
8
x + 40 · u
8
y
6 – 2
Dr
8
Dt
Dr
8
Dt
(2 · t · Dt + (Dt)2
) · u
8
x
+ 10 · Dt · u
8
y
Dt
√42
+ 102
√116

8. Un cuerpo se mueve de acuerdo con la siguiente ley horaria: s = 5 + 10 · t + t2
,
donde s se expresa en m, y t, en s. Calcula: a) El espacio inicial y el espacio a
los 5 s. b) La celeridad media durante los cinco primeros segundos. c) Su cele-
ridad media entre t y t + Dt. d) Su celeridad en cualquier instante.
a) El espacio inicial es el valor para t = 0 s; luego:
s0
= 5 m
y para t = 5 s:
s5
= 5 + 10 · 5 + 52
= 80 m
b) La celeridad media en los 5 primeros segundos es:
cm
= = = = 15 m/s
c) Calculamos el espacio para el instante t:
s(t) = 5 + 10 · t + t2
y para t + Dt:
s(t + Dt) = 5 + 10 · (t + Dt) + (t + Dt)2
= 5 + 10 · t + 10 · Dt + t2
+ 2 · t · Dt + (Dt)2
Luego, el espacio recorrido es:
Ds = s(t + Dt) – s(t) = 10 · Dt + 2 · t · Dt + (Dt)2
La celeridad media resulta:
cm
= = = (2 · t + 10 + Dt) m/s
d) La celeridad en cualquier instante se obtiene calculando el límite de cm
cuando Dt
tiende a cero:
v = lím
Dt80
cm
= lím
Dt80
= lím
Dt80
(2 · t + 10 + Dt) = (2 · t + 10) m/s
9. Un automóvil que circula en línea recta a 90 km/h acelera y, al cabo de 10 s,
alcanza 108 km/h; mantiene esa velocidad durante 20 s y luego frena, dete-
niéndose en 5 s. Calcula el módulo de su aceleración media, en m/s2
: a) En los
10 primeros segundos. b) En los 20 primeros segundos. c) Durante los 5 últi-
mos segundos.
Expresamos los datos en unidades del Sistema Internacional:
v0
= 90 km/h = 25 m/s ; v = 108 km/h = 30 m/s
Si tomamos la línea recta en que se mueve el automóvil como eje X, tenemos que la
velocidad inicial y a los 10 s es:
v0
8
= 25 · ux
8
m/s ; v
8
= 30 · ux
8
m/s
la cual permanece constante durante 20 s; luego:
a) En los 10 primeros segundos, la velocidad inicial es v0
8
, y la velocidad final es v
8
; lue-
go, la aceleración media es:
am
8
= = = = 0,5 · ux
8
m/s2
y su módulo vale:
am
= 0,5 m/s2
Dv
8
Dt
v
8
– v0
8
Dt
30 · u
8
x
– 25 · u
8
x
10
Ds
Dt
Ds
Dt
Ds
Dt
80 – 5
5 – 0
75
5
2 · t · Dt + 10 · Dt + (Dt)2
Dt

24
b) En los 20 primeros segundos, la velocidad inicial es v0
8
, y la velocidad final a los 20 s
vale lo mismo que a los 10 s, pues entre 10 s y 20 s permanece constante; luego:
v
8
= 30 · ux
8
. Sin embargo, el tiempo considerado es el doble que en el apartado an-
terior, por lo que la aceleración media resulta, en este caso:
am
8
= = = 0,25 · ux
8
m/s2
siendo su módulo:
am = 0,25 m/s2
c) En los 5 últimos segundos, la velocidad inicial es v
8
, y la velocidad final es cero,
pues el automóvil se detiene en ese instante; luego:
am
8
= = = –6 · ux
8
m/s2
y su módulo vale:
am
= 6 m/s2
10. La velocidad de un cuerpo viene dada por la ecuación: v
8
= 4 · t · u
8
x
+ 3 · u
8
y
, en
unidades del S.I. Calcula: a) Su velocidad inicial y su velocidad al cabo de 2 s.
b) Su aceleración media entre ambos instantes. c) Su aceleración media entre
t y t + Dt. d) Su aceleración instantánea para t = 2 s.
a) La velocidad inicial del cuerpo es:
v
8
0
= v
8
(0) = 4 · 0 · u
8
x
+ 3 · u
8
y
= 3 · u
8
y
m/s
La velocidad del cuerpo para t = 2 s es:
v
8
2
= v
8
(2) = 4 · 2 · u
8
x
+ 3 · u
8
y
= (8 · u
8
x
+ 3 · u
8
y
) m/s
b) La aceleración media entre ambos instantes es:
am
8
= = = = 4 · u
8
x
m/s2
c) La velocidad del cuerpo para el instante t es:
v
8
(t) = 4 · t · u
8
x
+ 3 · u
8
y
y para t + Dt:
v
8
(t + Dt) = 4 · (t + Dt) · u
8
x
+ 3 · u
8
y
= (4 · t + 4 · Dt) · u
8
x
+ 3 · u
8
y
Por tanto, la aceleración media en ese intervalo de tiempo vale:
am
8
= = = =
= = 4 · u
8
x
m/s2
d) Como la aceleración media es constante, en cualquier instante, t, coincide con la
aceleración instantánea; luego, para t = 2 s:
a
8
= 4 · u
8
x
m/s2
0 · u
8
x
– 30 · u
8
x
5
30 · u
8
x
– 25 · u
8
x
20
Dv
8
Dt
Dv
8
Dt
4 · Dt · u
8
x
Dt
v
8
– v0
8
Dt
Dv
8
Dt
v
8
– v0
8
Dt
Dv
8
Dt
(4 · t + 4 · Dt) · u
8
x
+ 3 · u
8
y
– (4 · t · u
8
x
+ 3 · u
8
y
)
Dt
8 · u
8
x
+ 3 · u
8
y – 3 · u
8
y
2 – 0

ACTIVIDADES DEL FINAL DE LA UNIDAD
1. El observador A está pescando en la orilla de un río y el observador B está so-
bre una balsa que es arrastrada por la corriente del río. Indica para cuál de es-
tos observadores es cierta cada una de las afirmaciones siguientes:
a) Los árboles de la orilla están en movimiento.
b) La balsa está en reposo.
c) Los árboles de la orilla y la balsa están en reposo.
a) Es cierta para el observador B, pues para él cambian de posición. En cambio, pa-
ra el observador A permanecen en reposo.
b) Es cierta para el observador B, pues para él la balsa no modifica su posición; es fal-
sa para el observador A, porque para él, al ser arrastrada por la corriente, la balsa
cambia de posición.
c) Está afirmación es falsa para ambos: para A, los árboles están en reposo y la balsa
en movimiento, mientras que para B, los árboles están en movimiento y la bal-
sa está en reposo.
2. Indica si el movimiento de los siguientes objetos es de traslación, de rotación
o es una combinación de ambos tipos de movimiento:
a) Una caja de zapatos que baja deslizándose por una mesa inclinada.
b) Las manecillas de un reloj.
c) Una pelota que baja rodando por un plano inclinado.
d) El movimiento de las ruedas de la bicicleta estática de un gimnasio.
a) Cuando la caja de zapatos baja deslizándose por la mesa inclinada, su movimien-
to es de traslación, pues todos sus puntos llevan la misma velocidad en cada ins-
tante. Observa que las trayectorias de sus distintos puntos son líneas rectas parale-
las al plano de la mesa y que todos ellos recorren el mismo espacio en el mismo
tiempo.
b) Las manecillas de un reloj realizan un movimiento de rotación. Todos sus puntos
describen trayectorias circulares alrededor del eje de giro, que pasa por uno de
los extremos de la manecilla. Cada punto de la manecilla recorre un espacio dis-
tinto, según sea su distancia al eje de giro. Todos los puntos giran el mismo ángu-
lo en el mismo tiempo, pero no realizan el mismo desplazamiento.
c) Cuando la pelota baja rodando por un plano inclinado realiza un movimiento de
traslación y otro de rotación, pues los puntos giran alrededor de un eje que pasa
por el centro de la pelota, pero este se traslada, a la vez, en línea recta, siguiendo
una trayectoria paralela al plano inclinado.
d) Si la bicicleta está anclada en un soporte, las ruedas únicamente realizan un movi-
miento de rotación.
3. La trayectoria de una pelota que hemos lanzado al aire está dada por las si-
guientes ecuaciones, en unidades del S.I.: x = 4 · t; y = 1 + 4 · t – 5 · t2
. Comple-
ta la siguiente tabla:
Actividades del final de la unidad

26
Dibuja la trayectoria de la pelota. ¿Podemos asegurar que la pelota pasa por el
punto (–0,8, 0)?
Las ecuaciones de la trayectoria son:
x = 4 · t ; y = 1 + 4 · t – 5 · t2
.
Sustituyendo los valores de t, completamos la tabla, y a partir de ella dibujamos la
gráfica de la trayectoria de la pelota que se muestra a la derecha:
Si la pelota pasase por el punto (–0,8, 0), entonces:
–0,8 = x = 4 · t 8 t = –0,2 s
Pero un tiempo negativo no tiene sentido físico; luego, no podemos asegurar si el
cuerpo pasa por esa posición.
4. Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 3 · t + 2, y = 4 · t – 5, en
unidades del S.I.:
a) Calcula la posición del móvil para t = 1, 2, 3 y 4 s y dibuja su trayectoria.
b) ¿Qué tipo de trayectoria describe el cuerpo?
c) Calcula en qué instante está el móvil en el punto (17, 15).
d) ¿Pasa el móvil por el punto (20, 25)? ¿Y por el punto (–1, –9)? ¿Por qué?
a) Las posiciones del móvil para esos tiempos son:
Para t = 1 s 8 x = 3 · 1 + 2 = 5 ; y = 4 · 1 – 5 = –1 8 P1
= (5, –1) m
Para t = 2 s 8 x = 3 · 2 + 2 = 8 ; y = 4 · 2 – 5 = 3 8 P2
= (8, 3) m
Tiempo (s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Posición (m)
(0, 1)
(0,8, 1,6)
(1,6, 1,8)
(2,4, 1,6)
(3,2, 1,0)
1 (4,0, 0) 0
1 2 3 4
1
2
x (m)
y (m)
Tiempo (s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Posición (m)
(0, 1)
1

Para t = 3 s 8 x = 3 · 3 + 2 = 11 ; y = 4 · 3 – 5 = 7 8 P3
= (11, 7) m
Para t = 4 s 8 x = 3 · 4 + 2 = 14 ; y = 4 · 4 – 5 = 11 8 P4
= (14, 11) m
La figura muestra la trayectoria que describe el móvil:
b) Para obtener el tipo de trayectoria, despejamos t de las ecuaciones dadas:
x = 3 · t + 2 8 t =
y = 4 · t – 5 8 t =
Igualando ambas expresiones, tenemos la ecuación de la trayectoria:
= 8 y = · x –
c) Para que el móvil pase por un punto, se ha de cumplir que para un instante t los
valores de x e y coincidan con las coordenadas de dicho punto:
x = 17 = 3 · t + 2 8 3 · t = 17 – 2 = 15 8 t = 5 s
y = 15 = 4 · t – 5 8 4 · t = 15 + 5 = 20 8 t = 5 s
Luego, el móvil pasa por el punto (17, 15) a los 5 s.
d) Para el punto (20, 25):
x = 20 = 3 · t + 2 8 3 · t = 20 – 2 = 18 8 t = 6 s
y = 25 = 4 · t – 5 8 4 · t = 25 + 5= 30 8 t = 7,5 s
No puede pasar por este punto, pues alcanza el valor de cada coordenada en un
tiempo distinto.
Para el punto (–1, –9):
x = –1 = 3 · t + 2 8 3 · t = –1 – 2 = –3 8 t = –1 s
y = –9 = 4 · t – 5 8 4 · t = –9 + 5= –4 8 t = –1 s
El tiempo es igual para ambas coordenadas, pero como es negativo carece de sen-
tido físico; por tanto, el móvil tampoco pasa por este punto.
y + 5
4
x – 2
3
4
3
23
3
y + 5
4
x – 2
3
5
10 15
0
10
x (m)
y (m)
5

28
5. La ecuación del movimiento de un cuerpo es r
8
= 3 · t · u
8
x
+ (–2 + 2 · t + t2
) · u
8
y
,
en unidades del S.I.:
a) Calcula el vector posición para t = 0, 1, 2, 3 y 4 s.
b) Dibuja aproximadamente la trayectoria del cuerpo y escribe la ecuación de
la trayectoria.
c) Explica razonadamente por qué este móvil no puede pasar por los puntos
(15, 32) y (–3, –3).
a) Para t = 0 8 r
8
0
= –2 · u
8
y
m
Para t = 1 s 8 r
8
1
= (3 · u
8
x
+ 1 · u
8
y
) m
Para t = 2 s 8 r
8
2
= (6 · u
8
x
+ 6 · u
8
y
) m
Para t = 3 s 8 r
8
3
= (9 · u
8
x
+ 13 · u
8
y
) m
Para t = 4 s 8 r
8
4
= (12 · u
8
x
+ 22 · u
8
y
) m
b) Las ecuaciones paramétricas de la
trayectoria son:
x = 3 · t ; y = –2 + 2 · t + t2
Despejando t de la primera y sustitu-
yendo en la segunda, se tiene:
t = 8 y = –2 + · x + · x2
La trayectoria aproximada del cuerpo
es la que se muestra en la gráfica.
c) Para (15, 32):
15 = x = 3 · t 8 t = 5
Calculamos y para ese instante:
y = –2 + 2 · 5 + 52
= 37 ? 32
Como no coinciden, el móvil no pasa por ese punto. Para (–3, –3):
–3 = x = 3 · t 8 t = –1
Calculamos y para ese instante:
y = –2 + 2 · (–1) + (–1)2
= –2 – 2 + 1 = –3
Como vemos, las coordenadas del cuerpo son las señaladas en un instante dado,
t = –1 s, pero como este tiempo es negativo no lo podemos asegurar, porque un
tiempo negativo carece de sentido físico.
6. Una persona recorre 50 m en dirección norte; después, 40 m en dirección es-
te, y, por último, 80 m en dirección sur. ¿Cuánto vale el módulo del vector des-
plazamiento entre los instantes inicial y final? ¿Y el espacio recorrido?
El vector desplazamiento va desde A hasta D (figura de la página siguiente), y su mó-
dulo coincide con la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen 40 m
y 30 m, respectivamente; luego:
ßDr
8
ß = = 50 m
√402
+ 302
x
3
2
3
1
9 –1
–2
1 2 3 4
3
2
1
x (m)
y (m)

El espacio total recorrido es la suma del espacio recorrido en cada etapa; esto es:
Ds = 50 + 40 + 80 = 170 m
7. Las ecuaciones de la trayectoria de un móvil son: x = 2 · t2
; y = 10 + t2
, expre-
sadas en unidades del S.I.:
a) Calcula el vector posición para t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s y t = 4 s.
b) Dibuja la trayectoria del móvil y escribe su ecuación.
c) Calcula el vector desplazamiento entre t = 1 s y t = 4 s, y entre t = 2 s
y t = 3 s.
d) ¿Coincide el módulo del vector desplazamiento con el espacio recorrido en
un intervalo cualquiera?
a) Para t = 1 s 8 x = 2 · 12
= 2 ; y = 10 + 12
= 11 8 r
8
1
= (2 · u
8
x
+ 11 · u
8
y
) m
Para t = 2 s 8 x = 2 · 22
= 8 ; y = 10 + 22
= 14 8 r
8
2
= (8 · u
8
x
+ 14 · u
8
y
) m
Para t = 3 s 8 x = 2 · 32
= 18 ; y = 10 + 32
= 19 8 r
8
3
= (18 · u
8
x
+ 19 · u
8
y
) m
Para t = 4 s 8 x = 2 · 42
= 32 ; y = 10 + 42
= 26 8 r
8
4
= (32 · u
8
x
+ 26 · u
8
y
) m
b) Despejando t en la componente x y sustituyendo en la coordenada y, tenemos:
x = 2 · t2
8 t2
= 8 y = 10 + t2
= 10 +
luego:
y = + 10
La ecuación de la trayectoria corresponde a una línea recta, cuya gráfica es la de
la figura:
x
2
x
2
x
2
2 4 8 10
0
10
20
x (m)
y (m)
N
E
O
A
D
S

30
c) El vector desplazamiento entre t = 1 s y t = 4 s es:
Dr
8
= r
8
4
– r
8
1
= (32 · u
8
x
+ 26 · u
8
y
) – (2 · u
8
x
+ 11 · u
8
y
) = (30 · u
8
x
+ 15 · u
8
y
) m
y entre t = 2 s y t = 3 s:
Dr
8
= r
8
3
– r
8
2
= (18 · u
8
x
+ 19 · u
8
y
) – (8 · u
8
x
+ 14 · u
8
y
) = (10 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m
d) Sí, porque la trayectoria es rectilínea y no hay cambio de sentido.
8. Lanzamos verticalmente hacia arriba una pelota, que llega a una altura de 4 m
y nos vuelve a caer en la mano. Calcula el vector desplazamiento, su módulo y
el espacio recorrido:
a) En el tramo de subida.
b) En el tramo de bajada.
c) Entre la posición inicial y la final.
Situando el origen de coordenadas en la mano y el semieje Y positivo hacia arriba, te-
nemos, para cada caso:
a) Dr
8
= 4 · u
8
y
8 ßDr
8
ß = 4 m ; Ds = 4 m
b) Dr
8
= –4 · u
8
y
8 ßDr
8
ß = 4 m ; Ds = 4 m
c) Dr
8
= 0 · u
8
y
8 ßDr
8
ß = 0 ; Ds = 8 m
9. Determina cuál de los siguientes cuerpos se mueve más deprisa: a) Una pelota
a 30 m/s. b) Una motocicleta a 90 km/h. c) Un barco a 40 nudos.
Para determinar cuál de los tres cuerpos se mueve más deprisa, expresamos, en pri-
mer lugar, las velocidades en las unidades correspondientes del S.I.:
a) v1
= 30 m/s
b) v2
= 90 = = 25 m/s
c) v3
= 40 nudos = 40 · = 40 · = 20,58 m/s
Observa que:
v1
> v2
> v3
Por tanto, se mueve más deprisa la pelota.
10. Al observar el movimiento de un automóvil que circula por la carretera N-IV
hemos obtenido los siguientes datos:
1,852 km
1 h
1852 m
3600 s
km
h
90000 m
3600 s
Tiempo (h:m)
8:40
10:10
10:30
11:30
Localidad
Aranjuez
Manzanares
Valdepeñas
Bailén
Punto kilométrico
50
175
205
300

Calcula su celeridad media en m/s y en km/h: a) Entre Manzanares y Bailén.
b) Entre Aranjuez y Valdepeñas.
a) Entre Manzanares y Bailén:
t1
= 10 h 10 min = 36600 s ; t2
= 11 h 30 min = 41400 s
Dt = t2
– t1
= 4800 s = 1,333 h
s1
= 175 km = 175000 m ; s2
= 300 km = 300000 m
Ds = s2
– s1
= 125 km = 125000 m
Luego, la celeridad media es:
cm
= = = 26,04 m/s ; cm
= = = 93,75 km/h
b) Entre Aranjuez y Valdepeñas:
t1
= 8 h 40 min = 31200 s ; t2
= 10 h 30 min = 37800 s
Dt = 6600 s = 1,833 h
s1
= 50 km = 50000 m ; s2
= 205 km = 205000 m
Ds = s2
– s1
= 155 km = 155000 m
Luego, la celeridad media es:
cm
= = = 23,48 m/s ; cm
= = = 84,54 km/h
11. El segundero de un reloj de pulsera mide 2 cm. Tomando como posición ini-
cial la que posee cuando señala hacia las 12, calcula, para el punto extremo
del segundero: a) La velocidad media durante 30 s y 60 s. b) La celeridad me-
dia en ambos intervalos de tiempo. El origen de coordenadas coincide con el
centro del reloj y el semieje X positivo apunta hacia las tres.
a) Si inicialmente estaba en las doce, a los 30 s marcará las seis; luego:
Para t1
= 0 8 r
8
1
= 2 · u
8
y
cm.
Para t2
= 30 s 8 r
8
2
= –2 · u
8
y
cm.
Entonces:
Dt = 30 s ; Dr
8
= r
8
2
– r
8
1
= (–2 · u
8
y
) – (2 · u
8
y
) = –4 · u
8
y
cm
Luego:
vm
8
= = – · u
8
y
= –0,13 · u
8
y
cm/s
Al cabo de 60 s vuelve a pasar por las doce; luego:
Para t1
= 0 8 r
8
1
= 2 · u
8
y
cm.
Para t2
= 60 s 8 r
8
2
= 2 · u
8
y
cm.
Entonces:
Dt = 60 s ; Dr
8
= r
8
2
– r
8
1
= (2 · u
8
y
) – (2 · u
8
y
) = 0
Dr
8
Dt
4
30
Ds
Dt
155000 m
6600 s
Ds
Dt
155 km
1,833 h
Ds
Dt
125000 m
4800 s
Ds
Dt
125 km
1,333 h

32
Luego:
vm
8
= = 0
La velocidad media es nula en ese intervalo de tiempo.
b) En 30 segundos, el espacio recorrido por el extremo del segundero es la longitud
de media circunferencia de radio 2 cm:
Ds = π · R = π · 2 = 6,28 cm
Luego:
cm
= = = 0,21 cm/s
En 60 segundos, el segundero ha dado una vuelta completa, y su extremo ha re-
corrido una circunferencia completa:
Ds = 2 · π · R = 2 · π · 2 = 12,57 cm
Luego:
cm
= = = 0,21 cm/s
Observamos que la velocidad media no permanece constante; sin embargo, la ce-
leridad media en ambos intervalos es la misma y, si escogiésemos cualquier otro
intervalo, saldría el mismo valor; luego, la celeridad permanece constante.
12. Si la velocidad media de un cuerpo tiene siempre el mismo valor para cual-
quier intervalo de tiempo, razona si son ciertas o falsas las siguientes afirma-
ciones:
a) La celeridad del cuerpo es constante.
b) El cuerpo realiza un movimiento circular.
c) La velocidad media coincide con la velocidad instantánea.
d) La trayectoria del cuerpo es una línea recta.
a) Es cierta. Si la velocidad media, v
8
m
, es constante, significa que siempre tiene el
mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido; luego, el cuerpo realiza
un movimiento rectilíneo con celeridad constante.
b) No es cierto; si fuese circular, el vector v
8
m
no valdría lo mismo para dos intervalos
cualesquiera, como comprobamos en la actividad anterior.
c) Es cierto. Si para cualquier intervalo de tiempo v
8
m
= cte, cuando Dt 8 0, entonces:
v
8
m
= v
8
d) Es cierta. Si la trayectoria fuese curva, v
8
m
cambiaría de dirección de unos interva-
los a otros.
13. Un cuerpo tarda 5 segundos en ir del punto P1
(10, 5) al punto P2
(x, y). Las
coordenadas se miden en metros. La velocidad media entre ambas posicio-
nes, en m/s, es:
v
8
m
= 8 · u
8
x
– 11 · u
8
y
Calcula: a) x e y. b) La distancia de P2
al origen de coordenadas.
Ds
Dt
12,56 cm
60 s
Ds
Dt
6,28 cm
30 s
Dr
8
Dt

Para t = 0 s 8 r
8
1
= 10 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
, y para t = 5 s 8 r
8
2
= x · u
8
x
+ y · u
8
y
.
El vector desplazamiento es:
Dr
8
= (x – 10) · u
8
x
+ (y – 5) · u
8
y
a) A partir de la velocidad media calculamos x e y:
v
8
m
= = 8 · u
8
x
– 11 · u
8
y
=
(x – 10) · u
8
x
+ (y – 5) · u
8
y
= 5 · (8 · u
8
x
– 11 · u
8
y
)
x – 10 = 5 · 8 8 x = 50 m ; y – 5 = –5 · 11 8 y = –50 m
tiene las coordenadas (50, –50) m.
b) La distancia del punto P2
al origen de coordenadas vale:
d = = = 70,71 m/s
14. Una persona recorre 4 km en dirección este en 30 minutos, descansa 30 mi-
nutos y después emplea 1 h en recorrer 3 km en dirección sur y 4 km en di-
rección oeste. Calcula su velocidad media en las siguientes etapas: a) La pri-
mera media hora. b) La segunda media hora. c) La primera hora. d) Las dos
horas de su recorrido.
¿En cuál de esas etapas coincide la celeridad media con el módulo de la velo-
cidad media?
Tomamos la dirección de los ejes según se indica en la figura:
√502
+ (–50)2
√5000
Dr
8
Dt
(x – 10) · u
8
x
+ (y – 5) · u
8
y
5
a) El vector desplazamiento en la primera media hora es Dr = 4 · u
8
x
km, y el inter-
valo de tiempo, Dt = 0,5 h; luego, la velocidad media es:
v
8
m
= = · u
8
x
= 8 · u
8
x
km/h
b) Durante la segunda media hora, el cuerpo permanece en reposo; por tanto, la ve-
locidad media es nula.
c) En la primera hora, el vector desplazamiento es Dr
8
= 4 · u
8
x
; luego, la velocidad
media en ese intervalo de tiempo vale:
v
8
m
= = · u
8
x
= 4 · u
8
x
km/h
Dr
8
Dt
4
1
Dr
8
Dt
4
0,5
N
E
O
S

34
d) En las dos horas que dura el movimiento, el desplazamiento es Dr = –3 · u
8
y
km;
luego:
v
8
m
= = · u
8
y
= –1,5 · u
8
y
km/h
La celeridad media en la primera media hora vale:
cm
= = = 8 km/h
y coincide con el módulo de la velocidad media en esa etapa.
En la segunda media hora, como el cuerpo está en reposo, no hay espacio recorrido,
por lo que su celeridad es nula y coincide con el módulo de la velocidad.
En la primera hora, el espacio recorrido es de 4 km; por tanto:
cm
= = = 4 km/h
y coincide con el módulo del vector velocidad media en ese intervalo.
En las dos horas de recorrido, el espacio recorrido vale Ds = 4 + 3 + 4 = 11 km; lue-
go, la celeridad media es:
cm
= = = 5,5 km/h
y no coincide con el modulo de la velocidad media, pues la trayectoria, aunque se
compone de tramos rectos, no es rectilínea.
15. El vector posición de un móvil, en unidades del S.I., es:
r
8
= (40 – 8 · t) · u
8
x
+ (t2
– 25) · u
8
y
Calcula: a) Su vector posición para el instante inicial y para t = 5 s. b) La velo-
cidad media entre ambas posiciones. c) La velocidad media entre t y t + Dt y
su velocidad en un instante t. d) La velocidad inicial y en el instante t = 5 s.
a) Para t = 0: r
8
(0) = r
8
0
= (40 – 8 · 0) · u
8
x
+ (02
– 25) · u
8
y
= (40 · u
8
x
– 25 · u
8
y
) m
Para t = 5 s: r
8
(5) = r
8
5
= (40 – 8 · 5) · u
8
x
+ (52
– 25) · u
8
y
= 0 · u
8
x
+ 0 · u
8
y
= 0
b) El vector desplazamiento entre ambas posiciones es:
Dr
8
= r
8
5
– r
8
0
= 0 – (40 · u
8
x
– 25 · u
8
y
) = (–40 · u
8
x
+ 25 · u
8
y
) m
Luego, la velocidad media entre ellas vale:
v
8
m
= = = = (–8 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m/s
c) Para calcular la velocidad media entre t y t + Dt:
r
8
(t) = (40 – 8 · t) · u
8
x
+ (t2
– 25) · u
8
y
r
8
(t + Dt) = ((40 – 8 · (t + Dt)) · u
8
x
+ ((t + Dt)
2
– 25) · u
8
y
=
= (40 – 8 · t – 8 · Dt) · u
8
x
+ (t2
+ 2 · t · Dt + (Dt)
2
– 25) · u
8
y
Luego:
Dr
8
= r
8
(t + Dt) – r
8
(t) = (–8 · Dt ) · u
8
x
+ (2 · t · Dt + (Dt)
2
) · u
8
y
–3
2
Dr
8
Dt
r
8
5
– r
8
0
5 – 0
–40 · u
8
x
+ 25 · u
8
y
5
Ds
Dt
11
2
Ds
Dt
4
1
Ds
Dt
4
0,5
Dr
8
Dt

Y la velocidad media es:
v
8
m
= = = =
= (–8 · u
8
x
+ (2 · t + Dt) · u
8
y ) m/s
Como la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Dt 8 0,
entonces:
v
8
= lím
Dt80
v
8
m
= lím
Dt80
(–8 · u
8
x
+ (2 · t + Dt) · u
8
y )= (–8 · u
8
x
+ 2 · t · u
8
y
) m/s
d) Su velocidad inicial es:
v
8
(0) = v
8
0 = –8 · u
8
x
m/s
y su velocidad para t = 5 s:
v
8
(5) = v
8
5 = –8 · u
8
x
+ 2 · 5 · u
8
y
= (–8 · u
8
x
+ 10 · u
8
y
) m/s
16. Un móvil se mueve según la siguiente ley horaria: s = 2 + 10 · t + t2
, expresada
en unidades del S.I. Calcula:
a) Su celeridad media entre t = 1 s y t = 4 s.
b) Su celeridad media entre t y t + Dt.
c) La celeridad del móvil en cualquier instante.
d) Con los datos del ejercicio, ¿podemos conocer el vector velocidad?
a) Para t = 1 s: s1
= s(1) = 2 + 10 · 1 + 12
= 13 m
Para t = 4 s: s4
= s(4) = 2 + 10 · 4 + 42
= 58 m
La celeridad media entre ambos instantes es:
cm = = = = 15 m/s
b) En el instante t:
s(t) = 2 + 10 · t + t2
En el instante t + Dt:
s(t + Dt) = 2 + 10 · (t + Dt) + (t + Dt)2
= 2 + 10 · t + 10 · Dt + t2
+ 2 · t · Dt + (Dt)2
El espacio recorrido vale Ds = s(t + Dt) – s(t) = 10 · Dt + 2 · t · Dt + (Dt)2
; por tanto,
la celeridad media es:
cm = = = (10 + 2 · t + Dt) m/s
c) La celeridad instantánea es:
c = lím
Dt80
cm
= lím
Dt80
(10 + 2 · t + Dt) = (10 + 2 · t) m/s
d) Como la trayectoria del móvil es desconocida, no conocemos la dirección del
vector velocidad ni, por tanto, el vector velocidad; tampoco conocemos nada so-
bre la aceleración normal del móvil, aunque sí sabemos que existe aceleración
tangencial, pues el módulo de la velocidad cambia con el tiempo.
Ds
Dt
10 · Dt + 2 · t · Dt + (Dt)2
Dt
Ds
Dt
s4
– s1
Dt
58 – 13
4 – 1
Dr
8
Dt
r
8
(t + Dt) – r
8
(t)
Dt
(–8 · Dt ) · u
8
x
+ (2 · t · Dt + (Dt)
2
) · u
8
y
Dt

36
17. Las ecuaciones de la trayectoria de un cuerpo son: x = 6 · t + t2
, y = 10 + 5 · t,
donde x e y se expresan en m y t en s. Determina:
a) La velocidad media durante el primer segundo y durante el tercer segundo.
b) Su velocidad en cualquier instante.
c) El módulo de la velocidad al cabo de un segundo y al cabo de tres segundos.
a) El primer segundo es el que transcurre entre t = 0 y t = 1 s:
Para t = 0: P0
= (0, 10) 8 r
8
0
= 10 · u
8
y
m
Para t = 1 s: P1
= (7, 15) 8 r
8
1
= (7 · u
8
x
+ 15 · u
8
y
) m
Dr = r
8
1
– r
8
0
= (7 · u
8
x
+ 15 · u
8
x
) – (10 · u
8
y
) = (7 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m
Como Dt = 1 s, entonces, la velocidad media durante el primer segundo es:
v
8
m
= = = (7 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m/s
La velocidad media durante el tercer segundo es la velocidad media entre t = 2 s
y t = 3 s:
Para t = 2 s: P2
= (16, 20) 8 r
8
2
= (16 · u
8
x
+ 20 · u
8
y
) m
Para t = 3 s: P3
= (27, 25) 8 r
8
3
= (27 · u
8
x
+ 25 · u
8
y
) m
Dr = r
8
3
– r
8
2
= (27 · u
8
x
+ 25 · u
8
y
) – (16 · u
8
x
+ 20 · u
8
y
) = (11 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m
Como Dt = 1 s, entonces, la velocidad media durante el tercer segundo es:
v
8
m
= = = (11 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
) m/s
b) Calculamos la velocidad media entre t y t + Dt, y, luego, el límite cuando Dt 8 0:
r
8
(t) = ((6 · t + t2
) · u
8
x
+ (10 + 5 · t) · u
8
y ) m
r
8
(t + Dt) = [(6 · (t + Dt) + (t + Dt)2
) · u
8
x
+ (10 + 5 · (t + Dt)) · u
8
y ] m
Dr
8
= r
8
(t + Dt) – r
8
(t) = [(6 · Dt + 2 · t · Dt + (Dt)2
) · u
8
x
+ (5 · Dt) · u
8
y ] m
v
8
m
= = =
= ((6 + 2 · t + Dt) · u
8
x
+ 5 · u
8
y )m/s
v
8
= lím
Dt80
v
8
m
= lím
Dt80
((6 + 2 · t + Dt) · u
8
x + 5 · u
8
y) = ((6 + 2 · t) · u
8
x + 5 · u
8
y) m/s
O bien, utilizando derivadas:
v
8
= = ((6 · t + t2
) · u
8
x
+ (10 + 5 · t) · u
8
y ) = ((6 + 2 · t) · u
8
x
+ 5 · u
8
y
)m/s
La velocidad instantánea resulta:
v
8
= ((6 + 2 · t ) · u
8
x
+ 5 · u
8
y) m/s
dr
8
dt
d
dt
Dr
8
Dt
(6 · Dt + 2 · t · Dt + (Dt)
2
) · u
8
x
+ (5 · Dt) · u
8
y
Dt
Dr
8
Dt
11 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
1
Dr
8
Dt
7 · u
8
x
+ 5 · u
8
y
1

c) La velocidad al cabo de un segundo es:
v
8
(1) = (6 + 2 · 1) · u
8
x
+ 5 · u
8
y
= (8 · u
8
x
+ 5 · u
8
y) m/s
y su módulo vale:
ßv
8
(1)ß= = = 9,43 m/s
La velocidad al cabo de 3 s es:
v
8
(3) = (6 + 2 · 3) · u
8
x
+ 5 · u
8
y
= (12 · u
8
x
+ 5 · u
8
y) m/s
y su módulo vale:
ßv
8
(3)ß= = = 13 m/s
18. Calcula el valor absoluto de la aceleración de un cuerpo que se mueve en lí-
nea recta: a) Si su velocidad aumenta 30 m/s cada minuto. b) Si reduce su ve-
locidad en 18 m/s cada 3 s.
Tomamos como eje X la recta sobre la que se mueve el cuerpo, haciendo coincidir el
sentido positivo con el del movimiento; de ese modo, la velocidad en cualquier ins-
tante es v
8
= v · u
8
x
y, como solo puede variar su módulo: Dv
8
= Dv · u
8
x
.
a) La variación de velocidad y el intervalo de tiempo considerado son:
Dv
8
= 30 · u
8
x
m/s ; Dt = 60 s
Por tanto, el vector aceleración y su valor absoluto (módulo) son:
a
8
= = = 0,5 · u
8
x
m/s2
8 a =0,5 m/s2
b) Cuando reduce su velocidad 18 m/s cada 3 s, tenemos:
Dv
8
= –18 · u
8
x
; Dt = 3 s
Luego, el vector aceleración y su módulo, en este caso, son:
a
8
= = = –6 · u
8
x
m/s2
8 a =–6 m/s2
19. La ficha técnica de un automóvil nuevo presenta las siguientes características:
aceleración de 0 a 100 km/h en 12 s; adelantamiento de 80 km/h a 120 km/h
en 15 s y tiempo de detención de 4 s cuando circula a 120 km/h. Las medidas
se realizaron en tramos rectos. Expresa estas aceleraciones en m/s2
y ordéna-
las en función de sus valores absolutos.
– Aceleración de 0 a 100 km/h en 12 s:
v0
= 0 m/s ; v = 100 km/h = = 27,78 m/s
a = = = 2,31 m/s2
– Adelantamiento en 15 s:
v0
= 80 km/h = = 22,22 m/s ; v = 120 km/h = = 33,33 m/s
a = = = 0,74 m/s2
v – v0
t
33,33 – 22,22
15
80000 m
3600 s
120000 m
3600 s
v – v0
t
27,78 – 0
12
100000 m
3600 s
–18 · u
8
x
3
Dv
8
Dt
30 · u
8
x
60
Dv
8
Dt
√122
+ 52
√169
√82
+ 52
√89

38
– Frenada en 4 s:
v0
= 120 km/h = = 33,33 m/s ; v = 0 m/s
a = = = –8,33 m/s2
Por tanto:
≠ afrenada
≠ = 8,33 m/s2
> aarranque
= 2,31 m/s2
> aadelantamiento
= 0,74 m/s2
20. Un cuerpo se mueve con la siguiente velocidad:
v
8
= 4 · t · u
8
x
+ (2 · t + 5) · u
8
y
a) Su aceleración media entre t = 2 s y t = 5 s.
b) Su aceleración media durante los dos primeros segundos de su movimiento.
c) Su aceleración media entre t y t + Dt.
d) Su aceleración instantánea.
a) Aceleración media entre t = 2 s y t = 5 s:
v
8
(2) = 4 · 2 · u
8
x
+ (2 · 2 + 5) · u
8
y
= (8 · u
8
x
+ 9 · u
8
y
) m/s
v
8
(5) = 4 · 5 · u
8
x
+ (2 · 5 + 5) · u
8
y
= (20 · u
8
x
+ 15 · u
8
y
) m/s
Dv
8
= v
8
(5) – v
8
(2) = (20 · u
8
x
+ 15 · u
8
y
) – (8 · u
8
x
+ 9 · u
8
y
) = (12 · u
8
x
+ 6 · u
8
y
) m/s
Dt = 5 – 2 = 3 s
Luego:
a
8
m
= = = (4 · u
8
x
+ 2 · u
8
y
) m/s2
b) Aceleración media en los dos primeros segundos:
v
8
(0) = 4 · 0 · u
8
x
+ (2 · 0 + 5) · u
8
y
= 5 · u
8
y
m/s
v
8
(2) = 4 · 2 · u
8
x
+ (2 · 2 + 5) · u
8
y
= (8 · u
8
x
+ 9 · u
8
y
) m/s
Dv
8
= v
8
(2) – v
8
(0) = (8 · u
8
x
+ 9 · u
8
y
) – (5 · u
8
y
) = (8 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s
Dt = 2 – 0 = 2 s
Luego:
a
8
m
= = = (4 · u
8
x
+ 2 · u
8
y
) m/s2
c) Aceleración media entre t y t + Dt:
v
8
(t) = 4 · t · u
8
x
+ (2 · t + 5) · u
8
y
v
8
(t + Dt) = 4 · (t + Dt) · u
8
x
+ (2 · (t + Dt) + 5)· u
8
y
=
= (4 · t + 4 · Dt) · u
8
x
+ (2 · t + 2 · Dt + 5) · u
8
y
Dv
8
Dt
8 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
2
120000 m
3600 s
v – v0
t
0 – 33,33
4
Dv
8
Dt
12 · u
8
x
+ 6 · u
8
y
3

Dv
8
= v
8
(t + Dt) – v
8
(t) = [(4 · t + 4 · Dt) · u
8
x
+ (2 · t + 2 · Dt + 5) · u
8
y ] –
– [(4 · t · u
8
x
+ (2 · t + 5) · u
8
y ]= (4 · Dt · u
8
x
+ 2 · Dt · u
8
y
) m/s
Dt = (t + Dt) – t = Dt
Luego:
a
8
m
= = = (4 · u
8
x
+ 2 · u
8
y
) m/s2
d) Como la aceleración media vale lo mismo para cualquier intervalo de tiempo, es,
por tanto, constante y coincide con la aceleración instantánea:
a
8
= (4 · u
8
x
+ 2 · u
8
y
) m/s2
21. Razona sobre la veracidad o la falsedad de las siguientes proposiciones:
a) En un movimiento circular siempre existe aceleración.
b) En los movimientos rectilíneos no hay aceleración normal.
c) En un movimiento circular uniforme no hay aceleración.
d) En todo movimiento circular, la aceleración normal es constante.
a) Es cierta. En un movimiento circular, el vector velocidad cambia, al menos, conti-
nuamente de dirección; luego, siempre existe aceleración normal. Si, además, el
módulo de la velocidad varía, también existirá aceleración tangencial.
b) Es cierta. En los movimientos rectilíneos, el vector velocidad no cambia de direc-
ción; luego, no hay aceleración normal.
c) No es cierto. En un movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad per-
manece constante y no hay aceleración tangencial, pero su dirección cambia con-
tinuamente, por lo que tiene aceleración normal.
d) No es cierto. En los movimientos circulares, el radio de curvatura es constante y
coincide con el radio de la circunferencia, R. La aceleración normal vale an
= v2
/R
y solo será constante cuando lo sea v, es decir, en el movimiento circular unifor-
me, pero no en cualquier movimiento circular.
22. Determina en cuál de las situaciones siguientes tiene mayor aceleración un
automóvil:
a) Pasa de 90 km/h a 115 km/h en 5 s, circulando en línea recta.
b) Toma una curva de 100 m de radio a una velocidad de 90 km/h.
a) Cuando pasa de 90 km/h (en unidades del S.I., 25 m/s) a 144 km/h (32 m/s) en
5 s, moviéndose en línea recta, su aceleración es tangencial y vale:
a = at
= = = = 1,4 m/s2
b) Cuando toma una curva de 100 m de radio a 90 km/h (25 m/s), su aceleración es
normal y vale:
a = an
= = = = 6,25 m/s2
Es mayor la aceleración del automóvil cuando toma la curva.
v2
R
252
100
625
100
v – v0
t
32 – 25
5
7
5
Dv
8
Dt
4 · Dt · u
8
x
+ 2 · Dt ·u
8
y
Dt

40
23. Indica la certeza o la falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Si los vectores velocidad y aceleración son paralelos, no hay aceleración
normal.
b) Si los vectores velocidad y aceleración forman un ángulo de 60°, el módu-
lo de la velocidad está aumentando.
c) Si el ángulo es de 180°, el cuerpo solo tiene aceleración normal.
d) Si el ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración es de 120°, la
aceleración tangencial es positiva.
a) Es cierta. Si ambos vectores son paralelos, toda la aceleración se encuentra en el
eje tangencial y, por tanto, no tiene componente perpendicular o normal a la ve-
locidad; la aceleración normal es nula.
b) Es cierta. Si ambos vectores forman 60°, la componente tangencial, o paralela a la
velocidad, de la aceleración es positiva; luego, su aceleración tangencial es posi-
tiva, lo que significa que el módulo de la velocidad aumenta con el tiempo.
c) Es falso. Si forman 180°, la aceleración tiene la misma dirección y el sentido
opuesto a la velocidad, por lo que no tiene componente normal y la componen-
te tangencial es negativa.
d) Es falso. Si forman 120°, la componente tangencial de la aceleración tiene sentido
contrario a la velocidad; luego, la aceleración tangencial es negativa, y el módulo
de la velocidad disminuye con el tiempo.
24. Un atleta que corre con ritmo constante, es decir, recorre la misma distancia
cada segundo, marcha primero por una pista circular y después por una pis-
ta recta. Indica en qué pista: a) Su celeridad es constante. b) Su vector veloci-
dad es constante. c) Tiene aceleración.
a) La celeridad del atleta es constante en cualquiera de las pistas, pues en ambas re-
corre el mismo espacio cada segundo.
b) El vector velocidad es constante en la pista recta, pues en ella no cambia de di-
rección, y su módulo, la celeridad, es constante; sin embargo, en la pista circular,
aunque el módulo de la velocidad sigue siendo constante, su dirección cambia
continuamente.
c) Solo existe aceleración en la pista circular; en concreto, aceleración normal, pues
la velocidad solo cambia de dirección. En la pista recta no existe aceleración,
pues la velocidad no cambia ni de módulo ni de dirección.
25. Cuando lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba, sube y baja por la
misma línea: a) ¿Tiene aceleración normal? b) ¿Cómo es su aceleración tan-
gencial en la subida? c) ¿Y en la bajada?
a) El cuerpo no tiene aceleración normal, pues, aunque su velocidad en la bajada
tiene sentido contrario al de la subida, no cambia de dirección.
b) Cuando el cuerpo sube, el módulo de su velocidad disminuye hasta anularse;
luego, su aceleración tangencial es negativa.
c) En la bajada, el módulo de la velocidad aumenta, pues cada vez va más rápido;
luego, su aceleración tangencial es positiva.

26. Contesta a las preguntas de la actividad anterior en el caso de que lancemos
la pelota con cierta inclinación, de forma que realice un tiro oblicuo.
a) La trayectoria de un cuerpo que realiza un tiro oblicuo es una línea curva, en
concreto, una parábola; por ello, también se denomina tiro parabólico. Luego, la
velocidad, tangente a la trayectoria en cada punto, cambia de dirección continua-
mente y, por tanto, existe aceleración normal. Otra forma de comprobarlo es des-
componer la aceleración del cuerpo, que coincide con la de la gravedad, dirigida
verticalmente hacia abajo, en sus componentes intrínsecas, tangente y normal, en
cada punto de la trayectoria.
b) La componente horizontal de la velocidad del cuerpo, vx
, es constante, pero la
componente vertical de su velocidad, vy
, disminuye en la subida hasta anularse
cuando el cuerpo alcanza la altura máxima; por tanto, el módulo de la velocidad,
v = , disminuye en la subida y, entonces, la aceleración tangencial es ne-
gativa. Podemos comprobarlo si descomponemos la aceleración en un punto de
subida; el vector at
8
está dirigido en sentido contrario al vector velocidad; luego,
at
es negativa.
c) En la bajada, la componente vertical de la velocidad es negativa, pero aumenta
en valor absoluto, luego el módulo de la velocidad aumenta y, por tanto, la ace-
leración tangencial es positiva. Se puede comprobar este resultado descompo-
niendo en un punto de la bajada la aceleración en sus componentes intrínsecas;
el vector at
8
tiene el mismo sentido que el vector velocidad, luego at
es positiva.
En la gráfica se muestra lo que se acaba de explicar:
27. El módulo de la velocidad de un cuerpo que recorre una circunferencia de
300 m de radio varía de acuerdo con la expresión:
v = 10 + 4 · t
a) La aceleración tangencial del cuerpo en cualquier instante.
b) Su aceleración normal para t = 5 s.
c) El módulo de su aceleración para t = 5 s.
a) La aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad respecto al
tiempo; luego:
at
= = (10 + 4 · t) = 4 m/s2
dv
dt
d
dt
√v2
x + v2
y
a = g
Y
O X
vx
vy
at an
a = g
a = an = g
v
vx
vy v
vmín = vx
at
an

42
Para realizar el cálculo sin utilizar el concepto de derivada, calculamos la acelera-
ción tangencial media entre t y t + Dt, y, luego, calculamos el límite cuando Dt 8 0:
v(t) = 10 + 4 · t ; v (t + Dt) = 10 + 4 · (t + Dt) = 10 + 4 · t + 4 · Dt
Dv = v (t + Dt) – v (t) = 4 · Dt
La aceleración tangencial media vale:
at m
= = = 4 m/s2
Como es constante para cualquier intervalo de tiempo, coincide con la acelera-
ción instantánea; por tanto: at
= 4 m/s2
.
b) Para t = 5 s, el módulo de la velocidad es 30 m/s; luego, su aceleración normal es:
a = an
= = = = 3 m/s2
c) El módulo de la aceleración total es:
a = = = = 5 m/s2
28. La ecuación del movimiento de un cuerpo es:
r
8
= 2 · t2
· u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
expresada en unidades del S.I. Calcula su aceleración instantánea.
Vamos a resolver el problema de dos formas distintas:
a) Utilizando derivadas:
El vector velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo; luego:
v
8
= = (2 · t2
· u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
) = (4 · t · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo; por
tanto:
a
8
= = (4 · t · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) = 4 · u
8
x
+ 0 · u
8
y
= 4 · u
8
x
m/s2
b) Utilizando límites:
El vector velocidad instantánea es el límite de la velocidad media entre t y t + Dt,
cuando Dt 8 0:
r
8
(t) = 2 · t2
· u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
r
8
(t + Dt) = 2 · (t + Dt)2
· u
8
x
+ 4 · (t + Dt) · u
8
y
=
=(2 · t2
+ 4 · t · Dt + 2 · (Dt)2
) · u
8
x
+ (4 · t + 4 · Dt) · u
8
y
Dr
8
= r
8
(t + Dt) – r
8
(t) = [(4 · t · Dt + 2 · (Dt)2
) · u
8
x
+ 4 · Dt · u
8
y] m
v
8
m
= = = =
= ((4 · t + 2 · Dt) · u
8
x
+ 4 · u
8
y) m/s
Dr
8
Dt
r
8
(t + Dt) – r
8
(t)
Dt
(4 · t · Dt + 2 · (Dt)
2
) · u
8
x
+ 4 · Dt · u
8
y
Dt
dv
8
dt
d
dt
dr
8
dt
d
dt
√at
2
+ an
2
√42
+ 32
√25
v2
R
302
300
900
300
Dv
Dt
4 · Dt
Dt

v
8
= lím
Dt80
v
8
m
= lím
Dt80 [(4 · t + 2 · Dt) · u
8
x + 4 · u
8
y] = (4 · t · u
8
x + 4 · u
8
y) m/s
La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media entre t y t + Dt,
cuando Dt 8 0:
v
8
(t) = 4 · t · u
8
x
+ 4 · u
8
y
v
8
(t + Dt) = 4 · (t + Dt) · u
8
x
+ 4 · u
8
y
= (4 · t + 4 · Dt) · u
8
x
+ 4 · u
8
y
Dv
8
= v
8
(t + Dt) – v
8
(t) = 4 · Dt · u
8
x
m/s
a
8
m
= = = 4 · u
8
x
m/s2
a
8
= lím
Dt80
a
8
m
= lím
Dt80
4 · u
8
x = 4 · u
8
x m/s2
29. El vector posición de un cuerpo es:
r
8
= (10 + t2
) · u
8
x
+ 2 · t2
· u
8
y
expresado en unidades del S.I. Calcula:
a) La ecuación de la trayectoria.
b) La velocidad, y su módulo, en cualquier instante.
c) Su aceleración en cualquier instante.
d) Las componentes intrínsecas de la aceleración.
a) Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son:
x = 10 + t2
; y = 2 · t2
Despejando t en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, tenemos:
t2
= 8 x = 10 + 8 2 · x – y – 20 = 0
que es la ecuación implícita de la trayectoria. Si despejamos y, tenemos:
y = 2 · x – 20
que es la ecuación explícita de la trayectoria y se corresponde con la de una línea
recta.
b) Podemos obtener la velocidad utilizando derivadas:
v
8
= = [(10 + t2
) · u
8
x
+ 2 · t2
· u
8
y ] = (2 · t · u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
) m/s
O, también, calculando el límite de la velocidad media:
r
8
(t) = (10 + t2
) · u
8
x
+ 2 · t2 · u
8
y
r
8
(t + Dt) = (10 + (t + Dt)2
) · u
8
x
+ 2 · (t + Dt)2 · u
8
y
=
= (10 + t2
+ 2 · t · Dt + (Dt)2
) · u
8
x
+ (2 · t2
+ 4 · t · Dt + 2 · (Dt)2
)· u
8
y
v
8
m
= = =
= (2 · t + Dt) · u
8
x
+ (4 · t + 2 · Dt) · u
8
y
Dr
8
Dt
(2 · t · Dt + (Dt)
2
) · u
8
x
+ (4 · t · Dt + 2 · (Dt)
2
) · u
8
y
Dt
dr
8
dt
d
dt
4 · Dt · u
8
x
Dt
Dv
8
Dt
y
2
y
2

44
v
8
= lím
Dt80
v
8
m
= lím
Dt80 [(2 · t + Dt) · ux
8
+ (4 · t + 2 · Dt) · uy
8
] = (2 · t · ux
8
+ 4 · t · uy
8
) m/s
El módulo del vector velocidad es:
v =ßv
8
ß= = = · t m/s
c) Utilizando derivadas:
a
8
= = (2 · t · u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
) = (2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s2
Calculando el límite de la aceleración media:
v
8
(t) = 2 · t · u
8
x
+ 4 · t · u
8
y
v
8
(t + Dt) = 2 · (t + Dt) · u
8
x
+ 4 · (t + Dt) · u
8
y
=
= (2 · t + 2 · Dt) · u
8
x
+ (4 · t + 4 · Dt) · u
8
y
Dv
8
= v
8
(t + Dt) – v
8
(t) = 2 · Dt · u
8
x
+ 4 · Dt · u
8
y
a
8
m
= = = (2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s2
a
8
= lím
Dt80
a
8
m
= lím
Dt80
(2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) = (2 · u
8
x
+ 4 · u
8
y
) m/s2
El módulo del vector aceleración es:
a =ßa
8
ß= = m/s2
d) La aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad respecto al
tiempo:
at
= = = = m/s2
También podemos calcularla mediante el límite de la aceleración tangencial media:
v (t) = · t ; v(t + Dt) = · (t + Dt) = · t + · Dt
Dv = v (t + Dt) – v (t) = · Dt
atm
= = = m/s2
Como la aceleración tangencial media es constante, coincide con el valor instantá-
neo; luego, la aceleración tangencial es at
= m/s2
.
La aceleración normal la calculamos a partir de la expresión:
a2
= at
2
+ an
2
Sustituyendo los valores conocidos, a = m/s2
y at
= m/s2
, tenemos:
20 = 20 + an
2
8 an
= 0
La aceleración normal es nula en cualquier instante; luego, el movimiento es rec-
tilíneo.
√20 √20
√20
Dv
Dt
· Dt
Dt √20
√20
√20 √20 √20 √20
dßv
8
ß
dt
dv
dt
d ( · t )
dt √20
√22
+ 42
√20
Dv
8
Dt
2 · Dt · u
8
x
+ 4 · Dt · u
8
y
Dt
dv
8
dt
d
dt
√(2 · t)2
+ (4 · t)2
√20 · t2
√20
√20
√20

Unidad 3. Estudio de movimientos sencillos y su composición 45
1. Una persona recorre 4,5 km en 20 min, descansa 10 min y regresa al punto de
partida en 30 min. Suponiendo el camino recto y la velocidad constante en ca-
da etapa, calcula las ecuaciones del movimiento en cada etapa y dibuja la grá-
fica x-t del movimiento.
Tomamos como origen para todas las etapas el punto de partida.
Durante la primera etapa (los 20 primeros minutos), la persona se aleja del origen
con una velocidad, supuestamente constante, de valor:
v = 8 v = = = 3,75 m/s
Luego, las ecuaciones de la primera etapa son las de un m.r.u. con v positiva:
x1
= v · t = 3,75 · t ; v1
= 3,75 m/s
Durante la segunda etapa, los 10 minutos siguientes, la persona está en reposo; por
tanto, su velocidad es cero y se encuentra siempre a 4,5 km del origen; luego, las
ecuaciones de la segunda etapa son:
x2
= 4500 m ; v2
= 0
Durante la tercera etapa, la persona inicia el movimiento a 4,5 km y se dirige hacia el
origen; luego, realiza un m.r.u. con velocidad negativa, cuyo valor absoluto es:
v = 8 v = = = 2,5 m/s
Por tanto, las ecuaciones de la tercera etapa son:
x3
= 4500 – 2,5 · t ; v3
= –2,5 m/s
La gráfica x-t del movimiento es:
4500 m
1800 s
4,5 km
30 min
x
t
4500 m
1200 s
4,5 km
20 min
x
t
5000
4000
3000
2000
1000
600 1200 1800 2400 3000 3600 t (s)
x (m)
3 Estudio de movimientos sencillos
y su composición

46
2. Dos hermanos van desde el pueblo A al pueblo B, que dista 3 km del primero.
El hermano mayor, que camina con una rapidez de 9 km/h, sale del punto A y,
en el mismo instante, pero 500 m por delante de él, sale el más pequeño cami-
nando a 7,2 km/h. Calcula: a) El tiempo que tarda cada uno en llegar al pueblo
B. b) El tiempo que tarda el mayor en adelantar al pequeño. c) La distancia a la
que se encuentra de A cuando lo adelanta. Dibuja en un mismo diagrama la
gráfica x-t de ambos movimientos.
a) Ambos hermanos se mueven con m.r.u. El hermano mayor recorre 3 km con una
velocidad de 9 km/h; luego, tarda un tiempo:
x = v · t 8 tmayor
= = = h = 20 min = 1200 s
El hermano menor recorre 2,5 km con una velocidad de 7,2 km/h; por tanto, tarda:
x = v · t 8 tmenor
= = = = 1250 s
El hermano mayor tarda menos que el menor; luego, lo adelanta antes de llegar a B.
b) Expresamos ambas velocidades en unidades del S.I.:
vmayor
= 9 = = 2,5 m/s ; vmenor
= 7,2 = = 2 m/s
Situando el origen en el pueblo A, la posición inicial del hermano mayor es cero,
pero como el pequeño sale 500 m más allá del origen y en el sentido del movi-
miento, su posición inicial es x0
= 500 m. La ecuación del movimiento de cada
uno es:
xmayor
= vmayor
· t = 2,5 · t
xmenor
= x0
+ vmenor
· t = 500 + 2 · t
Cuando el mayor adelanta al pequeño, ambos se encuentran a la misma distancia
del origen. Igualando ambas ecuaciones, obtenemos:
xmayor
= xmenor
8 2,5 · t = 500 + 2 · t 8 0,5 · t = 500 8 t = 1000 s
Por tanto, el mayor tarda 16 minutos y 40 segundos en adelantar al pequeño.
c) La distancia a la que lo adelanta es:
x = xmayor
= 2,5 · 1000 = 2500 m
Y la gráfica de ambos movimientos es:
km
h
7200 m
3600 s
9000 m
3600 s
km
h
2500 m
2
2,5 km
7,2
x
v
1
3
3 km
9
x
v km
h
km
h
3000
2000
1000
300 600 900 1200 1250 1500 t (s)
x (m)
1000

3. Deduce, siguiendo las indicaciones del texto, la ecuación:
v2
– v0
2
= 2 · a · (x – x0
)
Escribe dicha expresión cuando el móvil parte del reposo desde el origen.
Partiendo de las ecuaciones del m.r.u.a.:
x = x0
+ v0
· t + · a · t2
; v = v0
+ a · t ; a = cte
Despejamos t en la ecuación de la velocidad:
t =
Y lo sustituimos en la de la posición:
x = x0
+ v0
· + · a ·
Desarrollando esta última expresión:
x – x0
= + ·
y simplificando:
x – x0
= ·
Finalmente llegamos a la expresión que nos indica el enunciado:
v2
– v0
2
= 2 · a · (x – x0
)
Si el móvil parte del reposo, su velocidad inicial es nula, v0
= 0, y como sale del
origen, su posición inicial es x0
= 0. Por tanto, la expresión anterior se escribe en es-
te caso en la forma:
v2
= 2 · a · x
4. Un automóvil que parte del reposo alcanza una velocidad de 100 km/h en
10 s. Calcula su aceleración y el espacio recorrido en ese tiempo. Dibuja las
gráficas x-t y v-t del movimiento.
Como el automóvil parte del reposo, si situamos el origen en el punto de salida, las
ecuaciones del movimiento se escriben en la forma:
x = · a · t2
; v = a · t
Expresamos la velocidad que alcanza el automóvil en unidades del S.I.:
v = 100 km/h = 27,78 m/s
La aceleración la obtenemos sustituyendo los datos, en unidades del S.I., en la ecua-
ción de la velocidad:
v = a · t 8 27,78 = a · 10 8 a = 2,78 m/s2
El espacio recorrido en ese tiempo es:
x = · a · t2
8 x = · 2,78 · 102
= 139 m
1
2
1
2
1
2
1
2
v2
– v0
2
a
v · v0
– v0
2
a
1
2
v2
– 2 · v · v0
+ v0
2
a
v – v0
a
1
2
(v – v0
)2
a2
v – v0
a
1
2

48
5. Calcula la aceleración de un cuerpo que parte del reposo y posee una veloci-
dad de 20 m/s después de recorrer 100 m.
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales del movimiento, sus ecuaciones son:
x = · a · t2
; v = a · t 8 v2
= 2 · a · x
Sustituyendo en la última expresión, tenemos:
202
= 400 = 2 · a · 100 8 a = 2 m/s2
6. Un autobús que circula a 90 km/h frena y se detiene en 5 s. Calcula la acelera-
ción de frenado y el espacio que recorre hasta pararse. Dibuja las gráficas x-t
y v-t en este caso.
La velocidad inicial del autobús es v0
= 90 km/h = 25 m/s. Situando el origen en el
punto donde empieza a frenar y suponiendo constante la aceleración de frenado, las
ecuaciones del movimiento son:
x = v0
· t + · a · t2
; v = v0
+ a · t
Cuando el autobús se detiene, su velocidad es cero. Sustituyendo en la segunda
ecuación:
0 = 25 + a · 5 8 a = –5 m/s2
El espacio recorrido mientras está frenando vale:
x = 25 · 5 + · (–5) · 52
= 62,5 m
Las gráficas x-t y v-t de este movimiento son:
1
2
1
2
1
2
150
100
50
2 4 6 8 10 t (s)
x (m)
30
27,78
20
10
2 4 6 8 10 t (s)
v (m/s)
70
60
50
40
30
20
10
1 2 3 4 5 t (s)
x (m)
30
20
10
1 2 3 4 5 t (s)
v (m/s)
Las gráficas de este movimiento son:

7. Un cuerpo sale del origen con una velocidad inicial de 4 m/s y una acelera-
ción de 6 m/s2
. Calcula el espacio recorrido en el primer segundo, en el se-
gundo y en el tercero.
Situando el origen en la posición inicial del cuerpo, la ecuación de la posición es:
x = v0
· t + · a · t2
8 x = 4 · t + · 6 · t2
= 4 · t + 3 · t2
El espacio recorrido en el primer segundo es:
Dx1
= x(1) – x(0) = 4 · 1 + 3 · 12
– 0 = 7 m
El espacio recorrido en el segundo es la distancia que separa las posiciones que ocu-
pa el cuerpo en t = 1 s y t = 2 s:
x(2) = 4 · 2 + 3 · 22
= 20 m ; x(1) = 7 m 8 Dx2
= x(2) – x(1) = 20 – 7 = 13 m
Procediendo del mismo modo, el espacio recorrido en el tercer segundo es:
x(3) = 4 · 3 + 3 · 32
= 39 m ; x(2) = 20 m 8 Dx3
= x(3) – x(2) = 39 – 20 = 19 m
8. ¿Desde qué altura se ha de soltar un cuerpo para que llegue al suelo con una
velocidad de 100 km/h? ¿Cuánto tiempo está en el aire?
Como el movimiento es de caída libre, sus ecuaciones son:
y = H – · g · t2
; v = –g · t
Cuando el cuerpo llega al suelo, y = 0 y v = –100 km/h = –27,78 m/s. Tomando
g = 9,8 m/s2
, resulta:
0 = H – 4,9 · t2
; –27,78 = –9,8 · t
Por tanto, despejando en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera:
t = 2,83 s
H = 4,9 · t2
= 4,9 · 2,832
= 39,24 m
9. Se deja caer un cuerpo y tarda 3 s en llegar al suelo. Calcula desde qué altura
se soltó y su velocidad al llegar al suelo.
Las ecuaciones del movimiento del cuerpo, tomando g = 9,8 m/s2
, son:
y = H – 4,9 · t2
; v = –9,8 · t
Cuando el cuerpo llega al suelo:
0 = H – 4,9 · 32
8 H = 44,1 m
v = –9,8 · 3 = –29,4 m/s
El cuerpo se soltó desde una altura de 44,1 m, y llega al suelo con una velocidad de
29,4 m/s.
10. Dibuja las gráficas y-t y v-t de un cuerpo que se suelta desde una altura de
45 m. Considera g = 10 m/s2
.
Con los datos del enunciado, las ecuaciones del movimiento del cuerpo son:
y = 45 – 5 · t2
; v = –10 · t
1
2
1
2
1
2

50
Dando valores al tiempo en cada ecuación, tenemos:
Las gráficas y-t y v-t de este movimiento son:
11. Desde el suelo lanzamos verticalmente hacia arriba una pelota con una velo-
cidad de 12 m/s. Calcula el tiempo que tarda en volver al suelo, la altura má-
xima que alcanza y la velocidad con que llega al suelo.
Tomando el origen en el punto de lanzamiento (el suelo), la posición inicial es y0
= 0,
y las ecuaciones del movimiento son:
y = v0
· t – · g · t2
= 12 · t – 4,9 · t2
; v = v0
– g · t = 12 – 9,8 · t
Cuando el cuerpo vuelve al suelo, su posición es y = 0, lo que nos permite calcular
el tiempo transcurrido:
0 = 12 · t – 4,9 · t2
Esta ecuación tiene dos soluciones: t = 0, que corresponde al instante inicial o de
lanzamiento, y t = 12/4,9 = 2,45 s, que corresponde al instante en que regresa al sue-
lo, lo que nos pide el enunciado.
La velocidad del cuerpo al llegar al suelo es el valor de esta magnitud en el instante
t = 2,45 s; por tanto:
v = 12 – 9,8 · 2,45 = –12 m/s
El cuerpo regresa al suelo con la misma velocidad con que fue lanzado; el signo ne-
gativo indica que el cuerpo está bajando.
Cuando el cuerpo alcanza la altura máxima, su velocidad se anula; luego:
v = 0 8 0 = 12 – 9,8 · t 8 t = = 1,225 s
Sustituyendo en la ecuación de la posición, tenemos:
y = 12 · 1,225 – 4,9 · 1,2252
= 7,35 m
Luego, el cuerpo alcanza una altura máxima de 7,35 m.
12
9,8
1
2
t 0 1 2 3
y 45 40 25 0
v 0 –10 –20 –30
50
40
30
20
10
3
2
1 t (s)
y (m)
–10
–20
–10
3
2
1
t (s)
v (m/s)

12. Lanzamos desde el suelo una moneda verticalmente hacia arriba con una ve-
locidad de 15 m/s y, en el mismo instante y desde una altura de 40 m, se lan-
za verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad de 5 m/s. Calcula
la altura a la que se cruzan. ¿La moneda está subiendo o bajando en ese ins-
tante? ¿Dónde está la piedra cuando la moneda alcanza su altura máxima?
Tomando el mismo origen para el movimiento de ambos cuerpos y orientando el se-
mieje Y positivo en la vertical ascendente, sus ecuaciones son:
Para la moneda:
y1
= 15 · t – 4,9 · t2
; v1
= 15 – 9,8 · t
Para la piedra:
y2
= 40 – 5 · t – 4,9 · t2
; v2
= –5 – 9,8 · t
Cuando los cuerpos se cruzan, se cumple que y1
= y2
; luego:
y1
= y2
8 15 · t – 4,9 · t2
= 40 – 5 · t – 4,9 · t2
15 · t = 40 – 5 · t 8 20 · t = 40 8 t = 2 s
Por tanto, los cuerpos se cruzan a los 2 segundos y se encuentran a una altura:
y = y1
= y2
= 15 · 2 – 4,9 · 22
= 10,4 m
La velocidad de la moneda en ese instante es:
v1
= 15 – 9,8 · 2= –4,6 m/s
donde el signo negativo indica que la moneda está bajando.
La moneda alcanza la altura máxima cuando su velocidad es cero; luego:
v1
= 0 = 15 – 9,8 · t 8 t = 1,53 s
En ese instante, la piedra se encuentra a una altura:
y2
= 40 – 5 · 1,53 – 4,9 · (1,53)2
= 20,88 m
13. Una pelota rueda por una mesa horizontal de 75 cm de altura con una veloci-
dad de 10 m/s y, cuando llega al borde, cae al suelo. Calcula: a) La distancia a
la que cae de la mesa. b) Su velocidad al llegar al suelo.
La pelota realiza un tiro horizontal, cuyas ecuaciones son:
x = v0
· t = 10 · t ; vx
= 10 m/s
y = H – · g · t2
= 0,75 – 4,9 · t2
; vy
= –g · t = –9,8 · t
Cuando la pelota llega al suelo, la coordenada y vale 0; luego:
0 = 0,75 – 4,9 · t2
8 t = 0,39 s
Es decir, la pelota tarda en caer desde la mesa al suelo 0,39 segundos.
a) La pelota cae a una distancia de la mesa:
x = 10 · t = 10 · 0,39 = 3,9 m
b) La pelota llega al suelo con una velocidad:
vx
= 10 m/s
vy
= –9,8 · t = –9,8 · 0,39 = –3,82 m/s
1
2
8 v = = = 10,7 m/s
√102
+ 3,822
√vx
2
+ vy
2
°
¢
£

52
14. Un avión vuela horizontalmente a 150 m/s y suelta un paquete que tarda 10 s
en caer al suelo. Calcula: a) La altura de vuelo del avión. b) La distancia hasta
la vertical del punto de lanzamiento a la que cae el paquete.
El paquete realiza un tiro horizontal, de ecuaciones:
x = v0
· t = 150 · t ; vx
= 150 m/s
y = H – · g · t2
= H – 4,9 · t2
; vy
= –g · t = –9,8 · t
a) Como el paquete tarda 10 segundos en llegar al suelo, la altura desde la que cae es:
0 = H – 4,9 · 102
8 H = 490 m
Luego, el avión vuela a una altura de 490 m.
b) Para calcular la distancia a la que cae el paquete del pie de la vertical del punto de
lanzamiento, sustituimos el tiempo de vuelo en la ecuación de la coordenada x:
x = 150 · 10 = 1500 m
15. Si un arquero dispara una flecha horizontalmente desde una altura de 1,50 m
y llega al suelo a una distancia de 200 m, calcula la velocidad con que sale la
flecha del arco y con la que llega al suelo.
Como la flecha es disparada horizontalmente, su velocidad inicial solo tiene compo-
nente horizontal y, por tanto, realiza un tiro horizontal, cuyas ecuaciones son:
x = v0
· t ; vx
= v0
y = H – · g · t2
= 1,5 – 4,9 · t2
; vy
= –g · t = –9,8 · t
Cuando la flecha llega al suelo, y = 0 y x = 200 m, luego:
200 = v0
· t ; 0 = 1,5 – 4,9 · t2
De la segunda ecuación despejamos el tiempo que tarda en caer la flecha: t = 0,55 s.
Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos la velocidad inicial de la flecha:
200 = v0
· 0,55 8 v0
= = 363,64 m/s
Las componentes de la velocidad de la flecha al llegar al suelo son:
vx
= 364 m/s ; vy
= –9,8 · 0,55 = –5,39 m/s
Luego, el módulo de la velocidad de la flecha en ese instante es:
v = = = 363,68 m/s
16. Obtén las expresiones de la altura máxima, del tiempo de vuelo y del alcance,
para un cuerpo lanzado desde el suelo con una elevación a. Comprueba que
el alcance tiene el mismo valor para ángulos complementarios.
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y de la posición en un tiro oblicuo con
altura inicial nula:
x = v0 x
· t = v0
· cos a · t ; vx
= v0 x
= v0
· cos a
y = v0
· sen a · t – · g · t2
; vy
= v0
· sen a – g · t
1
2
1
2
√363,642
+ 5,392
√vx
2
+ vy
2
200
0,55
1
2

La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad del cuer-
po se anula:
vy
= 0 8 v0
· sen a = g · t 8 t =
Sustituyendo este tiempo en la ecuación de la componente vertical de la posición,
obtenemos la altura máxima:
ymáx
= v0
· sen a · – · g · = ·
Para obtener el tiempo de vuelo, igualamos a cero la componente vertical de la po-
sición:
y = 0 8 v0
· sen a · t – · g · t2
= 0 8 t · (v0
· sen a – · g · t) = 0
Excluyendo la solución t = 0 (instante inicial), el tiempo de vuelo es:
t = 2 ·
Observa que este tiempo es el doble del obtenido anteriormente para la altura máxi-
ma, ya que el lanzamiento es desde el suelo.
El alcance es la distancia horizontal recorrida durante el tiempo de vuelo:
xmáx
= v0
· cos a · t = v0
· cos a · 2 · 8 xmáx
=
Haciendo uso de la relación trigonométrica del ángulo doble, finalmente resulta:
xmáx
=
Si consideramos un ángulo b, complementario de a, obtenemos:
b = 90° – a 8 xmáx
= =
Teniendo en cuenta que sen (90° – a) = cos a y que cos (90° – a) = sen a, y hacien-
do uso de nuevo de la relación del ángulo doble:
sen [2 · (90° – a)] = 2 · sen (90° – a) · cos (90° – a) = 2 · cos a · sen a = sen (2 · a)
Llegamos, finalmente, a la expresión anteriormente obtenida para el alcance:
xmáx
=
17. Un jugador de baloncesto lanza el balón desde una altura de 2,50 m con una
elevación de 37° y encesta en la canasta situada a 6,25 m de distancia y 3,05 m
de altura. Calcula la velocidad con que lanzó el balón.
El balón sigue una trayectoria correspondiente a un tiro oblicuo. Si situamos el origen
en el pie de la vertical del punto de lanzamiento, las ecuaciones del movimiento son:
x = v0
· cos a · t = v0
· 0,8 · t ; vx
= v0
· 0,8
v0
2
· sen (2 · a)
g
v0
2
· sen [2 · (90° – a)]
g
v0
2
· sen (2 · b)
g
v0
2
· sen (2 · a)
g
v0
2
· 2 · sen a · cos a
g
v0
· sen a
g
v0
· sen a
g
1
2
1
2
v0
2
· sen2
a
g
1
2
v0
2
· sen2
a
g2
1
2
v0
· sen a
g
v0
· sen a
g

y = H + v0
· sen a · t – · g · t2
= 2,5 + v0
· 0,6 · t – 4,9 · t2
; vy
= v0
· 0,6 – 9,8 · t
Cuando el balón entra en la canasta, la coordenada x de su posición vale 6,25 m y la
coordenada y vale 3,05 m; sustituyendo estos valores en las respectivas ecuaciones,
tenemos:
6,25 = v0
· 0,8 · t ; 3,05 = 2,5 + v0
· 0,6 · t – 4,9 · t2
Si despejamos t en la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda, se obtiene:
t = 8 3,05 = 2,5 + v0
· 0,6 · – 4,9 ·
( )2
Desarrollando esta expresión y despejando la velocidad del lanzamiento, resulta:
0,55 = – 8 0,55 = 4,69 – 8 v0
= 8,5 m/s
El jugador lanza el balón con una velocidad de 8,5 m/s.
18. Una pelota que desliza por un tejado, de 45° de inclinación, lleva una velocidad
de 12 m/s cuando llega al borde, que se encuentra a una altura de 18 m. Calcu-
la: a) La distancia a la que cae del edificio. b) Su velocidad en ese instante.
Cuando abandona el tejado, la pelota sigue una trayectoria parabólica correspondie-
te a un tiro oblicuo hacia abajo. Situando el origen de coordenadas en el pie de la
vertical del punto en que abandona el tejado y el semieje Y positivo hacia arriba, las
ecuaciones de su movimiento son:
x = v0
· cos a · t = 12 · 0,7 · t = 8,4 · t ; vx
= 8,4 m/s
y = H + v0
· sen a · t – · g · t2
= 18 – 8,4 · t – 4,9 · t2
; vy
= –8,4 – 9,8 · t
a) Cuando la pelota llega al suelo, y = 0; luego:
y = 0 8 4,9 · t2
+ 8,4 · t – 18 = 0
Al resolver esta ecuación de segundo grado, tenemos:
t = =
La solución correcta es la positiva, pues un tiempo negativo no tiene sentido físi-
co; luego, la pelota tarda en caer del tejado a la calle 1,24 s, y cae a una distancia:
x = 8,4 · 1,24 = 10,42 m
b) Cuando la pelota llega al suelo, las componentes de su velocidad son:
vx
= 8,4 m/s ; vy
= –8,4 – 9,8 · 1,24 = –20,55 m/s
y, por tanto, su módulo es:
v = = = = 22,2 m/s
√70,56 + 422,3
√8,42
+ (–20,55)2
√vx
2
+ vy
2
–8,4 Ï 20,57
9,8
–8,4 Ï
2 · 4,9
1
2
299,07
v0
2
4,9 · 6,252
v0
2
· 0,64
0,6 · 6,25
0,8
6,25
v0
· 0,8
6,25
v0
· 0,8
6,25
v0
· 0,8
1
2
t1
= +1,24
t2
= –2,96
√8,42
– 4 · 4,9 · (–18)
54 Unidad 3. Estudio de movimientos sencillos y su composición

19. Calcula la velocidad con que se ha lanzado un balón para que choque a 3 m
de altura con una pared situada a 9 m, si sale con una elevación de 30°. El ba-
lón ¿está ascendiendo o descendiendo cuando choca con la pared?
El balón es lanzado siguiendo un tiro oblicuo hacia arriba. Las ecuaciones de su mo-
vimiento son:
x = v0
· cos 30° · t = v0
· 0,866 · t ; vx
= v0
· 0,866
y = v0
· sen 30° · t – · g · t2
= v0
· 0,5 · t – 4,9 · t2
; vy
= v0
· 0,5 – 9,8 · t
Cuando el balón choca con la pared, su posición viene dada por las coordenadas
x = 9 m e y = 3 m. Sustituyendo estos valores en las correspondientes ecuaciones, te-
nemos:
9 = v0
· 0,866 · t ; 3 = v0
· 0,5 · t – 4,9 · t2
De la primera ecuación:
v0
· t = = 10,39
Y sustituyendo en la segunda:
3 = 10,39 · 0,5 – 4,9 · t2
De donde obtenemos el tiempo que tarda el balón en llegar a la pared:
t = 0,67 s
La velocidad inicial vale:
v0
= = 15,51 m/s
Cuando el balón llega a la pared, la componente vertical de la velocidad vale:
vy
= 15,51 · 0,5 – 9,8 · 0,67 = 1,19 m/s
Como la componente vertical de la velocidad es positiva, el balón todavía está su-
biendo.
20. Para cada una de las manecillas de un reloj (segundero, minutero y horario),
calcula: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular, en rad/s.
Recordando que el período, T, es el tiempo que tarda en dar una vuelta, y las rela-
ciones entre este y la frecuencia y la velocidad angular:
f = ; u = = 2 · π · f
tenemos:
– El segundero tarda 60 s en completar una vuelta; por tanto:
T = 60 s ; f = = 1,67 · 10–2
Hz ; u = = 0,105 rad/s
– El minutero pasa por la misma posición cada 60 minutos. Por tanto:
T = 3600 s ; f = 2,78 · 10–4
Hz ; u = 1,75 · 10–3
rad/s
– El horario recorre una vuelta cada 12 horas, con lo que resulta:
T = 43200 s ; f = 2,31 · 10–5
Hz ; u = 1,45 · 10–4
rad/s
10,39
0,67
1
60
2 · π
60
1
T
2 · π
T
9
0,866
1
2

56
21. Un taladro eléctrico puede trabajar en dos modos: 1000 r.p.m. y 2500 r.p.m.
Expresa en rad/s la velocidad angular con que gira la broca en cada situación
y calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro
de 1 cm.
En el primer modo tenemos:
u1
= 1000 r.p.m. = = = 104,72 rad/s
Y en el segundo:
u2
= 2500 r.p.m. = = = 261,80 rad/s
Teniendo en cuenta que v = u · R y que el radio de la broca vale 0,5 cm = 5 · 10– 3
m:
v1
= u1
· R = 104,72 · 5 · 10– 3
= 0,52 m/s ; v2
= u2
· R = 261,8 · 5 · 10– 3
= 1,31 m/s
22. Un cuerpo recorre una circunferencia de 20 m de radio con una velocidad li-
neal de 15 m/s. Calcula: a) El período y la frecuencia. b) Su velocidad angular.
c) Su aceleración. d) El número de vueltas que da en 10 minutos.
a) y b) Teniendo en cuenta la relación v = u · R, y que la frecuencia es la inversa del
período, tenemos:
v = u · R 8 u = = = 0,75 rad/s
u = 8 T = = = 8,38 s 8 f = = = 0,12 Hz
c) La aceleración del cuerpo, al describir un m.c.u., es únicamente aceleración normal:
an
= = = 11,25 m/s2
d) El ángulo girado en 10 minutos es:
f = u · t = 0,75 · 600 = 450 rad
d) Por tanto, el número de vueltas que ha dado es:
n.º de vueltas = = 71,62 vueltas
23. La Tierra gira alrededor de sí misma empleando 24 horas en dar una vuelta.
Calcula: a) Su velocidad angular, en rad/s y en r.p.m. b) La velocidad lineal de
un punto del ecuador. c) La aceleración de este punto. Dato: RT
= 6370 km.
El período de la Tierra en su giro alrededor de sí misma es:
T = 1 día = 24 h = 24 · 60 min = 1440 min = 24 · 60 · 60 = 86400 s
a) La velocidad angular de la Tierra en el giro alrededor de sí misma es, en rad/s y
en r.p.m.:
u = = = 7,27 · 10– 5
rad/s
u = = 6,94 · 10– 4
r.p.m.
1 vuelta
1440 min
2 · π
T
2 · π rad
86400 s
450 rad
2 · π
v2
R
152
20
2 · π
T
2 · π
u
2 · π
0,75
1
T
1
8,38
v
R
15
20
2500 rev
1 min
2500 · 2 · π rad
60 s
1000 rev
1 min
1000 · 2 · π rad
60 s
rad
vuelta

b) La velocidad lineal de un punto del ecuador es:
v = u · R = 7,27 · 10– 5
· 6,37 · 106
= 463,09 m/s
c) La aceleración de este punto es aceleración normal, y vale:
an
= = u2
· R = (7,27 · 10– 5
)2
· 6,37 · 106
= 0,03 m/s2
24. Un disco de 30 cm de diámetro, inicialmente en reposo, empieza a girar alre-
dedor de un eje perpendicular y que pasa por su centro con una aceleración
angular de 5 rad/s2
. Calcula, a los 20 s: a) Su velocidad angular y el número de
vueltas que ha dado. b) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un pun-
to del borde del disco.
El disco realiza un m.c.u.a. sin velocidad angular inicial, cuyas ecuaciones son:
f = · a · t2
; u = a · t
a) La velocidad angular a los 20 s es:
u = a · t = 5 · 20 = 100 rad/s
y el ángulo girado en ese tiempo vale:
f = · a · t2
= · 5 · 202
= 1000 rad
Por tanto, ha dado:
b) Un punto del borde del disco se encuentra a 15 cm = 0,15 m del centro de giro;
por tanto, su velocidad lineal es:
v = u · R = 100 · 0,15 = 15 m/s
y el espacio que recorre:
s = f · R = 1000 · 0,15 = 150 m
25. El velocímetro de una bicicleta estática indica la velocidad lineal de un punto
de la periferia de la rueda. Si inicialmente marca 36 km/h y a los 40 s marca
72 km/h, y la rueda tiene un diámetro de 50 cm, calcula: a) La velocidad an-
gular inicial y final. b) La aceleración angular. c) Las vueltas que ha dado la
rueda en ese tiempo.
a) La velocidad lineal inicial es v0
= 36 km/h = 10 m/s, y el radio, 50 cm = 0,5 m; en-
tonces, la velocidad angular inicial vale:
v0
= u0
· R 8 u0
= = = 20 rad/s
A los 40 s, la velocidad lineal vale vf
= 72 km/h = 20 m/s; entonces, la velocidad
angular en ese instante vale:
u = = = 40 rad/s
b) La aceleración angular, supuesta constante, vale:
a = = = 0,5 rad/s2
u – u0
t
40 – 20
40
vf
R
20
0,5
v0
R
10
0,5
1000
2 · π
1
2
1
2
1
2
v2
R

58
c) El ángulo girado en ese tiempo vale:
f = u0
· t + · a · t2
= 20 · 40 + · 0,5 · 402
= 1200 rad
Por tanto, el número de vueltas que ha dado la rueda es:
n.º de vueltas = = 191 vueltas
26. Un volante de 20 cm de radio pasa de 200 r.p.m. a 500 r.p.m. en 30 s. Calcula:
a) Su aceleración angular. b) El ángulo girado en ese tiempo, en radianes y en
vueltas. c) La velocidad lineal y el espacio recorrido por un punto de su peri-
feria a los 10 s. d) La aceleración tangencial y la normal de ese punto en ese
instante.
En primer lugar, pasamos los datos al Sistema Internacional:
u0
= 200 r.p.m. = = 20,94 rad/s
uf
= 500 r.p.m. = = 52,36 rad/s
a) La aceleración angular del volante vale:
a = = = 1,05 rad/s2
b) El ángulo girado y el número de vueltas a que equivale es:
f = u0
· t + · a · t2
= 20,94 · 30 + · 1,05 · 302
= 1100,7 rad
c) A los 10 s, la velocidad angular vale:
u = u0
+ a · t = 20,94 + 1,05 · 10 = 31,44 rad/s
Luego, la velocidad lineal de un punto de la periferia del volante es:
v = u · R = 31,44 · 0,2 = 6,29 m/s
El espacio recorrido por un punto de la periferia lo obtenemos a partir del ángu-
lo girado por el volante en 10 s:
f = 20,94 · 10 + · 1,05 · 102
= 261,9 rad
Por tanto, un punto de la periferia del volante ha recorrido:
s = f · R = 261,9 · 0,2 = 52,38 m
d) La aceleración tangencial de un punto de la periferia del volante vale:
at
= a · R = 1,05 · 0,2 = 0,21 m/s2
Y la aceleración normal en ese instante es:
an
= u2
· R = 31,442
· 0,2 = 197,69 m/s2
1
2
1100,7 rad
2 · π rad/vuelta
1
2
1
2
uf
– u0
t
52,36 – 20,94
30
500 · 2 · π
60
200 · 2 · π
60
1200 rad
2 · π rad/vuelta
1
2
1
2

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