Este documento contiene 18 problemas de matemáticas resueltos. Los problemas involucran cálculos algebraicos, lógica y transformaciones entre bases numéricas. El documento provee la solución completa para cada problema con el objetivo de explicar los pasos involucrados en la resolución.

1. SEMANA 3:
NUMERACIÓN I
1. Calcule “a” si:
( )
( ) ( )7 .
9
p
a n 2c 1 aa
3
 
= + ÷
 
Además ( )
( )
n
p
c
5p7 4c3
2
 
=  ÷
 
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n p 9 7
c p
5p7 4c3 ; a n 2c 1 aa
2 3
   
= = + ÷  ÷
   
n 7> p 4> n 9< c 3<
C= par p 3ó6=
→ n = 8 ; p 6= ; c 2=
Luego:
( ) ( )9 7a28 5aa=
81a 2 9 8 245 7a a+ × + = + +
81a 26 245 8a+ = +
73.a 219 a 3= → =
RPTA.: B
2. ¿Cuántos valores puede tomar “k”
en
( )
n
n
k
0,125
kk
= ?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
( )
( )
= =
n
n
k 1
0,125
8kk
Descomponiendo
k 1 k
kn k 8
= = ⇒
+ k (1 n)+
1
8
=
1 1
n 1 8
n 1 8
= = ⇒ + =
+
n 7=
Pero k n 7< =
k 1;2;3;4;5;6=
K puede tomar 6 valores
RPTA.: C
3. Si:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )7
n 5
n n 1 n 2 n 3 n 4 abcd+
+ + + + =
Halle: ( )a b c d+ + +
A) 10 B) 12 C) 13
D) 11 E) 14
RESOLUCIÓN
(7)(n 5)n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) abcd++ + + + =
( )n 5 7+ <
n 1=
( )(6) 712345 abcd=
1 2 3 4 5
6 6 48 306 1860
1 8 51 310 1865
a=5
( ) ( )77
1865 5303 abcd∴ = = b=3
C=0
D=3
a + b + c + d = 11
RPTA.: B

2. 4. Halle ( )m n p+ + , si ( ) ( )n n 1
110 ,81 + y
(n 1)1mp − son números consecutivos.
A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11
RESOLUCIÓN
( ) ( ) ( )n 1n n 1
110 ;81 ;1mp −+
Por dato: ( ) ( )n n 1
110 1 81 +
+ =
( )2
n n 1 8 n 1 1+ + = + +
( ) ( )2
n 7n 8 0 n 8 n 1 0− − = ⇒ − + =
n - 8 n=8
n 1
( ) ( ) ( )78 9
110 ;81 ;1mp
72 ; 73 ; 74
74 7
4 10 7
3 1
( ) ( )7 7
1mp 134 m 3;p 4;n 8= ⇒ = = =
m n p 15+ + =
RPTA.: A
5. Sabiendo que : ( ) ( )n 9a7b aoc ;=
además ( ) ( )n 5 .6d6 mbmb= Halle el
valor de (m + b + d).
A) 2 B) 4 C) 3
D) 6 E) 8
RESOLUCIÓN
( ) ( )n 9a7b aoc
+ −
=
7 n 9 n 8< < → =
También por dato:
( ) ( )8 56d6 mbmb=
( )
2 2
56 8 d 8 6 mb .5× + × + = ( )5mb+
390 8d+ 26= mb ( )5
( )5195 4d 13.mb+ =
0 15
( ) ( )5 5
d 0 mb 15 30= → = =
→ m = 3; b = 0
3dbm =++∴
RPTA.: C
6. Calcule el valor de “n” si “m” es
máximo en:
( )
...1818 n
18.18 123=
“m” veces
A) 8 B) 9 C) 11
D) 14 E) 10
RESOLUCIÓN
Propiedad tenemos:
( )
...1818 n
18.18 n 8 m 123= + × =
Pensando:
m 14= (mayor valor)
n 8 14 123+ × =
n 123 112= −
n 11=
RPTA.: C
7. Si:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 3
a b 1 c 2 c b 1 10 xy 12+ + = −
Calcule: ( )a b c x y+ + + +
“m” es máximo
n > 8
“m” veces

3. A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
Caso Especial: 2
b b→
( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 3
a b 1 c 2 c b 1 /10 / xy /12+ + = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )9 9
a b 1 c 2 c b 1 3 3x y 5+ + = − +
Igualando:
* c = 5
* b 1 3;b 2+ = =
* a b 1;a 1= − =
*c 2 3x y+ = +
5 2 3x y+ = +
7 3x y= + ; x = 2 y = 1
Pide: a b c x y 11+ + + + =
RPTA.: C
8. En la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )m 8n
M 4n6 54 3mn= + −
Halle M.
A) 42 B) 532 C) 24
D) 220 E) 44
RESOLUCIÓN
Analizando:
( )n54 5>n
( )mn64 6>m
nm >
( )83mn
85 <<< mn
∴ 7=m y 6=n
( ) ( ) ( )7 6 8
M 466 54 376= + −
M 244 34 254= + −
∴ M = 24
RPTA.: C
9. Si se cumple que:
( )ab n
aa 29abca 17a=
Calcule el valor de “n”
A)3 B)4 C)6
D)9 E)5
RESOLUCIÓN
( ) ( )ab naa 29abca 17a= x 29<
→ cambio de variable
( ) ( ) ( ) ( )x 29 x 29
abca 17a abc .x a 17 .29 a= → + = +
( )xabc .x 36.29=
Si ( ) ( )9138116abc9x 9 ==→=
a=1 ; b=3; c=8
Luego:
( )13 n
x 11 9= =
n 1 3 9 n 5+ + = → =
RPTA.: E
10. Halle ( )a b c m n ,+ + − − sabiendo
que: ( ) ( )n maba bcn=
Sabiendo que: m < 9 y b > 4
A) 27 B)3 C)-5
D) -3 E)5
RESOLUCIÓN
mnab4 <<<< (Ordenando)
87654 <<<<
Luego: ( ) ( )87 517656 =
a b c m n 6 5 1 7 3∴ + + − − = + + − = −
3−∴
RPTA.: D
x

4. 11. Calcule la suma de las dos últimas
cifras del numeral: ( ) ( ) ( )n
16 12 13 8 ,
al expresarlo en el sistema de
base ( )1n + .
A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
( )( )( )( ) ⇒= n8131216N Base ( )1n +
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
nn
n n
n n nn
nn
nn
n n
n n
n
16 12 13 8 n 1 11
11 1576 11
5 12 11 143 11
5 5 47
7 13 44
7 7 36
68 33
66 3
2
+ =
(n 1)N ...32 +→ =
∑ de las 2 últimas cifras = 5
RPTA.: C
12. Si se cumple:
( )
( )x
2m 1
9 6 12
abcd
m m m −
     
= ÷ ÷ ÷
     
Calcule a b c d m x+ + + + +
A) 8 B) 10 C) 12
D) 13 E) 15
RESOLUCIÓN
( )
( )x
1m2
abcd
m
12
m
6
m
9
=

















−
“m” divide a 9; 6 y 12 por tanto
m = 3
Reemplazando.
x5 abcd324 = a mayor valor
aparente menor base x 5∴ <
Se verifica para: x = 4
Por descomposición:
8945253324 5
5 =+×+×=
Por división a base 4:
89 4
1 22 4
2 5 4
1 1
( ) ( ) x45 abcd1121324 ==
4x;1d;2c;1b;1a =====
3m =
12mxdcba =+++++
RPTA.: C
13. Calcule : a n m+ +
Si: ( ) ( )n m
120a 64a 2553= =
A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 19
RESOLUCIÓN
( ) ( )mn 2553a64a120 ==
( ) 6401200 n =
n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)
Números
equivalentes

5. )28(8)2n(n2n 223
+=++
n 8=
( ) ( )8 m
64a 120a 2553 ;m 5
m 8
= = >
<
6m =
( )
3
6
2553 2 6 5 6² 5 6 3 645 64a= × + × + × + = =
a 5=
a m n 5 6 8 19+ + = + + =
RPTA.: E
14. Halle “x” en:
( ) ( )n 7abx ccn ,= si: 2>c y ab >
A)0 B) 2 C) 3
D)5 E) 6
RESOLUCIÓN
( ) ( )n 7abx ccn ...(I)= ; C 2> ; b a>
7n <
2 c a b n 7 c 3→ < < < < < → =
a 4=
b 5=
n 6=
Luego en I
( ) ( )6 7
45x 336 174= =
( ) ( )6 6
45x 450 x 0⇒ = → =
RPTA.:A
15. Si se cumple que:
(2n) numerales
( )n
14 10 1
15 11
14 12
15 13
1 n 1
= +
−
O O
O O
¿Cuántas cifras tendrá el menor
numeral de la base “n”, cuya suma
de cifras sea 210, cuando se
exprese en la base
2
n ?
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5
RESOLUCIÓN
Aplicando propiedad.
1)1n(...3210n5).1n()4(n15 +−++++++=−++
2
)1(
99
+
=+
nn
n
( ) 18n
2
)1n(n
n19 =⇒
+
=+
En base 3241822
==n
Número ( )( ) 18324
210 02 01 00=
Número de cifras =5
RPTA.:E
16. Halle ( )knba +++ en la siguiente
expresión:
( ) ( )k n
9ab 213312= ; donde 2
nk =
A) 18 B) 24 C) 28
D) 41 E) 37
RESOLUCIÓN
Luego: knkn 2
=⇒=
( ) ( )nn 213312ab9 2 =

6. Transformando de base (n) a base ( )2
n
( )n
21 33 12
( )2
n
9 a b
( )
( )
( )
n
4
4
21 9 n 4 ; k 16
33 a a 15
12 b b 6
= ⇒ = =
= ⇒ =
= ⇒ =
41knba =+++
RPTA.: D
17. El mayor número de 3 cifras
diferentes de la base n, se escribe
en base 8 como 4205. Halle n.
A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14
RESOLUCIÓN
Sea: ( )nabc el mayor ( )cba ≠≠
( ) ( ) ( ) ( )( )
n 8
n
abc n 1 n 2 n 3 4205= − − − =
pasando a base 10.
( ) 218158082843nn).2n(n.1n 232
=+×+×+×=−+−+−
2184nn3
=−
2184)1n(n 2
=−
2184)1n)(1n(n =−+
( )( )( ) 1413121nn1n ××=+−
13n =
RPTA.: D
18. Se desea repartir S/. 1000000 entre
un cierto número de personas, de
tal modo que lo que les corresponda
sea:
S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…
y que no más de 6 personas reciban
la misma suma. ¿Cuántas personas
se beneficiaron?
A) 16 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12
RESOLUCIÓN
Transformando a base 7:
( )7311333110000001 =
Número de personas:
1611333311 =+++++++
16N =∴
RPTA.: A
19. Si se cumple:
( ) ( )2 8a10b11b 15c=
Halle: ( )cba ++
A)6 B) 7 C)5
D)9 E) 10
RESOLUCIÓN
( )2
a 10b 11b = ( )8c15
( )8)b6)(b4(a ++ = ( )8c15
1a* =
1b;5b4* ==+

7. 7c;cb6* ==+
9cba* =++
20. Si se cumple: ( ) ( )n 7ab ba=
Halle la suma de cifras de n ; si es
el máximo valor posible.
RESOLUCIÓN
Descomponiendo:
ab7ban +=+
1
a
b6
n +=
7by7a <<
6b;1a ==
37n = ⇒ 1073 =+