linbro de calculo

1. INTEGRANTES:
MARIA BARAHONA
LIZBETH CASIGÑA
EDWIN CASTILLO
SANTIAGO ESPINOZA
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Dr. Franklin Coronel

2. Primera propiedad de traslación
𝑆𝑖 𝐹[0, +∞ >→R, Es una función continua por tramos y de
orden exponencial y si L{F(t)}=f(s) entonces para a ≠ 0 se
tiene:
𝐿 𝑒𝑎𝑡
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑠 − 𝑎 , 𝑠 > 𝑎
Demostración:
Mediante la definición de transformada se tiene:
𝐿 𝐹 𝑡 =
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡 𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

3. 𝐿 𝑒𝑎𝑡
𝐹 𝑡 =
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝑒𝑎𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =
=
0
+∞
𝑒− 𝑠−𝑎 𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =
= 𝑓(𝑠 − 𝑎)
𝐿 𝑒𝑎𝑡
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑠 − 𝑎
Ejemplo: Si F(t)=𝑒−𝑡𝑐𝑜𝑠2𝑡. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐿{𝐹 𝑡 }
Solución:
Sea 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝑡 =
𝑠
𝑠2+4
= 𝑓 𝑠 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐿 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑓 𝑠 + 1 =
𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2 + 4
𝐿 𝑒−𝑡
𝑐𝑜𝑠2𝑡 =
𝑠 + 1
𝑠2 + 2𝑠 + 5

4. Segundad propiedad de traslación
Si f: [0,+∞ >→ 𝑅, es una funcion continua por tramos y de orden exponencial y;
𝑆𝑖 𝐿 𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑦 𝐺 𝑡 =
0, 𝑡 < 𝑎
𝐹 𝑡 − 𝑎 ; 𝑡 > 𝑎
entonces
L{G(t)}= 𝑒−𝑎𝑠𝑓(𝑠)
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧 :
Mediante la definición de transformada de Laplace
𝐿 𝐹 𝑡 =
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡 𝐺 𝑡 𝑑𝑡
=
0
𝑎
𝑒−𝑠𝑡 𝐺 𝑡 𝑑𝑡 +
𝑎
∞
𝑒−𝑠𝑡 𝐺 𝑡 𝑑𝑡

5. = 0 +
𝑎
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐺 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑎
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐺 𝑡 𝑑𝑡
𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 ∶ 𝐿𝑧 𝐺 𝑡 =
𝑎
+∞
𝑒−𝑠𝑡 𝐺 𝑡 𝑑𝑡
Ahora calculamos la integral, haciendo la sustitución:
𝑢 = 𝑡 − 𝑎 𝑡 = 𝑢 + 𝑎 𝑑𝑡
= 𝑑𝑢, 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
𝐿 𝐺 𝑡 =
𝑎
+∞
𝑒−𝑠 𝑢+𝑎 𝐺 𝑢 + 𝑎 𝑑𝑢 = 𝑒−𝑎𝑠
𝑎
+∞
𝑒−𝑠𝑢 𝐹 𝑢 𝑑𝑢
= 𝑒−𝑎𝑠
𝑓 𝑠
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝐿 𝐺 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑠
𝑓 𝑠

6. Propiedad del cambio de escala
Sea 𝐹: 𝑎, +∞ >→ 𝑅, una función continua por tramos y de orden
exponencial.
Si 𝐿 𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑠 → 𝐿 𝐹 𝑎𝑡 =
1
𝑎
𝑓(
𝑠
𝑎
)
Demostración:
Aplicando la definición de transformada de Laplace
𝐿 𝐹 𝑎𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑎𝑡 𝑑𝑡
Calculando la integral se tiene:
Sea 𝑢 = 𝑎𝑡 → 𝑡 =
𝑢
𝑎
→ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑢
𝑎
𝐿 𝐹 𝑎𝑡 =
0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑎𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑎
0
∞
𝑒−
𝑠
𝑎𝐹 𝑢 𝑑𝑢
=
1
𝑎
𝑓
𝑠
𝑎
𝐿 𝐹 𝑎𝑡 =
1
𝑎
𝑓
𝑠
𝑎

7. Ejemplos:
𝑳{𝒄𝒐𝒔𝟖𝒕}
Sea 𝐿 𝑐𝑜𝑠8𝑡 =
𝑠
𝑠2+1
= 𝑓(𝑠), entonces aplicando la propiedad de
cambio de escala se obtiene:
𝑠 = 8𝑡 𝑡 =
𝑠
8
𝐿 𝑐𝑜𝑠8𝑡 =
1
8
𝑓
𝑠
8
=
1
8
𝑠
𝑠2 + 1
8
Se realiza lo que está en paréntesis. Luego se remplaza s:
=
1
8
8𝑠
𝑠2 + 1
=
𝑠
𝑠
8
2
+ 1
=
𝑠
𝑠2
64 + 1
=
𝑠
𝑠2 + 64

8. 𝑳{𝒔𝒆𝒏𝟕𝒕}
Debe cumplir con la forma sen(at):
𝑎
𝑠2+𝑎2
Sea 𝐿 𝑠𝑒𝑛7𝑡 =
1
𝑠2+1
= 𝑓(𝑠), entonces:
Se aplica la propiedad: 𝐿 𝐹 𝑎𝑡 =
1
𝑎
𝑓(
𝑠
𝑎
)
𝐿 𝑠𝑒𝑛7𝑡 =
1
7
𝑓
𝑠
7
=
1
7
1
𝑠2 + 1
7
=
Se efectúa lo que está en paréntesis y se reemplaza el
valor de s:
7
(
𝑠
7
)2 + 1
=
7
𝑠2 + 49

9. Propiedad de la transformada de laplace división por t
L F(t) = f s = L
F(t)
t
=
s
∞
u du
Demostración:
G t =
F(t)
t

10. Ejemplo:
𝐿
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑡
𝐿
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑡
=
𝑠
∞
𝐿 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑠
𝑠
∞
1
𝑠
−
𝑠
𝑠2 + 1
𝑑𝑠 = 𝐼𝑛 𝑠 −
1
2
𝐼𝑛(𝑠2
+ 1)
𝑙𝑖𝑚
𝑆
→
∞
𝐼𝑛 𝑠 −
1
2
𝐼𝑛(𝑠2
+ 1) −
𝐼𝑛 𝑠 −
1
2
𝐼𝑛(𝑠2 + 1)

11. 𝑙𝑖𝑚
𝑆
→
∞
𝐼𝑛 𝑠 −
1
2
𝐼𝑛(𝑠2 + 1) = 𝑙𝑖𝑚
𝑆
→
∞
1
2
𝐼𝑛𝑠
2
−
1
2
𝐼𝑛 (𝑠2 + 1)
1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑆
→
∞
𝐼𝑛 𝑠
2
− 𝐼𝑛(𝑠2
+ 1) =
1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑆
→
∞
𝐼𝑛
𝑠
2
𝑠2
+ 1
𝟏
𝟐
𝐈𝐧
𝒍𝒊𝒎
𝐒
→
∞
𝒔
𝟐
𝒔𝟐
+ 𝟏
=
𝟏
𝟐
𝐈𝐧 𝟏 = 𝟎
1
2
𝐼𝑛 𝑠2 + 1 − 𝐼𝑛 𝑠 =
1
2
𝐼𝑛 𝑠2 + 1 −
1
2
𝐼𝑛 𝑠2
=
1
2
𝐼𝑛
𝑠
2
𝑠2
+ 1

12. Propiedad de la transformada de laplace de la multiplicacion por potencia de
𝒕
𝒏
𝐿 𝑡𝑛𝐹(𝑡) = (−1)𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝐿 𝐹(𝑡)
Demostración:
𝐿 𝐹(𝑡)
= 𝑓 𝑠 = 𝑓 𝑠 =
0
+
∞
𝑒
−
𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡

13. 𝐿 𝐹 𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
𝑓 𝑠 𝑛 = 1
𝐿 𝑡ℎ𝐹(𝑡) = −1 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑠ℎ
𝑓(𝑠)
𝑑
𝑑𝑠 0
+
∞
𝑒
−
𝑠𝑡
𝑡
ℎ
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =
−1 ℎ
𝑑ℎ
𝑑𝑠ℎ
𝑓(𝑠)
𝑑
𝑑𝑠 0
+
∞
𝑒
−
𝑠𝑡
𝑡
ℎ
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =
−1 ℎ+1
𝑑ℎ+1
𝑑𝑠ℎ+1
𝑓(𝑠)
𝐿 𝑡𝑛𝐹(𝑡) = −1 𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝑓(𝑠)

14. Ejemplo:
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 =
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝐿 𝑡𝑛
𝐹(𝑡) = (−1)𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛 𝑓(𝑠)
𝐿 𝑡 𝐹(𝑡) = (−1)𝑛
𝑑
𝑑𝑠
𝑓(𝑠)
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 = (−1)
𝑑
𝑑𝑠
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 = −𝑎
𝑑
𝑑𝑠
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 = −𝑎
2𝑠
𝑠2 + 𝑎2 2
𝐿 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 =
2𝑎𝑠
𝑠2 + 𝑎2 2

15. Transformada de Laplace de la derivada
1. Teorema: Consideremos una función continua 𝐹: [0, ∞ >→ 𝑅 y que 𝐹´(𝑡) sea
continua por tramos y de orden exponencial en [0, ∞ > entonces:
𝐿 𝐹´ 𝑡 = 𝑠𝐿 𝐹 𝑡 − 𝐹 0+ , donde 𝐹 0+ = lim
𝑡→0+
𝐹(𝑡)
Demostración
Como 𝐹´(𝑡) es continua por tramos y de orden exponencial entonces por el teorema,
existe 𝐿{𝐹´ 𝑡 }, es decir:
𝐿 𝐹´ 𝑡 = 0
∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹´ 𝑡 𝑑𝑡, integrando por partes
{
𝑢 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑣 = 𝐹´ 𝑡 𝑑𝑡
→ {
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝑣 = 𝐹(𝑡)
𝐿 𝐹´ 𝑡 = 𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡
∞
0
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = 0 − 𝐹 0+
+ 𝑠𝐿{𝐹 𝑡 }
De donde: 𝐿 𝐹´ 𝑡 = 𝑠𝐿 𝐹 𝑡 − 𝐹(0+)

16. Ejemplo:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 𝑒2𝑡
; 𝑦 0 = 1
Se aplica la transformada de Laplace a los dos lados de la
ecuación diferencial.
𝐿 𝑦´ − 3𝐿 𝑦 = 𝐿 𝑒2𝑡
Se
aplica la fórmula 𝐿 𝑒𝑎𝑡
=
1
𝑠−𝑎
Se obtiene la transformada de la derivada y la transformada de
Laplace de 𝑒2𝑡

17. 𝐿 𝑦´ = 𝑠𝐿 𝑦 − 𝑦 0 𝑦 𝐿 𝑒2𝑡
=
1
𝑠 − 2
La ecuación totalmente transformada:
𝑠𝐿 𝑦 − 𝑦 0 − 3𝐿 𝑦 =
1
𝑠 − 2
Aplico la condición y(0)=1 y saco factor común de 𝐿 𝑦
𝐿 𝑦 𝑠 − 3 − 1 =
1
𝑠 − 2
𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐿 𝑦 =
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

18. 2. Teorema: Consideremos una función continua 𝐹´: [0, ∞ >→ 𝑅 y que 𝐹´´(𝑡)
sea una función continua por tramos y de orden exponencial.
Entonces: 𝐿 𝐹´´ 𝑡 = 𝑠2
𝐿 𝐹 𝑡 − 𝑠𝐹 0+
− 𝐹´(0+
)
Demostración:
Como F´´(t) es continua por tramos y de orden exponencial entonces por el
teorema, existe 𝐿{𝐹´´ 𝑡 }, es decir ahora se aplica dos veces el teorema
anterior. Para esto sea 𝐺 𝑡 = 𝐹´ 𝑡 → 𝐺´ 𝑡 = 𝐹´´(𝑡)
𝐿 𝐹´ 𝑡 = 𝐿 𝐺´ 𝑡 = 𝑠𝐿 𝐺 𝑡 − 𝐺 0+
𝐿 𝐹´´ 𝑡 = 𝑠𝐿 𝐺 𝑡 − 𝐹´ 0+ = 𝑠𝐿 𝐹´ 𝑡 − 𝐹´ 0+
= 𝑠 𝑠𝐿 𝐹 𝑡 − 𝐹 0+ − 𝐹´ 0+ = 𝑠2𝐿 𝐹 𝑡 − 𝑠𝐹 0+ − 𝐹´(0+)
𝐿 𝐹´´ 𝑡 = 𝑠2𝐿 𝐹 𝑡 − 𝑠𝐹 0+ − 𝐹´(0+)

19. Ejemplo:
Calcular 𝒚´´ + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟖𝒕 𝒚´ 𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟎 = 𝟎
Se aplica la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación
diferencial.
𝐿 𝑦´´ 0 + 𝐿 9𝑦 = 𝐿{18 𝑡 }
Se obtiene la transformada de la place de la segunda derivada.
𝐿 𝑦´´ = 𝑠2
𝐿 𝑦 − 𝑠 𝑦 0 − 𝑦´ 0 =
De donde se tiene:
𝑠2
𝐿 𝑦 − 𝑠 0 − 0 = 𝑠2
𝐿{𝑦}
Se halla la transformada de Laplace de {9𝑦} y {18𝑡}
𝐿 9𝑦 = 9𝐿{𝑦}
𝐿 18𝑡 = 18𝐿 𝑡 =
1!
𝑠2
=
18
𝑠2
𝑠2
𝐿 𝑦 + 9𝐿 𝑦 =
18
𝑠2
Se saca factor común:
𝐿 𝑦 𝑠2
+ 9 =
18
𝑠2
Despejo:
𝐿 𝑦 =
18
𝑠2 𝑠2 + 9

20. Transformada de Laplace de integrales
Consideramos que una función 𝑓: [0, ∞ >→ 𝑅 , continua por tramos y de orden
exponencial, entonces:
𝑠𝑖 𝑙{𝑓 𝑡 } → 𝑙{
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢} =
1
𝑠
𝐿 𝐹 𝑡 −
1
𝑠 0
𝑎
𝐹 𝑡 𝑑𝑡
Demostración:

21. Primero demostraremos que 𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 es de orden exponencial, es decir, como
F es de orden exponencial → ∃ 𝑎, 𝑐 > 0 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝐹 𝑡 ≤ 𝑐 𝑒𝑎𝑡 , ∀ 𝑡 ≥ 0
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 ≤
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 ≤ 𝑐
𝑎
𝑡
𝑒𝑎𝑢
𝑑𝑢 =
𝑐
𝑎
𝑒𝑎𝑢
𝑡
𝑎
=
𝑐
𝑎
(𝑒𝑎𝑡
− 𝑒𝑎𝑢
) ≤
𝑐
𝑎
𝑒𝑎𝑡
Entonces 𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 es de orden exponencial.
Por lo tanto ∃ 𝐿{ 𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢} es decir:
𝐿{
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢} =
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
(
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢)𝑑𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡0→+∞ 0
𝑡0
𝑒−𝑠𝑡
(
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢)𝑑𝑡
Integrando por partes.

22. 𝑤 =
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
→
𝑑𝑤 = 𝐹 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 =
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
𝐿{
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢} = 𝑙𝑖𝑚
𝑡0→+∞
[−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠 𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢
𝑡0
0
+
1
𝑠 0
𝑡0
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡]
= −
1
𝑠
(0 −
𝑎
0
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 + 𝑙𝑖𝑚
𝑡0→+∞
1
𝑠 0
𝑡0
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡
=
1
𝑠 𝑎
0
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 +
1
𝑠 0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑠 0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 −
1
𝑠 0
𝑎
𝐹 𝑡 𝑑𝑡
∴ 𝐿{
𝑎
𝑡
𝐹 𝑢 𝑑𝑢} =
1
𝑠
𝐿 𝐹 1 −
1
𝑠
0
𝑎
𝐹 𝑡 𝑑𝑡

23. Ejemplo:
Hallar 𝐿{ 0
𝑥
𝑡𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡}
Solución
𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
1
(𝑠2+1)
→ 𝐿 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡 = −
𝑑
𝑑𝑠
1
𝑠2+1
=
2𝑠
(𝑠2+1)2
𝐿 𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
2𝑠
(𝑠2+1)2
→ 𝐿 𝑒𝑎𝑡
𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡 =
2(𝑠 − 𝑎)
[(𝑠 − 𝑎)2+1]2
= 𝑓(𝑠)
𝐿{
0
𝑥
𝑡𝑒𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡} =
𝑓 𝑠
𝑠
=
2(𝑠 − 𝑎)
𝑠[ 𝑠 − 𝑎 2 + 1)]2
∴ 𝐿{𝑡2
𝑡
𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 }

24. Aplicaciones de la transformada de Laplace en la evaluación de integrales
Sea 𝑓: [0, ∞ >→ 𝑅; una función continua por tramos y orden exponencial, entonces.
Si 𝐿 𝐹 𝑡 = 𝐹 𝑠 entonces 0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑠) , tomando limite cunado 𝑠 → 0
,entonces se tiene:
𝑙𝑖𝑚
𝑠→0 0
+∞
𝑒−𝑠𝑡
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0
𝑓(𝑠)
De donde 0
+∞
𝐹 𝑡 𝑑𝑡 = (0)
Siempre que la integral sea convergente.
La expresión (*) es útil en la evaluación de integrales.

25. Ejemplo:
Evalué la integral 0
+∞ 𝑒−𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡
𝑡
𝑑𝑡
Solución
Aplicando la división y luego la definición de 𝐿 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑏𝑡 =
𝑏
𝑠2+𝑏2 = 𝑓(𝑠)
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑏𝑡
𝑡
=
𝑠
+∞
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑠
+∞
𝑏
𝑢2 + 𝑏2 𝑑𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑢
𝑏 𝑠
+∞
=
𝜋
𝑠
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑠
𝑏
𝐿
𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡
𝑡
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑠
𝑏
, ahora aplicamos la definición de la transformada
0
+∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
𝑡
=
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑠
𝑏
, tomamos limite cuando 𝑠 → 𝑎 se tiene:

26. 𝑙𝑖𝑚
𝑠→𝑎 0
+∞
𝑒−𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
𝑡
𝑑𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→𝑎
(
𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑠
𝑏
)
0
+∞
𝑒−𝑎𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡
𝑡
𝑑𝑡 =
𝜋
2
−
𝑎
𝑏
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎

27. Conclusiones
-Para la ejecución de ejercicios de transformada de laplace, se toman en cuenta ciertas propiedades
que permiten realizar u operar ejercicios de manera rápida. Además de esto, se logra ampliar ciertos
conocimientos que servirán para las ecuaciones diferenciales ordinarias.
-Se logra conocer todas las propiedades de la transformada de laplace que son usadas para la
resolución de ejercicios se debe conocer sus diferentes fórmulas, ya que para cada propiedad es
distinta.
Recomendaciones
-Practicar frecuentemente las propiedades de laplace en diferentes ejercicios, para así, tener un
avance en el entendimiento de ejercicios de ecuaciones diferenciales.
-Es recomendado siempre verificar todas las fórmulas de las distintas propiedades para la realización
de distintos ejercicios.
-Conocer todos los diferentes pasos para la buena resolución de diferentes ecuaciones mediante la
transformada de laplace.

28. Bibliografía
Espinoza Ramos(). Transformada de Laplace. www. Elsolucionario.net