Este documento trata sobre los límites de funciones. Define formalmente el límite de una función cuando x tiende a c. Explica la visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite. También cubre propiedades de los límites, unicidad del límite, indeterminaciones y la regla de L'Hôpital.

2. Limite de una
FunciónDefinición
formal.
Algebra de
los limites.
Propiedades.
Unicidad
del limite.
Indeterminaciones
.
Regla de
L´Hôpital.
Reflexión de la
Materia.
Bibliografía.

3. El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y
sólo si para todo 𝜺 > 𝟎 existe un 𝜹 = 𝜹(𝜺) > 𝟎 tal que para
todo número real x en el dominio de la función si 𝟎 <
𝒙 − 𝒂 < 𝜹 entonces 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺 .
Visualización de los parámetros utilizados en la
definición de limite.
Si la función 𝒇 tiene
límite 𝑳 en 𝒄 podemos decir de manera
informal que la función 𝒇 tiende hacia el
límite 𝑳 cerca de 𝒄 si se puede hacer
que 𝒇(𝒙) esté tan cerca como queramos
de 𝑳 haciendo que 𝒙 esté
suficientemente cerca
de 𝒄 siendo 𝒙 distinto de 𝒄.

4. 1) Las dos condiciones siguientes son equivalentes:
(a) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
(b) lim
𝑥→𝑎
(𝑓 𝑥 − 𝐿) = 0
2) Sean 𝑓, 𝑔 y ℎ tres funciones tales que: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) para
todos los puntos de un intervalo que contiene al punto 𝑎, exceptuando
el punto 𝑎.
Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿
3) Sean las funciones 𝑓 y 𝑔 que satisfacen 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) para todo
punto de un intervalo, para los cuales, además lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿1 y
lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿2 entonces, 𝐿1 ≤ 𝐿2.
4) Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿

5. 1) Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿2, entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2
2) Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿2, entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿1 ∙ 𝐿2
3) Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y 𝐿 ≠ 0, entonces:
lim
𝑥→𝑎
1
𝑓(𝑥)
=
1
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
=
1
𝐿
4) Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 Y lim
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝐿2, con 𝐿2 ≠ 0, entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿1
𝐿2
5) Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑔 𝑡 = 𝑎, entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)=lim
𝑡→𝑡0
𝑓(𝑔(𝑡))

6. TEOREMA: Si el limite de una función existe para "𝑥" tendiendo a "𝑎",
entonces es único.
Demostración:
Sea lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿2
Probemos que 𝐿1 = 𝐿2
Supongamos que 𝐿1 ≠ 𝐿2 , luego podemos suponer que 𝐿1 < 𝐿2.
Sea 𝜀 =
𝐿2−𝐿1
2
> 0, luego será: 𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀 ∩ 𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀 = ∅
Como lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿1 , existe 𝛿1 > 0 , tal que: si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿1 entonces
𝑓 𝑥 − 𝐿1 < 𝜀. (1)
Como lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿2 , existe 𝛿2 > 0 , tal que: si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿2 entonces
𝑓 𝑥 − 𝐿2 < 𝜀. (2)
Sea 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛. 𝛿1, 𝛿2
Luego, si: 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 entonces 𝑓(𝑥) verifica (1) y (2)
Por lo tanto:
Sea 𝑥 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 luego 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀 y 𝑓(𝑥) ∈ ( 𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 +

7. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes
(considere ∞ como el límite que tiende a infinito y 0 al límite
cuando tiende a 0; y no al número 0):
Operación Indeterminación
Sustracción ∞ − ∞
Multiplicación ∞ ∙ 0
División ∞
∞
;
0
0
Elevación a potencia 1∞
,∞0
,00

8. Para
0
0
y 𝑥 → 𝑥0
Teorema:Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en todo punto 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , tales que
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 = 0 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥0 = 0, con 𝑥0 ∈ 𝑎, 𝑏 .
Si 𝑔´ 𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 y si existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
= 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y vale:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿
Para
0
0
y 𝑥 → +∞
Teorema:Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en todo punto 𝑥 > 𝑘 > 0, tales que
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑔 𝑥 = 0.
Si 𝑔´(𝑥) ≠ 0para todo 𝑥 > 𝑘 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
= 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y vale:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿
Para
∞
∞
y 𝑥 → 𝑎
Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones con derivadas 𝑓´ y 𝑔´ en cada uno de los puntos de un intervalo 𝐼,
tales que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = +∞ y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = +∞, con 𝑎 ∈ 𝐼.
Si 𝑓´ y 𝑔´no se anulan ni se hacen infinitas en 𝑥 ∈ 𝐼 y si existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓´(𝑥)
𝑔´(𝑥)
= 𝐿, entonces 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y
vale:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿

9. La materia me pareció muy buena, ya que aprendí muchas cosas que
no sabia de distintos programas que creía saber manejar. Además
cosas muy necesarias para el entorno tecnológico en el cual vivimos.
A mi me gusto mucho la parte de Word ya que es el programa que
mas es usado en mi vida y me sorprendió todo lo que no sabia, y lo
útil que hubiera sido saberlo antes.

10. • WIKEPEDIA.
• APUNTES DE ANALISIS I (Profesorado de
matemática- FFHA- Universidad Nacional
de San Juan)