propiedades de laplace

1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
BACHILLER:
Anais Figueroa
C.I 25.060.851
PROFESOR:
Pedro Beltrán
BNA 18/O8/19

2. Es un tipo de transformada integral frecuentemente
usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La
transformada de Laplace de una función f(t) definida para todos los
números positivos t≥ 90 , es la función
F(s)=lt 𝑓(𝑡) 𝑠 = 0
∞
𝑒−𝑠 𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) es una
distribución con una singularidad en 0, la definición es
F(s)=l 𝑓(𝑡) = lim
𝑒→𝑜 0
∞
𝑒 − 𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se
refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de
Laplace bilateral, que se define como sigue
𝐹𝐵 𝑠 = 𝑙 𝑓(𝑡) = −∞
∞ 𝑒 − 𝑠𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡. La transformada de Laplace F(s)
típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una
constante que depende del comportamiento de crecimiento de . es

3.  PROPIEDADES DE LA LINEAL: Sean 𝐿 𝑓(𝑡) y 𝐿 𝑔(𝑡)
definidas para s > s0 y ƛ y 𝛽 números reales cualquiera;
entonces, la transformada de Laplace de 𝜆𝑓(𝑡)+𝛽𝑔(𝑡)
está definida para s > s0, y se tiene que 𝐿 ƛ𝑓(𝑡) +
𝛽 𝐿 𝑔(𝑡)
• Ejemplo: Aplicando la propiedad de linealidad
resuelva:𝐿 𝑒2𝑡
+ 3𝑒 −4𝑡
, SOLUCIÓN: 𝐿 𝑒2𝑡
+ 3𝑒 −4𝑡
=
𝐿 𝑒2𝑡
+ 3𝐿 −4𝑡
=
1
𝑆−2
+
3
𝑆+4
𝑆 > 2 =
 TRASLACIÓN EN EL DOMINIO DE S
Sea F(s) la Transformada de Laplace de la función f(t) para
s > s0, entonces, para todo número real se tiene: L {𝑒 𝑎𝑡
𝑓(
𝑡)}= 0
+∞
𝑒 − 𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0
+∞ 𝑒 − 𝑠 − 𝑎 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡=𝑓(𝑠 − 𝑎)
L {𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡)}=𝑓(𝑠 − 𝑎) para 𝑠 > 𝑠0 + 𝑎
Esta propiedad dice que si se multiplica f(t) por 𝑒𝑎𝑡, la
función resultante tiene una transformada de Laplace
desplazada a unidades en el dominio de la variable s de f

4. TRASLACION EN EL DOMINIO T :sea
g(t)=
𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡>
2𝜋
3
0, 0 ≤𝑡≤
2𝜋
3
𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙 𝑔(𝑡)
Solución: Se debe definir a la función g haciendo explícito en el
argumento de la función el desplazamiento de la variable t. Esto es,
hacer evidente f(t-a). Para ello efectuamos el siguiente artificio: 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
= 𝑠𝑒𝑛(𝑡 −
2𝜋
3
+
2𝜋
3
)= 𝑠𝑒𝑛((𝑡 −
2𝜋
3
)+
2𝜋
3
)= 𝑠𝑒𝑛(𝑡 −
2𝜋
3
)𝑐𝑜𝑠(
2𝜋
3
)+𝑐𝑜𝑠(𝑡 −
2𝜋
3
)𝑠𝑒𝑛(
2𝜋
3
)
= − 1 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡 −
2𝜋
3
)+ √3 2 𝑐𝑜𝑠(𝑡 −
2𝜋
3
)
𝑠𝑒𝑛(𝑡) = −
1
2
[√3 𝑐𝑜𝑠(𝑡 −
2𝜋
3
)− 𝑠𝑒𝑛(𝑡 −
2𝜋
3
) ]
𝑔(𝑡 +𝑎) = 𝑠𝑒𝑛(𝑡 +𝑎) 𝑎 =
2𝜋
3
Ahora si podemos utilizar la propiedad, por lo que: 𝑙 𝑔(𝑡) =
𝑒−𝑎𝑠 𝑙 𝑔(𝑡+𝑎) =𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + 𝑎)
𝑙 𝑔(𝑡) =
3
2
𝑒
−
2𝜋
3
𝑠 𝑙 cos(𝑡) −
1
2
𝑒
−
2𝜋
3
𝑠 𝑙 𝑠𝑒𝑛
t=
3
2
𝑒
−
2𝜋
3
𝑠
𝑠
1+𝑠2 −𝑒
−
2𝜋
3
𝑠
𝑠
1+𝑠2 =
𝑒
−
2𝜋
3 𝑠
2(1+𝑠2) ( 3 𝑠 − 1) 𝐆 𝐒 =
𝒆
−
𝟐𝝅
𝟑 𝒔
( 𝟑 𝒔−𝟏)
𝟐(𝟏+𝒔 𝟐

5. TRANSFORMADA DE LA DELTA DIRAC:
Conociendo previamente la función delta dirac, saliendo
de la propia definición:
𝑙 𝛿(𝑡 − 𝑎) = 0
∞
𝛿 𝑡 − 𝑎 . 𝑒. 𝑠𝑡. 𝑑𝑡 = 𝑎𝑠
TRANSFORMADA DE FUNCIONES PERIODICAS:
𝑙 𝑓(𝑡) = 0
∞
𝑓 𝑡 . 𝑒. 𝑠𝑡. 𝑑𝑡 =
0
𝑝
+ 𝑝
2𝑝
+ 2𝑝
3𝑝
+. . , 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡 = 𝑇 + 𝑝 𝑦 𝑑𝑡 = 𝑑𝑇
así como sustituir en todos los términos . ejemplo del
segundo termino: 𝑝
2𝑝
𝑓 𝑡 𝑒 − 𝑠𝑡 = 𝑒 − 𝑠 𝑡 dt
=e−sp 0
𝑝
𝑒 − 𝑠𝑇 𝑑𝑇 haciendo para los diversos términos
𝑙 𝑓(𝑡) = 1 + 𝑒 − 𝑠𝑝 + 𝑒2𝑠𝑝 + ⋯ ,
0
𝑝
𝑓 𝑡 𝑒 − 𝑠𝑡𝑑𝑇, 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 términos a seguir en una
geometría que converge en 𝑥 = 𝑒 − 𝑠𝑝 < 1, entonces la
transformada de funciones periódicas , 𝑙 𝑓(𝑡) =
1
1−𝑒−𝑠𝑝
0
𝑝
𝑒 − 𝑠𝑡. 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

6.  PROPIEDADES DE LA DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA:
Usando la definición de la transformada,
𝑑
𝑑𝑠
𝐹 𝑠 =
𝑑
𝑑𝑠 0
∞
𝑓 𝑡
𝑑
𝑑𝑠
𝑒 − 𝑠𝑡. 𝑑𝑇
0
∞
𝑓 𝑡 . −𝑡 𝑒 − 𝑠𝑡. 𝑑𝑡 =
0
∞
−𝑡𝑓(𝑡) 𝑒 − 𝑠𝑡. 𝑑𝑡 = 𝑙 𝑡𝑓(𝑡)
 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE UNA TRANSFORMADA: Sea f
una función continua en [0; +∞), y de orden exponencial cuando
t . ∝ Sabemos por el teorema fundamental del cálculo que
𝑑
𝑑𝑡 0
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 = f(t) Tomemos la transformada de Laplace a
ambos miembros de la ecuación 𝑙
𝑑
𝑑𝑡 0
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 Apliquemos en
el lado izquierdo la propiedad “Transformada de la
derivada”.𝑠 𝑙 𝑜
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 − 0
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙 𝑓(𝑡)
𝑠 𝑙
𝑜
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥 − 0 = 𝑙 𝑓(𝑡)
Con lo cual se obtiene 𝑠 𝑙 𝑜
𝑡
𝑓 𝑥 𝑑 𝑥
1
𝑠
𝑙 𝑓(𝑡)

7. En matemática, la transformada
inversa de Laplace de una función
F(s) es la función f(t) que cumple
con la propiedad 𝑙 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 ,
donde 𝑙 es la transformada de
Laplace.
La transformada de Laplace junto
con la transformada inversa de
Laplace tienen un número de
propiedades que las hacen útiles
para el análisis de sistema
dinámicos lineales.

8. PROPIEDAD LINEAL: Si 𝑐1 y 𝑐2 son constantes
arbitrarias y 𝑓1 𝑠 y 𝑓2(𝑠) son las transformadas
de Laplace de 𝑓1(𝑡) y 𝑓2(𝑡), entonces,
𝑙−
1 𝐹1 𝑠 +𝐹2(𝑠)
= 𝑐1. 𝑙 −
1 𝐹1(𝑆) +
𝑐2. 𝑙−1 𝐹2(𝑠) =𝑐1
.f1(t)+𝑐2. F2(t) También se aplica para mas de dos
funciones.
PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACION: Si
l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡), entonces l−1 𝐹(𝑠−𝑎) =𝑒 𝑎𝑡.𝑓(𝑡)
SEGUNDA PROPIEDAD DE TRALACION: si
l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡),entonces
l−1 𝑒− 𝑎𝑠
. 𝐹(𝑠) =
𝑓 𝑡 − 𝑎 𝑡 > 𝑎
0 𝑡 > 𝑎

9. PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA: l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡)
,
entonces l−
1 𝐹(𝑘 . 𝑠) =
1
𝑘
. 𝑓
(
𝑡
𝑘
)
Donde k representa una constante
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN LAS
INTEGRALES: si l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡), entonces
l −1
𝑠
∞
𝐹 𝑢 𝑑𝑢 =
𝒇(𝒕)
𝒕
TRANSFORMADAS INVERSA DE LAPLACE EN LAS
DERIVADAS: si l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡), entonces
l−
1
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝐹(𝑠) =(−1) 𝑛
.𝑡 𝑛 . 𝑓(𝑡)
MULTIPLICACION POR S^𝑵 : si l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡) y f (0)=0,
entonces l−1 𝑠 . 𝐹(𝑠) = 𝑓´ 𝑡 por lo que multiplicando
por s produce el efecto de derivar f(t).
Si f(0)≠ 0, entonces l−1 𝐹(𝑠)−𝑓(0) =𝑓´ 𝑡
o también
l−1 𝑠. 𝐹 𝑠 =𝑓´ 𝑡 −𝑓 0 .
𝛿 𝑡 donde𝛿(𝑡) representa la función
delta de dirac o la función de impulso unitario.

10.  DIVISION POR S: si l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡) entonces
l−1 𝐹(𝑠)
𝑠
= 0
𝑡
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 De manera que la división por
𝑠 (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de
integrar entre 𝑓 𝑡 0 y 𝑡.
 PROPIEDAD DE CONVOLUCION: l−1 𝐹(𝑠) =𝑓(𝑡)
y
𝑙 −1
𝐺(𝑠) = 𝑔 𝑡 , entonces 𝑙 −1
𝐹 𝑠 𝐺(𝑠) =
0
𝑡
𝑓 𝑢 𝑔 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 ∗ 𝐺
La expresión 𝐹 ∗ 𝐺 se llama la convolución de F y
G, y este teorema se llama el teorema de
convolución o propiedad de convolución.

11. *1)|f (t)|< Mta-1en el intervalo 0≤ t ≤ t0 donde
M, a y t0 son algún número positivo.
*2) f (t) es una función exponencial de orden α
(cualquier número real) cuando t → ∞(esto es
|f(t) | < Neat para t > T donde N y T son números
positivos), y
*3) f (t) es una función continua o continua en
tramos (que tiene un número finito de
discontinuidades finitas) en cada intervalo to ≤ t
≤ T y to > 0
*Entonces F(s) existe para todo s >α. Estas
últimas restricciones en S no limita el uso de la
transformada ya que las restricciones son
condiciones suficientes para la existencia de la
transformada de Laplace.
*A partir de la definición de la transformada de
Laplace como una integral se tiene que si se
cumple con las condiciones de la existencia, la
transformada será única.