Teoremas y propiedades de las transformadas de laplace

1. 1
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE
CHIMBORAZO
FACULTAD DE MECÁNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
PROYECTO ANÁLISIS MATEMÁTICO III
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
INTEGRANTES:
ESTRADA APOLO OMAR DAVID

2. 2
ABRIL – AGOSTO
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 3
OBJETIVOS......................................................................................................................................... 4
Objetivo general. ................................................................................................................................ 4
Objetivos específicos.......................................................................................................................... 4
MARCO TEÓRICO ............................................................................................................................ 5
TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................... 5
Inversa:............................................................................................................................................... 5
Propiedades................................................................................................................................... 6
Propiedad del producto por una constante (a=cte.).................................................................. 6
Propiedad de la linealidad ........................................................................................................... 6
Propiedad de traslación ............................................................................................................... 7
Propiedad de la derivación de la función................................................................................... 7
Propiedad de la integración de la función.................................................................................. 7
Propiedad de la derivada de la transformada ........................................................................... 7
Propiedad de la derivada de la transformada ........................................................................... 7
DESARROLLO DE EJERCICIOS. ................................................................................................... 8
CONCLUSIONES.............................................................................................................................. 13
BIBLIOGRAFÍA................................................................................................................................ 13

3. 3
INTRODUCCIÓN
Estudiaremos esta ocasión transformadas de Laplace e Inversas, aplicadas a la resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias de forma que el estudiante sea capaz de desarrollar su habilidad analítica y de
cálculo, haciendo uso de fórmulas, propiedades y teoremas pertenecientes al tema a estudiar.
La transformada de Laplace es un operador lineal muy útil para la resolución de ecuaciones
diferenciales. Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales no homogéneas en ecuaciones
algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.

4. 4
OBJETIVOS
Objetivo general.
Analizar las transformadas de Laplace e Inversas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales no
homogéneas aplicando condiciones y teoremas.
Objetivos específicos.
 Relacionar las transformadas de Laplace con las Inversas.
 Aplicar la resolución de ejercicios de transformadas de Laplace e Inversas.
 Postular las condiciones y teoremas de Laplace
 Resolución de ecuaciones diferenciales mediante transformaciones de Laplace.

5. 5
MARCO TEÓRICO
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
Sea la función 𝑓(𝑡) definida ∀𝑡 ≥ 0 la transformada de Laplace denota 𝐿[ 𝑓(𝑡)] 𝒐 𝐹(𝑠);
𝐿[ 𝑓(𝑡)] = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠)
∞
0
Inversa:
La inversa de la transformada de Laplace:
Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función continua 𝑓(𝑡), es decir, 𝐿[ 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑠),
entonces la transformada inversa de Laplace de 𝐹(𝑠), escrita 𝐿−1[ 𝑓(𝑡)] es 𝑓(𝑡), es decir,𝐿−1[ 𝑓(𝑡)] = 𝑓(𝑡)
𝐿
𝑓( 𝑡) = 𝐹(𝑆)
𝐿−1
Tabla 1
Transformadas de la place de algunas funciones elementales.
f(t) L[f(t)] = f(s)
k 𝒌
𝒔
, 𝒔 > 𝟎
𝒕 𝒂 𝒏!
𝒔 𝒂+𝟏
, 𝒔 > 𝟎
𝒆 𝒂 𝟏
𝒔 − 𝒂
, 𝒔 > 𝟎

6. 6
sin 𝒂𝒕 𝒂
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
, 𝒔 > 𝟎
cos 𝒂𝒕 𝒔
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
, 𝒔 > 𝟎
sinh 𝒂𝒕 𝒂
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
, 𝒔 > | 𝒂|
cosh 𝒂𝒕 𝒔
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
, 𝒔 > | 𝒂|
𝒆 𝒃𝒕
sin 𝒂𝒕 𝒂
(𝒔 − 𝒃) 𝟐 + 𝒂 𝟐
𝒆 𝒃𝒕
cos𝑎𝑡 𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑏)2 + 𝑎2
𝒆 𝒃𝒕
sinh 𝑎𝑡 𝑎
(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2
𝒆 𝒃𝒕
cosh 𝑎𝑡 𝑠 − 𝑏
(𝑠 − 𝑏)2 − 𝑎2
(Espinoza Ramos, 2008)
Propiedades.
Propiedad del producto por una constante (a=cte.)
𝐿[ 𝑎𝑓(𝑡)] = 𝑎. 𝐿[ 𝑓(𝑡)]
Propiedad de la linealidad
Sean las funciones 𝒇𝑦 𝑔 con transformadas de Laplace 𝑳[ 𝒇(𝒕)] 𝑦 𝑳[ 𝑔(𝒕)] respectivamente y sean a y
b constantes, entonces:
𝑳[ 𝑎𝒇( 𝒕)± 𝑏𝑔( 𝑡)] = 𝑎. 𝑳[ 𝒇( 𝒕)]± 𝑏. 𝐿[ 𝑔( 𝑡)]

7. 7
Propiedad de traslación
Si 𝑳[ 𝒇(𝒕)] = 𝐹(𝑠) entonces 𝑳[ 𝑒 𝒂𝒕
𝒇(𝒕)] = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
Propiedad de la derivación de la función
Si 𝑳[ 𝒇(𝒕)]existe, entonces 𝑳[ 𝒇′(𝒕)] = 𝑠𝐿[ 𝑓( 𝑡)] − 𝑓(0)
 Primera derivada: 𝑳[ 𝒇′(𝒕)] = 𝑠𝐿[ 𝑓( 𝑡)] − 𝑓(0)
 Segunda derivada: 𝑳[ 𝒇′
′(𝒕)] = 𝑠2
𝐿[ 𝑓( 𝑡)] − 𝑓(0) − 𝑓′(0)
 Tercera derivada: 𝑳[ 𝒇′
′′(𝒕)] = 𝑠3
𝐿[ 𝑓( 𝑡)] − 𝑠2
𝑓(0)− 𝑠𝑓′(0)− 𝑓′′(0)
 Derivada de orden n: 𝑳[ 𝑓 𝑛
(𝒕)] = 𝑠 𝑛
𝐿[ 𝑓( 𝑡)] − 𝑠 𝑛−1
𝑓(0)− 𝑠 𝑛−2
𝑓′(0)… 𝑓 𝑛−1
(0)
Propiedad de la integración de la función
Si 𝑳[ 𝒇(𝒕)] = 𝐹(𝑠) entonces 𝑳[∫ 𝑓( 𝜃) 𝑑𝜃] =
𝑓(𝑠)
𝑠
𝑡
0
𝑔( 𝑡) = ∫ 𝑓( 𝜃) 𝑑𝜃
𝑡
0
→ 𝑔′( 𝑡) = 𝑓(𝑡)
Propiedad de la derivada de la transformada
Si 𝑳[ 𝒇(𝒕)] = 𝐹(𝑠) entonces 𝐿{[ 𝑡 𝑛
𝑓( 𝑡)]} = (−1) 𝑛 𝑑 𝑛
𝑑𝑠 𝑛 𝐹( 𝑠)
Propiedad de la integral de la transformada
Si 𝑳[ 𝒇(𝒕)] = 𝐹(𝑠), y además lim
𝑛→∞
(
𝑓(𝑡)
𝑡
) , existe, entonces 𝐿 [
𝒇(𝒕)
𝒕
] = ∫ 𝐹( 𝑤) 𝑑𝑤
∞
𝑠
.
“No se puede aplicar esta propiedad si el límite de no existe en el ejercicio a evaluar”
Propiedad de convolución de funciones
Convolución de funciones
( 𝑓 ∗ 𝑔)( 𝑡) = ∫ 𝑓( 𝑡 − 𝜃) 𝑔(𝜃)𝑑𝜃
𝑡
0
Si f y g son dos funciones cuya transformada de Laplace son F(s), G(s), respectivamente, entonces:

8. 8
𝐿[( 𝑓 ∗ 𝑔)( 𝑡)] = 𝐹( 𝑠) 𝐺(𝑠)
DESARROLLO DE EJERCICIOS.
Ejercicio 1. 𝐿[3] =
3
𝑆
Ejercicio 2. 𝐿[𝑒^4𝑡] =
1
𝑆−4
Ejercicio 3. 𝐿[ 𝑒−4𝑡
+ 25] = 𝐿[ 𝑒−4𝑡] + 𝐿[25] =
1
𝑆−(−4)
+
25
𝑆
Ejercicio 4.𝐿[5𝐶𝑜𝑠 ℎ (3𝑡) − 10𝑆𝑒𝑛 ℎ (4𝑡)] = 5𝐿[ 𝐶𝑜𝑠 ℎ (3𝑡)] − 10𝐿[ 𝑆𝑒𝑛 ℎ (4𝑡)] = 5(
𝑆
𝑆2 −9
) −
10(
4
𝑆2 −16
)
Ejercicio 5. 𝐿 [
1
2
+ 𝐶𝑜𝑠 8𝑡] = 𝐿 [
1
2
] + 𝐿[ 𝐶𝑜𝑠8𝑡] =
1
2
𝐿[1]+
𝑆
𝑆2 +64
=
1
2𝑆
+
𝑆
𝑆2 +64
=
𝑆2
+64+2𝑆2
2𝑆2 ( 𝑆2 +64)
Ejercicio 6. 𝐿[ 𝑒2𝑡
[𝑒3𝑡
+ 𝐶𝑜𝑠 2𝑡] ] = [[𝑒3𝑡
+ 𝐶𝑜𝑠 2𝑡] 𝑠 → 𝑠 − 2 = [[𝐿[ 𝐶𝑜𝑠 2𝑡]]𝑠 → 𝑠 − 3] 𝑠 →
𝑠 − 2 = ((
𝑠
𝑆2 +4
) 𝑠 → 𝑠 − 3) 𝑠 → 𝑠 − 2 = (
𝑠−3
(𝑠−3)2+4
) 𝑠 → 𝑠 − 2 = (
𝑠−3
𝑆2−6𝑠+9
) 𝑠 → 𝑠 − 2 =
(
𝑠−2−5
( 𝑠−2)2−6( 𝑠−2)+9
)
Ejercicio 7. 𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡]= ‘como no se conoce su Laplace directa entonces derivamos f(t) hasta
obtener una Laplace conocida.
𝑓( 𝑡) = 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡
𝑓′( 𝑡) = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 + 𝑡. 𝐶𝑜𝑠 𝑡
𝑓′′( 𝑡) = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡 = 2𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡
Luego aplicamos Laplace segunda que dice: 𝐿[ 𝑓′′( 𝑡)] = 𝑆2
𝐿[ 𝑓( 𝑡)]− 𝑆𝑓(0)− 𝑓(0)
𝐿[2𝐶𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡] = 𝑆2
𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡] − 𝑠(0)− 0
2𝐿[ 𝐶𝑜𝑠 𝑡 ] − 𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡] = 𝑆2
𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡]
𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡]( 𝑆2
+ 1) =
2𝑠
𝑆2 + 1

9. 9
𝐿[ 𝑡. 𝑆𝑒𝑛 𝑡] =
2𝑠
(𝑠2 + 1)2
Ejercicio 8. 𝐿[ 𝑡3] =
3!
𝑠3+1 =
6
𝑠4
Ejercicio 9. 𝐿[ 𝑒4𝑡
. 𝐶𝑜𝑠 ℎ (8𝑡)] =
𝑠
𝑠2 −64
=
𝑠−4
(𝑠−4)2−64
‘ resolvemos por método exponencial
Ejercicio 10.𝐿[ 𝑒2𝑡
. 𝑡3] =
3!
𝑠3+1 =
6
( 𝑠−2)4
Ejercicio 11. 𝐿[ 𝑒−6𝑡
. 𝑡 ] =
1!
𝑠1+1 =
1
( 𝑠+6)2
Ejercicio 12. 𝐿−1
[
𝑠
𝑠2 +9
] = 𝐶𝑜𝑠(3𝑡)
Ejercicio 13. 𝐿−1
[
8
𝑠10 ] =
8
9!
.
9!
𝑠10 =
8
9!
. 𝑡9
‘ completamos lo que falta.
Ejercicio 14. 𝐿−1
[
4
𝑠2 +10
−
1
𝑠−3
] = 4𝐿−1
[
1
𝑠2 +10
] − 𝐿−1
[
1
𝑠−3
] = 4𝐿−1
[
1
𝑠2 +10
.
√10
√10
] − 𝑒3𝑡
=
4
√10
. 𝑆𝑒𝑛(√10 𝑡) − 𝑒3𝑡
Ejercicio 15. 𝐿−1
[
2
𝑠2 −2𝑠−15
] = 𝐿−1
[
2
( 𝑠−5)( 𝑠+3)
] =
𝐴
𝑆−5
+
𝐵
𝑆+3
𝑠𝐴 + 3𝐴 + 𝑆𝐵 − 5𝐵 = 2
𝐴 + 𝐵 = 0
3𝐴 − 5𝐵 = 2
8𝐴 = 2
𝐴 =
1
4
𝐵 = −
1
4

10. 10
𝐿−1
[
1
4( 𝑠 − 5)
] + 𝐿−1
[
−1
4( 𝑠 + 3)
]
1
4
𝐿−1
[
1
( 𝑠 − 5)
] −
1
4
𝐿−1
[
−1
( 𝑠 + 3)
]
1
4
𝑒5𝑡
−
1
4
𝑒−3𝑡
Ejercicio 16. 𝐿−1
[
1
𝑠2 −𝑠+6
] =
1
( 𝑠2
−𝑠+
1
4
)+6−
1
4
=
1
( 𝑠 −
1
2
)
2
+
23
4
𝐿−1
[
1
(𝑠 −
1
2
)
2
+
23
4
].
√23
2
√23
2
2
√23
𝐿−1
[
√23
2
(𝑠 −
1
2
)
2
+
23
4
]
2
√23
. 𝑒
1
2
𝑡
. 𝑆𝑒𝑛 (
√23
2
𝑡)
Ejercicio 17. Hallar 𝐿−1
[
3𝑠+5
𝑠2 +7
]
𝐿−1
[
3𝑠
𝑠2 + 7
]+𝐿−1
[
5
𝑠2 + 7
]
3𝐿−1
[
𝑠
𝑠2 + 7
]+ 5𝐿−1
[
1
𝑠2 + 7
]
3𝐿−1
[
𝑠
𝑠2 + 7
]+
5
√7
𝐿−1
[
√7
𝑠2 + 7
]
3𝑠𝑒𝑛(7𝑡) +
5
√7
cos(√7𝑡)
Ejercicio 18. Hallar 𝐿−1
[
1
𝑠
1
𝑠−6
]

11. 11
𝐹( 𝑆) =
1
𝑠
𝐺( 𝑆) =
1
𝑠 − 6
Entonces
𝑓(𝑡) = 1
𝑔( 𝑡) = 𝑒6𝑡
Aplicamos la convolucion entre las dos funciones
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 1. 𝑒6𝜃
𝑑𝜃
𝑡
0
( 𝑓 ∗ 𝑔)( 𝑡) =
1
6
𝑒6𝑡
−
1
6
Ejercicio 19. Hallar 𝐿−1
[
1
(𝑠2+1)2 ]
𝐿−1
[
1
(𝑠2 + 1)
1
(𝑠2 + 1)
]
𝐹( 𝑆) =
1
𝑠2 + 1
𝐺( 𝑆) =
1
𝑠2 + 1
Entonces
𝑓( 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑔( 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛𝑡
Aplicamos la convolución entre dos funciones
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑡 − 𝜃). 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃
𝑡
0

12. 12
Aplicamos identidades
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫
1
2
cos( 𝑡 − 2𝜃) −
1
2
cos(𝑡)𝑑𝜃
𝑡
0
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) =
1
2
[−
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡 − 2𝜃) − 𝜃𝑐𝑜𝑠𝑡]
𝑡
0
1
2
(−
1
2
𝑠𝑒𝑛(−𝑡) +
1
2
𝑠𝑒𝑛( 𝑡) − 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡))
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑡 −
1
2
𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
Ejercicio 19. Hallar 𝐿−1
[𝑙𝑛 (
𝑠−1
𝑠+1
)]
De acuerdo con la propiedad de la derivada de la transformada
𝐿−1
[𝑙𝑛 (
𝑠 − 1
𝑠 + 1
)] = −
𝟏
𝒕
𝐿−1
[
𝑑
𝑑𝑠
𝑙𝑛 (
𝑠 − 1
𝑠 + 1
)]
𝐿−1
[𝑙𝑛 (
𝑠 − 1
𝑠 + 1
)] = −
𝟏
𝒕
𝐿−1
[
1
𝑠 − 1
−
1
𝑠 + 1
]
𝐿−1
[𝑙𝑛 (
𝑠 − 1
𝑠 + 1
)] = −
𝟏
𝒕
(𝑒 𝑡
− 𝑒−𝑡
)
Ejercicio 18. Hallar 𝐿−1
[
5𝑠
( 𝑠+4)3]
𝐿−1
[
5(𝑠 + 4 − 4)
( 𝑠 + 4)3
] = 𝐿−1
[
5( 𝑠 + 4) − 20
( 𝑠 + 4)3
]
El termino s+4 es (s-a), es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:
𝐿−1
[
5( 𝑠 + 4) − 20
( 𝑠 + 4)3
] = 𝑒−4𝑡
𝐿−1
[
5𝑠 − 20
𝑠3
]
𝑒−4𝑡
𝐿−1
[
5𝑠 − 20
𝑠3
] = 𝑒−4𝑡
(5𝐿−1
[
𝑠
𝑠3
] − 20𝐿−1
[
1
𝑠3
])

13. 13
𝐿−1
[
5𝑠
( 𝑠 + 4)3
] = 𝑒−4𝑡
(5𝑡 − 10𝑡2
)
CONCLUSIONES
La transformada de Laplace es denominada así en honor a Pierre-Simon Laplace.
“L” es llamado el operador de la transformada de Laplace.
Al proceso inverso de encontrar 𝑓(𝑡) a partir de 𝐹(𝑠) se le conoce como transformada inversa de
Laplace.
La linealidad es una propiedad muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes, a la vez permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.
La transformada de Laplace 𝐹(𝑠) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es
una constante que depende del comportamiento de crecimiento de 𝑓(𝑡)
BIBLIOGRAFÍA
Espinoza Ramos, E. (2008). En Análisis Matemático IV (págs. 474 - 475). Perú: Bibloteca de Perú.
Mkarenco, G. (1985). Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sao Paulo: Edicoes Os
Bandeirantes.

14. 14