Solucionario de-examenes-de-fluidos-i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL
INGENIERIA CIVIL
DIAZ MEZA, R Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/
Visite mi página: http://rhenandiaz.blogspot.com/ donde encontraras programas
Para HP 50g para cada asignatura y mucho más - 1 -
FLUIDOS I
VISCOSIDAD DE LOS FUIDOS
1) En la figura se muestra un viscosímetro que contiene liquido viscoso de espesor e =
2cm, esta rota con una velocidad angular w = 6rad/s y genera una potencia de
0.015Hp.Calcular el valor de la viscosidad dinámica m del líquido viscoso.
30cm
e
15cm
10cm
Solución:
Para el casquete esférico calculamos R.
30cm
e
15cm
10cm
R R
15
R-10
b
cm
R
R
R
25
.
16
15
)
10
( 2
2
2
=
+
-
=
º
38
.
67
=
b
q
f
f d
sen
R
d
R
dA .
=
Pero
dA
dF
e
r
=
=
w
m
t
q
df
f
dq
R
R
Rdf
RSenfdq
RSenf
dA

INGENIERIA CIVIL
dA
e
r
dF
w
m
=
q
f
f
w
m
d
d
sen
R
e
r
dF 2
*
=
rdF
dTL = Pero f
Rsen
r =
q
f
f
mw
d
d
sen
e
R
dT L
3
4
=
Integrando
ò
ò
ò =
38
.
67
0
3
2
0
0
4
q
f
f
mw p
d
d
sen
e
R
dT
TL
L
ò
ò -
-
=
38
.
67
0
2
2
0
4
)
(cos
)
cos
1
( q
f
f
mw p
d
d
e
R
TL
)
2
(
301
.
0
4
p
mw
e
R
TL =
m
65
.
1
1 =
TL correccion
Para la parte cilíndrica.
dA
dF
e
R
=
=
w
m
t
dA
e
R
dF
w
m
=
Rdh
dA p
2
=
Rdh
e
R
dF p
w
m
2
*
=
Rdh
e
R
R
dTL p
w
m
2
*
=
ò
ò =
h
TL
L dh
e
R
dT
0
3
0
*
2pmw
h
e
R
TL
3
2pmw
=
3
.
0
02
.
0
)
15
.
0
(
*
6
*
2 3
pm
=
CILINDRO
T
m
91
.
1
=
CILINDRO
T
Base del cilindro
dA
e
r
dF
w
m .
=
rdr
dA .
2 p
=
dr
r
e
dT b
3
2 pmw
=
R
r
dr

INGENIERIA CIVIL
Integrando se tiene
dr
r
e
dT
R
T
b ò
ò =
0
3
0
2 pmw
4
.
2
R
e
T b
pmw
=
2) De la figura encontrar la potencia consumida por efecto de la viscosidad en el
sistema, sabiendo que la holgura e=1pulg., R=4pulg. , velocidad angular ω=6rad/s y
µ=0.05 poise
R
h
R
e
70º 70º
Solución:
Se sabe:
e
r
e
v
dy
dv w
m
m
m
t
.
.
.
=
=
=
dx
dy dl
x
h
a
R
q q
L
L
L dA
e
x
x
dA
dF
x
dT .
²
.
.
.
.
w
m
t =
=
=
Por semejanza de triángulos
)
( a
R
h
dx
dy
-
=
Donde:
º
q
Tan
h
R
a -
=
dx
a
R
h
x
e
dT L )²
(
1
³
.
2
-
+
=
mwp

INGENIERIA CIVIL
Integrando
dx
x
a
R
h
e
dT
R
a
T
L
L
ò
ò -
+
= ³
)²
(
1
2
0
mwp
|
4
.
)²
(
1
2 4
R
a
L
x
a
R
h
e
T
-
+
=
mwp
)
.(
)²
(
1
2
4
4
a
R
a
R
h
e
T L -
-
+
=
mwp
Para la semiesfera
q
df
f
dq
R
R
Rdf
RSenfdq
RSenf
)
).(
.(
. q
f
f d
Sen
R
d
R
dA =
dA
dF
e
r
=
=
w
m
t
dA
e
r
dF
w
m
=
dA
e
r
r
dF
r
dT e
w
m
.
. =
=
q
f
f
mw
d
d
Sen
e
R
dT e .
.
3
4
=
Integrando
q
f
f
mw p p
d
d
Sen
e
R
dT
T
.
.
2
0
4
/
0
3
4
0 ò ò
ò =
q
f
f
mw p p
d
Cos
d
Cos
e
R
T e .
)
(
).
1
(
2
0
4
/
0
2
4
ò ò -
-
=
e
R
T e
3
4 4
pmw
=
Base hueca
dA
e
r
dF
w
m .
=
rdr
dA .
2 p
=
R
r
dr
a

INGENIERIA CIVIL
dr
r
e
dT b
3
2 pmw
=
Integrando se tiene
dr
r
e
dT
R
a
T
b ò
ò = 3
0
2 pmw
)
.(
2
4
4
a
R
e
T b -
=
pmw
total
T
Pot .
w
=
)
(
* b
e
L T
T
T
Pot +
+
= w
3) Para la siguiente figura determinar µ sabiendo que: R=30cm, h=H=30cm, r=15cm,
velocidad angular ω=5rad/s, e=3cm y potencia de 0.011HP.
R
h
H
r
e
Solución:
L
dA
dF
e
r
=
=
w
m
t
.
L
dA
dF .
t
=
Similar al problema anterior
d x
d y
d l
x
H
r
R
L
L
L dA
e
x
x
dA
dF
x
dT .
²
.
.
.
.
w
m
t =
=
=

INGENIERIA CIVIL
dx
dx
dy
x
dy
dx
x
dL
x
dAL
2
1
.
.
2
)²
(
)²
(
.
.
2
.
.
.
2 ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
=
= p
p
p Por semejanza de
triángulos
)
( r
R
H
dx
dy
-
=
Donde:
dx
r
R
H
x
e
dT L
2
1 1
³
.
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
mwp
Integrando
dx
x
r
R
H
e
dT
R
a
T
L
L
ò
ò -
+
= ³
)²
(
1
2
1
0
1
mwp
|
4
.
)²
(
1
2 4
1
R
r
L
x
r
R
H
e
T
-
+
=
mwp
)
.(
)²
(
1
2
4
4
1 r
R
r
R
H
e
T L -
-
+
=
mwp
Análogamente para la parte inferior cónico
d x
d y d l
x
h
R
dx
R
h
x
e
dT L )²
(
1
³
.
2
2 +
=
mwp
dx
x
R
h
e
dT
R
T
L
L
ò
ò +
=
0
0
2 ³
)²
(
1
2
2 mwp
|0
4
2
4
.
)²
(
1
2 R
L
x
R
h
e
T +
=
mwp
4
2 .
)²
(
1
2
R
R
h
e
T L +
=
mwp
Base menor del tronco de cono
dA
e
r
dF
w
m .
=
rdr
dA .
2 p
=
dr
r
e
dT b
3
2 pmw
=
R
r
dr

INGENIERIA CIVIL
Integrando se tiene
dr
r
e
dT
R
T
b ò
ò =
0
3
0
2 pmw
4
.
2
R
e
T b
pmw
=
)
(
* 2
1 b
L
L T
T
T
pot +
+
= w Rpta
4) En el sistema de la figura determinar µ, sabiendo que e=2cm, R=20cm, h=50cm,
ω=4rad/s y potencia de 0.015HP.
R
h
e
Solución:
Para la semiesfera.
q
df
f
dq
R
R
Rdf
RSenfdq
RSenf
)
).(
.(
. q
f
f d
Sen
R
d
R
dA =
dA
dF
e
r
=
=
w
m
t
dA
e
r
dF
w
m
=

INGENIERIA CIVIL
dA
e
r
r
dF
r
dT e
w
m
.
. =
=
q
f
f
mw
d
d
Sen
e
R
dT e .
.
3
4
=
Integrando
q
f
f
mw p p
d
d
Sen
e
R
dT
e
T
e .
.
2
0
4
/
0
3
4
0 ò ò
ò =
q
f
f
mw p p
d
Cos
d
Cos
e
R
T e .
)
(
).
1
(
2
0
4
/
0
2
4
ò ò -
-
=
e
R
T e
3
4 4
pmw
=
Para la parte cónica
d x
d y d l
x
h
R
dx
R
h
x
e
dT L )²
(
1
³
.
2
+
=
mwp
dx
x
R
h
e
dT
R
T
L
L
ò
ò +
=
0
0
³
)²
(
1
2 mwp
|0
4
4
.
)²
(
1
2 R
L
x
R
h
e
T +
=
mwp
4
.
)²
(
1
2
R
R
h
e
TL +
=
mwp
T
T
pot *
w
=
)
(
* L
e T
T
pot +
= w
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
5) Para el sistema de la figura determinar la presión absoluta en el punto A.

INGENIERIA CIVIL
A
B
C
20cm
40cm
1
5
c
m
40cm
50cm
g2 g1
g3
Agua
Agua
Agua
G as
45º
60
cm
³
lg
/
049
.
0
³,
lg
/
034
.
0
³,
lg
/
029
.
0 3
2
1 Pu
lbf
Pu
lbf
Pu
lbf =
=
= g
g
g
Solución:
A
B
C
20cm
40cm
1
5
c
m
40cm
50cm
g2 g1
g3
Agua
Agua
Agua
Gas
45º
60
cm
a
b
c h
)
2
.
0
(
4
.
0
)
5
.
0
106
.
0
(
)
(
)
(
)
2
.
0
(
)
4
.
0
(
)
5
.
0
(
)
(
3
2
1
3
2
1
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
-
+
+
+
-
+
+
=
+
-
+
-
+
+
+
=
b
c
a
P
P
C
b
h
a
P
P
atm
A
atm
A
Pero de la figura se tiene:
m
b
c
a
m
Sen
h
pero
c
b
h
a
c
b
h
a
194
.
0
106
.
0
º
45
15
.
0
3
.
0
4
.
0
2
.
0
6
.
0
4
.
0
5
.
0
=
-
+

=
=
=
+
-
+
=
+
-
-
+
-
+
+
)
2
.
0
(
4
.
0
)
5
.
0
106
.
0
(
)
( 3
2
1 g
g
g
g -
+
+
+
-
+
+
=
Þ b
c
a
P
P atm
A

INGENIERIA CIVIL
Rta
m
kgf
P
m
kgf
Pa
P
m
kgf
P
P
P
P
c
b
h
a
m
kgf
m
kgf
m
kgf
m
pu
y
kgf
lbf
Pero
A
atm
atm
A
atm
A
²
/
969
.
795
64
.
785
329
.
10
²
/
329
.
10
325
.
101
²
/
64
.
785
)
338
.
1356
(
2
.
0
)
132
.
941
(
4
.
0
731
.
802
)
5
.
0
106
.
0
(
)
194
.
0
(
1000
3
.
0
³
/
338
.
1356
³
/
132
.
941
³
/
731
.
802
254
.
0
lg
1
4536
.
0
1
3
2
1
=
+
=
»
=
+
=
-
+
+
+
+
=
=
+
-
+
=
=
=
Þ
=
=
g
g
g
6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A y B, así también calcular el
valor de “h”
A
B
h
20cm
12cm
12cm
14cm
10cm
Gas
Aceite
Petroileo
agua
15cm
30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg²
agua
agua
agua
agua
g5
g4
g3
g6
³
/
5
.
16
³,
/
9500
³,
/
2
.
8
³,
/
13600
92
.
0
.
.
82
.
0
.
.
6
5
4
3 cm
grf
m
kgf
cm
grf
m
kgf
R
D
R
D Petroleo
aceite
=
=
=
=
=
=
g
g
g
g
Solución:
A
B
h
20cm
12cm
12cm
14cm
10cm
Gas
Aceite
Petroileo
agua
15cm
30cm
30cm
10cm
P=20lbf/Pulg²
agua
agua
agua
agua
g5
g4
g3
g6
1 2
a b
c
m
n

INGENIERIA CIVIL
)
15
.
0
(
)
2
.
0
(
)
10
.
0
(
)
14
.
0
(
)
12
.
0
(
)
(
)
15
.
0
(
)
(
)
2
.
0
(
)
(
)
10
.
0
(
)
14
.
0
(
)
12
.
0
(
4
3
4
3
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
-
-
+
+
+
+
+
+
=
+
-
+
-
+
+
+
+
=
c
b
a
P
P
c
b
a
P
P
petroleo
aceite
A
petroleo
aceite
A
Pero
m
c
b
a
m
kgf
Pu
lbf
P
m
kgf
m
kgf
m
kgf
m
kgf
R
D
R
D
Petroleo
aceite
O
H
Sust
O
H
Sust
85
.
0
:
figura
la
de
también
Así
²
/
63
.
14061
²
lg
/
20
³
/
16500
³
/
8200
³
/
920
³
/
820
2
.
8
*
1000
.
*
.
5
4
2
2
=
+
+
=
=
=
=
=
=
=

=
Þ
=
g
g
g
g
g
g
g
g
²
/
83
.
11288
15
.
0
*
8200
2
.
0
*
13600
)
85
.
0
1
.
0
(
1000
14
.
0
*
920
12
.
0
*
820
63
.
14061
m
kgf
P
P
A
A
=
-
-
+
+
+
+
=
Þ
Calculando Presión en B.
²
/
83
.
13838
5
.
0
)
(
1000
83
.
13338
)
1
.
0
(
9500
)
(
14
.
0
*
920
12
.
0
*
820
63
.
14061
)
(
)
1
.
0
(
)
(
)
14
.
0
(
)
12
.
0
( 5
m
kgf
P
m
m
n
pero
m
n
P
m
n
P
n
m
P
P
B
B
B
Petroleo
aceite
B
=
Þ
=
-
-
+
=
-
-
+
+
+
=
+
-
-
+
+
=
g
g
g
g
g
g
Calculemos la altura h
De la figura.
2
1 P
P =
h
P
P atm
Petroleo
aceite 6
)
4
.
0
(
)
14
.
0
(
)
12
.
0
( g
g
g
g +
=
+
+
+
cm
h
h
h
96
.
88
16500
329
.
10
83
.
14688
16500
329
.
10
)
4
.
0
(
1000
)
14
.
0
(
920
)
12
.
0
(
820
63
.
14061
=
+
=
+
=
+
+
+
7) Para el sistema de la figura calcular la diferencia de presiones entre A y B.
)
8
.
0
.
( =
Aceite
R
D

INGENIERIA CIVIL
CO2
CO
Hg
Hg
Hg
Aire
Aceite
D.R=0.8
Agua
0.25m
0.40m
0.30m
0.2m
15cm
N2
0.3m
20cm
Agua
CO
Hg
Hg
Hg
A B
Gas
0.2m
Gas
0.2m
0.1m
Solución:
²
/
840
13600
*
2
.
0
1000
*
3
.
0
13600
*
2
.
0
1000
*
5
.
0
13600
*
2
.
0
800
*
45
.
0
13600
*
3
.
0
13600
*
25
.
0
13600
*
4
.
0
2
.
0
3
.
0
2
.
0
5
.
0
2
.
0
45
.
0
3
.
0
25
.
0
4
.
0 2
2
m
kgf
P
P
P
P
P
P
A
B
A
B
Hg
O
H
Hg
O
H
Hg
aceite
Hg
Hg
Hg
A
B
=
-
-
+
+
-
+
+
-
-
+
=
-
+
+
-
+
+
-
-
+
= g
g
g
g
g
g
g
g
g
rotacion
8) Los cilindros concéntricos de 0.4m de diámetro interior, 1.20m de diámetro exterior y
1.5m de altura. Si el cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros concéntricos
está lleno de agua y herméticamente cerrado, determine la fuerza que se produce en la
tapa, en el fondo y en las superficies medias cilíndricas interior y exterior cuando estoa
giran a 60rpm al rededor de su eje vertical.
w
0.6m
h=1.5m
0.2m
Solución:

INGENIERIA CIVIL
h
Ro
R
x
Zo
Zr
Hr
H
g
X
Z
2
2
2
w
=
Para Z = Z0 ; X = R0
g
X
Z
g
R
Z r
2
;
2
2
2
2
0
2
0
w
w
=
=
a) La fuerza que produce en la tapa es:
A
F pd
d =
Xdx
Hr
d F p
g 2
.
=
Donde 0
Z
Z
Hr r -
=
Xdx
Z
Z
d r
F p
g 2
)
( 0
-
=
Xdx
g
R
g
X
d F p
w
w
g 2
2
2
2
0
2
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
Integrando:
XdX
g
R
g
X
d
R
r
F
F p
w
w
g 2
)
2
2
(
2
0
2
2
2
0 0
-
= ò
ò
R
R
X
r
X
g
F
0
2
4
2
2
4
2
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
pgw
2
2
0
2
2
)
(
4
R
R
g
F -
=
pgw
[ ]2
2
2
2
2
.
0
60
.
0
4
)
2
)(
100
(
-
=
g
F
p
p
kgf
F 66
.
323
=
b) Fuerza que se produce en el fondo.
R
x
dx
Ro

INGENIERIA CIVIL
base
F hA
F .
66
.
323 g
+
=
)
2
.
0
6
.
0
(
5
.
1001
66
.
323 2
2
-
+
= p
F
F
kgf
FF 63
.
1831
=
c) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.
L
HgA
F g
=
5
.
1
)
2
.
0
(
2
)
75
.
0
(
1000 p
=
F
kgf
F 72
.
1413
=
d) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior.
0
Z
Z
H r -
= r
Z Para 6
.
0
=
X
g
g
H
2
2
.
0
2
6
.
0 2
2
2
w
w
-
= Como s
rad/
2p
w =
m
H 64
.
0
=
Þ La fuerza en la pared lateral exterior será:
L
G A
H
F g
=
5
.
1
*
6
.
0
*
2
)
64
.
0
75
.
0
(
100 p
+
=
F
kgf
F 28
.
7860
=
9) Un tanque de sección transversal rectangular (6x1m) está lleno de agua hasta los
4.0m de altura y está unido a un peso Q = 60000kg, por medio de una cuerda flexible e
inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la
superficie horizontal es: f = 0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar
la presión en un punto del tanque situado 1.0m sobre el punto A de la figura.
Q
4m
6m
Solución:
a
T
Q
4m
6m
T
a
W
N f=m.N

INGENIERIA CIVIL
)
1
.......(
..........
..........
* a
g
Q
T
Q
ma
FV
=
-
=
å
)
2
.....(
..........
..........
* a
g
W
f
T =
-
W
N
f
kgf
V
W
*
*
24000
1
*
6
*
4
*
1000
*
m
m
g
=
=
Þ
=
=
=
(1) + (2)
a
g
W
Q
f
Q ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ +
=
-
a
g
W
Q
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ +
=
- )
1000
*
1
*
4
*
6
(
6
.
0
60000
a
)
81
.
9
24000
60000
(
)
24000
(
6
.
0
60000
+
=
-
2
/
32
.
5 s
m
a =
4m
6m
a=5.32
g=-9.81
Z
h
A
1
2
1m
P
Aplicando ecuación de Euler.
r
P
Z
Z
Y
Y
X
X
d
d
a
d
a
d
a =
+
+
r
P
Z
X
d
d
d =
- 81
.
9
32
.
5
ò
ò
ò =
-
5
2
1
2
1
2
1
1
81
.
9
32
.
P
P p
Z
Z Z
X
X X d
P
d
d
r
|
|
|
2
1
0
6
0
1
81
.
9
32
.
5
p
p
z
Z
x
r
=
-
)
(
1
81
.
9
6
32
.
5 1
2 P
P
xZ
x -
=
-
r
Como 1
2 P
P = atmosféricas
Þ 5.32 x 6 – 9.81 x Z = 0
Z = 3.254m

INGENIERIA CIVIL
Para el líquido se eleva respecto a la superficie libre inicial
2
Z
o sea que:
m
Z
h 627
.
1
2
=
=
La presión a 1m sobre el punto A será entonces:
2
/
4627
)
1
627
.
1
4
(
1000 m
kg
P =
-
+
= Rpta
10) En el sistema de la figura se tiene un cilindro cerrado de 1.20m de diámetro y 0.30m
de altura. Contiene líquido de 0.10m de altura, se hace girar alrededor de un eje vertical
hasta que el líquido tome la forma aproximada de un cilindro hueco con una diferencia
de 1% entre los diámetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular la velocidad angular.
d1
d2
Solución:
d1
w
d2
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Z0
D=1.2m
h=0.10m
H=0.30m
Antes del giro Con giro w
Se sabe:
g
X
Z
2
2
2
w
=
Para 0
Z
Z = 2
/
2
d
X =

INGENIERIA CIVIL
...(*)
..........
..........
..........
..........
8
2
2
2
0
g
d
Z
w
=
Para H
Z
Z +
= 0 2
/
1
d
X =
..(**)
..........
..........
..........
8
2
1
2
0
g
d
H
Z
w
=
+
(*) En (**)
g
d
H
g
d
8
8
2
1
2
2
2
2
w
w
=
+
*)
*
.......(*
..........
..........
..........
8
2
2
2
2
1
w
gH
d
d =
-
0
2
2
0
2
1
2
*
4
*
2
)
(
4
*
2
)
(
4
Z
d
H
Z
d
h
H
D p
p
p
-
+
=
-
)
.....(
..........
..........
2
)
(
2
)
(
2
1
2
2
1
0
2
a
H
d
d
d
Z
h
H
D +
-
=
-
(*) y (**) en (a )
2
8
*
8
*
2
)
(
2
1
2
2
2
2
2 H
d
gH
g
d
h
H
D +
=
-
w
w
)
(
2
)
( 2
2
2
1
2
d
d
H
h
H
D +
=
-
Por dato
2
1 01
.
1 d
d =
[ ]
2
2
2
2
2
)
01
.
1
(
2
)
( d
d
H
h
H
D +
=
-
)
02
.
2
(
2
)
( 2
2
2
d
H
h
H
D =
-
2
2
2
*
*
01
.
1
)
( d
H
h
H
D =
-
Reemplazando datos.
H = 0.30m h = 0.01m
D = 1.20m
Þ 2
2
2
*
30
.
0
*
01
.
1
)
10
.
0
30
.
0
(
20
.
1 d
=
-
m
d 975
.
0
2 =
m
d 985
.
0
1 =
En la ecuación (***)
2
2
2
1
8
d
d
gH
-
=
w
s
rad /
66
.
34
=
w Rpta

INGENIERIA CIVIL
11) Se tiene una tubería circular por donde fluye petróleo con un peso específico de
3
/
950 m
kg .Si la distribución de velocidades en una sección es
)
/
4
1
( 2
2
d
r
N
Vr -
= donde: d = diámetro, r = radio variable "
10
1 =
d y "
6
2 =
d ,
N = número de letras del apellido paterno:
a) Calcular la variación de masa respecto al tiempo entre las secciones
1 y 2.
b) Calcular la fuerza total que ejerce la pared AB.
0.20m
Fuga
2
2
1
d1
d2
1
0.15m
A
B
Solución:
0.20m
Fuga
2
2
1
d1
d2
1
0.15m
A
B
r
r
F1
F2
FH
)
4
1
( 2
1
2
1
d
r
N
Vr -
=
a) Variación de masa respecto al tiempo.
2
1 Q
Q
Mt r
r -
=
D
Hallemos caudales.
rdr
d
r
N
dA
Vr
dQ p
2
*
)
4
1
( 2
1
2
1
1 -
=
=
rdr
d
r
N
dQ
d
Q
)
4
1
(
2
2
/
0 2
1
2
0
1
1
1
ò
ò -
= p
8
2
1
1
Nd
Q
p
=
)
4
1
( 2
2
2
2
d
r
N
Vr -
=

INGENIERIA CIVIL
Análogamente:
8
2
2
2
Nd
Q
p
=
Þ )
( 2
1 Q
Q
Mt -
=
D r
)
(
8
2
2
2
1 d
d
N
Mt -
=
D
rp
N = RAMOS = 5
0254
.
0
*
10
10||
1 =
=
d
m
d 254
.
0
1 =
0254
.
0
*
6
6||
2 =
=
d
m
d 1524
.
0
2 =
81
.
9
/
950 3
m
kg
=
r
.
/
851
.
7 seg
kg
Mt =
D
b) Cálculo de fuerza ejercida.
* Calculamos las presiones en el eje de la tubería.
2
1
1 /
15
.
263
)
2
15
.
0
( m
kg
d
P =
+
= g
2
2
2 /
39
.
262
)
2
20
.
0
( m
kg
d
P =
+
= g
Þ kg
d
A
P
F 334
.
13
4
*
*
15
.
263
2
1
1
1
1 =
=
= p
kg
d
A
P
F 786
.
4
4
*
*
39
.
262
2
2
2
2
2 =
=
= p
Por la ecuación de la cantidad de movimiento.
)
( 1
1
2
2 V
Q
V
Q
Fex -
=
å r
)
( 1
1
2
2
2
1 V
Q
V
Q
F
F
F H -
=
-
- r
Como 2
2
2 A
V
Q =
2
2
1
A
Q
V =
1
1
2
A
Q
V =
)
(
1
2
1
2
2
2
2
1
A
Q
A
Q
F
F
FH -
-
-
= r
kg
FH 177
.
28
=

INGENIERIA CIVIL
12) En la figura se muestra una esfera de 2m de diámetro que contiene agua bajo
presión.
Está construido por dos secciones semiesféricas unidas mediante 50 pernos ¿Cuál es la
fuerza total en cada perno para mantener unida la sección?
R=1m
2.5m
0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
Gas
P=2000kgf/m²
Solución:
P
b
a
PM +
+
+
+
= 25
.
0
*
13600
)
1
(
g
2000
25
.
0
*
13600
)
1
(
1000 +
+
+
+
= b
a
PM
m
b
a
b
a
25
.
2
5
.
2
25
.
0
=
+
=
+
+
2000
25
.
0
*
13600
)
25
.
3
(
1000 +
+
=
PM
²
/
8650 m
kgf
PM =
A
PM
F *
=
776
.
27174
1
.
8650 2
=
= p
F
2
)
1
(
*
3
4
*
1000
*
2
p
g =
= OL
V
W
395
.
2094
=
W
17
.
2926
=
+
= W
F
FT
F en cada perno =
50
17
.
29269
=
+
= W
F
FT = kg
38
.
585 Rpta
13) Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo a y b con la horizontal como se
muestra en la figura, por donde se desliza un depósito que contiene agua y cuyo peso
total es 1
w . El descenso de dicho depósito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso
total es 2
w . Calcular el valor del ángulo que hace la superficie libre del primer depósito
con el plano horizontal.
R=1m
2.5m
0.25m
D.R=13.6
Agua
Agua
Agua
Gas
P=2000kgf/m²
a
b
M
W

INGENIERIA CIVIL
a b
W1 W2
m1
m2
Solución:
a
W1
b
W2
a W1Cosa
W1.sena
T
f=m1.N
x'
z'
a
N
b
W
2
.
C
o
s
b
W2.senb
a
T
N
f'=m2.N
z'
x'
a
g
W
f
T
sen
W 1
1 =
-
-
a
Donde N
f .
m
= ; a
cos
1
W
N =
a
m cos
1
1W
f =
)
.....(
..........
..........
..........
cos 1
1
1
1 a
a
m
a a
g
W
W
T
sen
W =
-
-
)
....(
..........
..........
..........
cos 2
2
2
2 b
b
m
b a
g
W
W
sen
W
T =
-
-
Sumando b
a +
a
g
W
W
W
W
sen
W
sen
W )
(
cos
cos 2
1
2
2
1
1
2
1
+
=
-
-
- b
m
a
m
b
a
[ ]
2
1
2
2
1
1 )
cos
(
)
cos
(
W
W
g
sen
W
sen
W
a
+
+
-
-
=
b
m
b
a
m
a
Para
a
a
asen
g
a
a
a
Z
X
-
=
-
= cos
Por ecuación de Euler.

INGENIERIA CIVIL
q
x
a
z
1
2
-x
-z
Z
Z
P
d
a
axdx
d
+
=
r
ò ò
ò
- -
-
+
-
=
x Z
Z
P
P
P
d
asen
g
dX
a
d
0 0
)
(
cos
2
1
a
a
r
Z
asen
g
X
a )
(
cos
0 a
a -
-
+
=
a
a
q
q
a
a
asen
g
a
asen
g
a
X
Z
-
=
=
-
=
cos
tan
tan
cos
)
cos
(
tan 1
a
a
q
asen
g
a
-
= -
14) En el sistema de la figura Nº 02 se tiene una compuerta OA de 8m. De longitud
(perpendicular a OA), y pesa 4200kgf, puede pivotear en el eje O, R = 6m (radio de
curvatura de OA) y a = 20º. Calcular “h” para que la compuerta inicie a levantarse.
h
1m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petroleo
0.5m 4m
Aire
D.R=0.95
R
R
Agua
Agua
Hg
w
Agua
e
1.5m
Bloque
Campana
cilindrico
Aire
1m
Agua
A
O
D.R=
Solución:

INGENIERIA CIVIL
0.5m 4m
Aire
Agua
Hg
w
Agua
e
1.5m
Bloque
Campana
cilindrico
Aire
D.R=
a
b
M
5
.
0
*
13600
)
(
1000
5
.
1
*
1000 +
+
+
= b
a
PM
Pero de la figura.
a + b = 3.5
2
/
11800 m
kgf
PM =
Þ
h
1m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petroleo
D.R=0.95
R
R
M
N
A
a
b
FH2
FV2
d
c
h'
R.Sena
FH1
FV1
O
=2.05m
1m
Agua
2m
H
2m
20
6
6
A
10.1875m
O
2.05m
b
O'
1.21m 4.43m
A1
Petroleo
Agua
Aceite
Aceite
0.62m
h
5.64m
O'
A2
A'
FIG. 1
FIG. 2
b
q
)
1
(
)
1
( 0
2
+
=
+ H
h H
Pet g
g
05
.
0
95
.
0
1
)
1
(
95
.
0
-
=
+
=
+
h
H
H
h
De la FIG. 2
º
55
.
47
6
05
.
4
cos 1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
= -
q
º
45
.
22
=
b
º
45
.
22
6
*
2
1
360
45
.
22
*
6
* 2
2
1 sen
A -
=
p

INGENIERIA CIVIL
2
1 18
.
0 m
A =
2
2 21
.
1 m
A = Area del triangulo (AA’O)
Distancia de O’ a CG de A1 (FIG. 2)
18
.
0
*
3
)
2
/
45
.
22
(
6
*
2 3
3
sen
d CG =
m
dCG 90
.
5
=
m
x 62
.
0
=
oy
H hGA
F Pr
1 g
=
8
*
2
)
1
(
1000
1 +
= H
FH
)
1
(
16000
1 +
= H
FH
)
1
(
3
1
1
8
*
2
)
1
(
12
/
2
*
8
1
3
1
+
+
+
=
+
+
+
=
H
H
H
H
Y P
a = H
YP -
1
a =
)
1
(
3
4
3
+
+
H
H
)
21
.
1
( 1
2
1 H
A
A
L
FV +
-
= g
)
21
.
1
18
.
0
21
.
1
(
8
1000
1 H
x
FV +
-
=
)
21
.
1
03
.
1
(
8000
1 H
FV +
=
H
x
x
b
H
2
21
.
1
62
.
0
18
.
0
3
2
21
.
1
)
21
.
1
03
.
1
(
2
2
+
-
=
+
)
21
.
1
03
.
1
73
.
0
86
.
0
(
H
H
b
+
+
=
De la figura 1
2
800
1000
05
.
2 x
x
PM
PN -
-
=
1600
2050
11800 -
-
=
PN
2
/
8150 m
kg
PN =
m
h
h
Aceite
1875
.
10
8150
'
'
=
=
g
8
*
2
).
1
1875
.
10
(
1000
2 +
=
FH
kgf
FH 179000
2 =
m
YP 22
.
11
2
*
8
*
1875
.
11
12
/
2
*
8
1875
.
11
3
2 =
+
=
)
1875
.
10
*
21
.
1
18
.
0
21
.
1
(
8
*
1000
03
.
1
1875
.
10
2
2
+
-
=
=
-
=
FV
m
C
m
Y
C P
kgf
FV 106855
2 =
1875
.
10
*
2
21
.
1
62
.
0
*
18
.
0
3
2
*
21
.
1
36
.
13
2
2
+
-
=
d
m
d 62
.
0
=

INGENIERIA CIVIL
Centro de aplicación del peso.
R
R
A
O
b
O'
4.43m
dq
dl
q
0.67m
WAO=4200kgf
Lc=2p*b*R/360
Lc=2.35m
RCosq
ò
=
45
.
42
20
2
cos q
qd
R
X
10
.
5
098
.
5 »
=
X
m
67
.
0
=
c
0
0 =
åM Falta verificar
d
FV
c
FH
X
W
b
FV
a
FH 2
2
1
1 +
=
+
+
m
H 06
.
8
=
Pero
m
h
h
H
54
.
8
05
.
0
95
.
0
=
Þ
-
=
15) Dada la función de línea equipotencial 2
2
. ay
bxy
x
a -
+
=
f , donde a, b y
c son valores constantes.
a) Comprobar que el flujo es irrotacional
b) Hallar la función de la línea de corriente
c) Hallar la aceleración
d) Hallar el gradiente de presiones
Solución
Según gauchy riman
a) Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir 0
=
w
Pero se sabe que:

INGENIERIA CIVIL
( ) ( )
0
)
2
(
)
2
(
2
2
0
2
2
.
.
2
1
=
-
-
=
+
-
=
-
-
+
-
=
=
¶
¶
-
=
¶
¶
+
=
¶
¶
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
-
=
-Ñ
=
Ñ
=
w
u
m
f
f
f
f
f
f
f
w
ay
bx
by
ax
j
ay
bx
i
by
ax
V
z
ay
bx
y
by
ax
x
k
z
j
y
i
x
V
V
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
Ñ
w
u
m
z
y
x
k
j
i
V
k
y
x
j
x
z
i
z
y
V ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
Ñ
m
u
w
m
u
w
.
0
.
2
1
0
)
(
0
0
.
=
Ñ
=
=
+
-
+
+
=
Ñ
V
k
b
b
j
i
V
w
El flujo es irrotacional
b) Según Las ecuaciones de
x
y
y
x
¶
¶
-
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
=
y
f
u
y
f
m
Entonces:
by
ax
x
+
=
¶
¶
2
f
by
ax
y
+
=
¶
¶
2
y
Integrando
)
(
2
1
2 2
x
f
by
axy +
+
=
y -----------------(*)

INGENIERIA CIVIL
Derivando respecto a x
)
(
2 '
x
f
ay
x
+
=
¶
¶ y
……………………………(a)
Pero:
ay
bx
y
x
2
-
=
¶
¶
=
¶
¶
-
f
y
bx
ay
x
-
=
¶
¶
Þ 2
y
………………………………………(b)
(b) en (a)
)
(
2
2 '
x
f
ay
bx
ay +
=
-
bx
x
f -
=
)
(
'
integrando respecto a x se tiene
2
2
1
)
( bx
x
f -
= ………………………………………..(g)
(g) en (*)
2
2
2
1
2
1
2 bx
by
axy -
+
=
y Rta
c) Calculando la aceleración
z
V
y
V
x
V
t
V
a
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
= w
u
m
0
)
2
)(
2
(
)
2
)(
2
(
0 +
-
-
-
-
+
-
= a
ay
bx
a
by
ax
a
y
a
abx
aby
x
a
a ²
4
2
2
²
4 -
+
+
=
16) Si la función equipotencial axy
=
f para un flujo plano.
a) Verificar la ecuación de la continuidad
b) Hallar la función de la línea de corriente
c) ¿Qué flujo representa?
d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas
x=8cm; y=2cm.
Solución:
a) la ecuación de la continuidad obliga :
0
2
2
2
2
2
2
=
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
z
y
x
f
f
f
axy
=
f

INGENIERIA CIVIL
0
0
0
2
2
2
2
2
2
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
z
y
x
f
f
f
La función es continua
b) función de la línea de corriente:
axy
=
f
Sabemos
)
(
)
(
²
2
1
'
x
f
x
x
f
ay
ay
x
y
=
¶
¶
+
=
=
¶
¶
=
¶
¶
y
y
f
y
Pero
ax
y
x
=
¶
¶
=
¶
¶ f
y
ax
x
f =
)
(
'
Integrando
2
2
1
)
( ax
x
f =
2
2
1
²
2
1
ax
ay +
=
y Rta.
c) Para saber el tipo de flujo se debe determinar 0
.
2
1
=
Ñ
= V
w si esto se cumple
entonces el flujo es irrotacional si no es rotacional:
ax
y
ay
x
k
z
j
y
i
x
V
V
=
¶
¶
=
¶
¶
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
-
=
-Ñ
=
Ñ
=
f
f
f
f
f
f
w
.
.
2
1

INGENIERIA CIVIL
0
0
=
-
=
-
=
-
-
=
=
¶
¶
w
u
m
f
ax
ay
j
ax
i
ay
V
z
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
Ñ
w
u
m
z
y
x
k
j
i
V
k
y
x
j
x
z
i
z
y
V ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
-
¶
¶
=
Ñ
m
u
w
m
u
w
.
[ ] 0
0
0
2
1
=
+
-
+
= a
a
w
Es un flujo irrotacional:
d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas
x=8cm; y=2cm.
0
/
4
.
0
02
.
0
*
20
/
6
.
1
08
.
0
*
20
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
w
u
m
s
m
ax
s
m
ay
17) En el sistema de la figura se muestra a tres reservorios y una bomba de 153H.P. de
potencia con una eficiencia del 100%, el sistema de tuberías transporta agua, la presión
en el punto p es 36.5m de agua, la válvula V origina una pérdida de 3.05m de agua y el
coeficiente de Hazem y Williams es 120pie/s. Calcular los caudales en cada tubo y la
cota “B”.
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
Q
P
Bomba
3.05m
D=24''
D=24''
L=1220m
D
=24''
D=12''
L=620m
L=2450m
L=3000m
V
Solución:

INGENIERIA CIVIL
A
B
C
11.6m
Cota=??
30.5m
Q
P
M
3.05m
V
(1) (2)
(3)
(4)
Q3
Q4
Q2
Q1
La cota piezométrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del reservorio A, entonces el
flujo va de P hacia A, cuyo caudal lo hallaremos:
Sabemos que:
Q=0.000426
54
.
0
63
.
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
L
h
CD
f
Q=0.000426 54
.
0
63
.
2
S
CD
L
h
S f
= m/Km.
85
.
1
63
.
2
42
.
2347
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
CD
Q
L
h f
Donde:
Q=lts./s; L=Km.; D=Pulg. y .
/ seg
pie
C =
Proseguiendo con nuestro calculus
Km
m
S 02
.
3
3
5
.
30
55
.
39
1 =
-
=
1
Q =0.000426* 54
.
0
63
.
2
24
*
120 S
s
lts
Q /
396
1 =
La bomba tiene una potencia:
n
Qh
Pot B
76
g
=
Q
pot
n
h B
g
.
76
=
Þ pero
Q
P
B E
E
h -
=
396
.
0
*
100
153
*
1
*
76
5
.
36 =
- Q
E
m
E Q 14
.
7
=
También
s
lts
Q
Q /
396
2
1 =
=
Calculemos 2
f
h

INGENIERIA CIVIL
85
.
1
63
.
2
2
24
*
120
396
*
42
.
2347
22
.
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
=
f
h
m
h f 68
.
3
2 =
Cota piezométrica en Q =3.05+7.14 =10.19m.
Cota piezométrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m.
El flujo va de M hacia C, ya que la cota piezométrica de M es mayor que la del
reservorio C, cuyo caudal es:
Km
m
S 66
.
3
62
.
0
6
.
11
87
.
13
2 =
-
=
=
3
Q 0.000426* 54
.
0
63
.
2
12
*
120 S
s
lts
Q /
71
3 =
s
lts
Q
Q
Q /
467
3
2
4 =
+
=
85
.
1
63
.
2
4
24
*
120
467
*
42
.
2347
45
.
2 ÷
ø
ö
ç
è
æ
=
f
h
m
h f 10
4 =
Cota Reservorio B = Cota piezométrica de M + Pc.Válvula + 4
f
h
Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10
Cota Reservorio B = 26.95m
18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de concreto cuyo peso específico es
2400kgf/m³ y una longitud de 4m. Si el valor de C=0.25 1
-
m , Calcular:
a) Determinar el valor de h para que la presa inicie su volteo.
b) determinar la posición de la resultante de las fuerzas para h=10m.
c) Determinar la máxima y mínima tensión de compresión en la base (h=10m),
despreciando la fuerza ascensional hidrostático.
3m 4m
h
y=cx²
Agua
Solución:

INGENIERIA CIVIL
3m 4m
h
FH
A1
W1
A2
A3
W2
W3
FV
m
n
a O
a)
1º) para 1
w
Donde
c
g : Peso específico de concreto.
V: Volumen
ah
A
3
1
1 =
ah
ah
w *
3200
3
*
4
2400
1 =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
a
x
4
1
7
1 +
= Centro de gravedad con respecto a “o”
2º) para 2
w
h
A 3
2 =
h
h
w *
28800
3
*
4
*
2400
2 =
=
5
.
5
2 =
x Centro de gravedad con respecto a “o”
3º) para 3
w
h
A 2
3 =
h
h
w *
19200
2
*
4
*
2400
3 =
=
3
8
3 =
x Centro de gravedad con respecto a “o”
Ahora calculemos FH y FV
oy
G A
h
FH Pr
g
=
2
2000
*
4
*
2
*
1000 h
h
h
FH =
=
h
m
3
1
=

INGENIERIA CIVIL
3
*
8000
3
2
*
4
*
1000
ah
ah
FV =
=
a
n
8
5
7 +
=
* Haciendo momento con respecto a “o”
0
=
å o
M
m
FH
n
FV
x
w
x
w
x
w .
.
3
3
2
2
1
1 =
+
+
+
0
209600
67
.
41066
67
.
2466
67
.
41 2
4
=
-
-
- a
a
a
a = 12.88m
pero
2
ca
h =
m
h 47
.
41
=

b)
Sabemos
c
h
a = Para h=10m
a = 6.32m.
Þ kgf
h
FH 20000
2000 =
=
kgf
ah
FV 598
.
261540
3
2
*
4
*
1000 =
=
Falta calcular
c)
3m 4m
h=10m
FH
A1
W1
A2
A3
W2
W3
FV
3.33m
10.95m
O
q1
q2
6.32m
Con las ecuaciones de la parte a) calculemos, Para h=10m y a=6.32m
kgf
w 202240
10
*
32
.
6
*
3200
1 =
=
m
x 58
.
8
1 =
kgf
w 288000
10
*
28800
2 =
=
m
x 5
.
5
2 =
kgf
w 192000
10
*
19200
3 =
=
m
x 67
.
2
3 =

INGENIERIA CIVIL
kgf
FH 200000
=
m
m 33
.
3
=
kgf
FV 33
.
168533
=
m
n 95
.
10
=
0
=
å Fv
32
.
13
2
2
1
3
2
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ +
=
+
+
+
q
q
FV
w
w
w
74
.
127747
2
1 =
+ q
q ----------------------------------------(a)
Sumatoria de momentos con respecto a “O”
0
=
å o
M
3
32
.
13
*
2
2
32
.
13
*
.
.
2
1
2
2
1
3
3
2
2
1
1 ÷
ø
ö
ç
è
æ -
+
+
=
+
+
+
q
q
q
m
FH
n
FV
x
w
x
w
x
w
Remplazando valores y resolviendo, se tiene:
798
.
169447
2 2
1 =
+ q
q ---------------------------------------(b)
Resolviendo (a) y (b)
m
kgf
q /
06
.
41700
1 =
m
kgf
q /
68
.
86047
2 =
19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribución lineal de tenciones sobre la
base de la presa de concreto, calcular:
a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base.
b) La máxima y mínima tensión de compresión en la base.
Despreciar el empuje ascensional hidrostático.
20) se tiene un conducto conformado por un tubo circular de 3pulg de radio y un cilindro
macizo concéntrico de 2pulg de radio, entre ellas discurre agua con un caudal de
0.2pie³/s. Calcular la máxima velocidad de la distribución de velocidades y el esfuerzo
cortante en las paredes.
0
)
(
2
)
(
2
)
(
2 =
+
+
-
+
+
- dx
dr
r
d
dx
dx
r
dp
p
dr
r
p p
t
t
t
p
p
Simplificando, obtenemos
dr
d
r
dx
dp t
t
-
-
=
Sustituyendo ,
/ dr
du
m
t -
= queda
)
(
)
1
( 2
2
dr
du
r
dr
d
r
dr
u
d
dr
du
r
dx
dp
m
m
=
+
=
Esto se integra para dar

INGENIERIA CIVIL
A
r
dx
dp
dr
du
r +
= 2
4
1
m
Una segunda integración produce
B
r
Ln
A
r
dx
dp
r
u +
+
= 2
4
1
)
(
m
Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina haciendo 0
=
m en
1
r
r = y en 2
r
r = ; es decir
B
r
Ln
A
r
dx
dp
B
r
Ln
A
r
dx
dp
+
+
=
+
+
=
2
2
2
2
1
2
1
4
1
0
4
1
0
m
m
La solución es
)
/
(
4
1
1
2
2
2
2
1
r
r
Ln
r
r
dx
dp
A
-
=
m
dx
dp
r
Lnr
A
B
m
4
2
2
2 -
-
=
Entonces
ú
û
ù
ê
ë
é -
+
-
= )
/
(
)
/
(
4
1
)
( 2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
r
r
Ln
r
r
Ln
r
r
r
r
dx
dp
r
u
m
Esto se integra para dar la razón de flujo:
ú
û
ù
ê
ë
é -
-
-
-
=
= ò
)
/
(
)
(
8
2
)
(
1
2
2
1
2
2
4
1
4
2
2
1
r
r
Ln
r
r
r
r
dx
dp
dr
r
r
u
Q
r
r
m
p
p
21) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 4m de longitud y un peso
de 100kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=5m(radio de curvatura de OA) y a=20º
Calcular h para que OB se mantenga Horizontal.

INGENIERIA CIVIL
a
2m
h
R
1.2m
0.8m
Agua
Aceite
D.R.=0.8
Agua
D.R.=0.8
petroleo
D.R.=0.
Hg
0.2m 1.2m
A
P=1141.06kgf/m2
Gas
Solución:
Figura de solución
b
a
PA
PM g
g
g +
+
+
= )
2
.
0
(
'
)
2
.
0
(
*
13600
1000
*
)
(
06
.
1141 +
+
+
= b
a
PM
Pero en la figura se puede observar que:
a+b=1
2
/
06
.
4861 m
kgf
PM =
0.2m
1.2m
a
b
A
P=1141.06
Gas

INGENIERIA CIVIL
R=5m
20
FH1
FH1
FV1
FV2
c
a
d
b
Aceite
b
h
0.8h
2m
Agua
Agua
Agua
0.8m
1.2m
F3
F4
N
M
3.35m
1.7m
)
4
*
2
)(
1
8
.
0
(
1 +
=
= h
A
h
FH proy
G g
g
)
1
8
.
0
(
8000
1 +
= h
FH
)
1
8
.
0
(
3
1
)
1
8
.
0
(
4
*
2
*
)
1
8
.
0
(
12
/
2
*
4
)
1
8
.
0
(
3
1
+
+
+
=
+
+
+
=
h
h
h
h
Yp
1
8
.
0
2 Yp
h
a -
+
=
)
1
8
.
0
(
3
2
4
.
2
+
+
=
h
h
a
º
9
.
27
=
b
2
2
2
1 24
.
0
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
b
b
p
Distancia de o’ a CG de 1
A
A

INGENIERIA CIVIL
A1
20
A2
b
3.35m
0.68m
1.35m
2m
1.71m
b /2 q
O'
20+b
R
R
CG
m
A
Sen
R
dCG 86
.
4
3
)
2
/
(
2
1
3
3
=
=
b
4
*
)
35
.
1
24
.
0
08
.
1
(
4
*
)
35
.
1
*
8
.
0
( 2
1
1 +
+
=
+
+
= h
A
A
h
Fv g
g
)
59
.
1
08
.
1
(
4000
1 +
= h
Fv
68
.
0
*
24
.
0
3
35
.
1
2
35
.
1
*
8
.
0
)
59
.
1
08
.
1
(
2
2
+
+
=
+ h
b
h
59
.
1
08
.
1
77
.
0
73
.
0
+
+
=
h
h
b
kgf
FH 7200
)
8
(
900
)
4
*
2
)(
1
(
2
2 =
=
= g
m
c 67
.
0
2
3
1
=
=
kgf
Fv 5724
)
35
.
1
24
.
0
)(
4
(
2
2 =
+
= g
)
68
.
0
(
24
.
0
3
35
.
1
59
.
1
2
+
=
d
m
d 48
.
0
=
kgf
F 24120
)
35
.
3
*
2
)(
4
(
2
3 =
= g
)
8
.
0
(
)
2
.
1
( '
g
g -
-
= PM
PN
2
/
06
.
2981
)
8
.
0
(
850
)
2
.
1
(
1000
06
.
4861 m
kgf
PN
PN =
Þ
-
-
=
kgf
F
PN
F 2
.
39946
)
4
*
35
.
3
( 4
4 =
Þ
=
Aplicación del peso OA
Figura peso centro

INGENIERIA CIVIL
20
b
3.35m
0.76m
1.35m
q
O'
R
R
dq
dl
woB
A
B
ò
= xdl
x
l
'
|
9
.
47
20
2
9
.
47
20
'
43
.
2 q
q
q Sen
R
Rd
RCos
x =
= ò
11
.
4
'
=
x Þ m
x 76
.
0
35
.
3
11
.
4 =
-
=
m
x 76
.
0
=
kgf
w
kgf
w
OB
OA
1340
100
*
4
*
35
.
3
972
100
*
4
*
43
.
2
=
=
=
=
0
=
å o
M
)
48
.
0
(
)
67
.
0
(
)
76
.
0
(
2
35
.
3
2
35
.
3
)
( 2
2
4
3
1
1 Fv
FH
w
F
w
F
b
Fv
a
FH OA
OB +
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
Reemplazando valores y despejando h obtenemos:
h= 2.62m
22) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 5m de longitud y un peso de
3150kgf y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a=25º Calcular
h para que la compuerta inicie a levantarse.

INGENIERIA CIVIL
h
2m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petrolio
0.25m 1.40m
P=3020kgf/m²
Gas
D.R=0.92
R
R
Agua
Agua
Hg
Solución:
Figura
b
a
PA
PM g
g
g +
+
+
= )
25
.
0
(
'
)
25
.
0
(
*
13600
1000
*
)
(
3020 +
+
+
= b
a
PM
a+b=1.15m
2
/
7570 m
kgf
PM =
)
2
(
)
53
.
2
( '
g
g -
-
= PM
PN
²
/
3440 m
kgf
PN =
Þ 1
1
3440 h
g
=
m
h 3
.
4
1 =
)
5
*
2
)(
1
(
'
1 +
=
= h
A
h
FH proy
G g
g
10
)
1
(
920
1 +
= h
FH
)
1
(
9200
1 +
= h
FH
5
*
2
*
)
1
(
12
/
2
*
5
)
1
(
3
1
+
+
+
=
h
h
Yp
)
1
(
3
1
)
1
(
1
+
+
+
=
h
h
Yp
h
Yp
a -
= 1
)
1
(
3
4
3
+
+
=
h
h
a
0.25m
1.40m
P=3020kgf/m²
Gas
Agua
Hg
b
a
D.R=13.6
M
h
2m
a
Aceite
D.R=0.8
Agua
Petrolio
D.R=0.92
R
R
M
N
A
a
b
FH2
FV2
d
c
h1
R.Sena
FH1
FV1
O
=2.53m

INGENIERIA CIVIL
h
2m
25
6
6
A
h1
O
2.53m
b
O'
1.5m 3.93m
g' g1
A1
º
02
.
24
=
b
2
2
2
1 23
.
0
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
b
b
p
)
tan
)(
5
( 1
'
1 A
triangulo
Area
gulo
rec
Area
Fv -
+
= g
)
27
.
1
5
.
1
(
4600
)
23
.
0
5
.
1
5
.
1
)(
5
(
920 1
1 +
=
Þ
-
+
= h
Fv
h
Fv
A
m
A
Sen
R
dCG 64
.
5
3
)
2
/
(
2
1
3
3
=
=
b
)
57
.
0
(
23
.
0
2
*
3
5
.
1
2
5
.
1
)
23
.
0
5
.
1
5
.
1
(
2
2
-
+
=
-
+ h
b
h
27
.
1
5
.
1
3
.
1
12
.
1
+
+
=
h
h
b
)
1
(
8000
)
5
*
2
)(
1
( 1
2
1
1
2 +
=
Þ
+
= h
FH
h
FH g
)
1
(
3
1
)
1
(
5
*
2
*
)
1
(
12
/
2
*
5
)
1
(
1
1
1
3
1
2
+
+
+
=
+
+
+
=
h
h
h
h
Yp
)
1
(
3
4
3
1
1
+
+
=
h
h
c
)
27
.
1
5
.
1
(
4000
)
23
.
0
5
.
1
5
.
1
)(
5
(
800 1
1
2 +
=
Þ
-
+
= h
Fv
h
Fv
27
.
1
5
.
1
3
.
1
12
.
1
1
1
+
+
=
h
h
d Como m
h 3
.
4
1 = entonces:
kgf
FH 42400
2 = y m
c 06
.
1
=
kgf
Fv 30880
2 = y m
d 79
.
0
=
Aplicación del peso OA a x de O
Figura peso centro
Longitud de OA ( c
l )
m
R
lc 52
.
2
360
2
=
=
b
p
R
R
A
O
b
O'
3.93m
dq
dl
q
0.82m
WAO

INGENIERIA CIVIL
ò
= xdl
x
lc
'
|
02
.
49
25
2
02
.
49
25
'
52
.
2 q
q
q Sen
R
Rd
RCos
x =
= ò
75
.
4
'
=
x Þ m
x 82
.
0
93
.
3
75
.
4 =
-
=
m
x 82
.
0
=
kgf
wOA 3150
=
0
=
å o
M
)
(
)
(
)
82
.
0
( 2
2
1
1 d
Fv
c
FH
w
b
Fv
a
FH OA +
=
+
+
h=0.73m
23) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 8m de longitud y un peso
de 120kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a = 25º
Calcular h para que la compuerta se mantenga en la posición mostrada. D.R Hg = 13.6
Solución:
De la figura.
Agua
Agua
Agua
Agua
A
D.R=0.6
Petroleo
D.R=0.8
A
D.R=0.75
Hg
Hg
O'
A
O
B
R
h
1m
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m²
1.4m
1m
Solución:
2
.
2
2
.
0
3
.
0 =
+
+
-
+ c
b
a
7
.
1
=
+
- c
b
a
)
2
.
0
3
.
0
(
)
(
1546 +
+
+
-
+
-
= Hg
c
b
a
PM g
g
)
5
.
0
(
13600
)
7
.
1
(
1000
1546 +
+
-
=
PM
2
/
6954 m
kgf
PM =
Agua
Agua
Hg
Hg
2.2m
0.2m
0.3m
Gas
P= -1546kgf/m²
M
a
b
c

INGENIERIA CIVIL
Agua
A
D.R=0.6
Petroleo
D.R=0.8
O'
A
O
B
R
h
1m
1m
a
b
d
c
f
e
A
D.R=0.75
Agua 1.4m
a
M
FV1
FH1
FH2
FH3
FV2
FV3
f
q
b
º
65
=
f
º
84
.
53
6
54
.
3
=
Þ
= q
q
Cos
º
16
.
11
=
Þ b
a) Para la parte BO
O|
750
)
4
.
1
(
1000 -
-
= PM
PB
H
H
m
kgf
PB 1000
4804
/
4804 2
=
=
Þ
= g
m
H 8
.
4
= y m
h 34
.
2
1 =
)
8
*
46
.
2
)(
23
.
1
(
1000 1
1 +
= h
FH
kgf
FH 6
.
70257
1 =
m
h
h
Yp 71
.
3
46
.
2
*
8
*
)
23
.
1
(
12
/
46
.
2
*
8
)
23
.
1
(
1
3
1
1 =
+
+
+
=
m
a
h
Yp
a 37
.
1
1
1 =
Þ
-
=
2
2
2
1 38
.
2
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
q
q
p
²
95
.
5
2
84
.
4
*
46
.
2
2 m
A =
=
A
O'
O
B
R
1m
a
b
A
D.R=0.75
Agua
1.4m
M
FV1
FH1
q
R
CG
A1
A2
h1=2.34m
H
2.3m
Agua
4.84m
2.46m
3.54m

INGENIERIA CIVIL
Figura centro
m
A
Sen
R
dCG 61
.
5
3
)
2
/
(
2
1
3
3
=
=
q
)
8
)(
34
.
2
*
84
.
4
(
1000 2
1
1 +
+
= A
A
Fv
kgf
Fv 8
.
157244
1 =
2
34
.
2
*
²
84
.
4
)
84
.
4
(
3
2
*
95
.
5
3
.
2
*
38
.
2
66
.
19 -
+
=
b
m
b 65
.
2
=
b) Para la parte AB
O|
8
*
46
.
3
*
)
73
.
1
(
800
2 =
FH
kgf
FH 12
.
38309
2 =
m
Yp 31
.
2
46
.
3
*
8
*
73
.
1
12
/
346
*
8
73
.
1
3
2 =
+
=
m
c 31
.
1
=
2
2
2
1
|
12
.
4
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
f
f
p
²
41
.
9
2
|
m
A =
|
A
Figura centro
m
A
Sen
R
d CG 42
.
5
3
)
2
/
(
2
1
|
3
3
|
=
=
f
)
8
)(
(
800 2
|
1
|
2 A
A
Fv +
=
kgf
Fv 86592
2 =
)
44
.
5
(
3
1
*
41
.
9
91
.
2
*
12
.
4
53
.
13 |
+
=
d
m
d 15
.
2
|
= con respecto a B
m
d
d 69
.
2
15
.
2
84
.
4 =
Þ
-
= Respecto a O
c) Para la parte AO
O|
(Reemplazando aceite por agua)
)
5
.
0
6
.
0
(
8000
)
8
*
1
)(
5
.
0
6
.
0
(
1000
3 +
=
+
= h
h
FH
)
5
.
0
6
.
0
(
8000
3 +
= h
FH
)
5
.
0
6
.
0
(
12
1
)
5
.
0
6
.
0
(
1
*
8
*
)
5
.
0
6
.
0
(
12
/
1
*
8
)
5
.
0
6
.
0
(
3
3
+
+
+
=
+
+
+
=
h
h
h
h
Yp
3
1
6
.
0 Yp
h
e -
+
=
Petroleo
D.R=0.8
O'
A
O
B
R
CG'
25
65
A'1
A'2
1.93m
5.44m
3.46m

INGENIERIA CIVIL
)
5
.
0
6
.
0
(
12
2
6
.
3
+
+
=
h
h
e
2
2
2
1
||
022
.
0
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
b
b
p
²
3
.
0
2
||
m
A =
|
A
Figura centro
m
A
Sen
R
d CG 02
.
6
3
)
2
/
(
2
1
||
3
3
||
=
=
b
)
8
)(
6
.
0
*
6
.
0
(
1000 2
||
1
||
3 h
A
A
Fv +
+
=
)
322
.
0
36
.
0
(
8000
3 +
= h
Fv
3
.
0
*
36
.
0
3
6
.
0
*
3
.
0
34
.
0
*
022
.
0
)
322
.
0
36
.
0
( h
f
h +
+
=
+
322
.
0
36
.
0
067
.
0
108
.
0
+
+
=
h
h
f
Aplicación del peso AOB a x de O
Figura peso centro
Longitud de OA ( c
l )
m
R
lc 81
.
6
360
2
=
=
f
p
ò
= xdl
x
lc
|
|
65
0
2
65
0
|
81
.
6 q
q
q Cos
R
Rd
RSen
x -
=
= ò
m
x 05
.
3
|
= Þ m
x 79
.
1
05
.
3
84
.
4 =
-
=
m
x 79
.
1
=
kgf
wAOB 6
.
6537
120
*
8
*
81
.
6 =
=
0
=
å o
M
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 3
3
2
2
|
1
1 f
Fv
e
FH
d
Fv
c
FH
x
w
b
Fv
a
FH OA +
+
+
+
=
+
h=66.26m
3420kgf y puede rotar en el eje O, R=5m (radio de curvatura de OA) y a=20º Calcular
h para que la compuerta inicie a levantarse. D.R Hg = 13.6
O'
A
O
R
CG
25
A''1
A''2
0.6m
R
0.34m
1m
0.6h
Agua
Aceite
h
b
O'
A
B
R
65
WAB
R
q
dq
dl
O
1.79m

INGENIERIA CIVIL
Agua
Hg
1.6m 0.2m
Gas
P= 2800kgf/m²
Petroleo
D.R=0.8
Aceite
D.R=0.75
Agua
2m
2m
R
R
a
h
A
O
O'
Solución:
b
a
PA
PM g
g
g +
+
+
= )
2
.
0
(
|
)
2
.
0
(
*
13600
1000
*
)
(
2800 +
+
+
= b
a
PM
a+b=1.4m
2
/
6920 m
kgf
PM =
)
2
(
)
2
( 1
g
g -
-
= PM
PN
²
/
3420 m
kgf
PN =
Liberando a una superficie libre
Agua
Hg
Hg
1.6m 0.2m
Gas
P= 2800kgf/m²
a
b
M

INGENIERIA CIVIL
Petroleo
D.R=0.8
Aceite
D.R=0.75
Agua
2m
2m
R
R
a
h
A
O
O'
FH1
FH2
FV1
FV2
b
a c
d
M
N
h1=4.56m
Aceite
Þ 1
1
3420 h
g
=
m
h 56
.
4
1 =
)
7
*
2
)(
1
( 1
1
1 +
= h
FH g
14
)
1
56
.
4
(
750
1 +
=
FH
kgf
FH 58380
1 =
62
.
5
)
56
.
5
(
3
1
56
.
5
)
1
(
3
1
)
1
(
1
1
1
1
=
+
=
+
+
+
=
Yp
h
h
Yp
1
1 h
Yp
a -
=
m
a 06
.
1
=
º
9
.
27
=
b
2
2
2
1 24
.
0
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
b
b
p
)
tan
)(
5
( 1
|
1 A
triangulo
Area
gulo
rec
Area
Fv +
+
= g
kgf
Fv
Fv 5
.
40666
)
24
.
0
35
.
1
56
.
4
*
35
.
1
)(
7
(
750 1
1 =
Þ
+
+
=
A
Figura centro
m
A
Sen
R
dCG 86
.
4
3
)
2
/
(
2
1
3
3
=
=
b
56
.
4
*
2
35
.
1
)
35
.
1
(
3
2
*
35
.
1
67
.
0
*
24
.
0
746
.
7
2
+
+
=
b
m
b 714
.
0
=
)
1
(
11200
)
7
*
2
)(
1
( 2
|
2 +
=
Þ
+
= h
FH
h
FH g
R
R
a
A
O
O '
b
A 1
A2
CG
1.35m
2m
0.67m
3.35m

INGENIERIA CIVIL
)
1
(
3
1
)
1
(
7
*
2
*
)
1
(
12
/
2
*
7
)
1
(
3
2
+
+
+
=
+
+
+
=
h
h
h
h
Yp
)
1
(
3
4
3
+
+
=
h
h
c
)
59
.
1
35
.
1
(
5600
)
35
.
1
24
.
0
35
.
1
)(
7
(
800 1
2 +
=
Þ
+
+
= h
Fv
h
Fv
59
.
1
35
.
1
38
.
1
91
.
0
+
+
=
h
h
d
Figura peso centro
Longitud de OA ( c
l )
m
R
lc 43
.
2
360
2
=
=
b
p
ò
= xdl
x
lc
'
|
9
.
47
20
2
9
.
47
20
|
43
.
2 q
q
q Sen
R
Rd
RCos
x =
= ò
11
.
4
|
=
x Þ m
x 59
.
0
11
.
4
7
.
4 =
-
=
m
x 59
.
0
=
kgf
wOA 3420
=
0
=
å o
M
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 x
w
d
Fv
c
FH
b
Fv
a
FH OA
+
+
=
+
h=4.503m
3500kgf y puede rotar en el eje O, R=4m (radio de curvatura de OA) y a=15º, Presión
relativa en PQ es 6035kgf/m². Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.
R
R
a
A
O
O'
b
dq
q
dl
WAO
0.59m
3.35m
R.Cosq

INGENIERIA CIVIL
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo 1m
h
R
a
R
Solución:
Petroleo
D.R=0.8
Agua A
O
Petroleo
1m
h
R
a
R
FH2
FV2
FV1
FH1
b
P Q
1.04m
d
a c
b
q
3.86m
N
h1=3.995m
º
34
.
59
4
04
.
2
1
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
= -
Cos
q
º
66
.
15
=
b
2
/
6035 m
kgf
PQ =
)
04
.
2
(
g
-
= PQ
PN
A
O
1m
R
a
R
P
0.42m
A1
CG
b
3.86m
h
0.24m

INGENIERIA CIVIL
²
/
3995 m
kgf
PN =
Þ 1
3995 h
g
=
m
h 995
.
3
1 =
)
5
.
0
(
6000
)
6
*
1
)(
5
.
0
( 1
2
1
1 +
=
Þ
+
= h
FH
h
FH g
kgf
FH 26970
1 =
)
1
(
9200
1 +
= h
FH
1
1 h
Yp
a -
=
m
a 515
.
0
=
º
66
.
15
=
b
2
2
2
1 027
.
0
2
º
360
m
Sen
R
R
A =
-
=
b
b
p
)
tan
)(
6
( 1
1 A
triangulo
Area
gulo
rec
Area
Fv -
+
= g
kgf
Fv
Fv 4
.
11165
)
027
.
0
21
.
0
995
.
3
*
42
.
0
)(
6
(
1000 1
1 =
Þ
-
+
=
A
Figura centro
m
A
Sen
R
dCG 99
.
3
3
)
2
/
(
2
1
3
3
=
=
b
m
X 24
.
0
=
995
.
3
*
2
42
.
0
24
.
0
*
027
.
0
)
42
.
0
(
3
2
*
21
.
0
86
.
1
2
+
-
=
b
m
b 22
.
0
=
)
5
.
0
(
4800
)
6
*
1
)(
5
.
0
( 2
1
2 +
=
Þ
+
= h
FH
h
FH g
)
5
.
0
(
12
1
)
5
.
0
(
6
*
1
*
)
5
.
0
(
12
/
1
*
6
)
5
.
0
(
3
2
+
+
+
=
+
+
+
=
h
h
h
h
Yp
)
5
.
0
(
6
2
3
+
+
=
h
h
c
)
183
.
0
42
.
0
(
4800
)
027
.
0
21
.
0
42
.
0
)(
6
(
800 1
2 +
=
Þ
-
+
= h
Fv
h
Fv
A
R
a
R
P
b q
dq
O
dl
0.25m
R.cosq
WAO

INGENIERIA CIVIL
183
.
0
42
.
0
052
.
0
09
.
0
+
+
=
h
h
d
Figura peso centro
Longitud de OA ( c
l )
m
R
lc 09
.
1
º
360
2
=
=
b
p
ò
= xdl
x
lc
'
|
66
.
30
15
2
66
.
30
15
|
09
.
1 q
q
q Sen
R
Rd
RCos
x =
= ò
m
x 69
.
3
|
= Þ m
x 25
.
0
44
.
3
69
.
3 =
-
=
m
x 25
.
0
=
kgf
wOA 3500
=
0
=
å o
M
)
(
)
(
)
( 2
2
1
1 x
w
d
Fv
c
FH
b
Fv
a
FH OA
+
+
=
+
h=4.81m
26) En la figura se muestra una compuerta AOB de 2m de ancho, OB es parábola donde
1
25
.
0 -
= m
c Determinar el valor de h para que dicha Compuerta inicie a levantarse
desprecie el peso de la compuerta.
CO2
CO
Hg
Hg
Hg
D.R=16
Aire
Aceite
D.R=0.8
Agua
25cm
32cm
30cm
5.71cm
2.5cm
N2
1.5cm
20cm
30cm
Agua
y=cx²
Agua 40cm
h
O
A
B
Hg
Solución:
1000
*
3
.
0
13600
*
2
.
0
)
0721
.
0
(
1000
0571
.
0
*
1600
04
.
0
*
800
13600
*
3
.
0
13600
*
25
.
0
13600
*
32
.
0 -
+
-
+
+
-
-
=
PN
²
/
5
.
165 m
kgf
PN =

INGENIERIA CIVIL
Liberando presión
)
(
1000 |
|
h
h
PN =
= g
m
h 1655
.
0
|
=
)
2
*
4
.
0
)(
2
.
0
(
1000 |
+
= h
FH
kgf
FH 4
.
292
=
m
Yp
Yp
402
.
0
4
.
0
*
2
*
)
2
.
0
1655
.
0
(
12
/
4
.
0
*
2
)
2
.
0
1655
.
0
(
3
=
+
+
+
=
1655
.
0
-
= Yp
a
m
a 236
.
0
=
Para la parte Parabólico:
y = cx²
Para y = h; x = b Þ
h = cb²
Ahora calculemos FH y FV
oy
G A
h
FH Pr
1 g
=
2
1 1000
*
2
*
2
*
1000 h
h
h
FH =
=
h
m
3
1
=
3
*
4000
3
2
*
2
*
1000
1
bh
bh
Fv =
=
b
n
4
5
=
Sumatoria de momentos con respecto a “O”
0
=
å o
M
m
FH
n
Fv
a
FH .
.
)
( 1
1 +
=
b
bh
h
h
4
5
*
3
4000
3
1
*
1000
236
.
0
*
4
.
292 2
+
=
Pero
c
h
b =
2
donde 1
25
.
0 -
= m
c
2
3
20000
1000
3
*
69 h
h +
=
Þ
h=101.48mm
27) La presión a la salida de la bomba es de 110000kgf/m² para una potencia de
100HP co una eficiencia de 70% la carga perdida a través de la válvula “V” es de 10m
los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de 0.00015m.,
L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m., D3=0.2m., L4==300m.
hallar la dirección del flujo y el caudal en cada tubería, así también la cota del nivel de
y=cx²
N
40cm
h
O
A
B
FH
h' FH1
FV1
c
d
b
a

INGENIERIA CIVIL
agua en el reservorio “R”. La viscosidad cinemática del líquido es s
m /
10 2
6
-
=
n .
Cota=??
R
(1)
A
B
(2)
(3)
(4)
10m
30m
100m
N
Solución:
Cota=??
R
(1)
A
B
(2)
(3)
(4)
10m
30m
100m
N
Q
Q
Q
Q I S
Calculando la rugosidad relativa
0005
.
0
30
.
0
00015
.
0
1
=
=
D
e
001
.
0
15
.
0
00015
.
0
2
=
=
D
e
.
00075
.
0
20
.
0
00015
.
0
3
=
=
D
e
0006
.
0
25
.
0
00015
.
0
4
=
=
D
e
Calculando el número de reynolds
D
Q
R
D
QD
VD
R e
e
6
2
10
*
27
.
1
4
/
=
Þ
=
=
np
n
2
6
2
1
6
1 10
*
46
.
8
10
*
23
.
4 Q
R
Q
R e
e =
=
4
6
4
3
6
3 10
*
08
.
5
10
*
35
.
6 Q
R
Q
R e
e =
=
Calculando f
h Perdida por fricción
5
2
0826
.
0
:
D
fLQ
h
sabe
se f = por Darcy
2
2
2
2
2
1
1 98
.
326320
76
.
5098
1
Q
f
h
Q
f
h f
f =
=
2
4
4
4
2
3
3
3 72
.
25374
51625 Q
f
h
Q
f
h f
f =
=
)
_
(
32
.
5
76
4
4
B
S
BERNOULLI
bomba
de
Q
h
Q
pot
n
h B
B =
Þ
=
g
4
2
2
100
10
)
4
/
25
.
0
(
2
f
h
g
Q
P
+
=
+
+
p
g

INGENIERIA CIVIL
20
038
.
1
72
.
25374 2
4
2
4
4 =
-
=
Þ Q
Q
f
F -----------------(I)
-Asumiendo caudal 5
4
4 10
*
08
.
5
/
³
1
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 4
4 / D
y
Re e del ábaco de Moody 0193
.
0
4 =
Þ f
En (I) m
F 68
.
4
=
Þ
-Asumiendo caudal 6
4
4 10
*
01
.
1
/
³
2
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 4
4 / D
y
.
0
4 =
Þ f
En (I) m
F 405
.
18
=
Þ
-Asumiendo caudal 6
4
4 10
*
27
.
1
/
³
25
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 4
4 / D
y
.
0
4 =
Þ f
En (I) m
F 32
.
28
=
Þ
Graficando Q VS F
Del gráfico: con F=20m de (I)
s
m
Q /
³
21
.
0
4 = Rpta. 0179
.
0
4 =
Þ f
Pero s
m
Q
Q
Q /
³
21
.
0
3
4
3 =
Þ
=
6
3 10
*
33
.
1
=
Þ e
R
Con 3
3 / D
y
R e e del ábaco de Moody 0186
.
0
3 =
Þ f
m
h f 345
.
42
3 =
Þ
m
m
g
Q
P
E S
S 046
.
110
10
)
4
/
25
.
0
(
2 2
2
4
=
+
+
=
p
g
m
E S 046
.
110
=
Þ
m
E
Q
h
E
E I
B
I
S 716
.
84
32
.
5
4
=
Þ
=
=
-
Bernoulli (A – I)
2
2
3 345
.
42
716
.
84
30 f
f
f
I h
h
h
E
m +
+
=
+
+
=
m
h f 061
.
97
2 -
=
Þ El signo negativo indica que el sentido del flujo asumido es
contrario: m
h f 061
.
97
2 =
Þ el flujo entra al reservorio A
Pero 000297
.
0
98
.
326320 2
2
2
2
2
2
2 =
Þ
= Q
f
Q
f
hf
000297
.
0
2
2
2 =
Q
f --------------------------------(II)
-Asumiendo caudal 5
2
2 10
*
46
.
8
/
³
1
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
Luego 0002
.
0
2
2
2 =
Q
f
-Asumiendo caudal 6
2
2 10
*
26
.
1
/
³
15
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
Luego 00045
.
0
2
2
2 =
Q
f
-Asumiendo caudal 6
2
2 10
*
423
.
0
/
³
05
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
Luego 00005
.
0
2
2
2 =
Q
f

INGENIERIA CIVIL
Graficando Q VS F
Del gráfico: con 000297
.
0
2
2
2 =
Q
f obtenemos:
s
m
Q /
³
12
.
0
2 = Rpta.
Por continuidad
s
m
Q
Q
Q
Q /
³
33
.
0
1
3
2
1 =
Þ
+
= Rpta
Luego 6
1 10
*
19
.
4
=
e
R
Con 1
1 / D
y
.
0
1 =
Þ f
m
hf 1
.
10
1 =
Þ
Bernoulli (R – I)
N
f
f
I
R h
h
h
E
E +
+
+
= 3
1
Rpta
m
R
Cota
R
Cota
161
.
147
10
345
.
42
1
.
10
716
.
84
=
+
+
+
=
28) En el sistema de la figura las tuberías tiene una rugosidad absoluta de 0.00025m y
s
m /
10
*
001
.
1 2
6
-
=
n . Calcular el diámetro de las tuberías 2 y la perdida de carga
total.
11m
A
4m
B
(1)
(2)
00
C
L1=400m
D1=0.2m
L2=500m
D2=?
Solución:
11m
A
4m
B
(1)
(2)
00m
C
Q
Q
00125
.
0
20
.
0
00025
.
0
1
=
=
D
e
?
00025
.
0
2
2
=
=
D
D
e
D
Q
Re
6
10
*
27
.
1
=
2
2
6
2
1
6
1 10
*
272
.
1
10
*
36
.
6
D
Q
R
Q
R e
e =
=

INGENIERIA CIVIL
5
2
0826
.
0
:
D
fLQ
h
sabe
se f = por Darcy
5
2
2
2
2
2
1
1 3
.
41
103250
1
D
Q
f
h
Q
f
h f
f =
=
Bernoulli (A – B)
LB
LA
f
B
A h
h
h
E
E +
+
+
= 1
( )
B
A K
K
D
Q
Q
f +
+
+
= 4
1
2
1
2
1
1 0826
.
0
103250
4
11
7
44
.
77
103250 2
1
2
1
1 =
+
= Q
Q
f
F --------------------------(a)
-Asumiendo caudal 5
1
1 10
*
18
.
3
/
³
05
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 1
1 / D
y
.
0
1 =
Þ f
En (a) m
F 76
.
5
=
Þ
-Asumiendo caudal 5
1
1 10
*
816
.
3
/
³
06
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 1
1 / D
y
.
0
1 =
Þ f
En (a) m
F 24
.
8
=
Þ
-Asumiendo caudal 5
1
1 10
*
498
.
3
/
³
055
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 1
1 / D
y
.
0
1 =
Þ f
En (a) m
F 94
.
6
=
Þ
*) si al asumir caudal y calculado f, reemplazamos en (a) esto no satisface entonces se
procede a graficar como en el problema anterior o interpolar con programas de
calculadora:
s
m
Q /
³
055
.
0
1 =
Rpta
Bernoulli (B – C)
LB
f
C
B h
h
E
E +
+
= 2
5
2
2
2
5
2
2
2
2 *
0826
.
0
3
.
41
0
4
D
Q
K
D
Q
f B
+
+
=
Pero s
m
Q
Q
Q /
³
055
.
0
2
2
1 =
Þ
=
5
.
0
=
B
K
M
D
D
f
=
+
=
Þ 5
2
5
2
2 0001249
.
0
1249
.
0
4 -----------------------(b)
-Asumiendo Diámetro 001
.
0
25
.
0
2
2 =
Þ
=
D
m
D
e
Como 279840
/
³
055
.
0 2
2 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (b) m
M 67
.
2
=
Þ
.
0
30
.
0
2
2 =
Þ
=
D
m
D
e

INGENIERIA CIVIL
Como 233200
30
.
0
/
³
055
.
0 2
2
2 =
Þ
=
= e
R
m
D
y
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (b) m
M 05
.
1
=
Þ
.
0
20
.
0
2
2 =
Þ
=
D
m
D
e
Como 349800
20
.
0
/
³
055
.
0 2
2
2 =
Þ
=
= e
R
m
D
y
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (b) m
M 5
.
8
=
Þ
De estos 3 valores se puede concluir que solo el diámetro de 0.25m satisface, ya que es un
diámetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m:
m
D 25
.
0
2 = Rpta.
Falta perdida de carga total
29) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de
10” de diámetro y 3000pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por
una tubería de 12” de diámetro y 6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de
agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una tubería MN de 5500pies de
longitud. La distancia AM=1000pies y ND=2000pies. Calcular:
a) Los caudales que entran a los reservorios B y D Cuando por la tubería MN
discurren 1pie³/s.
b) El mínimo diámetro que debe tener MN para transportar 1pie³/s. (Considere solo
perdidas por fricción).
A
B
C
D
50'
30'
M
0'
40'
N
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Solución:
A
B
C
D
50'=15m
30'=9m
M
0'
40'=12m
N
(1)
(2)
(3)
(4)
Q1
Q3
Q4
Q2
Q5
(5)

INGENIERIA CIVIL
?
1650
5500
30
.
0
"
12
600
2000
30
.
0
"
12
1200
4000
25
.
0
"
10
600
2000
25
.
0
"
10
300
1000
5
|
5
4
|
4
3
|
3
2
|
2
1
|
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
s
m
Q /
³
027
.
0
5 =
Calculando la rugosidad relativa
0008
.
0
25
.
0
0002
.
0
2
1
=
=
=
D
D
e
e
00067
.
0
30
.
0
0002
.
0
4
3
=
=
=
D
D
e
e
Calculando el número de reynolds
D
Q
R
D
QD
VD
R e
e
6
2
10
*
27
.
1
4
/
=
Þ
=
=
np
n
2
6
2
1
6
1 10
*
08
.
5
10
*
08
.
5 Q
R
Q
R e
e =
=
4
6
4
3
6
3 10
*
23
.
4
10
*
23
.
4 Q
R
Q
R e
e =
=
Calculando f
h Perdida por fricción
5
2
0826
.
0
:
D
fLQ
h
sabe
se f = por Darcy
2
4
4
4
2
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
06
.
20395
12
.
40790
44
.
50749
72
.
25374
Q
f
h
Q
f
h
Q
f
h
Q
f
h
f
f
f
f
=
=
=
=
Las tuberías (1) Y (2) es la misma entonces.
2
1 f
f = lo mismo Las tuberías (3) y (4) 4
3 f
f =
Þ
Bernoulli (A – B)
2
1 h
h
E
E f
B
A +
+
=
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
44
.
50749
72
.
25374
6
44
.
50749
72
.
25374
9
15
Q
f
Q
f
Q
f
Q
f
+
=
+
+
=
Pero 027
.
0
2
1
5
2
1 +
=
Þ
+
= Q
Q
Q
Q
Q
F
Q
f
Q
f =
+
+
=
Þ 2
2
1
2
2
1 44
.
50749
)
027
.
0
(
72
.
25374
6 ----------------(a)
-Asumiendo caudal 5
2
2 10
*
08
.
5
/
³
1
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (a) m
F 69
.
17
=
Þ
-Asumiendo caudal 4
2
2 10
*
27
.
1
/
³
05
.
0 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (a) m
F 42
.
8
=
Þ
-Asumiendo caudal 8128
/
³
04
.
0 2
2 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 2
2 / D
y
.
0
2 =
Þ f
En (a) m
F 58
.
6
=
Þ
Interpolando se tiene:

INGENIERIA CIVIL
s
m
Q /
³
039
.
0
2 = Rpta
s
m
Q
Q
Q
Q /
³
066
.
0
1
5
2
1 =
Þ
+
=
Bernoulli (C – D)
4
3 h
h
E
E f
D
C +
+
=
)
(
)
027
.
0
(
06
.
20395
12
.
40790
12
027
.
0
06
.
20395
12
.
40790
0
12
2
3
3
2
3
3
3
4
5
3
4
2
4
4
2
3
3
b
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
=
=
Þ
+
=
Þ
+
=
+
+
=
Q
f
Q
f
N
Q
Q
Q
Q
Q
pero
Q
f
Q
f
1º Asumiendo caudal 20727
/
³
07
.
0 3
3 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 3
3 / D
y
.
0
3 =
Þ f
En (b) m
N 612
.
10
=
Þ
/
³
08
.
0 3
3 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 3
3 / D
y
.
0
3 =
Þ f
En (b) m
N 705
.
12
=
Þ
.
25735
/
³
078
.
0 3
3 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 3
3 / D
y
.
0
3 =
Þ f
En (b) m
N 27
.
12
=
Þ
Interpolando se obtiene:
s
m
Q /
³
0779
.
0
3 =
s
m
Q
Q
Q
Q /
³
105
.
0
4
5
3
4 =
Þ
+
=
Calculemos 3
1 f
f h
y
h
Para s
m
Q /
³
066
.
0
1 = Þ 027
.
0
48
.
22128 1
1 =
= f
y
Re
m
h f 98
.
2
1 =
Para s
m
Q /
³
105
.
0
4 = Þ 0233
.
0
75
.
46435 4
4 =
= f
y
Re
m
h f 24
.
5
4 =
Bernoulli (A – D)
5
4
1 f
f
D
A h
h
h
E
E +
+
+
=
)
(
24
.
68
1650
*
0826
.
0
24
.
5
98
.
2
15
5
5
5
5
5
2
5
5
g
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
Þ
+
+
=
D
f
D
Q
f
.
0
20
.
0
5
5 =
Þ
=
D
m
D
e
Como 171450
/
³
027
.
0 5
5 =
Þ
= e
R
s
m
Q
Con 5
5 / D
y
.
0
5 =
Þ f

INGENIERIA CIVIL
En (g) m
D
f
25
.
66
5
5
5
=
Þ
Un diámetro comercial adecuado es m
D 20
.
0
5 = =8pulg Rpta.
30) Calcular los diámetros de las tuberías de la red de la figura, si los caudales en E y F
son respectivamente 20 y 30L/s y el agua se libera con igual presión e igual velocidad en
E y F s
pie
C H /
100
= para toda las tuberias presión, el diámetro del tramo CD
deberá ser mayor que los diámetros DE y DF (D1=2D2).
(1)
(2)
(4)
(5)
20m
20m
10m
15m
500m
500m
800m
700m
7
0
0
m
(3)
E
F
D2
D1
Solución:
(1 )
(2 )
(4 )
(5 )
2 0 m
2 0 m
1 0 m
1 5 m
500m
5 0 0m
800m
7 00 m
7
0
0
m
(3 )
E
F
D 2
D 1
Q
P
Q 4
Q
Q
Q
Q 3
2
1 2 D
D =
s
L
Q
s
L
Q /
30
/
20 4
5 =
=
F
E
F
E P
P
y
V
V =
=
s
L
Q
Q
Q
Q /
50
3
5
4
3 =
Þ
+
=
s
L
Q
Q
Q
Q
Q /
50
2
1
3
2
1 =
+
Þ
=
+ ……………………………………………(
1)

INGENIERIA CIVIL
.(*)
..........
..........
..........
22
.
1
)
4
/
(
20
)
4
/
(
30
5
4
2
5
2
4
D
D
D
D
V
V F
E =
Þ
=
Þ
=
p
p
Ecuación de la energía
)
.........(
..........
..........
..........
..........
..........
5
10
2
15
2
4
5
5
2
4
2
5
4
a
g
g
=
-
Þ
=
=
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
=
f
f
E
F
E
F
f
E
E
f
F
F
f
E
f
F
Q
h
h
V
V
y
P
P
como
h
g
V
P
h
g
V
P
h
E
h
E
E
De la ecuación de Hazen y Williams
85
.
1
63
.
2
42
.
2347
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
CD
Q
L
h f
De (a) 5
100
30
*
42
.
2347
5
.
0
100
20
*
42
.
2347
7
.
0
85
.
1
63
.
2
4
85
.
1
63
.
2
5
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
D
D
"
6
"
8
:
"
09
.
7
"
81
.
5
(**)
(*)
..(**)
..........
..........
..........
..........
5
64
.
92733
61319
5
4
4
5
86
.
4
4
86
.
4
5
=
=

=
=
Þ
=
-
D
y
D
comercial
Diametro
es
adecuado
diámetro
El
D
y
D
y
De
D
D
m
D 20
.
0
"
8
4 =
=
s
m
D
Q
V /
95
.
0
4
/
2
.
0
*
03
.
0
)
4
/
( 2
2
4
4
4 =
=
=
p
p
m
h f 74
.
3
8
*
100
30
*
42
.
2347
5
.
0
85
.
1
63
.
2
4 =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
"
8
:
)
.(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
25
.
16
)
.(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
25
.
21
)
(
)
2
(
)
.....(
..........
..........
..........
..........
..........
35
40
:
)
2
..(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
75
.
18
75
.
18
75
.
18
75
.
18
74
.
3
81
.
9
*
2
95
.
0
15
3
4
3
3
2
3
1
2
1
3
3
3
2
4
>
Þ
>
=
+
=
+
-
=
-
=
+
=
+
=
+
=
=
=
+
+
=
+
=
D
D
D
Pero
m
h
h
m
h
h
y
De
h
h
E
Pero
h
m
E
h
m
h
E
E
m
E
m
E
h
E
E
f
f
f
f
f
f
P
f
P
f
f
Q
P
Q
Q
f
F
Q
q
b
a
a
Escogiendo diámetro comercial adecuado

INGENIERIA CIVIL
"
10
3 =
D
m
h f 25
.
3
10
*
100
50
*
42
.
2347
5
.
0
85
.
1
63
.
2
3 =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
m
h f 25
.
3
3 =
En (b) m
h f 18
1 =
63
.
2
2
1
86
.
4
2
85
.
1
1
2
1
85
.
1
63
.
2
1
1
1
52
.
1
18
24
.
8
2
18
*
100
*
42
.
2347
7
.
0
:
D
Q
m
D
Q
D
D
y
m
D
Q
h
pero f
=
=
Þ
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
En (q) m
h f 13
2 =
63
.
2
2
2
86
.
4
2
85
.
1
2
85
.
1
63
.
2
2
2
2
19
.
0
13
5
.
274
13
*
100
*
42
.
2347
8
.
0
:
D
Q
m
D
Q
m
D
Q
h
pero f
=
=
Þ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
"
2
.
7
2
"
6
.
3
50
19
.
0
52
.
1
/
50
2
2
1
2
63
.
2
2
63
.
2
2
2
1
=
Þ
=
=
Þ
=
+
=
+
D
D
D
D
D
D
s
L
Q
Q
los diámetros comerciales adecuados son:
"
6
"
8
"
10
"
4
"
8 5
4
3
2
1 =
=
=
=
= D
D
D
D
D Rpta.
31) Un oleoducto con una tubería aproximadamente horizontal de 30cm de diámetro,
donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una estación de bombeo de 40HP de
potencia cada 7 Km. La eficiencia de los equipos de bombeo es 75% peso específico del
líquido es 850Kg/m³ la viscosidad cinemática es 6
10
*
4 -
m²/s
a) Hallar el caudal
b) si el caudal se incrementa en 50% hallar la nueva potencia de la bomba
c) si con la nueva potencia la presión en el ingreso de la bomba es de 125kg/m² hallar la
presión en la salida de la bomba.
Solución:
B B B B
7km

INGENIERIA CIVIL
B B B B
7km
I S S S S
I I I
7km 7km
75
.
0
0001
.
0
30
.
0
00003
.
0
40
/
²
10
*
4
00003
.
0
³
/
850
30
.
0
6
=
=
=
=
=
=
=
=
-
n
D
HP
pot
s
m
m
m
kg
m
D
e
n
e
g
)
1
....(
..........
..........
..........
..........
..........
76
)
(
n
E
E
Q
pot I
s -
=
g
Ecuación de la energía (S – I)
032
.
0
³
75
.
0
*
76
²
4
.
1190
*
071
.
0
*
850
40
)
1
(
071
.
0
4
²
3
.
0
*
²
4
.
1190
81
.
9
*
2
*
3
.
0
²
*
7000
*
2
2
=
Þ
=
=
Þ
=
=
Þ
=
=
=
-
fV
fV
V
en
V
Q
V
Q
fV
h
V
f
g
V
D
fL
h
E
E
f
f
I
s
p
Asumiendo valores de velocidades
1º Asumiendo 4
6
10
*
5
.
7
10
*
4
3
.
0
*
1
/
1 =
=
Þ
= -
e
R
s
m
V
Con D
y
Re /
e del ábaco de Moody 0195
.
0
=
Þ f
0195
.
0
³ =
Þ fV
2º Asumiendo 5
6
10
*
1
.
1
10
*
4
3
.
0
*
5
.
1
/
5
.
1 =
=
Þ
= -
e
R
s
m
V
Con D
y
Re /
.
0
=
Þ f
062
.
0
³ =
Þ fV
Graficando ³
fV
VS
V
Del gráfico: s
m
V /
17
.
1
=
a) s
m
Q /
³
083
.
0
4
²
3
.
0
*
*
17
.
1
=
=
p
b) s
m
Q
Q f /
³
124
.
0
5
.
1 =
=
s
m
V f /
74
.
1
071
.
0
124
.
0
=
=
5
6
10
*
3
.
1
10
*
4
3
.
0
*
74
.
1
=
Þ
= - e
e R
R
Con D
y
Re /
.
0
=
Þ f
m
h f 87
.
64
=

INGENIERIA CIVIL
En (1)
75
.
0
*
76
87
.
64
*
124
.
0
*
850
=
pot
Rpta
HP
pot 95
.
119
=
c) m
h
E
E f
I
S 87
.
64
=
=
-
.
²
/
51
.
55694
²
/
51
.
55694
87
.
64
125
87
.
64
2
2
2
2
Rpta
m
kgf
P
m
kgf
P
P
m
g
V
P
g
V
P
S
S
S
I
S
=
=
Þ
=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
g
g
g
g
32) En la figura se muestra un sistema donde se instala una bomba entre las tuberías 3 y
4 con una potencia de 4HP y una eficiencia de 70%, la presión en I es 65kgf/m²
(C=120) Calcular:
a) los caudales en cada tubería.
b) Las presiones en el punto “A” y salida de la bomba.
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)
(3)
(5)
(1) 20m
D=12''
L=1000m
D=10''
L=1500m
L
=
7
0
0
m
D
=
8
'
'
D=10''
L=600m
L=2000m
D=12''
M
10m
Solución:
40m
R
B
B
A
I S
(2)
(4)
(3)
(5)
(1) 20m
M
10m
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5

INGENIERIA CIVIL
"
12
2000
"
10
600
"
8
700
"
10
1500
"
12
1000
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
D
m
L
D
m
L
D
m
L
D
m
L
D
m
L
²
/
65
%
70
4
m
kg
P
n
HP
Pot
I =
=
=
)
......(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
2128
.
0
1000
76
*
7
.
0
*
76
*
76
76
)
(
3
3
3
3
j
g
g
Q
Q
E
E
Q
Pot
n
E
E
n
E
E
Q
Pot
I
S
I
S
I
S
=
=
-
=
-
Þ
-
=
km
m
L
h
S
f
/
20
1
20
40
=
-
=
=
54
.
0
63
.
2
*
*
000426
.
0
: S
D
C
Q
Pero =
54
.
0
63
.
2
1 20
12
*
120
*
000426
.
0
=
Q
S
L
Q /
58
.
177
1 = Rpta.
De la figura se tiene:
)
(
4
3
2 I
S
f
f
f E
E
h
h
h -
-
+
=
Pero según Hazme y Williams
85
.
1
63
.
2
42
.
2347
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
CD
Q
L
h f
)
.(
..........
..........
..........
..........
2128
.
0
003
.
2
923
.
6
008
.
5
3
85
.
1
4
85
.
1
3
85
.
1
2 r
Q
Q
Q
Q -
+
=
Þ
Pero por continuidad se tiene:
3
2
1
4
3 Q
Q
Q
y
Q
Q +
=
=
)
.....(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
58
.
177 2
3 l
Q
Q -
=
Þ
tiene
se
en )
(
)
( r
l
S
L
Q
y
S
L
Q /
038
.
75
/
542
.
102 3
2 =
=
.
²
/
2901
²
/
2901
836
.
2
65
836
.
2
2
2
)
(
2
2
Rpta
m
kgf
P
m
kgf
P
m
P
m
g
V
P
g
V
P
En
S
S
S
I
S
=
=
Þ
=
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
g
g
g
g
j
Ecuación de energía entre (R – A)
1
f
A
R h
E
E +
=

INGENIERIA CIVIL
)
1
.........(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
20
2
40 1
2
f
A
A
h
g
V
P
+
+
+
=
g
m
h f 94
.
19
12
*
120
58
.
177
*
42
.
2347
1
85
.
1
63
.
2
1 =
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
En (1) ²
/
8
.
261 m
kgf
PA -
= Rpta
33) En la figura se tiene dos reservorios A y B están conectados por una tubería de 10” de
diámetro y 2500pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una
tubería de 12” de diámetro y 4500pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua
que entra a D las dos tuberías se conectan con una tubería MN de 3000 pies de longitud
y 8” de diámetro. Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las
tuberías es 0.00015. y viscosidad cinemática es 6
10 -
m²/seg. Calcular los caudales en
cada tubería (Considere flujo completamente turbulento).
A
B
C
D
80m
50m
M
20m
40m
N
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Solución:
A
B
C
D
80m
50m
M
20m
40m
N
(1)
(2)
(3)
(4)
Q1
Q3
Q4
Q2
Q5
(5)
1pulg=0.025m, 1pie=12pulg.
m
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
m
D
m
L
20
.
0
"
8
900
3000
30
.
0
"
12
750
2500
30
.
0
"
12
600
2000
25
.
0
"
10
450
1500
25
.
0
"
10
300
1000
5
|
5
4
|
4
3
|
3
2
|
2
1
|
1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Calculando rogusidad relativa
0006
.
0
25
.
0
00015
.
0
2
1
=
=
=
D
D
e
e
0005
.
0
30
.
0
00015
.
0
4
3
=
=
=
D
D
e
e
Por ser el flujo completamente turbulento con e/D del ábaco obtenemos los valores:

INGENIERIA CIVIL
01745
.
0
2
1 =
= f
f 01675
.
0
4
3 =
= f
f 01837
.
0
5 =
f
5
2
0826
.
0
:
D
fLQ
h
sabe
se f = por Darcy
2
5
5
2
4
4
2
3
3
2
2
2
2
1
1
581
.
4267
022
.
427
617
.
341
183
.
664
789
.
442
Q
h
Q
h
Q
h
Q
h
Q
h
f
f
f
f
f
=
=
=
=
=
Ecuación de energía entre (A – B)
2
1 h
h
E
E f
B
A +
+
=
)
(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
183
.
664
789
.
442
30
183
.
664
789
.
442
50
80
2
2
2
1
2
2
2
1
a
Q
Q
Q
Q
+
=
+
+
=
Ecuación de energía entre (C – D)
4
3 h
h
E
E f
D
C +
+
=
)
(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
022
.
427
617
.
341
20
022
.
427
617
.
341
20
40
2
4
2
3
2
4
2
3
b
Q
Q
Q
Q
+
=
+
+
=
Ecuación de energía entre (A – D)
5
4
1 f
f
D
A h
h
h
E
E +
+
+
=
)
.........(
..........
..........
..........
..........
581
.
4267
022
.
427
789
.
442
60
581
.
4267
022
.
427
789
.
442
20
80
2
5
2
4
2
1
2
5
2
4
2
1
q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
+
+
=
+
+
+
=
)
.......(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
5
2
1 g
Q
Q
Q +
=
)
.......(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
5
3
4 f
Q
Q
Q +
=
)
(
)
(
),
(
),
(
),
( f
g
q
b
a y
ecuaciones
las
De se obtiene:
s
L
Q
S
L
Q
s
L
Q
s
L
Q
s
L
Q /
3
.
77
/
03
.
191
/
7
.
113
/
27
.
129
/
6
.
206 5
4
3
2
1 =
=
=
=
=
34) A través de una tubería fluye agua, dos manómetros instalados en la tubería, en
cuyo extremo existe un tubo de Pitot, tal como se muestra en la figura, se conocen los
siguientes niveles de líquido m
h 01
.
0
1 = y
,
02
.
0
2 m
h = la densidad relativa del mercurio es 13.6 calcular:
a) El diámetro de la tubería
b) La velocidad máxima.
c) La velocidad media
d) La velocidad a una distancia del eje de 0.25m )
/
10
( 2
6
S
m
-
=
n

INGENIERIA CIVIL
**) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de
2500pies de longitud y 0.0174 de coeficiente de fricción, otros dos reservorios C y D están
conectados por una tubería de 4500 pies de longitud y 0.0167 de coeficiente de fricción,
Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una
tubería MN de 3000pies de longitud y 0.0183 de coeficiente de fricción. La distancia
AM=1000pies y ND=2500pies, por la tubería MN discurren 1pie³/s. si el flujo es
turbulento con superficie hidráulicamente rugosa y las tuberías son del mismo material.
Calcular:
a) Los diámetros de las tuberías y sugerir que diámetros comerciales se compran.
b) Los caudales en cada tubería
PROBLEMA 35:
Una turbina Pelton de 0.9m de diámetro tangente al eje del chorro ( diámetro Pelton) posee unas
cucharas que deflectan al chorro de agua un ángulo de 160°. El chorro es de 7.6cm. de diámetro.
Despreciando la fricción, hallar la potencia desarrollada por la rueda y la eficiencia hidráulica
cuando w = 300r.p.m. y la presión antes de la tobera es de 7.05kgf/cm2. Considerar que no hay
perdidas en la tobera.
160°
a) ,
c)

INGENIERIA CIVIL
·
·
· W=300rpm,
H=7.05
·
·

INGENIERIA CIVIL
PROBLEMA 36:
En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuberías (1 y 2) de hierro fundido con
una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego
descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de diámetro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene
una longitud de 500m. Considerando pérdidas por fricción y locales hallar el caudal que discurre
por el sistema y el diámetro del tubo (2).
C o ta = 0 .0 0 m .
B
F ig u ra N ° 0 3
(2 )
C
(1 )
C o ta = 5 .0 0 m .
A
C o ta = 2 0 .0 0 m .
DATOS:
SOLUCIÓN:
1. Analizamos el tramo A-B.
La rugosidad relativa:
Para considerar pérdidas locales en la tubería 1, la relación entre su longitud y diámetro
debe ser menor o igual a 1500.
, en este caso la pérdida local se aproxima a cero: .
De la ecuación de la energía:
De la ecuación de Darcy:
, despejando:
Asumiendo valores del caudal, hallamos el Número de Reynolds y con la relación
, encontramos el valor de f en el diagrama de Moody, con todos los datos hallamos
los valores de . Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla:

INGENIERIA CIVIL
Q(m3/s) x105
Re
f x10-4 fQ2
0,075 4,77 0,0205 1,15
0,08 5,09 0,0205 1,28
0,085 5,41 0,0205 1,5
0,09 5,72 0,0205 1,6
El caudal requerido se halla del gráfico fQ2 vs Q:
De la fórmula obtenida hallamos el caudal Q para .
2. Ahora analizamos el tramo B-C
Como en el tramo A-B debemos saber la relación L/D2 para considerar o no las pérdidas
locales, pero no conocemos el diámetro D2. Observemos la relación para una pérdida local
despreciable:
Para tuberías largas:

INGENIERIA CIVIL
El diámetro de la tubería 2 deberá ser menor o igual a 0.333m.
Realizaremos los cálculos despreciando la pérdida local, en caso de que el diámetro
resulte mayor a 0,33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales.
De la ecuación de la energía:
La velocidad la podemos hallar del caudal:
De la ecuación de Darcy:
…(c)
Teniendo las ecuaciones a,b y c, podemos resolver es sistema asumiendo valores para el
diámetro D, hallamos la relación , el número de Reynolds, con estos dos últimos
valores encontramos el valor de f en el Ábaco de Moody, y finalmente hallamos como
función de f y en la ecuación (c) y como función de la velocidad en la ecuación (a).
Plasmamos todos los datos hallados en la siguiente tabla:

INGENIERIA CIVIL
D(m) /d x105 Re f V(m/s) hf(1) hf(2)
0,2 0,00125 5,497 0,02 2,6625 19,24 4,6387
0,25 0,001 4,398 0,0205 1,704 6,463 4,852
0,3 0,00083 3,665 0,0196 1,1833 2,483 4,9286
0,4 0,00063 2,749 0,0188 0,6656 0,565 4,9774
0,26 0,00096 4,229 0,0191 1,5754 4,95 4,8735
De la tabla, graficamos y vs el diámetro, al intersecar las rectas encontraremos el
valor del diámetro q se busca:
Intersecamos las curvas igualando las ecuaciones y1 y y2:
· El diámetro hallado D2 es igual a 0.26m<0.33m, entonces el procedimiento fue correcto al
despreciar las pérdidas locales.

INGENIERIA CIVIL
PROB 15.- En el sistema de la figura N° 2 se muestra a tres reservorios y una bomba de 180
H.P. de potencia con una eficiencia del 80%, el sistema de tuberías trasporta agua, la presión en
el punto P es 35m. de agua, la válvula V origina una pérdida de 2.05m. de agua y el coeficiente
de Hazem y Williams es 100 √pie /seg. Calcular los caudales en cada tubo y la cota de “B”.
L=2100m.
10m.
C
A
L=2,000m.
5m. L=720m.
Q
P
Bomba
D=24"
D=24"
40m.
cota = ??
D=12"
L=1800m.
D=20"
V
B
Figura N° 02
Solución
Hallando la cota en P:
Entonces asumimos el flujo de P hacia A
Primero vamos que es un flujo turbulento con superficie hidráulicamente rugosa
Dónde: ……………………………(*)
Simplificando:
Remplazando en (*):

INGENIERIA CIVIL
Remplazando tenemos:
Potencia de la bomba:
Deduciendo del grafico tenemos:
Despejando:
Concluimos que es absurdo
OBSERVACIONES:
Con respecto a
v Como la cota A y la cota P. no hay presencia del , ni mucho menos existe la bomba
como se observa en el ejercicio, por ende no existe caudal.
* Bueno si es que existiera la bomba, es decir un caudal entonces:
= 0 lts/s
v Donde luego calculamos mediante la expresión ya obtenida empericamente.
Por ende cota piezométrica en Q=?
* Indeterminado, ecuaciones absurdas
Cota piezométrica en M:
No existe!!
Conclusión:
Por ende:

INGENIERIA CIVIL
Donde:
Posteriormente hallamos conocemos por formula:
Cota reservorio
…. Rpta

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