4

1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Funciones trigonométricas inversas
Recuerda que para que una función tenga inversa debe ser uno a uno. Como las seis funciones
trigonométricas son periódicas y, por tanto, no son uno a uno ninguna de ellas tiene inversa.
Sin embargo, se pueden restringir los dominios de estas funciones de modo que tengan
inversa.
GRÁFICA DEFINICIÓN
El dominio de la función
seno se restringe a:





−
2
,
2


y = sen-1
x  x = sen y
El dominio de la función
coseno se restringida a:
 

,
0
y = cos-1
x  x = cox y

2. El dominio de la función
tangente se restringida a:
2
2




−
x
y = tan-1
x  x = tan y
El dominio de la función
cotangente se restringida
a: (0, )
y = cot-1
x  x = cot y
El dominio de la función
secante se restringida a:
















,
2
2
,
0
y = sec-1
x  x = sec y
El dominio de la función
cosecante se restringida a:













−
2
,
0
0
,
2


y = csc-1
x  x = cscy

3. Derivada de las funciones trigonométricas inversas
Estas fórmulas de derivación, se obtiene fácilmente usando propiedades de funciones
inversas y derivación implícita.
➢ Deducir la fórmula de derivación del seno inverso
Sea x
sen
y 1
−
=
2
1
1
1
´
cos
1
´
1
´
cos
)
(
x
y
y
y
ente
implicitam
derivando
yy
x
seny
propiedad
x
sen
sen
seny
−
=
=
=
=
= −
Teorema Derivada de funciones trigonométricas inversas.
Sea u una función diferenciable de x, entonces:
/
1
2
1
d u
sen u
dx u
−
  =
 
−
/
1
2
cos
1
d u
u
dx u
−
  = −
 
−
/
1
2
tan
1
d u
u
dx u
−
  =
  +
/
1
2
cot
1
d u
u
dx u
−
  = −
  +
/
1
2
sec
1
d u
u
dx u u
−
  =
 
−
/
1
2
csc
1
d u
u
dx u u
−
  = −
 
−
y
1
x
2
1 x
−

4. ➢ Deducir la fórmula de derivación de la secante inversa
Sea x
y 1
sec−
=
1
1
´
tan
sec
1
´
1
´
tan
sec
sec
)
sec(sec
sec
2
1
−
=
=
=


=
= −
x
x
y
y
y
y
ente
implicitam
derivando
y
y
y
x
y
propiedad
x
y
Siguiendo un procedimiento similar, es posible obtener las fórmulas de derivación de las
funciones trigonométricas inversas.
Ejemplo 1
Derivar y = sen-1
3x
( )
2
2
9
1
3
´
3
9
1
1
´
x
y
x
y
−
=
−
=
Ejemplo 2
Derivar y = cot-1
3x2
( )
4
4
9
1
6
6
9
1
1
x
x
y
x
x
y
+
−
=

+
−
=

Ejemplo 3
Derivar y = cot-1
x
x
−
+
1
1
1
1
2
−
x
x
y

5. ( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
)
1
(
2
2
1
2
1
)
1
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
+
−
=

+
−
=







−
+
+
+
+
−
−
−
=







−
+
+
−
−
+
+
−
−
=







−
−
+
−
−
−
+
+
−
=

Ejemplo 4
Derivar y = x · arcsec x2
( ) ( )
2
4
2
4
2
sec
1
2
sec
2
1
1
x
arc
x
y
x
arc
x
x
x
x
y
+
−
=

+
−
=

Ejemplo 5
Derivar y = x · arccsc
x
1
( )
x
arc
x
x
y
x
arc
x
x
x
y
x
arc
x
x
x
x
x
y
x
arc
x
x
x
x
y
1
csc
1
1
csc
1
1
1
csc
1
1
1
1
)
(
1
csc
1
1
1
1
1
2
2
2
3
2
2
2
2
2
+
−
=

+





 −
−
−
=

+





 −
−
−
=

+





 −
−
−
=


6. Ejemplo 6
Derivar y =
x
x
sen
1
1
cos−
−
( )
( )
( )
( )2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
cos
1
cos
cos
cos
1
1
cos
1
1
1
1
cos
x
x
x
sen
x
y
x
x
sen
x
x
y
x
x
x
sen
x
x
y
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=

+








−
=









−
−
−








−
=


7. PRÁCTICA Nº9
Derive cada una de las siguientes funciones trigonométricas inversas.
1. f(x) = sen-1
2x R: y´=
2
4
1
2
x
−
2. f(x) = x2
cos –1
x
2
R: y´=
x
x
x
x 2
cos
2
4
2 1
2
−
+
−
3. f(x) = cos-1
(2-x) R: y´=
3
4
1
2
−
− x
x
4. f(x) = tan-1
3x2
R: y´= 4
9
1
6
x
x
+
5. f(x) = cot-1
4x3
R: y´= 6
2
16
1
12
x
x
+
−
6. f(x) = cot-1
x
x
−
+
2
2
R: y´=
4
2
2
+
−
x
7. f(x) = 2 sec-1
x2 R: y´=
1
4
4
−
x
x
8. f(x) = csc-1
2x3 R: y´=
1
4
3
6
−
−
x
x
9. f(x) = 2
1
1
1
csc x
x
x −
+






−
R: y´= csc-1
x
1
10. f(x) = 3x cot-1
2x R: y´= 2
4
1
6
x
x
+
−
+3cot-1
2x

8. Integrales que conducen a las funciones trigonométricas inversas.
Ejemplos 1
Integre 
 +
=
+ 2
2
2
6
36 x
dx
x
dx
C
x
+
= −
6
tan
6
1 1
Ejemplo 2
Integre 
 −
=
− 2
2
2
)
5
(
5 x
dx
x
dx
C
x
sen +
= −
5
5
1
Teorema: Integrales que involucran funciones trigonométricas inversas.
Sea u una función derivable de x, y sea a > 0.
C
a
u
sen
u
a
du
+
=
−
−

1
2
2
C
a
u
a
u
a
du
+
=
+
−

1
2
2
tan
1
C
a
u
a
a
u
u
du
+
=
−
−

1
2
2
sec
1
dx
du
x
u
a
=
=
= 6
dx
du
x
u
a
=
=
= 5

9. Ejemplo 3
Integre 
 −
=
− 2
2
2
8
64 x
x
dx
x
x
dx
C
x
u
u
du
a
u
u
du
+
=
−
=
−
=
−


8
sec
8
1
8
1
2
2
2
2
Ejemplo 4
Integre 
 −
=
− 2
2
2
)
2
(
3
2
1
4
9 x
dx
x
dx
C
x
sen
u
a
du
+
=
−
=
−

3
2
2
1
2
1
1
2
2
Ejemplo 5
Integre
( ) ( )

 +
=
+ 2
3
2
2
6
2
5
5 x
dx
x
x
dx
x
( )
C
x
C
x
C
x
u
a
du
u
a
du
+
=
+






=
+






=
+
=
+
=
−
−
−


5
tan
15
5
5
tan
5
5
5
3
1
5
tan
5
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
2
2
2
2
dx
du
x
u
a
=
=
= 8
dx
du
dx
du
x
u
a
=
=
=
=
2
2
2
3
dx
x
du
dx
x
du
x
u
a
2
2
3
3
3
5
=
=
=
=

10. Ejemplo 6
Integre dx
e
e
e
dx
e
x
x
x
x

 +
=
+ 2
2
2
2
4
2
)
(
1
1
C
e
u
du
x
+
=
+
=
−

2
1
2
2
tan
2
1
1
2
1
Ejemplo 7
Integre
( )








d
sen
d
sen 
 +
=
+
−
2
2
2
2
2
1
cos
2
1
cos
2
( ) ( )










=
+
=






−
−






=
−
−
=






−
−






=
=
=
+
=
−
−
−
−
−
−
−

2
2
4
2
4
2
1
tan
2
1
tan
2
2
tan
2
2
tan
2
)
(
tan
2
tan
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
sen
sen
sen
u
u
a
du


cos
1
=
=
=
du
sen
u
a
dx
e
du
dx
e
du
e
u
a
x
x
x
2
2
2
2
2
.
1
=
=
=
=

11. Ejemplo 8
Integre
( )

 +
=
+ 2
2
3
ln
0
2
1
1 x
x
x
x
e
dx
e
e
dx
e
12
4
3
tan
tan
tan
0
1
3
ln
1
3
ln
0
1
2
2



=
−
=
−
=
=
+
=
−
−
−

e
e
e
u
a
du
x
Las fórmulas de integración trigonométrica inversa, puede disfrazarse de muchas maneras.
Mostraremos algunas formas típicas en que estas integrales pueden ocultarse e ilustraremos
algunas técnicas para reconocerlas.
Ejemplo 9 Reescribiendo el integrando como una suma de dos cocientes.
Integre dx
x
dx
x
x
dx
x
x


 −
+
−
=
−
+
2
2
2
4
2
4
4
2
C
x
sen
x
C
x
sen
u
dx
x
du
u
+






+
−
−
=
+






+
−
=
−
+
−
=
−
−
−


2
2
4
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
dx
e
du
e
u
a
x
x
=
=
= 1
xdx
du
xdx
du
x
u
=
−
−
=
−
=
2
2
4 2

12. Ejemplo 10 Cuando el integrando es una función racional impropia
Integre  
 +
+
−
=
+
−
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
4
2
12
3
4
2
3
2
2
3
C
x
x
x
dx
x
du
u
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
+






−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
+
−
=
−



 
2
tan
4
ln
6
2
3
2
1
2
1
6
2
3
4
2
4
12
3
1
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplos 11 Cuando hay funciones cuadráticas en el denominador
Integre 
 +
+
−
=
+
− 3
4
4
7
4 2
2
x
x
dx
x
x
dx
( )
C
x
x
dx
+





 −
=
+
−
=
−

3
2
tan
3
1
3
)
2
(
1
2
2
Ejemplo 12
Integre dx
x
x
x
dx
x
x
x

 +
+
−
+
=
+
+
−
13
6
9
6
2
13
6
3
2
2
2
C
x
x
x
dx
x
u
du
dx
x
x
u
du
dx
x
x
dx
x
x
x
+





 +
−
+
+
=
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
−
+
+
+
=
−






2
3
tan
2
9
13
6
ln
2
)
3
(
1
9
4
9
6
1
9
13
6
9
13
6
6
2
1
2
2
2
2
2
2
xdx
du
xdx
du
x
u
=
=
+
=
2
2
4
2

13. Ejemplo 13
Integre 
 +
+
−
+
−
=
−
+ 27
6
3
3
6
27 2
2
x
x
dx
x
x
x
xdx
( )
C
x
sen
x
x
x
dx
u
x
x
dx
u
du
x
x
dx
x
x
dx
x
+
−
+
−
+
−
=
−
−
+
−
=
+
−
−
+
−
=
+
+
−
+
+
+
−
−
=
−





6
3
3
6
27
)
3
(
6
3
2
1
2
1
)
9
6
(
36
3
2
1
27
6
3
27
6
)
3
(
1
2
2
2
2
/
1
2
2
1
2
2
dx
x
du
dx
x
du
dx
x
du
x
x
u
)
3
(
2
)
3
(
2
)
6
2
(
27
6
2
−
=
−
−
−
=
+
−
=
+
+
−
=

14. PRÁCTICA Nº10
Hallar la integral.
1. =
+
 2
36 x
dx
R: c
x
+
−
6
tan
6
1 1
2. =
−
 64
2
x
x
dx
R: c
x
+
−
8
sec
8
1 1
3. =
−
 2
4
9 x
dx
R: c
x
sen +
−
3
2
2
1 1
4. =
+
 6
2
9
25 x
dx
x
R: c
x
+
−
5
3
tan
45
1 3
1
5. =
−
 x
x
e
dx
e
2
1
R: c
e
sen x
+
−1
6. =
+
 x
x
e
dx
e
4
2
1
R: c
e x
+
− 2
1
tan
2
1
7. =
−
 4
49 x
xdx
R: c
x
sen +
−
7
2
1 2
1
8.  +
4
0
2
16
x
dx
= R:
16

9.  −
2
2
0
4
1 x
xdx
= R:
12

10.  −
2
3
2
2
1
x
x
dx
= R:
6

11. =
+
 8
2
2
cos
2
x
sen
xdx
R: c
x
sen
+






−
2
2
2
tan
8
2 1
12. =
−
 x
xdx
2
2
tan
4
1
sec
R: c
x
sen +
−
)
tan
2
(
2
1 1
13. =
+
−
 1
2
)
2
(
2
2
4
x
dx
x
x
R: c
x
x
x
+
+
− −
2
tan
2
2
3
1
3

15. 14. =
+
 x
sen
xdx
sen
4
9
8
4
R: c
x
sen
+








−
3
4
tan
12
1 2
1
15.  −
+
− 3
4
2
x
x
dx
R: c
x
sen +
−
−
)
2
(
1
16. =
−
 4
1 y
ydy
R: +
− 2
1
2
1
y
sen c
17. =
+
−
 5
2
2
y
y
dy
R: c
y
+
−
−
2
1
tan
2
1 1
18.
( ) =
−

−
2
2
1
1 x
dx
x
sen
R: ( ) +
− 3
1
3
1
x
sen c
19. =
−
 64
9 2
x
x
dx
R: c
x
+
−
8
3
sec
8
1 1
20.  +
−
2
1
2
2
2
8
x
x
dx
R:2π
21. 
− −
−
0
1
2
2
3
6
t
t
dt
R:π
22.  +
−
4
2
2
10
6
2
x
x
dx
R:π
23.
( )
 +
+ x
x
x
dx
2
1 2 R: c
x +
+
−
)
1
(
sec 1
24. dx
x
x
x
x
 +
+
−
1
3
4
3
2
2
3
R: c
x
x
x +
+
− −1
2
tan
4
4
2
3
25.  −
+ 2
8
20 x
x
dx
R: c
x
sen +





 −
−
6
4
1

16. Funciones hiperbólicas
En matemáticas y ciencias, es frecuente encontrar ciertas combinaciones de las funciones ex
y e-x
, a las que se le denominan funciones hiperbólicas. Así, las funciones hiperbólicas son
un tipo especial de funciones exponenciales.
Estas funciones se definen como:
GRÁFICA DEFINICIÓN
2
x
x
e
e
senhx
−
−
=
2
cosh
x
x
e
e
x
−
+
=
x
x
x
x
e
e
e
e
x
senhx
x −
−
+
−
=
=
cosh
tanh

17. x
x
x
x
e
e
e
e
senhx
x
x −
−
−
+
=
=
cosh
coth
x
x
e
e
x
hx −
+
=
=
2
cosh
1
sec
x
x
e
e
senhx
hx −
−
=
=
2
1
csc
Derivadas de las funciones hiperbólicas
Dado que las funciones hiperbólicas se pueden expresar en términos de ex
y e-x
entonces, es
fácil obtener las fórmulas de sus derivadas, usando los teoremas ya conocidos.
Dx senhx = Dx 




 − −
2
x
x
e
e
= ( )
 
1
2
1
−
− −x
x
e
e
=  
x
x
e
e −
+
2
1

18. x
e
e x
x
cosh
2
=
+
=
−
En forma similar se puede obtener cada una de las siguientes fórmulas.
La identidad fundamental de las funciones hiperbólicas es cosh2
x - senh2
x= 1, la misma se
puede verificar a partir de la definición de funciones hiperbólicas.
1
4
4
4
2
2
4
2
4
2
cosh
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
−
+
−
+
+
=
+
−
−
+
+
=
−
−
−
−
− x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
e
x
senh
x
De forma similar es posible verificar las siguientes identidades.
Teorema: Derivada de las funciones hiperbólicas.
Sea u una función derivable de x, entonces:
  (cosh ) ´
d
senhu u u
dx
=   2
cot (csch ) ´
d
hu u u
dx
= −
 
cos ( h ) ´
d
hu sen u u
dx
=  
sec (sech tanh ) ´
d
hu u u u
dx
= −
  2
tan (sech ) ´
d
hu u u
dx
=  
csc (csch coth ) ´
d
hu u u u
dx
= −
Identidades Funciones hiperbólicas
2 2
2 2
cosh 1
1 tanh
2 2 cosh
x senh x
x senh x
senh x senhx x
− =
− =
=
2 2
2
2
cosh 2 cosh
cosh 2 1
cosh
2
cosh 2 1
h
2
x x senh x
x
x
x
sen x
= +
+
=
−
=

19. Ejemplo 1
Derive )
3
(
)
( 2
−
= x
senh
x
F
)
3
cosh(
2
)
´(
)
2
)(
3
cosh(
)
´(
2
2
−
=
−
=
x
x
x
F
x
x
x
F
Ejemplo 2
Derive )
ln(cosh
)
( x
x
F =
( )
x
x
F
x
senhx
x
F
senhx
x
x
F
tanh
)
´(
cosh
)
´(
cosh
1
)
´(
=
=
=
Ejemplo 3
Derive )
1
3
(
cosh
)
( 2
−
= x
x
F
)
2
6
(
3
)
´(
)
3
)(
1
3
(
)
1
3
cosh(
2
)
´(
−
=
−
−
=
x
senh
x
F
ángulo
doble
del
identidad
aplicando
x
senh
x
x
F
Ejemplo 4
Derive x
xsenhx
x
F cosh
)
( −
=
x
x
x
F
senhx
senhx
x
x
x
F
senhx
senhx
x
x
x
F
cosh
)
´(
cosh
)
´(
)
cosh
(
)
´(
=
−
+
=
−
+
=

20. Ejemplo 5
Derive )
ln(tanh
2
1
)
( x
x
F =
( )
x
senhx
x
F
senhx
x
x
F
x
h
x
x
F
cosh
2
1
)
´(
cosh
1
cosh
2
1
)
´(
sec
tanh
1
2
1
)
´(
2
2
=


















=












=
x
h
x
F
x
senh
x
F
2
csc
)
´(
2
1
)
´(
=
=
Ejemplo 6
Derive t
h
t
y tan
2
=
( ) ( )
















+
=
t
t
h
t
t
h
t
y
2
1
sec
tan
2
1
2
' 2
( )
















+
=
t
t
h
t
t
t
h
y
2
1
sec
2
tan
2
' 2
t
h
t
t
h
y 2
sec
tan
´ +
=
Ejemplo7
Derivar ( )
x
h
sen
y 2
ln
=
( )
( )
2
2
cos
2
1
' x
h
x
h
sen
y =
( )
2
2
2
cos
'
x
h
sen
x
h
y =
x
h
y 2
cot
2
' =

21. Ejemplo 8
Derivar x
h
e
y x
sec
3
=
( ) ( )
x
h
x
h
e
x
h
e
y x
x
tan
sec
sec
3
' 3
3
−
+
=
x
h
e
x
h
e
y x
x
tan
sec
sec
3
' 3
3
−
=
( )
x
h
x
h
e
y x
tan
3
sec
' 3
−
=

22. PRÁCTICA Nº11
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones.
1. x
senhx
y cosh
2
4 −
= R: senhx
x
y 2
cosh
4
´ −
=
2. x
x
y cosh
= R:  
xsenhx
x
x
x
y x
ln
cosh
´ 1
cosh
+
= −
3.
x
x
y 2
tanh
1
cosh
3
+
+
= R: 2
2
2
2
)
tanh
1
(
)
cosh
3
(
tanh
sec
2
)
tanh
1
(
´
x
x
x
x
h
x
senhx
y
+
+
−
+
=
4. 4
cosh2
2
+
−
= x
x
senh
y R: 0
´=
y
5. x
x
senh
y 2
2
cosh
+
= R: x
senh
y 2
2
´=
6.
x
senhx
y
cosh
1
1
+
+
= R: 2
)
cosh
1
(
1
cosh
´
x
senhx
x
y
+
+
−
=
7. x
x
y tanh
= R: x
h
x
x
y 2
sec
tanh
´ +
=
8.
x
x
x
senhx
y
cosh
+
= R:
x
xsenhx
x
x
senhx
x
x
y 2
2
cosh
cosh
cosh
´
−
+
−
=
9. x
x
senxsenhx
y cosh
cos
+
= R: x
senhx
y cos
2
´=
10. x
senhx
x
senx
y cosh
cos +
= R: x
x
y 2
cos
2
cosh
´ +
=
11. x
x
senhx
x
y cosh
3
2
−
= R: )
cosh
(
3
)
cosh
2
(
´ x
xsenhx
x
x
senhx
x
y +
−
+
=
12. senhx
x
x
y )
1
2
3
( 2
+
−
= R: )
1
2
3
(
cosh
)
2
6
(
´ 2
+
−
+
−
= x
x
x
x
senhx
y
13. senhx
e
x
e
y x
x −
+
= cosh
2
R:  
)
(cosh
)
cosh
2
(
1
´ 3
senhx
x
x
senhx
e
e
y x
x
−
+
+
=
14. x
x
senh
y x
x 3
2
cosh
3
2 +
= R: )
3
cosh
3
(ln
cosh
3
)
2
2
(ln
2
´ 2
2
senhx
x
x
x
senh
x
senh
y x
x
+
+
+
=
15. )
(ln
cosh
)
(ln 2
2
x
x
senh
y +
=
R:
x
x
senh
y
)
ln
2
(
2
´=

23. Integrales de las funciones hiperbólicas
Ejemplos 1
Integre du
u
dx
x
senh
x 
 = 2
2
2
1
·
2
·
2
cosh
C
x
senh
C
u
C
u
+
=
+
=
+








=
6
2
6
1
3
2
1
3
3
3
Ejemplo 2
Integre dx
x
h
xdx )
sec
1
(
tanh 2
2

 −
=
C
x
x
xdx
h
dx
+
−
=
−
=  
tanh
sec 2
Ejemplo 3
Integre 

−
=
− du
sehu
dx
x
senh
2
1
)
2
1
(
C
x +
−
−
= )
2
1
cosh(
2
1
dx
x
du
dx
x
du
x
senh
u
2
cosh
2
2
cosh
2
2
=
=
=
dx
du
dx
du
x
u
=
−
−
=
−
=
2
2
2
1
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas
Sea u, una función diferenciable de x.
2
cosh
cosh
sech tanh
senhudu u C
udu senhu C
udu u C
= +
= +
= +



2
csch coth
sech tanh sech
csch coth csch
udu u C
u udu u C
u udu u C
= − +
= − +
= − +




24. Ejemplo 4
Integre du
u
dx
x
senh
x 
 =
−
− 2
2
)
1
(
)
1
(
cosh
C
x
c
u
+
−
=
+
=
3
)
1
(
cosh
3
3
3
Ejemplo 5
Integre dx
x
senhx
dx
x
senh
senhx

 =
+ 2
2
cosh
1
C
hx
C
x
C
u
C
u
du
u
u
du
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
=
=
−
−


sec
cosh
1
1
1
1
2
2
dx
x
senh
du
x
u
)
1
(
)
1
cosh(
−
=
−
=
dx
senhx
du
x
u
=
= cosh

25. PRÁCTICA N°12
Hallar la integral
1. =
 dx
x
senh3 R: c
x +
3
cosh
3
1
2. =
+
 dx
x
h )
3
1
(
csc 2
R: c
x +
+
− )
3
1
coth(
3
1
3.  =
dx
x
x
h 2
tanh
2
sec R: c
x
h +
− 2
sec
2
1
4.  =
− dx
x
senh )
2
1
( R: c
x +
−
− )
2
1
cosh(
2
1
5. =
 dx
x
x
cosh R: c
x
senh +
2
6. =
−
−
 dx
x
senh
x )
1
(
)
1
(
cosh2
R: c
x +
− )
1
(
cosh
3
1 3
7. =
−
 dx
x
h )
1
2
(
sec 2
R: c
x +
− )
1
2
tanh(
2
1
8. =
 dx
x
h
x
2
csc
2
2
R: c
x
+
−
2
coth
2
9.  =
dx
x
x
h tanh
sec 3
R: c
x
h +
− 3
sec
3
1
10. =












 dx
x
x
x
h
2
1
coth
1
csc R: c
x
h +
1
csc
11. =
 dx
x
x
senh cosh
4
R: c
x
senh +
5
5
1
12. =
 dx
senhx
x
x 2
2
2
cosh R: c
x +
2
3
cosh
6
1
13. =
 dx
x
h
x 3
2
2
csc R: c
x +
− 3
coth
3
1
14. =
 dx
x
h2
csc R: coth x
15. =
 dx
x
tanh R: c
x +
)
ln(cosh

26. Funciones hiperbólicas inversas
Las funciones hiperbólicas inversas también pueden expresarse en términos de logaritmos
naturales. Esto no debe causar sorpresa porque las funciones hiperbólicas se definieron en
términos de la función exponencial natural, que es la inversa de la función logaritmo natural.
GRÁFICA DEFINICIÓN
y = senh-1x  x= senhy
( )
1 2
ln 1
senh x x x
−
= + +
y = cosh-1x  x= coshy
( )
1 2
cos ln 1
h x x x
−
= + −
y = tanh-1x  x= tanhy
1 1 1
tanh ln
2 1
x
x
x
− +
=
−

27. y = coth-1x  x= cothy
1 1 1
coth ln
2 1
x
x
x
− +
=
−
y = sech-1x  x= sechy
2
1 1 1
sech ln
x
x
x
−
 
+ −
=  
 
 
y = csch-1x  x= cschy
2
1 1 1
csch ln
x
x
x x
−
 
+
= +
 
 
 

28. Derivada de las funciones hiperbólicas inversas
Ejemplo 1
Derive ( )
1
3
coth
)
( 1
+
= −
x
x
f
( )
( )
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
2
3
1
)
´(
2
3
3
3
)
´(
1
6
9
1
3
)
´(
3
)
1
3
(
1
1
)
´(
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
−
−
−
=
+
−
=
Ejemplo 2
Derive 2
1
2
)
( x
senh
x
x
f −
=








+
+
=
+
+
=
−
−
2
1
4
2
2
1
4
2
1
2
)
´(
2
)
2
(
1
1
)
(
)
´(
x
senh
x
x
x
x
f
x
xsenh
x
x
x
x
f
Teorema: Derivada de funciones hiperbólicas inversas
Sea u una función derivable de x.
1
2
1
´
1
d
senh u u
dx u
−
  =
 
+
1
2
1
coth ´
1
d
u u
dx u
−
  =
  −
1

u
1
2
1
cosh ´
1
d
u u
dx u
−
  =
 
−
1

u 1
2
1
sech ´
1
d
u u
dx u u
−
  = −
 
−
1
0 
 u
1
2
1
tanh ´
1
d
u u
dx u
−
  =
  −
1

u 1
2
1
csch ´
1
d
u u
dx u u
−
  = −
 
+
0

u

29. Ejemplo 3
Derive 1
2
cosh
)
( 1
+
= −
x
x
f
1
3
4
1
)
´(
1
1
)
1
(
4
1
)
´(
1
1
1
)
1
(
4
1
)
´(
+
+
=
+
−
+
=






+
−
+
=
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
Ejemplo 4
Derive x
h
x
x
x
f 1
2
sec
1
ln
)
( −
−
+
=
( )
2
1
2
1
2
2
1
sec
)
´(
2
1
2
sec
1
1
1
1
)
´(
x
x
h
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
x
x
f
−
−
=
−
−
+








−
−
−
+
=
−
−

30. PRÁCTICA Nº 13
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones.
)
(
)
(
.
1 2
1
x
senh
x
f −
= R:
1
2
´
4
+
=
x
x
y
)
3
2
(
tanh
)
(
.
2 1
+
= −
x
x
f R:
)
2
3
(
2
1
´ 2
+
+
−
=
x
x
y
)
3
(
cosh
)
(
.
3 1
x
x
x
f −
= R: x
x
x
y 3
cosh
1
9
3
´ 1
2
−
+
−
=
)
ln(cosh
)
(
.
4 1
x
x
f −
= R:
x
x
y
1
2
cosh
1
1
´
−
−
=
)
(tan
)
(
.
5 1
x
senh
x
f −
= R: x
y sec
´=








= −
2
tanh
)
(
.
6
2
1 x
x
x
f R:
2
tan
4
4
´
2
1
4
2
x
x
x
y −
+
−
=
3
2
1
)
(coth
)
(
.
7 x
x
f −
= R: 4
2
2
1
1
)
(coth
6
´
x
x
x
y
−
=
−
1 2
8. ( ) ( )
x
f x senh e
−
= R:
1
2
´
4
2
+
=
x
x
e
e
y
)
(ln
cosh
)
(
.
9 1
x
x
f −
= R:
1
ln
1
´
2
−
=
x
x
y
2
1
1
)
(
.
10 x
x
xsenh
x
f +
−
= −
R: x
senh
y 1
´ −
=
x
x
x
x
f 1
2
tanh
1
ln
)
(
.
11 −
+
−
= R: x
y 1
tanh
´ −
=
x
senh
x
f 1
)
(
.
12 −
= R:
)
1
(
2
1
´
x
x
y
+
=
.
coth
)
1
(
)
(
.
13 1
x
x
x
f −
−
= R: x
x
y 1
coth
2
1
´ −
−
−
=

31. Integrales producen funciones hiperbólicas inversas
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas inversas
Sea u una función derivable de x.
C
a
u
senh
du
a
u
+
=
+
−

1
2
2
1
C
a
u
a
du
a
u
+
−
=
−
−

1
2
2
coth
1
1
C
a
u
du
a
u
+
=
−
−

1
2
2
cosh
1
C
a
u
h
a
du
u
a
u
+
−
=
−
−

1
2
2
sec
1
1
C
a
u
a
du
u
a
+
=
−
−

1
2
2
tanh
1
1
C
a
u
h
a
du
u
a
u
+
−
=
+
−

1
2
2
csc
1
1
Teorema: Integrales de las funciones hiperbólicas inversas, en términos
de la función ln
Sea u una función derivable de x.
C
a
u
u
du
a
u
+

+
=

 )
ln(
1 2
2
2
2
C
u
a
u
a
a
du
u
a
+
−
+
=
−
 ln
2
1
1
2
2
C
a
u
a
u
a
du
a
u
+
+
−
=
−
 ln
2
1
1
2
2
C
u
u
a
a
a
du
u
a
u
+







 
+
−
=


2
2
2
2
ln
1
1

32. Ejemplos 1
Integre 
 −
=
− 2
2
2
2
3
3
1
9
4 u
u
du
x
x
dx
c
x
x
u
u
du
+







 −
+
−
=
−
= 
3
9
4
2
ln
2
1
2
2
2
2
Ejemplos 2
Integre
( )

 −
=
− 2
2
2
5
2
1
4
5 u
du
x
dx
c
x
x
c
x
x
+
−
+
=
+
−
+






=
2
5
2
5
ln
5
4
1
2
5
2
5
ln
5
2
1
2
1
Ejemplos 3
Integre 
 +
=
+ 2
1
2
1 u
du
x
x
dx
c
x
x +
+
+
= )
1
ln(
2
a =2
u =3x
dx
du
=
3
a = 5
u =2x
dx
du
=
2
dx
x
du
dx
x
du
x
u
a
1
2
2
1
1
=
=
=
=

33. Ejemplos 4
Integre 
 +
+
−
−
=
+
−
− 1
1
2
)
1
(
2
2
)
1
( 2
2
x
x
x
dx
x
x
x
dx
c
x
x
x
u
u
du
x
x
dx
+
−
+
−
+
−
=
+
=
+
−
−
=


1
2
2
1
ln
1
1
)
1
(
)
1
(
2
2
2
dx
du
x
u
a
=
−
=
=
1
1

34. PRÁCTICA Nº14
Hallar la integral.
1. =
+
 2
4 x
dx R: c
x
x +
+
+ )
4
ln( 2
2. =
−
 2
25 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
5
5
ln
10
1
3. =
−
 1
4
x
xdx
R: c
x
x +
−
+ )
1
ln(
2
1 4
2
4. =
+
 9
25 2
x
dx
R: c
x
x +
+
+ )
9
25
5
ln(
5
1 2
5. =
−
 2
1 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
1
1
ln
2
1
6. =
+
 2
16 x
dx R: c
x
x +
+
+ )
16
ln( 2
7. =
+
−
 17
2
2
x
x
dx R:   c
x
x
x +
+
−
+
− )
17
2
)
1
(
ln 2
8. =
+
 x
e
dx
2
1 R: c
e
e
x
x
+







 +
+
−
2
1
1
ln
9. =
+
 x
x
dx
1
R: c
x
x +
+
+ )
1
ln(
2
10. =
+
−
−
 2
2
)
1
( 2
x
x
x
dx
R:
( )
c
x
x
+








−
+
−
+
−
1
1
1
1
ln
2
11. =
−
 2
9
4 x
dx
R: c
x
x
+
−
+
3
2
3
2
ln
12
1
12. =
−
−
 2
2
4
1 x
x
dx
R:
( )
( )
c
x
x
+
+
+
+
+
3
1
2
3
1
2
ln
6
2
1
13. =
−
−
 dx
x
x 2
4
1
R: c
x
x
+
− 4
ln
4
1