Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Estructuras I

1. ESTRUCTURAS I
CAPITULO I
1.1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL
1.1.2 GENERALIDADES
El objetivo primordial que se persigue, es iniciar al estudiante de ingeniería
civil y afines en el análisis estructural, por lo tanto antes de todo, debemos definir
lo que es un sistema estructural. En general es la armazón o por decirlo
figuradamente el esqueleto de una edificación. Se puede también decir que es una
sucesión de cuerpos o elementos interconectados o ensamblados, con el objeto de
resistir un conjunto de acciones o cargas o perturbaciones específicas según sea
requerido. El punto de conexión entre dos o más elementos de un sistema estructural
se le denomina junta o nodo, aunque en algunas ocasiones un mismo elemento se
puede subdividir en varios subelementos y así se obtienen nodos y elementos
adicionales.
El análisis estructural tiene como objetivo fundamental determinar, por
medio de procedimientos o modelos matemáticos, todos las fuerzas internas y
desplazamientos que se producen en un sistema estructural, como consecuencia de
acciones externas, que puedan actuar sobre él. Las fuerzas internas son: momentos
de flexión y torsión, fuerzas de corte y axial; Las acciones externas las podemos
agrupar en tres tipos: Las cargas propias o también llamadas muertas o permanentes
del sistema; las cargas variables o llamadas también vivas que debe soportar el
sistema como son: personas, equipos, muebles, nieve, etc. y las cargas especiales
tales como las dinámicas por sismos, viento y maquinarias; las del terreno, por
líquidos o cualquier fluido; por cambios de temperatura, por errores de fabricación y
construcción, asentamientos, etc. Las cargas vivas y especiales se les agrupa en lo
que se llaman sobrecargas, y estas pueden actuar de una manera menos permanente
en el tiempo u ocasionalmente y de magnitudes no constantes en el tiempo.

2. El análisis y diseño estructural forman el ciclo fundamental de la ingeniería
estructural para optimizar cualquier sistema estructural. Este ciclo sigue el proceso:
1º) Diseño preliminar o predimensionado de sus elementos, 2º) Análisis estructural,
que consiste en obtener las fuerzas internas máximas para las diferentes acciones y
combinaciones de ellas, llamada envolvente, 3º) Diseño revisado mediante la
verificación de que si las fuerzas internas máximas serán soportadas por el sistema,
de no ser esto se aumentan las dimensiones (Está bajodimensionado) de las
secciones insuficientes. De tal manera que si son resistidas pero de una manera
excesiva (Está sobredimensionado) se disminuyen las secciones. Las secciones
mínimas están definidas por norma o construcción, de tal manera que si una sección
puede seguir disminuyéndose solo podemos hasta estas secciones mínimas. 4º)
Comparación con el diseño previo, de tal manera que si el diseño anterior no es
suficientemente similar al revisado volvemos a un nuevo análisis para el último
diseño, para obtener otro nuevo diseño. Este procedimiento se sigue hasta que el
último diseño revisado sea bastante similar al anterior a él. Este último diseño se
llama óptimo. El diseño óptimo es aquel que cumple en lo posible las siguientes
condiciones: a) Las fuerzas internas máximas o envolvente de fuerzas, son muy
similares a las fuerzas que puede resistir cada elemento del sistema. c) Sus
dimensiones son lo más pequeñas posible, por norma y por resistencia. c) Se
estandarizan algunos elementos con dimensiones iguales para facilitar su
construcción e inspección.
1.2 TIPOS DE SISTEMAS ESTRUCTURALES
Existen numerosos sistemas estructurales, a continuación señalaremos los
más usuales como son: a) Los pórticos o marcos que pueden ser planos o espaciales
(En el espacio de tres dimensiones). Sus componentes o elementos trabajan o
resisten las acciones externas fundamentalmente por deformaciones a flexión.. Están
formados por elementos horizontales y verticales, llamados vigas y columnas
respectivamente. Estos elementos tienen dos dimensiones pequeñas comparadas con
la tercera, llamada eje del elemento. Esta línea une los dos extremos del miembro
siguiendo el punto medio del eje neutro de la llamada sección transversal, que es

3. perpendicular a este eje. En algunas ocasiones a estos pórticos se les incluyen
elementos inclinados entrelazando algunos nodos de diferente altura, llamados
diagonales y a este sistema se le denomina pórticos diagonalizados. Estas diagonales
se colocan para reducir los desplazamientos horizontales en pórticos relativamente
altos, de tal manera que estos elementos adicionales trabajan fundamentalmente por
deformación axial. b) Armaduras, celosías o cerchas, formados por dos hileras de
elementos, llamadas cordones, enlazados por elementos perpendiculares e
inclinados a ellas, llamados montantes y diagonales respectivamente. Si la armadura
es horizontal o inclinada los cordones se llaman por su ubicación cordón superior y
cordón inferior. c) Muros estructurales o simplemente muros o pantallas. Son
elementos que tienen una dimensión mucho mas pequeña que las otras dos. Estos
elementos resisten las acciones por deformaciones a flexión y corte. d) Parrillas o
entramados que generalmente son horizontales pero pueden ser verticales o
inclinadas, ubicadas en un plano perpendicular a las cargas o acciones que debe
resistir y formadas por dos grupos de hileras de elementos aproximadamente
perpendiculares entre si. e) Sistemas mixtos, formados por la combinación de dos o
más sistemas, como por ejemplo pantalla con pórticos. f) Sistemas especiales para
diferentes tipos de edificaciones como son: Torres de transmisión eléctrica,
formadas por armaduras; sistema de tubo en tubo, fachada o periferia reforzada,
bóvedas cilíndricas o esféricas (Domos).
Los elementos de una sistema pueden ser de acuerdo a la línea que sigue su
eje, curvos o rectos. Dentro de los curvos los mas usados son los arcos que pueden
ser parabólicos, circulares y en catenaria, vigas en cajón, vigas T, vigas doble T,
vigas I, vigas H, vigas en celosía.
1.3 SIMBOLOGÍA PARA EL MODELADO EN ANALISIS ESTRUCTURAL
Las estructuras suelen modelarse representando sus elementos por medios de
líneas continuas que siguen sus ejes longitudinales y los apoyos suelen
representarse de la siguiente manera:

4. I) De rodillos
O lo que es lo mismo
Estos apoyos permiten uno o dos desplazamientos lineales y de uno a tres
desplazamientos angulares o simplemente rotaciones. Solo impiden el movimiento
en la dirección perpendicular al o los desplazamientos permitidos.
II) De articulaciones o rótulas
O lo que es lo mismo
O también
Estos apoyos no permiten desplazamientos lineales y solo permiten uno a
tres desplazamientos angulares o simplemente rotaciones.
III) Los rígidos o empotramientos
Estos apoyos no permiten ningún tipo de desplazamiento lineal
ni angular.
IV) Empotramiento móvil. Estos solo permiten uno o dos desplazamientos
lineales.
Las juntas o nodos pueden ser:
I) Articuladas; permiten desplazamientos angulares distintos entre los
miembros que llegan

5. II) Continuas o rígidas; todos los miembros que llegan a ella tienen los
mismos desplazamientos lineales y angulares
III) Empotradas móviles; Permiten que los dos miembros que llegan a ella
tengan uno o dos desplazamientos lineales distintos. Los desplazamientos angulares son
iguales para todos los miembros que llegan a ella.
IV) Mixtas; combinan dos o más de las anteriores
*
*
*distancias muy pequeñas, en el análisis o cálculo se le considera como de valor cero.
En el análisis estructural usual consideraremos elementos que tienen una
dimensión, que sigue una línea recta o curva, mucho más grande que las otras tres. De lo
indicado en este punto y los anteriores de este capítulo podemos decir que el elemento o
miembro estructural que utilizaremos esta definido geométricamente por tres
aspectos físicos: 1) Sus dos extremos con sus correspondientes coordenadas, que
coinciden con las juntas a que llegan; 2) La ecuación de la línea que define su eje
longitudinal, esta puede ser una línea recta, o aproximadamente recta, o curva, o
combinación de ellas y 3) La ecuación o ley de variación de la sección transversal, que es
perpendiculares cada punto de su eje longitudinal. Esta sección transversal puede ser de
sección constante como es: rectangular, cuadrada, o de cualquier forma y de sección

6. variable en un tramo o a lo largo del eje. También podemos concluir que el concepto de
junta o nodo y el de elemento o miembro son arbitrarios, ya que se puede definir cualquier
punto de la estructura como junta, pero para simplificar el cálculo se definen la menor
cantidad posible. Existen otros tipos de elementos de forma regular e irregular, que
pueden tener mas de dos extremos, en el plano o en el espacio, como son elementos
triangulares, rombos, rectangulares, piramidales, etc. con tres o más extremos. El
estudio de estos elementos más complejos se hace por el método de los elementos finitos.
Nuestro estudio se considera como un caso particular del método de los elementos
finitos.
1.4 HIPOTESIS UTILIZADAS EN LOS MODELOS DE ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
Los principios, teorías e hipótesis fundamentales utilizadas en los modelos matemáticos
de análisis estructural son los siguientes:
1º) El material es homogéneo, isótropo, contínuo, es decir, todo el material
es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las
direcciones, no tiene oquedades
2º) El comportamiento del material es lineal elástico, es decir, sigue al Ley de
Hooke. Esta nos dice que la relación entre el esfuerzo , y la deformación , como
resultado de una carga aplicada sobre una muestra de material es constante, y esta constante
de proporcionalidad se llama módulo de Elasticidad E. En caso contrario se dice que es
inelástico o elástico no lineal. Esta suposición trae como consecuencia que al ser sometido
un sistema estructural a un sistema de cargas, y al descargarlo el sistema estructural regresa
a la posición original, siguiendo la misma trayectoria de esfuerzos deformación..
Otros tipos de comportamiento son: a) Elástico no lineal; similar al lineal elástico
excepto que la trayectoria de regreso de la recta esfuerzo deformación tiene otra constante
de proporcionalidad. b) Inelástico lineal; en este la relación esfuerzo deformación no es
constante a medida que aumenta la carga, pero en el proceso de descarga sigue la misma
trayectoria. c) Inelástico no lineal; en este la relación esfuerzo deformación no es constante
en el tiempo y en el proceso de descarga no sigue la misma trayectoria. A continuación se
muestran diagramas de esfuerzos deformación tipos para estos materiales:

7. Elástico Inelástico
Lineal Lineal
Elástico Inelástico
No lineal No lineal
2º) Principio de Superposición de los efectos. Es una consecuencia del
comportamiento lineal elástico. Se enuncia así “ La respuesta de un sistema estructural,
debido a un sistema o grupo de cargas que se aplican sobre él simultáneamente, es igual a
la suma de las respuestas de cada carga individual aplicándola por separado”. Ejemplo:
= +
O también:
= + +

8. 3º) Teoría de los desplazamientos pequeños. Esta supone que los desplazamientos de
la estructura debido a las cargas o acciones actuantes sobre ella son tan pequeños que la
forma de la estructura permanece sin variar antes y después de la aplicación de las
cargas para efectos de cálculo. Por supuesto que en la realidad siempre al aplicar las cargas
a la estructura esta se deformara, pero esta cambio de forma no se aprecia a simple vista,
mientras que las cargas no sean lo suficientemente grandes para deformarla
apreciablemente. Usualmente las deformaciones de una estructura son hasta una dos
órdenes de magnitud (10 –2
) de una dimensión característica. Se dice que es una “teoría de
primer orden”, al tomar en cuenta solo los efectos de primer orden (primer grado), como
son las derivadas de primer orden y la integración de ellas. Los efectos de segundo orden y
superiores, como son: el pandeo, que en elementos esbeltos y sometidos a grandes cargas
no serán despreciables, y el cortante o corte, que para miembros de gran peralte o altura
pueden ser importantes y no despreciables también.
Si la estructura ö algún miembro de ella cambia de forma desplazándose o
deformándose de una manera significativa se dice que es “Geométricamente no lineal,
como son los cables y el pandeo de miembros esbeltos.
Para un elemento estructural en el plano de una estructura sometida a carga, la curva de
su deformación o curva elástica será una función cualquiera y = f(x) de tal manera que la
expresión matemática para su radio de curvatura R es según:
R = (1+(dy/dx)2
) 3
/ (d2
y/dx2
) ................................ (1-1)
Si los desplazamientos son pequeños la pendiente de la cura dy/dx es muy pequeña, es
decir, mucho menor que 1, despreciable en esta expresión de R, por lo tanto se puede
expresarse R según:
R = 1/ (d2
y/dx2
) ......................................................... (1-2)
La curvatura, , definida como el inverso del radio de curvatura será la segunda derivada
de la curva elástica:
= 1/R = d2
y/dx2
........................................................ (1-3)

9. De resistencia de los materiales sabemos que en la teoría de flexión se tiene la siguiente
relación:
Mx / (E Izz ) = dy2
/ dx2
........................................................ (1-4)
Donde: Mx = Momento en punto de coordenada x; E = Módulo de Elasticidad del
material e Izz = Momento de inercia de la sección transversal en el punto de coordenada x
con respecto a un eje perpendicular a los ejes x y al de la deformada y.
Por lo tanto de acuerdo a estas expresiones (1-3) y (1-4) por tanto la curvatura de la
deformada de un elemento, según la teoría de los desplazamientos pequeños, es igual a la
del momento en cada punto afectada por un factor, 1 / (E Ixx), que puede ser constante o
variable a lo largo del elemento.
1.5 EQUILIBRIO E INDETERMINACION
1.5.1 CONCEPTO DE EQUILIBRIO ESTATICO
Se dice que un cuerpo se encuentra en estado de equilibrio estático, sí inicialmente
está en reposo y así permanece a medida que se le aplican cargas. Para el caso de
estructuras o sistemas estructurales como por el ejemplo el de edificaciones usuales, esto es
un estado idealizado, porque siempre ocurre algún movimiento aunque muy pequeño, que
se hace imperceptible e inapreciable, por esto consideramos la hipótesis de las
deformaciones pequeñas. Si ocurre algún movimiento apreciable o perceptible, se dice que
la estructura estará en estado de equilibrio dinámico. Solo nos ocuparemos del equilibrio
estático como el análisis o cálculo estructural. El equilibrio dinámico se considera en el
cálculo o análisis estructural dinámico.
1.5.2 ECUACIONES BASICAS DEL EQUILIBRIO ESTATICO
Un cuerpo en el espacio de dos dimensiones (x,y) estará en equilibrio estático
satisface las siguientes tres ecuaciones de estática:
Fx = 0 ; sumatoria de todas las fuerzas o componentes de ellas en la dirección x
debe ser igual a cero. ..........................(2.1a)
Fy = 0 ; sumatoria de todas las fuerzas o componentes de ellas en la dirección y
debe ser igual a cero. ............. (2.1b)
M = 0 ; sumatoria de todos los momentos de las fuerzas o componentes de ellas
alrededor de un punto o conveniente cualquiera en el plano x,y debe ser cero. .... (2.1c)

10. También podemos expresar el equilibrio en forma vectorial con las expresiones:
)
2
.
2
.......(
0 a
F )
2
.
2
.......(
0 b
M
Donde F y M son vectores fuerza y momento respectivamente, que en el espacio
tridimensional cartesiano (x,y,z) pueden expresarse como:
)
3
.
2
......(
ˆ
ˆ a
k
F
j
F
i
F
F z
y
x )
3
.
2
......(
ˆ
ˆ
ˆ b
k
M
j
M
i
M
M z
y
x
En las cuales k
j
i ˆ
,
ˆ
,
ˆ son los vectores unitarios en las direcciones x,y,z
respectivamente. Las expresiones (2.2a y b) representan seis ecuaciones en el espacio
tridimensional al descomponerlas en cada dirección, es decir:
)
4
.
2
.(
;.........
0
;
0
;
0
;
0
;
0
;
0 z
y
x
z
y
x M
M
M
F
F
F
Como se puede observar en el espacio bidimensional (Plano), las fuerzas solo tienen
dos componentes y los momentos un solo componente, por en este caso resultan solo tres
ecuaciones en lugar de seis, como pueden ser en el plano x,y:
0
;
0
;
0 z
y
x M
F
F o simplemente 0
M que es la suma de
momentos de las fuerzas con respecto a un punto cualquiera del plano. El plano puede ser
cualquier plano con dos ejes perpendiculares entre sí.
En el espacio de dos dimensiones (Plano) y siendo “o” el Centro u Origen de
Coordenadas puede sustituirse una de las dos ecuaciones de 0
F por una ecuación de
momentos en un punto i, 0
i
M , de tal manera que la línea oi no sea perpendicular a la
dirección de la ecuación sumatoria de fuerza que queda. También pueden sustituirse las dos
ecuaciones de suma de fuerzas por dos ecuaciones de momentos, 0
;
0 k
j M
M , de
tal manera que los tres puntos o, j y k no estén alineados en la misma dirección. Veamos el
siguiente ejemplo:
y
C Sistema de ecuaciones válidas: 0
;
0
;
0 A
y
x M
F
F

11. o x 0
;
0
;
0 A
C
x M
M
F
B A 0
;
0
;
0 A
y
C M
F
M
0
;
0
;
0 A
C
B M
M
M
Sistema de ecuaciones inválidas: 0
;
0
;
0 A
y
B M
F
M
0
;
0
;
0 A
y
o M
F
M ; 0
;
0
;
0 A
o
B M
M
M
Las convenciones usuales de signo son:
Para las fuerzas, representadas con una línea con punta de flecha con dirección y
sentido cualquiera, , sus componentes en la dirección de los ejes de
referencia seleccionados son positivas (+) si estas siguen los sentidos de estos ejes.
Para Los momentos , representados por una doble línea con punta de flecha que siguen
una dirección y sentido cualquiera, , sus componentes serán positivas (+) si giran
siguiendo la regla del tirabuzón o del pulgar mano derecha coinciden con el sentido del eje
correspondiente.
Z Z
Fz (+) Mz (+)
k̂ ĵ Fy (+) k̂ ĵ My (+)
Y
Fx (+) i
ˆ i
ˆ
Mx (+)
X X
El conjunto de ecuaciones de equilibrio para un cuerpo o sistema estructural en
equilibrio estático pueden expresarse de una manera matricial como:
(2-5) P
F
B Matriz del tipo vector vertical, que dependa de las fuerzas y/o
momentos aplicados.
Matriz del tipo vector vertical de fuerzas y/o momentos incógnitas.
Matriz estática, premultiplicando cada miembro de la ecuación anterior (2-5) por la
inversa de la matriz
1
B se obtiene que:

12. (2-6) P
B
F
1
De tal manera que si el número de ecuaciones o filas es igual al
número de incógnitas o Columnas, es decir es cuadrada, y su determinante es distinto de
cero 0
B , entonces el sistema tiene solución para cualquier distribución de cargas, y si
es cero será inestable.
1.5.4 INESTABILIDAD GEOMETRICA
La inestabilidad geométrica en una estructura ocurre cuando las fuerzas externas
que sostienen o sirven de apoyo a un cuerpo, llamadas fuerzas en los apoyos, no son
capaces de impedir o prevenir el movimiento si es sometida a una distribución de carga
arbitraria.
Cuando un cuerpo está soportado por barras articuladas en ambos extremos y si estas no
soportan cargas, la dirección de la fuerza o reacción del soporte es la misma que la de ella,
como por ejemplo:
C D
RB’
RA’ B
RA A RB
Como en todo vínculo articulado en el plano, hay dos componentes de reacción
perpendiculares entre sí, las componentes perpendiculares a la dirección de cada barra (RA’
y RB’) resultan iguales a cero, al tomar momentos en los extremos articulados con el
cuerpo, C y D, respectivamente hacia la articulación de los apoyos respectivos, de C para A
y de D para B), es decir:
'
0 A
A
C R
M x LCA Por lo tanto RA’ = 0
'
0 B
B
D R
M x LCA Por lo tanto RB’ = 0

13. A continuación unos ejemplos de inestabilidad geométrica:
(b)
(b) (b)
(a)
(b)
(b)
Cuando las líneas de acción de las reacciones son concurrentes, los casos (a), y cuando
son paralelos, los casos (b), el cuerpo es geométricamente inestable.
Teóricamente cuando existe una inestabilidad geométrica el determinante de la matriz
estática es igual a cero (0), 0
B
1.5.5 EJEMPLO DE MATRIZ ESTATICA E INESTABILIDAD GEOMETRICA
Para el cuerpo indicado en la figura determine la matriz estática y la relación entre
las dimensiones M y L para que sea inestable geométricamente.
Por inspección de la figura podemos decir que será inestable si las tres direcciones de las
reacciones de los vínculos convergen en un solo punto por lo tanto para que esto suceda L
debe ser igual a 2N. Esto lo demostraremos también a partir de la matriz estática.
L
P/2 P
RD
H
A E
N N M
RD
V
B C
1 1
RB 2 /2 1 1
RB RC 2 /2
RC

14. Por lo que se demostró en este capítulo mas arriba se puede decir que la figura anterior se
puede transformar a lo siguiente para encontrar las reacciones:
L
P/2 P
RD
H
A E
N N M
RD
V
B C
1 1 RC
RB 1 1
De la figura se observa que existen cuatro incógnitas, con tres ecuaciones de estática y
una adicional, que será una toma de momento igual a cero, por ejemplo de A para D para
obtener RD
V
, ya que en toda articulación se generan ecuaciones adicionales de estática igual
al número de miembros que llegan a ella menos uno, es decir n-1, en este caso en A llegan
dos cuerpos que significa una ecuación adicional. Por lo tanto tendremos un sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas.
Tomemos momentos de a hacia D:
(+) V
D
D
A R
M 0 x 2N – (P/2)N Por lo tanto RD
V
= P/4
Utilicemos las tres ecuaciones básicas de estática:
P
R
R
R
F V
D
C
B
y )
1
2
/
1
(
)
2
/
2
(
)
2
/
2
(
0
)
(
H
D
C
B
x R
R
R
F )
2
/
2
(
)
2
/
2
(
0
)
(
)
(
2
/
)
2
(
)
2
/
2
(
0
)
( N
L
P
N
L
R
M
R
L
R
M V
D
H
D
B
C
Ordenando y agrupando las cuatro ecuaciones resulta el sistema de ecuaciones siguiente:
RD
V
= ¼ P
RB ( 2 /2) +RC( 2 /2) + RD
V
= 1½ P
RB ( 2 /2) +RC( 2 /2) + RD
H
= 0
RB ( 2 /2)L + RH M + RD
V
(L+2N) = (L+N)½P
En forma matricial:
L
)
2
/
2
(
2
/
2
2
/
2
0
0
2
/
2
2
/
2
0
M
1
0
0
)
2
(
0
1
1
N
L V
D
H
D
C
D
R
R
R
R
=
2
/
)
(
0
2
/
3
4
/
P
N
L
P
P

15. P
F
B de donde: P
B
F
1
Al resolver el
determinante de la matriz estática B resulta: 2
/
L
M
B , de tal manera que para que
sea inestable debe ser igual a cero y por lo tanto sería M=L/2 o también L=2M, como
habíamos dicho al comienzo del ejemplo.
1.5.6 DETERMINACION E INDETERMINACION
Clásicamente se habla de la determinación e indeterminación estática y
geométrica. Consideremos cada una individualmente.
1.5.6.1 ESTATICA
Un sistema es determinado si el número de fuerzas desconocidas que son las
incógnitas, es igual al número de ecuaciones de equilibrio, y se dice que es un sistema
estático, si es menor es inestable o es un mecanismo y se le llama hipostático, y si es
mayor es indeterminado en grado igual a la diferencia entre las incógnitas y las
ecuaciones, y se dice que la estructura o sistema estructural es hiperestática de ese
orden (La diferencia encontrada).
En todo elemento o miembro en el plano de dos dimensiones; x,y, en cada extremo
tiene tres fuerzas internas máximas, como sabemos de resistencia de los materiales: 2
fuerzas lineales perpendiculares, una axial y otra de corte, y un momento flector, ver la
figura en este punto mas abajo. Como son dos extremos se tienen seis fuerzas incógnitas
menos tres ecuaciones de equilibrio estático, quedan tres fuerzas incógnitas por cada
miembro. Mientras que en un miembro en el espacio de tres dimensiones; x,y,z; en cada
extremo tiene seis fuerzas internas máximas, tres lineales perpendiculares entre sí; una axial
y dos de corte, así como tres momentos; dos flectores o de flexión y uno de torsión. Al
tener dos extremos se tienen 12 fuerzas incógnitas menos seis ecuaciones de equilibrio
estático, quedan seis fuerzas incógnitas por cada miembro. En el caso de miembros de
armaduras planas o espaciales, que solo trabajan por esfuerzo axial, existe una sola
incógnita la fuerza axial en la dirección del elemento.
El número de ecuaciones disponibles será: 1º) Las tres de estática por cada junta en el
plano o seis por cada junta en el espacio. En el caso de armaduras planas se reducen a dos
ecuaciones de sumatorias de fuerzas y en las espaciales a tres ecuaciones de suma de

16. fuerzas. 2º) Las adicionales por condiciones especiales de las juntas de sus miembros, como
miembros y/o juntas articulados, geometría de sus miembros.
Estos planteamientos sirven de base para deducir las expresiones para determinación del
grado de determinación o indeterminación de los sistemas estructurales, que se especifican
después de la siguiente figura.
My
j
y x Mj Fx
j
Mx
j
j y x j
Fy
j
Fx
j
Fy
j
My
i
z Fz
j
Mi
Fy
i
Mz
j
i Fx
i i
Fx
i
Fy
i
Mx
i
Fz
i
Mz
i
Fuerzas internas para un Fuerzas internas para un
miembro en el plano miembro en el espacio.
MARCO O PORTICO PLANO
En general todos sus elementos están unidos por juntas rígidas, formando una cuadrícula
en un plano de dos dimensiones lineales, aunque puede tener algunas juntas móviles y/o
empotradas móviles y/o articuladas, para ellos se utiliza la siguiente expresión:
IND = 3NM + NR – 3NJ – NC, NR 3 ………………………..(2-5)
En esta expresión y las que vienen los términos positivos (+) representan el número de
incógnitas, que son las fuerzas internas desconocidas y las con signo negativo (-)
representan el número de ecuaciones de estática disponibles.
Donde: NM = Número total de miembros.
NR = Número de componentes independientes de reacciones.

17. NJ = Número total de juntas.
NC = Número de ecuaciones de condición interna. En juntas articuladas en
el plano será igual al número de miembros que concurren a ella menos
uno.
Como todo cuerpo en el plano tiene tres posibles movimientos, dos lineales y una
rotación, se requieren que los apoyos restrinjan tres movimientos y por ende existirán tres
fuerzas de reacciones. En el espacio son seis mínimos: tres lineales y tres de rotación. Por
lo que en el plano una estructura con un número de reacciones NR menor de 3 la estructura
ya es inestable, si es igual a tres o mas puede ser inestable, estable o indeterminada, si
IND es menor que cero, igual a cero o mayos de cero, respectivamente.
ARMADURA O CELOSIA O CERCHA PLANA
Usualmente todos sus elementos trabajan fundamentalmente resistiendo fuerzas axiales
para lo cual están enlazados con articulaciones, formando una red de triángulos en el plano.
También puede usarse la expresión anterior o la siguiente particular para este caso:
IND = NM + NR - 2NJ , NR 3 ……………………(2-6)
Si el número de reacciones NR es menor de 3 la armadura ya es inestable
externamente.
MARCO O PORTICO ESPACIAL ( O TRIDIMENSIONAL)
De igual manera que los marcos planos en general todos sus elementos están unidos
por juntas rígidas, formando una cuadrícula en un espacio de tres dimensiones lineales,
aunque puede tener algunas juntas móviles y/o empotradas móviles y/o articuladas, para
ellos se utiliza la siguiente expresión:
IND = 6NM + NR - 6NJ - NC , NR 6 ………………..(2-7)
Como todo cuerpo en el espacio tiene seis posibles movimientos, tres lineales y tres
de rotación, se requieren que los apoyos restrinjan seis movimientos y por ende existirán
seis fuerzas de reacciones. Por lo que en el espacio una estructura con un número de
reacciones NR menor de 6 la estructura ya es inestable, si es igual a sei o mas puede ser

18. inestable, estable o indeterminada, si IND es menor que cero, igual a cero o mayos de
cero, respectivamente.
ARMADURA O CERCHA O CELOSIA ESPACIAL ( O TRIDIMENSIONAL)
De igual manera que las armaduras planas en general todos sus elementos están unidos
por juntas articuladas, formando una red de triángulos en un espacio de tres dimensiones
lineales Se utiliza la siguiente expresión:
IND = NM + NR - 3NJ , NR 6 ………………….(2-8)
Si el número de reacciones NR es menor de 6 la armadura ya es inestable
externamente.
1.5.6.1.1 EJEMPLOS INDETERMINACIÓN ESTÁTICA
Determinar el grado de indeterminación de las siguientes estructuras:
a) En el plano: Numeremos la juntas
1
2 3
6 7
5
Usando expresión (2-5): 4
NM = 9 NR = 2+1= 3
NJ = 7 NC = 0
IND = 3x9+3-3x7-0 = 9 , esto es indeterminada o hiperestática de séptimo grado

19. b) Viga en el plano:
NM = 4 ; NJ = 5 ; NR = 6 ; NC = 1 IND = 3x4 + 6 – 3x5 – 1 = 2
c) Idem anterior de otra manera: Numeremos las juntas
1 2
8
distancia muy pequeña 3
6 7
5
Usando expresión (2-5): 4
NM = 10 NR = 2+1= 3
NJ = 8 NC = 2+1+2 =5
IND = 3x10+3-3x8-5 = 4 , esto es indeterminada o hiperestática de séptimo grado
d) De la armadura plana. Utilizando expresión (2-6) NM = 15 ; NR = 2+1= 3 ; NJ = 9
IND = 15+3- 2x9 = 0 Utilizando (2-5) NC =1+2+4+2+2+1+4+2+3 =21
IND = 3x15+ 3 –3x9 –21 = 0

20. e) Del marco espacial:
D Usando expresión (2-7) :
NM = 17 NR = 3x2+1 = 7
A NJ = 8 NC = 1 como se puede
observar los apoyos C y D producen seis
restricciones pero no la inmovilizan, la
B C estructura puede girar alrededor de CD, pero
Al introducir la restricción del rodillo en no
Moverá, por lo tanto hay un NC
1.5.6.2 GEOMETRICA
Tiene que ver con lo que se denomina “Grados de libertad” de una estructura
(GGDL), que son el número mínimo de parámetros que se requieren para describir de
una manera única el perfil deformado de una estructura. Usualmente los grados de
libertad son los desplazamientos de las juntas desconocidos o libres. Los
desplazamientos conocidos son los de los apoyos, que pueden ser nulos o prescritos, o
también desplazamientos prescritos en una junta cualquiera de la estructura. En una junta
plana hay como máximo tres desplazamientos independientes: dos lineales
independientes, usualmente perpendiculares entre sí y uno angular o rotacional; mientras
que en una junta en el espacio de tres dimensiones existen como máximo seis
desplazamientos: tres lineales independientes, usualmente en las direcciones de los tres
ejes generales o globales de la estructura o de los tres ejes locales del elemento y tres
angulares o rotacionales alrededor de loa tres ejes mencionados. A continuación
indicamos los grados de libertad en una junta rígida en tres dimensiones. En el caso de
z
z y
y
z x
y x

21. juntas articuladas como los momentos son conocidos o cero, indirectamente se conocen
los desplazamientos angulares y por lo tanto solo habrán dos o tres desplazamientos
lineales desconocidos en el plano o en el espacio respectivamente, aunque algunos
autores incluyen este desplazamiento como un grado de libertad, cualquiera de las dos
opciones son válidas. De igual manera en los extremos de elementos en volado como es un
elemento isostático anexo a la estructura se conocen sus fuerzas y sus desplazamientos.
Una estructura es ISOGEOMETRICA si sus grados de libertad son cero y si son
mayores de cero es HIPERGEOMETRICA de orden igual al número de grados de
libertad. Por lo tanto el número de grados de libertad, NGDL, será igual al número de
desplazamientos totales de todas las juntas menos el número de desplazamientos conocidos
o prescritos en los apoyos y otras juntas. Las expresiones más comunes son para:
Marcos Planos NGDL = 3NJ - NR ; NR 3
Armaduras Planas NGDL = 2NJ - NR ; NR 3
Marcos Espaciales NGDL = 6NJ - NR ; NR 6
Armaduras Espaciales NGDL = 6NJ - NR ; NR 6
Donde: NJ = Número de juntas.
NR = Número de desplazamientos conocidos, prescritos o restringidos.
Si NR es menor de tres o seis en el plano o en el espacio respectivamente, esto
significa que la estructura es inestable externamente. Si NGDL es negativo la estructura
será inestable o un mecanismo.
1.5.6.2.1 EJEMPLO DE INDETERMINACIÓN GEOMETRICA
a)
B
I F
A
C
D E G H

22. GDL = 10x3+2x2+1 = 35 o NJ = 18 NR =
3x3(D,E,F)+3x2(G,H)+1x2(C)+1x2(I,B)=19
GDL = 3x18-19 = 35
Si las juntas A y B están muy cerca entonces sus desplazamientos lineales serán iguales y
habrá dos grados menos de libertad, es decir, un total de 32 GDL.