Vol.5 no.2 2011 agosto deflexion por meca. materiale

Método de deflexión-pendiente para vigas estáticamente indeterminadas, considerando las
deformaciones por cortante.
Deflection-slope method for statically indeterminate beams, considering the deformations by shear
Ing. Arnulfo Luévanos Rojas
Ingeniero Civil
Doctor en Ingeniería con Especialidad en Sistemas de Planeación y
Construcción.
Profesor-Investigador
Facultad de Ingeniería, Ciencias y Arquitectura de
Universidad Juárez del Estado de Durango. México.
Teléfono: 871-7147119
E-mail: arnulfol_2007@hotmail.com
Recibido: 05-06-11
Aceptado: 20-07-11
RESUMEN:
En la presente investigación se propone un método para analizar vigas continuas, el cual considera las
deformaciones por cortante, que es una innovación al método de deflexión-pendiente, el cual se utiliza
para analizar toda clase de estructuras, en este caso se aplica a vigas continuas. Esta metodología toma
en cuenta las deformaciones por cortante y se hace una comparación con el método clásico, que es el de
despreciar las deformaciones por cortante como normalmente se hace, las diferencias entre ambos
modelos son mayores, sobre todo en claros cortos, como se puede notar en las tablas de resultados de
los problemas considerados y no todos están del lado de la seguridad. Por lo tanto, la práctica usual,
despreciando las deformaciones por cortante en claros cortos entre sus apoyos, no será una solución
recomendable y se propone el empleo de considerarlas y además se apega más a la realidad.
Palabras clave: Deformaciones por cortante, Coeficiente de Poisson, Módulo al cortante, Módulo de
elasticidad, Área de cortante.
ABSTRACT:
In the present investigation a method sets out to analyze continuous beams, which consider the
deformations by shear, which is an innovation to the deflection-slope method, which is used to analyze all
class of structures, in this case is applied to continuous beams. This methodology takes into account the
deformations by shear and a comparison with the classic method becomes, that is the despise the
deformations by shear as normally is made, the differences between both models are majors, mainly in
clear short, as it is presented in the tables of results of the considered problems and all are not of the side
of the security. Therefore, the usual practice, despising the deformations by shear in short clear between

Ing. Arnulfo Luévanos Rojas. Método de deflexión-pendiente para vigas estáticamente indeterminadas…
its supports, will not be a recommendable solution and the use set out to consider them and furthermore
he is real.
Keywords: Shear deformations, Poisson coefficient, Shear module, Elasticity module, Shear area.
Introducción:
El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas discretos. La teoría de las
estructuras se basa esencialmente en los fundamentos de la mecánica con los cuales se formulan los
distintos elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y continuidad de una
estructura se pueden expresar de distintas maneras, por ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de
un medio continuo tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra o las
distintas teorías de vigas, o llanamente ecuaciones algebraicas para una estructura discretizada. Mientras
más se profundiza en la física del problema, se van desarrollando teorías que son más apropiadas para
resolver ciertos tipos de estructuras y que demuestran ser más útiles para cálculos prácticos. Sin
embargo, en cada nueva teoría se hacen hipótesis acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento.
Por lo tanto, debemos estar siempre conscientes de esas hipótesis cuando se evalúan resultados, fruto
de las teorías que aplicamos o desarrollamos [1].
En el análisis de sistemas estructurales ha sido estudiado por diversos investigadores en el pasado. En
1857, Benoit Paul Emile Clapeyron presentó a la Academia Francesa su “Teorema de los tres Momentos”
para el análisis de las vigas continuas, en la misma forma que Bertot la había publicado dos años antes
en las Memorias de la Sociedad de Ingenieros Civiles de Francia, pero sin darle crédito alguno. Puede
decirse que a partir de este momento se inicia el desarrollo de una verdadera “Teoría de las Estructuras”
[2 y 3]. En 1854 el Ingeniero francés Jacques Antoine Charles Bresse publicó su libro “Recherches
Analytiques sur la Flexion et la Résistance de Pieces Courbés” en que presentaba métodos prácticos
para el análisis de vigas curvas y arcos [2 y 3]. En 1867 fue introducida por el alemán Emil Winkler (1835-
1888), la “Línea de Influencia”. También hizo importantes contribuciones a la Resistencia de Materiales,
especialmente en la teoría de flexión de vigas curvas, flexión de vigas apoyadas en medios elásticos [2 y
3]. James Clerk Maxwell (1830-1879) de la Universidad de Cambridge, publicó el que podríamos llamar
el primer método sistemático de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas, basado en la
igualdad de la energía interna de deformación de una estructura cargada y el trabajo externo realizado
por las cargas aplicadas; igualdad que había sido establecida por Clapeyron. En su análisis, presentó el
Teorema de las Deformaciones Recíprocas, que por su brevedad y falta de ilustración, no fue apreciado
en su momento. En otra publicación posterior presentó su diagrama de fuerzas internas para cerchas,
que combina en una sola figura todos los polígonos de fuerzas. El diagrama fue extendido por Cremona,
por lo que se conoce como el diagrama de Maxwell-Cremona [2 y 3]. El italiano Betti en 1872, publicó
una forma generalizada del Teorema de Maxwell, conocida como el Teorema Recíproco de Maxwell-Betti
[2 y 3]. El alemán Otto Mohr (1835-1918) hizo grandes aportes a la Teoría de Estructuras. Desarrolló el
método para determinar las deflexiones en vigas, conocido como el método de las cargas elásticas o la
Viga Conjugada. Presentó también una derivación más simple y más extensa del método general de
Maxwell para el análisis de estructuras indeterminadas, usando los principios del trabajo virtual. Hizo
aportes en el análisis gráfico de deflexiones de cerchas, con el complemento al diagrama de Williot,
conocido como el diagrama de Mohr-Williot, de gran utilidad práctica. También obtuvo su famoso Círculo
de Mohr, para la representación gráfica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos [2 y 3].
Alberto Castigliano (1847-1884) presentó en 1873 el principio del trabajo mínimo, que había sido sugerido
anteriormente por Menabrea, y que se conoce como el Primer Teorema de Castigliano. Posteriormente,
presentó el denominado Segundo Teorema de Castigliano para encontrar deflexiones, como un corolario
del primero. En 1879 publicó en París su famoso libro Thèoreme de l´Equilibre de Systèmes Elastiques et
ses Applications, destacable por su originalidad y muy importante en el desarrollo del análisis
hiperestático de estructuras [2 y 3]. Heinrich Müller-Breslau (1851-1925), publicó en 1886 un método
básico para el análisis de estructuras indeterminadas, aunque en esencia era una variación de los
Revista de Arquitectura e Ingeniería. 2011, vol.5 no.2.

presentados por Maxwell y Mohr. Le dio gran importancia al Teorema de Maxwell de las Deflexiones
Recíprocas en la evaluación de los desplazamientos. Descubrió que la “Línea de Influencia” para la
reacción o una fuerza interna de una estructura era, en alguna escala, la elástica producida por una
acción similar a esa reacción o fuerza interna. Conocido como el teorema de Müller-Breslau, es la base
para otros métodos indirectos de análisis de estructuras mediante modelos [2 y 3]. Hardy Cross (1885-
1959) profesor de la Universidad de Illinois, publicó en 1930 su famoso método de Distribución de
Momentos, que puede decirse revolucionó el análisis de las estructuras de marcos continuos de concreto
reforzado y puede considerarse uno de los mayores aportes al análisis de estructuras indeterminadas.
Este método de aproximaciones sucesivas evade la resolución de sistemas de ecuaciones, como las
presentadas en los métodos de Mohr y Maxwell. La popularidad del método decayó con la disponibilidad
de los computadores, con los cuales la resolución de sistemas de ecuaciones dejó de ser un problema.
Los conceptos generales del método fueron extendidos posteriormente al estudio de flujo en tuberías.
Posteriormente se hicieron populares los métodos de Kani y Takabeya, también de tipo iterativo y hoy en
desuso [2 y 3]. En la década de los 50, Turner, Clough, Martin y Topp presentan lo que puede llamarse
como el inicio de la aplicación a estructuras de los métodos matriciales de la rigidez, que han obtenido
tanta popularidad en la actualidad. Posteriormente, se desarrollaron los métodos de elementos finitos,
que han permitido el análisis sistemático de gran número de estructuras y la obtención de esfuerzos y
deformaciones en sistemas complejos como las presas de concreto usadas en las hidroeléctricas. Entre
sus impulsores están: Clough, Wilson, Zienkiewics y Gallagher [2, 3, 4].
El análisis estructural puede abordarse utilizando tres enfoques principalmente [5]: a) formulaciones
tensoriales (mecánica newtoniana o vectorial), b) formulaciones basadas en los principios del trabajo
virtual, y c) formulaciones basadas en la mecánica clásica [6].
Por lo que se refiere a las técnicas convencionales de análisis estructural de vigas continuas, la práctica
común es despreciar las deformaciones por cortante.
En este documento se propone incluir las deformaciones por cortante y hacer una comparación cuando
se desprecia el efecto de la deformación por cortante.
Desarrollo:
En el esquema de deformación de una viga que se ilustra en la Figura 1, muestra la diferencia entre la
teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernouilli: en la primera ԕx y ߲y/߲x no tienen necesariamente
que coincidir, mientras que en la segunda son iguales [6].
La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría de Timoshenko es que en la
primera el giro relativo de la sección se aproxima mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto
constituye una aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la sección
transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo cortante son despreciables
frente a las deformaciones ocasionadas por el momento flexionante. En la teoría de Timoshenko, donde
no se desprecian las deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas cortas,
la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de ecuaciones más complejo:

Donde: G = módulo al cortante del material
ԕz = rotación alrededor del eje “z”
Vy = fuerza cortante en dirección “y”
Ac = área de cortante de la sección transversal
E = modulo de elasticidad del material
Mz = momento flexionante alrededor del eje “z”
Iz = momento de inercia de la sección transversal alrededor del eje “z”
Figura 1. Deformación de un elemento de
viga.
Derivando la ecuación (1) y substituyéndola en la ecuación (2), llegamos a la ecuación de la curva
elástica incluyendo el efecto del esfuerzo cortante:
Integrando la ecuación (3), nos da lo siguiente:
Este método puede ser usado para análisis de todo tipo de vigas estáticamente indeterminadas. Se
consideran que todas las juntas son rígidas, es decir que los ángulos entre miembros en las juntas no
cambian en valor, cuando es aplicada la carga. Entonces las juntas en apoyos interiores de vigas
estáticamente indeterminadas pueden ser consideradas juntas rígidas de 180°. Cuando las vigas son
deformadas, las juntas rígidas son consideradas rotaciones, es decir que la tangente permanece recta
antes y después de la aplicación de la carga.
Otra consideración es por equilibrio en las juntas, la suma de los momentos flexionantes debe ser cero.

Figura 2. Derivación de
las ecuaciones de
deflexión-pendiente.
En las ecuaciones de deflexión-pendiente, los momentos que actúan en los extremos de los miembros
son expresados en términos de las rotaciones y de las cargas sobre los miembros. Entonces la barra AB
mostrada en la Figura 2(a), serán expresados en términos de ԕA y ԕB y las cargas aplicadas P1, P2 y P3.
Los momentos se consideran positivos, cuando giran en contra de las manecillas del reloj y negativo
cuando giran a favor. Ahora, con las cargas aplicadas sobre el miembro, los momentos en los extremos
son MFAB y MFBA, es decir, se consideran como empotramiento perfecto, se presenta en la Figura 2(b).
Adicionalmente en los momentos en los extremos, M’AB y M’BA, son causados por ԕA y ԕB,
respectivamente. Si ԕA1 y ԕB1 son causados por M’AB, según la Figura 2(c), y en cuanto a ԕA2 y ԕB2 son
causados por M’BA, se observan en la Figura 2(d), las condiciones de geometría son [7, 8, 9, 10, 11]:
Por superposición:
Analizaremos la viga de la Figura 2(c) para encontrar ԕA1 y ԕB1 en función de M’AB:
Por equilibrio:

Por lo tanto la fuerza cortante y el momento a una distancia “x” son:
Sustituyendo Mx y Vx en función de M’AB en la ecuación (2), luego separando la deformación por cortante
y por flexión para obtener la rigidez, queda de la siguiente manera:
Deformación por cortante:
Integrando nuevamente la ecuación anterior, se presenta:
Considerando las condiciones de frontera, cuando x = 0; y = 0; es C1 = 0.
Deformación por flexión:
Desarrollando la integral, se muestra:
Integrando nuevamente, se obtiene:
Considerando las condiciones de frontera, cuando x = 0; y = 0; es C3 = 0.

Ahora considerando las condiciones de frontera, cuando x = L; y = 0; se da:
Sustituyendo x = 0, en la ecuación dy/dx, para encontrar el giro en el apoyo A, se muestra como sigue:
Luego se sustituyendo x = L, en la ecuación dy/dx, para encontrar el giro en el apoyo B, según se obtiene
lo siguiente:
Si consideramos que tienen su radio de curvatura en la parte inferior, entonces los giros son positivos:
La rotación por cortante, tomando en cuenta el radio de curvatura es:
Sumando la rotación por cortante y por flexión en el nudo A, se obtiene:

Luego se sustituye [12]:
Sumando la rotación por cortante y por flexión en el nudo B, se obtiene:
Luego se sustituye la ecuación (9) en la ecuación anterior, se presenta:
Analizaremos la viga de la Figura 2(d) para encontrar ԕA2 y ԕB2 en función de M’BA de la misma manera
que se realizo en la Figura 2(c), se obtiene lo siguiente:
Sustituyendo las rotaciones en la ecuación (5) para el apoyo A y la ecuación (6) para el apoyo B, se
obtiene lo siguiente:
Desarrollando las ecuaciones (14) y (15), para encontrar M’AB y M’BA en función de ԕA y ԕB, queda como
sigue:

Finalmente sustituyendo las ecuaciones (16) y (17) en las ecuaciones (7) y (8), respectivamente, se
obtiene las ecuaciones de deflexión-pendiente para vigas estáticamente indeterminadas:
Aplicación
Desarrollando el análisis estructural de la siguiente viga de acero, según se muestra en la Figura 3,
despreciando y considerando las deformaciones por cortante, en base con los siguientes datos:
Figura 3. Viga continua.
P = 20000.00kg
L = 10.00m; 5.00m; 3.00m
E = 2,040,734kg/cm2
Propiedades de la viga W24X94
A = 178.71cm2
AC = 80.83cm2
I = 111,966cm4
ν = 0.32
Las ecuaciones de deflexión-pendiente, despreciando las deformaciones por cortante, son:
Las ecuaciones de deflexión-pendiente, considerando las deformaciones por cortante, son:
Para L = 10.00m
Para L = 5.00m

Para L = 3.00m
Condición de equilibrio de momentos en los nodos son:
Nodo A:
Nodo B:
Nodo C:
Nodo D:
Nodo E:
A continuación se presentan las siguientes tablas con los resultados obtenidos:
Tabla # 1. Rotaciones en cada uno de los apoyos en radianes.
Giro
Caso # 1
L = 10.00m
Caso # 2
L = 5.00m
ԕi = El ángulo que forma la tangente debido a la deformación que sufre el nodo i.
DDC = Despreciando las deformaciones por cortante.
CDC = Considerando las deformaciones por cortante.
Tabla # 2. Fuerzas cortantes finales en kilogramos.
CDC DDC CDC DDC
CDC DDC CDC DDC
CDC
Vij = Fuerza cortante de la barra ij en el extremo i.
Vji = Fuerza cortante de la barra ij en el extremo j.
Caso # 3
L = 3.00m
DDC CDC DDC
CDC DDC CDC DDC
CDC DDC CDC DDC
CDC
ԕA +0.00313 +0.00320 0.9781 +0.00078 +0.00085 0.9176 +0.00028 +0.00035 0.8000
ԕB −0.00078 −0.00077 1.0130 −0.00020 −0.00019 1.0526 −0.00007 −0.00006 1.1667
ԕC 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ԕD +0.00078 +0.00077 1.0130 +0.00020 +0.00019 1.0526 +0.00007 +0.00006 1.1667
ԕE −0.00313 −0.00320 0.9781 −0.00078 −0.00085 0.9176 −0.00028 −0.00035 0.8000
Fuerza
cortante
Caso # 1
L = 10.00m
Caso # 2
L = 5.00m
Caso # 3
L = 3.00m
DDC CDC DDC
VAB +6786 +6815 0.9957 +6786 +6896 0.9840 +6786 +7053 0.9620
VBA −13214 −13185 1.0022 −13214 −13104 1.0084 −13214 −12947 1.0207
VBC +11071 +11016 1.0050 +11071 +10868 1.0188 +11071 +10597 1.0447
VCB −8929 −8984 0.9938 −8929 −9132 0.9777 −8929 −9403 0.9496
VCD +8929 +8984 0.9938 +8929 +9132 0.9777 +8929 +9403 0.9496
VDC −11071 −11016 1.0050 −11071 −10868 1.0188 −11071 −10597 1.0447
VDE +13214 +13185 1.0022 +13214 +13104 1.0084 +13214 +12947 1.0207
VED −6786 −6815 0.9957 −6786 −6896 0.9840 −6786 −7053 0.9620

Tabla # 3. Se muestran los momentos finales en kilogramos-metro.
Momento
Caso # 1
L = 10.00m
Caso # 2
L = 5.00m
CDC DDC CDC DDC
CDC DDC CDC DDC
CDC
Mij = Momento flexionante negativo de la barra ij en el extremo i.
Mԩij = Momento flexionante positivo de la barra ij.
Mji = Momento flexionante negativo de la barra ij en el extremo j.
Conclusiones:
De acuerdo a la Tabla 1, que presenta las rotaciones en cada uno de los apoyos, se observa que la
diferencia del método de deflexión-pendiente, despreciando y considerando las deformaciones por
cortante, es bastante considerable para elementos cortos. Por ejemplo para el claro de 3.00m, existen
diferencias hasta de un 20%, aproximadamente, unas están del lado de la seguridad y otras están fuera.
En cuanto a la Tabla 2, que muestra las fuerzas cortantes en los extremos de las barras entre ambos
métodos, siendo las diferencias mayores, cuando la longitud del elemento es corto. Estos resultados para
el claro de 3.00m, tienen variantes alrededor del 5%, unas están del lado no conservador y otra existen
reducciones.
En lo que respecta a la Tabla 3, donde se ilustran los momentos flexionantes, tanto los negativos como
los positivos, también existen grandes diferencias cuando se reduce el claro, entre ambos métodos y no
todas están del lado de la seguridad. Ya que existen diferencias hasta un 9%.
Por lo tanto, la práctica usual de considerar el método de deflexión-pendiente (Despreciando las
deformaciones por cortante), no será una solución recomendable, cuando tenemos claros cortos entre
apoyos. Por lo que tomando en cuenta la aproximación numérica, el método de deflexión-pendiente
(Considerando las deformaciones por cortante), resulta ser el método más adecuado para análisis
estructural y además se apega más a condiciones reales.
Referencias:
[1] Tena Colunga, Arturo. (2007). Análisis de Estructuras con Métodos Matriciales. Limusa. México.
Caso # 3
L = 3.00m
DDC CDC DDC
MAB 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MԩAB +33929 +34076 0.9957 +16964 +17240 0.9840 +10179 +10580 0.9621
MBA −32143 −31848 1.0093 −16071 −15519 1.0356 −9643 −8840 1.0908
MBC −32143 −31848 1.0093 −16071 −15519 1.0356 −9643 −8840 1.0908
MԩBC +23214 +23232 0.9992 +11607 +11650 0.9963 +6964 +7056 0.9870
MCB −21429 −21688 0.9881 −10714 −11181 0.9583 −6429 −7048 0.9121
MCD −21429 −21688 0.9881 −10714 −11181 0.9583 −6429 −7048 0.9121
MԩCD +23214 +23232 0.9992 +11607 +11650 0.9963 +6964 +7056 0.9870
MDC −32143 −31848 1.0093 −16071 −15519 1.0356 −9643 −8840 1.0908
MDE −32143 −31848 1.0093 −16071 −15519 1.0356 −9643 −8840 1.0908
MԩDE +33929 +34076 0.9957 +16964 +17240 0.9840 +10179 +10580 0.9621
MED 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[2] Nacimiento del análisis estructural. Disponible en:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4080020/Lecciones/Capitulo%201/NACIMIE
NTO%20DEL%20ANALISIS%20ESTRUCTURAL%20.htm (Consulta: noviembre 23 del 2010).
[3] Franjul Sánchez A. Disponible en: http://andreafranjul.blogspot.com/2009/06/nacimiento-del-analisis-
estructural.html (Consulta: diciembre 13 del 2010).
[4] Clough, Ray W. y Penzien, J. (1975). Dynamics of Structures. Mc Graw-Hill. E. U. A.
[5] Przemieniecki, J. S. (1985). Theory of Matrix Structural Analysis. Mc Graw-Hill. E. U. A.
[6] Flexión mecánica. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3% (Consulta
enero 18 del 2011).
[7] Jaramillo Jiménez, José Oscar. (2004). Análisis clásico de estructuras. Disponible en:
http://books.google.com.mx/books?id=mwohfYq9zC8C&pg=PA30&lpg=PA30&dq=nacimiento+del+
analisis+estructural&source=bl&ots=TqTl5avuMY&sig=dgomgcVJ8CKm1HZSfrKV2sOEIs8&hl=es&
ei=FNluTYbSNZSksQPz54nSCw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0CDkQ6AEwB
Q#v=onepage&q&f=false (Consulta: febrero 22 del 2011).
[8] Luthe Garcia, Rodolfo. (1998). Análisis Estructural. Alfaomega. México.
[9] West, Harry H. (1984). Analysis of Structures. E. U. A.
[10] Mc Cormac, Jack C. (2007). Structural Analysis: using classical and matrix methods. John Wiley &
Sons. E. U. A.
[11] Laible, Jeffrey P. (1988). Análisis Estructural. Mc Graw-Hill. México.
[12] Appendix. Formulario de Teoría de Estructuras. Matrices de Rigidez Elementales, de Masa
Congruentes, y de Rigidez Geométrica. Disponible en:
http://www.esiold.us.es/php/infgen/aulav/teorestructurasind/Matrices_de_rigidez_elementales.pdf
(Consulta: marzo 15 del 2011).

Aditivo químico obtenido de sales cuaternarias empleado para la estabilización de suelos
arcillosos de subrasantes de carreteras
Chemical additive obtained from quaternary salts used for soil stabilization of road subgrade clay.
Prof. MSc. Ing. Juan M. Junco del Pino
Especialista Principal
Empresa Constructora Obras de Ingeniería No. 5. MICONS. Cuba
Profesor Auxiliar. Facultad de Ingeniería Civil, ISPJAE. Cuba
Teléfono; 8816811
Email: junco@arquitectura.cujae.edu.cu
junco@ecoing5.netcons.com.cu
Dr. Ing. Eduardo Tejeda Piusseaut
Profesor Titular. Facultad de Ingeniería Civil, ISPJAE. Cuba
Email:etejeda@civil.cujae.edu.cu
Recibido: 10-06-11
Aceptado: 22-07-11
RESUMEN:
La construcción de subrasantes para obras viales, como principio, se basa en el aprovechamiento de
suelos locales como material de fácil obtención y de bajo costo, pero que en ocasiones necesitan ser
mejorados, dado que no cumplen las exigencias mínimas para su empleo. Aún así se logran grandes
ahorros, del orden del 20 al 45 % respecto a los costos de construcción con materiales extraídos de
canteras de préstamos lejanas. La estabilización química es una de las técnicas que se emplean
para el mejoramiento de subrasantes, utilizando sustancias químicas que modifican las
características de los suelos, reduciendo plasticidad e incrementando la cohesión y su capacidad de
soporte.
En Cuba, para aliviar la carencia de materiales locales en algunas regiones del país, se desarrolló
una investigación que dio como resultado la creación de un procedimiento de estabilización de
suelos utilizando sales cuaternarias. El “Sistema de Estabilización e Impermeabilización de Suelos”,
así creado, tiene como ventajas principales su economía y simplicidad en su empleo, además de
conseguir el incremento de resistencia y reducción de permeabilidad en los suelos donde se aplique.
El presente trabajo contiene una exploración sobre el estado de la técnica de utilización de aditivos
en el mejoramiento de suelos, en la esfera internacional, y sobre el modo en que las sales
cuaternarias producen los cambios en los suelos arcillosos, también algunos de los resultados
fundamentales del empleo de esta técnica en nuestro país. Se analiza el comportamiento de las
propiedades físicas y mecánicas de los suelos estabilizados con el sistema, comparando las
propiedades físicas y mecánicas del suelo en su estado natural y después de mejorados, así como
la evolución de las características en el tiempo de los suelos estabilizados.
Palabras claves: estabilización de suelos, aditivos químicos, sales cuaternarias.

Prof. MSc. Ing. Juan M. Junco del Pino. Aditivo químico obtenido de sales cuaternarias empleado
para la estabilización de suelos arcillosos de subrasantes de carreteras.
ABSTRACT:
The subgrades constructions for road works, like principle, is based on the use of local soils as
material of easy obtaining and of low cost, but that in occasions they need to be improved, since they
don't complete the minimum demands for its employment. Big savings are achieved even this way, of
the order of the 20 to 45% regarding the construction costs with extracted materials of quarries of
loans far. The chemical stabilization is one of the techniques that are used for the subgrades
improvement, using chemical substances that modify the characteristics of the soils, reducing
plasticity and increasing the cohesion and its support capacity.
In Cuba, to alleviate the lack of local materials in some regions of the country, an investigation was
developed that gave the creation of a procedure of stabilization of soils as a result using quaternary
salts. The "System of Stabilization and waterproofing of soils", this way created, it has as main
advantages their economy and simplicity in their employment, besides getting the resistance
increment and permeability reduction in the soils where it is applied.
The present work contains an exploration on the state of the technique of use of additives in the
improvement of soils in the international sphere, and on the way in that the quaternary salts produces
the changes in the loamy soils, and some of the fundamental results of the employment of this
technique in our country also. The behavior of the physical and mechanical properties of the
stabilized soils with the system is analyzed, comparing the physical and mechanical properties of the
soil in its natural state and after having improved, as well as the evolution of the characteristics in the
time of the stabilized soils.
Keywords: soils stabilization, chemicals additives, quaternary salts.
Introducción:
Las exigencias para los suelos de subrasante requieren en ocasiones, motivado por las elevadas
cargas del tránsito, que los ingenieros desperdicien materiales del sitio de construcción que no
cumplen la calidad requerida y se ven obligados a introducir en los proyectos costos de transporte de
suelos desde canteras, lo que siempre resulta una opción complicada. Esta problemática se resuelve
con el mejoramiento de los suelos, mediante diferentes formas de estabilización, al no disponer de
nuevas canteras de préstamo; vista por muchos expertos como una solución económica, además
amigables con el medio ambiente.
Son varias las circunstancias que justifican la utilización de los suelos estabilizados, entre las que se
encuentra la gran demanda de un transporte de carretera de calidad, que condiciona una mayor
durabilidad de los materiales y estructuras del pavimento bajo un tráfico pesado, cuyo crecimiento e
intensidad sigue en aumento. La garantía de un pavimento de buen comportamiento precisa una
elevada capacidad de soporte, insensible a los agentes atmosféricos, garantizando la estabilidad del
cimiento a largo plazo, a pesar de las incidencias relacionadas con el drenaje o deformaciones
originadas por bajas densidades.
Por otra parte, la protección del medio ambiente impone grandes limitaciones a préstamos y
vertederos, lo que significa un empleo en los rellenos prioritario de suelos locales procedentes de los
desmontes, buscando un equilibrio del movimiento de tierras. La reducción de espesores de
pavimento, que se logra con una subrasante mejorada, contribuye indirectamente al ahorro de áridos
de calidad y del ligante, además del ahorro del transporte de materiales, encarecido por los costos
actuales de combustibles. Incluso, el aprovechamiento de los suelos locales mediante estabilización,
en muchos casos, compensa el coste del producto estabilizador.
La ejecución requiere que las explanaciones puedan abrirse lo antes posible al tráfico de obra, sin
grandes erosiones superficiales y manteniendo una buena regularidad y nivelación, lo que influye en
la economía de la obra, que se logra con plazos reducidos y elevados rendimientos de la maquinaria
y de los procedimientos de ejecución, donde las estabilizaciones de suelos son una vía para lograrlo.
En la actualidad existen diferentes alternativas como métodos de estabilización química, entre los
que se encuentran: suelo-cal, suelo-cemento, suelo con productos asfálticos, suelos arcillosos con
aceites sulfonados, suelos - ácidos inorgánicos, suelos con productos resinosos, suelos con cenizas

pulverizadas, entre otros, utilizados en el mejoramiento y estabilización de terraplenes o suelos de
soporte del pavimento, como también como partes de la propia estructura, en bases o sub-base.
Estabilización Química de Suelos:
Se denomina estabilización de suelos al proceso de someter los suelos naturales a ciertos
tratamientos para aprovechar sus mejores cualidades, de manera que puedan soportar las
condiciones adversas de clima, rindiendo en todo tiempo el servicio adecuado que de ellos se
espera. (Crespo, 1998: 325).
Los procedimientos de estabilización, de manera general, consisten en mezclas de suelos con otros
de diferentes características o con aditivos; la compactación por medios mecánicos; el uso de
membranas impermeables; medios eléctricos, entre otros. La estabilización de suelos tiene como
principales objetivos aumentar la resistencia, proporcionar o disminuir la permeabilidad y en lo
posible, reducir los cambios volumétricos (asentamientos o expansiones).
En las sub-rasantes de carreteras, la estabilización persigue poder utilizar suelos naturales con una
baja calidad de soporte, cercanos a la obra, no aptos por si solos para la construcción, para
mejorarlos y hacerlos adecuados de una manera económica.
Los suelos, extraídos de bancos de préstamos cercanos a la obra, con propiedades que pueden
variar sustancialmente a poca distancia, deben usarse sin que sus costos sobrepasen lo previsto.
Según argumentan Fernández Loaiza y Rico & Del Castillo, en esto, el ingeniero puede tomar tres
opciones principales:
a) Aceptar el material tal y como está y proceder al diseño, sin obedecer los requisitos
propuestos y calidad de obra que se pidiese, absteniéndose a las consecuencias
posteriores;
b) Rechazar el suelo de mala calidad e insatisfactorio y reponer o sustituirlo por un material
cuyas propiedades ingeniériles muestren a través del tiempo su buen comportamiento a los
agentes externos;
c) Modificar o alterar de la mejor forma las propiedades y características mecánicas de los
suelos presentes para hacer de ellos un material que cumpla y reúna la calidad y los
requisitos impuestos.
En la primera opción se corre el riesgo de que la obra no se comporte satisfactoriamente y en la
segunda puede que los costos sean excesivos. Para la opción de mejoramiento del suelo existen
actualmente diferentes procedimientos, o métodos de estabilización:
a) Estabilización por medios mecánicos;
b) Estabilización por drenaje;
c) Estabilización por medios eléctricos;
d) Estabilización por empleo de calor y calcinación;
e) Estabilización por medio químico, adición de agentes estabilizantes.
La estabilización química de suelos consiste en el empleo de sustancias químicas para mejorar las
propiedades ingeniériles de los suelos, reduciendo su plasticidad y haciéndolos más resistentes, ante
la acción del tráfico y condiciones ambientales. En general el uso de aditivos químicos incrementa en
la subrasante la capacidad de soportar cargas sin deformación, y mejora o reducir la perdida de
capa de rodadura o erosión por tráfico pesado o lluvias fuertes.
Es importante para el ingeniero conocer las variadas opciones que existen para la estabilización de
suelos por medios químicos, ya que cada una de ellas es eficaz para determinados tipos de suelos.
En el diseño de la estabilización de un suelo con agentes estabilizantes químicos se deben tener
presentes las variaciones que se espera lograr en lo que se respecta a la estabilidad volumétrica,
resistencia mecánica, permeabilidad, durabilidad y compresibilidad.
Los procedimientos de estabilización química de suelos más conocidos y empleados son: suelo–
cemento; suelo–cal; suelo–asfalto; estabilización con sales; estabilización con polímeros, enzimas,
compuestos resinosos y otros. Cada uno de estos procedimientos persigue objetivos y proporcionan
modificaciones diferentes a cada suelo.
En fechas más recientes e impulsados por el Desarrollo Tecnológico de la Industria química han ido
surgiendo diferentes aditivos con el objetivo de obtener mejoras en las propiedades ingeniériles de

los suelo a partir de diversas reacciones químicas, ejemplo de ellos son: CBR plus, RoadPacker
Plus, Base – Seal, MINEDUR, Consolid, Permazyme, ISS 2000, Claycrete, y otros.
Las sales cuaternarias en el mejoramiento de las arcillas.
1. Breve caracterización de los suelos arcillosos.
Las arcillas están constituidas básicamente por silicatos de aluminio hidratados, presentando
además, en algunas ocasiones, silicatos de magnesio, hierro u otros metales, también hidratados.
Estos minerales tienen casi siempre, una estructura cristalina definida, cuyos átomos se disponen en
láminas. Existen dos variedades de tales láminas: la silícica y la alumínica.
La primera, de tales láminas, está formada por un átomo de silicio, rodeado de cuatro de oxígeno,
disponiéndose el conjunto en forma de tetraedro, tal como se muestra en la Figura 1. Estos
tetraedros se agrupan en unidades hexagonales, sirviendo un átomo de oxígeno de nexo entre cada
dos tetraedros.
Fig. 1
Un esquema de una unidad hexagonal aparece en la Figura 2. Las unidades hexagonales
repitiéndose indefinidamente, constituyen una retícula laminar.
Fig 2
Las láminas alumínicas están formadas por retículas de octaedros dispuestos con un átomo de
aluminio al centro y seis de oxígeno alrededor, tal como aparece en la Figura 1.3. También ahora es
el oxígeno el nexo entre cada dos octaedros vecinos, para constituir la retícula.

Fig 3
De acuerdo con su estructura, los minerales de arcilla se clasifican en tres grupos: kaolinitas,
montmorilonitas e illitas. Para entender mejor la respuesta de los suelos finos a la estabilización es
importante conocer los aspectos físico-químicos de estos. En general, se considera, que las
partículas arcillosas tienen un tamaño del orden de 2 micras o menores y presentan una actividad
eléctrica importante, que rige su comportamiento dada su gran superficie específica en relación con
su volumen y aún su masa.
Una de las teorías más aceptadas, hasta ahora desarrolladas, para explicar la estructura interna de
las arcillas es la que menciona que la superficie de cada partícula de suelo posee carga eléctrica
negativa. La intensidad de la carga depende de la estructuración y composición de la arcilla. La
partícula atrae a los iones positivos del agua (H +) y a cationes de diferentes elementos químicos,
tales como Na+, K+, Ca++, Mg++,Al+++,Fe+++, etc, se tiene entonces, en primer lugar, al hecho de
que cada partícula individual de arcilla se ve rodeada en forma definida y ligadas a su estructura
(agua adsorbida).
Las moléculas de agua son polarizadas, es decir, en ellas no coinciden los centros de gravedad de
sus cargas negativas y positivas, sino que funcionan como pequeños dipolos permanentes; al ligarse
a la partícula por su carga (+), el polo de carga (-) queda en posibilidad de actuar como origen de
atracción para otros cationes positivos. Los propios cationes atraen moléculas de agua gracias a la
naturaleza polarizada de éstas, de modo que cada catión está en posibilidad de poseer un volumen
de agua en torno a él. El agua adsorbida por cada catión aumenta con la carga eléctrica de éste y
con su radio iónico (Peck, R.B.,Hanson, W.E. y Thornburn, T.H. 1957).
Por lo anterior, cuando las partículas del suelo atraen a los cationes, se ve reforzada la película de
agua ligada a la partícula. El espesor de la película de agua adsorbida por el cristal de suelo es así
función, no solo de la naturaleza del mismo, sino también del tipo de los cationes atraídos.
Los cristales de arcilla pueden cambiar los cationes absorbidos en su película superficial; por
ejemplo, una arcilla hidrógena (con cationes H+) puede transformarse en sódica, si se hace que
circule a través de su masa, agua con sales de sodio en disolución. En realidad lo que ocurre es un
intercambio de cationes entre el agua y las películas adsorbidas por las partículas minerales, algunas
veces en reacción rápida. Los cationes intercambiables más usuales son Na+, K+, Ca++, Mg++, H+
y (NH4)+.
Comprender acertadamente las propiedades de la arcilla y del agua, y las Fuerzas de atracción entre
las mismas que resultan en el “doble estrato difuso" de agua rodeando las partículas de la arcilla, son
esenciales para completamente entender cómo trabajar para estabilizar las arcillas o suelos gravo
arcillosos. Las moléculas de agua son dipolos, quiere decir que tienen un polo negativo en un
extremo, donde esta el oxigeno, y uno positivo donde esta situado el Hidrogeno, lo cual significa que
cada Molécula de agua actúa como una Barra Magnética, la cual puede alinearse a si misma con
Fuerzas o Campos electromagnéticos. Es está propiedad que le da al agua su tensión superficial. Es
también esta propiedad del agua la que posibilita que sea electrostaticamente atraída por las cargas
superficiales de las partículas de arcilla. En algunas arcillas la Presión alcanzada en la atracción
electrostática entre agua y arcilla puede resultar en valores por encima de las 10,000 atmósferas.
Esto es una de las razones del por que la expansión de algunas arcillas pueden levantar edificios
fuera de sus cimientos y el por que el proceso normal de humedecimiento y secado de bases,
subbases y subrasantes frecuentemente causan el fallo de los Viales.

En el Gráfico siguiente se puede apreciar la característica especial del Ion intercambiable en una
montmorillonita:
Fig 4
2. Influencia de las Moléculas Orgánicas Adsorbidas
Gieseking ha reportado que las Arcillas Montmorilonitas pierden su tendencia a hincharse mediante
la absorción de agua hasta la saturación con una variedad de cationes orgánicos. Estos Cationes
son absorbidos sobre la superficie plana basal de la montmorilonita. Hendricks demuestra que la
cantidad de agua absorbida por la montmorilonita arrastrando ciertos iones de amina absorbidos
hace que la diferencia entre la superficie plana basal extendida total y la parte probable de esta
superficie cubierta por los iones de amina sea mínima. Hendricks apunta también que la reducción
en el agua absorbida no es exactamente correlativa con el tamaño del Ion orgánico, debido a que la
forma del Ion orgánico puede ser tal que puede destruir la configuración de las moléculas de agua en
las capas del agua absorbida.
3. Influencia de los Cationes intercambiables en las Arcillas
Los iones absorbidos en la superficie de los minerales arcillosos pueden afectar el agua absorbida
de diferentes maneras:
Un cation puede servir como un enlace para sostener las partículas minerales de arcilla unidas o
limitar la distancia a la cual pueden ser separados.
El Ion amonio tiene una gran tendencia a mantener unidos los minerales arcillosos, debido a su
tamaño y numero de coordinación que le permite fijarse con la red de oxigeno de la superficie de las
tres capas de los minerales arcillosos.
El tamaño de los cationes absorbidos y su tendencia a hidratarse puede influir el ordenamiento
natural de conjunto de las moléculas de agua y el espesor al cual la orientación puede desarrollarse.
Dependiendo de la distribución de las cargas en las moléculas de agua, puede esperarse que los
iones cargados en las soluciones iónicas atraigan las moléculas de agua electrostaticamente.
Ejemplo de esto, es que el espesor de las capas de agua entre las unidades de silicato depende la
naturaleza de los cationes intercambiables. Experimentos realizados por Mering, con montmorillonita
en la presencia de grandes cantidades de agua sugiere que con ciertos cationes absorbidos, por
ejemplo Na+, las capas se separan completamente, pero con otros cationes tales como el Ca +, el
H+, y los cationes orgánicos la separación no es completa (ver Fig 5).

Fig 5
En la Tabla 1 que se presenta a continuación puede observarse la capacidad determinada de
intercambio de cationes de la montmorilonita con ciertos cationes orgánicos, lo cual será importante
para nuestro trabajo, pues muestra lo alta que es ante las QACS.
Tabla 1
3.4 Caracterización de las Sales Cuaternarias y Papel de las mismas en el Proceso de
Estabilización
Los compuestos cuaternarios (QACs) de amonio son compuestos orgánicos que contienen cuatro
grupos funcionales unidos covalentemente a un átomo central (R4N +) de nitrógeno. Estos grupos
funcionales (R) incluyen al menos una cadena larga de grupo alkyl y el resto son alternativamente
grupos de methyl o benzyl (ver Fig 6). Los QACs están entre las Producciones Químicas de Alto
Volumen (HPVs). Las QACs poseen propiedades activantes superficiales, características de
conformación propias, detergentes y propiedades antimicrobianas. Las propiedades únicas físico

químicas de las QACs han resultado en una variedad de usos y un alto nivel de popularidad en
aplicaciones domésticas e industriales como surfactantes, emulsificadores, suavizadores,
desinfectantes, pesticidas e inhibidores de corrosión, entre otros.
Fig 6
3.4.1 Influencia de los Surfactante iónicos en el comportamiento de las Arcillas
La presencia de los Surfactantes incrementa la viscosidad Plástica y la intensidad del campo
eléctrico a nivel iónico. Esta demostrado que el Surfactante Polarizado cabeza del grupo, ancla en la
superficie de la placa tetraédrica, dejando la cadena alkalina extendida fuera en las caras y esquina.
Por consecuencia, la cadena alkalina recibe interacciones hidrofóbicas que facilitan la asociación
entre las placas e incrementa la estructura física dentro de la suspensión.
Fig 7
Diferencias estereoquímicas entre los grupos polares pueden llevar a diferencias en el modo de
asociarse con la placa tetraédrica y así puede influir en el ultimo efecto del comportamiento
reológico. Existe una significativa interacción entre estos surfactantes y las arcillas montmorillonitas,
y los cambios reológicos que ocurren pueden tener impacto en las dosis a emplear en los procesos
de estabilización. Diversos estudios han investigado el efecto de la intercalación entre las placas de
surfactantes iónicos en el comportamiento de las arcillas montmorillonitas.
Como hemos visto las arcillas montmorillonitas se caracterizan por alternar capas tetraedricas de
sílice con octahedricas de aluminio coordinados con átomos de oxígeno. La sustitución isomorfica de
AL 3+ por Si 4+ en la capa tetraédrica y Mg 2+ o Zn 2+ por Al 3+ en las capas octaedricas resulta en
una red de cargas superficiales negativas sobre este tipo de arcillas. Estas cargas desbalanceadas
son compensadas por cationes intercambiables (típicamente Na + o Ca 2+) en la superficie de las
arcillas. Las capas estructurales de las arcillas permiten la expansión (hinchamiento) después de

humedecidas. Estos factores en combinación con el pequeño tamaño de sus partículas, provoca que
la montmorillonita exhiba una alta capacidad de intercambio catiónico comparada con otros suelos
naturales.
En un medio acuoso, los cationes de amonio cuaternario pueden ser retenidos por ambas
superficies: la externa y las intercapas, de una arcilla expansiva por un proceso de intercambio
catiónico y no son fácilmente desplazadas por cationes más pequeños como H+, Na + o Ca 2+.Las
propiedades de absorción de la superficie de la arcilla modificada puede ser significativamente
alterada por esta reacción de sustitución.
Los surfactantes reducen grandemente la tensión superficial del agua, lo cual incrementa
grandemente la capacidad del agua ionizada para penetrar el suelo. Esto incrementa grandemente
la capacidad de compactación del suelo tratado con ROCAMIX, pues por ejemplo las partículas de
arcilla son capaces de moverse dentro de la grava más fácilmente. En los suelos tratados con el
Sistema la solución ionizada penetra la " doble capa difusa " de agua que rodea las partículas
arcillosas. Esto trae más iones cerca de la superficie de las partículas de la arcilla, reemplazando el
agua de suspensión previamente cargada electrostaticamente, lo cual provoca que mucha cantidad
del agua que previamente estaba unida sea desatada y quede como agua libre.
A través de la poderosa acción ionizante de las QACS, el intercambio iónico es inducido en la
superficie de las partículas de arcilla. Esto quiere decir que gran parte del agua que normalmente
esta unida, después de la aplicación drena a la superficie como agua libre, por eso actúa como un
agente deshidratante. Al ser capaz de liberar previamente al agua sujeta, ROCAMIX le proporciona a
las partículas de arcillas la posibilidad de colocarse más unidas durante la compactación. Después
del tratamiento, el "cojín" de agua electrostáticamente unida que normalmente rodea partículas de la
arcilla e impide la compactación óptima, es ahora despedida por la compactación física posibilitando
un realineamiento de las partículas de arcilla, por tanto actúa como un apoyo a la extremadamente
eficiente compactación. Es decir crea la posibilidad de que la compactación óptima sea alcanzada
reduciendo los espacios vacíos y la cantidad de agua en la arcilla. La maximización de la compresión
se logra mediante un aumento del entrelazamiento entre las partículas de arcilla, lo cual es resultado
del realineamiento de las partículas, siendo unidas fuertemente. El proceso inducido de intercambio
iónico es permanente, el cual permanentemente reduce la atracción entre agua y arcilla, y por
consiguiente reduce permanentemente la posibilidad del Entumecimiento y el Encogimiento.
Permanentemente reduce el Índice de Plasticidad de la arcilla. Varias acciones de cohesión
(cementantes) tienen lugar en los suelos tratados con QACS, pero estas acciones no son
inmediatas, y tienen lugar durante varias semanas, como aglomeraciones, las cuales continúan
durante meses. Las QACS alteran sólo la arcilla en el suelo porque sólo las arcillas tienen la
estructura molecular con una carga electrostática en la superficie (las arenas, limos y la roca no
poseen está característica). Por consiguiente determinando cuando un suelo responde al tratamiento
con ROCAMIX es una manera de determinar la cantidad de arcilla, y la naturaleza de la arcilla en el
suelo. La determinación del porcentaje de suelo que pasa el tamiz de 75 micrones, y el índice de
plasticidad del suelo, nos dará una indicación de la cantidad y el tipo de arcilla en el suelo.
CASOS DE ESTUDIO
1. ANALISIS DE RESULTADOS.
1.1. Estudio realizado con el material extraído de la cantera Manuela, en el Mariel
El material de la cantera Manuela, en el Mariel tiene una alta plasticidad, dado por lo valores medios
de las determinaciones en el laboratorio; Limite Líquido de 41%, Límite Plástico de 16,3% y un Índice
Plástico de 24,7%.
El análisis granulométrico refleja un alto porcentaje de partículas menores que el tamiz No. 4, sin
embargo bajo porcentaje de material más fino que el 200.
El suelo clasifica como un A-2-7 (0), una arena uniforme con graduación discontinua. Presenta muy
pocos finos inferiores al tamiz 200, con arcilla de alta plasticidad.
Se ofrece los resultados del ensayos Proctor, Normal y Modificado, en la figura 8.
.

Fig 8
tipo Est (suelo) Est (aditivo) Mod (suelo) Mod (aditivo)
2,54 6,9 0,15 2,2 0,7 10,1 0,7 10,1 1,3 18,8
5,04 10,3 0,2 1,9 1,2 11,7 1,02 9,9 1,8 17,5
CBR 1,7 11,0 11,4 19,9
Tabla 2
Se han obtenido los resultados del Índice CBR para las energías estándar y Modificado, con el
suelo natural y el suelo tratado. Los resultados se muestran en la Tabla 2, donde se puede
apreciar el incremento de la resistencia para ambos valores de compactación. El suelo natural
compactado a energía estándar presenta un bajo índice de CBR (1,7%), sin embargo
compactado con el Modificado eleva su resistencia hasta el 11,4%, pero aunque pudiera
emplearse como material de subrasante de forma natural, no sería recomendable para tráfico
pesado.
La incorporación del aditivo provoca un efecto similar que el incremento de la energía,
registrándose un aumento del CBR hasta el 11,4%, solo añadiendo aditivo. Cuando se adiciona
aditivo y se compacta con el Modificado, entonces el CBR alcanza valores admisibles para
tráfico pesado (19,9%).
Fig. 9
La norma 6.1 IC, del 2003, establece tres secciones diferentes de firme (pavimentos), que han
de emplearse dependiendo del tipo de tráfico de proyecto: E1; E2 y E3. La tabla 2, muestra los

valores exigidos para estas categorías de explanadas y los valores del módulo de
compresibilidad en el segundo ciclo de carga, obtenido del ensayo de carga con placa (NLT-
357).
CATEGORIA DE EXPLANADA E1 E2 E3
EV2 (MPa) ≥ 60 ≥ 120 ≥ 300
Tabla 3
La Norma cubana 334-2004 establece también tres categorías de explanadas, de acuerdo al
CBR obtenido en la subrasante como valor de diseño. Se clasifican en: Aceptable, media y
buena, como se puede ver en la tabla 4.
Clasificación de subrasante Resistencia de diseño
Aceptable 5% ≤ CBR < 10%
Media 10% ≤ CBR < 15%
Buena CBR ≥ 15%
Tabla 4
Ascensión capilar.
Se preparó un ensayo para medir la ascensión capilar que se produce en las mezclas
estabilizadas. Es un ensayo sencillo que persigue conocer como asciende el agua a través del
material y el tiempo que pueden permanecer bajo la influencia del agua sin desmoronarse o
sufrir afectaciones importantes. Se ejecutó el ensayo con muestras de diferentes tiempos de
curado: 7, 14 y 28 días. La figura 10 contiene algunos de estos resultados, después de ser
sometidas a la acción del agua por 24 horas.
Figura 10. Ensayo de ascensión capilar.
Las muestras de suelo natural se desintegraron a las dos horas, mientras que las muestras con
aditivo resistieron la influencia del agua. Fueron sometidas al ensayo después de haber sido
curadas a 7, 14 o 28 días, y en todos los casos incrementaron su peso, por la presencia de
humedad, sin desintegrarse. No se apreciaron, sin embargo, influencia significativa del tiempo de
curado, por lo que se supone que, aunque existe ascensión capilar, el curado de 7 días es un
tiempo suficiente para que las muestras hayan adquirido la necesaria resistencia a la acción de
la humedad.
La figura 11 representa el incremento de peso que han tenido las probetas estabilizadas
químicamente, que han sido sometidas al proceso de ascensión capilar. Como se observa
claramente, la pendiente de variación del peso la humedad se reduce con los días de curado, lo
que evidencia la importancia del tiempo de curado en la mejora de las características de la
mezcla.

Fig. 11
> 14
< 14
< 12
< 10
< 8
< 6
< 4
< 2
< 0
< -2
Var3 = 3,0721+1,0545*x-0,299*y+0,0105*x*x-0,0113*x*y+0,0059*y*y
Fig. 12

Resistencia a compresión axial
qu (kPa)
Mean±0,95 Conf. Interval Raw Data
suelo natural 7 dias 14 dias 28 dias
Dias de curado
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
Fig. 13
Mean Mean±0,95 Conf. Interval
suelo natural 7 dias 14 dias 28 dias
Dias de curado
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
qu (kPa)
Fig. 14
El suelo procedente de la Cantera La Manuela que clasifica como un A-2-7 (0), en el Mariel; mejoró
sus propiedades mecánicas de manera significativa, con la aplicación del aditivo. Se demostró con
estos trabajos que, además de una mezcla resistente, se obtiene también apreciable reducción en la

absorción por capilaridad, con lo cual el suelo se hace más resistente a los efectos destructivos del
agua.
1.2. Estudio realizado con el material extraído de la Formación Vía Blanca.
En otra investigación se compararon los resultados de la aplicación del aditivo en suelos arcillosos1.
Para ellos se efectuaron pruebas con el empleo del Rocamix en un suelo de la Formación Vía
Blanca, con una granulometría y plasticidad tal que permiten clasificarlo como un suelo A-7-6 (20),
según el Sistema de Clasificación AASTHO; una arcilla de alta compresibilidad y alto cambio de
volumen y de acuerdo al Sistema SUCS, como un suelo CH, arcilla de alta compresibilidad. El LL
promedio de las muestras ensayadas es de 68%, mientras que el LP es de 29%, para un IP del 39%.
Los resultados del ensayo del Hidrómetro, 0,074mm, se muestran en la tabla 5. Como se observa, el
contenido de arcilla se encuentra en un orden del 25%.
Tabla 5. Análisis granulométrico a las partículas menores al tamiz 200.
Ensayo del Hidrómetro.
En la investigación se incorporó un porcentaje de aditivo de 1,5% y 2% de cemento respecto al peso
de suelo. También se analizó la influencia de la energía de compactación, utilizando dos energías
diferentes, estándar y modificado.
1.2.1 Ensayos de CBR.
La figura 15 muestra los resultados del CBR, para el suelo natural, con las energías estándar y
modificadas. Como se puede comprobar la resistencia del suelo es muy baja, inferior a los niveles
exigidos para subrasante, aún con la energía del Modificado. Incluso es un suelo que no cumple los
valores de material para núcleo de terraplenes. (Mencionar norma española de terraplenes).
Los valores del CBR con la adición del Rocamix se pueden ver en la figura 16. Nótese que los
valores de CBR se han incrementado hasta valores admisibles, pasando desde 1,2% con el suelo
natural hasta 5,6% de CBR, cuando se ha estabilizado, empleando la energía del modificado.
1 Comparación de los resultados de diversos ensayos en suelos arcillosos estabilizados con el nuevo
ROCAMIX líquido.

Curva esfuerzo-deformación para el suelo natural y energía estándar.
Curva esfuerzo-deformación para el suelo natural y energía del Modificado.

Fig. 15 Resultados Ensayo CBR para Suelo Natural
Curva esfuerzo-deformación para el suelo estabilizado con Rocamix y energía estándar.
Fig. 16 Resultados Ensayo CBR para Suelo estabilizado con Rocamix y energía estándar

Curva esfuerzo-deformación para el suelo estabilizado con Rocamix y energía del modificado.
Fig. 17 Resultados Ensayo CBR para Suelo estabilizado con Rocamix y energía del modificado
Se comprobó que la adición del Rocamix el suelo incrementa su resistencia de forma apreciable y
que la energía aplicada favorece estos resultados, de la misma forma que sucede en otros sistemas
de estabilización, observándose que en el caso de la Estabilización del Modificado este suelo
arcillosos de baja capacidad portante como Natural, llega a alcanzar un CBR, que le permite su
empleo como Subrasante para carreteras.
1.2.2. Resultados del Ensayo de Ascensión Capilar del Suelo de la Formación Vía Blanca
estabilizado con el Sistema Rocamix.
a) Resultados de los Ensayos de Ascenso Capilar en muestras de suelo preparadas con el
miniproctor y compactadas con energía estándar.
Tabla 6. Resultados de la ascensión capilar de las muestras de suelo con energía estándar
Las Muestras confeccionadas con el miniproctor aplicando la energía Proctor Estándar que no
contienen aditivo se saturan inmediatamente y se derrumban ofreciendo insignificante diferencia
en cuanto al curado pues colapsan finalmente, observar que todas las muestras con aditivo
ofrecen una mayor resistencia a la capilaridad pues pesan menos.

b) Resultados de los Ensayos de Ascenso Capilar en muestras de suelo preparadas con
el miniproctor y compactadas con energía del proctor modificado.
Tabla 7. Resultados de la ascensión capilar de las muestras de suelo con energía proctor
modificado
Se puede observar que las muestras con aditivo absorben menos agua que las muestras sin
aditivos, observe que en el caso la muestra curada a 28 días los resultados indican que a medida
que el curado es mayor en tiempo las muestras absorben menos agua y que con la adición del
producto dicha pendiente va disminuyendo pues las muestras con más tiempo de curado ofrecen
mayor resistencia a la ascensión capilar.
1.2.3. Resultados del Ensayo de Compresión Simple de un Suelo de la Formación Vía
Blanca Estabilizado con el Sistema Rocamix.
Fig. 18 Resultados del ensayo de compresión simple sin y con aditivo para 7 días de curado.

Estos resultados muestran que a medida que adicionamos el aditivo Rocamix líquido el suelo
aumenta su resistencia a la compresión axial y que además se hace significativo en la diferencia de
energías de compactación de la muestra, se concluye entonces:
a) En todas las muestras se observa aumento de la resistencia a compresión axial con la adición del
producto Rocamix líquido.
b) Los valores de resistencia al esfuerzo axial aumenta de 0.5 kN/m2 a 3.8 kN/m2 de 7 a 14 días de
curado y hasta 7.0 kN/m2 a los 28 días de curado para la energía estándar de confección de las
muestras con aditivo.

c) Los valores de resistencia al esfuerzo axial aumenta de 9.5 kN/m2 a 10.5 kN/m2 de 7 a 14 días de
curado y hasta 20kN/m2 a los 28 días de curado para la energía modificado de confección de las
muestras con aditivo.
d) Las resistencias aumentan con la adición del producto entre 1.0 kN/m2 y 2.0 kN/m2 para la
energía estándar y entre 3.0 kN/m2 y 5.0 kN/m2 para la energía modificado, el aumento es más
apreciable para el caso de curado de 28 días.
1.2.4. Conclusiones Suelo Formación Vía Blanca
El suelo objeto de estudio después de ser debidamente examinado mediante los ensayos de
Granulometría e hidrómetro e índices de plasticidad clasifica como un: SUCS Arcilla de alta
compresibilidad (CH) AASHO A-7-6 (20) Arcilla de alta compresibilidad y alto cambio de
volumen Por lo que le corresponde una dosificación correspondiente al manual de 2% de cemento +
14.8ml del producto ROCAMIX para 1.0 kg de suelo a estabilizar. 2. El parámetro CBR aumenta
significativamente con la adición del producto y con el aumento de energía de compactación con que
se confeccionan las muestras. Este parámetro es de gran importancia para el diseño de carreteras
pues en los proyectos de confección de bases, subbases y subrasantes es una de las
condicionantes de diseño más importante a medir. 3. De forma general las mejoras en las
propiedades del suelo con respecto a su ascensión capilar de un suelo estabilizado con Sistema
ROCAMIX Líquido se evidencia en la disminución del nivel de ascensión capilar que en este caso
fue medido por peso de las probetas. A medida que la muestra se realiza con mayor energía de
compactación menos asciende el agua, la adición del producto demuestra que existe menos
posibilidad de ascensión capilar y el aumento del tiempo de curado demuestra este efecto pero en
menos medida. 4. Aumenta considerablemente la resistencia a la compresión axial con la presencia
del aditivo, es más significativo en este parámetro el aumento del tiempo de curado de 7, 14 a 28
días e igualmente asciende la resistencia con el aumento de la energía de compactación.
Conclusiones:
De los estudios y análisis realizados podemos afirmar que es factible el empleo del Sistema de
Estabilización e Impermeabilización de suelos creado a partir de sales cuaternarias de amonio en la
estabilización de suelos que serán utilizados en la conformación del paquete estructural de un
pavimento flexible. Se demuestra su efectivo poder en el sustancial mejoramiento de las propiedades
de resistencia y permeabilidad de los suelos finos-arcillosos, que por lo general son considerados
suelos no aptos para la construcción de pavimentos flexibles y rígidos.
Los procesos constructivos y de mantenimiento de pavimentos utilizando el sistema propuesto no
requieren de equipos especiales. Hemos podido obtener en este estudio, que su empleo en dos tipos
de suelos diferentes permite obtener parámetros de capacidad soportante que satisfacen su empleo
como subrasante de carreteras según las Normas españolas, cubanas e incluso la AASHTO. Incluso
queda demostrado que su empleo reduce la Permeabilidad del suelo, lo cual es muy ventajoso en la
ejecución de obras viales, ya que con ello podemos asegurar que los costos de mantenimiento
futuros serán menores. Hay que añadir que esta Tecnología, contribuye a lograr potenciar la
protección del medio ambiente, en momentos en que la exigencia mundial en este sentido es cada
vez mayor debido a que reduce la necesidad de utilización de fuentes de préstamos que obligan a
realizar movimientos de tierras voluminosos que por demás hacen que el consumo de combustibles
aumente y con el los costos lógicamente.
Este trabajo que presentamos forma parte integrante de un Proyecto de Investigación que se
desarrolla en Cuba, con vistas a consolidar el concepto de las ventajas de esta técnica de
Estabilización química de suelos, como parte de los esfuerzos que hoy se realizan en función de la
Protección del Medio ambiente y la necesidad de reducir los costos de las inversiones, más aún a
partir de la reducción del consumo de combustibles fósiles.

Bibliografía:
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• VIVAR ROMERO, G. (1995). Diseño y Construcción de pavimentos. Lima. Colegio de
Ingenieros del Perú.

Nuevo Modelo para la Determinación del Factor de Fricción en el régimen de flujo
turbulento.
New Model for Determining the Friction Factor in turbulent flow regime.
MSc. Ing. Yanán Camaraza Medina
Ingeniero mecánico. Especialista de Proyecto e Ingeniería
Empresa de Proyectos de Arquitectura e Ingeniería.
EMPAI. Matanzas. Cuba
Miembro UNAICC
Teléfono: (45) 291802 ext.217
E-mail: yanan-camaraza@empai.co.cu
Dr. Ing. Osvaldo Fidel García Morales
Universidad de Matanzas “Camilo Cienfuegos”. Cuba
Recibido: 20-05-11
Aceptado: 30-06-11
RESUMEN:
En este trabajo se exponen los resultados de la continuidad del proceso investigativo llevado a
cabo en el Centro de Estudios de Combustión y Energía , perteneciente a la Facultad de
Ingenierías Química y Mecánica de la Universidad de Matanzas, relacionadas con la obtención
de modelos adimensionales para la determinación del factor de fricción en el interior de
tuberías. La investigación consiste de un análisis de regresión efectuado entre el factor de
fricción, el número de Reynolds y la rugosidad relativa, utilizando para este fin datos
experimentales reportados por diversos autores, estableciéndose una comparación con la
ecuación trascendente del factor de fricción de Colebrook, el modelo más exacto conocido,
obteniéndose que no existen diferencias significativas, debido a la alta similitud existente entre
los resultados obtenidos a partir de estos modelos en el rango estudiado de los parámetros de
trabajo, aunque la divergencia entre los valores experimentales y los obtenidos por el modelo
propuesto es ligeramente menor.
Palabras Clave: Modelos Adimensionales, Regresión, Factor de Fricción.
ABSTRACT:
In this work presents the continuity results of the research conducted , in the Studies Center of
Combustion and Energy, belonging to the Faculty of Chemical and Mechanical Engineering, in
the University of Matanzas, essentially based on the determination of the friction factor inside
pipes. In this, it is obtained a new no dimensional model for determining friction factor that allow
required precision without a complex analysis system. The research was done with a regression
analysis between friction factor and Reynolds number, relative roughness using experimental
data reported by different authors, establishing comparison with the most precise model known:
the transcendental equation from Colebrook, concluding that between new model and the most
universally used there are not signified differences without is lightly better.
Keywords: Dimensionless Models, Regression, Friction Factor
Introducción:

MSc. Ing. Yanán Camaraza Medina. Nuevo Modelo para la Determinación del factor de fricción
en el régimen de flujo turbulento.
El cálculo de la caída de presión por el interior de conductos rectos es una necesidad de
muchos cálculos de proyecto o evaluación de instalaciones industriales, el cual se realiza
generalmente, a partir de la ecuación de Darcy.
2
= (m) (1)
g
V
h f l
* *
l d
2 *
eq
Donde:
h p l ρ *
= es la pérdida de carga (m)
g
Δ
Δp es la caída de presión en el conducto, Pa.
ρ es la densidad del fluido, kg/m3.
g es la aceleración de la gravedad, m/s2.
f es el factor de fricción de Darcy, adimensional.
l es la longitud del conducto por cuyo interior se mueve el fluido, m.
V es la velocidad del fluido por el interior del conducto, m/s.
eq d es el diámetro equivalente del conducto, m.
Para el caso particular de conductos de sección transversal cilíndrica, el diámetro equivalente
es su diámetro interior.
El valor del factor de fricción de Darcy, y la ecuación utilizada para su cálculo, depende del
régimen de flujo. En régimen laminar la expresión general desarrollada es la siguiente (Perry et
al, 2008):
f = A (2)
Re
Donde
A es una constante que depende de la forma geométrica de la sección transversal del
conducto, que para el caso de conductos cilíndricos A= 64.
Re es el número adimensional de Reynolds, el cual se calcula como:
eq V * d
Re = (3)
ν
Donde:
ν es la viscosidad cinemática del fluido, m2/s.
En la denominada zona de transición del régimen turbulento, el factor de fricción es función del

número adimensional de Reynolds Re y de la rugosidad relativa e / d , o sea:
f = φ (Re, e / d )
En la literatura consultada se reportan un grupo notable de ecuaciones explícitas para el
cálculo del factor de fricción de Darcy f en tuberías lisas y rugosas para régimen turbulento,
dentro de las cuales se destacan las ecuaciones mostradas en la Tabla 1, las cuales poseen
una divergencia máxima aproximadamente igual a ± 30 % al comparar los resultados del valor
del factor de fricción obtenidos mediante su empleo con los datos experimentales disponibles,
según lo reportado por los autores [Chow et al, 1981], [Crane, 1989], [Fernández Diez, 2000],
[Mark, 2001], [Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [Moody, 1959], [Cameron, 1968],
[Sámano, 2003], pero tienen como ventaja la facilidad que brindan para determinar el valor
numérico del factor de fricción.
El valor de la rugosidad absoluta e , incluido en las anteriores ecuaciones, varía con el material
del conducto y con la tecnología de su fabricación. En este trabajo se utilizarán los valores
medios a partir de las recomendaciones de la literatura especializada consultada, además se
insertarán los valores estipulados por la NC 176-2002, los cuales son reportados en las Tablas
# 2 y # 3 respectivamente.
Tabla # 1. Ecuaciones empíricas para la determinación del factor f de Darcy
Ecuación Autor y
referencias
5.74
⎤
⎡
⎞
⎛
= d +
6,81
⎤
⎡
⎞
⎛
⎞
= − d + ⎛
5,74
⎤
⎡
⎞
⎛
= − d +
6,9
⎤
⎡
⎞
⎛
⎞
⎛
= − d
Rango de validez Divergencia
máxima (%)
2
Re0.9
3.7
1.325* ln
−
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
e
f
(Streeter, 2000)
(4)
5000 ≤ Re ≤ 108
0,01 ≤ e
d
≤ 10−6 3,21
2
0,9
Re
3.7
1 2*
−
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠
⎜⎝
e
Log
f
(Pavlov et al,
1981)
(5)
5000 ≤ Re ≤ 108
0,01 ≤ e
d
≤ 10−6 2,95
2
Re0,9
3.7
1 2*
−
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
e
Log
f
Miller citado por
(Fox y McDonald,
1995)
(6)
5000 ≤ Re ≤ 108
0,01 ≤ e
d
≤ 10−6 3,24
1,11 2
Re
3.7
1 1,8*
−
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
+
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
e
Log
f
Ec. Haaland
(Zalen y Haaland,
1983)
(7)
5000 ≤ Re ≤ 108
0,01 ≤ e
d
≤ 10−6 1,44

. Tabla # 2 Valores de e para distintos materiales de los tubos
Tipo de tubo e (mm)
Tubos de acero sin costura 0.2
Tubos de acero galvanizado 0.125
Tubos de aceros viejos y herrumbrosos 0.67 - 2.0
Tubos de hierro fundido nuevo 0.26
Tubos de hierro fundido usados 1.4 - 2.0
Tubos de aluminio lisos 0.015 - 0.06
Tubo de latón, cobre, plomo, (sin costura ) 0.0015 - 0.01
Tubos de hormigón sin pulir 3 - 9
Tubos de hormigón pulido 0.3 -0.8
Tabla # 3 Valores de e para distintos materiales de los tubos (según la NC 176-2002)
Material del tubo Rango Valores Recomendados
Hierro fundido 0,15 a 0,35 0,26
Acero galvanizado 0,07 a 0,23 0,15
Asbesto cemento 0,03 a 0,10 0,07
Cobre 0,01 a 0,05 0,03
Plástico 0,0005 a 0,01 0,003
Colebrook, según [Perry et al, 2008], [Crane, 2004], [Fernández Diez, 2002], [Mark, 2008],
[Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [White, 2001], [Vennard, 1988] y [Sámano,
2003], encontró que los resultados de las pruebas experimentales para la zona de
transición del régimen turbulento se conglomeraban muy cercanamente a una línea única, la
cual es expresada matemáticamente por una ecuación de tipo trascendente, la cual se muestra
a continuación:
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜
d
e
Log
= +
2,51
3,7
1
f Re*
⎝
f
(8)
e .
Esta ecuación es válida para 4000 ≤ Re ≤ 108 y 5*10−2 ≤ d ≤ 10−7
Sin embargo es conocido, y confirmado a la vez por los experimentos, que en la zona
totalmente rugosa el valor numérico del número adimensional de Reynolds deja de ejercer
influencia sobre el factor de fricción, dependiendo este solamente de la rugosidad relativa del
conducto por el cual circula el fluido.
El valor numérico del número adimensional de Reynolds, a partir del cual el factor de fricción
comienza a ser constante puede ser determinado mediante la siguiente expresión,

recomendada por [Kreit et al, 1999], [Crane, 2004], [Fernández Diez, 2000], [Mark, 2008],
[Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999], [White, 2001], [Streeter, 2000], [Sámano, 2003]
y [Perry et al, 2008], y con cuyo uso no se incurre en un error numérico superior al 3 %
Re 550,01 *
( ) −
1,125 e CRIT (9)
= d
Existe el criterio por parte de la inmensa mayoría de los autores de prestigio en tema tanto a
nivel nacional como internacional, que el número adimensional de Reynolds a partir del cual un
fluido cualquiera se encuentra circulando en la zona totalmente rugosa, se puede determinar
con una mayor precisión a partir de la siguiente correlación de tipo trascendente:
1 f
39200
*
Re
d
e
CRIT
=
1
A B
f = (10)
(9.1)
El modelo reportado por Colebrook para el cálculo del factor de fricción permite obtener
resultados más confiables, ya que, como se afirma, es el de mejor ajuste a los datos que le
dieron origen, aunque el error de ajuste a los datos utilizados en su obtención y validación es
de ± 25 % , según [White, 2001] y [Nayyar, 2003], y tiene como inconveniente la necesidad de
implementar un método de aproximaciones sucesivas para determinar el valor del factor de
fricción.
Al comparar los valores del factor de fricción obtenidos por la ecuación de Colebrook y por las
ecuaciones reportadas en la Tabla 1 se puede apreciar que existe una divergencia entre estos,
pudiendo apreciarse que los valores calculados por la ecuación de Haaland son los de menor
divergencia respecto a los brindados por la ecuación de Colebrook.
La ecuación de Colebrook fue representada gráficamente por Moody, en forma de un diagrama
de Stanton, el cual puede encontrarse en las siguientes referencias [Chen et al, 1999], [Crane,
2004], [Fernández Diez, 2000], [Mark, 2008], [Nayyar, 2003], [Shames, 2001], [Wallas, 1999],
[White, 2001], [Vennard, 1988], [Sámano, 2003], [Streteer, 2000] y [Fox y McDonald, 1995].
Ante la limitante del empleo del método de aproximaciones sucesivas al calcular el valor del
factor de fricción por la ecuación de Colebrook y a que los valores de divergencia de las
ecuaciones explícitas mostradas en la Tabla 1 respecto a la anterior son aún grandes se ha
establecido en este trabajo el objetivo de establecer una ecuación explícita, que sea válida en
la zona de transición del régimen turbulento , que permita obtener con facilidad el valor del
factor de fricción, cuya divergencia respecto a la ecuación de Colebrook sea menor que el de
las ecuaciones anteriormente citadas de la Tabla 1 y cuyo error de ajuste a los datos sea
menor del 30%.
Desarrollo:
[Camaraza, 2008] tras la generalización de muchos datos obtenidos a partir de la búsqueda de
información sobre el tema [Cameron, 1969], [Wood, 1947], propuso una ecuación para el
cálculo del factor f en la zona de transición del régimen turbulento, la cual se expresa de la
siguiente forma:
( * )2
Donde:

1,12 0,01 2,5
⎡ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
1,048 * ln Re *
A (10.1)
2,497
−
⎤
⎥⎦
⎢⎣
=
d
e
( ) ( )
⎞
⎟ ⎟ ⎟
B (10.2)
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜
3,27 *
ln 47,5
1,12 2,25
d
e
= + +
⎝
d
e
Re 18,26
Re
2
0,001 ≤ e y 4000 ≤ Re ≤ 1,81*108
En la ecuación anterior A = 0,392 para d
La ecuación anterior fue validada con los datos reportados por Halaand y Moody obteniéndose
una divergencia máxima del orden del 24.83 %
La ecuación propuesta da valores muy cercanos a los obtenidos por la ecuación de Colebrook,
con una divergencia máxima de 0,8 % y promedio de 0,3 %.
El error cometido, por exceso o por defecto, con respecto al valor obtenido a partir del modelo
reportado por Colebrook se puede evaluar mediante la siguiente ecuación, con un coeficiente
de correlación de 99 %.
⎞
⎛
= −
error C
⎜ ⎜⎝
1 * 100 f
⎟⎠
⎟ Si el error es (+) es por exceso
Si el error es (-) es por defecto
1,36*
⎡
⎛
d
e
= + +
⎛
A
f Log e (12)
2* *0,2707 1
⎤
⎡
⎞
⎡
3,27 *
2,296* 47,5
= + +
⎤
⎡ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ = d
B Log e (12.2)
(11)
Donde:
( ) 2
6,3
2
2
Re *
*Re
13,74
5,302 *
−
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
f f
d
e
C Ln (11.1)
Profundizando en el análisis se obtuvo posteriormente [Camaraza y Landa, 2008] una
ecuación mejor que la anterior para la determinación del factor de fricción de Darcy, la cual es
válida en el mismo intervalo que el modelo de Colebrook, obtenido incrementando nuevos
datos a la base utilizada, quedando escrita de la siguiente forma:
2
1
−
⎥⎦
⎢⎣
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= − −
B
d
Donde:
( ) ( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
Re 18,26
Re
1,12 2,25
1 2
d
e
d
e
A Log (12.1)
( ) 1,12 0.01 2,5
1 * Re Re* ⎥⎦
⎢⎣
Para el caso de tuberías lisas ( d = 0)
e , el factor de fricción de Darcy de la ecuación (12), se
obtiene entonces por la siguiente expresión:

2
= − ⎛ f Log A (13)
2
Re
2*
−
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
⎞
⎟⎠
⎜⎝
Donde:
⎤
2 A Log (13.1)
⎥⎦
⎡
8,23* Re
⎢⎣
=
0,56
3,196
En múltiples ocasiones en la ingeniería práctica se necesita determinar el caudal para un valor
preestablecido de caídas de presión y de diámetro, entonces combinando la ecuación
propuesta (12) con la ecuación (1), se obtuvo [Camaraza y Landa, 2008] una nueva ecuación
válida en el mismo intervalo que la ecuación (12), la cual permite calcular el caudal necesario
para un valor de diámetro y caída de presión preestablecidas, quedando esta nueva ecuación
de la siguiente forma:
⎡
5
Q P d ν (14)
m3
⎤
⎥⎦
⎢⎣
Δ
+
Δ
= 3
3,082* *
48,41* * * 0,2707* *
P d
L
d
Log e
L
Q es el caudal calculado, en s
ΔP es el valor de la caída de presión, en m
L es el valor de la longitud de la tubería, en m
d es el diámetro equivalente de la tubería, en m
La ecuación propuesta, (12), arroja una divergencia máxima de los valores calculados del
factor de fricción con respecto a los obtenidos por el modelo de Colebrook del orden de
± 0,144 % , valor que fue obtenido implementando un algoritmo de cálculo en la herramienta
computacional MATLAB 7.0, concebido para la comparación de dos ecuaciones mediante el
cálculo de la divergencia de los valores numéricos que estas ofrecen, los que son obtenidos a
partir de iguales valores de sus variables independientes. Su representación gráfica se muestra
en la figura 1.

Como se observa la divergencia entre estos modelos es pequeña, pero surge la interrogante de
cuál de estos modelos representa en mejor medida los datos experimentales que le dieron
origen o se utilizan para su validación. Para subsanar este tema se realiza un análisis de
validación de ambos modelos para tubos nuevos y limpios, así como para tuberías con tiempo
de explotación, utilizando para ello valores almacenados en una base de datos de cerca de
6048 valores creada con los datos reportados por Moody y Halaand, los cuales fueron
obtenidos de las referencias anteriormente citadas.
El cálculo del error relativo al validar la ecuación de Colebrook se muestra en la figura 2,
obteniéndose un valor máximo de 20.18 %.
Para la ecuación que se investiga se encontró un error máximo de validación del 19.91 %,
apreciable en la Figura 3.
De los resultados obtenidos se observa una menor divergencia de los valores obtenidos por la
ecuación propuesta con los datos experimentales utilizados en su validación que el alcanzado
por el modelo de Colebrook, siendo adicionalmente más sencilla de implementar en un proceso
de cálculo dado, por lo que la ecuación investigada y propuesta se recomienda sea utilizada en
el rango de valores de rugosidad relativa y de números adimensionales de Reynolds en que fue
obtenida y validada.
Si se analiza la ecuación propuesta para diferentes intervalos de Reynolds y rugosidades se

aprecia (Figuras 4, 5, 6, 7, 8, 9,10) que:
1. Existe una excelente aproximación a los valores experimentales en los intervalos de
e y 3000≤Re≤105 , siendo especialmente exacta esta
10−5 < < 4,2*10−4 d
observación para bajos valores de rugosidad relativa. El error relativo máximo oscila entre
6,12 y 14,53 %, siendo su menor valor de 0,12 %, tendiendo a disminuir en la medida que
disminuye la rugosidad relativa, como se muestra en alguna medida en los ejemplos de las
Figuras 4,5,6,7,8,9,10, y aumenta con el incremento del valor del número adimensional de
Reynolds.
2. Para Re≥105 se aprecia que la divergencia entre el modelo y los datos comienza a ser
grande y se incrementa con el valor del número adimensional de Reynolds, lo que
presupone que pudiese ajustarse un modelo más exacto en dicho rango de valores.

Conclusiones:
Se ha obtenido un modelo explícito para la estimación del factor de fricción de Darcy en la zona
de transición del régimen turbulento de mejor ajuste a los datos experimentales que le dieron
origen que el modelo trascendente obtenido por Colebrook, lo que facilita su aplicación en los
cálculos de Ingeniería y permite alcanzar una mayor precisión en la determinación de sus
valores numéricos y en los que se deriven a partir del uso de este parámetro en un proceso de
cálculo.
La representación matemática del modelo explicito propuesto para la zona de transición es:
2
⎛
f Log e
⎜ ⎜⎝
A
2* *0,2707 1
B
1
−
⎤
⎥⎦
⎡
= − −
⎢⎣
⎞
⎟ ⎟⎠
d
Donde:
( ) ( )
⎡
3,27 *
2,296* 47,5
= + +
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
Re 18,26
Re
1,12 2,25
1 2
d
e
d
e
A Log y ( ) 1,12 0.01 2,5
⎤
⎡ ⎟⎠ ⎞
B Log e
1 * Re Re* ⎥⎦
⎢⎣
⎜⎝ ⎛
= d
e
Siendo válido para los intervalos de 4000 ≤ Re ≤ 108 y 5*10−2 ≤ d ≤ 10−7
Se ha obtenido una ecuación que permite el cálculo del gasto a partir de los valores de caída
de presión, diámetro y longitud de la tubería utilizando el modelo propuesto.
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