1. By:
CESEN ISRAEL
CORDOVA ANDRES

2. NODOS Y GRADOS DE LIBERTAD
LOS NODOS
• Desempeñan un papel fundamental en el análisis de toda la estructura.
• Son los puntos de conexión entre los elementos, y son los principales
lugares en la estructura en la que los desplazamientos son conocidos o se
han de determinar.
LOS GRADOS DE LIBERTAD
• Es el número total de desplazamientos desconocidos en los nodos de la
estructura. Como máximo un nodo pude tener seis desplazamientos
desconocidos, tres rotacionales y tres lineales en los marcos rígidos
tridimensionales; dos rotacionales y uno lineal en los reticulados o
entramados; dos lineales y uno rotacional en los sistemas rígidos planos;
dos y tres lineales en cerchas bi y tridimensionales.
• El grado de libertad puede determinarse, entonces, contando únicamente

3. Este capítulo describe las propiedades de los nodos, grados de libertad, cargas e
información de salida. Información adicional sobre nudos y grados de libertad se
encontrara en el capitulo “Constraints and Welds”.
TEMAS BÁSICOS PARA TODOS LOS USUARIOS
• Overview (Visión general)
• Modeling Considerations (Consideraciones de modelado)
• Local Coordinate System (Sistema de Coordenadas Local)
• Degrees of Freedom (Grados de Libertad)
• Restraints and Reactions (Restricciones y Reacciones)
• Springs (Cimentaciones)
• Masses (Masas)
• Force Load (Fuerza de carga)
• Ground Displacement Load (Carga de de Desplazamiento de tiera)
• Degree of Freedom Output (Información de sálida de los Grados de
libertad)
• Assembled Joint Mass Output (Montaje de salida misa conjunta)
• Displacement Output (Desplazamiento de salida)
• Force Output (Información de sálida de las fuerzas)
TEMAS AVANZADOS
• Advanced Local Coordinate System (Sistema Avanzado de Coordenadas
Local)
• Generalized Displacements (Desplazamientos)

4. OVERVIEW
• Los nudos son parte fundamental de todo modelo estructural y
realizan una variedad de funciones:
• Todos los elementos están conectados a la estructura en
las articulaciones o nudos.
• La estructura se apoya en los nudos usando restricciones y/o
cimentaciones.
• Las condiciones de cuerpo rígido y condiciones de simetría se
puede especificar usando limitaciones que se aplican a los nudos.
• Las cargas concentradas pueden aplicarse a los nudos.
• La concentración de fuerzas inerciales y de la inercia rotacional
puede ser colocado en los nudos.
• Todas las cargas y fuerzas inerciales aplicadas a los elementos se
trasladan a los nudos.
• Las articulaciones son los primeros lugares de la estructura en
donde los desplazamientos pueden son conocidos (los soportes) o
se han de determinar.

5. • Cada nuda puede tener su propio sistema de coordenadas
locales para definir los grados de libertad, restricciones,
propiedades de los nudos, cargas y para interpretar los
resultados.
• Sin embargo el sistema de coordenadas globales X, Y, Z se usa
como sistema de coordenadas locales para todos los nudos del
modelo.
• Hay seis grados de libertad de desplazamiento en cada nudo;
tres de traslación y tres de rotación.
• Estos componentes de desplazamiento están alineados a lo
largo del sistema local de coordenadas de cada nudo.
• Las nudos pueden ser cargados directamente por cargas
concentradas o indirectamente por desplazamientos que actúan
en las restricciones o en los soportes de la cimentación.
• Los desplazamientos (traslaciones y rotaciones), fuerzas

6. MODELING CONSIDERATIONS
La ubicación de los nudos y elementos es crítica en la determinación de la
precisión del modelo estructural. Algunos de los factores que debe tener
en cuenta en la definición de los elementos, y por lo tanto de los
nudos, para la estructura son:
• El número de elementos debe ser suficiente para describir la geometría
de la estructura. Para las líneas rectas y bordes, un elemento es
adecuado. Para las curvas y superficies curvas, un elemento debe ser
usado para cada arco de 15° o menos.
• Los límites del elemento, y por lo tanto los nudo, deben estar ubicados
en puntos, líneas y superficies de discontinuidad:
- Límites estructurales, por ejemplo, las esquinas y los bordes.
- Los cambios en las propiedades del material.
- Los cambios en el espesor y otras propiedades geométricas.

7. - Puntos de apoyo (Apoyos y cimentaciones).
- Los puntos de aplicación de las cargas concentradas, salvo
que los elementos frame/cable tengan cargas concentradas
aplicadas en sus luces.
• En regiones con grandes gradientes de esfuerzo, es decir, donde los
esfuerzos cambian rápidamente, una mallado area o solido sera refinado
usando elementos mas pequeños y nudos con menos separación. Esto
puede requerir el cambio de la malla después de uno o más análisis
preliminares.
• Más de un elemento debe ser utilizado para modelar la longitud de
cualquier luz para lo cual el comportamiento dinámico es importante. Esto
es necesario porque la ¨mass¨ esta siempre concentrada en los nudos,
incluso si es aportado por los elementos.

8. LOCAL COORDINATE SYSTEM
• Cada nudo tiene su propio sistema conjunto de coordenadas
locales usado para definir los grados de libertad, las restricciones,
las propiedades y cargas en los nudos, y para la interpretación de la
información de salida de los nudos.
• Los ejes del sistema de coordenadas locales de los nudos se
denotan con 1, 2, y 3.
• Por defecto, estos ejes son idénticos a los globales X, Y, y Z,
respectivamente.
• Ambos sistemas son diestros sistemas de coordenadas.
El sistema de coordenadas locales por defecto es adecuado para la
mayoría de las situaciones.
• Sin embargo, para ciertos propósitos de modelado puede ser útil el
uso de un sistema diferente de coordenadas locales en algunos o
todos los nudos.

9. ADVANCED LOCAL COORDINATE SYSTEM
Por defecto, el sistema de coordenadas locales 1-2-3 es idéntico al sistema global de
coordenadas X, Y, Z; como se describe en el tema anterior.
Sin embargo, puede ser necesario usar diferentes sistemas de coordenadas locales
en algunos o todos los nudos en los casos siguientes:
• Asimetría de los apoyos o restricciones está presente.
• Las restricciones se utilizan para imponer simetría rotacional.
• Las restricciones se utilizan para imponer simetría respecto a un plano que no es
paralelo a un plano de coordenadas globales.
• Los ejes principales de la masa de los nudos (traslación o rotación) no están
alineados con los ejes globales.
• La fuerza y los desplazamientos es necesitado en otro sistema de coordenadas
locales.
El sistema de coordenadas locales solo necesita ser definido para los nudos
afectados. El sistema de coordenadas globales se utiliza para los nudos en los
cuales el sistema de coordenadas globales no esta definido.

10. DEGREES OF FREEDOM
La desviación del modelo estructural se rige por los desplazamientos de
los nudos.
Cada nudo del modelo estructural puede tener hasta seis
desplazamientos:
 El nudo puede trasladarse a lo largo de sus tres ejes locales.
Estas traslaciones se denotan con U1, U2, U3.
 El nudo puede rotar al rededor de sus tres ejes locales. Estas
rotaciones se denotan R1, R2, y R3.
Estos seis componentes de desplazamiento se conocen como los grados
de libertad del nudo.
En el caso habitual en el que el sistema de coordenadas locales es
paralelo el sistema global de coordenadas, los grados de libertad pueden
ser identificados como UX, UY, UZ, RX, RY y RZ; según a lo cual los ejes
globales son paralelos a los ejes locales.

11. LOS 6 GRADOS DE LIBERTAD EN EL SISTEMA LOCAL DE
COORDENADAS

12. Cada grado de libertad en el modelo estructural debe ser uno de
los siguientes tipos:
ACTIVE - el desplazamiento se calcula durante el análisis.
RESTRAINED - el desplazamiento es especificado, y la reacción
correspondiente se calcula durante el análisis.
CONSTRAINED - el desplazamiento se determina a partir de los
desplazamientos en otros grados de libertad.
NULL - el desplazamiento no afecta a la estructura y es ignorada por
el análisis.
UNAVAILABLE - el desplazamiento ha sido expresamente excluido
del análisis

13. AVAILABLE AND UNAVAILABLE DEGREES OF FREEDOM
Por defecto, todos los seis grados de libertad están disponibles
para cada nudo. Este defecto generalmente se utiliza para todas
las estructuras en tres dimensiones.
Para ciertas estructuras planas, sin embargo, es posible
restringir los grados de libertad. Por ejemplo, en el plano XY: una
armadura plana sólo necesita UX y UY; un marco plano sólo
necesita UX, UY, y RZ, y una rejilla plana o placa plana necesita
sólo UZ, RX, RY.
Los grados de libertad que no se especifican como disponibles
se denominan no disponibiles . Cualquier rigidez, carga, masa,
limitaciones o restricciones que se aplican a los grados de
libertad no disponibles son ignorados por el análisis.

14. RESTRAINED DEGREES OF FREEDOM
Si el desplazamiento de un nudo a lo largo de cualquiera de sus
grados de libertad disponibles es conocido, tal como en un punto
de apoyo, este grado de libertad es restrained.
El valor conocido del desplazamiento puede ser cero o distinto de
cero, y puede ser diferente en los diferentes casos de carga.
La fuerza a lo largo del grado de libertad restrained que es
requerida para imponer la restricción de desplazamiento es
llamada reacción y se determina por el análisis.
Los grados de libertad no disponibles ( unavailable) son
esencialmente restringidos , sin embargo, son excluidos de los
análisis y reacciones no se calculan, incluso si son distintos de
cero.

15. CONSTRAINED DEGREES OF FREEDOM
Cualquier nudo es parte de una restricción o soldadura puede tener uno
o más de sus grados de libertad disponibles limitados.
El programa crea automáticamente un master joint para gobernar el
comportamiento de cada restricción o limitación , y un master joint para
gobernar el comportamiento de cada conjunto de nudos que están
conectados entre sí por una soldadura.
El desplazamiento de un grado de libertad contrained se calcula como
una combinación lineal de los desplazamientos a lo largo de los grados
de libertad correspondientes al master joint.
Si un grado de libertad constrained es también retrained, el restraint
sera aplicado como un todo.

16. ACTIVE DEGREES OF FREEDOM
Todos los grados de libertad disponibles que no están limitados ni
restringidos tienen que ser activos o nulo. El programa determina
automáticamente los grados de libertad activos de la siguiente manera:
• Si cualquier carga o rigidez se aplica a lo largo de cualquier grado de
libertad de traslación en una junta, entonces todos los grados de
libertad de traslación disponibles en ese conjunto se activan a menos
que estén limitados o restringidos.
• Todos los grados de libertad de master joint que estan limitados se
hacen activos.
Cada grado de libertad activos tiene una ecuación asociada a resolver. Si
hay N grados de libertad activos en la estructura, hay ecuaciones de N en
el sistema, y ​la matriz de rigidez estructural se dice que es de orden N.

17. NULL DEGREES OF FREEDOM
Los grados de libertad disponibles que no están restringidas, limitadas, o
activo, se les llama los grados de libertad nulos.
Porque como no tienen carga o rigidez, su desplazamiento y las
reacciones son iguales a cero, y no tienen ningún efecto en el resto de la
estructura.
El programa automáticamente los excluye del análisis.
Los nudos que no tienen elementos conectados a ellos típicamente
tienen todos los seis grados de libertad nulos.
Los nudos que sólo tienen conectados a ellos elementos solidos tienen
tres grados rotacionales de libertad nulos.

18. RESTRAINTS AND REACTIONS
Si el desplazamiento de un nudo a lo largo de cualquiera de sus
grados de libertad disponibles tiene un valor conocido, ya sea cero
(por ejemplo, en los puntos de apoyo) o distinto de cero-(por
ejemplo, debido al apoyo de solución), un Restraint debe ser
aplicado a este grado de libertad.
El valor conocido del desplazamiento puede variar de acuerdo al
caso de carga, pero el
grado de libertad está restringida para todos los casos de carga.
En otras palabras, no es posible tener un desplazamiento conocido
en un caso de carga y desconocido (unrestrained) en otro.
Las restricciones se aplican siempre a los grados de libertad locales
del nudo U1, U2, U3, R1, R2 y R3.
La fuerza o momento a lo largo del grado de libertad que se requiere
para ubicar la restricción se llama reacción, y esta es determinada
por el análisis. La reacción incluye las fuerzas o momentos de todos
los elementos y cimentaciones unidas al grado de libertad

19. • En un análisis dinámico, la masa de la estructura se
utiliza para calcular las fuerzas de inercia. Normalmente,
la masa se ​obtiene a partir de los elementos mediante la
densidad de masa del material y el volumen del
elemento.
• Para una mayor eficiencia computacional y la precisión
de la solución, SAP2000 siempre utiliza agrupación
masas. Esto significa que no hay acoplamiento entre
masa y grados de libertad en una articulación o entre
articulaciones diferentes.
• Las fuerzas de inercia que actúan sobre las
articulaciones están relacionados con las aceleraciones
en las articulaciones por una
6x6 matriz de valores de masa. Estas fuerzas tienden a
oponerse a las aceleraciones.

20. •

21. • Desacoplado masas conjuntas en lugar que se especifique en
el sistema de coordenadas global, en cuyo caso se
transforman en el sistema de coordenadas local conjunta.
• Términos de acoplamiento se generarán durante esta
transformación en la siguiente situación:
• Los conjuntos de direcciones locales del sistema de
coordenadas no son paralelas globales de coordenadas
direcciones, y
• Las tres masas de traslación o rotación de los tres
momentos de inercia de masa no son iguales en una
articulación.
• Estos términos de acoplamiento serán descartadas por el
programa, lo que resulta en alguna pérdida de precisión. Por
esta razón, se recomienda que elija conjuntas sistemas de
coordenadas locales que están alineados con las direcciones
principales de masa traslacional o rotacional en una
articulación, luego, especifique los valores de masa en estas
coordenadas locales conjuntas.

22. • La fuerza de carga se utiliza para aplicar fuerzas
concentradas y momentos en los nudos. Los valores pueden
ser especificados en un sistema de coordenadas fijo (global o
suplente coordenadas) o el sistema conjunto de coordenadas
local. Todas las fuerzas y momentos en una articulación se
transforman en el sistema de coordenadas local conjunta y se
suman.
• Las fuerzas y momentos aplicados a lo largo de grados de
libertad restringidos se añaden a la reacción correspondiente,
pera no afectar de otra manera a la estructura.

23. • La carga de desplazamiento del suelo se utiliza para
aplicar desplazamientos especificados (traslaciones y
rotaciones) en el extremo conectado a tierra y las
limitaciones articulares apoyados a los estribos. Puede
ser especificado en un sistema de coordenadas fijo
(global) o el sistema de articulación de coordenadas
local.
• Las restricciones pueden ser considerados como
conexiones rígidas entre los nodos conjuntos y el suelo.
• Es muy importante entender que la carga de
desplazamiento del suelo se aplica al suelo, y no afecta
a la estructura a menos que la estructura está soportada
por restricciones o resortes en la dirección de la carga.

24. • La carga de fuerza se utiliza para aplicar fuerzas
concentradas y momentos en los nudos. Los valores pueden
ser especificados en un sistema de coordenadas fijo (global
o suplente coordenadas) o el sistema conjunto de
coordenadas local. Todas las fuerzas y momentos en una
articulación se transforman en el sistema de coordenadas
local conjunta y se suman.
• Las fuerzas y momentos aplicados a lo largo de grados de
libertad restringidos añadir a la reacción correspondiente,
pero no de otra manera afectar a la estructura.

25. • Si un grado particular de articulación libertad es restringida, el
desplazamiento de la articulación es igual al desplazamiento del
terreno a lo largo de ese grado de libertad locales. Esto se aplica
independientemente de si los resortes están presentes.
Los componentes del desplazamiento del suelo que no son
restringidas a lo largo de grados de libertad no se carga la estructura
(excepto posiblemente a través de resortes)

26. • Si un grado particular de articulación libertad es restringida, el
desplazamiento de la articulación es igual al desplazamiento del
terreno a lo largo de ese grado de libertad locales. Esto se
aplica independientemente de si los resortes están presentes.
• Los componentes del desplazamiento del suelo que no son
restringidas a lo largo de grados de libertad no se carga la
estructura (excepto posiblemente a través de resortes).

27. • Donde: u g1, g 2, g 3, rg1, rg2 y rg3 son los desplazamientos
de tierra y las rotaciones, y los términos u1, u2, u3, r1, r2, y r3
son la rigidez del resorte especificada coeficientes.
• Las fuerzas de resorte netas y momentos que actúan sobre la
articulación son la suma de las fuerzas y momentos dados en
las Ecuaciones (1) y (2); Nótese que estos son de signo
opuesto. En un grado moderado de libertad, el
desplazamiento de junta es igual a la tierra desplazamiento, y
por lo tanto la fuerza de resorte es cero.

28. • Un desplazamiento generalizado es una medida de
desplazamiento con nombre que se defina. Se trata
simplemente de una combinación lineal de los grados de
libertad de desplazamiento de una o más articulaciones.

29. • Una tabla de los tipos de grados de libertad presente en todas las
articulaciones del modelo está impreso en la salida del análisis
(OUT). Archivo bajo el título:
GRADOS DE LIBERTAD DE DESPLAZAMIENTO
Los grados de libertad se enumeran para todas las juntas regulares,
así como para las articulaciones maestro creado automáticamente
por el programa. Para las restricciones, las articulaciones, se
identifican por las etiquetas de sus restricciones correspondientes.
Para las soldaduras, la articulación master para cada conjunto de
articulaciones que se sueldan juntos es identificado por la etiqueta
de una de las juntas soldadas. Las articulaciones son impresos en
orden alfanumérico de las etiquetas.
El tipo de cada uno de los seis grados de libertad en un conjunto se
identifica por los símbolos siguientes:
(A) el grado de libertad activos
(-) El grado de libertad restringida
(+) Grado de libertad restringida
() Nulo o grado de libertad disponible

30. • Se puede solicitar un conjunto ensamblado de masas mixtas
como parte de los resultados del análisis. La masa en una
articulación dada incluye la masa asignado directamente a la
articulación, así como una porción de la masa de cada
elemento conectado a dicha articulación. Las masas están
siempre referidas a los ejes locales de la articulación.
• Puede solicitar desplazamientos conjuntos como parte de los
resultados del análisis en una base de caso por caso. Para
los casos de análisis dinámico, también puede solicitar las
velocidades y aceleraciones. La salida está siempre referidas
a los ejes locales de la articulación.

31. • Puede solicitar fuerzas conjuntas de apoyo como parte de los
resultados del análisis en una base de caso por caso. Fuerzas
conjuntas se distinguen como las fuerzas de retención son
(reacciones) o fuerzas de resorte. Las fuerzas en las
articulaciones no se frena o suspendida será cero.
Las fuerzas y los momentos son siempre referidas a los ejes
locales de la articulación. Los valores reportados son siempre
las fuerzas y momentos que actúan sobre las articulaciones.

32. • Las fuerzas de elemento de unión son fuerzas
concentradas y momentos que actúan en las uniones del
elemento que representan el efecto del resto de la
estructura sobre el elemento y la causa de que la
deformación del elemento. Los momentos siempre será
cero para los elementos sólidos de tipo: Planos, A sólidos
y sólidos.
• Un valor positivo de fuerza o momento tiende a causar
que un valor positivo de traslación o rotación del
elemento a lo largo de la articulación correspondiente
grado de libertad.
• Fuerzas de elemento de unión no se debe confundir con
las fuerzas y momentos internos que, como tensiones,
actúan dentro del volumen del elemento.