significa teorías y su representante y el problema

1. Problema de
los puentes de
Königsberg
STEVENSIGUA

2. Coordenadas: 54°42′12″N 20°30′56″E (mapa)
Mapa de Königsbergenlaépocade LeonhardEuler,que muestradónde se encontrabanlos
siete puentes(enverde claro) ylasramasdel río (enceleste).
El problemade lospuentesde Königsberg,tambiénllamadomásespecíficamente problemade
lossiete puentesde Königsberg,esuncélebre problemamatemático,resueltoporLeonhard
Euleren1736 y cuya resolucióndioorigenalateoríade grafos.1
Su nombre se debe
a Königsberg,laciudadde PrusiaOriental yluegode Alemaniaque desde 1945 se convertiría
enla ciudad rusa de Kaliningrado.
Esta ciudades atravesadaporel río Pregel,enruso«Pregolya»,el cual se bifurcapararodear
con susbrazos a la islaKneiphof,2
dividiendoel terrenoencuatroregionesdistintas,lasque
entoncesestabanunidasmediante siete puentesllamados Puentedelherrero,Puente
conector, Puenteverde,Puentedel mercado, Puentedemadera,Puentealto y Puentede la
miel.3
El problemafue formuladoenel sigloXVIIIyconsistíaenencontrarunrecorridopara
cruzar a pie todala ciudad,pasandosólounavezpor cada uno de lospuentes,yregresandoal
mismopuntode inicio.4
Contextualizacióndel problema
LeonhardEulerllegóaPrusiaen1741, a la edadde 34 años,donde vivióhasta1766 para luego
regresara San Petersburgo.Durante esosañostrabajóenla AcademiaPrusianade lasCiencias,
donde desarrollóunaprolíficacarreracomoinvestigador.5
Eulerfue contemporáneode varios
otros famososmatemáticosypensadoresprocedentesde aquellaciudad,tales
como Immanuel Kant, JohannGeorgHamann y ChristianGoldbach,porloque Königsbergfue
enese tiempounimportante epicentrocientífico.

3. Es en este ambienteyporestosaños enque surge la formulacióndel problemade lospuentes
de Königsberg,propagándoseamodode juegoy de triviamatemáticaentre losintelectuales
de la época.
Análisisysolución del problema
LeonhardEuler(1707 - 1783), famoso matemáticoque resolvióel problemaen1736, dando
origena la teoríade grafos.Retratode 1753.
El problema,formuladooriginalmentede manerainformal,consistíaenresponderala
siguiente pregunta:
Dado el mapa de Königsberg,conel río Pregel dividiendoel planoencuatro
regionesdistintas,que estánunidasatravésde lossiete puentes,¿esposible
dar un paseocomenzandodesde cualquierade estasregiones,pasandopor
todoslospuentes,recorriendosólounavezcadauno, y regresandoal mismo
puntode partida?
La respuestaesnegativa,esdecir,noexiste unarutacon estascaracterísticas.El problema
puede resolverse aplicandounmétododefuerzabruta,loque implicaprobartodoslos
posiblesrecorridosexistentes.Sinembargo, Euleren1736 ensu publicación «Solutio
problematisad geometriamsituspertinentis»1
demuestraunasolucióngeneralizadadel
problema,que puede aplicarse acualquierterritorioenque ciertosaccesosesténrestringidos
a ciertasconexiones,talescomolospuentesde Königsberg.
Para dichademostración,Eulerrecurre auna abstraccióndel mapa,enfocándose
exclusivamente enlasregionesterrestresylasconexionesentre ellas.Cadapuente lo
representómediante unalíneaque uníaa dos puntos,cadauno de loscualesrepresentaba
una regióndiferente.Asíel problemase reduce adecidirsi existe onouncaminoque
comience porunode lospuntosazules,transite portodaslaslíneasunaúnica vez,yregrese al
mismopuntode partida.

4. → →
Soluciónde Euler
Eulerdeterminó,enel contextodel problema,que lospuntosintermediosde unrecorrido
posible necesariamentehande estarconectadosa un númeroparde líneas.Enefecto,si
llegamosaun puntodesde algunalínea,entoncesel únicomodode salirde ese puntoespor
una líneadiferente.Estosignificaque tantoel puntoinicial comoel final seríanlosúnicosque
podrían estarconectadoscon unnúmeroimparde líneas.Sinembargo,el requisitoadicional
del problemadice que el puntoinicialdebe serigual al final,porloque nopodría existirningún
puntoconectadocon un númeroimparde líneas.nota 1
En particular,comoen este diagramaloscuatro puntosposeenunnúmeroimparde líneas
incidentes(tresde ellosincidenentreslíneas,yel restante incide encinco),entoncesse
concluye que esimposible definiruncaminoconlas característicasbuscadasque son los7
puentesde Königsberg.
Repercusiones
Esta abstraccióndel problemaideadaporEulerdiopie ala primeranociónde grafo,que es un
tipode estructurade datos utilizadaampliamenteen matemáticadiscretayencienciasde la
computación.A lospuntosse lesllama vértices ya laslíneas aristas.Al númerode aristas
incidentesaunvértice se le llamael gradode dichovértice.Específicamente,undiagrama
como el de la abstraccióndel mapade Königsbergrepresentaun multigrafono
dirigidosinbucles.
En la teoría de grafos,existe unconceptollamado cicloeuleriano,llamadoasíjustamente en
honora LeonhardEuler,que representacualquiercaminodentrode ungrafoparticular,capaz
de recorrer todaslas aristasuna únicavez,regresandofinalmente al mismovértice original.
En coloraciónde grafos,una subáreade la teoría de grafos,la resoluciónde este problema
constituye ademásel primerteoremade los grafosplanares.6
Por otra parte,la publicaciónde Eulereslaprimeraque hace alusiónauna geometríaenque
sólointeresanlaspropiedadesestructuralesde losobjetos,ynosusmedidas,como
tradicionalmente se hace.El matemáticollamaaestanuevamanerade ver losobjetos
geométricos«geometriamsitus»,términoque hoyse traduce como topología,2
áreaactual de
la matemáticacuyoorigendirectopuede situarseenlaresoluciónde este problema.7

5. El problemaoriginal enlaactualidad
Puente de laMiel sobre el río PregolyaenKaliningrado.
Dos de lossiete puentesoriginalesfuerondestruidosporel bombardeode Königsberg durante
la SegundaGuerraMundial.Otrosdosfueronposteriormente demolidosyreemplazadospor
carreterasmodernas.Lostres puentesrestantesaúnpermanecenenpie,aunque sólodosde
ellosdesde laépocade Euler,puesunofue reconstruidoen1935.8
Por lotanto,en la actualidadsóloexistencincopuentesen Kaliningrado,distribuidosde tal
maneraque ahora es posible definiruncaminoeuleriano,esdecir,unarutaque comienzaen
una islay terminaenotra;pero notodavía un cicloeuleriano,esdecir,que larutacomience y
termine enel mismolugar,locual era necesarioparacumplirconlas condicionesinicialesdel
problema.
https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg