Breve descripción sobre los aspectos más importantes sobre la Teoría de Grafos y una de sus aplicaciones más relevantes, el Teorema de los Cuatro Colores

1. Sabrina Dechima

2. Euler, fue contemporáneo de varios
otros famosos matemáticos , tales
como Immanuel Kant, Johann
Hamann y Christian Goldbach, por lo
que Königsberg fue un importante
epicentro científico. Es en este
ambiente que surge la formulación del
problema, propagándose a modo de
juego matemático entre los
intelectuales de la época

3. El trabajo de Leonhard
Euler, en 1736, sobre el problema
de los puentes de Königsberg es
considerado el primer resultado
de la teoría de grafos. Pero a la
vez se lo considera uno de los
primeros resultados topológicos
en geometría

4. Un poco de Historia
La ciudad era atravesada
por un río, el cual dividía
el terreno en cuatro regiones,
las que estaban unidas
mediante siete puentes
Puente del herrero, Puente conector, Puente
verde, Puente del mercado, Puente de
madera, Puente alto y Puente de la miel

5. ¿Cuál era la consigna a resolver?
¿Es posible dar un paseo
comenzando desde cualquier
regiones, pasando por todos
los puentes, recorriendo
sólo una vez cada uno, y
regresando al mismo punto
de partida?

6. Euler demuestra una solución general
del problema, para ello recurre a una
abstracción del mapa, enfocándose
exclusivamente en las regiones
terrestres y las conexiones entre ellas

7. Euler determinó, que los puntos intermedios de un recorrido
posible deben estar conectados a un número par de líneas. Ya
que, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el
único modo de salir de ese punto es por otra diferente. Esto
significa que tanto el punto inicial como el final serían los
únicos que podrían estar conectados con un número impar
de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema
dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no
podría existir más de un único punto conectado con un
número impar de líneas.

8. Es imposible recorrer los puentes
pasando SOLO una vez por cada uno
Como en este
diagrama los cuatro
puntos poseen un
número impar de
líneas incidentes,
entonces se concluye
que es imposible
definir un camino con
las características
buscadas

9. Veamos si entendieron
Será posible
recorrer la figura
SIN LEVANTAR
EL LÁPIZ.
¿Por qué?
Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar
el lápiz cuando tienen dos o ningún vértice impar.

10. La importancia de este concepto
La abstracción del problema dio pie a la
primera noción de grafo, que es un tipo
de estructura de datos, utilizada
ampliamente en matemática discreta y en
ciencias de la computación. A los puntos se
les llaman vértices y a las líneas aristas. Al
número de aristas incidentes a un vértice se
le llama el grado de dicho vértice.

11. No hay restricciones para formar un grafo
Puede haber varias aristas entre dos vértice
El vértice de partida y el de llegada puede ser
el mismo
Las aristas pueden o no llevar flechas

12. Grafos simples : no poseen aristas
orientadas, ni bucles, pero además, entre
un mismo par de vértices no se admiten
dos o más aristas

13. Multígrafo: se permiten aristas
múltiples
Pseudografo: se permiten aristas
múltiples y bucles

14. Grafos orientados
Multígrafos dirigidos

15. Pseudografos dirigidos

16. Aplicación más conocida
Teorema de los cuatro colores
Dado cualquier mapa con
regiones continuas, puede
ser coloreado con
cuatro colores diferentes,
de forma que no queden
regiones adyacentes (que
compartan todo un
segmento de borde en
común) con el mismo
color

17. Fue planteado por primera vez por Francis
Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en
1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.
El problema más importante referido a la
demostración es que necesitaron
computadoras para hacerlo, lo cual le resta
prestigio, pero algo a favor es que de manera
manual hubiera sido imposible realizarla de
otra forma.
Convirtiéndose, de esta manera en el primer
teorema demostrado de esta forma

19. Vamos a un ejemplo concreto

20. Mapa de Mc Gregor, 1975

21. ¿Qué otra
aplicaciones conoces?
Transito vehicular
Cantidad de ordenadores conectados
Orden en los horarios de festivales
artísticos