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Euler, fue contemporáneo de varios
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                                ¿Por qué?

Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar
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 La abstracción del problema dio pie a la
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ciencias de la computación. A los puntos se
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le llama el grado de dicho vértice.
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Puede haber varias aristas entre dos vértice
El vértice de partida y el de llegada puede ser
el mismo
Las aristas pueden o no llevar flechas
Grafos simples : no poseen aristas
orientadas, ni bucles, pero además, entre
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dos o más aristas
Multígrafo: se permiten aristas
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Grafos orientados




Multígrafos dirigidos
Pseudografos dirigidos
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Dado cualquier mapa con
regiones continuas, puede
ser coloreado con
cuatro colores diferentes,
de forma que no queden
regiones adyacentes (que
compartan todo un
segmento de borde en
común) con el mismo
color
Fue planteado por primera vez por Francis
Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en
1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.
El problema más importante referido a la
demostración es que necesitaron
computadoras para hacerlo, lo cual le resta
prestigio, pero algo a favor es que de manera
manual hubiera sido imposible realizarla de
otra forma.
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Teoría de grafos

  • 2. Euler, fue contemporáneo de varios otros famosos matemáticos , tales como Immanuel Kant, Johann Hamann y Christian Goldbach, por lo que Königsberg fue un importante epicentro científico. Es en este ambiente que surge la formulación del problema, propagándose a modo de juego matemático entre los intelectuales de la época
  • 3. El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. Pero a la vez se lo considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría
  • 4. Un poco de Historia La ciudad era atravesada por un río, el cual dividía el terreno en cuatro regiones, las que estaban unidas mediante siete puentes Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera, Puente alto y Puente de la miel
  • 5. ¿Cuál era la consigna a resolver? ¿Es posible dar un paseo comenzando desde cualquier regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo sólo una vez cada uno, y regresando al mismo punto de partida?
  • 6. Euler demuestra una solución general del problema, para ello recurre a una abstracción del mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las conexiones entre ellas
  • 7. Euler determinó, que los puntos intermedios de un recorrido posible deben estar conectados a un número par de líneas. Ya que, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el único modo de salir de ese punto es por otra diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir más de un único punto conectado con un número impar de líneas.
  • 8. Es imposible recorrer los puentes pasando SOLO una vez por cada uno Como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes, entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas
  • 9. Veamos si entendieron Será posible recorrer la figura SIN LEVANTAR EL LÁPIZ. ¿Por qué? Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar el lápiz cuando tienen dos o ningún vértice impar.
  • 10. La importancia de este concepto La abstracción del problema dio pie a la primera noción de grafo, que es un tipo de estructura de datos, utilizada ampliamente en matemática discreta y en ciencias de la computación. A los puntos se les llaman vértices y a las líneas aristas. Al número de aristas incidentes a un vértice se le llama el grado de dicho vértice.
  • 11. No hay restricciones para formar un grafo Puede haber varias aristas entre dos vértice El vértice de partida y el de llegada puede ser el mismo Las aristas pueden o no llevar flechas
  • 12. Grafos simples : no poseen aristas orientadas, ni bucles, pero además, entre un mismo par de vértices no se admiten dos o más aristas
  • 13. Multígrafo: se permiten aristas múltiples Pseudografo: se permiten aristas múltiples y bucles
  • 16. Aplicación más conocida Teorema de los cuatro colores Dado cualquier mapa con regiones continuas, puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (que compartan todo un segmento de borde en común) con el mismo color
  • 17. Fue planteado por primera vez por Francis Guthrie en 1852 y resuelto positivamente en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. El problema más importante referido a la demostración es que necesitaron computadoras para hacerlo, lo cual le resta prestigio, pero algo a favor es que de manera manual hubiera sido imposible realizarla de otra forma. Convirtiéndose, de esta manera en el primer teorema demostrado de esta forma
  • 18.
  • 19. Vamos a un ejemplo concreto
  • 20. Mapa de Mc Gregor, 1975
  • 21. ¿Qué otra aplicaciones conoces? Transito vehicular Cantidad de ordenadores conectados Orden en los horarios de festivales artísticos