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     1   1
                   Prueba, test o contraste de hipótesis es
una técnica estadística que se sigue para decidir si
rechazamos o no una hipótesis estadística en base a la
información de una muestra.

El propósito de la prueba o de hipótesis es ayudar al
investigador a tomar decisiones referentes a una población
considerando la información de una muestra de dicha
población.

Estadísticamente una prueba de hipótesis es cualquier
afirmación acerca de una población y/o sus parámetros.

Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos
hipótesis estadísticas. Tal contraste involucra la toma de
decisión acerca de las hipótesis. La decisión consiste en
rechazar o no una hipótesis en favor de la otra. Una
hipótesis estadística se denota por “H” y son dos:

- Ho: hipótesis nula




 PRUEBA DE HIPÓTESIS.
INTERVALOS DE CONFIANZA




 1
Pasos para la prueba de hipótesis
    Plantear las hipótesis

        Ho:μ1-μ2=0

        H1:μ1-μ2≠0

        Establecer el nivel de significación α = 0.05

        -Aplicar el estadístico de prueba, previo comprobación de
        supuestos como la distribución de la población, igualdad
        de varianzas, etc.

        -Establecer regla de decisión

        -Sacar la conclusión




miércoles, 18 de abril de 2012     2
Para este fin se plantea:

    Una hipótesis Nula (H 0 ): Formulada con el único propósito
    de rechazarla o invalidarla, de la no diferencia, del no
    cambio, de que no es bueno, de la no asociación
    (independencia), etc.

    Una hipótesis alternativa (H 1 ): Es la hipótesis que difiere de
    la hipótesis nula, si H 0 plantea =, H 1 planteará >, <, ò ≠
    Plantear hipótesis




miércoles, 18 de abril de 2012    3
METODOLOGÍA
    La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio
    penal, donde debe decidirse si el acusado es inocente o culpable
    y el juicio consiste en aportar evidencia para rechazar la
    hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda razonable.
    Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos
    observados permitan rechazar la hipótesis nula, comprobando si
    éstos tienen una probabilidad de aparecer lo suficientemente
    pequeña cuando es cierta la hipótesis nula.




miércoles, 18 de abril de 2012    4
Región de Rechazo:
      Una vez fijado a , la región de rechazo se determina a partir
    de la distribución de probabilidad de d(m , x) cuando Ho es
    cierta. Como esta distribución es conocida elegiremos d de
    manera que discrepancias mayores de c d tengan probabilidad
    de ocurrir menor de a ,si Ho es cierta. La región de rechazo
    será c d > d y la de no rechazo será por consiguiente: c d £ d.
    Tipos de errores:
       Cuando se decide sobre el rechazo de una hipótesis se
    pueden cometer dos Error tipo l se presenta si la hipótesis nula
    Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La
    probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la
    letra alfa αUn error tipo II, se denota con la letra griega βse
    presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es
    falsa y debía ser rechazada. Existe un equilibrio entre los dos
    tipos de errores, la probabilidad de cometer un tipo de error
    puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad
    de cometer el otro.




miércoles, 18 de abril de 2012     5
1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado.
Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000
habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de
significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?
     a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
     b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto
Datos:
n = 1000
x = 25




Donde:
x = ocurrencias
n = observaciones

 = proporción de la muestra
     = proporción propuesta
Solución:
a)




a = 0,01




miércoles, 18 de abril de 2012        6
2- Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en
promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a
profesores por semana. Varios de estos representantes
piensan que realizan un número de visitas promedio superior a
40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un
promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar
de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar
esta cuestión.
Datos:
(= 40


n=8


Nivel de confianza del 99%
Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005




Solución:
H0: (= 40
H1: (> 40
Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7
a = 0,005




miércoles, 18 de abril de 2012     7
3-Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento
afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años
dedican a ver la televisión cada semana se distribuye
normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar
6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación
de mercados cree que la media es mayor y para probar su
hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes
de la misma población, obteniendo como resultado una media
de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. Verifique si
la afirmación del investigador es realmente cierta.
Datos:



n = 64


a = 5% = 0,05



Solución:
H0: (= 22
H1: (> 22
a = 0,05




miércoles, 18 de abril de 2012   8
4-Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado,
de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000
unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar
una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca.
Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de
marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos
autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra
de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de
estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media =
169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades.
Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se
distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 %
y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará
oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?
Datos:


n = 51




Solución:
H0: (= 170000
H1: (< 170000
a = 0,05




miércoles, 18 de abril de 2012   9
5-Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en
promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a
profesores por semana. Varios de estos representantes
piensan que realizan un número de visitas promedio superior a
40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un
promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar
de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar
esta cuestión.
Datos:
(= 40


n=8


Nivel de confianza del 99%
Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005




Solución:
H0: = 40
H1: (> 40
Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7
a = 0,005




miércoles, 18 de abril de 2012   10
Un informe indica que el precio medio del billete de
avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de
120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una
muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de
los precios de sus billetes es de 128 €.

¿Se puede aceptar, con un nivel de significación
igual a 0,1, la afirmación de partida?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H 0 : μ ≤ 120

H 1 : μ > 120

2. Zona de aceptación

Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: z   α   =
1.28.

Determinamos el intervalo de confianza:




3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 128 €.

4. Decisión

    No aceptamos la hipótesis nula




miércoles, 18 de abril de 2012   11
Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto
examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36
estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven
estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota
media del examen fue de 6, con un nivel de confianza
del 95%?

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H0 : μ = 6          La nota media no ha variado.

H1 : μ ≠ 6           La nota media ha variado.

2. Zona de aceptación

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z   α/2   =
1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(6-1,96 · 0,4; 6+1,96 · 0,4) = (5,22; 6,78)

3. Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de
significación del 5%.




miércoles, 18 de abril de 2012      12
Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en
promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a
profesores por semana. Varios de estos representantes
piensan que realizan un número de visitas promedio superior a
40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un
promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar
de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar
esta cuestión.
Datos:
(= 40


n=8


Nivel de confianza del 99%
Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005




Solución:
H0: = 40
H1: (> 40
Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7
a = 0,005




miércoles, 18 de abril de 2012   13
INTERVALOS DE CONFIANZA

    Estimación puntual y por intervalo

    Las medias o desviaciones estándar calculadas de una
    muestra se denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser
    consideradas como un punto estimado de la media y
    desviación estándar real de población o de los
    PARÁMETROS.



ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para
localizar una estimación del parámetro.



 ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un
rango dentro del cual se puede encontrar el parámetro y el
nivel de confianza que el intervalo contiene al parámetro.




LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de
confianza inferior (LIC) y superior (LSC), se determinan
sumando y restando a la media de la muestra un cierto número
Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores
estándar de la media .




miércoles, 18 de abril de 2012   14
miércoles, 18 de abril de 2012   15
miércoles, 18 de abril de 2012   16
3- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos
frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490,
507, 513, 492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye
Normalmente, determine un intervalo de

Confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media
muestral vale 505,35 y la desviación

Típica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones
en una escala de extroversión tienen una

media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo
de confianza, a un nivel del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el
máximo error que podríamos

Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido
en la estimación puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el
valor que deja por debajo una

Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente).
Sustituyendo los valores de esta muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )


miércoles, 18 de abril de 2012     17
Operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de
la variable que deja por

debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un
nivel de confianza del 95% la

media de la población puede valer

32,7 ± 2 · 12,64 / 8

luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de
confianza, es: 3,16

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de
libertad, obtenemos que el valor

que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de
confianza de la media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 , , 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)

Operando

( 482,80 , , 527,90 )




miércoles, 18 de abril de 2012     18
4- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una
escala de extroversión tienen una

Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo
de confianza, a un nivel del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el
máximo error que podríamos

Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido
en la estimación puntual.

Solución:

a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el
valor que deja por debajo una

Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente).
Sustituyendo los valores de esta muestra

en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:

( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 )

Operando

( 30,06 ,, 35,34 )

b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de
la variable que deja por

Debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un
nivel de confianza del 95% la

Media de la población puede valer

32,7 ± 2 · 12,64 / 8

Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de
confianza, es: 3,16



miércoles, 18 de abril de 2012     19
5- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido
que asiste semanalmente al

cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza
del 95%, la proporción de

Universitarios que acude todas las semanas al cine.

Solución:

En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la
variable que deja por debajo una

Probabilidad de 0,975 es 1,96.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para
una proporción:




Operando
                     ( 0,755 ,, 0,845 )




miércoles, 18 de abril de 2012            20
6-Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10
pruebas cronometradas por su

Entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04              41,81
42,18 41,72 42,26.

Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de
esta prueba con un 95% de

Confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la
desviación típica para este

Nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un
error en la estimación de la

Media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas
pruebas debería cronometrar?

SOLUCIÓN:

Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la
desviación típica, utilizamos es

Estadístico pivote:
                         y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es:


                                 ¿Quién es en nuestro caso        Es un

valor tal que en la tabla de la normal, sabemos que
                                                                     Dado
el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo:

(41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen
de error.

El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11)

Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es
decir que la media se estima en

41,92 con un margen de error de ± 18,6 %



miércoles, 18 de abril de 2012          21
7-En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al
azar, resultaron 190 a favor de la

política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de
confianza, con nivel del 95%, para

la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?

SOLUCIÓN:

Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una
proporción, donde resulta que el

valor del parámetro en la muestra elegida es
 =190/360=0,5278.

Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el
pivote estadístico es:

                                              la proporción

muestral y p la proporción

Poblacional. De este modo resulta el intervalo de confianza
para un nivel de confianza 1-α el


Siguiente:                                          ) En nuestro

caso 1-α = 0,95 y α/2=0,025

Vamos a la tabla de la normal y calculamos       cuyo valor es
1,96 de modo que el intervalo de confianza pedido es:




dicho en otros términos, la proporción de alumnos que apoyan
a la junta directiva es del

orden del 52,7% con un margen de error de ±5,15%



miércoles, 18 de abril de 2012   22

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Prueba de hipotesis

  • 1. 1 1 1 Prueba, test o contraste de hipótesis es una técnica estadística que se sigue para decidir si rechazamos o no una hipótesis estadística en base a la información de una muestra. El propósito de la prueba o de hipótesis es ayudar al investigador a tomar decisiones referentes a una población considerando la información de una muestra de dicha población. Estadísticamente una prueba de hipótesis es cualquier afirmación acerca de una población y/o sus parámetros. Una prueba de hipótesis consiste en contrastar dos hipótesis estadísticas. Tal contraste involucra la toma de decisión acerca de las hipótesis. La decisión consiste en rechazar o no una hipótesis en favor de la otra. Una hipótesis estadística se denota por “H” y son dos: - Ho: hipótesis nula PRUEBA DE HIPÓTESIS. INTERVALOS DE CONFIANZA 1
  • 2. Pasos para la prueba de hipótesis Plantear las hipótesis Ho:μ1-μ2=0 H1:μ1-μ2≠0 Establecer el nivel de significación α = 0.05 -Aplicar el estadístico de prueba, previo comprobación de supuestos como la distribución de la población, igualdad de varianzas, etc. -Establecer regla de decisión -Sacar la conclusión miércoles, 18 de abril de 2012 2
  • 3. Para este fin se plantea: Una hipótesis Nula (H 0 ): Formulada con el único propósito de rechazarla o invalidarla, de la no diferencia, del no cambio, de que no es bueno, de la no asociación (independencia), etc. Una hipótesis alternativa (H 1 ): Es la hipótesis que difiere de la hipótesis nula, si H 0 plantea =, H 1 planteará >, <, ò ≠ Plantear hipótesis miércoles, 18 de abril de 2012 3
  • 4. METODOLOGÍA La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio penal, donde debe decidirse si el acusado es inocente o culpable y el juicio consiste en aportar evidencia para rechazar la hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda razonable. Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos observados permitan rechazar la hipótesis nula, comprobando si éstos tienen una probabilidad de aparecer lo suficientemente pequeña cuando es cierta la hipótesis nula. miércoles, 18 de abril de 2012 4
  • 5. Región de Rechazo: Una vez fijado a , la región de rechazo se determina a partir de la distribución de probabilidad de d(m , x) cuando Ho es cierta. Como esta distribución es conocida elegiremos d de manera que discrepancias mayores de c d tengan probabilidad de ocurrir menor de a ,si Ho es cierta. La región de rechazo será c d > d y la de no rechazo será por consiguiente: c d £ d. Tipos de errores: Cuando se decide sobre el rechazo de una hipótesis se pueden cometer dos Error tipo l se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa αUn error tipo II, se denota con la letra griega βse presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada. Existe un equilibrio entre los dos tipos de errores, la probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro. miércoles, 18 de abril de 2012 5
  • 6. 1) Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis? a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto. b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto Datos: n = 1000 x = 25 Donde: x = ocurrencias n = observaciones = proporción de la muestra = proporción propuesta Solución: a) a = 0,01 miércoles, 18 de abril de 2012 6
  • 7. 2- Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Datos: (= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005 Solución: H0: (= 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005 miércoles, 18 de abril de 2012 7
  • 8. 3-Un investigador de mercados y hábitos de comportamiento afirma que el tiempo que los niños de tres a cinco años dedican a ver la televisión cada semana se distribuye normalmente con una media de 22 horas y desviación estándar 6 horas. Frente a este estudio, una empresa de investigación de mercados cree que la media es mayor y para probar su hipótesis toma una muestra de 64 observaciones procedentes de la misma población, obteniendo como resultado una media de 25. Si se utiliza un nivel de significación del 5%. Verifique si la afirmación del investigador es realmente cierta. Datos: n = 64 a = 5% = 0,05 Solución: H0: (= 22 H1: (> 22 a = 0,05 miércoles, 18 de abril de 2012 8
  • 9. 4-Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolución de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partir de estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria? Datos: n = 51 Solución: H0: (= 170000 H1: (< 170000 a = 0,05 miércoles, 18 de abril de 2012 9
  • 10. 5-Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Datos: (= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005 Solución: H0: = 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005 miércoles, 18 de abril de 2012 10
  • 11. Un informe indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y Madrid es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0,1, la afirmación de partida? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H 0 : μ ≤ 120 H 1 : μ > 120 2. Zona de aceptación Para α = 0.1, le corresponde un valor crítico: z α = 1.28. Determinamos el intervalo de confianza: 3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 128 €. 4. Decisión No aceptamos la hipótesis nula miércoles, 18 de abril de 2012 11
  • 12. Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%? 1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa: H0 : μ = 6 La nota media no ha variado. H1 : μ ≠ 6 La nota media ha variado. 2. Zona de aceptación Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z α/2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 · 0,4; 6+1,96 · 0,4) = (5,22; 6,78) 3. Verificación. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 . 4. Decisión Aceptamos la hipótesis nula H 0 , con un nivel de significación del 5%. miércoles, 18 de abril de 2012 12
  • 13. Un gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión. Datos: (= 40 n=8 Nivel de confianza del 99% Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005 Solución: H0: = 40 H1: (> 40 Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7 a = 0,005 miércoles, 18 de abril de 2012 13
  • 14. INTERVALOS DE CONFIANZA Estimación puntual y por intervalo Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan ESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y desviación estándar real de población o de los PARÁMETROS. ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar una estimación del parámetro. ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del cual se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene al parámetro. LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC) y superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra un cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores estándar de la media . miércoles, 18 de abril de 2012 14
  • 15. miércoles, 18 de abril de 2012 15
  • 16. miércoles, 18 de abril de 2012 16
  • 17. 3- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de Confianza para la media a un nivel de confianza del 95%. Solución: Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación Típica 42,54. 2- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) miércoles, 18 de abril de 2012 17
  • 18. Operando ( 30,06 ,, 35,34 ) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer 32,7 ± 2 · 12,64 / 8 luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16 Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12 Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos: (505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 , , 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) Operando ( 482,80 , , 527,90 ) miércoles, 18 de abril de 2012 18
  • 19. 4- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una Media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos Cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: ( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) Operando ( 30,06 ,, 35,34 ) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por Debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la Media de la población puede valer 32,7 ± 2 · 12,64 / 8 Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16 miércoles, 18 de abril de 2012 19
  • 20. 5- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de Universitarios que acude todas las semanas al cine. Solución: En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una Probabilidad de 0,975 es 1,96. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción: Operando ( 0,755 ,, 0,845 ) miércoles, 18 de abril de 2012 20
  • 21. 6-Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su Entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de Confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este Nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la Media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar? SOLUCIÓN: Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica, utilizamos es Estadístico pivote: y para 1 α = 0,95 el intervalo de confianza es: ¿Quién es en nuestro caso Es un valor tal que en la tabla de la normal, sabemos que Dado el espacio muestral sustituyendo se obtiene el intervalo: (41,924 – 0, 186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error. El intervalo para la media es ( 41 , 738 , 42, 11) Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se estima en 41,92 con un margen de error de ± 18,6 % miércoles, 18 de abril de 2012 21
  • 22. 7-En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección? SOLUCIÓN: Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde resulta que el valor del parámetro en la muestra elegida es =190/360=0,5278. Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es: la proporción muestral y p la proporción Poblacional. De este modo resulta el intervalo de confianza para un nivel de confianza 1-α el Siguiente: ) En nuestro caso 1-α = 0,95 y α/2=0,025 Vamos a la tabla de la normal y calculamos cuyo valor es 1,96 de modo que el intervalo de confianza pedido es: dicho en otros términos, la proporción de alumnos que apoyan a la junta directiva es del orden del 52,7% con un margen de error de ±5,15% miércoles, 18 de abril de 2012 22