El documento presenta diferentes conceptos y técnicas de conteo y probabilidad. Explica que el conteo ofrece un método para contar arreglos de objetos y que la probabilidad se basa en la repetición de experimentos. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como la distribución normal, variaciones, conteo de posibilidades y cálculo de probabilidades.

1.  El principio fundamental en el proceso de
contar ofrece un método general para contar
el número de posibles arreglos de objetos
dentro de un solo conjunto o entre varios
conjuntos. Las técnicas de conteo son
aquellas que son usadas para enumerar
eventos difíciles de cuantificar.

2.  Es un fenómeno fundado en la
experiencia, el cual al repetirlo y
observarlo en las mismas condiciones en
que se desarrolla sus resultados no son
siempre los mismos, sino que los datos o
mediciones son solo aproximaciones al
verdadero valor de la probabilidad del
evento.

3.  Un juego de dados consiste en adivinar el número de
puntos que caerán al lanzar un dado. Dos jugadores
hacen su apuesta por un número de puntos antes de
lanzarlo. El que adivina gana la apuesta. Si nadie
adivina, lo apostado se gana para el próximo juego. Los
jugadores se turnan para elegir primero un número por el
cual apostar.
a) ¿Cuántos resultados posibles hay?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que
seleccione un número de puntos que caerán adivine?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los
jugadores adivine el número de puntos que caerán?

4.  Al reflexionar, se concluye que los resultados posibles son 6
(1, 2, 3, 4, 5, 6), pero ninguna jugador sabe antes de lanzar el dado
cuantos puntos caerán.
La regularidad estadística indica que al practicar repetidamente el
experimento asociado a determinado fenómeno aleatorio se
obtiene una frecuencia relativa, la cual se aproximara al verdadero
valor de la probabilidad del evento si el número de observaciones n
es grande.
Algunos eventos posibles al desarrollarse el experimento de lanzar
el dado son:
a) Caen 4 puntos, A = 4
b) Caen mas de 4 puntos, B = 5,6
c) Caen un numero par de puntos, C = 2, 4, 6.

5.  Un vendedor de autos quiere presentar a sus
clientes todas las diferentes opciones con que
cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto
de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines
deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes
arreglos de autos y rines puede ofrecer el
vendedor?
 Para solucionar el problema podemos emplear la
técnica de la multiplicación, (donde m es número
de modelos y n es el número de tipos de rin).
 Número total de arreglos = 3 x 2

6.  No fue difícil de listar y contar todos los posibles
arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo.
Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para
ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines.
Sería tedioso hacer un dibujo con todas las
posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación
fácilmente realizamos el cálculo:
 Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

7.  Las variaciones son técnicas de conteo que
respetan el orden, es decir AB BA.
 En realidad cuando hemos resuelto el problema
de ¿ cuántas palabras de tres letras se pueden
escribir con las letras A B C D hemos resuelto
un problema de variaciones, porque
respetamos el orden: ABC CAB CBA etc.

8.  Además las variaciones pueden ser con repetición o sin
repetición.
 Conocemos como variaciones sin repetición…
 Variaciones sin repetición:
 Con las letras A, B, C, D se pueden escribir 24 palabras
de 3 letras diferentes, esto mismo matemáticamente se
dice: hay 24 variaciones de 4 elementos tomados de 3
en 3.
 Y se escribe 4v3 =24
 Y se calcula así: 4v3= 4 * 3 * 2 =24

10.  P(x): Probabilidad de que ocurran x
éxitos
 : Número medio de sucesos esperados
por unidad de tiempo.
 e: es la base de logaritmo natural cuyo
valor es 2.718
 X: es la variable que nos denota el
número de éxitos que se desea que
ocurran

11.  A) x= Variable que nos define el número de
cheques sin fondo que llega al banco en un
día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6
cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que
lleguen cuatro cheques al día

12.  =6
 e= 2.718
 X= 4
 P(x=4, = 6) =(6)^4(2.718)^-6
 4!
 =(1296)(0,00248)
 24
 =o,13192
 Es la probabilidad que representa de que lleguen cuatro
cheques sin fondo al día

13.  A) x= Variable que nos define el número de
cheques sin fondo que llega al banco en un
día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6
cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que
lleguen cuatro cheques al día

14.  B)
 X= es la variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan en dos
días consecutivos
 =6x2= 12 Cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días
consecutivos
Lambda por t comprende
 al promedio del cheque a los dos días
 DATOS
 = 12 Cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 X=10
 P(x=10, =12 )= (129^10(2.718)^-12
 10!
 =(6,191736*10^10)(0,000006151)
 3628800
 =0,104953 es la es la probalidad de que lleguen 10 cheques sin fondo en dos
días consecutivos

15.  A) x= Variable que nos define el número de
cheques sin fondo que llega al banco en un
día cualquiera;
 El primer paso es extraer los datos
 Tenemos que o el promedio es igual a 6
cheques sin fondo por día
 e= 2.718
 x= 4 por que se pide la probabilidad de que
lleguen cuatro cheques al día

18. La probabilidad de que obtengamos un 5 viene definida
como la probabilidad de que X sea igual a 1. Entonces
ahora los datos que obtuvimos se sustituyen en la fórmula.
P(x=1) = (1/5) 1 * (4/5) 0 = 1/5 = 0.2
La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida
como la probabilidad de que X sea igual a 0.
P(x=0) = (1/5)0 * (4/5)1 = 4/5 = 0.8
Este experimento nos dice que hay 0.2 de probabilidad de
que salga el numero 5 en el dado, y de que no salga ese
numero existe la probabilidad del 0.8.

19. Una variable aleatoria continua, X, sigue
una distribución normal de media μ y desviación
típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las
siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
2. La función de densidad, es la expresión en términos
de ecuación matemática de la curva de Gauss:

20.  Curva de la distribución normal
 El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-
∞, +∞).
 Es simétrica respecto a la media µ.
 Tiene un máximo en la media µ.
 Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
 En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
 El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

21. El área del recinto determinado por la función y el
eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x =
µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra
igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo
la curva.
p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

23.  En probabilidad y estadística, la distribución t (de
Student) es una distribución de probabilidad que surge
del problema de estimar la media de una
población normalmente distribuida cuando el tamaño
de la muestra es pequeño.
 Aparece de manera natural al realizar la prueba t de
Student para la determinación de las diferencias entre
dos medias muéstrales y para la construcción
del intervalo de confianza para la diferencia entre las
medias de dos poblaciones cuando se desconoce
la desviación típica de una población y ésta debe ser
estimada a partir de los datos de una muestra.

24.  Un fabricante de focos afirma que su
producto durará un promedio de 500 horas
de trabajo. Para conservar este promedio esta
persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor
y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se
encuentra satisfecho con esta afirmación.
¿Qué conclusión deberá él sacar de una
muestra de 25 focos cuya duración fue?:

25. 520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07

26.  Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo
siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar
con los datos con los que contamos.
 Tendremos que sustituir los datos
 t= x -μ
 SI n α = 1- Nc = 10%
 v = n-1 = 24
 t = 2.22

27.  VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.07 25
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90% = 10%
 S=12.07