Una serie de Fourier es una serie infinita que representa funciones periódicas como la suma de funciones senoidales. Las series de Fourier se usan para analizar funciones periódicas descomponiéndolas en armónicos. Fueron estudiadas sistemáticamente por Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien publicó resultados iniciales en 1807 y 1811. Las series de Fourier tienen aplicaciones en ingeniería, incluyendo análisis vibratorio, acústica y procesamiento de señales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Defensa
Universidad Nacional Politécnica
De la Fuerza Armada
UNEFA
Núcleo-Carabobo Extensión- Guacara
Profesor: Carlos Vicuña
Brs:
Elio R. Peña B.
C.I. 18434399
Yuselis Andrades
C.I 18531728
Jean C. Castillo T.
C.I.16217734
Pedro Calvo
C.I.11356115
Sección: G – 004N
Guacara, Octubre de 2009
Definición de serie de Fourier

2. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función
continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica
del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho
más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se
debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando
estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente,
y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama
algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y
compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y
a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede
optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de
un analizador de espectros.
Sea f(x) es una función compleja (i es la unidad imaginaria) periódica con período 2π,
valuada en dominio de los números reales, y es cuadrado-integrable sobre el intervalo -π a
π:
Entonces la representación en serie de Fourier de f(x) viene dada por:
Por la identidad de Euler (ei n x
= cos(nx)+i sin(nx))
Esto es equivalente a representar f(x) como una combinación lineal infinita de funciones
de la forma cos(nx) y sin(nx); es decir:
donde an y bn se denominan
coeficientes de Fourier:

3. Estos coeficientes tienen la propiedad de tender a 0 cuando la cantidad de armónicas
aumenta: