2. Definición
Una curva en el espacio es una función vectorial de la
forma:
r (t ) = f (t ) i + g (t ) j + h (t ) k
Donde f ,g ,h son funciones continuas de t en un
intervalo I ⊂ℝ

3. Ejemplo:
La hélice, dada por la función:
r (t ) = 4 cos t i + 4 sin t j + t k 0 ≤ t ≤ 4π

4. Derivada de r t ()
r (t )
r (t + ∆t )
r (t + ∆t ) − r (t )
r ' (t ) = lim
∆t →0 ∆t
r ' (t ) = f ' (t ) i + g ' (t ) j + h ' (t ) k

5. Elemento de arco
ds
r (t )
r (t + ∆t )
ds = lim r (t + ∆t ) − r (t )
∆t →0
r (t + ∆ t ) − r (t )
d s = lim ∆ t = r ' (t ) d t
∆t→ 0 ∆t

6. Curva suave
()
La curva C representada por r t se dice que es
suave en el intervalo I si f ' , g ' , h ' son continuas
y r ' (t ) ≠ 0 ∀t ∈ I
Vector unitario tangente
Sea C una curva suave en I dada por:
r (t ) = f (t ) i + g (t ) j + h (t ) k

7. T (t )
r (t )
El vector tangente a la curva en cada valor de t es
r ' (t ) = f ' (t ) i + g ' (t ) j + h ' (t ) k
El vector unitario tangente viene dado por:
r ' (t )
T (t ) =
r ' (t )
En Mecánica al vector r ' (t )se le llama velocidad respecto del tiempo
y a su módulo r ' (t ) se le llama rapidez.

8. El vector unitario tangente en función del parámetro arco
Como: d s = r ' (t ) d t podemos escribir
r ' (t )
dt dt dx
 i + dy j + dz

T (t ) = = r ' (t ) =  k


ds ds ds  dt

 dt dt 

dt
dx dy dz dr
T (s ) = i+ j+ k=
ds ds ds ds
Luego:
dr
T (s ) = = r ' (s )
ds

9. Curvatura de flexión de una curva
T (t + ∆t )
T (t )
ds
r (t )
ρ dT
χ= = T ' (s ) = r '' (s )
ds
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de
cambio del vector tangente unitario, con respecto al
parámetro de arco.

10. Si la curva viene dada por r (t )
Obtenemos:
dT T ' (t )
dT dt =
χ= =
ds ds r ' (t )
dt
Si χ es la curvatura de una curva en un punto A ,
se llama círculo de curvatura al círculo que comparte
con la curva la misma tangente en ese punto y se
encuentra al mismo lado cóncavo de la curva.
El radio de ese círculo lo llamamos radio de curvatura
de la curva y viene dado por:
r ' (t )
1 1
ρ = = =
χ T ' (s ) T ' (t )

11. Vector unitario normal principal
T (t )
N (t )
r (t )
En el espacio existen infinitos vectores perpendiculares
a un vector. Sabemos que:
T (t ) es unitario ⇒ T (t )iT (t ) = 1 ⇒ T ' (t )iT (t ) = 0

12. Por tanto:
T ' (t ) ⊥ T (t )
Definimos el vector unitario normal principal, como:
T ' (t )
N (t ) =
T ' (t )
Si derivamos respecto del parámetro arco obtenemos:
dT (s )
T (s )i = 0 ⇒ T ' (s ) ⊥ T (s )
ds
T ' (s )
N (s ) = = ρ T ' (s )
T ' (s )

13. Vector unitario binormal
T (t ) B (t )
N (t )
r (t )
Es un vector perpendicular a T t y a N (t ) dado por:
()
r ' (t ) × r '' (t )
B (t ) = T (t ) × N (t ) =
r ' (t ) × r '' (t )

14. Aceleración
Se llama aceleración a la derivada del vector velocidad
d d ds  d 2s ds dT (s )
a = r '' (t ) =( )
dt
r ' (t ) =   T (s ) =
 dt
dt 
  dt 2 ( ) dt dt



T s +
ds dT (s ) ds  ds  dT (s )
2
d s2
d 2s 
a = 2 T (s ) +  
= 2 T (s ) +  
dt dt ds dt dt  dt 
 
 ds
2
d s2  ds  1

 
a = 2 T (s ) +  
dt  dt  ρ N (s )
 

d 2s
Componente tangencial: aT =
dt 2 2
1  ds 
 

Componente normal: aN =  

 dt 
ρ 

15. Radio de curvatura en paramétricas
Dada la curva r (t ) sabemos:
2
ds
2
d s  ds  1

 
r '' (t ) = 2 T (s ) +  
r ' (t ) = T (s )
dt
y
dt  dt  ρ N (s )
 

Multiplicando vectorialmente:
 2 2
 ds  1
 
ds d s 
r ' (t ) × r '' (t ) = T (s ) ×  2 T (s ) +  
 
 dt  ρ N (s ) =
dt  dt  
 
 
3 3
ds  1
  
ds  1 B (s )
 
0+ 
 

( )
 dt  ρ T (s ) × N (s ) = −  dt  ρ
 
 



16. Tomando módulos nos queda:
3
3
 ds  1
 r ' (t )
r ' (t ) × r '' (t ) =  ⇒ ρ=
 
 dt  ρ
 
 r ' (t ) × r '' (t )
Y como:
i j k
ds r ' (t ) × r '' (t ) = x ' y' z'
= r ' (t ) = x ' 2 + y ' 2 + z ' 2
dt x '' y '' z ''
3
ρ=
( x '2 '2
+y +z '2
)
2 2 2
y' z' z' x' x' y'
+ +
y '' z '' z '' x '' x '' y ''

17. Si la curva es plana: z (t ) = 0
Y tendríamos:
i j k
ds
= r ' (t ) = x '2 + y '2 r ' (t )× r '' (t ) = x ' y ' 0
dt
x '' y '' 0
3 3
ρ=
( x '2
+y '2
) =( x '2
+y '2
)
2 x' y'
x' y'
x '' y ''
x '' y ''

18. Curvatura de torsión de una curva
B (t + ∆t )
B (t )
ds
r (t + ∆t )
r (t )
dB
τ= = B ' (s )
ds
Es una magnitud que mide el módulo de la razón de
cambio del vector binormal unitario, con respecto al
parámetro de arco.

19. Algunas deducciones:
d B (s ) d B (s )
B (s ) iB (s ) = 1 ⇒ B (s ) i = 0 ⇒ B (s ) ⊥
ds ds
d B (s ) dT (s )
B (s ) iT (s ) = 0 ⇒ iT (s ) + B (s ) i = 0⇒
ds ds
dB (s ) dB (s ) dB (s )
ds
( )
iT (s ) + χ B (s ) i N (s ) = 0 ⇒
ds
iT (s ) = 0 ⇒ T (s ) ⊥
ds
d B (s )
Al ser perpendicular a B (s ) y a T (s ) , tiene la
ds
dirección de N (s )

20. Luego:
d B (s ) d B (s )
=− N (s ) = −τ N (s )
ds ds
Derivando la expresión: B (s )× T (s ) = N (s )
dN (s ) dB (s ) dT (s )
= ×T (s ) + B (s )×
ds ds ds
Luego:
dN (s )
ds
( ) ( )
= −τ N (s )×T (s ) + χ B (s )×N (s ) = τ B (s ) − χT (s )

21. Fórmulas de Frenet
d T (s )
= χ N (s )
ds
d B (s )
= − τ N (s )
ds
dN (s )
= τ B (s ) − χT (s )
ds

22. Triedro intrínseco
T (t )
B (t )
rectificante
normal
N (t )
osculador
()
Los vectores T t , N (t ) y B t en cada punto
() A
de la curva forman un triedro, con los planos:
(OP − r (t )) i T (t ) = 0 Plano normal
(OP − r (t )) i N (t ) = 0 Plano rectificante P ∈ plano
(OP − r (t )) i B (t ) = 0 Plano osculador