3. Logro de Sesión
Al finalizar la sesión el
capaz de
alumno será
aplicar las propiedades de
la circunferencia y la
resolver
parábola para
situaciones problemáticas
cotidianas con criterio y sin
dificultad.
4. x
y
0
C(h ; k)
P(x ; y)
r
Centro de la
Circunferencia
Radio
Introducción a la circunferencia
5. La Circunferencia
Definición:
La circunferencia es el lugar
geométrico de todos los puntos
en el plano P(x, y) que son
• equidistantes de un punto fijo.
El punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier
segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de
la misma y su centro se llama radio.
• Nota:
El círculo, es el área que
encierra la circunferencia.
6. (x - h)2 + (y - k)2 = r2
P(x,y) es un punto de la circunferencia
(h ; k) es el centro de la circunferencia
r es el radio de la circunferencia
Ecuación Ordinaria de la circunferencia
X
Y P(x;y)
r
C(h; k)
7. En particular, si el centro coincide con el origen de coordenadas:
X
Y
P(x;y)
C(h; k)
Ecuación Canónica
8. Forma General
Ecuación General de la Circunferencia
• Al desarrollar la forma ordinaria, obtenemos:
(x − h)2
+ (y −k)2
= r 2
x2
+ y2
− 2hx − 2ky+ h2
+ k2
− r 2
= 0
D = -2h , E=-2k , F= h2+k2-r2
x2
+ y2
+ Dx + Ey +F = 0
17. y
x
P1 (x1,y1)
L
T.
r
C ( h, k )
Si L es la longitud de la
tangente trazada del punto
exterior P1(x1, y1)
a la circunferencia
(x − h)2
+ (y − k )2
= r 2
entonces :
L = (x − h)2
+ (y − k)2
− r 2
1 1
PROPIEDADES:
Dado la siguiente gráfica:
18. 18
Halle la longitud de la tangente trazada del punto P1(-3,2) a la circunferencia:
9x2
+ 9y2
−30x −18y −2 = 0
Ejemplo 9:
19. TANGENTE A UNA CURVA
La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la
curva.
N C
Y
X
T
Q M
1 1 1
P (x , y )
Si m es la pendiente de la
tangente a una curva plana
continua C en el punto
, tenemos las
ecuaciones y
P1(X1, Y1)
siguientes
fórmulas:
Ecuación de la tangente a C:
Ecuación de la normal a C:
Longitud de la tangente:
Longitud de la normal:
1 1
m
m
y − y1 = m (x −x1 ),
y − y = −
1
(x − x ), m 0
L =
y1
1+ m2
, m 0
= y1 1+ m ,
2
20. Nota:
Para obtener la ecuación de la tangente a una circunferencia se sustituye
la ec. de la recta en la ecuación de la circunferencia:
x2
x2
(m2
+ y 2
+ Dx + Ey +F = 0
+ (mx + k)2
+ Dx + E(mx + k) + F = 0
+1)x2
+ (2mk + D + Em)x + k2
+ Ek + F = 0
b2
2a
Esta expresión se puede escribir como:
ax2
+ bx + c = 0, a 0
−b − 4ac
x =
Para hallar la tangente el
discriminante debe ser cero (0).
21. Halle la ecuación de la tangente a la circunferencia en el
punto (3,5), x
2
+ y
2
−8x − 6y + 20 = 0
Ejemplo 10:
