5to secundaria

1. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” Geometría 5º
LA CIRCUNFERENCIA
I. DEFINICIÓN: Una circunferencia es el lugar
geométrico de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo. Al punto fijo se le
denomina centro y a la distancia constante se le
llama radio.
II. ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria:
Centro : (h;k)
Radio : r
r
Ecuación Canónica:
Centro : (0;0)
Radio : r
Ecuación General:
Se tiene: ( x - h)2 + (y - k )2 = r 2
Desarrollando:
x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
Acomodando los términos:
x2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0
Haciendo un cambio de variable:
D = (-2h) ; E = (-2k) ; F = (h2 + k2 – r2)
Reemplazando se tiene:
Donde se deduce:
PRACTICA DIRIGIDA
01. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio
5u con centro en el origen de coordenadas.
A) x2+y2 = 25 B) x2+y2 = 16 C) x2+y2 = 49
D) x2 -y2 = 16 E) x2 -y2 = 25
02. Hallar la ecuación canónica de una
circunferencia que pasa por el punto (-3;4)
A) x2+y2 = 10 B) x2+y2 = 20 C) x2+y2 = 25
D) x2+y2 = 15 E) x2+y2 = 35
03. Hallar la ecuación de la circunferencia con
centro en (2;6) y que tiene por radio a 4u.
A) x2 + y2 – 4x – 12y + 24 = 0
B) x2 – y2 + 4x – 10y – 18 = 0
C) x2 + y2 + 9x + 6y – 10 = 0
D) x2 + y2 – 4x – 14y – 8 = 0
E) x2 – y2 – 10x + 3y + 15 = 0
04. Una circunferencia tiene por ecuación:
x2 + y2 – 4x – 8y – 29 = 0
hallar la posición de sus centro.
A) (2;3) B) (2;-3) C) (2;4)
D) (2;-4) E) (-2;4)
05. Del problema anterior, el radio mide:
A) 6 B) 5 C) 7
D) 8 E) 9
06. Una circunferencia tiene por ecuación:
x2 + y2 + 6x + 4y – 3 = 0
si el centro es: C(h;k) y su radio es “r”. Calcular:
M = (h.k)2 + r
A) 40 B) 20 C) 30
D) 25 E) 32
07. Dada la ecuación de una circunferencia:
x2 + y2 – x + y = 1
dar la suma de las coordenadas de su centro
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 0 E) 6
08. Dada la circunferencia de ecuación:
x2 + y2 – 2x + 4y = 3
entonces el valor de su radio es:
A) 2 2 B) 2 C) 3
D) 2 E) 8
09. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por (2;3) y cuyo centro es (-1;7)
( x - h)2 + (y - k )2 = r 2
x
y
r
o
P(x;y)
C(h;k)
x
y
o
x2 + y2 = r 2
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0


  - -
E
2
;
D
2
C
D E 4F
2
r
2 + 2 - =

2. LICEO NAVAL “TENIENTE CLAVERO Trigonometría 5º
A) x2 + y2 – 2x + 14y – 50 = 0
B) x2 + y2 – 2x + 14y – 25 = 0
C) x2 + y2 + 2x + 14y – 50 = 0
D) x2 + y2 – 4x + 7y – 65 = 0
E) x2 + y2 + 2x – 14y + 25 = 0
10. Hallar la ecuación de una circunferencia que
pasa por el origen de coordenadas y uno de
cuyos diámetros une los puntos (-9;15) y (25;15)
A) (x – 6)2 + (y – 10)2 = 122
B) (x – 8)2 + (y – 15)2 = 172
C) (x – 3)2 + (y + 8)2 = 102
D) (x + 5)2 + (y – 2)2 = 152
E) (x – 2)2 + (y + 7)2 = 202
11. Hallar el área de la región formada por el semi-eje
positivo de las abscisas, la circunferencia:
x2 + y2 = 144 y la recta: y = 3 x
A) 28πu2 B) 26πu2 C) 24πu2
D) 14πu2 E) 56πu2
12. La ecuación de una circunferencia es:
x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0
si el centro es (m;n) y su radio es “k”. Calcular:
E = k4 +m2 + n3
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
13. Hallar la ecuación de una circunferencia inscrita
en un cuadrado ABCD donde A(5;0) y B(5;12),
estando C a la derecha de B
A) (x – 6)2 + (y – 11)2 = 144
B) x + y2 = 36
C) (x – 6)2 + y2 = 36
D) x2 + y2 = 144
E) (x – 11)2 + (y – 6)2 = 36
14. ¿Cuál es el valor de “K” en la circunferencia de
ecuación: x2 + y2 – 3x – 3y + K = 0, si el radio
10
mide:
4
?
A) 1 B) -1 C) 1/2
D) 2 E) 3
15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4)
A) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
B) x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0
C) x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0
D) x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0
E) x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por el punto (1;-4) y que es concéntrica con:
x2 + y2 – x + 10y + 18 = 0
A) x2 + y2 – 2x + 10y + 24 = 0
B) x2 + y2 – 6x + 8y + 24 = 0
C) x2 + y2 + x – 10y + 9 = 0
D) x2 + y2 + 7x – 6y – 12 = 0
E) x2 + y2 + 3x + y + 10 = 0
17. La ecuación de una circunferencia está dada
por C : x2 + y2 + 4x – 8y + n = 0, hallar el valor
de “n” para que su radio sea 5
A) -7 B) -6 C) -5
D) -4 E) -3
18. La ecuación de una recta es:
1
y
x + =
-
20
15
hallar la ecuación de la circunferencia que es
tangente a dicha recta, si su centro es el origen
de coordenadas
A) x2+y2 = 144 B) x2+y2= 225 C) x2+ y2=100
D) x2+y2 = 169 E) x2+y2 = 196
19. Hallar la ecuación de la circunferencia que es
tangente a los ejes coordenados, su radio mide
3u y el centro pertenece al IVC
A) x2 + y2 – 6x + 6y + 9 = 0
B) x2 + y2 + 6x + 6y + 9 = 0
C) x2 + y2 + 3x + 3y – 9 = 0
D) x2 + y2 – 3x – 3y – 10 = 0
E) x2 + y2 + x + y + 3 = 0
20. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el punto de intersección de las rectas:
L1 : x + y – 4 = 0
L2 : x – y + 8 = 0
y pasa por el origen de coordenadas
A) x2 + y2 + 4x + 12y = 0
B) x2 + y2 – 3x + 4y = 0
C) x2 + y2 – 2x + y = 0
D) x2 + y2 + 4x – 12y = 0
E) x2 + y2 – 3x + y = 0
21. Hallar la ecuación de la circunferencia con
centro en (-2;4) y que pasa por el punto de
intersección de las rectas:
L1 : 4x – 7y + 10 = 0
L2 : 3x + 2y – 7 = 0
A) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13
B) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 13
C) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 13
D) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13
E) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 13
22. La recta L : x – y + 3 = 0 es tangente a la
circunferencia C : x2 – 2x + y2 =7 en el punto
(a;b). Hallar “a + b”
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

3. LICEO NAVAL “TENIENTE CLAVERO Trigonometría 5º
23. Hallar la ecuación de una recta que es tangente
a la circunferencia C : x2 + y2 + 2x + 4y = 15 y
pasa por el punto de tangencia (1;2)
A) x + 2y – 5 = 0 B) x – 2y + 4 = 0
C) x – 3y – 7 = 0 D) x + 4y – 5 = 0
E) x + 5y + 3 = 0
24. Hallar la ecuación de la circunferencia con
centro en el punto (1;6) y es tangente a la recta:
x – y – 1 = 0
A) x2 + y2 – 5x + 7y + 20 = 0
B) x2 + y2 + 2x – 3y – 30 = 0
C) x2 + y2 – 2x – 12y + 19 = 0
D) x2 + y2 + 3x – 15y + 35 = 0
E) x2 + y2 + 3x + 13y – 23 = 0
25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos: A(1;0); B(3;-2) y C(1;-4)
A) x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0
B) x2 + y2 – 4x – 3y + 2 = 0
C) x2 + y2 + 5x – 7y – 8 = 0
D) x2 + y2 – 3x – 2y + 2 = 0
E) x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
26. La ecuación de una circunferencia es:
x2 + y2 – 6x + 2y + 7 = 0
si el centro es (h;k) y su radio es “r”. Calcular:
E = r4 + h2 + k3
A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19
27. Una recta “L” es tangente a la circunferencia
C : x2 + y2 – 2x + 2y – 15 = 0; en el punto (0;3).
Hallar la ecuación de la recta
A) x + y – 5 = 0 B) x + 7y + 9 = 0
C) 4x + y – 1 = 0 D) x – 4y + 12 = 0
E) 5x – y + 15 = 0
28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo
centro es el punto C(-4;-1) y es tangente a la
recta 3x + 2y – 12 = 0
A) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 13
B) (x + 4)2 + (y + 1)2 = 52
C) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 17
D) (x – 5)2 + (y – 1)2 = 11
E) (x + 3)2 + (y + 7)2 = 15
29. Una cuerda de la circunferencia: x2+y2 = 25 está
sobre la recta cuya ecuación es: x – 7y + 25 = 0.
Hallar la longitud de la cuerda.
A) 5 2 B) 3 3 C) 2 2
D) 5 E) 2 5
30. En la figura la recta “L” tiene por ecuación:
y = 3 x, OT = 12u. Calcular el radio de la
circunferencia.
L
r
x
y
O T
A) 6 B) 6 3 C) 4
D) 3 3 E) 4 3
31. Determinar el centro de la circunferencia que
pasa por los puntos A(0;0); B(3;6) y C(7;0)
7
( B) )
A) ;2)
2
1
5
;
2
(-1; C) )
2
2
1
( -
D) (-3;4) E) (2:-1)
32. Una circunferencia “C” pasa por el origen y por
los centros de las circunferencias:
C1 : x2 + y2 + 12x + 4y – 24 = 0
C2 : x2 + y2 + 4y – 4 = 0
Hallar le valor del radio de “C”
A) 6 B) 10 C) 4
D) 7 E) 13
33. Desde un punto P(2;-3) se han trazado
tangentes a la circunferencia:
C : x2 + y2 – 2x + 10y + 22 = 0
Hallar la ecuación de una cuerda que une los
puntos de contacto.
A) x + 2y + 5 = 0 B) 2x + y + 5 = 0
C) 2x + 5y + 1 = 0 D) 5x + 2y + 10 = 0
E) x + y + 5 = 0
34. Hallar la ecuación de una circunferencia con
centro en (7;6), sabiendo que es ortogonal a la
circunferencia cuya ecuación es:
C : x2 + y2 – 6x – 4y = 0
A) (x – 6)2 + (y – 7)2 = 19
B) (x – 7)2 + (y + 6)2 = 19
C) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 16
D) (x – 7)2 + (y – 6)2 = 19
E) (x – 7)2 + (y + 6)2 = 19
35. Determinar la ecuación de una circunferencia
con centro en el origen, si la longitud de la
tangente trazada desde el punto (-1;6) es 5
A) x2 + y2 = 4 B) x2 + y2 = 8
C) x2 + y2 = 16 D) x2 + y2 = 32
E) x2 + y2 = 64

4. LICEO NAVAL “TENIENTE CLAVERO Trigonometría 5º
36. Encontrar la ecuación de una cuerda común a
las dos circunferencias:
C1 : x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
C2 : x2 + y2 + 8x – 2y + 8 = 0
A) x + y + 5 = 0 B) x + 7y + 1 = 0
C) x + y – 1 = 0 D) x – 4y + 2 = 0
E) x – y + 5 = 0
37. Se tiene la circunferencia:
C : x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0
y el punto (3;3). Hallar la ecuación de la
tangente a la circunferencia trazada por dicho
punto.
A) x + 2y – 1 = 0 B) x + 1 = 0
C) x + y – 1 = 0 D) x – 3 = 0
E) x + 3 = 0
38. Una circunferencia de radio 13 es tangente a
la circunferencia: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 en el
punto (6;5). Determinar las coordenadas de su
centro.
A) (3;2) ó (6;6) B) (4;3) ó (7;7)
C) (4;2) ó (8;8) D) (1;5) ó (3;3)
E) (1;3) ó (5;5)
39. Determine el valor de “m”, si el punto (5;-4)
pertenece a la circunferencia:
C : x2 + y2 – mx + 6y + 33 = 0
A) 0 B) 6 C) -6
D) 10 E) -10
40. Hallar la ecuación de la circunferencia que
pasando por el punto (-1;5), sea concéntrica
con:
C : x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0
A) x2 + y2 + 6x – 4y = 0
B) x2 + y2 + 6x – 4y = 4
C) x2 + y2 + 6x – 4y = 9
D) x2 + y2 + 6x – 4y = 13
E) x2 + y2 + 6x – 4y = 26
41. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo
que es tangente a los ejes coordenados, el
centro está en el primer cuadrante y la distancia
entre los puntos de tangencia es 6 2 .
A) x2 + y2 + 5x + 5y + 12 = 0
B) x2 + y2 + 6x – 7y – 20 = 0
C) x2 + y2 + 7x + 8y + 15 = 0
D) x2 + y2 – 9x + 10y + 30 = 0
E) x2 + y2 – 12x – 12y + 36 = 0
42. Según el grafico determine la ecuación de la
circunferencia mostrada, si el área de la región
triangular equilátera OAB es 4 3 u2, (P es
punto de tangencia).
A) (x – 3 )2 + (y – 3)2 = 9
B) (x – 2 3 )2 + (y – 2)2 = 4
C) (x – 3 )2 + (y – 5)2 = 4
D) (x – 5 )2 + (y – 7)2 = 4
E) (x – 7 )2 + (y – 1)2 = 36
43. ¿Qué condición debe cumplir la ecuación de la
circunferencia C : x2 + y2 + ax + by + c = 0, para
que su centro se sitúe en la bisectriz del primer
y tercer cuadrantes?
A) a = c B) a + b = c C) b = c
D) a = b E) a – b = c
44. Halle la ecuación de la tangente a la
circunferencia C: x2 + y2 = 169, en el punto de
abscisa 12, situado en el primer cuadrante.
A) 3x + 7y – 169 = 0
B) 12x + 5y – 169 = 0
C) 12x – 5y + 169 = 0
D) 5x + 12y – 169 = 0
E) 5x – 12y + 169 = 0
45. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio
3 y que pasa por el origen de coordenadas y su
centro esta en el eje de ordenadas.
A) x2 + y2 – 5x = 0
B) x2 + y2 – 8x = 0
C) x2 + y2 + 8x = 0
D) x2 + y2 – 6x = 0
E) x2 + y2 – 6y = 0
B
A
x
y
O P